Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial I. Funções racionais e com radicais.
Taxa de Variação e Derivada Tarefa n.º 1
Resolva os seguintes problemas, tirando partido das potencialidades da sua calculadora gráfica e não esquecendo que um plano de trabalho (heurística) o pode ajudar. Analise a heurística proposta no fim do problema 1.
1. Uma jovem atleta salta de uma prancha. O seu treinador, recorrendo a um processo fotográfico, tomou nota do espaço percorrido de duas em duas décimas de segundo que registou no seguinte quadro de valores:
Tempo –t
(em segundos) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 Espaço percorrido – e
(em metros) 0 0,2 0,8 1,78 3,15 4,92 7,07 9,62 12,12 14,1 15,4 16,22 16,5
e no gráfico:
O treinador parou a contagem aos 16,5m. a. Será possível, recorrendo apenas à
observação do gráfico, indicar o momento em que a atleta entrou na água?
b. Em que intervalo de tempo [1,2;1,4] ou
[1,4;1,6] foi maior o espaço percorrido pela atleta? Encontre uma explicação.
c. Use as potencialidades da sua calculadora para encontrar uma expressão para uma função que se ajuste aos pontos que traduzem as observações do treinador.
Heurística: •••• Ler com atenção o enunciado.
•••• Compreender o problema.
•••• Identificar os dados (que devem ser traduzidos nas mesmas unidades). •••• Identificar o que é pedido: a incógnita.
•••• Experimentar uma estratégia de resolução.
•••• Criticar os resultados (nem sempre as soluções das equações são soluções do problema). •••• Dar a resposta.
2. Num jacto de água, cada gota descreve um arco de parábola. Esses jactos partem todos do solo. A altura, em metros, de um dos jactos de água é dada por: 2
a=4t−t (t em segundos, contado a partir do instante em que sai do solo)
a. Ao fim de quanto tempo uma gota de água cai no lago, que se encontra 10 cm abaixo do nível do solo? (Resposta com aproximação às décimas.)
b. Qual a altura máxima atingida pelo jacto de água? c. Qual a velocidade média do percurso da gota
c1) durante o primeiro segundo?
c2) nos intervalos de tempo [0,5;1], [0,9;1], [0,99;1]?
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial I. Funções racionais e com radicais.
Taxa de Variação e Derivada Tarefa n.º 1 – Proposta de resolução
1. Uma jovem atleta salta de uma prancha. O seu treinador, recorrendo a um processo fotográfico, tomou nota do espaço percorrido de duas em duas décimas de segundo que registou no seguinte quadro de valores:
Tempo –t
(em segundos) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 Espaço percorrido – e
(em metros) 0 0,2 0,8 1,78 3,15 4,92 7,07 9,62 12,12 14,1 15,4 16,22 16,5
e no gráfico ao lado.
O treinador parou a contagem aos 16,5m.
1.1. Observando a forma da curva, verificamos que ela sofre uma alteração de forma perto do instante 1,4 segundos. Podemos, por isso, conjecturar que foi nesse momento que a atleta entrou na água.
1.2. No intervalo de tempo [1,2;1,4] a atleta percorreu 2,55m (9,62 - 7,07) e no intervalo [1,4;1,6] percorreu 2,5 m (12,12 - 9,62). Logo, foi no primeiro intervalo que a atleta percorreu um maior espaço. Deslocou-se com mais velocidade no primeiro intervalo de tempo e esta diminui no segundo intervalo por a atleta ter entrado na água.
1.3. Vamos usar o menu STAT e fazer uma regressão que não poderá ser linear por o gráfico não ser uma recta e também não deverá ser quadrática por o gráfico não ser semelhante a uma parábola. Vamos então experimentar uma função polinomial do 3º grau e uma do 4º grau e analisar qual a que melhor se ajusta.
Comecemos por inserir os dados em duas listas (fazendo STAT seguido de EDIT).
Em seguida vamos activar o gráfico nuvem de pontos e escolher a janela em função dos dados para vermos o gráfico de pontos:
Agora recorrendo a STAT seguido de CALC vamos escolher a regressão cúbica em CubicReg e mandar escrever a expressão no editor de funções que terá, neste momento, de ter todas as funções desactivadas. Teremos de indicar as listas e a função onde queremos escrever a expressão da regressão.
Façamos o mesmo para obter uma função do 4º grau:
Observando atentamente os dois gráficos e tendo em conta que a regressão óptima deve ter coeficiente de correlação muito próximo de 1 podemos considerar que as duas funções são aceitáveis, sendo preferível a do 4º grau.
Se formos ao editor de funções encontramos lá as duas expressões:
Podemos experimentar usar um valor aproximado para a função do 4º grau e ver como se ajusta aos pontos. Engrossemos o traço do gráfico:
Podemos dizer que a função definida por f x
( )
= −0,91x4+1,24x3 +5, 4x2−0,72x+0,07 é uma boa aproximação da trajectória da atleta.2. Num jacto de água, cada gota descreve um arco de parábola. Esses jactos partem todos do solo. A altura, em metros, de um dos jactos de água é dada por
2
a=4t−t
(t em segundos, contado a partir do instante em que sai do solo) 2.1. Para determinar ao fim de quanto tempo uma gota de água cai no
lago, que se encontra 10 cm abaixo do nível do solo vamos resolver
a equação a = – 0,1, que será: 0,1 4t t2 t2 4t 0,1 0 t 4 16 0, 4 2
± +
− = − ⇔ − − = ⇔ =
Só a solução positiva nos interessa por o tempo não poder ser negativo. Com aproximação às décimas será 4,0 segundos.
2.2. A altura máxima atingida pelo jacto de água é dada pela ordenada do vértice da parábola descrita pela gota.
Calculemos os zeros de a:
(
)
2
4t− = ⇔t 0 t 4− = ⇔ = ∨ =t 0 t 0 t 4
Calculemos a abcissa do vértice que é o valor médio dos zeros: h 0 4 2 2 +
= =
A ordenada do vértice é k=a 2
( )
= × −4 2 22 =4. A altura máxima atingida pelo jacto de água é 4 m. 2.3. A velocidade média do percurso da gota2.3.1. durante o primeiro segundo é 3m/s porque a(1)=3 e a(0)=0 2.3.2. nos intervalos de tempo
[0,5;1] [0,9;1] [0,99;1]
