GENSMAC-SOF: um método numérico para simular escoamentos incompressíveis de fluidos de segunda ordem

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(1)SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: Assinatura:. 22.09.2003 'Tau. —. GENSMAC-SOF: um método numérico para simular escoamentos incompressíveis de fluidos de segunda ordem. José Laércio Dorido. Orientador: Prof. Dr. Murilo Francisco Tomé. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências de Computação e Matemática Computacional.. USP - São Carlos Setembro/2003.

(2) A Comissão. Julgadora:. Prof. Dr. Murilo Francisco Tomé. Prof. Dr. Antonio Castelo Filho. Profa. Dra. Mônica Feijó Naccache.

(3) o germinar 6a r>í6a e no florefcer 6a tn^ telectualíòaòe, fempre c fempre uma eflrela òentro òo amago òe caòa criatura irá bvu _ If>ar caòa rnaíf forte por um munòo òe pa$ e harmonia, mefmo que no apogeu 6a efcurtòão.... Aos Meus. Pais.

(4) Agradecimentos. Principalmente a Deus e a meus pais Nair Vasques Doricio e Dalvo Doricio pela a j u d a e incentivo em todos os momentos. Ao meu orientador Prof. Dr. Murilo F. Tomé pelo incentivo, amizade e colaboração d u r a n t e a realização desse trabalho. E m especial aos professores, Dr. R o b e r t o R. Paterlini, Dr. Adalberto P. Bergamasco e Dr. José Alberto Cuminato, e aos meus amigos Renato Hallal, Isaias Torres, Robson T. S. de Oliveira Jr., Luís Felipe, Gerson F. Silva, Marcelo (Japa), Toninho e Venezuela pela amizade, colaboração, incentivo e momentos de descontração. Aos demais professores e amigos da USP e da UFSCar.. 11.

(5) Resumo. Esse trabalho apresenta uni método numérico para simular escoamentos visco-elásticos com superfícies livres de fluidos de Segunda Ordem. As equações governantes são resolvidas através de uma técnica de diferenças finitas em uma m a l h a diferenciada baseada em um método similar ao SM AC (Si/mplified-Marker-And-Celi).. Partículas marcadoras são. utilizadas para representar a superfície livre do fluido. Detalhes completos para a aproximação das tensões na superfície livre são dados. São apresentados resultados numéricos d e m o n s t r a n d o a capacidade desta nova técnica p a r a resolver escoamentos visco-elásticos com superfícies livres de fluidos de Segunda O r d e m p a r a vários problemas.. Fornecemos. resultados numéricos sobre a simulação do inchamento do extrudado e sobre a contração 4:1.. Além disso,, são apresentados resultados referentes à validação e convergência do. método numérico desenvolvido nesse trabalho.. 111.

(6) Abstract. This work is conccrned vvith the numerical simulation of viscoelastic free surface fiows of a Seeond Order fluid. The governing equations are solved by a finite difference technique based 011 a SMAC(Sirriplified-Marker-And-Cell) type inethod. A staggered grid is employed and marker particlcs are used to represent the fluid free surface. Full details for the approximation of the free surface stress conditions are given. Numerical results (lemonstrating the capabilities of this new technique in solving viscoelastic free surface fiows of a Second Order fluid are presented for a number of problems involving transient free surface fiows. In particular, the numerical simulation of the e x t r u d a t e swell and the flow on a 4 : 1 contraction are presented for various values of the Deborah number. In addition, validation and convergence results are given.. iv.

(7) Sumário. Agradecimentos. ii. Resumo. iii. Abstract. iv. Sumário. v. L i s t a de S í m b o l o s. vii. Lista de Figuras. x. Lista de Tabelas. xii. 1. 2. 3. Introdução. 1. 1.1. Aspectos Gerais. 1. 1.2. Organização da Tese. 3. Equações Governantes. 4. 2.1. Equações Governantes ein Coordenadas Cartesianas. 6. 2.2. Forma Adimensional das Equações Governantes. 8. 2.3. Condições de Contorno para Injetores, Ejetores e Contornos Rígidos . . . .. 9. 2.4. Condições de Contorno nas Superfícies Livres. 10. Método Numérico. 11. 3.1. GENSMAC-SOF. 11. 3.2. Algoritmo Computacional. 13. v.

(8) SUMÁRIO. 4. 5. 6. 7. D i s c r e t i z a ç ã o das E q u a ç õ e s. 15. 4.1. Domínio Computacional. 15. 4.2. Discretização das Equações Governantes. 16. 4.2.1. Cálculo das Derivadas do Tensor não-Newtoniano. 18. 4.2.2. Discretização do Tensor não-Newtoniano. 20. 4.3. Discretização dos Termos Convectivos. 21. 4.4. Aproximação das Condições de Contorno na Superfície Livre. 25. 4.5. Controle do Passo no Tempo. 29. 4.6. Movimento das Partículas. 30. V a l i d a ç ã o do M é t o d o N u m é r i c o. 31. 5.1. 31. Validação no Canal. Resultados Numéricos 6.1. Cunt ração 1 : 1. 6.2. Inchamento do Extrudado. 42 43 49. Conclusões e Recomendações. 57. Referências Bibiográficas. 58. A n e x o A: M é t o d o s de R u n g e - K u t t a. i. A n e x o B: L i n h a s de C o r r e n t e. iv. A n e x o C: A m b i e n t e F r e e F l o w. vii. vi.

(9) Lista de Símbolos Símbolo. Descrição. u. vetor velocidade. X. vetor posição. 9. vetor de aceleração gravitacional. n. vetor normal unitário. un. componente normal do vetor velocidade. Mt. componente tangencial do vetor velocidade componente normal do vetor posição componente tangencial do vetor posição. TL. tensor de tensão total. r. tensor de tensão extra. d. tensor t a x a de deformação. d —n. tensor taxa de deformação de ordem n. $. tensor de tensão não-Newtoniano. /. tensor unitário. u. componente do vetor velocidade na direção x. V. componente do vetor velocidade na direção y. 9x. componente do vetor aceleração gravitacional direção x. 9y. componente do vetor aceleração gravitacional direção y. P. massa específica do fluido. V. pressão relativa. Vo. viscosidade dinâmica inicial do fluido. V. viscosidade dinâmica do fluido. vii.

(10) ÍÀstn de. Símbolos. Símbolo. Descrição. A'i. primeiro parâmetro reológico não-Newtoniano S O F. a4. segundo parâmetro reológico não-Newtoniano S O F primeiro coeficiente de diferença de tensões normais segundo coeficiente de diferença de tensões normais. NI. primeira diferença de tensões normais. N2. segunda diferença de tensões normais. T. xx. Tyy. tensão extra normal. T. tensão extra cisalhante. ^ i i ^ dyy. taxa de deformação normal. dxy. taxa de deformação cisalhante. •I'.-, e <!>„. tensão não-Newtoniana normal. <í>xy. tensão não-Newtoniana cisalhante. U. valor de referência para a velocidade. L. valor de referência para o comprimento. 9. constante gravitacional. Re. número de Reynolds. De. número de Deborah. Fr. número de Froude. t. variável temporal. u. vetor velocidade intermediária. 8x. largura da célula na direção do eixo x. Sy. largura da célula na direção do eixo y. ôt. tamanho do passo no tempo. SR. parâmetro adimensional para die swell. S. taxa de inchamento para o die swell. V. operador gradiente. V •. operador divergente. V. operador rotacional. xy. V2. X. operador laplaciano. viii.

(11) List a, de. Símbolos. Símbolo. Descrição. ~. operador derivada substancial. ()'. operador transposta de um tensor. £. fator de controle do passo no tempo. IX.

(12) Lista de Figuras. 4.1. Célula Computacional. 15. 4.2. Domínio Computacional. 16. 4.3. Três configurações de células para o cálculo de. 18. 4.4. Três configurações de células para o cálculo de ^ ^ -. 19. 4.5. Três configurações de células para. 20. 4.6. Estêncil utilizado p a r a calcular. 4.7. Células de superfície livre com apenas u m a face em contato com u m a célula. e. &B. 22. vazia 4.8. 25. Células de superfície livre com duas faces adjacentes cm contato com células vazias. 27. 5.1. Descrição do modelo computacional para a canal-2D. 31. 5.2. Resultados numéricos p a r a a componente u em t — 0.1 s e t = 0.545 s.. . .. 34. 5.3. Resultados numéricos p a r a a componente v em t = 0.1 s e t = 0.545 s. . . .. 34. 5.4. Resultados numéricos para o tensor TXX em t = 0.1 s e t = 0.545 s. 35. 5.5. Resultados numéricos p a r a o tensor rxy em í = 0.1 ò" e t = 0.545 s. 35. 5.6. Resultados numéricos p a r a o tensor rvy em t = 0.1 s c t — 0.545 s. 36. 5.7. Resultados numéricos p a r a N l em t = 0.1 s e t, = 0.545 s. 36. 5.8. Resultados na m a l h a M{: velocidade u, componente r x x e Txy em x = 7.5 cm.. 37. 5.9. Resultados na m a l h a M\\ velocidade tt, componente t x x e r x y em x = 15.0 crn. 37. 5.10 Resultados na m a l h a M2: velocidade u, componente txx e rxy em x - 7.5 cm.. 38. 5.11 Resultados na m a l h a M 2 : velocidade u, componente rxx e rxy em x — 15.0 cm. 38 5.12 Resultados na m a l h a Aí 3 : velocidade u, componente txx e Txy em x = 7.5 cm.. 39. 5.13 Resultados na m a l h a M3: velocidade u, componente TXX e rxy em x — 7.5 crn. 39.

(13) LISTA. DE. FIGURAS. 6.1. Modelo para a simulação da contração 4 : 1. 43. 6.2. Resultados numéricos: Re = 1.0 e De = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2 c 1.4 .. 44. 6.3. Resultados numéricos: Re = 0.1 e De = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2 e 1.4 .. 45. 6.4. Componente da velocidade u para Re = 1.0 e t = 2.0 s com De = 0 c 1.2. .. 46. 6.5. Componente da velocidade v para Re = 1.0 e t = 2.0 s corri De = 0 e 1.2. .. 47. 6.6. Tensão TXX para Re = 1.0 e t = 2.0 s com De = 0 e 1.2. 47. 6.7. Tensão r x y para Re = 1.0 e t = 2.0 s com De = 0 e 1.2. 47. 6.8. Tensão r y y para Re = 1.0 e t = 2.0 s com De = 0 e 1.2. 48. 6.9. Diferença de tensão normal NI:. 48. Re = 1.0 e t = 2.0 s com De = 0 e 1.2. . .. 6.10 Modelo para a simulação do inchamento do extrudado. 49. 6.11 Componente u em t = 0.9 s para De = 0, 0.2, 0.4 e 0.6. 50. 6.12 Componente v em t = 0.9 s para De = 0, 0.2, 0.4 e 0.6. 51. 6.13 Componente TXX em t = 0.9 s para De = 0, 0.2, 0.4 e 0.6. 52. 6.14 Componente rxy em t = 0.9 s para De = 0, 0.2, 0.4 e 0.6. 53. 6.15 Componente ryy em t = 0.9 .s para De = 0, 0.2, 0.4 e 0.6. 54. 6.16 Diferença de tensão normal NI em t = 0.9 s para De = 0, 0.2, 0.4 e 0.6. . .. 55. 6.17 Taxa de inchamento do problema de inchamento do extrudado. 56. 1. Esquema para o cálculo da função de corrente. XI. v.

(14) Lista de Tabelas. 5.1. Erro relativo p a r a verificar a convergência do método numérico. 40. 5.2. Ordem de convergência do método numérico. 41. xii.

(15) 1. Introdução. 1.1. Aspectos Gerais. O estudo de métodos numéricos para simular fenómenos que envolvam o escoamento de fluidos com ou sem troca de calor tem se intensificado após o surgimento dos c o m p u t a dores digitais a partir dos anos de 1950.. Com o avanço da informática a simulação. de fenómenos complicados tem se tornado cada vez mais eficiente p e r m i t i n d o a implementação de métodos numéricos para simular escoamentos cuja equação constitutiva é altamente não linear. Muitos líquidos na natureza e na indústria não podem ser descritos eficientemente através dos modelos de fluidos viscosos e lineares, tais como os modelos Newtoniano e Newtoniano Generalizado, devido à presença de diferença de tensões normais e aos efeitos não lineares que esses modelos são incapazes de predizer.. P a r a resolver esse problema. foram desenvolvidas novas equações constitutivas capazes de predizer essas informações. Dentre essas equações constitutivas podemos destacar o modelo linear de Maxwell, o modelo de Jeffreys, o modelo convectivo de Maxwell, os modelos p a r a fluidos ordenados, entre outros, conferir Bird et al. [1987]. Podemos classificar essas equações constitutivas nos seguintes grupos: Newtoniano, Newtoniano Generalizado, Visco-elástico linear, Viscoelástico não-linear. A principal vantagem dos fluidos Newtonianos e Newtonianos generalizados é que esses modelos descrevem eficientemente os efeitos viscosos, porém os efeitos elásticos não. 1.

(16) 1.. Introdução. podem ser descritos por esses modelos. Esse problema foi resolvido através dos modelos visco-elásticos lineares que são capazes de descrever esses efeitos elásticos. U m exemplo de modelo visco-elástico linear é o modelo linear de Maxwell. Apesar dos modelos viscoelásticos lineares descreverem os efeitos elásticos, eles são incapazes de descrever os efeitos não-lineares produzidos pela diferença de tensões normais. Uma tentativa p a r a resolver esse problema foi o desenvolvimento dos modelos visco-elásticos não-lineares, cujo marco foi os modelos para fluidos ordenados, tal como fluidos de Segunda e Terceira Ordem, conforme Bird et al. [1987].. Esses modelos são capazes de descrever com precisão os. efeitos não-lineares em escoamentos onde o tensor taxa de deformação e suas derivadas no tempo são pequenos, contudo não podem descrever os efeitos de relaxação de tensões, conforme Bird et al. [1987] e Gast et al. [1999], Recentemente, o grupo de pesquisa em Matemática Aplicada do ICMC-USP de São Carlos desenvolveu um ambiente de simulação de escoamentos incompressíveis com superfícies livres denominado FreeFlow-2D, conferir Oliveira [1999]. Atualmente, o ambiente de simulação FreeFlow-2D permite a simulação dos seguintes tipos de escoamentos bidimensionais 1 : Newtoniano, Newtoniano Generalizado (incluindo Bingham, Power-Law e Cross-Model) e Oldroyd-B. O objetivo desse trabalho é desenvolver um método numérico para simular escoamentos bidimensionais de fluidos de Segunda Ordem e implementálo no ambiente FreeFlow-2D. O método desenvolvido pode ser aplicado a escoamentos confinados e escoamentos com superfícies livres. As equações governantes são resolvidas através da técnica de diferenças finitas sobre uma malha diferenciada baseada em um método similar ao método SMÃC(Svmphfied-Marker-And-Cell),. conferir Amsden et al.. [1970]. Para validar o método numérico são apresentadas três simulações: a simulação do escoamento em um canal bidimensional, a simulação do inchamento do extrudado, conferir Mitsoulis [1999] e Liang e Òzetkin [1999], e a simulação da contração 4 : 1 para escoamentos confinados, conferir Nigen e Walters [2002]. O primeiro problema é utilizado para validar quantitativamente o método numérico e os últimos dois problemas são utilizados para validar o método numérico qualitativamente, devido à ação dos efeitos elásticos nesses problemas. Apresentaremos também resultados referentes à convergência do método numérico. 1. Para mais detalhes sobre o ambiente de simulação FreeFlow-2D, consultar anexo C no final dessa tese.. 2.

(17) 1.. Introdução. 1.2. Organização da Tese. O desenvolvimento desse trabalho segue a descrição abaixo. • Capítulo 1: Introdução e organização desse trabalho. • Capítulo 2: As equações governantes na forma dimensional e adimensional para escoamentos incompressíveis de fluidos de Segunda Ordem são apresentadas juntamente com as condições de contorno. • Capítulo 3: Apresentamos um método numérico para resolver escoamentos de fluidos de Segunda Ordem. • Capítulo 4: Discretizamos, em detalhes, as equações governantes através do método de diferenças finitas em uma malha diferenciada. • Capítulo 5: A fase de validação do método numérico será discutida. Apresentaremos os resultados do escoamento cm um canal. • Capítulo 6: Os resultados numéricos para a contração 4 : 1 e para o problema de inchamento do extrudado são apresentados. • Capítulo 7: Apresentamos as conclusões desse trabalho e as recomendações para trabalhos futuros.. 3.

(18) 4. Equações Governantes. As equações governantes para escoamento incompressível em regime laminar, transiente e isotérmico são a equação de conservação de q u a n t i d a d e de movimento e a equação de conservação de massa 1 que podem ser escritas respectivamente como: V p. vt. ~=. + V. ' =+. p(. l '. V •u = 0 ,. (2.2). onde pé a massa específica do fluido, g é o vetor de aceleração gravitacional, u(x, t) é o c a m p o de velocidades, p(x, t) é o c a m p o de pressão e t(x, t) é o tensor de tensão extra. Todavia, é necessário u m a equação constitutiva para calcular r , que define a classe do escoamento. P a r a escoamentos Newtonianos a equação constitutiva é:. Z = Voá,. (2-3). onde 7/0 é a constante que representa o coeficiente de viscosidade 2 do fluido e d é o tensor t a x a de deformação definido por:. ^ = V« + (Vu)T, 1. (2.4). Alguns autores denominam a equação de conservação de quantidade de movimento e a equação de. conservação de massa como equação de momentuin e equação da continuidade, respectivamente. coeficiente de viscosidade também é conhecido na literatura como viscosidade dinâmica.. 4. 2. O.

(19) '2. Equações. Governantes. O trabalho desenvolvido objetiva resolver escoamentos ineompressíveis de fluidos de Segunda Ordem (SOF). A equação constitutiva para o modelo S O F se origina do truncamento do modelo de Expansão em Movimento-Retarclado (EMR) nos termos de segunda ordem, ver Bird et al. [1987]. O modelo EMR expressa o tensor de tensão extra como um polinómio em relação aos tensores taxa de deformação de ordem n, definidos pela fórmula recursiva (2.5).. âi d. =. Ú' , =. V. T (Vu) -d \ /. 1 — ri. + dn -Vu. (2-5) .. A equaçao constitutiva EMR 1 expandida até os termos de terceira ordem é dada pela equação (2.6), onde bi, b2, bn, etc. são denominados parâmetros materiais do fluido. z. =fh d + b2 d +bn bn. (d V. -d ) + b3 d + '. (2.6). (àx •d2 + (I2 -4) +'>1:11. conforme Bird et al. [1987]. Ao truncá-la nos termos de primeira ordem obtemos a equação constitutiva para fluidos Newtonianos. Analogamente, ao tuncá-la nos termos de segunda ordem obtemos a equação constitutiva para fluidos de Segunda Ordem e assim sucessivamente são obtidos os fluidos ordenados. Para simplificar a notação, vamos escrever a equação constitutiva SOF utilizando o esquema Oldroyd-8 conforme apresentado em Bird et al. [1987], Fazendo b! = r/o, b2 = r/0A2, 6 n = rj0A4 11a equação (2.6) e considerando somente os temos de segunda ordem obtemos:. Z = 'no á + r/o A4 (â-â). + Vo A2 4. ,. (2.7). onde r/o, A2 e A4 são constantes definidas como a viscosidade dinâmica inicial, o primeiro parâmetro reológico relacionado à primeira diferença de tensões normais e o segundo 1. As equações constitutivas geradas a partir do truncamento do modelo E M R são conhecidas como. equações constitutivas p a r a fluidos ordenados, conforme Bird et al. [1987]..

(20) 2. Equações. Governantes. parâmetro reológido do fluido relacionado à segunda diferença de tensões normais respectivamente. O parâmetro r/0 está relacionado aos efeitos viscosos e os parâmetros À2 e A4 estão relacionados aos efeitos de diferença de tensões normais. Quando o escoamento é cisalhante em regime permanente, as funções materiais para o modelo SOF, conforme Bird et al. [1987], são dadas por:. V. =. T. -f~ «12. = Vo ,. * - = ^. =. *2 =. =. «12. -r* «12. (2.8) =. «12. ~2r*>x>. <2-9>. •. = -/oA4 ,. "12. (2.10). onde Ni e N> são a primeira e a segunda diferenças de tensões normais,. c. são o. primeiro e o segundo coeficientes de diferença de tensões normais.. 2.1. Equações G o v e r n a n t e s em C o o r d e n a d a s Cartesianas. Nesse trabalho consideraremos escoamentos bidimensionais com superfícies livres em coordenadas cartesianas.. Nesse sistema de coordenadas, utilizaremos as seguintes. definições para o gradiente do vetor u e para o tensor taxa de deformação d:. V'u =. du dx. dv dx. du _ dy. dv dy. du dy. 9 '2il e. '* dx. d. du Oy. —. .. 1 chi dx. dv. dx O djl Ôy. (2.11). Utilizando as definições acima e a equação da conservação de massa, o tensor ç[ • é dado por: a (du V2 , d- d =. ^. \dx). I du l dy. | dv dx. 0 (2.12) A I dy /. e os tensores (Vu)rd. e dVu sao dados por:. 6. 1 (§u 1 dv ^ ^ \dy ^ dx ,.

(21) 2.. Equações. Governantes. T. (Vu) d. o ^. =. (. du dy. i. l dx J. ^. r) du dv Qx dx. i dv. i. dv_ [dx. du ^ dy. I dv. du dx. du dy. + — i dy \ dx. •• ) / du * \ dx). dVu. í. 2. | du I dv |du0 dv l dx ~T~ dy d dy. 2 du dv_ dy dy. du dx. I. I dv_ l dx. i. í dv y dx. s ;. dv dy. du dy. du. 2 chi chi. óy. dy dy. dv dx. 2. I dv_ l dx. du dy I. +. 2(|. dv dx. (2.13). í chi i iju l dx dy. i 2 chc chi dx dx. I dv \ dx. (2.14). du dy. Utilizando (2.ll)-(2.14), as componentes da equaçao constitutiva (2.7) podem ser escritas na forma: Txx = r/0 {dxx +. ,. (2.15). //„('/'•" *. ,. (2.16). yy. = rjo {d™ + $yy). T. ,. (2.17). onde as componentes do tensor taxa de deformação são dadas por: ....... dJX =. ndu 2 —. ox. dv dyy = 2 'dy. du dv 7TV dxy = — + — dy dx. ,. (2.18). e as componentes do tensor $ sao:. <F'. T. =. du. r/n A 4. dx. «F" = -2r/0A $yy = r?oA4. +. du. Vd. dv. dy. - r/o A 2. dx. Vt. Vdxy. du dv. du dv. Vt. dx dx. dy dy. + i *. du. dv. dy. dx. , i <9 " +4 —. V dx. du ídu. dv\. dy \dy. dx J. (2.19) (2.20). Vd,v,J. r?oA2. f dv. 2 dv í du dx \dy. dv dx. (2.21). Assumiremos que ^ d = 0. De acordo com Bird et al. [1987], o segundo coeficiente de diferença de tensões normais é, em módulo, bem menor que que o primeiro, em geral, |A4| « | ^ A 2 | . Considerando esse fato e que o escoamento é bidimensional, nós podemos assumir que A4 = 0.. Utilizando as hipóteses acima, as componentes do tensor ^ se. reduzem a:. duY. -r/o A 2. dx ) 2. $yy = -V oA2. + 2. du. du. dv. dy. dy. dx. du dv. / du dv . dx dx. (2.23). dy dy 2. 2 ^V dx. 7. (2.22). du. dv. dy. dx. (2.24).

(22) 2. Equações. Governantes. Introduzindo as equações (2.15)-(2.17) na equação de quantidade de movimento (2.1) e fazendo uso da equação de conservação de massa (2.2) obtemos: du2. du. duv. 1 / d2u. dp. d2u. + £. +. aí. ^. +. =. dx. +. dy. dy2. d. +. 8. +. p \dxz. dy. d. +. +w. Í. +. dx. \. J. +. a. •. (2/25). +. dy. ~y. ). A equação de conservação de massa (2.2) em coordenadas cartesianas é dada por: du. 2.2. dv. ,. F o r m a Adimensional das Equações Governantes. Para adimensionar as equações governantes vamos utilizar os valores de referência U, L e g para a velocidade, para o comprimento e para o campo gravitacional, respectivamente. As seguintes variáveis adimensionais são utilizadas: g = gg, p = pU2p .. u = Uu, v = Uv, x = Lx, y = Ly, t =. (2.28). Utilizando (2.28), a equação de conservação de quantidade de movimento toma a seguinte forma adimensional 1 : du dt. 1. dv õi. +. du2. duv. dx. dy. dp dx. duv. dv2. dp. dx. dy. dy. que pode se escrita na forma vetorial abaixo: du dt. = - V p + iV(u),. (2.31). onde N_(u) tem como componentes: du2 N. ^ " d ^ ^ ^ 2. 1. duv. ~ ~. +. ~ Ihi. l. (d2u. R e \ d x +. 2. Re V^'2. d2<$>xx +. 2. dy. +. d 2. v. +. +. 2. dx 9x2. +. +. d2$xy\ 2. dy d 2. V. 9x ). /. As barras foram omitidas de cima das variáveis para simplificação de notação.. 8. +. Fr2 ' Fr2. '.

(23) 2. Equações. Governantes. As componentes da equaçao constitutiva tomam a seguinte forma:. 1. (dxx + <Vx) ,. (2.34). 1 (2.35). 1. ~yy. (2.36). lie A equaçao de conservaçao de massa toma a seguinte forma: Ou. dv. dx. dy. (2.37). Nas equações (2.34)-(2.36) as componentes do tensor taxa de deformação d e do tensor não-Newtoniano $ são dadas por: ^ du. d" = 2. -De xy. onde Re =. d". dx. -2. =. ^ í du \. £. dy. 2. -De. De =. e Fr =. dv\. /. du dv. du dv. dx dx. dy dy. dx J. \dy. 2 ^V ( dy J. d". ,. dx. dy. 4. $ yy. £. ^. [dxj. De. +. =. dy. (2.38). (2.39) (2.40). + dv. dx \dy. dx. (2.41). são o número de Reynolds, o número de Deborah. e o número de Fronde, respectivamente.. 2.3. Condições de C o n t o r n o p a r a I n j e t o r e s , E j e t o r e s e C o n t o r n o s Rígidos. A condição de contorno utilizada para a velocidade é a condição de não-escorregamento u(x, t) = 0 nos contornos rígidos. Se considerarmos contornos rígidos paralelos ao eixo x, temos: £ - 0 ,. dx. £. dx. = 0.. 9. £ = 0 .. dy. (2.42).

(24) 2. Equações. Governantes. Introduzindo as derivadas (2.42) nas equações constitutivas (2.34)-(2.36), a condição de contorno para a componente 4>x?/ do tensor não-Newtoniano $ é dada por <bxy — 0. Na fronteira de injeção utilizamos as seguintes condições de contorno para a velocidade: un = f ( y ) e ut = 0, onde un c ut denotam a velocidade normal e a velocidade tangencial ao injetor, respectivamente. Por exemplo, considerando uma fronteira de injeção paralela ao eixo x, temos: du to =. dt) 3y =. (2 43). '. Introduzindo as derivadas (2.43) nas equações constitutivas, obtemos $ x y = 0 na fronteira de injeção. Nas fronteiras de ejeção utilizamos a condição pode ser mostrado que a componente. 2.4. = 0 e p(x, t) = 0. Nesse caso,. é dada por § x y = 0.. Condições de C o n t o r n o nas Superfícies Livres. As condições de contorno aplicadas nas superfícies livres sao as seguintes:. onde n = (nx, ny) cm=. (-ny,. n-2L-n = 0 ,. (2.44). m •. (2-45). n = 0 ,. nx) são os vetorcs unitários normal e tangencial à superfície. livre respectivamente, n = —pl_ + r é o tensor de tensão total e / é o tensor unitário. Utilizando o fato que n e m são unitários e ortogonais, as condições (2.44) e (2.45) podem ser escritas como: XXTlx +. (d. xx. - d. yy. +. í W n 2 y + 2UxTly XX <1> nxny. 10. ^ xy+ ^ ^ + (d +. =. ° ' (ni - n2y) = 0 .. (2.47).

(25) 11. Método Numérico. 3.1. GENSMAC-SOF. P a r a resolver as equações (2.29), (2.30), (2.37) e (2.39)-(2.41) vamos utilizar uma metodologia similar àquela apresentada por Tomé et al. [1996], S u p o n h a m o s que são conhecidas as velocidades u(x,tn). e a pressão p(x,tn). e t a m b é m as condições de contorno p a r a a velocidade e para a pressão. u(x, tn+1) e a pressão p{x,tn+1),. iniciais,. A velocidade. onde t í l + 1 = tn 4- ôt, são calculadas como segue.. Consideramos u m a pressão inicial que satisfaz a equação da pressão na superfície livre (2.46). Seja p{x,tn). = p(x,t,n),. então calculamos um campo de velocidade interme-. diária u{x, tn+1) através da equação abaixo: du , Ar. --= = - V p + N ( u ). (3.1). onde jV(u) é d a d a por (2.32) e (2.33) e a velocidade u satistaz as condições de contorno apropriadas para a velocidade u. S u b t r a i n d o a equação (3.1) da equação (2.31) obtemos: d (u — u). V(p-p) •. dt. Aplicando o rotacional em ambos os lados desta equação obtemos:. 11. (3.2).

(26) 3. Método Nu 111 crico. e permutando os operadores obtemos:. ^ [ V x (u-u)] = 0 .. (3.3). Da equação (3.3) podemos concluir que V x (u — u) — f ( x ) para algum f ( x ) com t £ [tn, tn+i).. Como u = u em t = tn temos V x u = V x u em t = tn. Portanto f ( x ) = 0.. Decorrente deste fato, V x (u — u) = 0 para t 6 [tn,tn+\],. mostrando que a vorti-. cidade associada à u ( x , t n + 1 ) e u ( x , t n + 1 ) são as mesmas. Porém u ( x , t n + i ) não satisfaz V • u = 0. Seja 'ip(x, tn+1). uma função escalar tal que:. U.(x, tn+1) - u(x, tn+l). = - VÛ,. tn+1) .. (3.4). Aplicando o divergente a ambos os lados da equação (3.4) e impondo conservação de massa para u{x,tn+\),. obtemos:. V 2 il){x,t n + i) = V • u(x,tn+l). .. (3.5). As condições de fronteira adequadas para a equação (3.5) são: V; = 0 ,. (3.6). ^ = 0 , dn. (3.7). com (3.6) aplicada em superfícies livres e com (3.7) aplicada nos contornos rígidos. Substituindo (3.4) em (3.2) obtemos: d — (~V^{x,tn+i)) dt. = - V ( p ( x , í „ + i ) -p(x,tn+i)). ,. implicando em: d — U{x,tn+i)) dt. = p{x,tn+1). -p(x,tn+i).. Ao discretizarmos a equação acima através de diferenças progressivas no tempo obtemos: ^. ^. -^(xJn) òt. =pU,tn+1)-p(z,tn+1). 12. ,. (3.8).

(27) 3.. Método Nu111crico. onde St é o passo no tempo. Como u(x, tn) = u(x, í„), então através de (3.4) vemos que V'0(x, tn) = 0. Decorrente desse fato, -tjj(x, tn) e constante. Considerando ip(x, tn) = 0 em (3.8), obtemos a equação para a pressão:. P = P+. 3.2. •. Jf. (3.9). Algoritmo C o m p u t a c i o n a l. P a s s o 1:. Seja n = 0 e p(x, to) um campo de pressão inicial que satisfaz a condição de. contorno para a pressão na superfície livre. Esse campo de pressão é calculado de forma que a equação (2.44) seja satisfeita na superfície livre.. P a s s o 2:. Calculamos $xx(x,. tn),. &xy{x,tn). e $yy(x,tTl). explicitamente através das. equações (2.39)-(2.41). P a s s o 3:. Utilizando os tensores calculados anteriormente, a velocidade intermediária. u(x, t n + ] ) é calculada através das seguintes equações: du2. du. « dt. +. duv. 1 /. dy. Re \. 2. d<bxx. +. dx. d$xy\. +. dx. dy ). fJx. t rl. (3.11). As equações diferenciais ordinárias (3.10) e (3.11) são resolvidas utilizando métodos de Runge-Kutta explícitos 1 . P a s s o 4:. Resolvemos a equação de Poisson abaixo para determinarmos. V2ij(x,tn+1) 1. = V -u(x,tn+l). .. ip(x,tn+1):. (3.12). Nesse trabalho, utilizamos métodos de R u n g e - K u t t a de ordem 1 (Euler), de ordem 2, 3 e 4, descritos. no anexo A.. 13.

(28) 3. Método Nu111crico. P a s s o 5:. Calculamos a velocidade final u(x,tn+í). u{x,tn+]). P a s s o 6:. = u(x,tn+1). -Vip{x,t.Tl+i). .. (3.13). A pressão c calculada por meio da seguinte equação:. P(x,tn+l)=p(x,tn). P a s s o 7:. através da equação:. +. t. ^ ^ .. (3.14). Atualizamos a posição das partículas marcadoras. Essas partículas são geradas. nos injetores sendo injetadas para dentro do domínio para representar o fluido, fornecendo meios de visualização do escoamento e obtenção da orientação da superfície livre. As partículas marcadoras são movidas para suas novas posições através da solução das seguintes equações pelo método de Euler explícito:. dt P a s s o 8:. Se í„ + , < tjmai. dt. façamos n = n + 1 e voltamos ao passo 1, caso contrário. terminamos o algoritmo.. 14.

(29) 15. Discretização das Equações. 4.1. Domínio C o m p u t a c i o n a l. P a r a resolvermos as equações (2.39)-(2.41), (3.10), (3.11), (3.12), (3.13) e (3.14), utilizamos o método de diferenças finitas em u m a malha diferenciada 1 , cuja pressão e tensão são calculadas no centro da célula e as componentes da velocidade nos pontos médios de cada aresta, conforme podemos observar na figura (4.1).. Figura 4.1: Célula Computacional.. Como o fluido está em movimento, precisamos identificar o fluido e a posição da superfície livre na malha, para isso, as células da malha são classificadas como segue: 1. Esse tipo de malha foi escolhido por permitir um melhor acoplamento entre a velocidade e a pressão,. foi introduzida por Harlow e Welsh [1965],. 15.

(30) 4. Diiscrctizãção (his. Equações. 1. VAZIA (E): São células que não contém fluido. 2. CHEIA (sigla: F): São células que estão cheias de fluido. Essas células não possuem faces em contato com faces de células vazias. 3. SUPERFÍCIE (S): São células que contém fluido e possuem pelo menos uma face em contato com u m a face de célula vazia. 4. IN.IETOR (I): São células que definem a fronteira de injeção. 5. EJETOR (O): São células que definem a fronteira de ejeção. 6. CONTORNO (B): São células que definem a localização da fronteira rígida. A figura (4.2) mostra uma configuração de células em uma malha computacional, nela podemos observar todos os tipos de células e sua distribuição definindo o domínio do fluido.. Células Vazias eixo x. Figura 4.2: Domínio Computacional.. 4.2. Discretização das Equações Governantes. Para discretizarmos as equações de quantidade de movimento intermediárias (3.10) c (3.11) vamos utilizar a aproximação por diferenças centrais para as derivadas espaciais 16.

(31) 4. Diiscrctizãção (his Equações. e a aproximação por diferenças progressivas para as derivadas temporais. A equação de quantidade de movimento (3.10) é discretizada no ponto (i -f-. das células, enquanto. que a equação (3.11) é discretizada no ponto { i , j + \ ) . Procedendo dessa forma, a equação de quantidade de movimento intermediária (3.10) pode ser escrita corno: Pi+lj. •St. >+5,j. 1. '. u. i. +. ~~ Pi,j Sx lj~. 2 u. Re. <. ÍUHÍJ+1. +. +. Sx2. ~Re 1. CONV(u)\i+i-. 1. 2. {. )]. d<&xv. ~2Ur+\,3. i. dx. Sy. dy. i+^J. i+bJ. .. th Fr2. Procedendo de forma análoga, a discretização da equação de quantidade de movimento intermediária (3.11) é dada por: Pi,] +1 ~ Pt,3 i J+!. 1,3+2. CONV{v)\.. Sy. >3 + i. Vijfi. 1. Sx1. "Re. 1 {ViJ+l. -2VIÚ+Í+-Vhj_i. +. 2. Re. Sy. gçxy dx. d$yy + —r;— , dy M+è i j + y .. 9y Fr2. onde. CONV{u). | 1+~h,j. / du2. duv. ^ Qrj.. Qy. e. CONV(v)\l. As derivadas do tensor não-Newtoniano ^f^ 1 ,. duv. dv2. dx. dy. e. (4.1) i.3 + \. são discutidas na. sessão [4.2.1] e os termos convectivos (4.1) são tratados na sessão [4.3]. A equação de Poisson (3.12) é discretizada utilizando-se o operador laplaciano discreto com 5 pontos: -0i + l,j - 2-0 m + V ^ - u. xjjjj+i - 2V>i,j + Ipjj-I. Sx'2. ôy2. U =. u. i+\,3. i-\j. V + _h3+. V. k. ôx. i,j-. •. (4-2). òy. Pode-se mostrar que a equação (4.2) corresponde a um sistema linear positivo definido e pentadiagonal para. Para resolver esse sistema linear, empregamos o método. dos gradientes conjugados como implementado em Tomé et al. [1994], 17.

(32) 4. Discreíizaçao. das E<iuaçoes. A velocidade final é obtida discretizando-se a equação (3.13) nos respectivos nós:. u. •, i+. i 2J. —. lf Ji. 2. i. ; òx. J. (4.3. fy. ~. O campo de pressão é obtido discretizando-se a equação (3.14) no centro das células: ~ ? P i j = P i j + "77" • ôt. 4.2.1. / \ (4.5). Cálculo das Derivadas do Tensor n ã o - N e w t o n i a n o. A derivada. é calculada no ponto. +. i ) através da aproximação por diferenças. centrais, conforme a equação (4.6). A derivada. é calculada no ponto (i,j +. das. células de forma análoga, conforme a equação (4.7). Q^Xl dx. XX. X X. (4.6). ôx. i+iJ. ij+i dy. _ (T,yy. «J. (4.7). ôy. F/S. F/S. O/E. O/E. F/S. F/S. F/Sij. F/S. F/Sij. F/S. F/Sij. F/S. F/S. F/S. F/S. F/S. O/E. O/E. Figura 4.3: Três configurações de células para o cálculo de. A derivada. é calculada no ponto (i +. ^. das células. Três casos são anal-. isados, conforme figura (4.3). No primeiro caso, utilizamos a aproximação por diferenças centais, conforme a equação (4.8), no segundo caso utilizamos a aproximação por diferenças regressivas, conforme a equação (4.9) e no terceiro caso utilizamos a aproximação por diferenças progressivas, conforme a equação (4.10). 18.

(33) 4. Discretização. cias. Equações. • Primeiro caso: x. dy. •. i - o> * •y i H-i. 1. diyy. (4.8). 6y. i-HJ. .. i. <[>r" + <!."'. . + ([.•• '. ^ j J j l l lj ^. + cl»' <. 1J-1 ^. 2 + 1, J-1. Segundo caso: ^xy _ ^xy i+bj Í + 5J-1. (4.9). dy •+ÍJ (I>f '. (jxy. 4 <l»f,i. 2. Terceiro caso:. <pxv,. -. , (4.10). dy cí>Iy. <Í>,:i 4 ( J . .. 4 ã>xy e. 1,3. 1. i+l,J. o ti. Quando a célula {i,j) está em contato com células do injetor ou células do contorno rígido, de acordo com a figura (4.4), utilizamos a aproximação por diferenças centrais juntamente com as condições de contorno para. estudadas na sessão [2.3].. F/S. F/S. B/I. B/I. F/S. F/S. F/Sij. F/S. F/Sij. F/S. F/Sij. F/S. F/S. F/S. F/S. F/S. B/I. B/I. Figura 4.4: Três configurações de células para o cálculo de. A derivada. é calculada no ponto ( i , j + | ) e é obtida de forma análoga.. 19.

(34) 4. Discretização. 4.2.2. cias. Equações. Discretizaçao do Tensor n ã o - N e w t o n i a n o. As equações (2.39)-(2.41) são discretizadas no centro das células conforme podemos observar abaixo:. =. -De 4. ij. \. du Ih:. -2De. =. . du + 2 dy. ( du 7Tdx. -De. dy. dv. du +. IFx. ( du, dy. í,J V. + hj. dv dx. dv. õi . dy. dx. l. 'J /. du fry. dv. dx. \. >J. As derivadas na equação acima são aproximadas como segue. Para calcular a derivada. utilizamos o esquema de diferenças centrais, conforme a equação (4.11). A derivada. t~ é calculada de forma análoga, conforme equação (4.12). du. (4.11). dx dv dy. (4.12). 5y. hj. F/S. I/O/B/E. F/S. F/Sij. F/Sij. F/Sij. F/S. F/S. I/O/B/E. Figura 4.5: Três configurações de células para. A derivada. dy. é calculada utilizando-se um esquema misto. Para o caso que a célula. com índice (i, j) possui as faces j + \ e j - \ em contato com células cheias ou de superfície livre utilizamos o equema diferenças centrais:. 20.

(35) 4. DiscretAzaçao das. Equações. du dy. (4.13). õy. M. Uj+ij+i +yi,J+i. + ui+ itJ +. « i + i j - . + ««-$ J - l + Ui+lj. +. uîj Ui.lj. 4 Quando a face j + ~ não está em contato com células cheias ou de superfície livre utilizamos o esquema de diferenças regressivas: du. (4.14). õy. dy e. 2. UÍJ-Í. Por outro lado, se a face j — ^ não estiver em contato com células cheias ou de superfície livre utilizamos o esquema de diferenças progressivas: u. du dy. (4.15). õy. hj. L „• + UT_. IJ. uij+i Para calcular a derivada. 4.3. procedemos de forma análoga ao cálculo da derivada. Discretizaçao dos T e r m o s Convectivos. A forma através da qual as derivadas convectivas nas equações de quantidade de movimento (3.10) e (3.11) são aproximadas requer uma atenção especial. Esses termos são responsáveis por muitos fenómenos complexos nos escoamentos e são os principais causadores de dificuldades numéricas nas simulações. Devido a esses fatores, várias técnicas de discretização têm sido desenvolvidas ao longo dos anos, conferir Varonos e Bergeles [1998]. No presente trabalho adotamos o esquema de alta ordem VONOS ( Variable Order Non-Oscilatory. Scherrie), ver Varonos e Bergeles [1998].. A escolha do esquema VONOS para a discretização do termo convectivo é devido ao fato de que esquemas de alta ordem reduzem oscilações numéricas fisicamente incorretas 21.

(36) 4. Discretização. cias. Equações. ao mesmo tempo que minimiza os efeitos da difusão numérica artificial. Outros métodos como SMART, conferir Gaskell et al. [1988], e o esquema HL PA (Hybrid Linear Approxirnation),. Parabolic. conferir Zhu [1992], poderiam ser utilizados. p.1. pi>. 4>,. Figura 4.6: Estêncil utilizado para calcular 0.4 e 4>b-. Considerando a figura (4.6), onde Vy\ e VB são as velocidades convectivas nos pontos PA e Pu, respectivamente.. Para calcularmos a derivada parcial da variável genérica 0. em um ponto P 0 , por exemplo. onde s é um dos eixos coordenados, podemos fazer a. seguinte aproximação: d0. 4>B - <Í>A. Ifs Os valores de (j)Á e. As. Po. '. são obtidos em termos dos valores vizinhos,. cj)2 e das direções das velocidades convectivas (VA, VU)Esquema VONOS: se 0o 0 [0,1]. 00, 100o. se VB > 0,. -. 3. 1 + |0o - l<t>-i,. 0, =. se 0o G [3/74,1/2). 1.500 - 0 . 5 0 - 1 ,. se 0o G [1/2,2/3). 01,. se 0o G [2/3,1]. 01,. sc 0i £ [0,1]. 100! se V/j < 0,. se 0o € [0, 3/74). -. 3 00 8. 902,. + §01 - J-J02,. 1.501 -. 0.502,. se 0i G [0,3/74) se 0! G [3/74,1/2) se 0, G [1/2,2/3) se 0! G [2/3,1]. 22. <t>-1, 0o, <t>\,.

(37) 4. Discretização. cias Equações. se 0 - 1 Í [0,1]. 0-1. 1 0 0 -1 s e V4 > O,. cf)A = <. Í0o + | 0 - i 1.5. se VA < O,. onde. 4>a= {. se 0..., € [ 0 , 3 / 7 4 ). 90 l<t>~2,. — O.50_2,. se 0 . , G [ 3 / 7 4 , 1 / 2 ) s e 0—1 G [ 1 / 2 , 2 / 3 ). 0o,. se 0 - 1 6 [ 2 / 3 , 1 ]. 0o,. se. 00. Í. lO0o-90i,. se. 0o. G [0, 3 / 7 4 ). se. 0o. 6. 3 | 0 _ 1. +. |0O. -. g 01,. [0,1]. [3/74,1/2). 1.50o - O.50x,. se 0o £ [ 1 / 2 , 2 / 3 ). 0-1,. s e 0o e [ 2 / 3 , 1 ]. z= — 1, 0, 1, é definido ern função das velocidades upstream (0[/)>. {éu) e dovmstream. remote-upstrearn. {(j)p) no ponto Pa e Pu, isto é, de acordo com a direção da velocidade. convectiva, e -. ~~ ^ H 4>n — (t>R ^. u. Por exemplo, considendo o ponto PA, como mostrado na figura (4.6), e supondo que a velocidade convectiva nesse ponto é positiva (VA > 0), então os valores de 4>D, 4>v e 0 / j são dados por 0 O , 0_! e 0_ 2 , respectivamente. Para implementarmos as expressões acima consideramos o termo convectivo da equação (3.10) avaliado cm (1 +. CONV{u). j), dado por: dv2 1+5J. dx. d(uv) 1 „•. dy. (4.16). As derivadas da equação (4.16) podem ser aproximadas como segue: d(wu) dx. 1+5J. (4.17). Sx. d(uv) Sy. dy. (4.18). onde u 0 v sao as velocidades convectivas e podem ser obtidas pelas médias dos valores vizinhos.. As velocidades transportadas são calculadas através do esquema convectivo. 23.

(38) 4. Diiscrctizãção. (his. Equações. VONOS. Logo, hs velocidades u. ( j e Ui+ij em (4.17) sao obtidas de acordo com o seguinte procedimento. Seja Sij definido abaixo: 0,. se ú i j > 0. 1,. caso c o n t r á r i o. hj. Aplicando o método VONOS à equaçao (4.17), obtemos:. = (1 - S ^ j ). ( ^ ^. 10 u ,3 = (1 " S;. u. l. U. 9u. i +. L 5 u. | + S;1+1,3 '"'H>J ~. ^. j. f ,. 0.5 U l1_i ,. i+èj. J. se. *. se. G [0,3/74). se. 0Í+1J 6 [ 3 / 7 4 , 1 / 2 ) j G [1/2,2/3). se. 2 'J. [o,i]. se 0i + i,3 e [ 2 / 3 , 1 ]. i+I,3. se Ã+LJ. *. [o,i]. se 0Í+1J e [ 0 , 3 / 7 4 ). -u-. + s,2+lJ. í^ +f j 0.5u. L5 U. ' »+§J. 8Uí. i. S(. ' ?»+lj G [3/74,1/2). se 4>i+\j G [ 1 / 2 , 2 / 3 ). Í+5.J. se. X + i j G [2/3,1]. u. 4>i,j = (1 -. + 5,i,3. S^). i+li. "'•l-J u. s e 4>I,3i [ o , i ]. lOii,1 i i ~ 9tíj_3 2 ' 2J 6 3 8 "H'J + 8 "i-lJ. se 4>i,j<G [ 0 , 3 / 7 4 ). i-U. uitj = (1 - Sij). <. l.ÕU.1 1. 2. U. 1 .. 8 i— f J. 3 • ' 2. - 0.5u,. se i i j G [ 3 / 7 4 , 1 / 2 ) se. G [1/2,2/3). s e 0*,3 G [ 2 / 3 , 1 ]. i+\,3. se ^1,3 i [0,1]. 3 Si. -. ! } í. ' <. •;;..;. se. G [0, 3 / 7 4 ). íui-y +. se 01,3 G [ 3 / 7 4 , 1 / 2 ). 1 - H + i ,3. se 7) 'l,3 G [ 1 / 2 , 2 / 3 ) se 0i,3 G [ 2 / 3 , 1 ]. 24.

(39) 4. Discretização. cias. Equações. As velocidades transportadas da equaçao (4.18) são obtidas de forma análoga ao procedimento acima.. 4.4. A p r o x i m a ç ã o das Condições de C o n t o r n o n a Superfície Livre. As condições de contorno na superfície livre (2.46) e (2.47) podem ser escritas como:. P~ Y. xx 2. n. e. x. + $yyn2y + 2nxny. + dxy)} = 0 ,. {dxx - dyy + <l'r' - <J>ra) nxny + \d"' + 4>:v; (n2 - /»;;) = 0 . Para aplicar essas condições, vamos supor que a malha é suficientemente fina de forma que a superfície livre do fluido intersecta as células da malha em duas faces. Nesse caso, podemos aproximar a superfície livre através de superfícies horizontais, verticais ou inclinadas 45°, como segue:. 1. Células de superfície livre com apenas uma face em contato com u m a face de c é l u l a s vazias: Nesse caso, assumimos que a superfície livre é horizontal ou vertical. O vetor normal nessas células toma a forma n — (±1, 0) ou n = (0, ± 1 ) , de acordo com a figura (4.7). i+1, j+1/2. a). b). " E u • i+1/2, j. c). d). E. - V Figura 4.7: Células de superfície livre com apenas u m a face em contato com uma célula vazia. As equações (2.46) e (2.47) nessas células se reduzem a: p- ~. (<í>"' /r; + $mn2y). xy+ ^xy. o. (]. 25. = 0 ,. (4.19) (1.20).

(40) 4. DiscretAzaçao das. Equações. Considerando a figura (4.7a), observamos que ao calcular u-, 1 , e ?;.,„, i, utilizando 2^. (3.10) e (3.11), os valores de u i + i j ,. ^ 2. e p h:j são necessários. Esses valores são. obtidos como segue: • A velocidade ui+ \ 7 é calculada através da equação da continuidade aplicada 2. no centro da célula de superfície livre, que fornece:. A velocidade {i. 2). é calculada aplicando a equaçao (4.20) na coordenada ma. l h a , fornecendo: 1 -. Vi+lj+l =. ~ÔX. 2 D edy^. du dy. (4.22) I ; _. i+líH. 2 D e. p ox. i+bi+L onde as derivadas. sao avaliadas através de diferenças centrais e a deriva-. da ~ é avaliada através do esquema de diferenças regressivas. • A pressão p l j é calculada através da equação (4.19) aplicada no ponto ( i , j ) , assim obtemos:. /V,. ,;!, ( ' / " „. •. •. (4-23). 2. Células de superfície livre com duas faces adjacentes em contato com faces de células vazias: Nessas células, assumimos que a superfície livre faz um ângulo de 45° com os eixos coordenados. forma n =. Nessas células, o vetor normal toma a. P ° r exemplo, se considerarmos a célula de superfície livre. mostrada na figura (4.8a), tomamos n = í. 26. ~.

(41) 4. Diseretizaçao. das. Equações. E. a) v. E. c). ,,1+1/2. - * s •• u. E. E. S. i+1/2, j. íIJ b). J. d). E. S. E. \. l S. / •j E. 'J E. Figura 4.8: Células de superfície livre corri duas faces adjacentes em contato com células vazias. Nesse caso, as equações (2.46) e (2.47) tomam a forma:. p =. '. 2 Re. (<!'" + <1><'' + 2 «!>"' + 2 dxy). ,. (4.24) (4.25). d. xx. As velocidades ui+ \. +. yy. - d. yy. + <!>" - <S>. = 0 .. i e phj são calculadas como segue:. Utilizamos a equação (4.25) j u n t a m e n t e com a equação de conservação de massa (2.37) para calcular as velocidades ui+ij. e vij+i . As equações (4.25) e (2.37). formam um sistema de segundo grau com duas equações a duas incógnitas, que pode ser resolvido através do método de substituição sob a hipótese de que dx — Sy. Quando õx. Sy o sistema não linear gera quatro soluções, impossi-. bilitando sua implementação computacional. Utilizando o vetor n — e simplificando as equações (4.25) e (2.37) obtemos o seguinte sistema: dv. du. dy. dx. du. dv. dx. dy. onde as derivadas ^. du. ^. dy. 0 ,. (4.26). e ~ são aproximadas através do método de diferenças. centrais e as derivadas ^ e ~ são aproximadas através de diferenças regressivas. 27.

(42) 4.. Discretização. das. Equações. Resolvendo o sistema (4.26), obtemos os seguintes resultados p a r a a velocidade:. 1 n. i-H/2,j +. 24. ^ d ". 2 6. U. ^. i-1/2,J. -. Vi_lj_l/2'Ui-l/2,j. -. - 6. ~ W42 + 8 W4. +. w. l 2 - 2 UJ\. n,(_1/2)J +. 24vl^l)j+l/2u.l_l/2!j. 1/2 + 8 w i Vi_l<j_l/2. +. + 8W4U í _ 1>j _ 1 /2 - 12. -. Vij_l/.2. 12 Wi. i, J + 1/ 2 2. ^ j - 1 / 2 ~ 16. - 32 "1-1,7 + 1/2 Vi-1, j-1/2 + 48 Uj-1, j + l/2 vi,j-l/2 ~ ^ V i - l J - l / 2 2 + 48 fi—1, J — L/-2 —1/2 + ^ 3 2 w 2 + 2 Co>3 W2-80/3 «i+i/2,j-l - 8 w 3 «i-1/2, j-1 + 6 ^ 3 U-i- 1/2, J + 2 - 8 W2 «i + l / 2 , j - l -. 8^2. Ui~\/2,j~\. u. +. i~l/2,j. + l f >'"j+l/2,j-l 2 + 32 «,-(-1/2,7-1 "t-1/2, j - 1. - 2 4 « i + 1 / 2 , j _ i «í-i/2,i + 16uí-i/2,J-I 2 - 2 4 « i _ l / 2 , j _ i «Í-1/2.J - 36uj_ 1 y 2 ,j + 32 U 7 -i/2,j + 1. 2. -. u t -i,j+i/2 - 3 w2. 3wi + 12iíj + 1 / 2 , j-1 - 18?ii_i/2, j)De + 16 dy) , w. = '^-2,7 + 1/2 ,. '^,7 + 1/2 =. 12. j ( ( - 3 w 4 - 3w 3 + 12'Uj_ t / 2 ,j-i - 18 ^,7-1/2 +. vij_1/2)De. 2 =. + 2^1. 3 — ",+ 1/2,7-2 ,. Vi,j-\/2. /2 + W42. ! ) j + 1/22 + 32. 1/2 + 6w4'"i,j-l/2 + 16 + 16 V I -l > J -l/2 2 - 24t»i_1> j_i/2. + 8w:i Uj + 1 /2,j-l + 8 w3 líj_i/2,j-l - 12 W3 ui~\/2,j + 8cj 2 « i - l / 2 , j - l -. = ^ - 2 , 7 - 1/2 •. - 8wi D,-_iiJ + i/2 - 8wi Wi-1,^1/2 + 6 Wi. - 8íJ4 ^ - 1 ^ + 1/2 - 8w 4 - 24tij_i ) j + )/2. w. -1/2,J -2 ,. 12. u. i-l/2,j. + 48 Ui + ] /2, j-1 «i-1/2,7 +. 24u. ~. 6 w. -. 2 "2,7-1/2 ~ 1 6. í+l/2,7-l. v. i,j-\/2. + 24 Ui-i/2, j - i "1,7-1/2 - 3 6 u í _ 1 / 2 i / 2 - 36. ~ 16. v. i,j-\/2. -. w 2. 6w 3 '^,7-1/2 1/2, 1/2 ,. , _ j + 1 /2 1^1-1, J —1/2. 3. -. 2 w3 W2. -. w 2. 2. j 2 - 32. +. 8w 2 ^+1/2,7-1. 1/2, j-1. 1/2, j-1. j-1' 2 + 4 8 u i _ 1 / 2 , j - l î —1/2, j. î, 7-1/2)-^ +. 32. j-1/2 d v) / ( ( ~ 3 w 4. - 3W3 + 12 Ui_l/2, j-1 - 18 ",,7-1/2 + 12^-1,7 + 1/2 - 3 W2 + 12 fi-1, j-1/2 - 3wi + I 2 u i + 1 / 2 J _ 1 - 18'Uj_ 1 /2,j)ê + 16 dy) , = "í-2,7 + 1/2 >. • A pressão. w. = ",-1/2,7-2 I. 3 = "t+1/2,7-2 ,. = "Í-2,7-1/2 •. é calculada através da equação (4.25) aplicada no centro da célula. de superfície livre. Considerando o caso (4.8a), temos:. /',.. - ^. + ^ I m + 2 ^ 1 , 7 + 2 rf"|,tJ) .. 28. (4.27).

(43) 4. Discretização. (las. Equações. Para os outros casos cia figura (4.8) procedemos de forma análoga. 3. Os casos que a célula de superfície possuem lados opostos em contato com lados de células vazias ou que possuem três ou quatro lados em contato com células vazias são considerados casos degenerados. Nesses casos, uma das velocidades é calculada em função das outras de forma que a equação da continuidade seja satisfeita e a pressão é dada por p = 0. Quando esses tipos de configuração de células aparece em um escoamento, isso indica que a malha de pontos deve ser refinada.. 4.5. Controle do Passo no Tempo. Utilizamos um procedimento para calcular o tamanho do passo no tempo para todo ciclo computacional. Esse procedimento é baseado nas seguintes condições de estabilidade escritas na forma adimensional, conferir Tomé et al. [1994] ou Fortuna [2000]: 1. Nenhuma partícula deve cruzar mais de uma célula em um dado intervalo de tempo. Esse critério é conhecido como condição CFL. Assim, o valor de St deve ser:. ! < min ( — ^ — , Y~—. onde | u | m a i e. |w|max. ) ,. (4.28). são as velocidades máximas, em módulo, nas direções x e y,. respectivamente. 2. O termo difusivo da equação de quantidade de movimento exige que:. O valor de St adotado deve satisfazer, simultaneamente, as condições (4.28) e (4.29), portanto: õt = Çmin(õtuôt2). 29. ,. (4-30).

(44) 4. Discretização. (las. Equações. onde 0 < £ < 1 é um fator de segurança. Para fluidos de Segunda Ordem usamos £ no intervalo. 4.6. M o v i m e n t o das Partículas. Utilizamos partículas marcadoras para representar o fluido. O objetivo principal dessas partículas é indicar a posição da superfície livre para determinar a configuração do fluido. As partículas são atualizadas no fim de cada passo no tempo fornecendo a dinâmica do movimento do fluido. A nova coordenada do fluido é encontrada resolvendo as seguintes equações através do método de Euler, conferir Ralston [1965]: dx. dy e. = v. m. -. As partículas são movidas de acordo com as seguintes equações:. X - =. x. ; +. = y; +. onde (Xp,y'p), {Xp + l.yp. +]. n+1. Upòt. ,. vpstn+l.. ) e òt'L+x são a posição atual da partícula, a nova posição e o. passo no tempo atual, respectivamente. As velocidades up e vp são calculadas através de uma interpolação bilinear envolvendo as quatro velocidades u e v mais próximas.. 30.

(45) 5 Validação do M é t o d o N u m é r i c o. As equações de diferenças finitas descritas no capítulo anterior foram implement a d a s no sistema FreeFlow-2D 1 para que possa ser empregado na simulação numérica de escoamentos de fluidos de Segunda Ordem. Na sessão [5.1] apresentamos a simulação do escoamento em um canal bidimensional corri o objetivo de validar a implementação do método numérico desenvolvido nesse trabalho.. 5.1. Validaçao no Canal. P a r a validar o método numérico vamos considerar o escoamento em u m canal, conforme mostra a figura (5.1). 15 cm B. B. B. ». 1. F. F. F. F. IN. 1. F. F. F. F. F. F. I. F. F. F. F. F. F. I. F. F. F. F. F. F. I. F. F. F. F. F. F. I. F. F. F. F. F. B. B. B. B. B. B. B. AB. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. 1. \. 0. I 0. S. 0. ;. 0. /. s 0 s 0 B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. Figura 5.1: Descrição do modelo computacional para a canal-2D.. No injetor, vamos utilizar o perfil de velocidades parabólico, dado por: 1. Conferir anexo C. 31.

(46) 5.. Validação do Método. Numérico. u{y) = "o -. -. •. (5.1). onde uQ = 1 rn/s é a velocidade no injetor, L = 1 cm, é a largura do canal e H = 15 cm 6 o comprimento do canal.. Substituindo u0 e L na equação (5.1) obtemos o perfil de. velocidade do injetor: u{y) = ~4y2 + Ay .. (5.2). A solução analítica para o perfil de velocidades no canal em regime permanente é dada pela pelas equações abaixo, de acordo com Fortuna [2000]:. u. M. = - ± g (. v. L -. v. > ) .. | | = -12 f , [ < y ) d y .. (5.3) (5.4). Utilizando as equações (5.3) e (5.4) juntamente com o perfil de velocidades no injetor (5.1), verificamos que o perfil de velocidades no canal é dado pela equação (5.1). E m regime permanente, as equações constitutivas (2.34), (2.35) e (2.36) se simplificam em: rxx=. 2. Re. Defdu^2 \dy. Tx y _ ± d u Re dy TYY. (5.5). = 0 .. As equações (5.5) são as soluções analíticas para as componentes do tensor de tensão extra quando a velocidade u é calculada através da equação (5.1).. 32.

(47) 5.. Validação do Método. Numérico. Para simular o problema (5.1), vamos utilizar os seguintes dados: Escala de comprimento L = 0.01 m Escala de velocidade U = 1.0 m / s m/s2. Força de gravidade : g = g = 0 . 0 x. Viscosidade q/p = 0.01. -y. iir/s. Tolerância para a solução da equação de Poisson = IO" 8 Fator de controle de passo no tempo C = 0.08 A 2 = 0 . 0 0 4 5 .s. Numero de Reynolds = 1.0 Número de Deborah = 0.45 Para avaliar a convergência do método apresentado, vamos utilizar três malhas: M,. óx = 6y = 0.125 cm, (8 x 120) células;. M2. Sx = dy = 0.0625 cm, (16 x 240) células;. M3. ôx = ôy = 0.03125 cm, (32 x 480) células. O sistema FrccFlow-2D simulou esse problema, utilizando as três malhas, até atingir. o estado estacionário. Os resultados apresentados nas figuras (5.2)-(5.7) correspondem à simulação na malha M :í . A figura (5.2) mostra a distribuição de velocidade u no canal nos tempos t = 0.1 s e t = 0.545 s. Podemos observar que no t e m p o t = 0.545 s as linhas de contorno estão paralelas mostrando que o estado estacionário foi atingido. As figuras (5.3)-(5.7) mostram, respectivamente, a configuração da velocidade v, da tensão normal txx,. xy. yy. da tensão cisalhante T , da tensão normal r. e da primeira diferença de. tensões normais AL. Pode-se observar que os valores de Txx e jVI estão bem próximos. A diferença entre r x x e A l se deve ao fato que r y y não é nulo próximo ao injetor e à superfície livre, como pode ser observado na figura (5.6).. 33.

(48) 5.. Validação do Método. FREEFLOW-ZD File v ). I. i | 0.0600. Numérico. VISUAIIZATOR. View. vorsion 3.0. pira. 1 0,1942. 1 0,3295. l. 1 0.4627. 0.5969. I i 0.7311. i 0,8654. I 0.999E. •. i. n. 1 Hl. I FILE : ../sal d a s / c a n a l Re 1 D e 4 5. File V. d. View Optlons. View r i. frame = 2 0. View Options. cycle = 1 1 7 0 2 8. t - 0.100001. X-Velocity. r). i. FILE : ../sai d a s / c a n a l Re ! D e 4 5. frame-109. cycle - 6 3 7 9 0 5. 1. m 3651. t - 0.545000. 0.999Í. X-Velocity. Figura 5.2: Resultados numéricos para a componente u em t = 0.1 s e t = 0.545 s. I-ÍBIxI File r j ,. -0.2005. Vlew t ). Vlew Optlons. -0,1431. f ). -0,0858. -0.0284. FILE : . . / s a i d a s / c a n a l R e l D e 4 5. 0,0290. frame - 20. 0.08S4. c y c l e - 117028. 0,1438. t - 0,100001. 0,201. Y-Veloclty. -inixi File ~ j. -0.0003. Vlew r ). vlew Optlons r ). -0.0002. FILE : , . / s a l d a s / c a n a l R e 1 D e 4 5. -0.0001. -o.oooo. o.oooo. frame. - 109. 0,0001. cycle - 8 3 7 8 0 5. 0.0002. t = 0.545000. o.ooo:. V-Velocity. Figura 5.3: Resultados numéricos para a componente v em t = 0.1 s e t = 0.545 s. 34.

(49) 5.. Validação do Método. Numérico. FRFEFI O W - ? D V I S U A l I Z A T O R File. 1 | -37.3213. View r. i.lnlxl. vorsion 3.0. View Options. 1 -31.9905. 1 -28.6596. 1 -21.3288. I -15,9979. i -10.6670. i -5.3362. I -0.005. |. Li FILE : „ / s a i d a s / c a n a l R e 1 D e 4 5. frame-20. cycle = 1 1 7 0 2 8. t-0.100001. Tau[xx]. -lai File r ). -12,6193. VI8W r.). x). View Options r ). -10.8185. -9.0178. -7.2170. -5.4183. -3.6155. frame = 109. cycle - B 3 7 8 0 5. -1.8148. -0.014. s FILE : „ / s a i d a s / c a n a l R e l D e 4 5. t - 0.545000. Tautxx]. Figura 5.4: Resultados numéricos para o tensor Txx em t = 0.1 s e t = 0.545 s.. -lai §j File TJ. View r ). View Options t ). FILE : , . / s a i d a s / c a n a l R e l D e 4 5 FREEFLOW-ZD File. frame = 20. cycle = 1 1 7 0 2 8. t - 0,100001. Tau[xy]. frame - 109. cycle - 6 3 7 8 0 5. t - 0.545000. Taulxy]. VISUALIZATOR - version 3.0. View r ). View Options. FILE : ../sai d a s / c a n a l Re 1De4 5. Figura 5.5: Resultados numéricos para o tensor rxy em t = 0.1 s e t — 0.545 s.. 35.

(50) 5.. Validação do Método. FRFEFI.0W-2D. File v. Numérico. rrsrn. V I S U A I I 7 A T O R - versioil 3.0. vlew r) View Optlons v. -40.6130. -34,6521. -28,6312. -22,7302. FILE : . . / s a l d a s / c a n a l R e ! D e 4 5. -16,7633. -10.8084. -4.8474. 1,113E. frame-20. cycle = 1 1 7 0 2 8. t = 0,100001. Taulyy]. frame = 103. cycle-637805. t = 0,545000. Tau[yy]. FREEFLOW-?D VISUALIZATOR - verslon 3.0 File. View. View Optioris. FILE : , , / s a i d a s / c a n a l R e 1 D e 4 5. Figura 5.6: Resultados numéricos para o tensor ryy em t = 0.1 s e t = 0.545 s.. IQs£l File t ). Vlew r ). View Options. frame - 20. FILE : . , / s a l d a s / c a n a l R e 1 D e 4 5. File r ). -13.4465. Vlew r ). c y c l e - 1 17028. t - 0.100001. N1. V l e w O p t l o n s r_). -11,5256. -9.6047. -7,6837. -5.7628. frame - 109. FILE : ,,/sai d a s / c a n a l Re 1 D e 4 5. -3,8413. -1.9203. cycle-637805. t - 0,545000. 0,000(. N1. Figura 5.7: Resultados numéricos para NI em t = 0.1 5 e t = 0.545 5.. 36.

(51) 5.. Validação do Método. Numérico. Nos gráficos das figuras (5.8)-(5.13) os resultados numéricos são representados pelos pontos discretos e os resultados analíticos, conforme as equações (5.1) e (5.5), pelas linhas contínuas. A componente da velocidade v e a componente da tensão r y y não foram inseridas no processo de validação pois ambas são nulas. Todos os resultados são adimensionais. Os gráficos da figura (5.8) e da figura (5.9) correspondem ao corte do canal na direção y nas coordenadas x = 7.5 cm e x = 15.0 crn para a malha M j , respectivamente.. Figura 5.9: Resultados na malha M{: velocidade u, componente TXX e RXY em x = 15.0 cm.. 37.

(52) 5.. Validação do Método. Numérico. Os gráficos (5.10) e (5.11) correspondem aos resultados obtidos para a velocidade e para a tensão nos planos x - 7.5 cm e x = 15.0 cm para a malha M2.. Figura 5.10: Resultados na malha M2: velocidade u, componente t x x e r x y em x = 7.5 cm.. Figura 5.11: Resultados na malha M2:. velocidade u, componente rxx. 15.0 cm.. 38. e Txy em x =.

(53) 5.. Validação do Método. Numérico. Os resultados obtidos para a malha M:} no plano x — 7.5 cm podem ser observados nos gráficos da figura (5.12).. Figura 5.12: Resultados na malha M-y. velocidade u, componente TXX e rxy em x = 7.5 cm.. Abaixo seguem os resultados obtidos para a malha fina no plano x = 15.0 cm.. Figura 5.13: Resultados na malha M 3 : velocidade u, componente TXX e RXY e m i = 7.5 cm.. 39.

(54) 5.. Validação do Método. Numérico. Podemos observar nos gráficos (5.8)-(5.13) que a velocidade u é bem aproximada pelo método numérico. Contudo, o valor das tensões TXX e RXY em células adjacentes às paredes do canal apresenta um erro significativo, esse erro aparece devido à utilização de métodos de primeira ordem para aproximar as derivadas nessas células. Porém, no meio do canal, podemos ver que a solução numérica concorda bem com a solução exata. Os gráficos (5.8)-(5.13) t a m b é m mostram que, com o refinamento da malha, o erro cometido em células adjacentes ao contorno rígido decai, mostrando a convergência do método numérico. No entanto, para demonstrarmos a convergência do método numérico, devemos calcular o erro relativo entre a solução numérica e a solução analítica.. Utilizaremos as. seguintes expressões, que correspondem à noma l 2 :. E'. Evt,. ET ÍI. £ 0. £(4. e. Er. EMes)'. E(rÛ. -T*v\numf xy. E(T. U)2. (5.6). onde \ ex é a solução exata e \ n u r n é a solução numérica. Os erros obtidos utilizando as malhas M\, M2 e M3, são mostrados na tabela (5.1).. Malha. Evel. Er,r.. ETxy. ML. 7.95 10~ 5. 6.92 IO" 2. 1.56 IO" 2. M2. 5.51 IO" 6. 9.52 10~ 3. 1.74 IO" 3. M3. 3.55 IO" 7. 1.22 10~:i. 2.02 IO"'1. Tabela 5.1: Erro relativo para verificar a convergência do método numérico. Os resultados 11a tabela (5.1) mostram que o erro relativo diminui, com o refinamento da malha, na velocidade e nas tensões. Esse comportamento mostra que o método numérico converge com o refinamento da malha. A ordem de convergência será calculada através dos resultados obtidos nas três malhas.. O espaçamento entre essas malhas segue a regra: hi+x. = \hi,. com % — 1,2.. Supondo que a ordem de convergência do método numérico pode ser dada pela expressão (5.7), 40.

(55) 5.. Validação do Método. Numérico. ShX^t). -S(au,t). (5.7). = eh*. onde c é um vctor que uao depende de hu Sth('ãl, t) é a solução aproximada e S(xi} t) é a solução exata, podemos calcular: 6(Shi). = \\Shi{xi,t)-S(xi,t)\\. S(Shi+l). = \\Shi+1(xi,t)-S(xi,t)\\. = \\çm. ,. =. \\çm+l. 15-9). Dividindo a equação (5.9) pela equação (5.8) e aplicando o logaritmo, obtemos as seguintes expressões para a ordem de convergência, utilizando as malhas MXl M2 e M ;s : S(SM2). log à{S M l ). rh. (5.10). logj. n2. ò{Sm ) log <5 (S .)3 M. (5.11). =. logi. Os resultados fornecidos por (5.10) e (5.11) são mostrados na tabela (5.2). (y-y). Equação utilizada. 0{u). ()(;'. Equação (5.10) com Mi e M2. 1.969147. 1.815898. 1.973956. Equação (5.11) com M 2 e M 3. 1.989068. 1.920812. 1.993293. •'. 0. Tabela 5.2: Ordem de convergência do método numérico.. Os resultados da tabela (5.2) constatam que os dados têm a mesma ordem de grandeza, além disso os resultados indicam que o método numérico converge aproximadamente com ordem 0(/i 2 ). Portanto, o método numérico está quantitativamente validado para o problema de escoamento de fluido de Segunda Ordem em um canal com superfícies livres.. 41.

(56) 42. Resultados Numéricos. Com o objetivo de verificarmos os efeitos causados pela diferença de tensões normais em escoamentos do tipo SOF, analisaremos os resultados numéricos p a r a a contração planar e para o problema de inchamento do extrudado, conferir trabalhos de Mitsoulis [1999], Gast et al. [1999], Nigen e Walters [2002] e Liang e Òzetkin [1999].. Ademais,. utilizaremos esses resultados p a r a verificarmos a eficiência do método numérico em resolver qualitativamente os escoamentos com ou sem superfície livre. Muitos trabalhos realizados sobre a contração detêm atenção especial ao t a m a n h o dos vórtices formados próximos à parede. O t a m a n h o dos vórtices depende principalmente da geometria utilizada, da elasticidade do fluido (quantificada pelo n ú m e r o de Deborah) e das propriedades reológicas do fluido. O estudo desse problema procederá com a análise sobre a formação desses vórtices em escoamentos de fluidos de Segunda Ordem. No problema de inchamento do extrudado, a expansão do fluido ao deixar um orifício é ocasionada por dois fatores, segundo Gast et al. [1999]: o t a m a n h o dessa expansão é d e t e r m i n a d o pelas condições do processo e pelas propriedades reológicas do fluido. As condições do processo incluem a geometria do problema, a t a x a de fluxo de massa e a temperatura.. As propriedades reológicas do fluido incluem a viscosidade, a densidade,. a primeira e a segunda diferenças de tensões normais.. Analisaremos a formação dessa. expansão e compararemos os resultados com a teoria de Tanner, conferir Tanner [1970], e com o trabalho de Crochet e Keunnings, conferir Crochet et al. [1982].. 42.

(57) 6. Resultados. 6.1. Numéricos. Contração 4 : 1. A figura (6.1) mostra o modelo e as medidas do domínio para a contração 4 : 1 .. 8 cm 1. Injetor Ejctor. 15 c m. 15 c m. Figura 6.1: Modelo para a simulação da contração 4 : 1 .. Os seguintes dados foram utilizados no sistema FrecFlow-2D para simular o problema da contração 4 : 1 : Escala de comprimento L — 0.01 m Escala de velocidade U = 1.0. m/s. Força gravitacional : g^ = g = 0.0 m / s 2 Viscosidades r//p = 0.01 rri2/s e 0.1 rri2 / s Tolerancia para a solução da equação de Poisson = 10~ 8 Fator de controle de passo Ç = 0.5 A2 = 0.0, 0.002, 0.004, 0.006, 0.008, 0.01, 0.012 e 0.014 s Números de Reynolds = 1.0 e 0.1 Números de Deborah. 0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2 e 1.4. Malha: óx = 6y = 0.125 10" 2 m, 64 x 240 células. Os resultados mostrados nas figuras (6.2)-(6.3) estão representados através de linhas de corrente 1 . Devido à propriedade de simetria da contração, apenas a metade superior do domínio é mostrada. 1. O calculo das linhas de corrente pode ser consultado no anexo B.. 43.

(58) 6. Resultados. Numéricos. Figura 6.2: Resultados numéricos Re = 1.0 e De = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2 e 1.4 44.

(59) 6. Resultados. Numéricos.