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(1)

TEORIA DOS JOGOS

Prof.: Anderson Antonio Denardin

JOGOS COOPERATIVOS X JOGOS NÃO

COOPERATIVOS

¾ Jogo Cooperativo: ocorre quando seus participantes podem

negociar contratos vinculativos entre si, permitindo que planejem estratégias em conjunto.

¾ Ex.: Duas empresas de um mesmo setor que estejam

negociando um investimento em conjunto para desenvolver uma nova tecnologia (considerando que nenhuma isoladamente teria know-how suficiente para obter sucesso sozinha).

¾ Jogos Não Cooperativos: ocorre quando não existe a

possibilidade de negociação contratual entre as partes envolvidas no jogo.

¾ Ex.: Duas empresas concorrentes levam em consideração os

prováveis comportamentos uma da outra e determinam independentemente uma estratégia de preços ou de quantidades.

(2)

JOGOS COOPERATIVOS X JOGOS NÃO

COOPERATIVOS

¾

OBS.: a diferença fundamental entre os jogos

cooperativos e os não cooperativos está na

possibilidade de negociar e implementar

contratos. Nos jogos cooperativos, os contratos

vinculativos são possíveis; nos jogos não

cooperativos não existe esta possibilidade.

JOGOS NÃO

COOPERATIVOS

(3)

O QUE É UM JOGO?

¾

Definição: pode-se definir um jogo como “uma

representação formal de uma situação onde um

número de indivíduos interagem em um cenário

de interdependência estratégica”, isto é, o bem

estar de cada um depende não apenas das

próprias ações, mas também das ações dos

demais envolvidos. Assim, a ação ótima em geral

dependerá da expectativa sobre o que os demais

jogadores irão fazer. [Mas-Collel et. Al. (1995, p.

219)].

JOGO NÃO-COOPERATIVO

¾

Assim, a teoria dos jogos não cooperativos

procura entender e explicar como os

jogadores (sejam eles indivíduos, empresas,

organizações, governos, países, etc...)

tomam suas decisões, ou fazem suas

escolhas em situação de interação

estratégica.

(4)

PRESSUPOSTOS BÁSICOS

¾

Para entender como funciona a dinâmica do jogo,

ou seja, como os jogadores fazem suas escolhas

num contexto de interação estratégica, assume-se

como premissa básica que os jogadores são

racionais.

¾

Os jogadores se comportam de forma racional na

medida em que as relações de preferência que

norteiam suas escolhas possam ser ordenadas de

forma coerente, e consistente, assim, podemos

dizer que as relações de preferência dos

indivíduos são estabelecidas obedecendo o

princípio da racionalidade.

¾

Afirmar que os jogadores são racionais em teoria dos

jogos significa afirmar que suas preferências são

racionais. Assim, afirmar que uma relação de

preferência é racional significa que a relação binária

de preferência apresenta as seguintes propriedades

básicas:

- As preferências são completas;

- As preferências são transitivas;

(5)

PRESSUPOSTOS BÁSICOS

¾ Preferências Completas: a relação de preferência sobre um

conjunto de escolhas possíveis é completa, quando é possível estabelecer um ordenamento de preferências, isto é, entre duas escolhas factíveis, sempre é possível dizer se a primeira é ao menos tão boa quanto a segunda, se a segunda é ao menos tão boa quanto a primeira, ou se existe uma relação de indiferença entre as duas alternativas. Ou seja, os agentes envolvidos no jogo são capazes de definir suas preferências em relação a qualquer escolha possível.

¾ Ex.:

x

e

y Є A

. Temos as seguintes possibilidades. ¾

x

é preferível a

y

;

¾

y

é preferível a

x

; ¾

x

é indiferente a

y

.

PRESSUPOSTOS BÁSICOS

¾

Preferências Transitivas: a relação de preferência sobre

um conjunto de escolhas possíveis é transitiva, quando

existe consistência nas escolhas.

¾

Ex.:

x, y e z Є A.

Temos as seguintes possibilidades.

¾

Se x for preferível a y;

¾

Se y for preferível a z;

¾

Então, pelo princípio da transitividade, x deve ser

(6)

MODELOS DE JOGOS: UMA

REPRESENTAÇÃO FORMAL DE

INTERAÇÃO ESTRATÉGICA

¾

Ao modelar um jogo o que se está fazendo é representar

uma situação de interação estratégica de forma

abstrata, focalizando-se apenas nos elementos

considerados mais importantes para explicar como os

agentes (jogadores) interagem entre si. Assim, qualquer

modelo sempre será

uma representação muito

simplificada de uma realidade infinitamente mais

complexa.

¾

É importante que o modelo, na medida em que

incorpore os elementos relevantes e sua estrutura seja

coerente com a forma pela qual se processa a interação

estratégica, sirva como um guia eficiente para o

entendimento de fenômenos da vida econômica,

empresarial e social.

ELEMENTOS BÁSICOS DE UM JOGO

¾

Jogador: é qualquer indivíduo ou organização envolvido no

processo de interação estratégica, e que tenha autonomia

para tomar decisões estratégicas. Um número finito de

jogadores (i=1,...n) participa do processo de interação

estratégica.

¾

Ação ou Movimento (Estratégia): representa uma

escolha que o jogador pode fazer em um dado momento do

jogo. Cada jogador dispõe de um certo número de ações

disponíveis, e essas ações formam um “conjunto de ações”.

Em um jogo em que cada jogador é identificado por um

subíndice i, onde i = 1,...,n, o conjunto de ações do i-ésimo

jogador lista todas as ações disponíveis para aquele jogador

e pode ser representado da seguinte forma:

(7)

ELEMENTOS BÁSICOS DE UM JOGO

¾

Payoffs (ganho ou recompensa): representa o

resultado que o jogador obtém depois de encerrado o

jogo, tomando em conta suas próprias escolhas, e a dos

demais jogadores. Um elemento importante de um jogo é

a “função de recompensa” de cada jogador, a qual

especifica um valor numérico que nos ajuda a perceber

como o jogador avalia um determinado resultado do jogo.

Dados dois resultados possíveis x e y, uma função de

recompensa para o jogador será representada por:

F(x) ≥ F(y) sempre que x for preferível à y.

JOGOS ESTÁTICOS (SIMULTÂNEOS)

DE INFORMAÇÃO COMPLETA

¾

Jogos estáticos ou simultâneos: são aqueles

em que os jogadores escolhem simultaneamente

suas ações ou estratégias, então eles recebem

um

payoff, o qual

depende da combinação de

ações escolhidas.

¾

Jogos de Informação Completa: a função

payoff

de cada jogador, ou seja, a função que

determina o resultado obtido pelos jogadores

resultante das ações ou estratégias adotadas, é

de conhecimento comum entre todos os

participantes do jogo.

(8)

REPRESENTAÇÃO DE JOGOS ESTÁTICOS

DE INFORMAÇÃO COMPLETA: FORMA

NORMAL OU ESTRATÉGICA.

¾

Definição: a representação na forma

normal de um jogo J, com N jogadores,

especifica, para cada jogador i, um

conjunto de estratégias A

_i

, e uma função

de ganho u

_i

(a

₁

,...,a

_n

), onde a

_i

Є A

_i

.

Formalmente, escreve-se:

J = [N, {A

_i

}, {u

_i

(.)}]

REPRESENTAÇÃO DE JOGOS ESTÁTICOS

DE INFORMAÇÃO COMPLETA: FORMA

NORMAL OU ESTRATÉGICA.

¾

Em suma, a representação de um jogo na

forma normal define:

- Quais são os jogadores envolvidos no jogo;

- Quais são as estratégias disponíveis para

cada um dos jogadores;

- Os payoffs (ganhos) para cada jogador

referente a todos os resultados possíveis.

(9)

EXEMPLO 1 - Problema da Renovação dos

Empréstimos Bancários.

¾ DESCRIÇÃO:

¾ Suponha que, para iniciar suas atividades, uma empresa tomou

emprestado R$ 5 milhões em um banco A, e mais R$ 5 milhões em um banco B, perfazendo um total de R$ 10 milhoes em empréstimos. Vamos supor que em virtude de maus negócios, após um ano de operações, seus ativos se depreciaram, ou seja, os ativos que correspondiam a R$ 10 milhões (5+5) valem apenas R$ 6 milhões, insuficiente para cobrir o total de empréstimos, caso os bancos decidam cobrá-lo. Ainda existe a perspectiva de que a empresa continue operando por mais um ano.

¾ Neste caso, os bancos possuem duas ações ou estratégias disponíveis:

Renovar ou não os empréstimos.

¾ Caso decida renovar, ele continua recebenco o pagamento dos juros.

Caso decida não renovar, a empresa é obriada a reembolsar o principal do empréstimo.

¾ Se os bancos decidirem renovar os empréstimos, a empresa consegue

se manter operando por mais um ano, pagando normalmente os juros a partir de sua receita corrente, no valor de R$ 1 milhão para cada banco. Após isso a empresa seria obrigada a decretar falência.

EXEMPLO 1 - Problema da Renovação dos

Empréstimos Bancários.

¾ Continuação:

¾ Assim, no final, a empresa seria obrigada a decretar falência, de modo

que os bancos dividiriam os ativos no valor de R$ 6 milhões, resultando para cada banco um total de R$ 4 milhoes ( sendo R$ 3 milhões do principal + R$ 1 milhão pelo pagamento dos juros.

¾ Todavia, se um dos bancos decide não renovar seu crédito, ele recebe

integralmente seu empréstimo de R$ 5 milhões, mas acabaria precipitando a falência da empresa. Como a empresa seria obrigada a pagar o empréstimo para o banco que não renovou, restaria para o banco que renovou, apenas os ativos remanescentes no valor de R$ 1 milhão.

¾ Por fim, se ambos decidem não renovar os empréstimos, a empresa é

obrigada a decretar falência imediatamente, o que leva os dois bancos a partilhar seus ativos, obtendo R$ 3 milhões cada um.

Questão relevante: Se você fosse o banqueiro, qual sua melhor

(10)

Informações Relevantes

¾ Jogadores:

¾ 2 jogadores (Banco A e Banco B); ¾ Ações ou Estratégias:

¾ A = {Renova; Não Renova} ¾ B = {Renova; Não Renova} ¾ Payoffs:

¾ O ganho ou recompensa que cada jogador recebe por suas escolhas u(.). (A Renova, B Renova) = (4, 4)

(A Renova, B Não Renova) = (1, 5) (A Não Renova, B Renova) = (5, 1) (A Não Renova e B Não Renova) = (3, 3)

REPRESENTAÇÃO DE JOGO NA FORMA

NORMAL OU ESTRATÉGICA

3, 3 5, 1 NÃO RENOVA 1, 5 4, 4 RENOVA NÃO RENOVA RENOVA

BANCO B

BANCO A

(11)

¾

DESCRIÇÃO:

¾

Dois prisioneiros foram acusados de ter colaborado na

prática de um crime. Eles foram colocados em celas

separadas, não podendo se comunicar um com o outro.

¾

Solicitou-se a cada um que confessasse.

¾

Se ambos os prisioneiros confessarem, cada um será

condenado a seis anos de prisão.

¾

Se ambos não confessar, cada um receberá um ano de

reclusão.

¾

Se um prisioneiro confessar o crime e outro não, aquele

que confessou será liberado da pena, enquanto o que não

confessou pegará nove anos de prisão.

¾

Questão relevante: Se você fosse um desses prisioneiros,

qual seria sua opção, confessar ou não confessar?

EXEMPLO 2 – Dilema dos Prisioneiros.

Informações Relevantes

¾ Jogadores:

¾ 2 jogadores (Prisioneiro 1 e Prisioneiro 2 ); ¾ Ações ou Estratégias:

¾ A = {Confessa; Não Confessa} ¾ B = {Confessa; Não Confessa} ¾ Payoffs:

¾ O ganho ou recompensa que cada jogador recebe por suas escolhas u(.). (P1 Confessa, P2 Confessa) = (-6, -6)

(P1 Confessa, P2 Não Confessa) = (0, -9) (P1 Não Confessa, P2 Confessa) = (-9, 0) (P1 Não Confessa e P2 Não Confessa) = (-1, -1)

(12)

-6, -6 0, -9 CONFESSA -9, 0 -1, -1 NÃO CONFESSA CONFESSA NÃO CONFESSA PRISIONEIRO 2 PRISIONEIRO 1

REPRESENTAÇÃO DE JOGO NA FORMA

NORMAL OU ESTRATÉGICA

RESOLUÇÃO DE JOGOS ESTÁTICOS DE

INFORMAÇÃO COMPLETA

¾

Deve-se ter em mente que, solucionar um jogo significa

buscar determinar quais estratégias jogadores racionais

adotariam em ambientes onde o princípio de

racionalidade dos agentes envolvidos no jogo é de

conhecimento comum.

¾

Discutir a solução de um jogo significa abordar

“métodos de previsão” dos seus resultados, os quais

devem manter duas características principais:

¾

- O método deve ser preciso;

¾

- O método deve ser abrangente.

(13)

Método Preciso

¾

Definição: se refere ao fato de que, uma vez

previsto um resultado, a probabilidade de que

ele realmente venha a ocorrer em uma

manifestação real do jogo será tanto maior

quanto mais preciso tiver sido o método de

previsão utilizado.

Método Abrangente

¾

Definição: Diz respeito ao número de situações

onde exista interdependência estratégica entre

os envolvidos, e que o referido método

consegue oferecer um resultado amplamente

provável.

(14)

RESOLUÇÃO DE JOGOS ESTÁTICOS DE

INFORMAÇÃO COMPLETA

¾

Em geral, existe um

tradoff

entre precisão

e abrangência, ou seja, os métodos mais

precisos são os menos abrangentes, ou

vice-versa.

¾

Analisaremos os métodos em ordem

decrescente de precisão, porém, em ordem

crescente de abrangência.

ESTRATÉGIAS (ESTRITAMENTE) DOMINANTES

¾

Definição: Em um jogo estático de informação

completa com n jogadores (sendo n finito), uma

estratégia a

_i

é dita uma estratégia estritamente

dominante, para um jogador i qualquer, se ela gera o

maior payoff (ganho) para ele toda vez que ele a jogar,

independente das estratégias dos outros jogadores, isto

é, se

u

i

(a

i

, a

-i

) > u

i

(a’

i

, a

-i

),

para todo a’

i

Є A

i

, a

i

≠ a’

i

, e para todo a

-i

Є A

i

.

Em outras palavras, a estratégia a

_i

é estritamente

dominante para o jogador i se ela é a melhor ação que

ele pode tomar (de modo a gerar para si o maior payoff

possível), independente do que os demais jogadores

façam.

(15)

EXEMPLO 1 - Problema da Renovação

dos Empréstimos Bancários.

3, 3 5, 1 NÃO RENOVA 1, 5 4, 4 RENOVA NÃO RENOVA RENOVA

BANCO B

BANCO A

-6, -6 0, -9 CONFESSA -9, 0 -1, -1 NÃO CONFESSA CONFESSA NÃO CONFESSA PRISIONEIRO 2 PRISIONEIRO 1

(16)

EXEMPLO 3 – Todos os Jogadores, menos

um, tem Estratégias Dominantes

6, 6 3, 5 3, 2 B 5, 3 0, 2 4, 0 M

Jogador 1

5, 3 4, 0 0, 1 A D C E

Jogador 2

Conclusões

¾ Se um jogador dispõe de uma estratégia que é estritamente

dominante, ele, sendo recional, deve sempre jogá-la, pois, por definição, não haverá nada melhor a fazer.

¾ Se todos os envolvidos em um determinado jogo possuem

estratégias estritemente dominantes, seu resultado torna-se facilmente conhecido, dada a racionalidade de todos os agentes.

¾ O grau de acuidade dessa previsão é, de fato, extremamente

apurado, dado que é pouco provável que algém escolha fazer algo que seja reconhecidamente preferível a ele sempre.

¾ Caso tenha uma situação onde todos os jogadores, menos um,

tenham estratégias estritamente dominantes, o resultados da interação também pode ser facilmente previsto. O que ocorrerá é que o jagador que não possui uma estratégia que seja estritamente dominante escolherá a alternativa que lhe dará maior utilidade, tomando como dado que os outros jogadores irão jogar aquelas estratégias que forem dominantes.

(17)

ESTRATÉGIAS (ESTRITAMENTE)

DOMINADAS

¾

Definição: Em um jogo estático de informação completa

com n jogadores (sendo n finito), sejas a’

i

e a”

i

duas

estratégias possíveis para o jogador i (i.é. a’

_i

e a”

_i

Є A

_i

). A

estratégia a’

_i

é estritamente dominada por a”

_i

se, para

toda combinação de estratégias dos outros jogadores, o

payoff (ganho) de i jogando a’

i

for sempre estritamente

menor que jogando a”

_i

, isto é, se:

u

_i

(a’

_i

, a

_-i

) < u

_i

(a”

_i

, a

_-i

),

para todo a’

_i

e a”

_i

Є A

_i

, a’

_i

≠ a”

_i

, e para todo a

_-i

Є A

_i

.

Ou seja, uma estratégia será estritamente dominada por

uma outra se ela conferir ao seu jogador um payoff

sempre inferior ao propiciado pela estratégia alternativa,

independente do que os outros jogadores possam fazer.

Eliminação Iterativa de Estratégias

Estritamente Dominadas (EIEED)

¾ Compreende um método símples para determinar o resultado de um

jogo simultâneo. Em alguns casos, os jogadores têm uma ou mais opções de estratégias que proporcionam resultados melhores do que alguma outra estratégia, “não importando o que os demais jogadores façam”.

¾ Neste caso, a análise do jogo fica bastante facilitada, pois, se uma

opção lhe confere um resultado sempre melhor do que outra, independendo do que os outros façam, por que razão escolher a outra opção, que proporciona um resultado pior, se você for um agente racional?

¾ O método que analisaremos, denominado “eliminação iterativa de

estratégias estritamente dominadas”, depende de que os agentes sejam racionais, mas também, que cada um deles saiba que os outros também são racionais, e que todos os jogadores sabem que todos os jogadores sabem que os jogadores são racionais, e assim por diante, indefinidamente.

(18)

EXEMPLO 1 -

Eliminação Iterativa de

Estratégias Estritamente Dominadas (EIEED)

1, -2 0, 1 1, 3 B

Jogador 1

-1, 3 1, 5 2, 2 A E D C

Jogador 2

0, 1 1, 3 B

Jogador 1

1, 5 2, 2 A D C

(19)

EXEMPLO 1 – Jogo Reduzido

Jogador 2

1, 5 2, 2 A

Jogador 1

D C

EXEMPLO 1 – Resultado

Jogador 2

1, 5 A

Jogador 1

D

OBS.: Este resultado constitui um Equilíbrio em

Estratégias Estritamente Dominantes.

(20)

EXEMPLO 2 – Concorrência no Mercado

Automobilístico.

1, 0 0, 6 1, 1 Não Competir 2, 3 2, 1 2, 2 Importar da Matriz

GW

1, 3 4, 1 1, 4 Lançar Modelo Próprio Reduzir Preço Manter Preço Lançar Nova Versão

KM

Descrição: duas empresas, a KM e a GW , competem no mercado automobilistico. A empresa KM já tem seu modelo de utilitário, que é um sucesso, entquanto a GW ainda não oferece nenhum modelo de utilitário.

EXEMPLO 2 – Concorrência no Mercado

Automobilístico

(Jogo Reduzido).

2, 3 2, 1 2, 2 Importar da Matriz

GW

1, 3 4, 1 1, 4 Lançar Modelo Próprio Reduzir Preço Manter Preço Lançar Nova Versão

KM

(21)

EXEMPLO 2 – Concorrência no Mercado

Automobilístico

(Jogo Reduzido).

KM

2, 3 2, 2 Importar da Matriz

GW

1, 3 1, 4 Lançar Modelo Próprio Reduzir Preço Lançar Nova Versão

EXEMPLO 2 – Concorrência no Mercado

Automobilístico

(Jogo Reduzido).

KM

2, 3 2, 2 Importar da Matriz

GW

Reduzir Preço Lançar Nova Versão

(22)

EXEMPLO 2 – Concorrência no mercado

automobilístico

(Jogo Reduzido).

KM

2, 3 Importar da Matriz

GW

Reduzir Preço

OBS.: Este resultado constitui um Equilíbrio em

Estratégias Estritamente Dominantes.

EXEMPLO 3 – Concorrência no Setor de

Detergentes Biodegradáveis.

Descrição: A empresa de detergente X deve decidir se lança, ou não,

um produto biodegradável para competir com o produto biodegradável de sua concorrente, a empresa Y. Esta última, por sua vez, tem de decidir se aumenta, ou não, os gastos de propaganda com o seu produto.

2, 7 2, 4 Não Lança o Produto Biodegradável

Empresa X

7, 3 5, 5 Lança o Produto Biodegradável Não Aumentar os Gastos com Publicidade Aumentar os Gastos com Publicidade

Empresa Y

(23)

EXEMPLO 3 – Concorrência no Setor de Detergentes

Biodegradáveis (Jogo Reduzido).

7, 3 5, 5 Lança o Produto Biodegradável

Empresa X

Não Aumentar os Gastos com Publicidade Aumentar os Gastos com Publicidade

Empresa Y

EXEMPLO 3 – Concorrência no Setor de Detergentes

Biodegradáveis (Jogo Reduzido).

Empresa Y

5, 5 Lança o Produto Biodegradável

Empresa X

Aumentar os Gastos com Publicidade

OBS.: Este resultado constitui um Equilíbrio em

Estratégias Estritamente Dominantes.

(24)

ESTRATÉGIAS (FRACAMENTE)

DOMINADAS

¾ Definição: Em um jogo estático de informação completa com n

jogadores (sendo n finito), sejas a’_ie a”_i duas estratégias possíveis para o jogador i (i.é. a’_ie a”_i Є A_i). A estratégia a’_i é fracamente dominada por a”_ise, para toda combinação de estratégias dos outros jogadores, o payoff (ganho) de i jogando a’_ifor sempre menor ou igual que jogando a”_i, isto é, se:

u_i(a’_i, a_-i) ≤ u_i(a”_i, a_-i), para todo a’_ie a”_iЄ A_i, a’_i≠ a”_i, e para todo a_-iЄ A_i.

Uma estratégia fracamente dominada por outra é, portanto, um conceito próximo, mas distinto do conceito de estratégia estritamente dominadas. A diferença é que o primeiro requer que a dominada nunca seja melhor que a que domina (sendo pior em pelo menos um caso), enquanto o último exige que a dominada seja, sempre, estritamente pior que a que domina.

EXEMPLO 1 – Eliminação Iterada de

Estratégias Fracamente Dominadas

Jogador 2

3, 5 5, 3 B

Jogador 1

4, 3 5, 3 C 4, 3 3, 4 A E D

(25)

EXEMPLO 1 – Eliminação Iterada de

Estratégias Fracamente Dominadas

Jogador 2

Nivel 1 3, 5 5, 3 B

Jogador 1

4, 3 5, 3 C 4, 3 3, 4 A E D Nível 2

Jogador 2

4, 3 5, 3 C 4, 3 3, 4 A

Jogador 1

E D

Jogador 2

Nivel 3 5, 3 C 3, 4 A

Jogador 1

D

Jogador 2

Nível 4 5, 3 C D

Jogador 1

EXEMPLO 1 – Eliminação Iterada de

Estratégias Fracamente Dominadas

Jogador 2

Nivel 1 3, 5 5, 3 B

Jogador 1

4, 3 5, 3 C 4, 3 3, 4 A E D Nível 2

Jogador 2

4, 3 5, 3 C 3, 5 5, 3 A

Jogador 1

E D

Jogador 2

Nivel 3 4, 3 C 3, 5 A

Jogador 1

D

Jogador 2

Nível 4 4, 3 C D

Jogador 1

(26)

Eliminação Iterada de Estratégias

Fracamente Dominadas

CONCLUSÃO:

Eliminação iterativa de estratégias

fracamente dominadas pode levar a resultados distintos

dependendo de onde se começa o processo e, portanto,

não é conseqüência da racionalidade dos jogadores.

ESTRATÉGIAS RACIONALIZÁVEIS

¾ Sempre que conseguirmos obter um equilíbrio em estratégias

estritamente dominantes, ou seja, quando a eliminação interativa de estratégias estritamente dominadas nos deixar com apenas uma estratégia para cada jogador, diz-se que o jogo analisado é

solucionavel por dominância. As estratégias que resultam da

eliminação interativa de estratégias estritamente dominadas, mesmo que seja mais do que uma para cada jogador, são chamadas

racionalizáveis.

¾ Definição: Estratégias racionalizáveis são aquelas que podem ser

jogadas em um jogo onde a estrutura do jogo e a racionalidade dos jogadores são de conhecimento comum (common knouledge) entre eles. Mais formalmente, em um jogo simultâneo, as estratégias a_i que sobrevivem à eliminação interativa de estratégias que nunca são melhor resposta são conhecidas como as estratégias racionalizáveis do jogador i.

(27)

Limitação do Método de Eliminação

Iterativa de Estratégias Estritamente

Dominadas (EIEED)

Ex.: Uma empresa, a qual chamamos de Empresa Y, tem

de decidir se entra no mercado brasileiro de produtos

siderúrgicos, no qual outra empresa nacional, chamada

Empresa X, já domina uma parcela significativa do

comércio desses produtos

.

Limitação do Método de Eliminação

Iterativa de Estratégias Estritamente

Dominadas (EIEED)

-1, 2 2, 1 1, 0 Não Investir 0, -1 1, 0 2, 1 Investir Empresa X Exportar em Larga Escala Exportar em Pequena Escala Não Exportar

Empresa Y

Obs.: Não obstante a simplicidade do método de eliminação interativa de estratégias estritamente dominadas, ele apresenta uma grave limitação: nem todos os jogos apresentam estratégias estritamente dominadas.

(28)

Limitação do Método de Eliminação

Iterativa de Estratégias Estritamente

Dominadas (EIEED)

Uma vez que, nem todos os jogos apresentam estratégias

estritamente dominadas, não é possível estabelecer um

equilíbrio com base em estratégias estritamente

dominantes. Portanto, exige-se um método mais

“abrangente” do que o método de eliminação interativa

de estratégias estritamente dominadas para se

estabelecer o melhor desfecho para o jogo.

Necessita-se de um conceito mais geral de solução de

jogos simultâneos, que permita tratar tanto de jogos que

possuem estratégias estritamente dominadas e que,

portanto, podem ser resolvidos pela eliminação interativa

de estratégias estritamente dominadas, como também de

jogos nos quais não é possível identificar estratégias

dominadas. Este conceito é chamado “equilíbrio de

Nash”.

EQUILÍBRIO DE NASH

Conceito: Diz-se que uma combinação de

estratégias constitui um equilíbrio de Nash

quando cada estratégia é a melhor resposta

possível às estratégias dos demais jogadores, e

isso é verdade para todos os jogadores. Ou seja,

cada um dos jogadores que fazem parte do jogo,

ao definir sua estratégia, estará fazendo o

melhor que pode, levando em conta o que seus

oponentes estão fazendo.

(29)

EQUILÍBRIO DE NASH

¾ Definição:em um jogo simultâneo, as estratégias (a*1,....,a*n) constituem um Equilíbrio de Nash se, para todo jogador i, a*i é a melhor resposta às estratégias especificadas dos outros (N-1) jogadores, a*_-i, isto é, se:

ui(a*_i, a*_-i) ≥ ui(a_i,a*_-i) para todo a_iЄ A_i, para todo jogador i = 1,...,N.

De forma equivalente, podemos definir as estratégias (a*₁,...,a*_n) como um Equilíbrio de Nash caso, para todo jogador i, a estratégia a*_i resolver o problema de

maxu_i(a_i, a_-i*), escolhendo entre todos a_iЄ A_i.

Podemos, ainda, dizer que um conjunto de estratégias constitui um “Equilíbrio de Nash” se, caso todos os jogadores N - 1 (menos um), joguem as estratégias definidas pelo E.N, de modo que, para o N-ésimo jogador não exista nada melhor a fazer a não ser, também, escolher a estratégia para ele definida no “Equilíbrio de Nash”. Isso deve valer para todos os jogadores tomados individualmente.

EQUILÍBRIO DE NASH

Como Encontrá-lo?

Para encontrar um Equilíbrio de Nash, basta

identificar a(s) melhor(es) resposta(s) de um

jogador, diante de cada estratégia escolhida

pelo(s) outro(s) jogador(es). Ao proceder assim

para todos eles, quando houver uma coincidência

entre as melhores respostas para todos os

envolvidos, esse conjunto de estratégias será

identificada como um “equilíbrio de Nash”.

(30)

EQUILÍBRIO DE NASH

Como Encontrá-lo?

¾ Uma forma de fazer isso seria:

¾ Primeiro: indicar a estratégia que resulta na “maior recompensa” para

o jogador que está situado nas linhas, para cada uma das estratégias escolhidas pelo jogador que se encontra nas colunas. Podemos fazer isso colocando a letra “l” no lado da recompensa, bem como, sublinhando ou circulando a recompensa obtida pelo jogador da linha.

¾ Segundo: indicar a estratégia que resulta na “maior recompensa” para

o jogador que está situado nas colunas, para cada uma das estratégias escolhidas pelo jogador que se encontra nas linhas. Podemos fazer isso colocando a letra “c” no lado da recompensa, bem como, sublinhando ou circulando a recompensa obtida pelo jogador da coluna.

¾ Este processo se repete para cada uma das linhas, bem como, para

cada uma das colunas.

¾ Após aplicarmos o método de assinar a melhor resposta do jogador nas

linhas para cada estratégia do jogador nas colunas, bem como, assinalar a melhor resposta do jogador nas colunas para cada estratégia do jogador nas linhas, sempre que uma combinação de estratégias estiver assinalada “simultaneamente”, essa combinação de estratégias será um “Equilíbrio de Nash”.

EQUILÍBRIO DE NASH

-1, 2 2, 1 1, 0 Não Investir 0, -1 1, 0 2, 1 Investir Empresa X Exportar em Larga Escala Exportar em Pequena Escala Não Exportar

Empresa Y

(31)

EQUILÍBRIO DE NASH

0, 3 1, 4 4, 2 B

Jogador 1

6, 8 0, 5 1, 1 C 3, 2 5, 1 2, 3 A F E D

Jogador 2

Exemplo 2:

EQUILÍBRIO DE NASH ESTRITO

Um equilíbrio de Nash estrito exige que:

ui(a*

_i

, a*

_-i

) > ui(a

_i

,a*

_-i

) para todo a

_i

e todo i.

Empresa Y

(32)

EQUILÍBRIO DE NASH NÃO ESTRITO

Um equilíbrio de Nash não estrito exige que:

ui(a*

_i

, a*

_-i

) ≥ ui(a

_i

,a*

_-i

) para todo a

_i

e todo i.

Empresa Y

EQUILÍBRIO EM ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE

DOMINANTES E EQUILÍBRIO DE NASH ESTRITO

Acabamos de ver que, mesmo que não haja equilíbrio em estratégias estritamente dominantes, pode haver um equilíbrio de Nash no jogo. Isso nos leva a fazer a pergunta inversa: se houver um equilíbrio em estratégias estritamente dominantes, ele será também um equilíbrio de Nash?

País B

1.700, 1.700 (700), 2.300 Tarifa Baixa 2.300, (700) 800, 800 Tarifa Alta

País A

Tarifa Baixa Tarifa Alta

(33)

EQUILÍBRIO EM ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE

DOMINANTES E EQUILÍBRIO DE NASH ESTRITO

Se houver um equilíbrio em estratégias estritamente dominantes, ele será também um equilíbrio de Nash?

Resposta:

Se um jogo apresenta um equilíbrio em estratégias estritamente

dominantes, esse equilíbrio é, necessariamente, também um equilíbrio de Nash estrito. Isso porque o equilíbrio de Nash estrito estabelece que:

ui(a*_i, a*_-i) > ui(a_i,a*_-i) para todo a_ie todo i.

Ou seja, o equilíbrio de Nash estrito estabelece que uma dada estratégia de um jogador (representada por a*_i) deve resultar em uma recompensa estritamente maior do que qualquer outra estratégia desse jogador (representada por a_i), dadas as estratégias dos demais jogadores (representada por a_-i), e isso deve ser verdade para todos os jogadores.

CASOS EM QUE EXISTEM MAIS DE UM

EQUILÍBRIO DE NASH

Pode acontecer casos em que existam mais do que um equilíbrio de Nash:

Empresa Y

(AntiVírus)

1, 2 0, -1 Não Desenvolver -1, -2 2, 1 Desenvolver

Empresa X

(Programas)

Não Atualizar Atualizar

(34)

CASOS EM QUE EXISTEM MAIS DE UM

EQUILÍBRIO DE NASH

Ex.: Batalha dos Sexos – O problema da coordenação com Várias Opções.

Ele

2, 1 -1, -1 Cinema -1, -1 1, 2 Futebol

Ela

Cinema Futebol

COMO SELECIONAR ENTRE VÁRIOS

EQUILÍBRIOS DE NASH NA PRÁTICA?

O CONCEITO DE PONTO FOCAL

Na medida em que determinados resultados sejam melhores para todos os agentes, abre-se espaço para a possibilidade de cooperação entre eles, no sentido preciso de coordenar suas ações de forma a garantir o melhor resultado possível para todos.

Será justamente na análise da possibilidade de coordenação de agentes como forma de obter solução cooperativas, que será definido o concenti de “ponto focal”:

Conceito: um “ponto focal” é um elemento que se destaca de um contexto, e que permite aos jogadores coordenarem suas decisões em um detre vários equilíbrios de Nash possíveis. OBS.: Os jogadores ganham sempre que conseguirem

coordenar suas ações, embora têm preferêncaias distintas sobre que tipo de coordenação deve ser adotada.

(35)

UM CASO EM QUE NÃO HÁ EQUILÍBRIO DE NASH

Exemplo: Jogo de Combinar Moedas

Jogador 2

-1, 1 1, -1 Coroa 1, -1 -1, 1 Cara

Jogador 1

Coroa Cara

UM CASO EM QUE NÃO HÁ EQUILÍBRIO DE NASH

Exemplo: Jogo de Par ou Impar

Jogador 2

1, -1 -1, 1 Impar -1, 1 1, -1 Par

Jogador 1

Impar Par

(36)

ESTABILIDADE, EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO

EQUILÍBRIO DE NASH

Conceito de Estabilidade:

Caso se tenha um determinado conjunto de estratégias,

conhecido por todos e previsto como a solução de um jogo estático, ele deverá constituir-se em um Equilíbrio de Nash. Se isso não ocorrer, então, por definição, existirá algum jogador que poderá obter payoff maior jogando outra estratégia: ele não teria, portanto, incentivo em jogar a estratégia proposta inicialmente, sendo racional. Assim, se um determinado conjunto de estratégia é previsto como a solução de um jogo estático, ele deverá ser um Equilíbrio de Nash. Nesse sentido dizemos que o E.N é “estratégicamente estável” (ou self-enforcing).

Formalmente, suponha que (a*_{1 ,},...,a*_n) é a solução proposta

para um determinado jogo mas não é um E.N, então, para ao menos um jogador i, existe uma estratégia alternativa para a qual:

ui(a*1 ,,...,a*n) < ui (a**1 ,,...,a**n)

E o jogador i preferirá jogar a**_i, onde (a**_{1 ,},...,a**_n) é a

solulção.

ESTABILIDADE, EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO

EQUILÍBRIO DE NASH

Com relação à existência e unicidade do Equilíbrio de Nash:

Segundo o teorema provado por Nash em 1951, sabe-se que,

sempre existirá “pelo menos um” equilíbrio de Nash, ainda que envolva estratégias mistas, desde que o jogo em análise seja finito.

Teorema de Nash: em todo jogo finito J = [N finito, {A_i} finito, {u_i(.)}]

existe pelo menos um equilíbrio de Nash, ainda que envolva apenas estratégias mistas.

(37)

APLICAÇÕES DO EQUILÍBRIO DE NASH

O conceito de equilíbrio de Nash tem sido amplamente utilizado para

a compreensão do comportamento das empresas no mercado, em especial, no comportamento das empresas em mercados não competitivos, organizados sob forma de “Oligopólio”.

Até então, tratamos o processo de escolhas estratégicas dos

jogadores considerando suas decisões tomando em conta variáveis discretas. Embora essa simplificação não altere a essência do argumento, ela limita as possibilidades de análise.

Uma vez que a escolha de preços e quantidades representam as

variáveis estratégicas mais importantes para a tomada de decisão das empresas, observa-se que, as empresas estabelecidas não dispõem apenas da opção de escolher o preço e a quantidade a um dado nível pré estabelecido (discretos), mas dispõem de um intervalo contínuo de diferentes possibilidades de preços e quantidades disponíveis. Neste caso as empresas dispõem de estratégias

contínuas, uma vez que as variáveis que compõem o conjunto de

estratégias variam continuamente.

Assim, o modelo de jogo mais adequado para tratar desse tipo de

situação é um jogo simultâneo de estratégias contínuas.

APLICAÇÕES DO EQUILÍBRIO DE NASH

OLIGOPÓLIO

Características:

Em um mercado organizado sob a forma de oligopólio tem como

principal característica o fato de poucas empresas serem responsáveis pela maior parte ou pela totalidade da produção;

Os produtos produzidos pelas empresas podem ou não ser

diferenciados;

Em alguns mercados oligopolísticos, algumas ou todas as empresas

auferem lucros substanciais a longo prazo, dado que, barreiras à entrada tornam difíceis ou impossíveis que concorrentes venham a se estabelecer no mercado;

Nesses mercados, cada empresa determina seu preço ou a

quantidade que irá produzir tomando como base considerações estratégicas relativas ao comportamento de suas concorrentes.

A noção de equilíbrio para estes mercados sugere que cada

empresa procura fazer o melhor que pode, tomando em conta o que suas concorrentes estejam fazendo.

(38)

APLICAÇÕES DO EQUILÍBRIO DE NASH

Dois exemplos clássicos de jogos simultâneos

com estratégias contínuas são aplicados para

analisar mercados não competitivos, ou seja,

mercados que se organizam sob a forma de

Oligopólios:

Î

Modelo de Cournot.

Î

Modelo de Bertrand.

(39)

MODELO DE COURNOT

Características:

Este modelo deriva seu nome do economista francês

Antoine Cournot (1838).

Considera-se um modelo simples de duopólio onde

existem duas empresas concorrendo entre si (Empresa 1

e Empresa 2);

As empresas fabricam produtos homogêneos e

conhecem a curva de demanda de mercado;

Cada empresa deve decidir quanto deverá produzir, e

elas tomarão esta decisão “simultaneamente”;

Ao tomar suas decisões, cada empresa procurara fazer o

melhor que pode levando em conta o que sua

concorrente estará fazendo.

Como regra de comportamento, supomos que cada

empresa busca maximizar seu lucro, ou recompensa.

MODELO DE COURNOT

Descrição do Modelo:

Quantidades produzidas:

– q₁= quantidade produzida pela Firma 1 – q₂= quantidade produzida pela Firma 2;

Função Demanda de Mercado:

P(Q) = a – bQ,

– P(Q) representa o preço de mercado como função da quantidade total produzida (Q);

– Q = q₁+ q₂;

(40)

MODELO DE COURNOT

Função Receita Total:

Função de Custo da Firma: C(Q) = cqi

2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

P

(

Q

)

q

(

a

bQ

)

q

[

a

b

(

q

)]

q

aq

bq

q

RT

=

−

=

−

+

=

−

2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 P(Q)q (a bQ)q [a b(q q )]q aq bq q bq RT = = − = − + = − − 1 1

cq

CT

=

2 2

cq

CT

=

MODELO DE COURNOT

1 2 1 2 1 1 2 1 1

(

q

,

q

)

=

aq

−

bq

−

bq

q

−

cq

π

2 2 1 2 2 2 2 1 2

(

q

,

q

)

=

aq

−

bq

−

bq

q

−

cq

π

Função Lucro Total:

i i

i

(

q

)

=

RT

−

CT

π

(41)

MODELO DE COURNOT

0 2 0 1 2 1 1 = ⇒ − − − = ∂ ∂ c bq bq a q π 0 2 0 ₁ ₂ 2 2 = ⇒ − − − = ∂ ∂ c bq bq a q π

Maximização de Lucro:

i i p i i q RT CT Max i − = ∞ < < 0 ) ( π

MODELO DE COURNOT

1 Firma

da

Reação

de

Função

2

2 1

b

c

bq

a

q

=

−

Colocando q

₁

e q

₂

em evidência obtemos as

funções de reações das empresas 1 e 2:

2 Firma

da

Reação

de

Função

2

1 2

b

c

bq

a

q

=

−

Î A função de reação da firmas 1 demonstra que, ela determina

seu nível de produção q_1,tomando em conta o que a firma 2 está fazendo, ou seja, seu nível de produção q₂.

Î De modo equivalente, a função de reação da firmas 2

demonstra que, ela determina seu nível de produção q_2, tomando em conta o que a firma 1 está fazendo, ou seja, seu nível de produção q .

(42)

MODELO DE COURNOT

Considerando o sistema de equações representado pela

função de reação das duas firmas e resolvendo para q

₁

e

q

2

simultaneamente, obtemos as quantidades de

equilíbrio para cada uma das firmas:

b

c

a

q

3

* 1

−

=

b

c

a

q

3

* 2

−

=

Esses valores para q*₁ e q*₂ correspondem ao equilíbrio de Cournot,

o qual também é identificado como um equilíbrio de Nash, dado que, cada uma das empresas em questão, ao escolher seu nível de produção, estará fazendo o melhor que pode em função daquilo que as demais empresas concorrentes estão fazendo. E as concorrentes estão agindo da mesma forma.

OBS.: Para esses valores, nenhum dos dois jogadores tem qualquer

incentivo para alterar suas estratégias, porque uma é a melhor resposta à outra, e vice-versa.

MODELO DE COURNOT

Representação Geométrica para o equilíbrio de

Cournot-Nash:

* 2 q * 1 q b c a 2 − b c a 2 − b c a− b c a− 1 Empresa da reação de Função 2 2 1 b c bq a q= − − 2 Empresa da reação de Função 2 1 2 b c bq a q = − − Equilíbrio de Cournot-Nash 2 q 1 q

(43)

O MODELO DE COURNOT E A EFICIÊNCIA

DE PARETO

Exemplo:

Função de Demanda:

P = 100 – Q

Função de Custos:

C

₁

= 4q

₁

C

₂

= 4q

₂

MODELO DE BERTRAND

(44)

MODELO DE BERTRAND

Características:

Este modelo deriva seu nome do economista francês

Joseph Louis François Bertrand (1883).

Considera-se um modelo simples de duopólio onde

existem duas empresas concorrendo entre si (Empresa 1

e Empresa 2);

As empresas fabricam produtos homogêneos e

conhecem a curva de demanda de mercado;

Ao contrario do que ocorre com o modelo de Cournot, no

modelo de Bertand as empresa devem determinar

“simultaneamente”

seus preços em vez das quantidades.

Ao tomar suas decisões, cada empresa procurara fazer o

melhor que pode levando em conta o que sua

concorrente estará fazendo.

Como regra de comportamento, supomos que cada

empresa busca maximizar seu lucro, ou recompensa.

MODELO DE BERTRAND

Descrição do Modelo:

Quantidades produzidas:

– p₁= preço cobrado pela Firma 1 – p2= preço cobrado pela Firma 2;

Função Demanda de Mercado:

q

₁

= a – p

₁

+ bp

₂

q

₂

= a – p

₂

+ bp

₁

(45)

MODELO DE BERTRAND

Função Receita Total:

Função de Custo da Firma: C(Q) = c

2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1

p

q

p

(

a

p

bp

)

ap

p

bp

p

RT

=

−

+

=

−

+

1 1

cq

CT

=

1 2

cq

CT

=

2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2

p

q

p

(

a

p

bp

)

ap

p

bp

p

RT

=

−

+

=

−

+

MODELO DE BERTRAND

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1= pq −cq = p(a−p +bp )−c(a−p +bp )=ap −p +bp p −ac+cp −cbp π i i i i(p ) = RT −CT π

Função Lucro Total:

1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2=pq −cq =p(a−p +bp)−c(a−p +bp)=ap −p +bpp −ac+cp −cbp π

(46)

MODELO DE BERTRAND

0 2 0 ₁ ₂ 1 1 = ⇒ − + + = ∂ ∂ c bp p a p π 0 2 0 ₂ ₁ 2 2 = ⇒ − + + = ∂ ∂ c bp p a p π

Maximização de Lucro:

i i p i i p RT CT Max i − = ∞ < < 0 ) ( π

MODELO DE BERTRAND

1 da Firma

Reação

de

o

Funçã

2

2 1

c

bp

a

p

=

+

Colocando p

₁

e p

₂

em evidência obtemos as

funções de reações das empresas 1 e 2:

2 da Firma

Reação

de

o

Funçã

2

1 2

c

bp

a

p

=

+

Î A função de reação da firmas 1 demonstra que, ela determina

seu preço p₁tomando em conta o que a firma 2 está fazendo, ou seja, o preço que a firma 2 está cobrando p₂.

Î De modo equivalente, a função de reação da firmas 2

demonstra que, ela determina seu preço q_2,tomando em conta o que a firma 1 está fazendo, ou seja, o preço p₁.

(47)

MODELO DE BERTRAND

Considerando o sistema de equações representado pela

função de reação das duas firmas e resolvendo para p

₁

e

p

2

simultaneamente, obtemos os preços de equilíbrio para

cada uma das firmas:

b

c

a

p

−

+

=

2

* 1

b

c

a

p

−

+

=

2

* 2

Esses valores para p*₁e p*₂correspondem ao equilíbrio de Bertrand,

o qual também é identificado como um equilíbrio de Nash, dado que, cada uma das empresas em questão, ao escolher seu preço, estará fazendo o melhor que pode em função daquilo que as demais empresas concorrentes estão fazendo. E as concorrentes estão agindo da mesma forma.

OBS.: Para esses valores, nenhum dos dois jogadores tem qualquer

incentivo para alterar suas estratégias, porque uma é a melhor resposta à outra, e vice-versa.

MODELO DE BERTRAND

2 p * 2 p * 1 p p1 1 Firma da Reação de Função 2 2 1 _b p a p = + 2 Firma da Reação de Função 2 2 1 b p a p = + Equilíbrio de Bertrand 1 da Firma Reação de o Funçã 2 2 1 c bp a p= + +

Representação Geométrica para o equilíbrio de Bertrand 2 da Firma Reação de o Funçã 2 1 2 c bp a p = + +

(48)

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾ Em um jogo simultâneo, onde A_i constitui um conjunto de estratégia disponível para o jogador i, as estratégias (a*₁,....,a*_n) constituem um Equilíbrio de Nash se, para todo jogador i, a*_i é a melhor resposta às estratégias especificadas pelos outros (N-1) jogadores, a*_-i, isto é, se:

ui(a*_i, a*_-i) ≥ ui(a_i,a*_-i) para todo aiЄ Ai , para todo jogador i = 1,...,N.

¾ Por esta definição, não é possível estabelecer um equilíbrio de Nash em um jogo que tem como propósito combinar moedas, pois não existe coincidência de estratégias que representam melhor resposta para ambos os jogadores.

Jogador 2

-1, 1 1, -1 Coroa 1, -1 -1, 1 Cara

Jogador 1

Coroa Cara

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾

Em um jogo em que cada jogador gostaria de adivinhar o

que o outro jogador estaria disposto a fazer, não é possível

estabelecer um equilíbrio de Nash na forma padrão (com

estratégias puras) porque a solução do jogo envolve

“incerteza” sobre as estratégias que os demais jogadores

estariam dispostos a adotar [Harsanyi (1973)].

¾

O conceito de estratégias mistas procura capturar as

incertezas inerentes à solução de um jogo, buscando

estabelecer a distribuição de probabilidade envolvida nas

estratégias

A

_i

disponíveis para um jogador i.

(49)

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾

Até então, identificamos as diferentes ações que um

jogador pode tomar, disponíveis no conjunto

A

_i

, como

“estratégias puras”. Assim, no jogo de lançamento de

moedas

A

_i

consiste de duas estratégias puras {Cara,

Coroa}.

¾

A estratégia mista para o jogador i é a distribuição de

probabilidade (q, 1-q), onde “q”

representa a

probabilidade de jogar Cara, e “1-q” a probabilidade de

jogar Coroa, sendo “0<q<1”.

¾

Supondo que um jogador i tem K estratégias puras A

_i

=

{a

i1

,...a

ik

}. Então, uma estratégia mista para o jogador

i é representada pela distribuição de probabilidade

(p

_i1

,....p

_ik

), onde p

_ik

corresponde a probabilidade de o

jogador i jogar a estratégia a

ik

, para k=1,...,k. Desde que

p

ik

é uma probabilidade, exige-se que 0 ≤ p

ik

≤1 para

k=1...k, e p

_i1

+....+p

_ik

=1.

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾

Definição:

Em um jogo na forma normal J = {S

₁

...S

_n

;

u

₁

...u

_n

}, onde S

_i

= {s

_i1

, ...s

_ik

} representa o conjunto

de estratégias, uma “estratégia mista” para o jogador i é

definida pela distribuição de probabilidade p

_i

= (p

_i1

,....p

_ik

),

onde 0 ≤ p

_ik

≤1 para k=1...k, e p

_i1

+....+p

_ik

=1.

¾

Ou seja, se, em vez de escolher dentre um conjunto de

estratégias

S

_i

= {s

_i1

, ...s

_ik

}

uma dada estratégia

s

_i

para jogá-la com certeza (empregando estratégias puras),

um jogador decide alternar entre diferentes estratégias

aleatóriamente, atribuindo uma probabilidade a cada

estratégia a ser escolhida, diz-se que o jogador utiliza

“estratégias mistas”.

(50)

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾

Definição de Equilíbrio de Nash:

¾

Em um jogo normal com N jogadores J =

{A

₁

,...,A

_n

;u

₁

,...u

_n

}, a estratégia mista (p*

₁

,...,p*

_n

)

constitui um equilíbrio de Nash se a estratégia

mista de cada jogador representar a melhor

resposta para a estratégia mista dos demais

jogadores envolvidos no jogo.

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾ Exemplo: Jogo das Moedas

¾ Suponha que o jogador 1 está incerto quanto a estratégia que o jogador

2 irá adotar, portanto, acredita que o jogador 2 jogará Cara com probabilidade “q” e jogará Coroa com probabilidade “1-q”. Ou seja, o jogador 1 acredita que o jogador 2 jogará a “estratégia mista” (q, 1-q). Dada esta crença, o peyoff espefado pelo jogador 1 é dado por.

Jogador 2 -1, 1 1, -1 Coroa (1-q) (1).(q)+(-1).(1-q) = 2q-1 1, -1 Coroa (-1).(q)+(1).(1-q) = 1-2q -1, 1 Cara Jogador 1 Cara (q) ¾ Possibilidades:

¾ Cara > Coroa se: 1-2q>2q-1, ou seja, q < ½. ¾ Cara < Coroa se: 1-2q<2q-1, ou seja, q > ½. ¾ Cara = Coroa se: 1-2q=2q-1, ou seja, q = ½.

(51)

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

1 0 - 1 _{- 1} 1 1 Recompensa Espereada pelo Jogador 1 Recompensa Espereada pelo Jogador 1 Cara Coroa q

Recompensa esperada pelo jogador 1, dada a

estratégia mista (q, 1-q) do jogador 2.

1/2

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾

Considere (r,1-r) a estratégia mista na qual o jogador 1 joga

Cara com probabilidade “r” e joga Coroa com probabilidade

“1-r”. Para cada valor de “q” entre zero e um, é possível

computar o valor de r denotado por r*(q), tal que (r, 1-r) é a

melhor resposta para o jogador 1 para (q, 1-q) do jogador

2.

¾

Assim, o payoff esperado pelo jogador 1 jogando (r, 1-r)

quando o jogador 2 joga (q, 1-q) é:

rq.(-1)+r.(1-q).(1)+(1-r).q.(1)+(1-r)(1-q).(-1)

= (2q-1)+r.(2- 4q)

¾

Esta expressão nos fornece a recompensa esperada pelo

jogador 1 (REJ1) para qualquer estratégia mista que o

jogador 2 adotar

(52)

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾ Exemplo: Jogo das Moedas

¾ Suponha que o jogador 2 está incerto quanto a estratégia que

o jogador 1 irá adotar, portanto, acredita que o jogador 1 jogará Cara com probabilidade “r” e jogará Coroa com probabilidade “1-r”. Dada esta crença, o peyoff espefado pelo jogador 2 é dado por.

-1, 1 1, -1 Coroa (1-r) Jogador 2 (-1).(r)+(1).(1-r) = 1-2r 1, -1 Coroa (1).(r)+(-1).(1-r) = 2r-1 -1, 1 Cara (r) Jogador 1 Cara ¾ Possibilidades:

¾ Cara > Coroa se: 2r-1>1-2r, ou seja, r > ½. ¾ Cara < Coroa se: 2r-1<1-2r, ou seja, r < ½. ¾ Cara = Coroa se: 2r-1=1-2r, ou seja, r = ½.

(53)

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

1 0 - 1 _{- 1} 1 1 Recompensa Espereada pelo Jogador 2 Recompensa Espereada pelo Jogador 2 Cara Coroa r

Recompensa esperada pelo jogador 2, dada a

estratégia mista (r, 1-r) do jogador 1.

1/2

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

¾

Considere (q,1-q) a estratégia mista na qual o jogador 1

joga Cara com probabilidade “q” e joga Coroa com

probabilidade “1-q”. Para cada valor de “r” entre zero e um,

é possível computar o valor de q denotado por q*(r), tal que

(q, 1-q) é a melhor resposta para o jogador 1 para (r, 1-r)

do jogador 2.

¾

Assim, o payoff esperado pelo jogador 2 jogando (q, 1-q)

quando o jogador 1 joga (r, 1-r) é:

rq.(1)+r.(1-q).(-1)+(1-r).q.(-1)+(1-r)(1-q).(1)

= (1- 2q)+r.(4q-2)

¾

Esta expressão nos fornece a recompensa esperada pelo

jogador 2 (REJ2) para qualquer estratégia mista que o

jogador 1 adotar.

(54)

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

(-1).(q)+(1).(1-q) = 2q-1 1, -1 -1, 1 Coroa (1-r) Jogador 2 (-1).(r)+(1).(1-r) = 1-2r -1, 1 Coroa (1-q) (1).(r)+(-1).(1-r) = 2r-1 (1).(q)+(-1).(1-q) = 1-2q 1, -1 Cara (r) Jogador 1 Cara (q)

(55)

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH

EM ESTRATÉGIAS MISTAS

¾ Caso o jogador 1 adote a estratégia mista temos: ¾ (r, 1-r) = (1/2, 1/2)

¾ Caso o jogador 2 adote a estratégia mista temos: ¾ (q, 1-q) = (1/2, 1/2)

¾ Caso os dois jogadores adotarem a estratégia mista temos um

equilíbrio em estratégias mistas, no sentido que nenhum dos jogadores consegue melhorar suas recompensas esperadas alterando a probabilidade de escolha de uma das duas estratégias, ou mesmo adotando uma estratégia pura qualquer, nenhum deles consegue surpreender o outro, o que quer que faça. Podemos, assim, representar o equilíbrio como segue:

E.N = ((r, 1-r);(q, 1-q)) = ((1/2, 1/2);(1/2, 1/2))

¾ Assim, em equilíbrio, há 50% de chance de o jogador 1 adotar r e

50% de chance de adotar 1-r; e há 50% de chance de o jogador 2 adotar q e 50% de chance de adotar 1-q.

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

(56)

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

De um modo geral verifica-se que, em todo

jogo em que há um número finito de

jogadores, com um número finito de

estratégias, mesmo que não haja um

equilíbrio de Nash em estratégias puras,

sempre haverá um equilíbrio de Nash,

mesmo que seja em estratégias mistas.

CASOS EM QUE EXISTE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS PURAS E MISTA

Ex.: Batalha dos Sexos – O problema da coordenação com Várias Opções. Ele 1, 2 0, 0 Cinema (1-q) 0, 0 Cinema (1-r) 2, 1 Futebol (r)

Ela

Futebol (q)

(57)

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

Ex.: Batalha dos Sexos – O problema da coordenação com Várias Opções. Ele 1, 2 0, 0 Cinema (1-q) 0.q + 1.(1-q) 1 – q 0, 0 Cinema (1-r) 2.q + 0.(1-q) 2q 2, 1 Futebol (r)

Ela

Futebol (q) ¾ Possibilidades:

¾ Futebol > Cinema se: 2q >1 - q, ou seja, q > 1/3. ¾ Futebol < Cinema se: 2q <1 - q, ou seja, q < 1/3. ¾ Futebol = Cinema se: 2q =1 - q, ou seja, q = 1/3

EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO DE NASH EM

ESTRATÉGIAS MISTAS

1 0 1 2 Recompensa Espereada por ela Recompensa Espereada por ela Cinema Futebol q