Modelo de Anderson para duas impurezas : metodo dos campos efetivos

Texto

(1)Universidade Estadual de Campinas Instituto de F sica \GLEB WATAGHIN" Departamento de F sica da Mat eria Condensada. MODELO DE ANDERSON PARA DUAS IMPUREZAS: METODO DOS CAMPOS EFETIVOS. Tese de Doutorado. Antônio Maia de Jesus Chaves Neto Tese apresentada como parte dos requisitos para a obtenc~ao do ttulo de Doutor em Ciências.. Orientador: Prof. Dr. Roberto Eugenio Lagos Monaco - IGCE/UNESP - Rio Claro - S.P.. Co-orientador: Prof. Dr. Guillermo Gerardo Cabrera Oyarzun - DFMC/IFGW/UNICAMP. Banca Examinadora: Prof. Dr. Roberto Eugenio Lagos Monaco Prof. Dr. Valter Luiz L bero - IFSC/USP Prof. Dr. Makoto Yoshida - IGCE/UNESP - Rio Claro - S.P. Prof. Dr. Bernardo Laks - DFA/IFGW/UNICAMP Prof. Dr. Mario Eusebio Foglio - DFMC/IFGW/UNICAMP. CAMPINAS Novembro de 2004 i.

(2) ii.

(3) iii.

(4) iv.

(5) \Fortune favours the bold." Virgil - The aeneid v.

(6) vi.

(7) Aos meus alunos da regi~ao Norte.. vii.

(8) viii.

(9) Agradecimentos. A Deus. A minha Famlia por tudo. Ao Prof. Dr. Roberto E. Lagos Mônaco pela orientaca~o neste trabalho, ensinamentos, otimismo e incentivo. Alem da preciosa amizade.. Ao co-orientador Prof. Guillermo O. Cabrera pelos ensinamentos e encorajamento no decorrer deste trabalho.. A minha companheira Sandra Helena da Silva Rodrigues. Ao Prof. Sakanaka da Unicamp, Prof. David Azevedo da UFMA pela colaboraca~o na parte computacional.. A Universidade Federal do Para (UFPA), especialmente aos professores e amigos desta universidade: J.M.F. Bassalo (amigo de sempre), Jo~ao Furtado, Edimilson dos Santos Moraes, Altem Nascimento Pontes, Paulo de Tarso Santos Alencar e Jose Luis Lopes.. Aos amigos: ao incrvel Walter Mello Jr., Zolacir Trindade, Ricardo Sato, Ricardo Avelino Gomes e a todos hermanos da lngua espanhola da Unicamp, como Chatin, Pepe, Enver Colorado e Ali. ix.

(10) A Universidade Estadual de Campinas, em especial aos secretarios exemplares Sra. Maria Ignez Roquette Mokarzel e Sr. Armando.. A CAPES pelo apoio

(11) nanceiro.. x.

(12) Resumo O Hamiltoniano do modelo de Anderson para duas impurezas e estudado via um desacoplamento das func~oes de Green. Neste caso resulta ser equivalente a aproximac~ao de potencial coerente (CPA) que tambem, neste caso, coincide com a aproximaca~o HubbardI. Consideram-se todos os termos de interac~ao impureza-impureza, tanto os denominados termos de um corpo como os de dois corpos. Os parâmetros associados as interaco~es mencionadas acima incluem: repuls~ao coulombiana intra e interstio, hopping direto, hopping correlacionado e o termo de troca (exchange). Todos estes s~ao modelados via orbitais atômicos de Slater, e neste caso se considera o modelo mais simples, o caso n~ao degenerado, ou seja, um nvel por impureza. Nesta modelagem, incluindo o metal hospedeiro, os parâmetros independentes resultam ser: a constante de hibridizaca~o eletrônica impureza-metal, o numero de portadores do metal hospedeiro, o vetor de onda de Fermi associado ao mesmo, a largura dos orbitais atômicos das impurezas e a distância impureza-impureza. Para o caso particular de temperatura nula e no regime denominado de banda semicheia (a metade dos nveis das impurezas s~ao preenchidos considerando os valores esperados) s~ao calculadas as densidades espectrais (densidade de estados) associadas as impurezas, as func~oes de correlaco~es de spin e carga, suscetibilidades magneticas e de carga, e a energia de correlac~ao associada as impurezas. Os resultados s~ao discutidos no contexto dos modelos ja existentes na literatura, assim como os casos limites para os quais existem resultados exatos. Os resultados encontrados est~ao de acordo com os casos limites conhecidos e s~ao interessantes. Mostram tambem a importância de se considerar todas as interac~oes impureza-impureza, fato negligenciado ate agora na literatura. xi.

(13) xii.

(14) Abstract We study the two impurity Anderson Model Hamiltonian via a Greens function decoupling scheme. This case turns out to be equivalent to the Coherent Potential Approximation (CPA) and furthermore equivalent to the Hubbard-I approximation. We consider all one and two body impurity-impurity interactions. The parameters associated to the latter include: the intra and intersite Coulomb repulsion, direct (band) hopping, correlated hopping and the exchange term. All of the above are modeled via Slater atomic orbitals, and here we consider the simplest model, non degenerate single impurity level. Including the host metal the resulting independent parameters are: The impurity-metal hybridization constant, the metal host carrier density, the associated Fermi wavevector, the atomic orbital width and the impurity-impurity distance. For the zero temperature case and in the so called band half

(15) lled regime (impurities levels half

(16) lled, in the mean) we compute the impurities spectral densities (density of states), spin and charge correlation functions, their respective susceptibilities and the correlation energy. We discuss our results considering the existing literature as well as the exact results for particular limiting cases. Our results agree with the latter and also yield interesting consequences, among others: the importance of including all impurity-impurity interactions, hitherto not considered.. xiii.

(17) xiv.

(18) Conteudo Agradecimentos. ix. Resumo. xi. Abstract. xiii. Lista de Figuras. xvii. 1. Introdu c~ ao. 2. Modelo: Hamiltoniano e Fun c~ oes de Green Associadas. 13. 2.1 O Hamiltoniano de Anderson para duas impurezas . . . . . . . . . . . . . . .. 13. Solu c~ oes com Diversas Simetrias. 35. 3.1 Caso m n~ao nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.2 Caso M n~ao nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.3 Caso Q n~ao nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.4 Caso molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4. Densidade de Estados, Suscetibilidades, Fun c~ oes de Correla c~ ao e Energia. 45. 5. Resultados. 53. 6. Conclus~ oes. 87. A. F ormulas Gerais para. 3. 1. Band Filling. Arbitr ario. xv. Ni. 99.

(19) B. Artigo publicado no Physica B. 105. xvi.

(20) Lista de Figuras 1.1 O efeito do ordenamento magnetico na resistividade com alta concentrac~ao de impurezas de Mn em Cd devido as interaco~es impureza-impureza fornecendo um maximo a baixa temperatura [17]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1 Esquema das energias de interac~oes neste modelo de Anderson de duas impurezas. 29 2.2 Parâmetros de Slater versus distância impureza-impureza para a = ao , caso da banda semicheia, kF = 1=ao e = 1eV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 2.3 Parâmetros de Slater versus distância impureza-impureza para a = 2ao , caso da banda semicheia, kF = 1=ao e = 1eV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.4 Parâmetros de Slater versus distância impureza-impureza para a = 3ao , caso da banda semicheia, kF = 1=ao e = 1eV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 5.1 Densidade de estados, normalizada pelo parâmetro de hibridizac~ao impurezametal , para varias larguras de orbitais. Com R = 4a, = 1eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 5.2 Densidade de estados, n~ao normalizada por , para varios parâmetros de hibridizac~ao impureza-metal. R = 12ao , a = 3ao , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . Para os diversos valores dos parâmetros vide pagina 55 deste texto. 57 5.3 Densidade de estados, normalizada pelo parâmetro de hibridizac~ao impurezametal , para varias distâncias impureza-impureza R. Com = 1eV , a = 3ao , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii. 58.

(21) 5.4 Densidade de estados normalizada por 0 = (R ! 1) para diferentes valores de hibridizaca~o impureza-metal. As densidades de estados e 0 s~ao calculadas na energia de Fermi (! = 0). Caso da banda semicheia e kF = 1=ao . Para ! 1, tem-se que = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 5.5 Densidade de estados, normalizada por 0 = (R ! 1), na energia de Fermi (escala log) versus distância impureza-impureza para varias larguras de orbitais. As densidades de estados e 0 s~ao calculadas na energia de Fermi (! = 0). Para = 1eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . .. 63. 5.6 Suscetibilidade uniforme para diferentes valores de hibridizac~ao impureza-metal, caso da banda semicheia e a = 3ao e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.7 Suscetibilidade uniforme para diferentes larguras de orbitais. = 1eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 5.8 Raz~ao suscetibilidade uniforme para duas impurezas pelo dobro da suscetibilidade uniforme de uma impureza, para diferentes larguras de orbitais. = 1eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 5.9 Suscetibilidade uniforme para parâmetros de hopping efetivo, equac~ao (2.110) com (") e sem ("o ) o termo oscilatorio RKKY para um valor grande de hibridizaca~o impureza-metal, = 10eV . Caso da banda semicheia, a = 3ao . . . .. 67. 5.10 Suscetibilidade uniforme para diferentes larguras de orbitais. = 0; 01eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 5.11 Suscetibilidade staggered para diferentes valores de hibridizac~ao impurezametal, caso da banda semicheia, a = 3ao e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . .. 74. 5.12 Suscetibilidade staggered para diferentes larguras de orbitais, = 1eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 5.13 Suscetibilidade staggered para diferentes larguras de orbitais. = 0; 01eV , caso da banda semicheia, kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. 5.14 Suscetibilidade de carga para diferentes valores de hibridizac~ao impureza-metal, caso da banda semicheia e a = 3ao e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77. 5.15 Suscetibilidade de carga para diferentes larguras de orbitais, com = 1eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. xviii.

(22) 5.16 Suscetibilidade de carga para diferentes larguras de orbitais. = 0; 01eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17 Funca~o de correlac~ao interstios para diferentes valores de hibridizac~ao impurezametal, caso da banda semicheia, a = 3ao e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . 5.18 Funca~o de correlac~ao intrastio para diferentes valores de hibridizaca~o impurezametal, caso da banda semicheia, a = 3ao e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . 5.19 Funca~o de correlac~ao interstio para diferentes larguras de orbitais, com = 1eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20 Funca~o de correlac~ao intrastio para diferentes larguras de orbitais, com = 1eV , caso da banda semicheia e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.21 Energia de correlac~ao (energia e nula em R ! 1) em unidades de , para diferentes valores de hibridizac~ao impureza-metal. Caso da banda semicheia, para a = 3ao e kF = 1=ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.22 Energia de correlac~ao (energia e nula em R ! 1) para diferentes larguras de orbitais das impurezas. Caso da banda semicheia, = 1 eV e kF = 1=ao . . .. xix. 79 80 81 82 83. 85 86.

(23) xx.

(24) Cap tulo 1. Introduc~ao Na Fsica da materia condensada contemporânea se destaca o estudo dos sistemas eletrônicos fortemente correlacionados [1]-[2]. Entende-se por correlac~oes eletrônicas, os efeitos coulombianos [3]-[8] que n~ao podem ser modelados, ou simplesmente, s~ao desprezados pelo tradicional metodo de Hartree-Fock (HF) [9]. Nos sistemas relevantes estudados, as interac~oes coulombianas, alem das consideradas por HF, constituem a chave para explicar, modelar e predizer a grande variedade de fenômenos observados nos ultimos 30 a 40 anos. Pode-se mencionar, como exemplo, a transica~o metal-isolante, a grande diversidade de fases magneticas, de carga, de ligaco~es qumicas alternadas [10] e outras propriedades (calorimetricas, oticas, de transporte, espectrais, etc). Tambem o estudo dos novos compostos que exibem supercondutividade de alta temperatura crtica tem dado impulso ao consideravel desenvolvimento de tecnicas e aplicac~oes experimentais, modelos e metodos no progresso dessa area. Esse interesse, evidentemente tambem, e dirigido ao estudo das fases normais (n~ao supercondutoras ja mencionadas) [1]. Os compostos eletrônicos denominados fortemente correlacionados, por exemplo, os fermions pesados [1], compostos de valências utuantes, ou ligas magneticas diludas [10], em geral s~ao compostos de metais de transic~ao, terras raras ou actindeos, e apresentam caractersticas distintas e algumas vezes anômalas em suas propriedades fsicas, quando comparados com metais convencionais. Essas novas caractersticas se devem as correlac~oes dos eletrons 3d (metais de transica~o), 4f (lantandeos) ou 5f (actindeos) [11]-[15]. Para o caso de um metal simples, o calor espec

(25) co pode ser escrito na forma C (T ) = 1.

(26) 2. T + BT 3, onde e o coe

(27) ciente do calor espec

(28) co, o qual e proporcional a densidade eletrônica no nvel de Fermi, e B e a contribuic~ao dos fônons para o calor espec

(29) co. Para baixas temperaturas ( 10 K) nos sistemas de fermions pesados, o calor espec

(30) co eletrônico e linear na temperatura e o coe

(31) ciente e da ordem de 102 a 103 vezes o dos metais convencionais. Desta propriedade de deriva o nome de fermions pesados, sendo que o e proporcional a massa efetiva dos eletrons de conduc~ao. A suscetibilidade magnetica, a baixas temperaturas, e constante para fermions pesados e metais convencionais, sendo tambem proporcional a massa efetiva dos eletrons de conduca~o. E interessante apresentar e classi

(32) car, brevemente, os experimentos importantes sobre impurezas magneticas em hospedeiro metalico [16]-[26] em duas amplas categorias de acordo com a escala de energia envolvida. A primeira categoria e para escala de alta energia, da ordem de varios eletrons volts, incluindo experimentos opticos e de fotoemiss~ao. A segunda categoria inclui experimentos na escala termodinâmica, 1-500 K. Esta cobre diversas variedades de experimentos, os quais podem ser subdividos em medidas de propriedades termodinâmicas (suscetibilidade, calor espec

(33) co), propriedades de transporte (resistividade, magnetoresistência, termopower [1]). As respostas dinâmicas nesta escala de energia s~ao semelhantes as do espalhamento de nêutrons. Finalmente, existem experimentos que envolvem acoplamento hiper

(34) no do nucleo, semelhante a ressonância magnetica nuclear [22], orientac~ao nuclear [23] e experimentos Mossbauer [24]. Estes s~ao sondas locais e d~ao informac~oes detalhadas sobre a densidade de carga e de spin induzidas no hospedeiro metalico na vizinhanca da impureza. Nas espectropias de altas energias, os experimentos opticos nos anos 60 foram uns dos primeiros tipos de medida que deram evidências direta do estado virtual ligado, descrevendo estados de impureza em um metal hospedeiro. Para detectar estes nveis, grande concentrac~ao de impurezas da ordem de 10-20 % foram usados. As posic~oes dos estados virtuais n~ao variam signi

(35) cantemente com a concentrac~ao. Estes experimentos, essencialmente, s~ao medidas de absorc~ao, onde os fotons induzem transico~es interbandas eletrônicas. A intensidade da absorc~ao depende da densidade dos estados inicial e

(36) nal separados pela frequência do foton absorvido. Porem, em fotoemiss~ao e bremsstrahlung isochromat spectroscopy [25], um eletron e removido ou adicionado ao sistema. Existe, nesta tecnica, uma comparac~ao mais detalhada entre teoria e experimento, particularmente para sistemas de terras raras. Como.

(37) 3 a escala de energia considerada nestes experimentos e da ordem de varios eletron volts, n~ao e razoavel desprezar a dependência do parâmetro impureza-metal com a frequência do foton absorvido. As medidas termodinâmicas de interesse primario, para sistemas de impurezas magneticas, s~ao medidas de contribuic~oes das impurezas para a suscetibilidade magnetica, o calor espec

(38) co e a magnetizac~ao induzida em um campo aplicado. Os calculos destas quantidades têm sido feitos desprezando a energia das interac~oes spin-orbita e do campo cristalino, os quais necessitam ser levados em conta para fazer predic~oes para sistemas espec

(39) cos para comparar com resultados experimentais. Existe uma diferenca entre as impurezas dos metais de transic~ao e das terras raras em relativa ordem destes efeitos. Como os eletrons 4f em ons de terras raras se estendem muito mais proximos dos nucleos que os eletrons 3d em ons de metais de transic~ao, e se estendem no interior das camadas 5d, eles s~ao um grande escudo estendido do ambiente local, levando como consequência as interac~oes spin-orbita serem mais fortes que as interac~oes do campo cristalino para impurezas de terras raras. Existem algumas ligas de terras raras da forma Rx M1 x C [1] onde um componente magnetico de terra rara R substitui um elemento de n~ao terra rara M, os quais s~ao ainda paramagneticos a baixa temperatura ou apenas ordenado magneticamente a temperatura muito baixa, geralmente com um momento magnetico reduzido. Estas similaridades têm levado essas ligas serem classi

(40) cadas como sistemas densos de Kondo ou redes de Kondo, cujo bom exemplo e Y bx Y1 x CuAl [1], neste caso a suscetibilidade e func~ao da temperatura para 0 < x < 1, onde x e a concentrac~ao de impurezas. A suscetibilidade a temperatura nula varia linearmente com x sobre um grande alcance de concentrac~ao enquanto a posic~ao do maximo e sempre independente de x. Nestes sistemas, as interac~oes entre os momentos magneticos parecem ser muito reduzidas comparadas com os compostos normais de terras raras. Este comportamento a temperaturas altas pode frequentemente ser bem explicada desprezando todas as interac~oes impureza-impureza usando os resultados do modelo de uma impureza. As propriedades termicas e de transporte s~ao fontes ricas de informac~oes nos efeitos de muitos corpos. As propriedades de transporte como condutividade, termopower e a relac~ao de Lorentz (raz~ao entre a condutividade termica e o produto da condutividade e a temperatura) [1] apresentam efeitos das impurezas magneticas na resistividade de metais simples, os quais provocaram o interesse inicial nestes sistemas. Uma importante observac~ao experimental foi a.

(41) 4 correlac~ao do termo Curie-Weiss na suscetibilidade com a ocorrência e intensidade do mnimo de resistência [16]. Isto estimulou o trabalho de Kondo levando a sua descoberta dos termos logartmicos na temperatura devido ao espalhamento do spin dos eletrons de conduc~ao com o momento local e a consequente explicac~ao do mnimo de resistência. O aumento anômalo no espalhamento dos eletrons de conduc~ao nos efeitos da temperatura nas outras propriedades de transporte, como a resistividade. Elas s~ao todas realcadas as baixas temperaturas devido a densidade de baixas excitac~oes de energia na ressonância de Kondo [1], a qual sempre esta situado, ou muito proximo, ao nvel de Fermi. Para sistemas com baixas temperaturas de Kondo e difcil desconsiderar os efeitos das interac~oes impureza-impureza, particularmente para sistemas 3d onde interac~oes de impurezas podem ser observadas sempre para concentrac~oes muito baixas. Para sistemas com alta temperatura de Kondo e temperaturas acima da temperatura de Kondo aparece a contribuic~ao dos fônons, os quais aumentam rapidamente com a temperatura. A di

(42) culdade existente, em trabalhos experimentais recentes, e extrair a dependência com a temperatura da contribuic~ao de impureza simples para a resistência eletrica das impurezas, para temperaturas muito menores que a temperatura de Kondo, isso devido a efeitos de interac~ao impureza-impureza, os quais em alta concentrac~ao podem levar a comportamento de vidro de spin e ordenamento magnetico [1]. Efeitos de interac~ao impureza-impureza levam ao ordenamento magnetico e a supress~ao do espalhamento de spin de baixa energia podendo resultar em maximos e mnimos da resistividade como pode ser visto nos resultados de Hedgcock & Rizzuto [17] para Mn em Cd a baixas temperaturas como na

(43) gura 1.1. As interac~oes impureza-impureza apresentam menos problemas para terras raras do que as impurezas de metais de transica~o e consequentemente e possvel obter resultados sobre um amplo intervalo de temperatura. Em comparac~ao com a teoria, a principal caracterstica das impurezas e que induzem propriedades de transporte como func~ao de temperatura e do campo magnetico, que podem ser satisfatoriamente explicadas. Um dos caminhos mais diretos para obter informac~oes sobre as excitac~oes de um sistema, numa faixa de energia termica, e por espalhamento de nêutrons lentos. Esta tecnica tem sido aplicada para ligas magneticas diludas para investigar o comportamento de ons de impurezas simples sem seus ambientes locais. Têm-se como exemplos de sistemas estudados Mn em Cu [18] e Fe em Au [26]. Como em outros tipos de medidas espectrais existem di

(44) culdades de.

(45) 5 trabalhar com baixa concentrac~oes para evitar os efeitos de interac~oes impureza-impureza..

(46) 6 .. Figura 1.1: O efeito do ordenamento magnetico na resistividade com alta concentrac~ao de impurezas de Mn em Cd devido as interac~oes impureza-impureza fornecendo um maximo a baixa temperatura [17]..

(47) 7 Existem um numero de ligas concentradas e compostos de Ce e Yb cuja resposta ao espalhamento de nêutrons parecem re etir o comportamento de um on simples. Estes s~ao sistemas principalmente paramagneticos e parecem ter fracas interac~oes impureza-impureza. Varias delas semelhantes a YbCuAl e CeSn3 . Agora e interessante fazer um breve comentario sobre algumas teorias importantes. Existem muitas tentativas [12] para construir Hamiltonianos descrevendo impurezas reais em metais reais, este trabalho esta longe de ser completado. O modelo de Anderson considera uma impureza magnetica imersa num hospedeiro metalico n~ao magnetico, e estuda, dentre outras coisas, a formac~ao de momentos magneticos localizados no metal hospedeiro. Conhece-se a soluc~ao exata para um caso particular [12]. O modelo de Anderson de uma impureza [27]-[30] e o modelo mais simples para estudar impurezas magneticas no metal hospedeiro n~ao magnetico, sendo que se desprezam as interaco~es impureza-impureza. O metal interage apenas com uma impureza por vez. O problema da impureza isolada e compreendido a nvel qualitativo e quantitativo. Porem, o modelo de duas impurezas [31]-[45] e um modelo simpli

(48) cado para estudar as interac~oes impureza-impureza. Este caso ainda n~ao e entendido na sua totalidade, sendo que n~ao existe soluca~o exata, exceto nos casos limites. E tambem o caso precursor para estudar a rede de Anderson (modelo periodico de Anderson). O modelo de Anderson de uma impureza possui dois parâmetros (energias) caractersticos, o primeiro e o parâmetro de hibridizac~ao impureza-metal = hjVk j2 i(F ), onde Vk e a energia associada ao hopping eletrônico impureza-metal, e a media < jVk j2 > e calculada na superfcie de Fermi do metal hospedeiro, e (F ) e a densidade de estado do metal hospedeiro no nvel de Fermi. O segundo parâmetro e a energia coulombiana intrastio da impureza U , resultando numa unica escala de energia U= (A energia do stio de uma impureza E e absorvida na de

(49) nic~ao de potencial qumico). O modelo de Anderson de duas impurezas, a ser considerado neste trabalho, e o mais simples, e relevante para um estudo embrionario de rede periodica de Anderson. Aqui se considera a concorrência entre as diversas interaco~es, alem das consideradas no modelo de uma impureza. Neste caso, os termos s~ao os seguintes: a) as energias intrastio das impurezas (termo diagonal no Hamiltoniano ) E , = 1; 2 o ndice das impurezas. Neste trabalho, considera-se o caso mais simples, um nvel n~ao.

(50) 8 degenerado por impureza [50], [51] ; b) a transferência (hopping) eletrônica interimpureza (termo n~ao diagonal) t; c) a repuls~ao coulombiana intrastio (termo diagonal) U; d) a repuls~ao coulombiana interstio (termo diagonal) W; e) a transferência eletrônica interimpureza correlacionada (correlated hopping) (termo n~ao diagonal) V; f) o termo de exchange (troca) interimpureza (termo n~ao diagonal) J, e g) a hibridizac~ao impureza-metal (termo n~ao diagonal) Vk . Comparando com o caso de uma impureza, as novas interaco~es consideradas s~ao t, W, V e J de

(51) nidas acima, e obedecem uma hierarquia aproximada (U > W > V > J ). Em geral, na literatura s~ao desconsiderados os termos das interaco~es W, V e J e nos casos que s~ao considerados todos ou alguns deles deles, eles s~ao variados independentemente uns dos outros [31], [46]-[49]. Neste trabalho, mostraremos a relevância destes termos e sendo que o numero de parâmetros e muito grande, varrer todos esses parâmetros independentemente e do ponto de vista tecnico pouco pratico. Do ponto de vista formal, estes parâmetros n~ao s~ao independentes e nossa contribuic~ao tambem inclui uma reparametrizac~ao desses parâmetros. Esse procedimento visa reduzir os parâmetros a um conjunto menor de parâmetros independentes e preservar as relaco~es fsicas mencionadas acima. Todos os parâmetros podem ser escritos como integrais que envolvem os orbitais atômicos das impurezas. No caso considerado, um nvel eletrônico n~ao degenerado por impureza, uma aproximac~ao simples e relevante consiste em considerar orbitais de Slater [50]-[51] hidrogenoides tipo s. Como resultado desta reparametrizac~ao, os diversos termos de interac~ao s~ao reduzidos a um conjunto menor de dois novos parâmetros independentes: a distância R impureza-impureza e a largura do orbital denotado por a. No trabalho apresentado, os parâmetros independentes a serem considerados s~ao: R e a de

(52) nidos acima, a hibridizaca~o impureza-metal , o vetor de onda de Fermi kF do metal, alem dos usuais, os quais s~ao o numero medio total de ocupac~ao das impurezas e a temperatura. Foi desconsiderado o termo de hopping correlacionado impureza-metal [52], resultando num termo efetivo de hibridizac~ao, que depende da ocupac~ao dos estados da impurezas e do metal. Este termo sera abordado em trabalhos posteriores. Porem todos os termos de um e dois corpos das impurezas s~ao considerados neste trabalho..

(53) 9 O efeito Kondo [28]-[30], ou seja, a blindagem do momento magnetico da impureza pelos eletrons de conduc~ao, origina-se da concorrência entre a hibridizaca~o impureza-metal e a repuls~ao coulombiana U. Este efeito deriva da interac~ao do metal hospedeiro com a impureza e o Hamiltoniano que descreve este efeito, o modelo de Kondo, resulta ser um caso particular do modelo de Anderson [35]. A interac~ao RKKY [33] se origina tambem a partir da hibridizac~ao impureza-metal, resultando numa interac~ao efetiva (indireta) entre impurezas. Embora ambos os efeitos tenham a mesma origem, no efeito Kondo, o metal blinda o momento magnetico de uma impureza, e a interac~ao RKKY ordena magneticamente as impurezas via a hibridizac~ao impureza-metal. Para o caso de mais de uma impureza, o efeito Kondo e a interac~ao RKKY concorrem. Neste trabalho e possvel estudar esta concorrência. Neste trabalho e apresentado um esquema de desacoplamento das func~oes de Green, visando a incorporac~ao dos efeitos de correlac~ao desconsiderados na aproximac~ao de HF. O esquema de desacoplamento proposto resulta ser equivalente ao esquema dos campos efetivos, neste caso, um Coherent Potential Approximation CPA [53]-[64] generalizado ao caso de duas impurezas (cluster). Tambem, sendo que as impurezas podem ser consideradas como um caso de uma banda sem dispers~ao, o resultado resulta ser equivalente a aproximac~ao Hubbard-I [47]. Neste trabalho, estudamos um modelo generalizado de Anderson para duas impurezas. S~ao calculadas diversas suscetibilidades (magneticas e de carga), a densidade espectral de estados (as contribuic~oes das impurezas), diversas func~oes de correlac~ao e a energia de correlaca~o; variando a distância impureza-impureza e a largura do orbital da impureza, para valores dados dos outros parâmetros. Neste trabalho, consideramos o caso de temperatura nula e de banda semicheia (um portador por impureza, na media). Os resultados deste trabalho contribuem para uma melhor compreens~ao da concorrência do efeito Kondo e a interac~ao RKKY, estabelecendo os fundamentos para um estudo da rede de Anderson e monitorar as de

(54) ciências e virtudes do metodo CPA. Muitas aproximac~oes têm sido aplicadas ao modelo de Anderson como por exemplo: HF [31], metodo variacional [36]-[39], diagonalizaca~o direta [37], metodo perturbativo [40], Monte Carlo [41], [42], Grupo de Renormalizaca~o numerico (RG) [43], [44] e o metodo de bosons escravos [45]. Entre as grandezas calculadas, por exemplo, menciona-se a suscetibilidade staggered S ..

(55) 10 Esta suscetibilidade diverge ou n~ao, dependendo do metodo utilizado. Jones et al [43] encontraram que S diverge no caso que o acoplamento antiferro interstio e igual ou o dobro da temperatura de Kondo do modelo de uma impureza. Recentemente Yanagisawa [36] investigou um sistema de tamanho pequeno com duas impurezas de Anderson e encontrou que a suscetibilidade staggered, S , apresenta uma anomalia

(56) nita. Por outro lado, Fye e Hirsch [41] investigaram o modelo de Anderson de duas impurezas de Anderson pelo metodo de Monte Carlo e n~ao encontraram divergência na suscetibilidade staggered S . T. Saso e H. Kato [38] trabalharam com o metodo variacional aplicado ao modelo de Kondo para duas impurezas acopladas e encontraram que S diverge. Os metodos de Monte Carlo quântico [42] e de bosons escravos [45] n~ao encontraram a divergência de S . Cada tecnica [39] tem suas virtudes e limitac~oes. O grupo de renormalizac~ao numerico e aplicada a nosso modelo e poderia testar nossa aproximac~ao. Este e um metodo exato, o qual tem grande sucesso na soluc~ao do modelo de uma impureza e tambem de duas impurezas [43], e seria uma boa forma de testar nossa aproximac~ao. O metodo de Monte Carlo [41], [42] e tambem exato, mas tem problema de convergência no regime de baixas temperaturas. Em referência aos metodos aproximados, as tecnicas de campo medio de bosons escravos s~ao simples de implementar e podem ser estendidas prontamente para a rede, mas como tpicas do campo medio, algumas utuac~oes s~ao negligenciadas. O metodo variacional [36]-[39] fornece uma funca~o de onda do estado fundamental e uma simples descric~ao da Fsica envolvida. Os resultados dependem da escolha das bases e as propriedades de lquido de Fermi n~ao podem ser estudadas por este metodo, um fato que n~ao e frequentemente enfatizado. A metodologia usada, neste trabalho, foi utilizar um metodo de desacoplamento das func~oes de Green, resolvendo assim, equac~oes de movimento para essas func~oes [63]. A soluc~ao (aproximada) resultou ser equivalente ao metodo dos campos efetivos [10], [59]. Este metodo aproximado permite calcular as diversas grandezas num contexto de um quadro fsico intuitivo, que descreve a fsica essencial e exato nos regimes de limites conhecidos. Permite tambem o gerenciamento dos diversos parâmetros considerados. O aspecto inedito consiste em considerar parâmetros n~ao includos nos diversos estudos ja mencionados, e tambem em reduzir esses parâmetros a um conjunto relevante de parâmetros independentes. Assim foram calculadas as func~oes de Green relevantes. A partir dessa, foram calculados os numeros medios de ocupaca~o das impurezas (equac~oes autoconsistentes, em princpio). As.

(57) 11 diversas soluc~oes, para esses numeros de ocupac~ao, podem ser classi

(58) cadas segundo simetrias de tipo antiferromagnetica, tipo ferromagnetica, e simetria de carga [10], [46] e [61]. No caso considerado neste trabalho (temperatura nula e caso de banda semicheia) a unica soluc~ao fsica encontrada corresponde ao caso homogêneo (desordenado). Este Captulo 1 contem uma introduc~ao geral aos aspectos teoricos e uma breve exposic~ao de aspectos experimentais, relevantes ao trabalho desenvolvido. No Captulo 2, apresenta-se o Hamiltoniano do problema, as equac~oes de movimento para as diversas func~oes de Green, o metodo de desacoplamento utilizado, e a conex~ao desses resultados com o metodo dos campos efetivos [10], [60], tambem s~ao apresentadas as func~oes de Slater hidrogenoide apropriadas para reparametrizar os parâmetros originais. No Captulo 3, estudam-se as diversas possveis soluco~es para os numeros de ocupaca~o das impurezas, considerando diversas simetrias para o caso de banda semicheia. Em apêndice A apresentam-se as equac~oes para o caso mais geral, visando trabalhos posteriores nesse sentido. No Captulo 4 s~ao calculadas analiticamente as grandezas fsicas relevantes: densidade espectral de estados, suscetibilidades magneticas e de carga, diversas funco~es de correlac~oes e a energia de correlac~ao do modelo. O Captulo 5 apresenta os resultados encontrados. No Captulo 6 as conclus~oes s~ao apresentadas, resumindo, discutindo, comentando e comparando os resultados obtidos. Discute-se tambem as possveis extens~oes visando futuros trabalhos. Em Apêndice B inclui-se uma copia de um artigo aceito no Physica B relacionado com o presente trabalho..

(59) 12.

(60) Cap tulo 2. Modelo: Hamiltoniano e Funco~es de Green Associadas Neste captulo e apresentado o Hamiltoniano de duas impurezas, o qual e resolvido atraves de um esquema de desacoplamento das func~oes de Green. Neste caso, o resultado e equivalente a aproximac~ao de potencial coerente (CPA) ou metodo dos campos efetivos.. 2.1. O Hamiltoniano de Anderson para duas impurezas. O Hamiltoniano de Anderson para duas impurezas imersas num metal hospedeiro n~ao magnetico e dado por [10]: X H = "k nk + H1 + Hn ; (2.1) k. onde o primeiro termo e o Hamiltoniano usual para os eletrons de conduc~ao (banda "k ) do metal hospedeiro. O Hamiltoniano (exato) das impurezas, H1 , e dado por. H1 =. X. . +. W. J + 2. UX W (tdy d + c:c:) + n n + 2 2 X X J n n + V dy d (n ; + n ; ). E n + 2. X. . . X. dy d (dy ; d ;. X. . n n ;. . . . + dy ; d ; ):. (2.2). Os diversos parâmetros s~ao de

(61) nidos a seguir: a) os termos de um corpo: os diagonais E , energias intrastio das impurezas (considera-se o caso mais simples, de um nvel n~ao degene13.

(62) 14 rado por impureza), e o termo n~ao diagonal t (como e usual escolhe-se real), transferência eletrônica interimpureza; b) os termos de dois corpos: os diagonais U, repuls~ao coulombiana intrastio, e W, repuls~ao coulombiana interstio diagonal; e os termos n~ao diagonais V, hopping interimpureza correlacionado; e J, exchange (troca) interimpureza. Sendo S = 21 , o operador de spin eletrônico no stio . No Hn inclui-se a interaca~o impureza-metal, dada por. Hn =. 1 pN. X. S k. (Vk cyk d + c:c:);. (2.3). onde Vk e a hibridizaca~o impureza-metal (n~ao diagonal), NS e numero total de stios [9]. Existe um caso de grande interesse se o numero de stios for igual ao numero de eletrons (ou buracos), ele e denominado caso de banda semicheia. Por analogia e conveniência, se o numero de eletrons nas impurezas preenchem (na media) a metade dos nveis das impurezas, denomina-se, tambem, de caso de banda semicheia [62]. No caso considerado, duas impurezas com um nvel n~ao degenerado (exceto pelo spin) por impureza, o numero total de nveis e 4, e o caso de banda semicheia tem o numero medio total de eletrons das impurezas Ni = 2. Os dy0 s e cy0k s s~ao os usuais operadores criaca~o para as impurezas e os eletrons de conduc~ao, respectivamente, e n = dy d e nk = cyk ck s~ao os respectivos operadores de numeros. O vetor de onda do eletron de conduc~ao k esta na primeira zona de Brillouin, e e o ndice de spin, e o ndice de stio 6= = 1; 2. O Hamiltoniano da equac~ao (2.2) pode ser escrito tambem da forma equivalente [10],[72]:. H1 =. X. . +V. E n + X. . U (tdy d + c:c:) + 2 . X. dy d (n ;. . + n ; ) J. X. . X. n n. S~ S~ + J. sendo S~ = 12 ~ o operador de spin eletrônico no stio . ~ =. . . 0. d " d # ~ @. d " d #. + X. W. 2. J X 2 n n 0 . dy " dy # d # d " ;. (2.4). 1 A;. (2.5). e as componentes de ~ dadas pelas matrizes de Pauli 0. x = @. 0 1 1 0. 1 A;. 0. y = @. 0 -i i 0. 1 A;. 0. z = @. 1 0. 0 1. 1 A:. (2.6).

(63) 15 O termo de hopping correlacionado impureza-metal, ja mencionado na introduca~o, pode ser incorporado no Hamiltoniano Hn da forma. Hn. Hn. 1 pN. X. S k. Vkd0 n ; (cyk d + c:c:):. (2.7). De

(64) ne-se o parâmetro segundo a usual de

(65) nic~ao do parâmetro efetivo de hibridizac~ao entre a impureza-metal [1]: = < jVk j2 > ("F ), onde ("F ) e a densidade de estados do metal hospedeiro medida no nvel de Fermi. Nesse caso e considerado uma densidade de estados metalica com banda larga e de variac~ao lenta perto do nvel de Fermi [27]. A media < jVk j2 > e calculada na superfcie de Fermi do metal hospedeiro. O termo Vk satisfaz a relaca~o de fase [31] Vk1 = ei~k:R~ Vk2 ; (2.8) sendo R~ = R~ 1 R~ 2 a distância impureza-impureza. A relaca~o de fase se deve ao fato que as duas impurezas est~ao em dois stios quaisquer da rede periodica do hospedeiro. A energia de um corpo associada ao problema e de

(66) nida por. T (r ) =. 2 X. ~2 r2. eZ jr R j ; =1. 2m. (2.9). sendo Z a carga do nucleo (Z = 1 neste caso), e e m a carga e a massa do eletron, respectivamente. O potencial coulombiano eletrônico e dado por. v(r r0 ) =. e2. jr r0j :. (2.10). Para as impurezas associam-se func~oes ortogonais (r) do tipo Wannier: uma combinac~ao linear de orbitais atômicos (e neste caso reais). De

(67) nem-se a densidade (r) = (r) (r) e o termo de troca (exchange) X (r) = (r) (r). Logo, os elementos de matriz do Hamiltoniano (equaca~o (2.1)) podem ser classi

(68) cados como: a energia do stio Z. E = h jT j i = o salto (hopping) impureza-impureza. t = h jT j i = a repuls~ao intrastio. U = h jvj i =. Z. Z. dr (r)T (r) (r);. dr (r)T (r) (r);. drdr0 (r)v(r r0 ) (r0 );. (2.11). (2.12). (2.13).

(69) 16 a repuls~ao interstio. W = h jvj i =. Z. drdr0 (r)v(r r0 ) (r0 );. (2.14). o salto correlacionado. V = h jvj i = h jvj i = h jvj i = h jvj i =. Z. drdr0 (r)v(r r0 )X (r0 ); (2.15). e a integral de troca. J = h jvj i = h jvj i =. Z. drdr0 X (r)v(r r0 )X (r0 ):. (2.16). Apresentam-se, agora, algumas das propriedades do formalismo de Zubarev (com ~ = kB = 1) [47], [63]. Considerando-se um operador qualquer A, sua evoluc~ao temporal e dada no formalismo de Heisenberg por dA i = [A(t); H ] (2.17) dt sendo A(t) = eiHt Ae iHt ; (2.18) e [; ] denota anticomutador e comutador, respectivamente. H e o operador Hamiltoniano grande canônico H ! H N0 , e o potencial qumico, o operador de numero N0 inclui o numero de eletrons do metal hospedeiro Ne e das impurezas Ni do modelo (N0 = Ni + Ne ), e assim Ne incorpora-se ao Hamiltoniano do hospedeiro e Ni ao Hamiltoniano H1 . No ensemble grande canônico [66], o operador densidade e expresso como. = Z 1e.

(70) H ;. (2.19). sendo Z (; V; T ) = T r e

(71) H a funca~o grande partica~o do sistema. V e T =

(72) 1 s~ao o volume e a temperatura do sistema, respectivamente. A media estatstica de um operador dado A no ensemble grande canônico e dado por. hAi = Z 1T r e.

(73) H A:. (2.20). De

(74) ne-se a funca~o de Green retardada GAB (t) para dois operadores fermiônicos dados A e B , pela express~ao. GAB (t) = hhA(t) : B ii = i(t) [A(t); B ]+ ; (2.21).

(75) 17 e diferenciando em relac~ao a t, obtem-se. dG d(t). i AB = [A(t); B ]+ + dt dt. . dA(t) i : B (0) dt. . +. ;. (2.22). onde a funca~o degrau e de

(76) nida em termos da func~ao delta de Dirac. =. Z t. 1. Æ(t)dt;. (2.23). Considerando as equac~oes (2.17) e (2.23) para A(t), pode-se escrever a equac~ao (2.22) na forma. i. . . dGAB = Æ(t) [A; B ]+ + [A(t); H ] : B = Æ(t) [A; B ]+ + GDB ; dt. (2.24). sendo D = [A(t); H ] . A equac~ao anterior (2.24) relaciona uma dada func~ao de Green com uma outra de ordem superior, resultando numa recorrência hierarquica de ordem in

(77) nita. Neste trabalho, sera implementado um metodo de desacoplamento, gerando um sistema consistente e fechado de equaco~es de movimento para as funco~es de Green relevantes. De

(78) ne-se a transformada de Laplace das func~oes de Green retardadas, dada por [47], [63]: Z 1. GAB (!) = hhA : B ii! = i dtei!t [A(t); B ]+ (2.25) 0. com Im ! = 0+ , resultando nas equac~oes de movimento. ! hhA : B ii! = h[A; B ]+ i + [A; H ] : B. . !:. (2.26). Os valores esperados (medias estatsticas) [10] s~ao de

(79) nidos em termos do funcional espectral S: Z1 1 hBAi = S [GAB ] = Im d!GAB (!)f (! ); (2.27) 1 onde f e a distribuica~o de Fermi-Dirac. f (x) = (1 + exp

(80) x) 1 :. (2.28). A primeira aproximac~ao, feita neste trabalho, e considerar na aproximac~ao Hartree-Fock (HF), as contribuic~oes dos spins paralelos, do hopping correlacionado e de troca, trata-se do quinto, sexto e setimo termos da equac~ao (2.2), respectivamente. No caso do termo dos spins paralelos [10], [47] e [60], essas correlac~oes s~ao pequenas quando comparadas com as de spins.

(81) 18 antiparalelos. Essencialmente, nesta aproximaca~o HF dados dois operadores quaisquer A e B , o produto e aproximado por. AB ! AhB i + hAiB. hAihB i;. (2.29). onde hAi e hB i s~ao os valores esperados dos operadores A e B , respectivamente. Para deduzir a equac~ao (2.29), considerando ÆA e ÆB as utuac~oes em torno da media dos operadores A e B, temos que. hAi + ÆA; B = hB i + ÆB;. hAi; ÆB = B hB i;. A =. ÆA = A. (2.30). resultando em. AB hAihB i + hAiÆB + hB iÆA + ÆAÆB;. (2.31). desprezando o produto das utuaco~es (ou seja, ÆAÆB 0) obtem-se o resultado. AB hAihB i + hAiÆB + hB iÆA AhB i + B hAi. hAihB i;. (2.32). utilizando essa aproximac~ao nos termos ja mencionados acima, eles se transformam em termos de um corpo e s~ao incorporados nesses e/ou como uma constante aditiva ao Hamiltoniano. Usando a aproximaca~o Hartree-Fock, e lembrando que o Hamiltoniano a ser considerado e P grande canônico e com Ni = i hn i sendo o numero medio total de eletrons das impurezas, têm-se as seguintes substituic~oes. E ! E + 4 hn i Ni ;. (2.33). e. t ! t + V (hn ;. i + hn ; i) + J hd ; d ; i:. onde. =. W. 4. J. :. (2.34) (2.35). O ultimo termo da equac~ao (2.34) e considerado desprezvel devido ao fato que ambos, J e hd ; d ; i serem muito menores que os outros termos envolvidos nesta aproximaca~o de.

(82) 19 HF. Finalmente, considerando as aproximac~oes das equaco~es (2.33) e (2.34), o termo H1 do Hamiltoniano total pode ser reescrito como. H1 =. X. . E n +. U 2. X. . n n. W 2. +. X. . n n ;. +. X. . (tdy d + c:c:): (2.36). De

(83) nem-se as grandezas auxiliares =n

(84) ; d

(85) ;. (2.37). =n k ; ck ;. ; M

(86) = n1; n2; d

(87) = n

(88) ;

(89)

(90) 1X Mk = n1; n2; ck = n ; 2 ; k 1 X + (V d c V c+ d ); = p NS k k k k k . = t d+2 d1. td+1 d2 ;. = tÆ1 + t Æ2 :. (2.38) (2.39) (2.40) (2.41) (2.42). Fazendo-se uso das relaco~es de anticomutac~ao:. fd ; d+

(91) g = Æ

(92) ;. fck ; c+k0 g = Ækk0 ;. (2.43). hf k ; c+k0 gi = p Ækk0 ; hfMk ; c+k0 gi = p12Ækk0 ;. (2.44). avaliam-se os valores esperados. hf

(93) ; d+

(94) 0 gi = p Æ

(95)

(96) 0 ; hfM ; d+

(97) gi = p12 Æ

(98) ;. (2.45). onde os ndices de spin est~ao implcitos nas equac~oes (2.43), (2.44) e (2.45). Os p's s~ao dados por p = hn ; i; p12 = hn1; n2; i: (2.46) De

(99) nem-se as seguintes func~oes de Green:. hhd : d+

(100) ii; = hhd : c+k ii;. G

(101) = G k. Gk = hhck : d+ ii; k

(102). = hh k : d+

(103) ii;. (2.47) (2.48). e

(104). =. hh : d+

(105) ii;. (2.49).

(106) 20. R

(107) =. hh : d+

(108) ii;. (2.50). Q

(109) =. hhM : d+

(110) ii;. (2.51). onde os ndices de spin est~ao implcitos nas equac~oes (2.47), (2.48), (2.49), (2.50) e (2.51). Os comutadores necessarios para calcular as func~oes de Green s~ao 1 X V c + W ; [d ; H ] = E d + d + U + p NS k k k. (2.52). [n ; H ] = + ( 1) ; (2.53) 1 [ck ; H ] = "k ck + p (Vk d + Vk d ); (2.54) NS 1 X [ ; H ] = (E + U ) + p V + W M + (( 1) + )d + ; (2.55) NS k k k 1 (V + V ) + ck ( ); NS k k [nk ; H ] = ( + ); 1 X [ ; H ] = E + + UM + p V + W : NS k k k [ k ; H ] = "k k + p. (2.56) (2.57) (2.58). Exceto no caso U = W = V = J = 0 as equac~oes de Green

(111) cam sempre em termos de func~oes de Green mais complexas [10], [47], [60], [63]. O metodo de desacoplamento e utilizado para cortar a hierarquia nas equac~oes de movimento das func~oes de Green. Sejam A; B e C três operadores quaisquer. Por desacoplamento entende-se a aproximac~ao. hhAB : C ii = hB ihhA : C ii Utilizando essa aproximaca~o nas equac~oes (2.44) e (2,45), com B = hn ; i n ; tem-se que

(112) = n ; hhd : d+

(113) ii, R

(114) = n ; hhd : d+

(115) ii. Dessa forma a equac~ao (2.47) para G

(116) e desacoplada do resto das equac~oes (2.49), (2.50) e (2.51) e resulta equivalente a HF. Tentativas de desacoplamento de ordem superior geram diversas soluco~es que devem ser comparadas com outras aproximac~oes e limites conhecidos. N~ao existe um metodo geral para testar a coerência ou relevância dos desacoplamentos alem do HF, e as consequências devem ser estudadas caso a caso [10], [47], [60], [63] [64] e [67]. Nossa proposta e considerar o desacoplamento com B = ; onde representa ou (note-se que hi 0). Esse.

(117) 21 procedimento leva a uma estrutura de equaco~es que pode ser relacionada com outros metodos. Nesse esquema proposto um sistema consistente de equac~oes dinâmicas para as diversas funco~es de Green e obtido. Um esquema de desacoplamento visa fechar as relac~oes de recorrência das equac~oes de movimento para as funco~es de Green e assim produzir um sistema

(118) nito e consistente para as func~oes de Green relevantes [10], [47], [60], [63], [64] e [67]. Neste caso, e relevante ir alem de Hartree-Fock. O esquema mais simples encontrado requer que o termo diagonal com spins paralelos (W), seja tratado no contexto Hartree-Fock (caso contrario, um numero muito grande de func~oes de Green auxiliares s~ao necessarias, inviabilizando qualquer esquema de aproximac~oes). Com aquelas restric~oes e por simples inspec~ao das equac~oes, e aparente que certos operadores podem ser desacoplados [10], [60], [64] e [67] resultando num sistema coerente de "poucas"equac~oes. Esses resultados n~ao tem justi

(119) cativa fsica e podem ate incorporar elementos n~ao fsicos e espurios. No caso deste trabalho, o resultado foi identi

(120) cado como aproximaca~o CPA [53]-[64], dando assim uma justi

(121) cativa fsica de desacoplamento obtido. Considerando a contribuic~ao (W) com spins paralelos, uma condic~ao su

(122) ciente e desacoplar os operadores sendo a media deles nula. Assim o desacoplamento tem a virtude de ser alem de Hartree-Fock, mas sem justi

(123) cativa fsica (poderia ser pior que HF). Aqui ent~ao conseguimos identi

(124) car o resultado com o CPA, que assim tem uma justi

(125) cativa fsica (e uma media sobre con

(126) gurac~oes quenched ) resultando num campo efetivo (a autoenergia). O fato de considerar impurezas com um nvel (podem ser considerados um numero

(127) nito de nveis) n~ao muda o fato do CPA ser trivialmente equivalente a aproximac~ao Hubbard I, neste caso particular. Logo as equac~oes dinâmicas para as diversas func~oes de Green s~ao: (! (!. E )G

(128) = Æ

(129) + G

(130) + U E . U) (!.

(131). 1 X V G + W R

(132) ; NS k k k

(133). +p. 1 X V NS k k. = p Æ

(134) + p. "k )Gk =.

(135). k

(136). + W Q

(137) + R

(138) ;. 1 pN (Vk G + Vk G ); S. (2.59) (2.60) (2.61).

(139) 22 (!. "k ). k

(140). =. pN1 (Vk S.

(141). + Vk R

(142) );. (2.62). 1 X k + UQ

(143) + p V + W R

(144) ; (2.63) NS k k

(145) 1 X (! E W U )Q

(146) = p12 Æ

(147) + Q

(148) + p V Q ; (2.64) NS k k k

(149) 1 (2.65) (! "k )Qk

(150) = p (Vk Q

(151) + Vk Q

(152) ): NS Segundo as considerac~oes previas sobre a banda do hospedeiro e da relac~ao de fase, equaca~o (2.8), têm-se (!. E )R

(153) = p Æ

(154) + .

(155). i = ihjVk j2 i(F );. (2.66). Vk

(156) 1 X V k = if (R); NS k ! "k. (2.67). S = e. S =. onde f (R) = (kF R) 1 sen(kF R), sendo R a distância impureza-impureza, e kF e o vetor de onda de Fermi [31], f (R) e uma func~ao oscilatoria caracterstica (associada) da interac~ao RKKY. E interessante citar que , o parâmetro de hibridizac~ao impureza-metal, para impurezas de elemento de transica~o [1], e da ordem de 0,1-0,7 eV( 2000-8000K) [20], e o vetor de onda de Fermi, kF , e da ordem de 0,34-1,03 1=ao [8](ao e o raio de Bohr) para metais. Com as notaco~es. !k. = ! "k ;. ! = ! E ; ! U. = !. U;. (2.68). ! = ! E ;. = ! + i;. = ! + i;. v = + S ;. (2.69). obtêm-se o sistema de equaco~es (! + i)G

(157) = Æ

(158) + U.

(159). + v G

(160) + W R

(161) ;. (2.70).

(162) 23 (! + i U ).

(163). = p Æ

(164) + W Q

(165) + v R

(166) ;. (! + i W )R

(167) = p Æ

(168) + UQ

(169) + v ( ! + i U. (2.71).

(170) ;. (2.72). W )Q

(171) = p12 Æ

(172) + v Q

(173) ;. (2.73). essas podem ser escritas na forma matricial:. AG = ^1 + U + W R; B. = P + W Q + vR;. CR = P + UQ + v ;. (2.74). DQ = p12 ^1; onde as matrizes s~ao dadas por 0. A=@ 0. B=@ 0. C=@. ! E1 + i -v1 -v2 ! E2 + i. 1 A;. (2.75). ! E1 + i ( +

(174) ) 0 0 ! E2 + i ( +

(175) ) ! E2 + i (

(176) ) 0 0 ! E1 + i (

(177) ) 0. D=@. ! E1 + i 2 -v1 -v2 ! E2 + i 2. 1 A; 1 A;. P =@. p1 0 0 p2. 1 A;. 0. v=@. v1 0 0 v2. 1 A;. (2.77). 1 A;. (2.78). e usando, agora, a notaca~o que relaciona as energias U +W U W = ;

(178) = ; 2 2 0. (2.76). (2.79) 0. =@. 0 1 1 0. 1 A;. (2.80). e ^1 e a matriz identidade 2x2. Agora, restauram-se os ndices de spin (implcitos nas contas anteriores). Resolvendo-se G na equac~ao (2.74), obtem-se a func~ao de Green das impurezas na forma matricial 4 X G (!) = PX G (!; X ) = G0 (! (!)); (2.81) X =1.

(179) 24 A ultima express~ao a direita e a de

(180) nica~o usual da autoenergia (!). As func~oes auxiliares G (!; X ) (func~oes de Green con

(181) guracionais) e os pesos PX s~ao dadas, respectivamente, por 1. G (!; X ) =. ; G0 (!) 1 VX PX = p (x1 )p (x2 );. sendo. 0. G0 (!) e. 1. =@ 0. VX = @. (2.82). ! E1 + i -t + if (R) -t if (R) ! E2 + i x1 U + x2 W 0 0 x1 W + x2 U. tambem. 1 A;. 1 A;. hn i) + x hn i ;. p (x ) = (1 x )(1. (2.83). (2.84). (2.85). onde hn i denota a correspondente ocupac~ao media e o ndice X e dado pelo conjunto. X = (x1 ; x2 ) = f(0; 0) ; (1; 0) ; (0; 1) ; (1; 1)g; e cumpre-se a identidade. 4 X. Trivialmente da equaca~o (2.81) tem-se. X =1. G0 (! (!)). 1. PX = 1:. = G0 (!). 1. (!):. (2.86). Com a de

(182) nica~o de media con

(183) guracional. hAic =. 4 X. X =1. PX A(X ):. A equac~ao (2.86) pode ser expressa tambem como. G (!) =. . G0 (! (!)). 1. 1. . VX + (!). c. = G0 (! (!));. (2.87). ou seja, o resultado da equaca~o (2.81) obtido via um esquema de desacoplamento resulta equivalente ao esquema do CPA (ou AAA, Alloy Analogy Approximation ou Aproximac~ao de Campos Efetivos [10], [60]) para o caso de dois stios [47], e representado pela equaca~o.

(184) 25 (2.87). Nesse esquema, as con

(185) gurac~oes consideradas s~ao dadas pela variavel X (quatro con

(186) guraco~es estaticas ou `quenched'), as interac~oes con

(187) guracionais s~ao dadas pelos VX e os campos efetivos s~ao as componentes da matriz (!): Tambem neste caso, e como resultado da identidade (2.86), o resultado CPA tambem equivale a aproximaca~o denominada Hubbard-I [47]. Assim, as equaco~es autoconsistentes para os campos efetivos resultam ser triviais e reduzidas a autoconsistência das hn i. Os polos das func~oes G (!) s~ao (tem-se v1 = v2 ) p 1 (E1 + E2 (E1 E2 )2 + 4v1 v2 ); 2 p 1 = (E1 + E2 + 2 (E1 E2 + 2

(188) )2 + 4v1 v2 ); 2 p 1 = (E1 + E2 + 2 (E1 E2 2

(189) )2 + 4v1 v2 ); 2 p 1 = (E1 + E2 + 4 (E1 E2 )2 + 4v1 v2 ); 2. ! 1 = ! 2 ! 3 ! 4. (2.88). onde e

(190) s~ao dados pelas equac~oes (2.79) e v e dado pela equac~ao (2.69). Da equaca~o (2.33) tem-se a substituic~ao. E ! E + 4 hn i Ni ;. (2.89). Escolhe-se uma reparametrizac~ao simetrizada, rede

(191) nindo a origem das energias no potencial qumico com a introduc~ao do parâmetro Æ. Considerando as equac~oes (2.88) e (2.89), tem-se. E = Æ Ni + 4 hn i;. (2.90). resultando na soluc~ao simetrica para o caso desordenado e de banda semicheia: Æ = 0 () hn i = 1=2. O numero medio de ocupac~ao da impureza e calculado pela equac~ao (2.27), resultando em equac~oes autoconsistentes para os numeros medios de ocupac~ao, doravante denotados por hn ; i = n . Z Im +1 n = d!f (!)G (!): (2.91) 1 A temperatura nula a func~ao de Fermi-Dirac e uma funca~o degrau. Usando-se a de

(192) nic~ao da equac~ao (2.46) e a aproximac~ao. p12 = hn1; n2;. i hn1; ihn2; i = p1 p2 ,.

(193) 26 ou seja, nesta aproximac~ao, o operador numero, n ; , de um stio n~ao esta correlacionado com operador numero, n ; , de outro stio num mesmo estado de spin . Aplicando a equac~ao (2.87) na equac~ao (2.91), fornece as quatro equac~oes dos numeros de ocupac~ao:. n 1 = n 2 =. X. X. X. X. AX PX ;. (2.92). BX PX ;. (2.93). onde 1 X X ÆX ; 2 2 2 1 X X ÆX = + ; 2 2 2. AX =. (2.94). BX. (2.95). e PX e dado pelas equac~oes (2.82), X e dado por X =. (E1 E2 ) + 2

(194) X ; (E1 E2 + 2

(195) X )2 + 4v1 v2. (2.96).

(196) X = f0;

(197) ;

(198) ; 0g;. (2.97). p. onde 4 = 1 , e tambem. onde X = 1; 2; 3; 4. Os termos X e ÆX s~ao dados por 1 (tg 1 (!+ X ) + tg 1 (! X )); 1 = (tg 1 (!+ X ) tg 1 (! X )); . X =. (2.98). ÆX. (2.99). onde o Æ da equac~ao (2.99) n~ao deve ser confudido com o da equac~ao (2.90). Das equaco~es (2.92), (2.93), (2.94) e (2.95), obtêm-se. n2 . n1 =. n2 + n1 =. X. X. X. X. X ÆX PX ;. (2.100). (1 X )PX :. (2.101). As equac~oes (2.92), (2.93), (2.100) e (2.101) s~ao autoconsistentes. O caso Æ nulo e soluca~o das equac~oes autoconsistentes com todas as ocupaco~es iguais a n = 21 , denominado o caso desordenado, tambem os polos resultam simetricos em torno do zero da energia, neste caso o potencial qumico. Para determinar os parâmetros das impurezas t, U, W, V e J foram.

(199) 27 utilizados func~oes n~ao ortogonais hidrogenoides-s do tipo Slater [50]. Inicialmente foram utilizados orbitais do tipo gaussiano [65] para calcular os parâmetros das impurezas. Nossos resultados n~ao foram satisfatorios, sendo que, neste caso, as gaussianas subestimam o limite assintotico no limite na distância impureza-impureza R em R ! 1 e sobrestima o mesmo no limite R ! 0. Tambem, as func~oes ortonormalizadas do tipo Wannier [51] (combinac~oes lineares de func~oes de Slater hidrogenoide -s)) foram construdas fornecendo resultados quantitativos muito similares ao caso de orbitais n~ao ortogonais. As diferencas entre os parâmetros encontrados utilizando orbitais ortonomais e os n~ao ortonomais s~ao desprezveis neste caso, portanto se utilizam diretamente orbitais n~ao ortogonais simplicando a computac~ao. Considerando as func~oes atômicas [50] de base n~ao ortogonal (~r) = (. 3 1 S )2. . S j~r. exp(. R~ j);. (2.102). onde R~ e a posic~ao da impureza no stio , e a = 1S e a medida da largura do orbital. De

(200) nem-se tambem para conseguir as equaco~es dos parâmetros de energia: t, U, W, V e J, para a representaca~o do orbital das impurezas na forma de atomos de hidrogênio, utilizase as correspondentes funco~es n~ao ortogonais (~r), substituindo-se a forma explcita dos parâmetros segundo o orbital de Slater [51], equac~ao (2.102), com 6= , e o overlap S = h1 j 2 i e dado por . S (x) = exp( x) 1 + x + onde R = jR~ 1. . x2 ; 3. S 0 (x) = S ( x);. x=. R~ 2 j. Segundo Slater [50, 51], têm-se os parâmetros t=. e2 2ao. . 2 exp( S. . e2 2 W= 2ao R. . x) 1 + x. x2 3. U=. e2 5 2ao 4. . . 4. S R;. . S exp( x)(1 + x) ;. S;. (2.103). (2.104) (2.105). . 2 3 1 11 + x + x2 + ; S exp( 2x) x 2 3 4 e2 1 5 1 5 V= exp( x) 2x + + exp( 3x) 1 + ; 2ao S 4 8x 4 2x. (2.106) (2.107). . e2 12 2 J= S C + S 2 ln(x) 2SS 0 Ei( 2x) + (S 0 )2 Ei( 4x) 2ao 5R 6 2 2 3 5 23 x x x ; + S exp( 2x) 4 10 5 15. (2.108).

(201) 28 onde ao o raio de Bohr, C = 0:57721566490153286 e a constante de Euler e Ei e a func~ao integral exponencial: Z 1 dt : (2.109) Ei(x) = exp(x) x ln t 0 Para ilustrar a situaca~o, considera-se o modulo do coe

(202) ciente n~ao diagonal da equac~ao (2.83) s. =. (t + V )2 +. . . sen(kF R) 2 ; kF R. (2.110). avaliado para o caso desordenado hn ; i = 21 . O termo resulta ser um parâmetro de hopping efetivo que incorpora ao hopping direto t (equac~ao (2.104)), o hopping correlacionado V (equac~ao (2.107)), e a interaca~o indireta entre impurezas (equac~ao (2.67)) dada pelo termo oscilatorio do tipo RKKY. Estas interac~oes s~ao ilustradas nas

(203) guras 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4. E importante lembrar que ao considerar um so nvel, para R muito pequeno estamos negligenciando algumas con

(204) gurac~oes onde e preciso considerar outros nveis em cada impureza, ou seja, os resultados para R muito pequeno podem n~ao ser completamente con

(205) aveis. Para uma certa distância ( 2a), forma-se a molecula, ent~ao o problema seria de uma impureza com dois nveis (o qual n~ao foi considerado neste trabalho) [68]. Agora, apresentam-se gra

(206) camente os parâmetros calculados via orbital de Slater para representar os atomos de impurezas do modelo deste trabalho. Na

(207) gura 2.1, tem-se um esquema das energias de interaco~es neste modelo de Anderson de duas impurezas, onde os parâmetros s~ao: n~ao nulo (, o qual e dado pela equac~ao (2.110)), U dado pela equac~ao (2.105), W dado pela equac~ao (2.106), e J pela equac~ao (2.108)). Observa-se que dentre estes termos, o unico termo de interac~ao que varia com e o termo " porque esta dentro da equac~ao do mesmo..

(208) 29. (W , V , J ). U. U ε (t). ∆. ∆. 0(7$/. Figura 2.1: Esquema das energias de interac~oes neste modelo de Anderson de duas impurezas..

(209) 30 Nas

(210) guras 2.2, 2.3 e 2.4, s~ao ilustrados os parâmetros de Slater para valores de a = ao ; 2ao e 3ao , respectivamente, versus 2Ra (e kF = 1=ao = 1eV ), sendo o unico termo de interac~ao que varia com e ". Na regi~ao R 2a existe o estado ligado (molecula), sendo os estados iônicos importantes. Fora desta regi~ao, tem-se o regime de Heitler-London, o qual e de interesse para este trabalho. Nessa regi~ao

(211) ca em evidência a importância do parâmetro W quando comparado com U , e tambem a importância de J e quando comparados com W na regi~ao R 3a. Portanto, nessa regi~ao os efeitos fsicos interessantes podem ser perdidos se os parâmetros W; J , V e o termo tipo RKKY n~ao s~ao incorporados..

(212) 31. 20 18. U. 16 14. eV. 12 10 8 6. W. 4. ε. J. 2 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. R/2a. Figura 2.2: Parâmetros de Slater versus distância impureza-impureza para a = ao , caso da banda semicheia, kF = 1=ao e = 1eV ..

(213) 32. 12. 10. U. eV. 8. 6. 4. W J. 2. ε. 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. R/2a. Figura 2.3: Parâmetros de Slater versus distância impureza-impureza para a = 2ao , caso da banda semicheia, kF = 1=ao e = 1eV ..

(214) 33. 8. U. eV. 6. 4. W. 2. ε. J 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. R/2a. Figura 2.4: Parâmetros de Slater versus distância impureza-impureza para a = 3ao , caso da banda semicheia, kF = 1=ao e = 1eV ..

(215) 34.

(216) Cap tulo 3. Soluco~es com Diversas Simetrias Resumindo alguns dos resultados do captulo anterior, apresentam-se as possveis soluc~oes para os numeros de ocupac~ao das impurezas, denotado por conveniência n = hn i. De

(217) nem-se o conjunto de parâmetros P como P = ft; U; W; V; J; ; kF ; R; ag sendo os cinco primeiros func~oes de R e a, e os numeros de ocupac~oes de impurezas como o conjunto n = fn g com = 1; 2 e = 1; +1. Para o caso da temperatura nula, os restantes parâmetros s~ao Ni e Æ X Ni = n : (3.1) i. onde Ni e o numero medio total de eletrons das impurezas (band

(218) lling) o qual pode assumir valores no intervalo 0 e 4, e n varia entre 0 e 1 e o termo Æ monitora o potencial qumico. Do captulo 2, têm-se as equac~oes autoconsistentes (explicitando a dependência em diversos parâmetros), e para temperatura nula, tem-se Z Im 0 n = d!G (!; P; NT ; n; Æ); (3.2) 1 Podem ser estudadas diversas simetrias do problema, a ferromagnetica, a antiferromagnetica e a de carga. De

(219) ndo m e q como. m = n " n # ;. (3.3). q = n " + n # ;. (3.4). onde = 1; 2 e o ndice do respectivo stio (resultam proporcionais ao momento magnetico e a carga no stio , respectivamente). De

(220) nindo tambem [46]. M = m1 + m2 ; 35. (3.5).

(221) 36. m = m1 m2 ;. (3.6). Q = q1 q2 ;. (3.7). sendo M proporcional ao momento magnetico total, m proporcional ao desbalanco de momento magnetico e Q proporcional ao desbalanco de carga. As grandezas adimensionais M , m e Q podem assumir valores no intervalo entre 2 e 2. Pelas equac~oes (3.3) e (3.4), determinam-se. q + m ; 2. n " =. n # =. q m : 2. (3.8). Das equac~oes (3.5) e (3.6), obtêm-se. m1 =. M +m ; 2. m2 =. M. 2. m. ;. (3.9). e substituindo a equac~ao (3.8) na equac~ao (3.1), encontra-se. Ni = q1 + q2 :. (3.10). Das equac~oes (3.7) e (3.10), obtêm-se. q1 =. Ni + Q ; 2. q2 =. Ni Q : 2. (3.11). Substituindo as equac~oes (3.9) e (3.11) na equac~ao (3.8), obtêm-se na forma compacta 1 (N + Q + (M + m)); 4 T 1 = (NT Q + (M m)): 4. n1 = n2. (3.12). ou equivalentemente. n2. 1 (Q + m); 2 1 = (NT + M ); 2. n1 =. n2 + n1. (3.13) (3.14). Substituindo-se as equac~oes (3.13) na equaca~o (2.100), obtem-se X 1 (Q + m) = X ÆX PX : 2 X. (3.15). E aplicando as equac~oes (3.14) na equac~ao (2.101), obtem-se X 1 (Ni + M ) = (1 X )PX : 2 X. (3.16).

(222) 37 Substituindo-se as equaco~es (3.12) na equac~ao (2.90), obtêm-se. E1 + E2 = 2(Æ + M );. (3.17). E1. (3.18). E2 =. 2 (Q + m):. As ocupac~oes n = fn g podem ser descritas equivalentemente pelo conjunto das simetrias C = fm; M; Q; Ni g, ou seja, o sistema de equac~oes (3.2) equivale ao sistema. m = Fm (P; C; Ni ; Æ);. (3.19). M = FM (P; C; Ni ; Æ);. (3.20). Q = FQ (P; C; Ni ; Æ);. (3.21). Ni = FNi (P; Ni ; Æ):. (3.22). A equac~ao (3.22) n~ao depende de fm; M; Qg, ou seja, como esperado o band

(223) lling n~ao depende de qualquer simetria particular. E a equac~ao para Ni em termos de Æ e P, ou equivalentemente para Æ em termos de P e Ni . Para encontrar a equaca~o do numero medio total de eletrons das impurezas Ni , considerase o caso particular homogêneo, denominado desordenado (D) (m = M = Q = 0) e encontrase trivialmente que no caso de band

(224) lling Ni = 2, têm-se. Æ = 0;. 1 n1" = n1# = n2" = n2# = ; 2. E = :. (3.23). No caso geral, substitui-se as equaco~es (3.17), (3.18) na equac~ao (2.82), e obtêm-se os polos das func~oes de Green.. ! 1 = + Æ ;. ! 2 = ! 3 = Æ ;. ! 4 = + Æ ;. (3.24). onde e

(225) s~ao dados pela equac~oes (2.79), e o termo e dado por p. =

(226) 2 + 2 :. (3.25). Substituindo-se as equac~oes (3.24) e (2.99) na equaca~o (3.16), obtêm-se as probabilidades:. P1 = 1. Ni Ni2 + ; 2 16. P2 = P3 =. Ni (1 4. Ni ); 4. P4 =. Ni2 : 16. (3.26).

(227) 38 as quais s~ao independentes de . Substituindo-se as equac~oes (3.26) na equac~ao (2.101), obtem-se !. Ni = FNi = 2 1. X. X. PX X ;. (3.27) P. esta equac~ao (3.27) e do tipo da equac~ao (3.22) lembrando-se que PX = 1 e substituindo X as equac~oes (2.98), (3.24) e (3.26) na equac~ao (3.27), obtem-se a equac~ao do numero medio total de eletrons das impurezas. aNi2 + bNi + c = 0;. (3.28). onde. a =. e. b= e,. 2(tg 1 (Æ + ) + tg 1 (Æ. )) tg 1 ( + Æ + ) tg 1 ( + Æ ) 8 tg 1 ( + Æ + ) + tg 1 ( + Æ ) ; (3.29) 8. tg 1 ( + Æ + ) + tg 1 ( + Æ ) tg 1 (Æ + ) tg 1 (Æ ) . 1;. (3.30). . . tg 1 ( + Æ + ) + tg 1 ( + Æ ) : (3.31) c=2 1 As diversas simetrias a serem estudadas s~ao: a simetria do tipo antiferromagnetica (SAF) m 6= 0, M = Q = 0, a simetria do tipo ferromagnetica (SFM) M 6= 0; m = Q = 0 e a simetria tipo carga (SQ) Q 6= 0 e m = M = 0. Doravante sera considerado o caso Ni = 2 para o qual trivialmente Æ = 0, e denominado caso da banda semicheia. No Apêndice A s~ao apresentadas diversas grandezas para Ni arbitrario. Com Ni = 2 as diversas simetrias podem ser resolvidas da forma m = Fm (P; m);. M =Q=0. (3.32). M = FM (P; M );. m=Q=0. (3.33). M =m=0. (3.34). Q = FQ (P; Q):. Observa-se que a soluca~o homogênea (D) e sempre uma das soluco~es. Seja y um elemento qualquer do conjunto fm; M; Qg. A equaca~o generica para y e. y = Fy (P; y):. (3.35).

(228) 39 Se existir uma soluc~ao y 6= 0, numa regi~ao R no espaco de parâmetros, perto da borda de R, denominada ÆR, a soluca~o n~ao nula e muito pequena (se existir), portando expandindo a equaca~o (3.35) em primeira ordem, tem-se. y Fy (P; 0) +. @Fy (P; y = 0)y @y. (3.36). e lembrando que a soluca~o homogênea e sempre soluc~ao, ou seja Fy (P; 0) = 0, na borda ÆR a condic~ao para a existência da regi~ao R resulta ser uma equac~ao para P determinando a equac~ao da borda dada por @Fy (P; y = 0) 1; (3.37) @y. 3.1. Caso. m n~ao nulo. No caso de simetria tipo antiferromagnetica, m (M = Q = 0), aplica-se a equac~ao (3.15). m= 2. X. X. "X ÆX" PX" :. (3.38). Substituindo as equaco~es (2.90) nas equac~oes (2.88) dos polos, e aplicando as equac~oes (3.12), resulta nos polos p. + Æ (m )2 + 2 ;. ! 1 =. p. ! 3 = Æ (m +

(229) )2 + 2 ;. p. ! 2 = Æ (m p.

(230) )2 + 2 ;. ! 4 = + Æ (m )2 + 2 ;. (3.39). onde ,

(231) s~ao dados pelas equaco~es (2.79), e o termo de energia e dado por (2.110). Têm-se !# 1 = !" 1 ; !# 2 = !" 3 ; !# 3 = !" 2 ; !# 4 = !" 4 . Substituindo-se as equac~oes (3.17) e (3.18) na equac~ao (2.96):. m +

(232) ; (m +

(233) )2 + 2 (3.40) # # " # " # " " # # " e 1 = 4 = 1; 2 = 3 ; 3 = 2 , e se Æ = 0: !4 = !1 , e !4 = !1 . E substituindo-se as equac~oes (3.12) nas equac~oes (2.82), obtêm-se as probabilidades: 1 = 4 =. m ; = (m )2 + 2 2. p. P1 P2. . m

(234) ; = (m