Uma reflexão sobre matemática financeira: aluguel x compra da casa própria

Texto

(1)Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. UMA REFLEXÃO SOBRE MATEMÁTICA FINANCEIRA: aluguel x compra da casa própria.. Dilson Baptista de Lyra. Maceió, agosto de 2018..

(2) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. UMA REFLEXÃO SOBRE MATEMÁTICA FINANCEIRA: aluguel x compra da casa própria.. DILSON BAPTISTA DE LYRA. Maceió 2018.

(3) DILSON BAPTISTA DE LYRA. UMA REFLEXÃO SOBRE MATEMÁTICA FINANCEIRA: aluguel x compra da casa própria.. Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) do Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. Orientador: Barbosa. Maceió 2018. Prof.. Dr.. Isnaldo. Isaac.

(4) Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecário Responsável: L992u. Lyra, Dilson Baptista de. Uma reflexão sobre matemática financeira: aluguel x compra da casa própria / Dilson Baptista de Lyra. – 2018. 90 f. Orientador: Isnaldo Isaac Barbosa. Coorientador: André Luiz Flores. Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2018. Bibliografia: f. 53. Anexos: 54-61. Apêndices: 62-90. 1. Matemática financeira - Conceitos. 2. Habitação – Formas de aquisição. 3. Empréstimos e financiamentos. 4. Sistema de amortização de constante (SAC). 5. Sistema Price. I. Título. CDU: 51-37:332.012.02..

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(6) Dedico este trabalho a Deus, à família e aos amigos..

(7) AGRADECIMENTOS. Agradeço às minhas filhas Laura Maria e Isabella Maria pela existência e por despertarem em mim, como pai, a necessidade de entregá-las um mundo melhor, empregando como ferramenta maior a educação, mais particularmente a educação matemática. A toda minha família que desde sempre me imergiu em estímulos cognitivos e me deu inúmeras oportunidades de escolha bem como respeito às minhas decisões. Retribuo a esse grupo acima com uma singela homenagem: seus nomes serão usados como os personagens dos exemplos tratados neste trabalho. Agradeço também aos meus amigos de trabalho e de universidade, que sempre pavimentaram a longa estrada que percorri neste curso. Destaco Herivelton, amigo de longa data e responsável pela minha inscrição no PROFMAT, e aos companheiros de curso José Ailton, José Carlos “Escobar”, Ezequias Peixoto, Thiago Lessa e Thiago Wagner que juntos comigo formamos o “G6”, um grupo de guerreiros estudantes focados num só objetivo: concluir o PROFMAT. Aos professores e demais funcionários da UFAL que muito contribuíram com este mestrando, pelo apoio fora e dentro de sala de aula. Como foi bom assistir as aulas do Prof. Flores, com sua “infinita caixa de ferramentas” para a solução de todos os problemas matemáticos. Por fim, meu muito obrigado ao Professor Isnaldo, contemporâneo de graduação e à época parceiro no futebol, acolheu-me nesse retorno ao Instituto de Matemática, ministrou a disciplina Matemática Discreta, ajudou-me na preparação para o ENQ e aceitou orientar-me neste TCC que ora defendo. Foram inúmeras reuniões, acerca deste trabalho, todas muito produtivas e regadas ao melhor café de toda Cidade Universitária..

(8) “Quanto mais você estudar sobre ganhar, poupar e investir dinheiro, mais sorte você terá na sua vida financeira...” (Leandro Ávila).

(9) RESUMO. Este trabalho tem por objetivo conectar a matemática da sala de aula ao cotidiano financeiro de nossa sociedade, em especial na escolha de moradia. Trata-se de uma ferramenta para o professor desmistificar junto aos seus alunos alguns preconceitos presentes no ramo imobiliário, trazendo à luz os conceitos teóricos de matemática financeira. Estudos comparativos confrontarão as principais modalidades de habitação: imóvel adquirido à vista, financiamentos imobiliários e residência alugada. Por fim, o autor apresenta uma proposta alternativa para aquisição da casa própria e propõe uma análise das variáveis matemáticas para nortear a melhor escolha de moradia. Palavras-chave: conectar, desmistificar, estudos comparativos, melhor escolha..

(10) ABSTRACT. This paper aims to connect the mathematics of the classroom to the financial routine of our society, especially in the choice of housing. It is a tool for the teacher to demystify for his students some preconceptions present in the real estate business, bringing to light the theoretical concepts of financial mathematics. Comparative studies will address the main types of housing: real estate in cash, real estate financing and rented residence. Finally, the author presents an alternative proposal for the acquisition of the home and proposes an analysis of the mathematical variables to guide the best choice of housing. Keywords: connect, demystify, comparative studies, better choice..

(11) LISTA DE TABELAS. Tabela 1 – Símbolo de porcentagem ao longo da história ...................................................... 19 Tabela 2 – Modelando juros compostos .................................................................................. 25 Tabela 3 – Construção de uma tabela SAC ............................................................................ 36 Tabela 4 – Construção de uma tabela SFA (PRICE) ............................................................. 37 Tabela 5 – Construção da tabela SAC..................................................................................... 38 Tabela 6 – Construção da tabela SFA (PRICE)....................................................................... 39 Tabela 7 – Principais custos envolvidos na compra de imóveis.............................................. 42 Tabela 8 – Simulação resumida de financiamento (SAC)....................................................... 44 Tabela 9 – Simulação resumida de financiamento (SFA)....................................................... 45 Tabela 10 – Construção de simulação de aplicação na caderneta de poupança...................... 49 Tabela 11 – Construção de simulação de aplicação financeira mediante entrada.................. 49.

(12) LISTA DE GRÁFICOS Gráfico 1 – Comportamento do saldo devedor no SAC......................................................... 38 Gráfico 2 – Comportamento do saldo devedor no SFA......................................................... 39 Gráfico 3 – Comparação entre as amortizações mensais no SAC e SFA.............................. 40 Gráfico 4 – Projeção do saldo devedor em uma simulação de financiamento pelo SAC...... 44 Gráfico 5 – Projeção do saldo devedor em uma simulação de financiamento pelo SFA ..... 45.

(13) SUMÁRIO. 1.. INTRODUÇÃO ................................................................................................. 15. 2. BASE TEÓRICA ............................................................................................... 19. 2.1. Porcentagem ........................................................................................................ 19. 2.1.1 Diferentes versões do Símbolo de Porcentagem ................................................. 19 2.1.2 Variação Percentual (j) ........................................................................................ 21 2.2. Noções de matemática financeira ........................................................................ 22. 2.2.1 Regime de capitalização simples ......................................................................... 23 2.2.1.1 Aplicabilidade dos juros simples ......................................................................... 24 2.2.2 Regime de capitalização composta ...................................................................... 25 2.2.3 Valor presente (𝑃𝑉) ou capital (𝐶) ...................................................................... 28 2.2.4 Taxas equivalentes ............................................................................................... 29 2.3. Série uniforme de pagamentos............................................................................. 30. 2.3.1 Cálculo do valor futuro (𝐹𝑉), dada a prestação (𝑃𝑀𝑇) ....................................... 32 2.3.2 Cálculo da prestação (𝑃𝑀𝑇), dado o valor futuro (𝐹𝑉) ...................................... 33 3. EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ..................................................... 34. 3.1. Sistema de Amortização de Constante (SAC) ..................................................... 35. 3.2. Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Price................................................ 36. 3.3. Estudos de gráficos .............................................................................................. 37. 4. VALE A PENA COMPRAR UM IMÓVEL OU MORAR DE ALUGUEL? 41. 4.1. Custos por modalidade de moradia...................................................................... 41. 4.1.1 Despesas optando-se pelo aluguel ....................................................................... 41 4.1.2 Despesas e receitas optando pela compra do imóvel à vista ............................... 42 4.1.3 Despesas e receitas optando pela compra do imóvel financiado ......................... 43 4.2. Aluguel x Compra do imóvel à vista ................................................................... 46. 4.3. Aluguel x Prestação do financiamento (amortização + juros) ............................. 47. 4.4. Compra do imóvel à vista x Compra do imóvel financiado ................................ 47. 4.5. Uma proposta alternativa: aluguel + compra à vista ........................................... 48. 5.. CONCLUSÃO .................................................................................................... 51. 6.. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 53 ANEXO A ........................................................................................................... 54 ANEXO B ........................................................................................................... 55.

(14) ANEXO C ........................................................................................................... 60 ANEXO D ........................................................................................................... 61 APÊNDICE A .................................................................................................... 62 APÊNDICE B ..................................................................................................... 69 APÊNDICE C .................................................................................................... 76 APÊNDICE D .................................................................................................... 83.

(15) 15. 1.. INTRODUÇÃO Viver no mundo capitalista o qual vivemos hoje é uma tarefa árdua para nossa. população. Neste cenário, há espaço para os detentores do conhecimento matemático, mais particularmente do matemático financeiro e também para os marginalizados deste conhecimento, seja por descaso ou por falta de oportunidade de aprendizado. São estes últimos que pretendo atingir com este trabalho, usando como intermediador o professor de matemática, profissional capacitado e habilitado a incutir nos alunos a necessidade de conhecer e praticar esse conhecimento em matemática financeira, possivelmente transformando nossa sociedade através da educação. Quanto ao ensino na educação básica, uma das coleções mais consultadas, “Fundamentos da Matemática Elementar”, de Gelson Iezzi e outros, é uma obra consagrada por oferecer ao estudante um completo conteúdo de matemática elementar. Teve sua primeira edição publicada em 1977 mas só veio a ganhar um livro sobre matemática financeira em sua nona edição no ano de 2013. Isso nos faz refletir sobre a pouca importância dada à matemática financeira num passado próximo. Inspiraram-me a discorrer sobre a matemática financeira grandes autores brasileiros, como o Prof. Augusto César de Oliveira Morgado, que escreveu dentre várias obras “Progressões e Matemática Financeira” e “Matemática do Ensino Médio, A - Vol. 1” e o Administrador Financeiro Leandro Ávila, que vem ao longo dos anos compartilhando seus estudos visando desmistificar a matemática financeira em livros como “Livro Negro – Como investir em imóveis: torne-se um investidor imobiliário”. No outro extremo de conhecimento, motivou-me também, pessoas simples, com pouco ou nenhum estudo, como por exemplo minha avó materna Josefa Lira da Silva, que apesar de analfabeta, calculava suas compras, seus trocos e até mesmo os descontos, em percentual, que conseguia. Vai além da minha imaginação o que pessoas, como a simples Josefa, poderiam fazer caso fossem detentoras de um bom conhecimento escolar, mas sinto-me na obrigação de tentar mudar esse cenário de desconhecimento por um caminho de luz e de inclusão através da educação matemática. Acrescentaram-me enormemente nesta composição os apontamentos feitos por Daniel Cordeiro de Morais Filho em seu livro “Manual de Redação Matemática” onde o zelo com a.

(16) 16. escrita matemática ganhou uma justa notoriedade. Ao longo do trabalho, percorreremos além desta introdução, um desenvolvimento que visa inicialmente resgatar conhecimentos básicos fins facilitar a compreensão da problemática a ser apresentada. O desenvolvimento é dividido em três capítulos, assim dispostos: Base Teórica: no capítulo inicial, o professor de matemática da educação básica, alvo deste trabalho, terá a oportunidade de rever alguns assuntos básicos como PORCENTAGEM, NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA e SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS, problematizados em exemplos contextualizados com o tema do trabalho: custo de imóveis. Em seguida, o trabalho trata da temática EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS, destacando os sistemas de financiamento imobiliários mais praticados no mercado nacional: o Sistemas de Amortização Constante (SAC) e o Sistema Francês de Amortização (SFA), também conhecido como Sistema Price, ambos também aplicados no conhecido software Microsoft Excel® através de planilhas disponibilizadas no blog contemplado por este trabalho. Por fim, um capítulo com as principais modalidades de moradia (imóvel alugado, imóvel comprado à vista e imóvel financiado), um estudo comparativo entre estas modalidades e uma proposta alternativa para aquisição do imóvel residencial, cuja planilha Excel® também se encontra no blog. O estudo de matemática financeira é oportuno desde os primeiros contatos do estudante com a matemática, ainda no ensino fundamental, e é estudada com um pouco mais de profundidade nos anos iniciais do ensino médio. O objetivo aqui é o estímulo por parte do professor no desenvolvimento de noções de matemática financeira no estudante do ensino básico, sem o uso de conhecimentos profundos em economia, mas fundamentais para o bom convívio no atual mundo capitalista e globalizado. Tal objetivo pode ser visto em um recorte no conteúdo dos Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, o PCNEM, onde temos: “Não se trata de os alunos possuírem muitas e sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-las a diferentes contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno.”. Ainda sobre os PCNEM, a matemática financeira é um assunto que se faz presente nesses parâmetros e tem suas competências trabalhadas com os alunos desde seus contatos iniciais com a matemática e vista com um pouco mais de profundidade, geralmente, nos primeiros anos do ensino médio..

(17) 17. O domínio desta habilidade proporciona ao aluno a possibilidade de estudar a variação do valor do dinheiro em função do tempo, viabilizando ao estudante exercer sua cidadania e criticidade no mundo capitalista em que vivemos. Tal domínio é testado em momentos como o Programa Internacional de Avaliação dos Estudantes (PISA) e também no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). Seu amparo legal encontra-se no Art.35 da Lei 9394/96, conhecida também como Lei de Diretrizes e Bases da educação nacional (LDB), que veremos a seguir: Art. 35. O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de três anos, terá como finalidades: I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II - a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III - o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico; IV - a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina. • Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, objetivando a constituição de habilidades e competências que permitam ao educando: a. compreender as ciências como construções humanas, entendendo como elas se desenvolvem por acumulação, continuidade ou ruptura de paradigmas, relacionando o desenvolvimento científico com a transformação da sociedade; b. entender e aplicar métodos e procedimentos próprios das Ciências Naturais; c. identificar variáveis relevantes e selecionar os procedimentos necessários para produção, análise e interpretação de resultados de processos ou experimentos científicos e tecnológicos; d. apropriar-se dos conhecimentos da Física, da Química e da Biologia, e aplicar esses conhecimentos para explicar o funcionamento do mundo natural, planejar, executar e avaliar ações de intervenção na realidade natural; e. compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculo de probabilidades; f. identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre valores de variáveis, representados em gráficos, diagramas ou expressões algébricas, realizando previsão de tendências, extrapolações e interpolações, e interpretações; g. analisar qualitativamente dados quantitativos, representados gráfica ou algebricamente, relacionados a contextos sócio-econômicos, científicos ou cotidianos; h. identificar, representar e utilizar o conhecimento geométrico para o aperfeiçoamento da leitura, da compreensão e da ação sobre a realidade; i. entender a relação entre o desenvolvimento das Ciências Naturais e o desenvolvimento tecnológico, e associar as diferentes tecnologias aos problemas que se propuseram e propõem solucionar; j. entender o impacto das tecnologias associadas às Ciências Naturais na sua vida pessoal, nos processos de produção, no desenvolvimento do conhecimento e na vida social; k. aplicar as tecnologias associadas às Ciências Naturais na escola, no trabalho e em outros contextos relevantes para sua vida; l. compreender conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas, e aplicá-las a situações diversas no contexto das ciências, da tecnologia e das atividades cotidianas.. Fonte: www.mec.gov.br. Acessado em 18/10/2017..

(18) 18. Destaco da Lei acima, a preparação básica para a cidadania do educando e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico como justificativas para o estudo e aprendizado da matemática financeira. Vistos os objetivos do trabalho, sua distribuição em capítulos e seus amparos legais, o autor convida a navegarmos pela problemática das formas de moradia: aluguel, compra à vista ou financiamento imobiliário. Qual delas é a mais indicada?.

(19) 19. 2. BASE TEÓRICA Para conseguirmos boa fluidez à problemática maior deste trabalho é oportuno que. destinemos um capítulo inicial, o qual será intitulado Base Teórica, com uma breve abordagem sobre alguns assuntos do ensino fundamental e de extrema valia para compreensão de momentos mais profundos ao longo desta obra.. 2.1. Porcentagem Nesta seção, discorreremos sobre porcentagem: um pouco de sua história, algumas de. suas aplicações no contexto comercial e o estudo de variação percentual. Antes de iniciar com este assunto, sugerimos ao professor do ensino médio certificarse do domínio de sua turma sobre frações equivalentes e regra de três para enfim trabalhar a porcentagem em sala de aula. A palavra porcentagem ou percentagem tem sua origem no latim per centun que significa “por cento” ou “a cada centena” e nada mais é do que uma medida de razão com base 100 (cem) ou ainda uma aplicação de frações equivalentes cujo denominador seja igual a 100 (cem).. 2.1.1 Diferentes versões do Símbolo de Porcentagem A representação de porcentagem é dada pelo símbolo “%”. Historicamente este símbolo foi evoluindo até chegar ao usado atualmente. Note que todos os símbolos apresentados continham a ideia de fração. Porcentagem como era expressa em 1425 Expressão da porcentagem em meados de 1650 Símbolo de porcentagem a partir do século XVIII Símbolo de porcentagem moderno, padronizado em 1925 por D.E. Smith Tabela 1: símbolo de porcentagem ao longo da história. Fonte: http://porcentagem.net/simbolo-de-porcentagem/. Acessado em 21out17..

(20) 20. Vejamos algumas aplicações de porcentagem através de exemplos: Exemplo 1: Dilson cogita financiar um imóvel que custa R$ 200.000,00, mas para tanto precisa ter 20% do valor do imóvel para dar de entrada. Qual é o valor dessa entrada, em reais? Solução: Aplicando o conhecimento de frações equivalentes, temos: 20 𝑥 = . 100 200.000 Logo 𝑥 = 40.000. Portanto R$ 40.000,00 é o valor da entrada e equivale a 20% do imóvel. Exemplo 2: Quanto custa o imóvel cujo aluguel é de R$ 500,00, sabendo que o aluguel representa 0,4% do imóvel? Solução: Novamente aplicando o conhecimento de frações equivalentes, temos: 0,4 500 = . 100 𝑥 Ou seja, 𝑥 = 125.000. Portanto o imóvel custa R$ 125.000,00. Exemplo 3: Após conseguir um desconto de 30%, Laura Maria conseguiu comprar sua casa por R$ 210.000,00. Qual era o preço desta casa antes do desconto? Solução: Se Laura Maria obteve um desconto de 30%, então ela pagou apenas 70% do valor pedido inicialmente. Usando o conhecimento de frações equivalentes, temos: 70 210.000 = ∴ 𝑥 = 300.000. 100 𝑥 Portanto a casa custava inicialmente R$ 300.000,00. Dados estes exemplos básicos sobre porcentagem, prosseguimos com o estudo sobre variação percentual, assunto da próxima subseção..

(21) 21. 2.1.2 Variação Percentual (j) Ao nos depararmos com uma mudança de preço em determinado produto, estigamonos a pensar matematicamente sobre tal alteração. Daí, surgem a necessidade de conhecimento e de domínio sobre variação percentual. Variação percentual, representada pela letra 𝑗, é a razão entre a variação de valores e o valor inicial. Sendo 𝑉 o valor inicial de um bem e 𝑉 o valor final do mesmo, a variação percentual é representada pela fórmula: 𝑗=. 𝑉 −𝑉 . 𝑉. 𝑗=. 𝑉 − 1. 𝑉. Ou, equivalentemente:. Nota: se a variação percentual é positiva, denomina-se de taxa percentual de crescimento. Se negativa, taxa percentual de decrescimento (com 𝑉 > 0 e 𝑉 > 0). Exemplo 4: Supondo que determinado bem valia R$ 100.000,00 e, após um ano, passou a valer R$ 110.000,00. Qual foi a variação percentual? Houve taxa percentual de crescimento ou decrescimento? Solução: Como o valor inicial era de R$ 100.000 e o valor final R$ 110.000, houve um aumento de R$ 10 000,00. A variação percentual é assim calculada: 𝑗=. 10.000 10 = = 10%. 100.000 100. Como a variação foi positiva, trata-se de uma taxa percentual de crescimento. Exemplo 5: Isabella Maria investiu R$ 150.000,00 na aquisição de um terreno. Tempos após, o valor deste mesmo terreno passou a ser R$ 195.000,00. Qual foi a variação percentual do terreno? Solução: Sejam 𝑉 = 150.000 e 𝑉 = 195.000. Variação percentual do terreno será:.

(22) 22. 𝑗=. 195.000 − 150.000 45.000 30 = ⇒𝑗= = 30%. 150.000 150.000 100. Logo a taxa percentual de crescimento obtido por Isabella Maria foi de 30%. Uma breve crítica sobre porcentagem nos remete a uma série de outras perguntas sobre a variação do capital. Em busca destas respostas, estudaremos na próxima seção noções de matemática financeira.. 2.2. Noções de matemática financeira Ao falar de matemática financeira em sala de aula, o professor tem uma oportunidade. ímpar de contextualizar este assunto com o cotidiano de todos os alunos, haja vista o capitalismo no qual nossa sociedade está inserida. Discorremos sobre alguns itens básicos que servirão de alicerce à problematização maior desta obra. Suponha que uma pessoa fez um empréstimo financeiro durante certo tempo. A este valor emprestado chamemos de capital (𝐶) ou valor presente (𝑃𝑉, do inglês Present Value) e o valor que o emprestador cobra pela operação chama-se de juros (𝐽). À soma acumulada do capital com os juros, dá-se o nome de montante (𝑀) ou valor futuro (𝐹𝑉, do inglês Future Value). 𝑀 = 𝐶 + 𝐽. Temos também a taxa de juros (𝑖, do inglês interest rate) que representa o percentual do capital a ser pago numa certa unidade de tempo (dia, mês, ano, etc). Consequente de uma regra de três simples, temos que os juros nessa unidade de tempo podem ser calculados pelo produto entre o capital e a taxa de juros, simbolicamente: 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖. Observe que algumas siglas usadas no decorrer deste trabalho têm sua origem na língua inglesa e fazem-se presentes em calculadoras financeiras (ex: HP-12C) e softwares editores de planilhas, como o Microsoft Exel®. Exemplo 6: Maria de Fátima efetuou um empréstimo bancário de R$ 50.000,00 junto a uma instituição financeira com uma taxa de juros de 5% ao ano. Qual o montante a ser pago ao final do primeiro ano?.

(23) 23. Solução: Usando 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖, com 𝐶= 50.000, 𝑖 = 5% =. = 0,05;. 𝐽 = 50.000 ∙ 0,05 = 2.500. Como 𝑀 = 𝐶 + 𝐽, temos: 𝑀 = 50.000 + 2.500 = 52.500. Logo o montante a ser pago terá o valor de R$ 52.500,00.. Vimos aqui um exemplo em que o capital foi ajustado uma única vez, pois a taxa de juros era anual e foi totalmente pago ao final deste mesmo período. Ocorre que um mesmo capital poderá ser alvo de juros por repetidos períodos, assunto que veremos a seguir.. 2.2.1 Regime de capitalização simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o capital (𝐶). Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Nesse regime, os juros mensais ( 𝐽 ) são calculados através do produto do capital (𝐶) pela taxa (𝑖) e o acumulado dos juros é pago ao final da aplicação. 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖. Exemplo 7: Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples à taxa de 5% ao ano, durante dois anos. Calculemos os juros gerados anualmente e o montante ao final do período. Solução: Ao final do primeiro ano, são gerados juros de 10.000 ∙ (0,05) = 500 = 𝑗 ; Passados dois anos, são gerados juros de 10.000 ∙ (0,05) = 500 = 𝑗 . Logo, ao final de dois anos, o montante será a soma do capital com os juros 𝑗 e 𝑗 , ou seja, R$ 11.000,00..

(24) 24. 2.2.1.1 Aplicabilidade dos juros simples Apesar de presente no currículo da educação básica, a aplicação dos juros simples em nosso cotidiano não é corriqueira. Um dos mais conceituados educadores desta área, o Prof. Augusto César de Oliveira Morgado, externou sua visão quanto ao ensino de juros simples com a estória conhecida como “A fábula de Morgado”, que veremos a seguir: Havia um reino encantado onde tinha um velho rei cheio da grana e um príncipe muito elegante, porém sem um centavo. O príncipe pediu um empréstimo de R$100,00 ao velho rei e combinaram um juros de 10% ao mês. Passado um mês, o príncipe foi até o rei que disse: - Muito bem, veio me pagar os R$110,00 (R$100,00 + 10% = R$10,00 de juros) do empréstimo? E o príncipe disse: - Não posso lhe pagar os R$110,00 porque não tenho dinheiro. Nesse exato momento, quando o velho rei iria ter um ataque, surge uma fada encantada que joga um pouco de pó de pirin pin-pin no velho rei. Dessa forma o velho se vira para o príncipe e diz: - Não, tudo bem nós prorrogamos o empréstimo por mais um mês com as mesmas condições de juros de 10%. Mas, como estou me sentindo muito bondoso, não vou lhe cobrar os juros de 10% sobre os R$110,00 que você me deve agora. Vou cobrar os juros somente sobre os R$100,00 que o senhor me devia no mês passado. O príncipe acha isso ótimo! Passa mais um mês, o príncipe vai até o velho, que já está esfregando as mãos e diz: - O senhor veio me pagar o empréstimo, os R$120,00(R$110,00 + R$10,00 = R$120,00) que me deve? O príncipe diz: - Não, eu vim por que não tenho dinheiro. Então, quando o velho vai ter um ataque, surge novamente a fada encantada que aplica uma dose de pó de pirin pin-pin no velho. Aqui a nossa fada trabalha com doses crescentes de pó de pirin pin-pin, ela agora aplica uma dose dupla de pó de pirin pin-pin. Pois, caso contrário, se ela aplicasse uma dose simples de pó de pirin pin-pin no velho, o que supostamente iria acontecer? O velho iria propor que os juros corressem, não sobre os R$120,00 devidos pelo príncipe ao rei agora, e sim aos R$110,00 devidos no mês passado. Mas, como a dose é dupla, o velho propõe que os juros corra sobre os R$100,00 iniciais. O príncipe achou ótimo!! E então, depois de mais um mês, a divida é agora de R$130,00, mas como o príncipe havia ganho na loteria, ele pagou o velho rei e todos viveram felizes para sempre e fim. Fonte: http://manthanos.blogspot.com.br/2011/02/fabula-de-morgado-o-contextoideal-para.html. Acessado em 21out17.. Em um de seus vídeos gravado durante o Programa de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio - JAN/2014, o PAPMEM-2014, o Prof. Morgado contou a citada fábula e ainda discorreu a respeito de seu posicionamento:.

(25) 25. “O contexto adequando aos juros simples é o conto de fadas. Na vida real isso não existe, se você me deve R$120,00 por que vou lhe cobrar juros de R$100,00 se você me deve R$120,00? Aqui chamo a atenção a uma coisa terrível que se faz no ensino de matemática no Brasil. No ensino fundamental geralmente na 6ª série se ensina juros simples. E isso é extremamente nocivo porque primeiro juros simples não servem para nada e segundo além de não servir para nada isso cria no aluno a ilusão de que ele aprendeu a fazer esses cálculos financeiros que nos cercam no mundo real. E dessa forma, o aluno se torna, no futuro uma vítima fácil para espertalhões que praticam a fina arte de afastar os tolos de seu dinheiro. Se for para ensinar apenas juros simples, é melhor não ensinar! Assim pelo menos, não criamos no aluno a falsa impressão de que ele entende daquilo. É melhor não saber do que saber errado, pois quem não sabe e tem consciência que não sabe, sempre pode procurar um especialista. Agora, quem pensa que sabe não tem jeito, morre no erro. Se nós nos perguntarmos se nos problemas da vida real os juros são simples ou compostos? Afirmo sem sombra de dúvida, os juros são compostos.”. Assim como preconiza Morgado e amparado na LDB, o estudo sobre juros simples foi aqui tratado como alicerce para o estudo dos juros compostos, assunto da sessão a seguir.. 2.2.2 Regime de capitalização composta No regime de capitalização composta, os juros relativos ao primeiro período juntam-se capital inicial, formando um novo montante, aqui chamado de (𝑀 ), que servirá como base para cálculo dos juros no segundo período, que somado estes juros ao 𝑀 , formam o (𝑀 ), os quais serão somados ao montante do mês anterior para o cálculo dos juros no terceiro período, e assim sucessivamente, até a conclusão do período de capitalização. Tal regime pode ser modelado como na tabela a seguir: Montante após o período 1 Montante após o período 2 Montante após o período 3 ⋮ Montante após o período n. 𝑀 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑀 = 𝑀 + 𝑀 ∙ 𝑖 = 𝐶(1 + 𝑖)(1 + 𝑖) = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑀 = 𝑀 + 𝑀 ∙ 𝑖 = 𝐶(1 + 𝑖) ⋮ 𝑀 =𝑀 +𝑀 ∙ 𝑖 = 𝐶(1 + 𝑖) Tabela 2: modelando juros compostos.. Da tabela acima, obtemos a fórmula usual para os juros compostos, omitindo-se o índice 𝑛, ou seja: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖) . Igualmente apresentada na forma: 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑖) ..

(26) 26. Exemplo 8: Qual é o montante relativo a um capital de R$ 10.000,00 aplicado a juros compostos, com taxa de 5% ao mês, durante 3 meses? Solução: Seja o capital 𝐶 = 10.000,00, 𝑖 = 5% = 0,05 e 𝑛 = 3 meses, aplicando-se à formula, temos: 𝑀 = 10.000 (1 + 0,05) = 10.000 (1,05) = 11.576,25. Logo o montante será de R$ 11.576,25. Exemplo 9: João pretende juntar um montante de R$ 15.000,00. Para isto, dispõe-se a aplicar certo valor e deixá-lo rendendo por 6 meses, a taxa de 1% ao mês. Qual valor João deve aplicar? Solução: Seja o montante 𝑀 = 15.000,00, 𝑖 = 1% = 0,01 e 𝑛 = 6 meses, aplicando-se à formula, temos: 15.000 = 𝐶 (1 + 0,01) = 𝐶 (1,01) = 𝐶 ∙ 1,06115201. 𝐶 = 14.135,58082. Assim, João precisará aplicar R$ 14.135,58 para que após 6 meses tenha um montante de R$ 15.000,00. Nota1: nos estudos de matemática financeira, um arredondamento mal feito pode acarretar erros e injustiças os quais podem ser evitados utilizando no desenvolvimento dos cálculos um número adequado de casas decimais. Veja como ficaria o exemplo anterior se ao invés de arredondarmos o valor de 𝐶 com 8 casas decimais, usássemos 4 ou 10 casas decimais. Com 4 casas decimais: 15.000 = 𝐶 (1 + 0,01) = 𝐶 (1,01) = 𝐶 ∙ 1,0611 𝐶=. 15.000 = 14.136,27363 1,0611. Com 10 casas decimais: 15.000 = 𝐶 (1 + 0,01) = 𝐶 (1,01) = 𝐶 ∙ 1,0611520151 𝐶=. 15.000 = 14.135,580752 1,0611520151.

(27) 27. Com 4 casas decimais no arredondamento, o valor da aplicação encontrado estaria com um erro de R$ 0,69. Refazendo o mesmo exemplo, arredondando em 10 casas decimais, o resultado final de R$ 14.135,58 é o mesmo encontrado com 8 casas, portanto 8 casas decimais é um arredondamento adequado para esta questão. Nota2: ainda sobre arredondamento, é praxe nas operações financeiras parceladas que o arredondamento da prestação seja feito para baixo, na casa dos centavos. O resíduo (valor que falta para completar o total) é cobrado na última parcela. Exemplo 10: Josefa possui uma aplicação na caderneta de poupança cujo saldo atual é de R$ 18.000,00. Sabendo que os juros da poupança são em média de 5% ao ano, qual será o saldo desta mesma aplicação após 10 anos? Solução: Seja o capital 𝐶 = 18.000,00, 𝑖 = 5% = 0,05 e 𝑛 = 10 anos, aplicando-se à fórmula, temos: 𝑀 = 18.000 (1 + 0,05). = 18.000 (1,05). = 29.320,10.. Portanto, o saldo em 10 anos será de R$ 29.320,10. Exemplo 11: Dona Emerita mora há exatos 20 anos em uma confortável casa cujo valor atual é de R$ 450.000,00. Calcule a valorização mensal sofrida por este imóvel, sabendo que a casa foi comprada por R$ 90.000,00. Solução: Seja o capital 𝑀 = 450.000,00, 𝐶 = 90.000,00 e 𝑛 = 240 meses, aplicando-se a fórmula usual para juros composto, temos: 450.000 = 90.000 (1 + 𝑖) 5 = (1 + 𝑖). ,. ,. 1,0067 = 1 + 𝑖, 𝑖 = 0,67%. Conclui-se que a casa de Dona Emerita sofreu uma valorização nominal de 0,67% ao mês..

(28) 28. Nota: no exemplo acima vimos que o bem em questão sofreu uma valorização de 0,67%. A esta valorização dá-se o nome de valorização nominal, pois não é levada em conta a correção monetária. Se calculada a diferença entre a taxa nominal e a correção monetária no mesmo período dar-se-á o título de valorização real, termo amplamente usado no mundo econômico. Vimos aqui exemplos de como projetar um valor futuro dado seu valor presente. Trataremos a seguir de sua recíproca, calculando o valor presente, sabendo o valor futuro.. 2.2.3 Valor presente (𝑷𝑽) ou capital (𝑪) Em muitas ocasiões faz-se necessário calcular o valor presente (𝑃𝑉) de um bem, sabendo o valor futuro em certo tempo. Conforme visto anteriormente, o valor futuro (𝐹𝑉) ou montante pode ser calculado pela fórmula: 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑖) . Isolando-se a variável (𝑃𝑉), encontramos facilmente o capital ou valor presente: 𝑃𝑉 =. 𝐹𝑉 . (1 + 𝑖). Exemplo 12: Dilma fez um empréstimo junto ao banco, com taxa de juros de 4% ao mês. Ela quitará sua dívida com um pagamento único ao final de 2 anos no valor de R$ 2.000,00. Qual o valor emprestado? Solução: Aplicando diretamente a fórmula do valor presente, temos: 𝑃𝑉 =. 2.000 (1 + 0,04). = 780,24. Portanto o valor emprestado foi de R$ 780,24. Agora, que vimos como calcular o valor futuro dado o valor presente e vice-versa, estamos seguros para transitar com a capitalização ao longo do tempo e de maneira oportuna para enfrentar problemas conforme sua demanda. Temos também condições de transformar as taxas e o período de capitalização sem que mudemos os valores iniciais e finais. Veremos este assunto na seção que segue..

(29) 29. 2.2.4 Taxas equivalentes Taxas são classificadas como equivalentes quando dois capitais de mesmo valor, aplicados num mesmo intervalo de tempo e capitalizados em períodos diferentes, produzem montantes iguais. Cotidianamente nos deparamos, por exemplo, com taxas expressas ao mês e ao ano. Para converter uma taxa expressa ao mês à sua taxa equivalente ao ano, precisamos apenas igualar os montantes. Vejamos como funciona através do exemplo a seguir: Exemplo 13: Se um financiamento imobiliário é contratado à taxa de juros de 12% ao ano, qual a taxa mensal de juros equivalente? Solução: Seja 𝑋 o valor financiado, o montante capitalizado anualmente, ao final de um ano será: 𝑀 = 𝑋. (1,12) . Este mesmo valor 𝑋, agora capitalizado mensalmente, em um ano terá o mesmo montante 𝑀, agora escrito como: 𝑀 = 𝑋. (1 + 𝑖) . Igualando às equações, achamos o valor 𝑖 para taxa mensal: 𝑋. (1,12) = 𝑋. (1 + 𝑖) . 𝑖 = (1,12). − 1 = 0,949%.. Portanto a taxa de juros de 0,949% ao mês é a taxa equivalente à taxa de 12% ao ano. Com o exemplo acima, vimos como é possível transformar uma taxa de capitalização anual em uma taxa capitalização mensal sem que haja mudanças nos valores inicial e final. Eis que trago à reflexão mais uma prática cotidiana no comércio atual: o pagamento em iguais prestações. Esta modalidade de pagamento é matematicamente conhecida como série uniforme de pagamentos e será tratada na próxima seção..

(30) 30. 2.3. Série uniforme de pagamentos É comum na aquisição de bens realizarmos o pagamento em prestações fixas,. igualmente espaçadas e por determinado período. Essa operação é chamada de série uniforme de pagamentos. As séries uniformes de pagamentos diferenciam-se de acordo com a data do pagamento inicial que pode ocorrer no ato da compra (T0) ou após o primeiro período (T1). A primeira delas classifica-se como série uniforme de pagamento antecipada, já quando o pagamento inicial é realizado no (T1), chama-se de série uniforme de pagamento postecipada. Para calcularmos o valor de um bem à vista, precisamos inicialmente saber trazer todos os vencimentos das prestações para o tempo zero (T0), ou seja, ao valor presente, que pode ser visto como a operação inversa da capitalização composta. Veremos a seguir um exemplo de cálculo do valor presente onde pode associar-se ao valor à vista de um bem: Exemplo 14: Cezar comprou um smartphone para o seu filho Heitor. Como não dispunha do capital para comprar à vista, efetuou a compra em duas prestações iguais no valor de R$ 500,00 para pagar em 30 e 60 dias, com juros de 5% ao mês. Calcule o preço do smartphone à vista. Solução: Neste caso o valor presente seria o equivalente ao pagamento à vista. Sendo a primeira prestação (P1), temos que a série de pagamentos é postecipada e o seu valor presente é calculado através da fórmula: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖) . Onde P1 equivale ao montante (𝑀), o valor presente é o capital (𝐶 ), assim: 500 = 𝐶 (1,05) , 𝐶 = 476,19. Analogamente, calcula-se a segunda prestação (P2) agora com 𝑛 =2: 500 = 𝐶 (1,05) , 𝐶 = 453,51. O valor presente do citado bem é a soma dos valores presente das prestações, ou seja: 𝐶 + 𝐶 = 476,19 + 453,51 = 907,02. Portanto o smartphone custaria à vista R$ 907,02..

(31) 31. Vimos pelo exemplo acima que o valor presente (PV) de uma série uniforme de pagamentos é o somatório de todas as prestações (𝑃𝑀𝑇) trazidas para o “tempo zero” e pode ser generalizado da seguinte maneira: 𝑃𝑉 =. 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑀𝑇 + +⋯+ (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖). 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇. ∴. 1 1 1 + +⋯+ . (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖). Note que na segunda expressão, o somatório assemelha-se à soma de uma progressão geométrica de razão. , cuja fórmula é dada por Σ. =∑. (. ). =. ∙(. ). , e que. desenvolvendo, chega-se a: 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇. (1 + 𝑖) − 1 . (1 + 𝑖) ∙ 𝑖. Para o valor da prestação (PMT), basta reorganizar a fórmula anterior: 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖) ∙ 𝑖 . (1 + 𝑖) − 1. Exemplo 15: Jorge realizou uma obra de benfeitoria em seu apartamento e para tal, financiou todo o custo desta reforma em 12 prestações mensais iguais no valor de R$ 1.000,00. Sabendo que a taxa de juros da operação foi de 2,5% ao mês, calcule o valor total financiado. Solução: Sejam o número de prestações 𝑛 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠; a taxa 𝑖 = 2,5% e o valor da prestação 𝑃𝑀𝑇 = 1.000,00, resolvemos algebricamente com a fórmula para 𝑃𝑉. 𝑃𝑉 = 1.000. (1,025) − 1 = 10.264,88. (1,025) ∙ 0,025. Logo o valor financiado foi R$ 10.264,88. Assim como conseguimos calcular o valor presente de uma série uniforme de pagamentos, somos também hábeis a calcular o valor futuro provenientes de uma série uniforme de pagamentos..

(32) 32. 2.3.1 Cálculo do valor futuro (𝑭𝑽), dada a prestação (𝑷𝑴𝑻) Quando temos em mãos o valor da prestação (PMT), a taxa aplicada (𝑖) e o prazo (𝑛), podemos calcular o valor futuro em uma série uniforme de pagamento antecipado através da fórmula a seguir: 𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇. (1 + 𝑖) − 1 ∙ (1 + 𝑖). 𝑖. Observe que a fórmula acima advém da fórmula do valor da prestação (𝑃𝑀𝑇), visto no exemplo 14, sendo que há uma prestação inicial paga no “tempo zero”. Para que esta prestação inicial seja contemplada, devemos capitalizar o valor obtido por mais um mês, ou seja, multiplicar por (1 + 𝑖), conforme diagrama a seguir:. 𝑃𝑀𝑇. 0. 1. 2. 3. --. n. n+1 𝐹𝑉 = ?. mês. Exemplo 16: Robson pretende juntar nos próximos 3 anos a importância de R$ 30.000,00 para dar de entrada num financiamento imobiliário. Para tanto, ele começou a depositar mensalmente a quantia de R$ 800,00 na poupança, cujo rendimento é de 0,5% ao mês. Robson atingirá seu objetivo e acumulará o valor pretendido? Solução: Dados 𝑃𝑀𝑇 = 800,00 (reais), 𝑛 = 36 (meses), 𝑖 = 0,5% ao mês e aplicando à fórmula de cálculo do valor futuro, temos: 𝐹𝑉 = 800. (1,005) − 1 ∙ (1,005), 0,005. 𝐹𝑉 = 31.626,29. Assim, Robson conseguirá acumular o valor pretendido e ainda terá de sobra um valor de aproximadamente R$ 1.626,29..

(33) 33. Vimos, através deste exemplo, como calcular o valor futuro, sabendo o valor da prestação. Veremos agora a recíproca, onde seremos capazes de calcular o valor da prestação, dado o valor futuro.. 2.3.2 Cálculo da prestação (𝑷𝑴𝑻), dado o valor futuro (𝑭𝑽) Para calcular a prestação de uma série uniforme de pagamento antecipado, dado o valor futuro, basta isolarmos o valor da prestação na fórmula anterior de cálculo de valor futuro, ou seja: 𝑃𝑀𝑇 =. 𝐹𝑉 ∙ 𝑖 . [(1 + 𝑖) − 1] ∙ (1 + 𝑖). Exemplo 17: Considerando o exemplo anterior (exemplo 14) e levando-se em conta as mesmas condições de tempo e taxas. Qual deve ser o valor aplicado mensalmente para que Robson consiga acumular exatamente os R$ 30.000,00 pretendidos? Solução: Substituindo os dados do problema na fórmula de cálculo da prestação, temos: 𝑃𝑀𝑇 =. 30.000 ∙ 0,005 = 758,864. [(1 + 0,005) − 1] ∙ (1 + 0,005). Assim, Robson precisa aplicar mensalmente R$ 758,86 para que ao final de 3 anos tenha R$ 30 000,00. Com este último exemplo, concluímos nossa abordagem sobre porcentagem, noções de matemática financeira e série uniforme de pagamentos, que serão sustentáculos para enfim estudarmos o assunto clímax deste trabalho: refletirmos matematicamente das vantagens e desvantagens de uma moradia própria, financiada ou alugada..

(34) 34. 3. EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS Não é raro vermos ou ouvirmos propagandas sobre empréstimos e financiamentos que. tenta nos passar um conceito de realização de sonho ou solução para os problemas, aproveitando-se muitas das vezes da insipiência em matemática financeira. Abordaremos a problemática imobiliária buscando provocar uma inquirição, uma reflexão, antes que seja tomada uma atitude precipitada ou, até mesmo, às cegas. Convém inicialmente diferenciarmos estas duas operações financeiras que intitulam este capítulo, ambas são corriqueiras em nossa sociedade e possuem finalidades distintas. Vamos ao significado de cada uma delas:  Empréstimo: recurso financeiro que não demanda justificativa de finalidade. Como exemplos têm o cheque especial e o empréstimo pessoal;  Financiamento: recurso financeiro adquirido para determinado fim. Exemplos: financiamento para compra de imóvel, crediário. Dadas às restrições impostas, é comum encontrarmos taxas de juros mais atraentes nas linhas de financiamento. Por outro lado, a facilidade de contratação é maior no empréstimo. Neste contexto comercial, surgem específicas nomenclaturas, das quais destacamos:  Saldo devedor: é o valor total da dívida, pode ser interpretado como o total a ser pago para quitação imediata da dívida e também o valor base para o cálculo dos juros;  Amortização: é o valor abatido do saldo devedor. Quando pagamos a prestação de um financiamento, estamos pagando os juros relativos ao período e diminuindo o saldo devedor;  Prestação: como dito acima, prestação é a soma da amortização e dos juros pagos regularmente. Estudando mais especificamente o financiamento para a aquisição de um imóvel, dois sistemas de financiamento são geralmente ofertados: o SAC e o SFA, também conhecido como PRICE. Abordaremos estes, caso a caso..

(35) 35. 3.1. Sistema de Amortização de Constante (SAC) Neste sistema, as amortizações serão constantes, acarretando um contínuo. decrescimento do saldo devedor e uma consequente queda nos valores pagos por juros e prestações. Para montarmos a tabela de um financiamento pelo SAC precisamos calcular o valor fixo da amortização para em seguida calcularmos os juros e a prestação sobre cada período, conforme exemplo a seguir: Exemplo 18: Maria José comprou um terreno e para isso financiou um valor de R$ 9.000,00 pelo SAC, em 6 meses, a taxa de 1% ao mês. Quais serão os valores das prestações neste financiamento? Solução: Para calcularmos as prestações pedidas na questão precisamos inicialmente saber o valor da amortização mensal que é calculada dividindo-se o saldo devedor pelo tempo (em meses) do financiamento: Amortização =. .. = 1.500.. Como o próprio nome sugere, neste financiamento pelo SAC, a amortização será de R$ 1.500,00 em todo período. Em seguida, calculemos os juros relativos ao primeiro mês. Como o saldo devedor é de R$ 9.000,00 e a taxa de 1% ao mês, no primeiro mês os juros serão de R$ 90,00. O valor da primeira prestação será R$ 1.590,00, que é a soma dos juros e da amortização. 0 1. Prestação. Juros. Amortização. 1.590,00. 90,00. 1 500,00. Saldo devedor 9.000,00 7.500,00. O valor da amortização segue constante nos meses subsequentes, mas os juros serão calculados sobre um saldo devedor que já fora amortizado. Vejamos no segundo mês: Como o saldo devedor passou a ser de R$ 7.500,00, os juros de 1% sobre este valor representa R$ 75,00 e a prestação será de R$ 1.575,00. 0 1 2. Prestação. Juros. Amortização. 1.590,00 1.575,00. 90,00 75,00. 1.500,00 1.500,00. Saldo devedor 9.000,00 7.500,00 6.000,00.

(36) 36. Analogamente, constrói-se a tabela do financiamento e chega-se ao valor solicitado das seis prestações: 0 1 2 3 4 5 6. Prestação. Juros. Amortização. 1.590,00 1.575,00 1.560,00 1.545,00 1.530,00 1.515,00. 90,00 75,00 60,00 45,00 30,00 15,00. 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00. Saldo devedor 9.000,00 7.500,00 6.000,00 4.500,00 3.000,00 1.500,00 0,00. Tabela 3: construção de uma tabela SAC.. Observe na tabela anterior que o sistema adotado no financiamento foi o SAC pois o valor da amortização manteve-se constante. Utilizando o software Microsoft Excel® podemos construir a mesma tabela, utilizando como entradas o valor financiado, o número de prestações, e a taxa de juros cobrados. O blog deste trabalho http://dilsonlyra.blogspot.com/ disponibiliza um arquivo modelo de planilha de financiamento pelo SAC. Há um detalhe a destacar neste sistema (SAC) que é largamente explorado no marketing comercial: as prestações diminuem com o tempo. Além do SAC, um outro sistema de amortização também é comumente ofertado, veremos este no capítulo que segue.. 3.2. Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Price Ao estudarmos o SAC, vimos que este se caracteriza pela amortização constante. O. outro produto de financiamento que o mercado imobiliário costuma oferecer é o SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SFA), também conhecido como SISTEMA PRICE, cujo nome faz referência ao filósofo francês Richard Price e caracteriza-se pela constância no valor da prestação. Ressaltando que o valor da prestação é constante durante todo o período, o sistema Price caracteriza-se como uma série uniforme de pagamentos, assunto abordado no capítulo 4 deste trabalho, cuja fórmula da prestação (PMT) é dada por: 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖) ∙ 𝑖 . (1 + 𝑖) − 1.

(37) 37. Vejamos a seguir um caso similar ao do exemplo 16 agora optando por um financiamento pelo Sistema PRICE ou Sistema Francês de Amortização: Exemplo 19: Maria José comprou um terreno e para isso financiou um valor de R$ 9.000,00 pelo SFA, em 6 meses, a taxa de 1% ao mês. Quais serão os valores das prestações neste financiamento? Solução: Para montarmos a tabela Price, precisamos calcular o valor da prestação a ser paga. Sendo 𝑃𝑉 = 9.000,00, 𝑖 = 0,01 e 𝑛 = 6, temos: 𝑃𝑀𝑇 = 9.000. (1,01) ∙ 0,01 = 1.552,93531470. (1,01) − 1. Tendo o valor da prestação, que é sabidamente constante e igual a R$ 1.552,93, os juros serão calculados sobre o saldo devedor do mês anterior e a amortização será a diferença entre a prestação e os juros, constrói-se a tabela Price deste financiamento: 0 1 2 3 4 5 6. Prestação. Juros. Amortização. 1.552,93 1.552,93 1.552,93 1.552,93 1.552,93 1.552,98. 90,00 75,37 60,60 45,67 30,60 15,38. 1.462,93 1.477,56 1.492,33 1.507,26 1.522,33 1.537,58. Saldo devedor 9.000,00 7.537,07 6.059,51 4.567,18 3.059,92 1.537,59 0,00. Tabela 4: construção da tabela SFA (PRICE).. A diferença de R$ 0,05 na última prestação deve-se ao arredondamento. Assim como no estudo de SAC, no blog deste trabalho há disponível o arquivo “Tabela Price.xlsx”, um modelo de planilha do Excel® pelas regras do Sistema Price (SFA).. 3.3. Estudos de gráficos Saber construir e analisar gráficos é uma das etapas básicas do letramento matemático,. segundo o relatório do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Estudantes). De posse dessa informação, faremos uma breve exemplificação do uso de gráficos no presente assunto..

(38) 38. Vimos ao estudar os sistemas SAC e SFA que o saldo devedor varia em função do tempo. Com isso, torna-se oportuno que o saldo devedor de um financiamento seja também apresentado em forma de gráficos em função do tempo. Revisitando o exemplo 18, da seção 3.1, página 34, veja como ficaria o comportamento do saldo devedor através do tempo: Exemplo 18 (revisitado): Maria José comprou um terreno e para isso financiou um valor de R$ 9.000,00 pelo SAC, em 6 meses, a taxa de 1% ao mês. Quais serão os valores das prestações neste financiamento? A solução deste exemplo foi apresentada pela tabela: 0 1 2 3 4 5 6. Prestação. Juros. Amortização. 1.590,00 1.575,00 1.560,00 1.545,00 1.530,00 1.515,00. 90,00 75,00 60,00 45,00 30,00 15,00. 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00. Saldo devedor 9.000,00 7.500,00 6.000,00 4.500,00 3.000,00 1.500,00 0,00. Tabela 5: construção da tabela SAC.. Construindo o gráfico do saldo devedor em função do tempo, temos: Saldo devedor (SAC) R$ 10.000,00 R$ 8.000,00 R$ 6.000,00 R$ 4.000,00 R$ 2.000,00 R$ 0,00. Saldo devedor. Gráfico 1 – Comportamento do saldo devedor no SAC.. Do gráfico anterior temos que o saldo devedor inicial era de R$ 9.000,00, decresceu linearmente ao longo dos 6 meses de amortização e chegou a zero ao final do semestre. Analogamente, revisitaremos o exemplo 19 para expor graficamente a queda no saldo devedor ao longo do tempo..

(39) 39. Exemplo 19 (revisitado): Maria José comprou um terreno e para isso financiou um valor de R$ 9.000,00 pelo SFA, em 6 meses, a taxa de 1% ao mês. Quais serão os valores das prestações neste financiamento? A solução deste problema foi apresentada pela tabela abaixo: 0 1 2 3 4 5 6. Prestação. Juros. Amortização. 1.552,93 1.552,93 1.552,93 1.552,93 1.552,93 1.552,98. 90,00 75,37 60,60 45,67 30,60 15,38. 1.462,93 1.477,56 1.492,33 1.507,26 1.522,33 1.537,58. Saldo devedor 9.000,00 7.537,07 6.059,51 4.567,18 3.059,92 1.537,59 0,00. Tabela 6: construção da tabela SFA (PRICE).. Expondo o saldo devedor através de um gráfico, temos: Saldo devedor (SFA) R$ 10.000,00 R$ 8.000,00 R$ 6.000,00 R$ 4.000,00. Série 1. R$ 2.000,00 R$ 0,00 PrestaçãoPrestaçãoPrestaçãoPrestaçãoPrestaçãoPrestaçãoPrestação 0 1 2 3 4 5 6. Gráfico 2 – Comportamento do saldo devedor no SFA.. Analisando o gráfico da amortização do saldo devedor pelo SFA, vemos que o decréscimo ocorre mais lentamente no começo e mais rapidamente na parte final. Essa análise fica mais clara quando expomos num mesmo gráfico o valor mensal amortizado no SAC e no SFA. Note que inicialmente amortização é maior no SAC, mas isso é compensado nos meses finais. Veja a comparação no gráfico que ora segue:.

(40) 40. Prestação 6 Prestação 5 Prestação 4 SFA Prestação 3. SAC. Prestação 2 Prestação 1 1.420,00 1.440,00 1.460,00 1.480,00 1.500,00 1.520,00 1.540,00 1.560,00. Gráfico 3 – Comparação entre as amortizações mensais, em Reais, no SAC e SFA.. Pelo que vimos, os professores podem fazer uso de gráficos no estudo de matemática financeira, proporcionando ao alunato um contato a mais com gráficos e aproximando-os dos anseios preconizados no PISA..

(41) 41. 4. VALE A PENA COMPRAR UM IMÓVEL OU MORAR DE. ALUGUEL? Após termos percorrido um oportuno conteúdo programático, eis que chega a hora de enfrentarmos a problemática maior deste trabalho. Tomando como exemplo a pesquisa feita em 2016 pela Global Entrepreneurship Monitor (GEM), a qual apontou que comprar a casa própria é o principal sonho de 43% dos brasileiros, não nos restam dúvidas sobre o grande anseio de nossa população em adquirir um imóvel próprio. O objetivo deste autor é tentar esclarecer sobre as vantagens e desvantagens financeiras dos três modelos mais usuais de moradia (imóvel próprio, financiado ou alugado) para que enfim tenham condições de discernir sobre a melhor escolha.. 4.1. Custos por modalidade de moradia Nesta sessão, listaremos os principais custos relativos a quem paga aluguel, compra. um imóvel à vista e ainda quem opta pela compra de um imóvel financiado. Tais custos variam no decorrer do tempo e por isso devem ser pesquisados em fontes seguras e no período mais recente possível. A título de referência e também para fins históricos, este trabalho contempla dados reais de mercado colhidos através de pesquisa de campo feita no segundo semestre de 2017, para um imóvel de R$ 100.000,00 na cidade de Maceió - AL.. 4.1.1 Despesas optando-se pelo aluguel Morar de aluguel é ter o compromisso mensal de dispor de uma quantia firmada em contrato de locação cujo valor é proporcional ao valor do imóvel. Pesquisas, como o índice FIPE ZAP, apontam que o valor do aluguel gira entre 0,3% e 0,4% do imóvel. Em par cela expressiva dos contratos de aluguel (vide exemplo no Anexo 3), a vigência deste é de um ano, sob pena de multa, no valor equivalente ao de 1 (um) mês de aluguel, caso o inquilino desocupe o imóvel antes do período contratado..

(42) 42. Os contratos de aluguel são geralmente corrigidos anualmente pelo IGP-M (Índice Geral de Preços do Mercado), vide anexo A. No ano de 2017, este índice recuou 2,10%, reduzindo assim o valor médio do aluguel. Destaco a possibilidade de o indivíduo possuir o dinheiro para comprar o imóvel, mas optar por investir seu patrimônio em uma aplicação financeira e retirar de sua rentabilidade o valor do aluguel. Exemplo 20: Dilma pretende alugar uma casa em Maceió num condomínio onde os imóveis custam cerca de R$ 100.000,00. Qual deve ser a faixa de aluguel a ser pago por Dilma? Solução: Sabendo que a faixa de aluguel é entre 0,3% e 0,4% de 100 mil reais, Dilma pagará entre 300 e 400 reais de aluguel.. 4.1.2 Despesas e receitas optando pela compra do imóvel à vista Na compra de um imóvel, além do valor do imóvel temos que considerar algumas outras despesas que cabem ao comprador, apresentados na tabela a seguir com os principais custos envolvidos na compra de imóveis: TAXA/IMPOSTO VALOR/ALÍQUOTA ITBI – Imposto de Transmissão de Bens Imóveis. Em Maceió 2%. Valor Tabelado Escritura Pública de variando por Estado e compra e venda de de acordo com o valor imóvel. do imóvel. Valor Tabelado, variando por Estado e Registro de Imóveis de acordo com o valor do imóvel. QUEM COBRA QUANDO PAGA Pago a vista na data do contrato Prefeitura de compra e venda. Tabelionato de notas. Cobrado apenas na compra a No ato da vista. Imóveis lavratura da financiados o escritura. contrato tem força de escritura pública No ato, após o Cartório de Pagamento do Registro de ITBI e da Imóveis. escritura.. Tabela 7: principais custos envolvidos na compra de imóveis..

(43) 43. Diante da tabela acima, vejamos os custos envolvidos na compra de um imóvel de R$ 100.000,00 (caso base): ITBI ............... R$ 2.000,00 Escritura ....... R$ 2.038,40 Registro ........ R$ 2.038.40 TOTAL .......... R$ 6.078,40 (6,10% do valor do imóvel). Pesquisa feita em 20/10/2017. A considerar, temos a valorização (ou desvalorização) do imóvel, que aqui será calculada tendo como referência o índice FIPE-ZAP (anexo B). Pelo citado índice, no ano de 2017 o valor nominal dos imóveis caíram em média 0,53%, ou seja, desvalorizaram-se. Ao levarmos em conta a inflação, que fechou 2017 com 2,78%, no índice IPCA-IBGE (anexo C), os valores dos imóveis tiveram queda real de 3,23% em seu preço de venda no ano de 2017.. 4.1.3 Despesas e receitas optando pela compra do imóvel financiado Quando a escolha é pelo imóvel financiado, tem-se o gasto com os juros do financiamento imobiliário, além das mesmas taxas de quem compra o imóvel à vista. O ano de 2017 fechou taxas de financiamento imobiliário próximas a 10%, segundo a startup Melhor Taxa. Em outubro de 2017, o banco com a menor taxa anual de juros era o Santander (9,49%), seguido de Bradesco (9,60%), Itaú (9,70%), Banco do Brasil (9,74%) e Caixa Econômica Federal (10,25%). Sendo nosso exemplo um imóvel de R$ 100.000,00, financiado pelo SAC ou pelo SFA as instituições financeiras operam com algumas restrições. No SAC, os bancos geralmente financiam até 90% do imóvel, isso obriga que a pessoa disponha de ao menos 10% do valor para dar de entrada. Já no SFA, o valor máximo financiado é de 80%, ou seja, para um financiamento nesta modalidade é necessário um montante inicial de 20% do imóvel. Simularemos a seguir como ficariam as prestações iniciais, centrais e finais de ambos os financiamentos de 80% do valor do imóvel, em um prazo de 25 anos (300 meses) e com a taxa de 0,9% ao mês. As tabelas completas dos financiamentos encontram-se nos Apêndices 1 e 2..

(44) 44. Financiamento pelo SAC Valor financiado: R$ 80.000,00; Prazo: 300 meses; Taxa: 0,9% ao mês; Cálculo da amortização mensal: amortização = valor financiado / tempo, ou seja, 80 000 / 300 = R$ 266,67. Juros: calculados sobre o saldo devedor do mês anterior. Ex.: os juros cobrados na segunda prestação são calculados sobre o saldo devedor no mês 1, portanto 0,9% de R$ 79.733,33, resultando em R$ 717,60. Prestação: é o soma da amortização mensal com os juros. De posse destas informações, monta-se a tabela de financiamento, explicitada a seguir resumidamente: MÊS 0 1 2 3 133 134 135 298 299 300. SALDO DEVEDOR 80.000,00 79.733,33 79.466,67 79.200,00 44.533,33 44.266,67 44.000,00 533,33 266,67 0,00. AMORTIZAÇÃO. JUROS. PRESTAÇÃO. 266,67 266,67 266,67 266,67 266,67 266,67 266,67 266,67 266,67. 720,00 717,60 715,20 403,20 400,80 398,40 7,20 4,80 2,40. 986,67 984,27 981,87 669,87 667,47 665,07 273,87 271,47 269,07. Tabela 8: simulação resumida de financiamento (SAC).. Conforme estudado, no SAC a amortização é constante e o valor da prestação começa com um valor de R$ 986,67 e vai decrescendo linearmente assim como o saldo devedor. Para acompanhar o decrescimento do valor do saldo devedor em função do tempo, veja o gráfico a seguir: SALDO DEVEDOR (SAC) X TEMPO (MESES) R$ 100.000,00 R$ 80.000,00 R$ 60.000,00 saldo devedor. R$ 40.000,00 R$ 0,00. 1 14 27 40 53 66 79 92 105 118 131 144 157 170 183 196 209 222 235 248 261 274 287 300. R$ 20.000,00. Gráfico 4: projeção do saldo devedor em uma simulação de financiamento pelo SAC..

(45) 45. Financiamento pelo SFA Valor financiado: R$ 80.000,00; Prazo: 300 meses; Taxa: 0,9% ao mês; Cálculo da prestação mensal: aplicando-se a fórmula estudada em (2.3): 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉. (. ) ∙. (. ). . Substituindo os dados, temos: 𝑃𝑀𝑇 = 80.000. (1 + 0,009) ∙ 0,009 ∴ (1 + 0,009) − 1. 𝑃𝑀𝑇 = 772,55. Juros: é calculado sobre o saldo devedor do mês anterior. Amortização: é a diferença entre o valor da prestação e o valor pago de juros. Com esses dados, monta-se a tabela de financiamento, aqui exposta resumidamente: SALDO DEVEDOR 80.000,00 79.947,45 79.894,43 79.840,93 63.451,25 63.249,76 63.046,46 1.524,49 765,66 0,00. 0 1 2 3 150 151 152 298 299 300. JUROS. AMORTIZAÇÃO. PRESTAÇÃO. 720,00 719,53 719,05 572,86 571,06 569,25 20,49 13,72 6,89. 52,55 53,02 53,50 199,69 201,49 203,30 752,06 758,83 765,66. 772,55 772,55 772,55 772,55 772,55 772,55 772,55 772,55 772,55. Tabela 9: simulação resumida de financiamento (SFA).. Da tabela acima, observamos que o valor da prestação mantem-se fixo e o saldo devedor não decresce linearmente, conforme podemos constatar no gráfico a seguir: SALDO DEVEDOR (SFA) X TEMPO (MESES) R$ 90.000,00 R$ 80.000,00 R$ 70.000,00 R$ 60.000,00 R$ 50.000,00 R$ 40.000,00 R$ 30.000,00 R$ 20.000,00 R$ 10.000,00 R$ 0,00. saldo devedor. 0. 30. 60. 90. 120. 150. 180. 210. 240. 270. 300. Gráfico 5: projeção do saldo devedor em uma simulação de financiamento pelo SFA..

(46) 46. 4.2. Aluguel x Compra do imóvel à vista Nesta sessão, o individuo dispõe do dinheiro para compra do imóvel à vista, mas. encontra-se em um dilema: comprar o imóvel ou fazer uma aplicação financeira e morar de aluguel. Engana-se quem pensa que ao pagar aluguel “rasga-se” dinheiro todo mês e para fugir disso a melhor escolha é comprar o imóvel. Remetendo-nos mais uma vez à LDB, o ensino básico de matemática deve proporcionar autonomia e criticidade ao estudante. Ora, se o cidadão possui um capital e o investe em um imóvel estará livre do aluguel. Por outro lado, caso ele aplique esta mesma quantia terá um retorno de rentabilidade que poderá, dentre outras coisas, pagar seu aluguel imobiliário. Ao depararmos com este conflito econômico, resta-nos comparar as vantagens e desvantagens para enfim optar pela compra ou aluguel do imóvel. Comparemos a seguir os principais custos financeiros para cada uma das opções no ano de 2017, supondo como aplicação financeira a poupança, por ser a mais popular e conservadora, mas que normalmente é a menos rentável. Custo com aluguel: 0,3 a 0,4% ao mês ou 3,66 a 4,91% ao ano. Valorização imóvel: - 0,53% (nominal) ao ano Rentabilidade da poupança: 6,93% ao ano (nominal) Visto isso, ao final de um ano, quem aplicou na poupança teve um ganho nominal igual à diferença entre a rentabilidade nominal (6,93% a.a.) e o custo de aluguel (3,66% a 4,91% a.a.), ou seja, superior a 2% no ano. Por outro lado, quem comprou o imóvel teve uma perda média de 0,53% no mesmo período. Concluímos que, de maneira geral, aqueles que optaram pela aplicação na caderneta de poupança tiveram um retorno financeiro ligeiramente melhor do que os compradores dos imóveis à vista no ano de 2017. Cabe lembrar que a valorização dos imóveis é uma média. Precisamos também levar em conta fatores como o custo de oportunidade e a disciplina de aplicar mensalmente uma certa quantia, que podem sugerir a compra do imóvel. Por outro lado, quem dispunha do dinheiro e comprou o imóvel perdeu a liquidez, que é a chance de ter o dinheiro disponível rapidamente para uma melhor aplicação..