Modelagem matemática de sistemas epidemiológicos clássicos : um estudo exploratório

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Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica

JO ˜

AO SOCORRO PINHEIRO FERREIRA

MODELAGEM MATEM ´

ATICA DE SISTEMAS

EPIDEMIOL ´

OGICOS CL ´

ASSICOS: UM ESTUDO

EXPLORAT ´

ORIO

CAMPINAS 2016

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MODELAGEM MATEM ´

ATICA DE SISTEMAS

EPIDEMIOL ´

OGICOS CL ´

ASSICOS: UM ESTUDO

EXPLORAT ´

ORIO

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estat´ıstica e Computa¸cão Ci-ent´ıfica da Universidade Estadual de Campi-nas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática Aplicada e Computacional.

Orientadora: Profª. Drª. Elaine Cristina Catapani Poletti

Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno João Socorro Pinheiro Ferreira, e orientada pela Profª. Drª. Elaine Cristina Catapani Po-letti.

Campinas 2016

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Ferreira, João Socorro Pinheiro,

F413m FerModelagem matemática de sistemas epidemiológicos clássicos : um estudo exploratório / João Socorro Pinheiro Ferreira. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.

FerOrientador: Elaine Cristina Catapani Poletti.

FerDissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Fer1. Biomatemática. 2. Teoria dos sistemas dinâmicos. 3. Modelos

epidemiológicos SIR. I. Poletti, Elaine Cristina Catapani,1975-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Mathematical modeling of classical epidemiological systems : an exploratory study

Palavras-chave em inglês: Biomathematics

Theory of dynamic systems SIR epidemic models

Área de concentração: Matemática Aplicada e Computacional Titulação: Mestre em Matemática Aplicada e Computacional Banca examinadora:

Elaine Cristina Catapani Poletti Graciele Paraguaia Silveira Renata Zotin Gomes de Oliveira Data de defesa: 29-11-2016

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada e Computacional

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Prof(a). Dr(a). ELAINE CRISTINA CATAPANI POLETTI

Prof(a). Dr(a). GRACIELE PARAGUAIA SILVEIRA

Prof(a). Dr(a). RENATA ZOTIN GOMES DE OLIVEIRA

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

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Aos meus pais, Jos´e Estoesses Ferreira e Maria de Nazar´e Pinheiro Ferreira.

`A minha esposa, Mary Terezinha Salles.

Aos meus filhos, Carlos Rodolfo Salles Ferreira, Cec´ılia Rafaela Salles Ferreira e Caroline Ra´ıssa Salles Ferreira.

Aos meus irmãos, José Maria Pinheiro Ferreira, Maria das Dores Pinheiro Ferreira, Nazaré de Jesus Pinheiro Ferreira, Maria da Assun¸cão Pinheiro Ferreira, Pedro Pinheiro Ferreira e em especial a Antônio Carlos Pinheiro Ferreira (In Memorian).

Aos meus cunhados, Led (Maria Esmeraldina), Sandro Pantoja, Marilene, Diocl´eia, Djalma, Osena, Osana, Olga, Margareth e Socorro.

Aos meus sobrinhos, Carlinhos, Mayara, Nayra, Samara, Lylian, Aline, Felipe, Diocarla, Lana e Camila.

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À Unicamp, por ser o ambiente acadêmico e cient´ıfico mais eclético e com grande potencial em ensinar e difundir a ciência às pessoas que se (pre)dispõem a apreender e disseminar da mesma forma à sociedade.

Ao Coordenador do Mestrado, Professor Doutor Cristiano Torezann, que por muitas vezes foi sol´ıcito e colaborou de forma construtiva e significativa diante das dificuldades que passamos durante a realiza¸cão desta pós-gradua¸cão.

Aos professores doutores Ademir José Petenate, Antonio Campelo, Graziele Jorge, João Eloir Strapasson, Ricardo Miranda Martins, Sueli Irene Rodrigues Costa e Simão Nicolau Stelmastchuk, por ministrarem as disciplinas do curso com dinamismo envolvente.

Aos colegas de turma, Carlos (Resende - RJ), Mickael (Rio Branco - AC), Marcolino (Codó - MA), Adriano (MA), Dráusio (SP), Geovan (São Luiz -MA), Émerson (Mato Grosso), Paulo (São Luiz - MA) e os outros que no momento não consigo lembrar os nomes.

À orientadora, Professora Doutora Elaine Cristina Catapani Poletti, por ter sugerido este valoroso tema, do qual possibilitou-me um aprofundamento sobre a beleza que a Matemática oportuniza à humanidade sobre a compreensão da natureza. Enaltecemos ainda, os feedback de qualidade escritos sobre o texto produzido, que por muita das vezes contribu´ıram para o aperfei¸coamento deste texto.

À banca avaliadora - composta por membros titulares e suplentes - por ter aceito o convite de participa¸cão e avalia¸cão desta disserta¸cão e contribuir para o engrandecimento da mesma .

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testa-se pela lógica e pela experimenta¸cão. Da´ı a necessidade de fazer a distin¸cão muito clara entre modelo e a parte do mundo exte-rior que se supõe que ele representa.”

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Esta disserta¸cão tem como problemática desenvolver um estudo exploratório sobre quatro sistemas epidemiológicos clássicos, a saber: SI, SIR, SIS e SIRS, com objetivo de compre-ender as respectivas dinâmicas epidemiológicas de cada sistema, analisando-os qualitati-vamente quanto à natureza de seus pontos cr´ıticos (análise de estabilidade), no decorrer de uma epidemia. A metodologia utilizada foi a de pesquisa em fontes primárias e se-cundárias pela internet e também em literatura impressa. Apresentamos uma classifica¸cão de estabilidade de sistemas autônomos não lineares utilizando os resultados de Poincaré, os métodos de Lyapunov e a contribui¸cão de outros matemáticos citados no texto. Ao final da disserta¸cão é apresentada uma aplica¸cão prática de modelagem matemática do sistema epidemiológico SI, para doen¸ca de Chagas no Amapá e posteriormente uma dis-cussão geral sobre o tema/t´ıtulo, explanando as técnicas abordadas.

Palavras-chave: Biomatemática. Teoria dos sistemas dinâmicos. Modelos epidemiológicos

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This Master’s thesis has as problematic to develop an exploratory study on four classi-cal epidemiologiclassi-cal systems, namely: SI, SIR, SIS and SIRS, in order to understand the respective epidemiological dynamics of each system, analyzing them qualitatively as to the nature of their points (Stability analysis) in the course of an epidemic. The metho-dology used was the research in primary and secondary sources through the internet and also in printed literature. We present a stability classification of nonlinear autonomous systems using the Poincar´e results, the Lyapunov methods and the contribution of other mathematicians cited in the text. At the end of the dissertation, a practical application of mathematical modeling of the SI epidemiological system for Chagas disease in Amap´a is presented, followed by a general discussion about the theme / title, explaining the techniques discussed.

Keywords: Biomathematics. Theory of Dynamic (Autonomous) Systems. SIR Epidemic

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1.1 Retrato de fase de um sistema no R2. O eixo horizontal representa o tra¸co

(Θ), o vertical o determinante (Γ) e a parábola da fun¸cão (1.25). . . 25 1.2 (a) Repulsor (nó), 0 < λ1 < λ2. (b) Atrator (nó), λ1 < λ2 < 0. (c) Sela,

λ1 <0 < λ2 . . . 25

1.3 (a) λ1 = 0 < λ2, as trajet´orias afastam-se do eixo horizontal. (b) λ1 = 0 >

λ2, as trajet´orias aproximam-se do eixo horizontal. . . 26

1.4 (a) λ1 < 0 e λ2 = 0, as trajet´orias aproximam-se do eixo vertical. (b)

λ1 >0 e λ2 = 0, as trajet´orias afastam-se do eixo vertical. . . 27

1.5 (a) λ > 0. (b) λ < 0. . . 29 1.6 Diagrama de fase do sistema linear de EDO 1.13, com λ1 >0 e λ2 <0. O

ponto estacionário ¯X = (0, 0)) é instável e classificado como ponto de sela. 32 1.7 Resumo da análise qualitativa dos quatro pontos de equil´ıbrio do sistema

1.29. . . 37 2.1 Modelo compartimental SI com taxa de infeçcão (transmissão) r. . . 42 2.2 Gráfico da fun¸cão I(t) = 0.1e0.1t

0.9+0.1e0.1t, do modelo SI, para I0 = 0.1, S0 = 0.9

e r = 0.1. . . 44 2.3 Gr´afico da fun¸c˜ao S(t) = 0.9

0.9+0.1e0.1t, do modelo SI, admitindo-se I0 = 0.1,

S0 = 0.9 e r = 0.1. . . 45

2.4 (a) Gr´afico para o caso de S0 > I0, t > 0; (b) Gr´afico para o caso em que

S0 = I0, t = 0. . . 46

2.5 Esquema da dinˆamica do modelo SIR. . . 47 2.6 Plano de fase da EDO dI

dt = I(rS − a). . . 58

2.7 Fluxograma do modelo SIRS com uma taxa γ de recuperados para suscet´ıveis. 61 2.8 Retrato de fase do submodelo SIRS com uma taxa γ de recuperados para

suscet´ıveis. Os autovetores são reais negativos. . . 64 2.9 Esquema do modelo epidemiológico SIS, com N constante e dinâmica vital. 64 2.10 Esquema do modelo epidemiológico SIS com N constante (sem dinâmica

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3.1 Gráfico de dispersão dos casos de Doen¸cas de Chagas no Amapá, no per´ıodo de 1999 a 2013, juntamente com a reta de regressão linear. . . 72 3.2 Gráfico das fun¸cões S(t) e I(t) indicando o ponto em que S(t) = I(t) de

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1.1 Propriedades de estabilidade e instabilidade de sistemas lineares e local-mente lineares. . . 33 3.1 Distribui¸c˜ao de casos confirmados de doen¸ca de Chagas no Estado do

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SUM ´

ARIO

INTRODUC¸ ˜AO 13

1 SISTEMAS AUT ˆONOMOS 16

1.1 Sistemas autˆonomos . . . 16

1.1.1 Conjunto solu¸c˜ao de sistema autˆonomo linear no Rn _{. . . 17}

1.1.2 Pontos cr´ıticos e estabilidade . . . 21

1.2 Sistemas autˆonomos lineares no R2 . . . 22

1.2.1 Diagrama ou retrato de fase . . . 24

1.3 Sistemas autˆonomos n˜ao lineares . . . 32

1.3.1 Sistemas localmente lineares . . . 32

1.3.2 Conjunto solu¸c˜ao de SANL no Rn _{. . . 37}

1.3.3 M´etodos de Lyapunov . . . 38

2 MODELOS EPIDEMIOL ÓGICOS CL ÁSSICOS 42 2.1 Modelo SI . . . 42 2.1.1 Taxa de infeçcão r . . . 46 2.2 Modelo SIR . . . 46 2.2.1 Taxa de infeçcão: r . . . 47 2.2.2 Taxa de remo¸cão: a . . . 47 2.2.3 Popula¸cão constante: N . . . 48

2.2.4 Pontos cr´ıticos e estabilidade do sistema SIR . . . 49

2.2.5 Modelo SIR no R3 . . . 49

2.2.6 Sistema SIR no R2 . . . 53

2.3 Modelo SIRS . . . 60

2.3.1 Modelo SIRS com taxa γ . . . 60

2.4 Modelo SIS . . . 63

2.4.1 Modelo SIS com N constante (com dinˆamica vital) . . . 64

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3.1.1 Modelo SI . . . 71

4 DISCUSS ˜OES GERAIS 74

CONCLUS ˜AO 77

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INTRODUC

¸ ˜

AO

Muitas doen¸cas epidêmicas são conhecidas e estudadas há muito tempo no âmbito da Biologia, da Medicina e da saúde pública. As principais preocupa¸cões estão relaci-onadas à velocidade de propaga¸cão, bem como o modo de abrangência e distribui¸cão, evolu¸cão, frequência, entre outras. O intuito de tais estudos, certamente, está vinculado às formas de controle, além é claro, das formas de preven¸cão.

O estudo das epidemias, de acordo com [21], iniciou-se com a investiga¸cão sobre peste negra que atingiu a Europa no século XIV e matou cerca de um ter¸co da popula¸cão. Por epidemia, segundo [28], entende-se como uma doen¸ca infecciosa, de caráter transitório que se propaga e atinge um grande número de indiv´ıduos numa dada região.

Segundo [21], há quatro principais microorganismos causadores de doen¸ca: v´ırus, bactérias, protozoários e fungos.

De acordo com [25], as principais doen¸cas causadas em humanos, de acordo com o agente causal, s˜ao:

• por v´ırus: var´ıola, dengue, gripe espanhola, febre amarela, sarampo, AIDS, polio-melite, chikungunya, etc.

• por bactérias: peste negra, botulismo, cancro mole, carbúnculo (antrax), coquelu-che, cólera, etc.

• por protozo´arios: giard´ıase, ameb´ıase, tricomon´ıase, toxoplasmose, leishmaniose, doen¸ca de chagas e mal´aria.

• por fungos: estão fortemente relacionadas por micoses, doen¸cas da pele entre outras, como por exemplo: leveduras, mofo, vários dermatófitos (infeçcões o por tineas), fungos, dimorfos, esporotricose e outros.

Tais doen¸cas têm sido comumente causadoras de epidemias por infeçcões virais, bacterianas e parasitárias, mas consideravelmente menos por infeçcões fúngicas.

Com o desenvolvimento da humanidade algumas doen¸cas deixaram de ser comuns e deram lugar a outros tipos de infeçcões que assolam as pessoas. Não obstante, os ve´ıculos de informa¸cões trazem alertas sobre doen¸cas que têm se propagado e atingido abruptamente as pessoas, tal como a epidemia de esporotricose que tem contaminado

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gatos, na zona oeste do Rio de Janeiro, e pode ser transmitida para os humanos (Jornal O Globo On Line, agosto de 2015)1. Nesse sentido, esta disserta¸c˜ao volta-se para o estudo

e a explora¸cão de modelos epidemiológicos estudados sob a ótica da Biomatemática (a Matemática que estuda a vida), na área da ciência, do ramo da Matemática Aplicada, que tem se preocupado em estudar fenômenos biológicos através da modelagem matemática e favorecer entendimentos diversos sobre tais fenômenos.

Tendo em vista que estudos preditivos sobre a dissemina¸cão de doen¸cas ainda se colocam como um desafio para a sociedade atual, a modelagem matemática tem favorecido estudos sobre o comportamento de algumas epidemias e suas formas de controle, bem como abrangências, manipula¸cão de dados estat´ısticos, análise de propaga¸cão, entre outros [1]. Normalmente, os modelos matemáticos se colocam como uma ferramenta de apoio que possibilita a explora¸cão de parâmetros, a gera¸cão de cenários, estudos de formas de espalhamentos geográficos e de mecanismos para controle de doen¸cas, etc, [18].

Em termos de análises e impactos de espalhamento geográfico de doen¸cas, ressalta-se o estudo de [24] que aborda a dinâmica sobre a distribui¸cão espacial de casos de Leish-maniose, bem como o estudo apresentado por [15] sobre a difusão da Malária, importante doen¸ca em Mo¸cambique, pa´ıs localizado no sudeste do Continente Africano, banhado pelo Oceano Índico. Outra pesquisa realizada por [23], apresenta a forma de controle da Toxosplamose através do estudo da dispersão de gatos, os hospedeiros responsáveis pela dissemina¸cão da doen¸ca.

Sobre a dengue, doen¸ca esta que tem se tornado um problema de saúde pública no mundo, segundo a Organiza¸cão Mundial da Saúde (OMS), em diversas regiões, [13] apresentam um modelo evolutivo para a dengue segundo aspectos ambientais; [8] e [27] estudam modelos de transmissão da doen¸ca, entre vários outros estudos.

Em [14] é apresentado um estudo desenvolvido sobre a influenza H1N1, a partir da varia¸cão do modelo clássico SIR onde S representa os indiv´ıduos suscet´ıveis da popula¸cão, I os infectados e R os removidos.

Em [16], foi realizado um estudo sobre Tuberculose, no munic´ıpio de Codó - MA, no per´ıodo de 2001 a 2014 com o objetivo de compreender a dinâmica epidemiológica da doen¸ca e fazer prognósticos para os anos posteriores a 2014, a partir dos dados coletados no Sistema de Informa¸cão de Agravos de Notifica¸cão - SINAN e IBGE,

Sobre meningite, [22] aplicou cinco modelos matemáticos sobre os casos de in-cidência da doen¸ca, com métodos e metodologias diferenciadas para melhor compreender a dinâmica da doen¸ca.

São várias as doen¸cas estudadas sob a ótica da modelagem matemática, assim sendo, com a ideia de apresentar o estudo sobre os modelos mais utilizados, surge este trabalho com abordagem dos principais modelos SI, SIR, SIS e SIRS e conceitos que

1

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subsidiam an´alises e interpreta¸c˜oes.

Desta forma, seguem apresentados neste trabalho cap´ıtulos que introduzem uma discuss˜ao sobre os modelos, a partir das ideias iniciais

O trabalho est´a organizado em quatro cap´ıtulos.

No Cap´ıtulo 1, é realizada uma apresenta¸cão de sistemas autônomos com o propósito de subsidiar as discussões sobre os modelos epidemiológicos clássicos Neste cap´ıtulo, explana-se a determina¸cão de pontos de equil´ıbrio de um sistema autônomo linear e dos não lineares, em destaque na vizinhan¸ca destes pontos de equil´ıbrios.

No Cap´ıtulo 2, seguem apresentados e discutidos os modelos epidemiológicos clássicos SI, SIR, SIS e SIRS. Tal cap´ıtulo possibilita uma abordagem acerca dos modelos, na ótica da modelagem matemática, que (assim desejamos) subsidia entendimentos acerca de abrangência, critérios, estabilidade de cada modelo e compõe um material de estudo.

No Cap´ıtulo 3, está a aplica¸cão de modelagem matemática da doen¸ca de Cha-gas, que por vez manifesta-se como epidêmica e uma busca pela valida¸cão do modelo epidemiológico clássico SI, para a mesma.

No Cap´ıtulo 4, são realizadas as discussões gerais sobre os sistemas epidemiológicos a partir dos resultados obtidos durante a produ¸cão desta disserta¸cão.

Por fim, a Conclusão contém algo mais geral sobre os modelos estudados - algumas reflexões mais abrangentes, buscando conjecturar possibilidades de estudo que se abrem com os sistemas clássicos

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Cap´ıtulo 1

SISTEMAS AUT ˆ

ONOMOS

Com o objetivo de introduzir a modelagem matemática de sistemas epidemiológicos clássicos, apresenta-se inicialmente, neste cap´ıtulo, se¸cões e subse¸cões sobre sistemas autônomos de equa¸cões diferenciais ordinárias de primeira ordem.

1.1 Sistemas autˆonomos

De acordo com [5] (2011, p. 386), consideremos sistemas com duas equa¸c˜oes dife-renciais simultˆaneas da forma

dx/dt= F (x, y), dy/dt= G(x, y), (1.1)

cont´ınuas com derivadas parciais cont´ınuas em algum dom´ınio D do plano xy. Se (x0, y0)

é um ponto nesse dom´ınio, então, pelo Teorema 7.1.1 (ver [5], 2011, p. 279), existe uma única solu¸cão x = φ(t), y = ψ(t) do sistema (1.1) satisfazendo as condi¸cões iniciais

x(t0) = x0, y(t0) = y0. (1.2)

A solu¸cão está definida em algum intervalo de tempo I que contém o ponto t0.

O problema de valor inicial (1.1), (1.2)

dx/dt = f(x), x(t0) = X0, (1.3)

˙X = F(X), (1.4)

onde x = xi + yj, f(x) = F (x, y)i + G(x, y)j e X0 _{= x}

0i + y0j. Nesse caso, a solu¸c˜ao ´e

expressa como x = φ(t) como uma curva tra¸cada por um ponto se movendo no plano xy, o plano de fase.

As fun¸cões F e G nas Eqs. (1.1) não dependem da variável independente t, mas ape-nas das variáveis dependentes x e y. Um sistema com essa propriedade é dito autônomo.

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O sistema

X0 _{= Ax,} _(1.5)

onde A é 2 × 2, é uxemplo simples de um sistema autônomo bidimensional . Por outro lado, se um ou mais elementos da matriz de coeficientes forem uma fun¸cão de variável independente t, então o sistema não é autônomo.

Em particular, o sistema autônomo (1.1) tem um campo de dire¸cões associado que é independente do tempo. Em consequência, existe apenas uma trajetória passando por ponto (x0, y0) no plano de fase.

Sistemas autônomos ocorrem, com frequência, em aplica¸cões. Fisicamente, um sis-tema autônomo é aquele cuja configura¸cão é independente do tempo, incluindo parâmetros f´ısicos e for¸cas ou efeitos externos. A resposta do sistema as condi¸cões iniciais dadas é independente, portanto, do instante em que as condi¸cões são impostas.

1.1.1 Conjunto solu¸c˜ao de sistema autˆonomo linear no R

n

Para escrever o vetor solu¸c˜ao X = (x1, . . . , xn) destes sistemas, deve-se levar em

considera¸cão a sua linearidade, pois dependendo desta classifica¸cão, terá um tipo de solu¸cão anal´ıtica.

O SAL - Sistema Autoônomo Linear - tem solu¸cão anal´ıtica, cujo conjunto solu¸cão é definido por:

X =Xn

i=1

civieλit (1.6)

em que os λi s˜ao as ra´ızes do polinˆomio caracter´ıstico da matriz A, chamados de

autova-lores da matriz A e os vi, os respectivos autovetores associados aos autovalores.

Por exemplo, para n = 2, tem-se a solu¸c˜ao vetorial:

X =X2 i=1 civieλit= c1v1eλ1t+ c2v2eλ2t ou _  x1(t) x2(t)  = c1   v11 v21  e λ1t+ c 2   v12 v22  e λ2t ou    x1(t) = c1v11eλ1t+ c2v12eλ2t x2(t) = c1v21eλ1t+ c2v22eλ2t (1.7)

Teorema 1.1. A solu¸cão de um sistema autônomo linear (SAL) é da forma

X(t) = P etDP−1X0 (1.8)

(20)

matricial da matriz diagonal Dn×n, cujos elementos s˜ao os autovalores da matriz A, P−1

´e a inversa de P e X0 é vetor unitário cujas componentes são as constantes c1, · · · , cn.

Demonstra¸cão. Seja ˙X = AX um sistema autônomo linear no Rn. Sabe-se que ˙X = dX/dt. Substituindo-se, tem-se: dX/dt = AX. Usando o método de separa¸cão de variáveis para integra¸cão, tem-se: dX/X = Adt. Integrando-se ambos os membros desta igualdade, componente a componente, obtém-se: R

dX/X = AR

dt. Resolvendo-se a integral, tem-Resolvendo-se: ln|X|= tA + K. Resolvendo-Resolvendo-se o logaritmo natural, decorre que:

X = e(tA+K)_{. Aplicando-se a propriedade de produto de potˆencia no lado direito desta}

igualdade, tem-se: X = etA_eK_{. Para determinar o valor da constante K, usa-se a condi¸c˜ao}

de contorno, X(0) = X0. Assim, e0eK = X0. Substituindo-se este ´ultimo resultado em

X = etAX

0. A matriz A ´e diagonaliz´avel e pode ser decomposta em um produto matricial,

conforme a seguir: A = P DP−1_{. Substituindo-se este resultado no anterior, obt´em-se:}

X(t) = et(P DP−1₎

X0. Pelo m´etodo de exponencial matricial, tem-se que: etA = P etDP−1.

Substituindo-se esta matriz exponencial, no resultado anterior, obtém-se a equa¸cão (1.8), em que P é a matriz dos autovetores, D é a matriz diagonal, cujos elementos são os autovalores, P−1 _{é a matriz inversa de P e X}

0 ´e um vetor das constantes.

Para obter o resultado (1.8) usamos o seguinte teoerema:

Teorema 1.2. A exponencial matricial da matriz A ´e

etA = P etDP−1. (1.9)

Demonstra¸cão. A série de Taylor da fun¸cão exponencial f(t) = et é sn=

∞ X

n=0

tn

n!. De ma-neira análoga, para a fun¸cão exponencial f(tA) = etA_{, é a equa¸cão (1.10):}

etA = ∞ X n=0 tnAn n! (1.10)

A matriz A ´e diagonaliz´avel e pode ser escrita como: A = P DP−1_.

A n-nésima potência da matriz quadrada A é obtida por:

An= A · A · · · A (n vezes) . Consequentemente, An= P DP−1· P DP−1· P DP−1· · · P DP−1 = P DIDP−1_{· · · P DP}−1 = P D2_P−1_{· · · · P DP}−1 An= P DnP−1. (1.11)

(21)

Substituir (1.11) em (1.10), tem-se: etA = ∞ X n=0 tn_{P D}n_P−1 n! .

Como a série acima depende de n, os termos independentes de n podem ser colocados em evidência. Assim, as matrizes P e P−1 _{são escritas conforme a seguir:}

etA= P ∞ X n=0 tn_Dn n! ! P−1,

contudo, a série de potência entre parênteses é a série de Taylor para:

etD = ∞ X n=0 tnDn n! Portanto, (1.12) etA = P etDP−1

como quer´ıamos demonstrar.

A seguir, um exemplo de sistema autˆonomo no R2 _{onde apresentaremos a solu¸c˜ao}

de acordo com as fun¸c˜oes vetoriais (1.6) e (1.8):

Exemplo 1.1. Considere o sistema autˆonomo linear de EDO’s:

   ˙x1 = x1− x2 ˙x2 = −4x1+ x2 . (1.13)

Este sistema pode ser escrito sob a forma linear (1.5),

  ˙x1(t) ˙x2(t)  =   1 −1 −4 1     x1 x2   em que ˙X =   ˙x1(t) ˙x2(t)  , A=   1 −1 −4 1   e X =   x1 x2  . A matriz A=   1 −1 −4 1  

´e diagonaliz´avel, porque pode ser fatorada do seguinte modo:

(22)

em que D=   λ1 0 0 λ2  =   3 0 0 −1  

´e a matriz diagonal formada pelos autovalores ,

P =h v1 v2 i =   −1 1 2 2  

´e a matriz, cujas colunas s˜ao os autovetores associados, respectivamente, ao λ1 e λ2, e

P−1 =   −1/2 1 4 1/2 1/4  = − 1 4   2 −1 −2 −1  

´e a matriz inversa de P .

Portanto, a solu¸c˜ao geral do sistema (1.13), ´e:

  x1(t) x2(t)  = c₁e3t   −1 2  + c₂e −t   1 2  

ou, explicitando as duas fun¸c˜oes solu¸c˜oes, conforme abaixo:

X =    x1(t) = −c1e3t+ c2e−t x2(t) = 2c1e3t+ 2c2e−t (1.14) para t ∈ R.

Em termos de exponenciais matriciais, a solu¸c˜ao geral (1.14) do sistema linear (1.13), pode ser representada a partir da equa¸c˜ao vetorial (1.8):

X(t) = P etDP−1X(0)

onde etD ´e a exponencial matricial da matriz diagonal D e X(0) =

  x1(0) = a x2(0) = b  , s˜ao as

constantes das condi¸cões iniciais do problema de valor inicial. Verifica¸cão da equa¸cão (1.8) para a solu¸cão (1.14): Substituir as matrizes P , etD ₌   e3t 0 0 e−t   e P−1 na equa¸cão (1.8), tem-se:   x1(t) x2(t)  =   −1 1 2 2     e3t ₀ 0 e−t   −1 4   2 −1 −2 −1     x1(0) = a x2(0) = b     x1(t) x2(t)  = −1 4   −1e3t _1e−t 2e3t _2e−t     2 −1 −2 −1     a b  

(23)

  x1(t) x2(t)  = −1 4   −2e3t₋2e−t _e3t₋1e−t 4e3t₋4e−t ₋_2e3t₋2e−t     a b     x1(t) x2(t)  = −1 4   (−2e3t₋_2e−t_{)a + (e}3t₋_1e−t_)b (4e3t₋_4e−t_{)a + (−2e}3t₋_2e−t_)b     x1(t) x2(t)  = −1 4  

(−2a + b)e3t_{+ (−2a − b)e}−t

(4a − 2b)e3t_{+ (−4a − 2b)e}−t     x1(t) x2(t)  =   a 2 − b 4 e3t+a 2 + b 4 e−t −a+b 2 e3t+a+₂be−t     x1(t) x2(t)  =   −−a 2 + b 4 e3t₊a 2 + b 4 e−t 2 −a 2 + b 4 e3t+ 2a 2 + b 4 e−t   X =    x1(t) = −c1e3t+ c2e−t x2(t) = 2c1e3t+ 2c2e−t (1.15) onde c1 = −a 2 + b 4 e c2 = a 2 + b 4 .

Portanto, este resultado (1.15) corresponde exatamente ao da equa¸cão (1.14). Na subseçcão seguinte, estudaremos os pontos cr´ıticos e a estabilidade de um sis-tema dinâmico.

1.1.2 Pontos cr´ıticos e estabilidade

Nos sistemas autônomos, muitas vezes é mais interessante o estudo do compor-tamento das fun¸cões solu¸cões na vizinhan¸ca de um ponto fixo que o estudo da própria solu¸cão. Este comportamento é denominado estabilidade do sistema e pode ser analisado a partir dos sinais de seus autovalores e de sua complexidade.

Defini¸c˜ao 1.1. Ponto cr´ıtico

Segundo [2], dado o sistema ˙X= F (X), um ponto ¯_{X ∈ R}n ´e dito ponto cr´ıtico do sistema se fi( ¯X) = 0, para todo i = 1, · · · , n, ou seja ˙X = 0.

Defini¸c˜ao 1.2. Ponto cr´ıtico est´avel

De acordo com [2], um ponto cr´ıtico ¯X do sistema autˆonomo ˙X = F (X) ´e um

ponto estável se, dados >0 e δ > 0 tal que toda solu¸cão φ(t) do sistema que satisfaz em t= t0, φ(t0) − ¯X < δ, então φ(t) − ¯X < , ∀t ≥ t0.

Em [14], temos que: “Isso significa que toda solu¸cão que come¸ca próxima ao ponto cr´ıtico ¯X (raio δ) permanece próxima a ele (raio )”.

(24)

Em [2], um ponto cr´ıtico ¯X do sistema autˆonomo ˙X = F (X) ´e um ponto

assin-toticamente est´avel se existir δ >0 tal que kφ(t0) − ¯Xk< δ, ent˜ao lim φ(t) = ¯X, quando

t → ∞.

A autora [14], esclarece também que: “Isso significa que uma solu¸cão que come¸ca próxima ao ponto cr´ıtico ¯X, não somente permanece próxima a este ponto, como também

tende a ele quando t → ∞”.

Defini¸c˜ao 1.4. Ponto cr´ıtico inst´avel

Conforme [2], um ponto cr´ıtico ¯X do sistema autˆonomo ˙X = F (X) ´e um ponto

inst´avel se existe > 0 tal que para todo δ > 0 se verifica kφ(t0) − ¯Xk< δ, existe algum

t > t0 tal que kφ(t) − ¯Xk> .

A autora [14], “Isso significa que ao menos uma solu¸c˜ao que come¸ca pr´oxima ao ponto cr´ıtico ¯X se afasta do mesmo”.

No Exemplo 1.1, a origem ´e um ponto cr´ıtico inst´avel e denominado de ponto de sela .

Nesta disserta¸cão serão analisados somente os sistemas autônomos no R2 e no R3

e por isso a partir da se¸c˜ao seguinte, concentraremos nossos estudos somente nestas duas dimens˜oes.

1.2 Sistemas autˆonomos lineares no R

2

São sistemas que possuem duas equa¸cões diferenciais ordinárias lineares ou não lineares1_{. Estudaremos primeiramente os lineares, conforme a equa¸cão (1.16).}

   ˙x1 = a11x1+ a12x2 ˙x2 = a21x1+ a22x2 (1.16)

A sua forma matricial ´e a representada na equa¸c˜ao (1.17):

  ˙x1 ˙x2  =   a11 a12 a21 a22     x1 x2  . (1.17)

Geralmente s˜ao reduzidos a forma (1.18):

˙X = AX, (1.18) onde X = (x1, x2) =   x1 x2 

é o vetor solu¸cão. Para encontrarmos a sua solu¸cão anal´ıtica,

devemos proceder da seguinte maneira: determinar os autovalores e posteriormente os autovetores associados.

1_{N do A.: Esta se¸}_c˜_{ao foi inclu´ıda haja vista que a maioria dos sistemas autˆ}_{onomos n˜}_{ao lineares desta}

(25)

Os autovalores s˜ao as ra´ızes ou zeros do polinˆomio caracter´ıstico da matriz A determinado por (1.19):

P(λ) = det (A − λI2) . (1.19)

Neste caso, tem-se:

P(λ) = det     a11 a12 a21 a22  − λ   1 0 0 1     P(λ) = λ2−(a11+ a22)λ + (a11a22− a12a21) Portanto, P(λ) = λ2−(a11+ a22)λ + (a11a22− a12a21). (1.20)

Se tomarmos a11+ a22= T r(A) = Θ e a11a22− a12a21 = det(A) = Γ, podemos

es-crever o polinˆomio da seguinte forma:

P(λ) = λ2− T r(A)λ + det(A). ou

P(λ) = λ2−Θλ + Γ. Os autovalores s˜ao obtidos por:

λ1,2= 1 2 Θ ∓√Θ2₋4Γ_. (1.21) em que (1.22) ∆(Θ, Γ) = Θ2₋_4Γ,

´e o discriminante do polinˆomio (1.20).

Os autovetores associados aos respectivos autovalores são calculados, através da equa¸cão matricial:

Av = λv, (1.23)

com v 6= 0.

Teorema 1.3. O ponto cr´ıtico ¯X do sistema linear ˙X= AX ´e assintoticamente est´avel

se os autovalores λ1 e λ2 s˜ao reais e negativos ou tem parte real negativa; est´avel, mas

não assintoticamente estável, se os autovalores λ1 e λ2 são imaginários puros; instável se

(26)

Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao encontra-se em [5] e [14].

Lema 1.1. Seja ¯X= (0, 0) ponto cr´ıtico do sistema linear

   ˙x1 = a11x1+ a12x2 ˙x2 = a21x1+ a22x2 (1.24) Dizemos que ¯X= (0, 0):

(a) é assintoticamente estável se Θ = T r(A) < 0 e Γ = det(A) > 0; (b) é estável se Θ = T r(A) = 0 e Γ = det(A) > 0;

(c) ´e inst´avel se Θ = T r(A) > 0 ou Γ = det(A) < 0.

Demonstra¸c˜ao. Consultar [5] ou [14].

Por exemplo, a matriz A, do sistema (1.13), possui Θ = 2 > 0 e Γ = −3 < 0, enquadrando-se no item (c) do Lema 1.1 é classificado como instável, coincidindo com a classifica¸cão dos autovalores (subsubcaso 1.2.1).

1.2.1 Diagrama ou retrato de fase

A defini¸cão a seguir é de autoria do autor desta disserta¸cão.

Defini¸cão 1.5. O retrato de fase de um sistema autônomo é um esbo¸co do campo de

vetores, mostrando os pontos cr´ıticos e algumas solu¸c˜oes que come¸cam ou terminam nesses pontos, denominadas de trajet´oria do fluxo.

Para esbo¸car o retrato de fase em cada ponto cr´ıtico, deve-se analisar a par´abola

Γ(Θ) = 1₄Θ2_, _(1.25)

de concavidade voltada para cima, com foco F = (0, 1) e v´ertice V = (0, 0), conforme esbo¸cado na Figura (1.1).

Se ∆ > 0, ent˜ao Γ < 1 4Θ

2_{. Isto significa que o ponto (Θ, Γ) est´a localizado abaixo}

da par´abola.

Se ∆ = 0, ent˜ao Γ = 1 4Θ

2. Isto significa que os pontos (Θ, Γ) est´a localizado sobre

a par´abola.

Se ∆ < 0, ent˜ao Γ > 1 4Θ

2_{. Isto significa que o ponto (Θ, Γ) est´a localizado acima}

da par´abola.

Os autovalores dependem do sinal do discriminante ∆ = Θ2₋_{4Γ, que por}

conse-guinte podem ocorrer três casos: ∆ < 0, ∆ = 0 ou ∆ > 0. Cada um destes casos, também está subdividido em outros conforme os estudos a seguir:

(27)

Figura 1.1: Retrato de fase de um sistema no R2. O eixo horizontal representa o tra¸co

(Θ), o vertical o determinante (Γ) e a par´abola da fun¸c˜ao (1.25).

Fonte: Do Autor, com o aux´ılio do software Mathematica 10.1, do Wolfran (2016).

Caso 1. ∆ > 0 . A matriz A tem dois autovalores reais distintos λ1 e λ2. Arbitrariamente:

λ1 < λ2.

A matriz A ´e diagonaliz´avel e ∃ P invert´ıvel tal que P DP−1 _{= A. Da exponencial}

matricial, temos que: A = etA_{, segue que:}

P AP−1 = P etAP−1 = eP tAP−1 =   eλ1t 0 0 eλ2t  . (1.26)

Vamos subdividir o Caso 1, em sete (07) subcasos:

1.1 0 < λ1 < λ2. Quando t → +∞ as trajet´orias do fluxo tendem ao infinito,

logo temos um repulsor, comumente designado por n´o (Figura 1.2(a)). Ponto cr´ıtico inst´avel.

(a) (b) (c)

Figura 1.2: (a) Repulsor (n´o), 0 < λ1 < λ2. (b) Atrator (n´o), λ1 < λ2 < 0. (c) Sela,

λ1 <0 < λ2 .

1.2 λ1 < λ2 < 0. Quandot t → +∞ os fluxos aproximan-se da origem, logo a

(28)

1.3 λ1 < 0 < λ2. Como os autovalores tem sinais opostos, quando t → +∞

uma parcela do fluxo tende a zero e outra ao infinito, sendo que neste caso, denomina-se ponto de sela (Figura 1.2(c)). Ponto cr´ıtico inst´avel.

1.4 λ1 = 0 < λ2. Sabemos que P AP−1 _{= P e}tA_P−1 ₌   etλ1 0 0 eλ2t  =   e0 0 0 eλ2t  =   1 0 0 eλ2t     x(t) y(t)  =   1 0 0 eλ2t     x0 y0  =   x0 etλ2_y 0  

Assim, x(t) = x0 ´e constante e y(t) = eλ2ty0 ´e crescente. O diagrama de

fase está representado na Figura 1.3(a). Quando este caso ocorre, o sistema autônomo não linear é classificado a priori como instável, isto porque o Θ = Tr(J) > 0 e o Γ = det(J) = 0. Porém são necessários mais estudos sobre as fun¸cões fi, para i = 1, 2, 3, · · ·. As trajetórias são retil´ıneas, “nascendo”no eixo

horizontal e se afastando dele, isto porque o λ2 >0. No diagrama de fase, h´a

trˆes solu¸c˜oes: y0 <0, y0 = 0 e y0 >0.

(a) (b)

Figura 1.3: (a) λ1 = 0 < λ2, as trajet´orias afastam-se do eixo horizontal. (b) λ1 = 0 > λ2,

as trajet´orias aproximam-se do eixo horizontal.

1.5 λ1 = 0 > λ2

De modo an´alogo, que P ·A·P−1 _{= P ·e}tA_·P−1 ₌   etλ1 0 0 eλ2t  =   e0 0 0 e−λt  =   1 0 0 e−λ1t     x(t) y(t)  =   1 0 0 e−λ1t     x0 y0  =   x0 e−λ1t_y 0  .

(29)

aproximam-se do eixo dos x (horizontal). Todos os pontos do eixo horizontal x são pontos estacionários. O diagrama de fase está representado na Figura 1.3(b).

1.6 λ1 <0 e λ2 = 0

De modo an´alogo, que P ·A·P−1 _{= P ·e}tA_·P−1 ₌   e−λ1t 0 0 e0·t  =   e−λ1t 0 0 e0  =   e−λt 0 0 1     x(t) y(t)  =   e−λ1t 0 0 1     x0 y0  =   e−λ1t_x 0 y0  . Assim, x(t) = e−λ1t_x

0 e as trajet´orias retil´ıneas aproximam-se do eixo dos y

(vertical) e y(t) = 0, constante. Todos os pontos do eixo vertical são pontos estacionários. O diagrama de fase está representado na Figura 1.4(a).

(a) (b)

Figura 1.4: (a) λ1 <0 e λ2 = 0, as trajet´orias aproximam-se do eixo vertical. (b) λ1 >0

e λ2 = 0, as trajet´orias afastam-se do eixo vertical.

Fonte: Do Autor, com o aux´ılio do software Mathematica 10.1, do Wolfran (2016). 1.7 λ1 >0 e λ2 = 0

De modo an´alogo, que P ·A·P−1 _{= P ·e}tA_·P−1 ₌   eλ1t 0 0 e0·t  =   eλ1t 0 0 e0  =   eλt 0 0 1     x(t) y(t)  =   eλ1t 0 0 1     x0 y0  =   eλ1t_x 0 y0  . Assim, x(t) = eλ1t_x

0 e as trajet´orias retil´ıneas afastam-se do eixo dos y

(ver-tical). Todos os pontos do eixo vertical são pontos estacionários. O diagrama de fase está representado na Figura 1.4(b).

Caso 2 ∆ = 0 . A matriz A tem dois autovetores iguais , λ1 = λ2 = λ, ou seja, pode-se

(30)

A matriz pode ser m´ultipla da matriz identidade In: P AP−1 =   λ 0 0 λ  = λ   1 0 0 1   ou P AP−1 =   λ 0 0 λ  +   0  0 0  .

Então, o que nos diz a forma canônica de Jordan: há também três (03) subcasos a serem analisados conforme descritos a seguir:

2.1 A matriz A ´e m´ultipla da matriz identidade de ordem 2, I2:

P AP−1 =   λ 0 0 λ 

. H´a trˆes subsubcasos a serem analisados:

2.1.1 λ > 0: o ponto de equil´ıbrio é um repulsor (nó). O retrato de fase está representado na Figura 1.5(a). Ponto cr´ıtico instável.

2.1.2 λ < 0: O ponto de equil´ıbrio é um atrator (nó). Seja a matriz simétrica A=   −2 0 0 −2   = −2 ·   1 0 0 1 

, neste caso a matriz A ´e igual a matriz

identidade múltiplacada por um escalar λ. As trajetórias são semirretas se aproximando do ponto estacionário, por isso quanto a sua natureza é clas-sificado como assintoticamente estável. O retrato de fase está representado na Figura 1.5(b).

2.1.3 λ = 0: todos os pontos s˜ao estacion´arios.

λ1 = λ2 = 0

De modo an´alogo, que P · A · P−1 _{= P · e}tA _{· P}−1 ₌   etλ1 0 0 eλ2t   =   e0 0 0 e0  =   1 0 0 1     x(t) y(t)  =   1 0 0 1     x0 y0  =   x0 y0  .

Assim, x(t) = x0 e y(t) = y0 são constantes e as trajetórias, são pontos

sobre os eixos dos x (horizontal) e dos y. (Ver Figura 1.5(c)).

No Item 2.2, vamos estudar o subcaso em que a matriz A não é múltipla escalar da identidade. Este item também está subdividido em outros três (3) subcasos. 2.2 P AP−1 _{= P e}tA_P−1 _{= e}tD_etN =   etλ ₀ 0 etλ     1 t 0 1  =   etλ _etλ_t 0 etλ  

(31)

(a) (b)

Figura 1.5: (a) λ > 0. (b) λ < 0.

2.2.1 λ > 0: _  x(t) y(t)  =   etλ _etλ_t 0 etλ     x0 y0  .    x(t) = x0eλt+ y0teλt y(t) = y0eλt

No ponto de equil´ıbrio ¯X = (0, 0), temos:

   x(0) = x0 y(t) = y0 .

Dividindo-se a fun¸c˜ao x(t) por y(t), obt´em-se: x(t)

y(t) = x0

y0

+ t.

Portanto, o ponto de equil´ıbrio é um repulsor (nó) e consequentemente o ponto de equil´ıbrio instável.

2.2.2 λ < 0: o estudo é análogo ao anterior e o ponto de equil´ıbrio é um atrator (nó). Consequentemente o ponto de equil´ıbrio assintoticamente estável. 2.2.3 λ = 0: P etAP−1 =   1 t 0 1  .   x(t) y(t)  =   1 etλ_t 0 1     x0 y0  

(32)

 

x(t) = x0+ y0t

y(t) = y0

.

O diagrama de fase neste caso, s˜ao retas paralelas ao eixo dos x, com sentido para o +∞ para y0 >0, para o −∞ para y0 <0 e todo o eixo dos

xpara y = 0 (todo o eixo dos x é formado por pontos estacionários). Este subcaso também é conhecido como cisalhamento.

Caso 3. ∆ < 0 . A matriz A não tem autovetores reais. Portanto, o polinômio caracter´ıstico tem autovalores complexos, λ1 = a+ib e λ2 = a−ib, conjugados, com b 6= 0. Então,

o que nos diz a forma canônica de Jordan: há seis subcasos a serem analisados. A forma canônica de Jordan, é:

P AP−1 =   a −b b a  .

N˜ao existe a parte nilpotente. Como ´e a forma do fluxo neste caso? Seja: R=   a −b b a   R2 =   a −b b a     a −b b a  =   a2_{− b}2 _{−ab − ab} ab+ ab a2_{− b}2   ou da forma: R =   a −b b a  =   a 0 0 a  +   0 −b b 0  .

Note que a primeira parcela ´e aI2 e a segunda  

0 −b

b 0



´e comutativa. A

exponen-cial matriexponen-cial da primeira, ´e:

e   a 0 0 a   =   ea 0 0 ea  .

As n-ésimas portências da segunda matriz, são:

  0 −b b 0   2 =   −b2 ₀ 0 −b2  = −b2I   0 −b b 0   3 = −b2_I   0 −b b 0  =   0 b3 −b3 ₀  

(33)

  0 −b b 0   4 = (−b2_I₎2 _{= b}4_I.

E assim por diante · · ·

A exponencial matricial da segunda matriz, ´e a s´erie de Taylor:

e   0 −b b 0   =   1 0 0 1   0! +   0 −b b 0   1! +   −b2 ₀ 0 −b2   2! +   0 b3 b3 0   3! +   −b2 ₀ 0 −b2   2! +· · · =   1 − b2 2! + b4 4! − · · · −b+ b3 3! − b5 5! + · · · b − b_3!3 + b₅5! − · · · 1 −b_2!2 +b_4!4 − · · ·   =   cos(b) −sen(b) sen(b) cos(b)  .

Portanto, a exponencial matricial de

P etAP−1 =   eta 0 0 eta     cos(b) −sen(b) sen(b) cos(b)  . 3.1 a > 0 e b > 0   x(t) y(t)   =   eta ₀ 0 eta     cos(b) −sen(b) sen(b) cos(b)     x0 y0  . O fluxo (diagrama de

fase) é espiral com foco na origem (ponto de equil´ıbrio), movimentando-se no sentido anti-horário. Neste caso, o ponto de equil´ıbrio é instável, também conhecido como repulsor.

3.2 a > 0 e b < 0: Análogo ao caso anterior, porém a espiral movimenta-se no sentido horário.

3.3 a < 0 e b > 0: O ponto estacionário é um foco atrator. A espiral movimenta-se no sentido anti-horário, aproximando-se da ponto, portanto é estável.

3.4 a < 0 e b < 0: Análogo ao caso anterior, porém a espiral move-se no sentido horário. Estável.

3.5 a = 0 e b > 0

É denominado de centro. É instável (estruturalmente instável). As trajetórias movem-se no sentido anti-horário.

3.6 a = 0 e b < 0: De maneira análoga ao caso anterior, porém as trajetórias movem-se no sentido horário.

Por exemplo, o sistema (1.13) é instável na origem, porque os seus autovalores são reais e um deles é positivo, e o ponto de equil´ıbrio ¯X = (0, 0) é denominado de ponto

(34)

de sela (subsubcaso 1.2.1). A Figura 1.6 ilustra o diagrama de fase, onde as retas que passam pelo ponto de equil´ıbrio estão na dire¸cão dos vetores próprios da matriz A.

Figura 1.6: Diagrama de fase do sistema linear de EDO 1.13, com λ1 > 0 e λ2 < 0. O

ponto estacionário ¯X = (0, 0)) é instável e classificado como ponto de sela.

Defini¸c˜ao 1.6. Ponto de equil´ıbrio hiperb´olico

O sistema ˙X = AX de equa¸cões diferenciais diz-se hiperbólico se todos os autova-lores de A tem parte real não nula.

Na se¸cão seguintes abordaremos os sistemas autônomos não lineares.

1.3 Sistemas autˆonomos n˜ao lineares

Segundo [14]:

Todo o estudo feito até o momento diz respeito a pontos cr´ıticos de siste-mas autônomos lineares. No entanto, quando são considerados sistemas autônomos não lineares nem sempre isso é poss´ıvel, principalmente por existirem, em alguns casos, muitos pontos cr´ıticos, o que permite que o comportamento de uma solu¸cão próxima a um ponto cr´ıtico possa ser influenciada pelo fato de também estar próxima a outro ponto cr´ıtico. ([14])

1.3.1 Sistemas localmente lineares

Segundo [5], o sistema

˙X = AX + h(X) (1.27)

´e um sistema localmente linear desde que ¯X = (0, 0) seja um ponto cr´ıtico isolado deste

(35)

lim X→(0,0)

kh(X)k

kXk = 0. (1.28)

Sobre estabilidade de sistemas localmente lineares, [5] e [14] afirmam que o teorema (1.4) caracteriza, atrav´es da natureza dos autovalores, o caso em que o sistema a ser analisado se enquadra.

O teorema a seguir, encontra-se em [5].

Teorema 1.4. Sejam λ1 e λ2, os autovalores do sistema (1.24) correspondente ao sistema

localmente linear (1.27). Ent˜ao o tipo e a estabilidade do ponto cr´ıtico ¯X = (0, 0) do

sistema linear (1.24) e do sistema localmente linear (1.27) s˜ao como descrito na Tabela 1.1.

Demonstra¸c˜ao. Ver [5].

Tabela 1.1: Propriedades de estabilidade e instabilidade de sistemas lineares e localmente lineares.

Autovalores Sistema linear Sist. localm. linear

Tipo Estabilidade Tipo Estabilidade

λ1 > λ2 >0 N I N I λ1 < λ2 <0 N AE N AE λ1 <0 < λ2 PS I PS I λ1 = λ2 >0 NP ou NI I N ou PE I λ1 = λ2 <0 NP ou NI AE N ou PE AE λ1, λ2 = a ± ib a >0 PE I PE I a <0 PE AE PE AE

λ1 = ib, λ2 = −ib C E C ou PE Indeterminado

Legenda: N, nó; I, instável; AE, assintoticamente estável; PS, ponto de sela; NI, nó impróprio; NP, nó próprio; PE, ponto espiral; C, centro; E, estável.

Fonte: [5] (2011).

A nomenclatura para a tipologia de sistemas lineares e locamente lineares acontece em fun¸cão do sinal dos autovalores da matriz A, por isso é comum encontrar denomina¸cões como nó (nódulo), ponto de sela, nó próprio ou impróprio, ponto espiral ou centro. Ob-serve na Tabela 1.1, quando os autovalores têm sinais iguais o tipo do ponto de cr´ıtico é nó; quando possuem sinais contrários, ponto de sela; quando são iguais, podem ser nó próprio ou impróprio; quando são complexos, ponto de equil´ıbrio ou centro.

Para os sistemas localmente lineares, a tipologia ´e muito semelhante, ocorrendo pequenas mudan¸cas de nomenclaturas.

Exemplo 1.2. Seja o sistema autˆonomo n˜ao linear

   ˙x1 = x1(4 − x1− x2) ˙x2 = x2(6 − x2−3x1) (1.29)

(36)

O sistema (1.29) pode ser reescrito como    ˙x1 = x1(4 − x1− x2) = 4x1− x12− x1x2 = f1(x1, x2) ˙x2 = x2(6 − x2−3x1) = 6x2− x22−3x1x2 = f2(x1, x2)   ˙x1 ˙x2  =   4 0 0 6     x1 x2  +   −x2 1− x1x2 −x2 2 −3x1x2   o que reduz a: ˙X = AX + h(X),

comprovando com isto que trata-se de um sistema autônomo não linear (SANL). É um sistema localmente linear porque a condi¸cão (1.28) é satisfeita. Para verificar tal condi¸cão, segundo [5], é conveniente introduzir coordenadas polares, fazendo x1 = rcos(θ) e x2 =

rsen(θ). A norma euclidiana do vetor X ´e kXk= qx2

1+ x22. Em coordenadas polares ´e:

kXk=q(rcos(θ))2+ (rsen(θ))2 =q_r2_cos2(θ) + r2_sen2(θ) =q_r2(cos2(θ) + sen2(θ)) = r.

A norma euclidiana da fun¸c˜ao vetorial h(X) ´e: kh(X)k=q

h2 1+ h22. Ent˜ao: lim X→(0,0) kh(X)k kXk = limr→0

r2q_cos4(θ) + 8cos3(θ)sen(θ) + 10cos2(θ)sen2(θ) + sen4(θ)

r =

= lim

r→0r

q

cos4(θ) + 8cos3(θ)sen(θ) + 10cos2(θ)sen2(θ) + sen4(θ) = 0,

quando r → 0. Portanto, o sistema (1.29) ´e localmente linear perto da origem.

Pontos de equil´ıbrio

S˜ao os ¯Xi ∈ Rn tais que

f( ¯Xi) = 0

Neste caso, procede-se da maneira seguinte:

   x1(4 − x1− x2) = 0 x2(6 − x2−3x1) = 0 ⇒    x1 = 0 ou (4 − x1− x2) = 0 x2 = 0 ou (6 − x2−3x1) = 0 [(x1 = 0) ∪ (4 − x1− x2 = 0)] ∩ [(x2 = 0) ∪ (6 − x2−3x1 = 0)]

Temos duas possibilidades:

1. (x1 = 0 e x2 = 0) ou (x1 = 0 e 6 − x2 −3x1 = 0)

⇓ ¯

(37)

ou

2. (4−x1−x2 = 0 e x2 = 0) ou (4−x1−x2 = 0 e 6−x2−3x1 = 0)

⇓ ¯

X3 = (4, 0) X¯4 = (1, 3).

Portanto, os pontos de equil´ıbrio s˜ao: ¯X1 = (0, 0), ¯X2 = (0, 6), ¯X3 = (4, 0) e ¯X4 = (1, 3).

Estabilidade

Para estudarmos a estabilidade em cada um dos quatro pontos de equil´ıbrio en-contrados anteriormente, utilizando-se a matriz jacobiana, conforme a seguir.

Seja a fun¸c˜ao:

F : R2 _{→ R}2, definida por:

F(x1, x2) = (f1(x1, x2), f2(x1, x2)),

onde f1(x1, x2) = 4x1− x21− x1x2 e f2(x1, x2) = 6x2− x22−3x1x2).

A matriz jacobiana de F ´e obtida por:

J F(f1, f2) =   ∂f1 x1 ∂f1 x2 ∂f2 x1 ∂f2 x2  .

Calculando-se as quatro derivadas parciais da jacobiana, temos: ∂f1 ∂x1 = ∂(4x1− x21− x1x2) ∂x1 = 4 − 2x 1− x2 ∂f1 ∂x2 = ∂(4x1− x21− x1x2) ∂x2 = −x1 ∂f2 ∂x1 = ∂(6x2− x22−3x1x2) ∂x1 = −3x 2 ∂f2 ∂x2 = ∂(6x2− x22−3x1x2) ∂x2 = 6 − 2x 2−3x1

Portanto, a matriz jacobiana do sistema (1.29), ´e:

J F(f1, f2) =   4 − 2x1− x2 −x1 −3x2 6 − 2x2−3x1  .

(38)

Com efeito, a matriz jacobiana ´e: J F(0, 0) =   4 0 0 6  .

Os autovalores, s˜ao: λ1 = 4 e λ2 = 6, pelo subcaso 1.2.1, ¯X1 = (0, 0) ´e um ponto

de equil´ıbrio instável (nó instável). A Figura 1.7a, mostra o fluxo das trajetórias partindo (afastando) da origem.

(b) An´alise do ponto de equil´ıbrio do ponto ¯X2 = (0, 6).

Substituindo-se o ponto na matriz jacobiana, tem-se:

J F(0, 6) =   −2 0 −18 −6  .

Os autovalores, s˜ao: λ1 = −6 e λ2 = −2, pelo subcaso 1.2.1, ¯X1 = (0, 6) ´e um ponto

de equil´ıbrio assintoticamente estável (nó estável). A Figura 1.7, mostra o fluxo das trajetórias aproximando-se da origem.

(c) An´alise do ponto de equil´ıbrio do ponto ¯X3 = (4, 0).

De maneira an´aloga, tem-se:

J F(4, 0) =   −4 −4 0 −6  .

Os autovalores, s˜ao: λ1 = −6 e λ2 = −4, pelo subcaso 1.2.1, ¯X3 = (4, 0) ´e um ponto

de equil´ıbrio assintoticamente estável (nó estável) . A Figura 1.7, mostra o fluxo das trajetórias aproximando-se da origem.

(d) An´alise do ponto de equil´ıbrio do ponto ¯X4 = (1, 3).

De maneira an´aloga, tem-se:

J F(1, 3) =   −1 −1 −9 −3  . Os autovalores, são: λ1 = −2 − √ 10 < 0 e λ2 = −2 + √ 10 > 0, pelo subcaso 1.2.1, ¯X4 = (1, 3) é um ponto de equil´ıbrio instável (ponto de sela). A Figura 1.7,

mostra o fluxo das trajetórias (isóclinas) aproximando-se e afastando-se do ponto estacionário.

A seguir apresentaremos a Figura 1.7 com um resumo dos quatro pontos estacionários do sistema autônomo não linear (1.29).

(39)

Figura 1.7: Resumo da an´alise qualitativa dos quatro pontos de equil´ıbrio do sistema 1.29. Fonte: Do Autor (2016).

Na subse¸cão seguinte apresentaremos a solu¸cão geral de um sistema autônomo não linear.

1.3.2 Conjunto solu¸c˜ao de SANL no R

n Seja o SANL abaixo n˜ao homogˆeneo:

˙X = AX + h(X) (1.30)

com A ∈ Rn×n_{, X ∈ R}n _{e h(X) ∈ R}n_.

A sua solu¸c˜ao pode ser definida a partir dos seguintes procedimentos: o sistema (1.30) pode ser reescrito como:

˙X − AX = h(X). (1.31)

Multiplicar o sistema (1.31) pelo fator integrante µ = e−AX_{, logo:}

(40)

que corresponde a regra do produto de primeira derivada: d dt Xe−AX = e−AX h(X)

aplicando-se o método de separa¸cão de variáveis para integra¸cão, tem-se:

dXe−AX = e−AXh(X)dt ou

e−AXdX = e−AXh(X)dt A igualdade abaixo:

P e−AXP−1 = P e−tAP−1 ´e verdadeira se, e somente se,

e−AX = e−tA Assim,

e−tAdX = e−tAh(X)dt.

Integrando-se em X o lado esquerdo e em t o lado direito da equa¸c˜ao anterior, tem-se:

e−tAX = Z e−tAh(X)dt + K X = R e−tAh(X)dt + K e−tA

Logo, a solu¸c˜ao ´e:

X(t) = etA_M_{(t) + Ke}tA_, _(1.32) onde M(t) = Z e−tAh(X)dt e e−tA = P e−tDP−1.

1.3.3 M´etodos de Lyapunov

O primeiro teorema de Lyapunov é usado para linearizar um sistema autônomo não linear e analisar a estabilidade em torno dos pontos de equil´ıbrios desse novo sistema. A estabilidade local é usualmente determinada usando o primeiro método de Lya-punov, ou seja, pela lineariza¸cão. Quando não é poss´ıvel utilizar a lineariza¸cão para determinar a estabilidade, pois o ponto de equil´ıbrio não é hiperbólico2_{, então segue-se}

(41)

para o segundo método de Lyapunov, o método direto. O principal valor do segundo método de Lyapunov está na possibilidade de se estabelecer a estabilidade global.

Primeiro m´etodo

De acordo com os autores [2], [19] e [14], o primeiro teorema de lineariza¸cão de Lyapunov3_{, é aplicado ao linearizar-se um sistema autônomo não lineare no R}2_{e classificar}

a sua estabilidade de modo an´alogo aos sistemas lineares. Um estudo detalhado est´a apresentado no Teorema 1.4.

Segundo m´etodo

Sobre estes critérios, [2], propõem a seguinte defini¸cão, que servirá de funda-menta¸cão para o enunciado do segundo teorema de Lyapunov.

Defini¸cão 1.7. Seja L uma fun¸cão continuamente diferenciável definida em Ω ⊂ Rn _com

valores reais.

Dizemos que L ´e uma fun¸c˜ao de Lyapunov se: 1. L(0) = 0, 0 = (0, · · · , 0);

2. L(X) > 0 se X 6= 0 (isto é, L é localmente definida positiva); 3. L satisfaz uma das seguintes condi¸cões:

(a) L é não crescente sobre qualquer trajetória em Ω;

(b) L é estritamente decrescente sobre qualquer trajetória em Ω; (c) L é estritamente crescente sobre qualquer trajetória em Ω.

O autor [2] observa que as condi¸cões (a), (b) e (c) de 3 podem ser testadas sem conhe-cermos as trajetórias, pois o objetivo da teoria é analisar o comportamento do fluxo sem dispor das trajetórias explicitamente.

Basta utilizar a regra da cadeia e veremos que d dtL(X) = n X k=1 ∂L ∂xk dxk dt = h∇L · F (X)i = ϕ(X) = div (1.33) e, portanto, podemos expressar estas condi¸c˜oes da seguinte forma, ∀X ∈Ω e X 6= 0:

4. (a.) h∇L(X) · F (X)i ≤ 0, (b.) h∇L(X) · F (X)i < 0, (c.) h∇L(X) · F (X)i > 0,

(42)

isto ´e, ϕ(X) = h∇L(X) · F (X)i ´e, (a.) negativa semidefinida, (b.) negativa definida e (c.) positiva definida.

Teorema 1.5. Teorema de Lyapunov[2] Seja F : Ω ⊂ Rn

→ Rn_{um campo continuamente}

diferenciável com um ponto cr´ıtico na origem, F(0) = 0, e considere o sistema autônomo não linear da forma

˙X = F(X). (1.34)

Suponha que exista uma fun¸cão L de Lyapunov satisfazendo uma das condi¸cões (a.), (b.) ou (c.). Então, o ponto cr´ıtico será, respectivamente

a) est´avel: h∇L(X) · F (X)i ≤ 0 ;

b) assintoticamente est´avel: h∇L(X) · F (X)i < 0; c) inst´avel: h∇L(X) · F (X)i > 0

Demonstra¸c˜ao. Encontra-se em [2].

O exemplo a seguir encontra-se em [19].

Exemplo 1.3. Classifique a estabilidade da origem do sistema

   ˙x = −x2− x31 ˙y = x1− x32 . (1.35)

Para classificar a estabilidade do sistema autônomo não linear (1.35), devemos supor que exista uma fun¸cão de Lyapunov da forma quadrática

L(x1, x2) = ax21+ bx 2

2, (1.36)

com a, b constantes reais, na vizinhan¸ca do ponto de equil´ıbrio ¯X = (0, 0) do sistema

(1.35).

De imediato, é fácil verificar que as duas primeiras condi¸cões da Defini¸cão 1.7 são satisfeitas, porque: L(0, 0) = 0 para X = (0, 0) e L(X) > 0, ∀ X ∈ Ω e X 6= (0, 0), para a e b > 0 (é denominada de globalmente4 definida positiva ).

A terceira condi¸cão, é analisar o sinal do divergente da fun¸cão escalar (1.33). O campo vetorial do sistema (1.35) é:

F = (−x2− x31, x1− x32).

4_{N. do A. Segundo [19], se o dom´ınio Ω corresponde a todo espa¸}

co de fase (ou seja, Ω = R2_{), ent˜}_ao

(43)

O gradiente de (1.36), ´e:

∇L(X) = (2ax1,2bx2).

A fun¸c˜ao escalar (1.33) ´e:

ϕ(X) = h∇L(X) · F (X)i

= h(2ax1,2bx2), (−x2− x31, x1− x32)i

= 2ax1(−x2− x31) + 2bx2(x1− x32)

= −2ax1x2−2ax41+ 2bx1x2−2bx42,

tomando-se a = b, o termo cruzado x1x2 desaparece e tem-se que:

ϕ(X) = −2ax4₁−2ax4 2 = −2(ax 4 1+ ax 4 2) < 0,

para (x1, x2) 6= (0, 0) e a qualquer n´umero real positivo. Por exemplo, se considerarmos

a= 1, na express˜ao acima, tem-se:

ϕ(X) = −2(x2₁+ x2₂) < 0 (1.37) e pelo Item 4.(b.) da Defini¸cão 1.7 a fun¸cão (1.37) é globalmente definida negativa.

Portanto, pelo Item b) do Teorema 1.5, L(x1, x2) = x21+ x22 ´e fun¸c˜ao de Lyapunov

desse sistema de equa¸c˜oes (1.35) e o ponto ¯X = (0, 0) ´e globalmente assintoticamente

est´avel.

(44)

Cap´ıtulo 2

MODELOS EPIDEMIOL ´

OGICOS

CL ´

ASSICOS

Com o propósito de explorar, então, as compreensões que a modelagem matemática propicia sobre modelos epidemiológicos, seguem apresentados os modelos epidemiológicos objeto de estudo desta pesquisa: os modelos SI, SIR, SIS e SIRS .

2.1 Modelo SI

O modelo conhecido como SI, sem dinâmica vital, é considerado o modelo epi-demiológico mais simples. Trata-se de um modelo compartimental que considera uma popula¸cão dividida em dois grupos de indiv´ıduos: suscet´ıveis (S) e infectados (I), como apresentado no esquema na Figura 2.1. A constante de proporcionalidade r entre os dois grupos é denominada de taxa de infeçcão.

Figura 2.1: Modelo compartimental SI com taxa de infeçcão (transmissão) r. Fonte: Do Autor, apud [12].

Este modelo pode ser adequado para doen¸cas de caráter crônico no qual o indiv´ıduo uma vez infectado, não se recupera, nem mesmo se torna suscet´ıvel novamente, tal como ocorre em algumas doen¸cas como a doen¸ca de Chagas1_{, entre outras.}

Matematicamente, o modelo SI é representado pelo sistema de duas equa¸cões di-ferenciais ordinárias não lineares, indicado por (2.1):

(45)

   dS dt = −rSI dI dt = rSI . (2.1)

Considerando N(t) = S(t) + I(t) a popula¸c˜ao total, temos dN

dt = 0 , ou seja, N ´e

constante. Assim, S(t) = N(t) − I(t), e, assumindo N(t) = 1 com t > 0 , tem-se:

S(t) = 1 − I(t), (2.2)

onde S e I representam, respectivamente, propor¸c˜oes de indiv´ıduos suscet´ıveis e infecta-dos. Substituindo a equa¸c˜ao (2.2) em (2.1), tem-se:

dI

dt = r (1 − I) I. (2.3)

Tomando-se a equa¸cão (2.3) e aplicando-se o método de separa¸cão de variáveis, tem-se a equa¸cão (2.4):

dI

(1 − I) I = rdt (2.4)

Da´ı, utilizando o método de integra¸cão por fra¸cões parciais, vem:

1 (1 − I) I = A1 (1 − I)+ A2 I = A1I + A2(1 − I) (1 − I)I = (A1− A2)I + A2 (1 − I)I , onde A1 = 1 e A2 = 1.

Assim, retomando a equa¸c˜ao (2.4) e aplicando a integral e manipulando-se alge-bricamente, tem-se: Z 1 (1 − I)Idt= Z 1 (1 − I)dt+ Z 1 Idt= Z rdt ⇔ −ln|1 − I|+ln|I|= rt + c ⇔ I 1 − I = e rt+c I = Ke rt 1 + Kert Assim, I(t) = Kert

1+Kert ´e a solu¸c˜ao geral de (2.4) com K constante.

Usando as condi¸c˜oes inicias : I(0) = I0 e S(0) = S0 , tem-se:

I0 = Ke0 1 + Ke0 = K 1 + K ⇒ K = −I0 I0−1 = −I0 −S0 = I0 S0