Resolução Prova ENADE 2008

S.t&s*

S.t&s* ///01&230br 

///01&230br 

,, ///0s.t&s04oo4&03o#'s.t&'FEUC#at

///0s.t&s04oo4&03o#'s.t&'FEUC#at

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N A

A D

D E

E 2008

2008

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

LICENCIATURA

LICENCIATURA

QUESTÕES RESOLVIDAS

QUESTÕES RESOLVIDAS

Re%o*e%emos 4&e -a5emos &m tra)a#*o !e 4&a#$!a!e( Isto -$%a !eterm$a!o pe#a Re%o*e%emos 4&e -a5emos &m tra)a#*o !e 4&a#$!a!e( Isto -$%a !eterm$a!o pe#a ota 670 !o ENADE 2008( Mas7 e%essar$amete7 ao pesarmos 4&e temos a e%ess$!a!e !e ota 670 !o ENADE 2008( Mas7 e%essar$amete7 ao pesarmos 4&e temos a e%ess$!a!e !e e,pa!$rmos ossos %o*e%$metos estaremos o %am$*o pro/ress$"o(

e,pa!$rmos ossos %o*e%$metos estaremos o %am$*o pro/ress$"o(

O pr$me$ro passo  ete!er os %ompoetes !a pro"a7 po$s esta pro"a a"a#$a os O pr$me$ro passo  ete!er os %ompoetes !a pro"a7 po$s esta pro"a a"a#$a os %&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o(

%&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o(

A pro"a %otm o$to 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as !$s%&rs$"as a"a#$a!o a A pro"a %otm o$to 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as !$s%&rs$"as a"a#$a!o a -orma<=o /era#7 %om&s para os C&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o(

-orma<=o /era#7 %om&s para os C&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o(

A pro"a %otm !e5essete 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as 4&est:es !$s%&rs$"as A pro"a %otm !e5essete 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as 4&est:es !$s%&rs$"as a"a#$a!o %ompoetes espe%>-$%os !e Matem't$%a %om&s para L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o( a"a#$a!o %ompoetes espe%>-$%os !e Matem't$%a %om&s para L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o( A pro"a %otm !e5 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e &ma 4&est=o !$s%&rs$"a A pro"a %otm !e5 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e &ma 4&est=o !$s%&rs$"a a"a#$a!o %ompoetes espe%>-$%os !e Matem't$%a para a L$%e%$at&ra(

a"a#$a!o %ompoetes espe%>-$%os !e Matem't$%a para a L$%e%$at&ra(

O se/&!o passo  reso#"er a pro"a $$%$a!o pe#a parte !e %ote;!os matem't$%os( O se/&!o passo  reso#"er a pro"a $$%$a!o pe#a parte !e %ote;!os matem't$%os( E,$/e ma$s e o $>%$o !a pro"a estamos meos !es/asta!os( De"emos7 tam)m7 em o&tro E,$/e ma$s e o $>%$o !a pro"a estamos meos !es/asta!os( De"emos7 tam)m7 em o&tro mometo7 reso#"er as 4&est:es !e -orma<=o /era#(

mometo7 reso#"er as 4&est:es !e -orma<=o /era#(

o!emos %ome<ar pe#as 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a %om&s ? L$%e%$at&ra e o!emos %ome<ar pe#as 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a %om&s ? L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o o& pe#as 4&est:es espe%>-$%as !e L$%e%$at&ra( Neste mometo  "o%@ 4&e 9a%*are#a!o o& pe#as 4&est:es espe%>-$%as !e L$%e%$at&ra( Neste mometo  "o%@ 4&e es%o#*e Mas7 =o se pre!a em 4&est:es em 4&e =o este+a se/&ro o& 4&e7 ao $$%$ar a es%o#*e Mas7 =o se pre!a em 4&est:es em 4&e =o este+a se/&ro o& 4&e7 ao $$%$ar a reso#&<=o7 se e"o#"a em !$-$%&#!a!es(

reso#&<=o7 se e"o#"a em !$-$%&#!a!es(

As 4&est:es !$s%&rs$"as !e"em ser reso#"$!as7 mesmo !e -orma $%omp#eta( Nestas As 4&est:es !$s%&rs$"as !e"em ser reso#"$!as7 mesmo !e -orma $%omp#eta( Nestas reso#&<:es e,$stem pot&a<:es "ar$a!as %o-orme

reso#&<:es e,$stem pot&a<:es "ar$a!as %o-orme se& empe*o os !ese"o#"$metos(se& empe*o os !ese"o#"$metos( E,$stem o"e 4&est:es so)re a per%ep<=o !a pro"a sem e*&m peso para a ota( E,$stem o"e 4&est:es so)re a per%ep<=o !a pro"a sem e*&m peso para a ota( Reso#"emos e !$/$tamos somete as 4&est:es !e %ote;!os espe%>-$%os !e Reso#"emos e !$/$tamos somete as 4&est:es !e %ote;!os espe%>-$%os !e Matem't$%a(

Matem't$%a(

Esperamos 4&e7 a#&os e pro-essores7 possam %o#a)orar $-orma!o so)re poss>"e$s Esperamos 4&e7 a#&os e pro-essores7 possam %o#a)orar $-orma!o so)re poss>"e$s erros 4&e por "et&ra te*amos

erros 4&e por "et&ra te*amos %omet$!o(%omet$!o(

De!$%o este tra)a#*o aos a#&os %o%#&$tes 2033 !o C&rso !e L$%e%$at&ra em De!$%o este tra)a#*o aos a#&os %o%#&$tes 2033 !o C&rso !e L$%e%$at&ra em Matem't$%a !as .a%&#!a!es Ite/ra!as Campo1ra!eses(

Matem't$%a !as .a%&#!a!es Ite/ra!as Campo1ra!eses(

A#5$r .o&rB Mar$*os A#5$r .o&rB Mar$*os Ema$# -o&rB&o#(%om()r Ema$# -o&rB&o#(%om()r

Re%o*e%emos 4&e -a5emos &m tra)a#*o !e 4&a#$!a!e( Isto -$%a !eterm$a!o pe#a Re%o*e%emos 4&e -a5emos &m tra)a#*o !e 4&a#$!a!e( Isto -$%a !eterm$a!o pe#a ota 670 !o ENADE 2008( Mas7 e%essar$amete7 ao pesarmos 4&e temos a e%ess$!a!e !e ota 670 !o ENADE 2008( Mas7 e%essar$amete7 ao pesarmos 4&e temos a e%ess$!a!e !e e,pa!$rmos ossos %o*e%$metos estaremos o %am$*o pro/ress$"o(

e,pa!$rmos ossos %o*e%$metos estaremos o %am$*o pro/ress$"o(

O pr$me$ro passo  ete!er os %ompoetes !a pro"a7 po$s esta pro"a a"a#$a os O pr$me$ro passo  ete!er os %ompoetes !a pro"a7 po$s esta pro"a a"a#$a os %&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o(

%&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o(

A pro"a %otm o$to 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as !$s%&rs$"as a"a#$a!o a A pro"a %otm o$to 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as !$s%&rs$"as a"a#$a!o a -orma<=o /era#7 %om&s para os C&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o(

-orma<=o /era#7 %om&s para os C&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o(

A pro"a %otm !e5essete 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as 4&est:es !$s%&rs$"as A pro"a %otm !e5essete 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as 4&est:es !$s%&rs$"as a"a#$a!o %ompoetes espe%>-$%os !e Matem't$%a %om&s para L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o( a"a#$a!o %ompoetes espe%>-$%os !e Matem't$%a %om&s para L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o( A pro"a %otm !e5 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e &ma 4&est=o !$s%&rs$"a A pro"a %otm !e5 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e &ma 4&est=o !$s%&rs$"a a"a#$a!o %ompoetes espe%>-$%os !e Matem't$%a para a L$%e%$at&ra(

a"a#$a!o %ompoetes espe%>-$%os !e Matem't$%a para a L$%e%$at&ra(

O se/&!o passo  reso#"er a pro"a $$%$a!o pe#a parte !e %ote;!os matem't$%os( O se/&!o passo  reso#"er a pro"a $$%$a!o pe#a parte !e %ote;!os matem't$%os( E,$/e ma$s e o $>%$o !a pro"a estamos meos !es/asta!os( De"emos7 tam)m7 em o&tro E,$/e ma$s e o $>%$o !a pro"a estamos meos !es/asta!os( De"emos7 tam)m7 em o&tro mometo7 reso#"er as 4&est:es !e -orma<=o /era#(

mometo7 reso#"er as 4&est:es !e -orma<=o /era#(

o!emos %ome<ar pe#as 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a %om&s ? L$%e%$at&ra e o!emos %ome<ar pe#as 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a %om&s ? L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o o& pe#as 4&est:es espe%>-$%as !e L$%e%$at&ra( Neste mometo  "o%@ 4&e 9a%*are#a!o o& pe#as 4&est:es espe%>-$%as !e L$%e%$at&ra( Neste mometo  "o%@ 4&e es%o#*e Mas7 =o se pre!a em 4&est:es em 4&e =o este+a se/&ro o& 4&e7 ao $$%$ar a es%o#*e Mas7 =o se pre!a em 4&est:es em 4&e =o este+a se/&ro o& 4&e7 ao $$%$ar a reso#&<=o7 se e"o#"a em !$-$%&#!a!es(

reso#&<=o7 se e"o#"a em !$-$%&#!a!es(

As 4&est:es !$s%&rs$"as !e"em ser reso#"$!as7 mesmo !e -orma $%omp#eta( Nestas As 4&est:es !$s%&rs$"as !e"em ser reso#"$!as7 mesmo !e -orma $%omp#eta( Nestas reso#&<:es e,$stem pot&a<:es "ar$a!as %o-orme

reso#&<:es e,$stem pot&a<:es "ar$a!as %o-orme se& empe*o os !ese"o#"$metos(se& empe*o os !ese"o#"$metos( E,$stem o"e 4&est:es so)re a per%ep<=o !a pro"a sem e*&m peso para a ota( E,$stem o"e 4&est:es so)re a per%ep<=o !a pro"a sem e*&m peso para a ota( Reso#"emos e !$/$tamos somete as 4&est:es !e %ote;!os espe%>-$%os !e Reso#"emos e !$/$tamos somete as 4&est:es !e %ote;!os espe%>-$%os !e Matem't$%a(

Matem't$%a(

Esperamos 4&e7 a#&os e pro-essores7 possam %o#a)orar $-orma!o so)re poss>"e$s Esperamos 4&e7 a#&os e pro-essores7 possam %o#a)orar $-orma!o so)re poss>"e$s erros 4&e por "et&ra te*amos

erros 4&e por "et&ra te*amos %omet$!o(%omet$!o(

De!$%o este tra)a#*o aos a#&os %o%#&$tes 2033 !o C&rso !e L$%e%$at&ra em De!$%o este tra)a#*o aos a#&os %o%#&$tes 2033 !o C&rso !e L$%e%$at&ra em Matem't$%a !as .a%&#!a!es Ite/ra!as Campo1ra!eses(

Matem't$%a !as .a%&#!a!es Ite/ra!as Campo1ra!eses(

A#5$r .o&rB Mar$*os A#5$r .o&rB Mar$*os Ema$# -o&rB&o#(%om()r Ema$# -o&rB&o#(%om()r

Q&est=o 33 Q&est=o 33

RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO

A cara de uma lei parabólica é de uma função quadrática y = ax

A cara de uma lei parabólica é de uma função quadrática y = ax22 + bx + c, a + bx + c, a≠≠_0.0.

e!a que a função tem a cara de y =

e!a que a função tem a cara de y = a "x # $2% " x + $a "x # $2% " x + $2% ou y = a "x2% ou y = a "x 2 2 _{& $''% ou y = ax& $''% ou y = ax}22 _{# $''. # $''.}

e!a que c = & $''a e

e!a que c = & $''a e b = 0 "não temo( a )ariá)el x na lei da b = 0 "não temo( a )ariá)el x na lei da função y = axfunção y = ax 2 2& $''a%.& $''a%.

e!a que y

e!a que y)) = * , loo como y = * , loo como y)) = & = &

a a cc a a b b 4 4 4 4 2 2 ₋₋ temo( * = temo( * = a a ac ac 4 4 4 4 e e c c = = *.*. omo c

omo c = & = & $''a temo( $''a temo( * = * = & $''a & $''a e e a =a =

48 48 1 1 144 144 3 3 − − = = − − _..

-ntão temo( y = -ntão temo( y = (( 144144).). 48 48 1 1 ₂₂ − − − − _xx

ara determinarmo( a altura da bola "y% ao atinir o ol de)emo( (ub(tituir na função ara determinarmo( a altura da bola "y% ao atinir o ol de)emo( (ub(tituir na função y = y = (( 144144)) 48 48 1 1 22 ₋₋ −

− _xx  o )alor de x = /. o )alor de x = /.

-ntão temo( y = -ntão temo( y = 3 3 5 5 48 48 80 80 )) 144 144 8 8 (( 48 48 1 1 22 _{−− == ==} − − Resposta  Resposta  3 3 5 5 Q&est=o 32 Q&est=o 32 RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO e!a que a

e!a que a equação da circuequação da circunferncia é nferncia é xx22 + y + y22 + y = 0 e da parábola é x + y = 0 e da parábola é x22 # y # $ = 0. # y # $ = 0. ara a circunferncia temo( x

ara a circunferncia temo( x22 + y + y22 # 2x # 2xccx # 2yx # 2yccy + xy + xcc22 + y + ycc22 # r # r22= 0.= 0.

1a &2x

1a &2xcc = 0 e x = 0 e xcc = 03 & 2y = 03 & 2ycc= $ e y= $ e ycc = & = &

2 2 1 1 .. ara determinar o raio4

ara determinar o raio4 0022 + + 00 4 4 1 1 ₂₂ = = − −_{r r  . 1a r =. 1a r =} 2 2 1 1 .. A parábola tem a cara y = x A parábola tem a cara y = x22 # $. # $.

e!a a( repre(entaç5e( da parábola e circunferncia4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 −1.0 1.0 2.0 3.0

6tem a & e!a que a reta de equação y = &$ é paralela ao eixo x, tanente ao )értice da parábola, perpendicular ao eixo y e por con(equncia tanente 7 circunferncia "que tem centro de ab(ci((a 8ero%. odemo( )er também (ub(tituindo y = &$ na( equaç5e( da circunferncia e parábola e encontrando x = 0. A (olução comum x = 0 e y = &$ ou o ponto "0, &$% determina a (olução do (i(tema formado pela( tr( equaç5e(4 reta, circunferncia e parábola. 1etermina o ponto de inter(ecção entre e((e( ráfico(. 1etermina que a reta de equação y = &$ é tanente 7 circunferncia e 7 parábola.

6tem b& ara (aber o( ponto( de inter(ecção entre a( cur)a( de)emo( fa8er a re(olução do (i(tema4

x2 _{= y + $ e x}2 _{+ y}2 _{+ y = 0.}

9oo temo( y + $ + y2 _{+ y = 0 3 y}2 _{+ 2y + $ = 0, que tem dua( ra8e( iuai( y = &$.}

9oo para y = &$ temo( x = 0 ")e!a em x2 = y + $%.

-ntão o ponto em comum entre a( cur)a( é (omente o ponto "0 , &$%.

6tem c& e!a que toda reta que pa((a pelo centro da circunferncia intercepta a parábola. 6tem d& : raio da circunferncia é .

2 1

6tem e & A parábola tem conca)idade para cima.

Q&est=o 36

RESOLUÇÃO

1e $0 po(to( doi( )endem a(olina adulterada.

Ao (ortear doi( de((e( de8 po(to( pede&(e a probabilidade de o( doi( po(to( com a(olina adulterada (erem (orteado(.

ara o primeiro po(to (orteado4 2 em $03 e

ara o (eundo po(to (orteado "um !á (aiu%4 $ em ;.

1a 45 1 90 2 9 1 10 2 = =  x RESOSTA 45 1

Q&est=o 3H

RESOLUÇÃO

e!a que a reta que pa((a por "0,0% e "2,$% tem como equação y = 2  x . e!a que a reta que pa((a por "0,0% e "$,2% tem como equação y = 2x. e!a a equação da reta que pa((a por "$,2% e "2,$%4

0 1 1 2 1 2 1 1 =  y  x e y = & x + *.

A repre(entação do plano definido entre a( reta( é dada pelo (i(tema de inequaç5e(4 -m y = 2x temo( y < 2x. -m y = 2  x temo( y  2  x .

-m y = &x + * temo( y < &x + *. 9oo4 B  2, J 0( y & 2  x  0 ou 2B  , K 0( y < &x +* ou B  , J 6( Resposta B  2, J 0 2B  , K 0 B  , J 6(

Q&est=o 3

RESOLUÇÃO

A>1 é um quadrado poi( A, >1 e A> (ão (emento( conruente( e num papel retanular, loo de ?nulo( A e > com ;00 .

A>1 é um quadrado que tem (ua( diaonai( A1 e > interceptando&(e em @ formando ?nulo( de ;00.

e!a que o tri?nulo A> é ret?nulo i(ó(cele( em A. :( ?nulo(  e > do tri?nulo A> )alem '0 poi( > e A1 (ão diaonai( do quadrado A>1.

9oo o ?nulo @ do tri?nulo @B é reto em @ e o( outro( ?nulo(  e B (ão de ' 0, poi( @ e @B (ão conruente(, formando um tri?nulo ret?nulo i(ó(cele(.

9oo o tri?nulo B1 é obtu(?nulo "?nulo em B obtu(o% ma( o tri?nulo @B não é eqCilátero, é i(ó(cele(.

RESOSTA  A pr$me$ra asser<=o  &ma propos$<=o "er!a!e$ra7 e a se/&!a  -a#sa( Q&est=o 3

RESOLUÇÃO

ara e(tudarmo( o inter)alo que a função é cre(cente de)emo( u(ar o conceito de deri)ada. -(tudar o (inal da função repre(entada pela primeira deri)ada de "t% = , 0

) 1 ( 10 2 ≥ + t  t  t  .

Do inter)alo em que a função primeira deri)ada  P"t% for po(iti)a determina que a função "t% é cre(cente ne(te inter)alo3 no inter)alo em que a função primeira deri)ada  P"t% for neati)a determina que a função "t% é decre(cente ne(te inter)alo.

1eri)ando "t% temo( P"t% = 4 2 ) 1 ( ) 1 .( 2 . 10 10 . ) 1 ( + + − + t  t  t  t  = 4 2 ) 1 ( 10 10 + + − t  t  .

-(tudando o( (inai( da primeira deri)ada P_{"t% =}

4 2 ) 1 ( 10 10 + + − t  t  . Ea8endo f"t% = & $0 t2 + $0 e F"t% = "t + $ %' .

&$ 0 +$ alore( para t. f"t% & + + & f"t% = & $0 t2 +$0 F"t% + + + + F"t% = "t+$%' "t% & + + & "t% = 4 2 ) 1 ( 10 10 + + − t  t 

@emo( que con(iderar t po(iti)o e   "t% po(iti)o. e!a que não podemo( con(iderar &$ < t < $ poi( temo( a condição _t ≥ 0 _{para t.}

9oo para   "t% po(iti)o, que (inifica "t% cre(cente, temo( o inter)alo 0≤ _t <1. e!a que para t = 0, G " t% é po(iti)a, e para t = $ temo(  G "t% = 0 "não po(iti)a%.

Resposta 0≤ _t <1( Q&est=o 3 RESOLUÇÃO 2 2 2 2 4 4 cos 4 _{isen i} ei = π  + π   = + π   2 2 2 2 4 3 4 3 cos 4 3 i isen ei = π   + π   = − + π  

x

: ponto A e(tá definido por ). 2 2 , 2 2 (−

: ponto > e(tá definido por ). 2 2 , 2 2 ( : ponto  e(tá definido por "0,2%

A ba(e do tri?nulo é 2 2 2 2 = . A altura do tri?nulo é . 2 2 2−

A área do tri?nulo A> é4

. 2 1 2 2 1 2 2 2 ) 2 2 2 .( 2 − = − = − = S  RESOSTA . 2 1 2 −

Q&est=o 38

RESOLUÇÃO

: con!unto H$2 = I0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, +, . é anel.

a% Dão Fá di)i(ore( de 8ero.

Eal(o, poi( x é di)i(or de 8ero (e x . a = a . x = 0=12, para a em H_$2. :( di)i(ore( de 8ero (ão o( elemento( de H _$2 que di)idem 12 "12 = 0%. Do anel do( inteiro( módulo $2 o( di)i(ore( de 8ero (ão 1,2,3,4,6.

b% @odo elemento não nulo é in)er()el.

Eal(o, poi( todo( o( elemento( (ão in)er()ei(, inclu(i)e o 8ero. e!a exemplo(4

0+ 0= 0. 6n)er(o de 8ero é 8ero. 0é o elemento neutro do anel. : in)er(o de a é ₁₂−a_{a em H$2 .}

-xemplo(4

: in)er(o de 1 é 12−1 _{, poi( 1}+₁₁= _{0. 6n)er(o de 1 é 11.}

6n)er(o de 4 é  12−4 , poi( 4 + 8 = 0

c% : (ubcon!unto do( elemento( in)er()ei( forma um (ubanel de J.

erdadeiro, poi( o (ubcon!unto do( in)er()ei( é o próprio H_$2, que é anel, loo, (ubanel "por (er (ubcon!unto%.

d% A multiplicação não é comutati)a.

Eal(o. e!a que H_$2 na multiplicação é comutati)o. -xemplo4 9 21 3 . 7 7 . 3 = = =

e% Ká exatamente ' elemento( in)er()ei(.

Eal(o, poi( todo( o( elemento( (ão in)er()ei(, inclu(i)e o 8ero.

RESOSTA  O s&)%o+&to !os e#emetos $"ers>"e$s -orma &m s&)ae# !e R(

RESOLUÇÃO ). ( ; : é aderivada de g t  dt  dg  R  R g Seja → Le!a dt  x  R dt  t  dg  x ∈

∫

6& A função f é interá)el em todo inter)alo Ma,bN, a,b ∈ _{J, a < b.}

orreto, poi( )e!a que f"x% = ( ) ;

(

]

0  x g t  g  R  x dt  dt  t  dg x  x = = ∈

∫

f"x% é interá)el em todo inter)alo Ma,bN, poi( exi(te "x%4 J →J e (ua deri)ada dx dg

, contnua, con(iderado( na que(tão.

66& A função f é deri)á)el e (ua deri)ada é a função . 6ncorreto, poi( (e f"x% = "x% + O então fG"x% = G"x%. 666& A função diferença f #  é uma função con(tante.

orreto, poi( a diferença f #  = "x% + O # "x% = O "con(tante%. Resposta I e III apeas(

Q&est=o 20

RESOLUÇÃO x= I x + r P r ∈ BQ

a o número π   _{pertence ao conjunto C}1.

_$= I $ + r4 r ∈ BQ

$ "racional% + racional é racional, loo π  _{(irracional) não pertence ao conjunto C1.}

_'= I ' + r P r ∈QQ 3 r = $ era 3 r = 2 era R.

 = I  + r P r ∈Q Q 3 r = 0 era 3 r = $ era R. e!a que !á temo( doi( elemento(,  e R,

pertencente( 7 C4 ∩ C5 , 9ooC4 ∩ C5 nãopossui um único elemento.

) o conjunto C4 ∩ C5possui um único elemento.

%o número 2  pertence ao conjunto C  ₃ .

 ₃ = I ₃ + r4 r∈ _BQ

3mais racional não dará 2  !á que 3+ racional = 2 ,e um número racional não é

d) os conjuntos C3e C 1/3são iguais.

Vamos ver:

* = I * + r $ 4 r$∈BQ e $P* = I $P* + r2 4 r2∈BQ.

* + r$ = $P* + r 2 ou r$ = r2 # /P*.

Lempre Fa)erá racionai( r _$ e r ₂tal que r_$ = r₂ # /P*. A((im4 _* = I * + " r ₂ & /P*% 4 r₂ ∈BQ e _$P* = I $P* + r₂ 4 r₂∈BQ.

e) o número zero pertence ao conjunto C π   e C - π  .

O número zero não pertence aos conjuntos pois não podemos ter - π   _{ou -}π   ₊ π  _{, já}

que a segunda parcela tem de ser racional.

RESOSTA Os %o+&tos C ₆ e C_36 s=o $/&a$s( Q&est=o 23

RESOLUÇÃO

: polinSmio "x% = x* # *x2 + Ox + m é mTltiplo de B"x% = x2 & '.

: polinSmio é di)i()el por x2 & '. -ntão é di)i()el por "x&2% "x+2%. -ntão é di)i()el por "x&2% e "x+2%.

U(ando >riot Jufini4

2 $ & * O m

$ & $ & 2 + O & ' + 2O + m

& 2 $ & * O m

$ &  $0 + O & 20 # 2O + m @emo(4

& ' + 2O + m = 0 & 20 # 2O + m = 0

Je(ol)endo o (i(tema temo( O = & ' e m = $2. RESOSTA  G  H e m G 32(

RESOLUÇÃO

a% A tran(formação @"x,y% = "& x,y% é uma reflexão em torno do eixo y. A tran(formação dada fa8 reflexão em torno do eixo x e é dada por @"x, y% = " x, & y%.

b%

@em auto)etor "0,&$% com auto)alor a((ociado iual a 2 V

Um )etor não nulo ) em  é dito um auto)etor de @ (e exi(te um nTmero real W tal

que @")% = W ).

: e(calar W é denominado um auto)alor de @ a((ociado a ).

ode&(e concluir que ) e @")% (ão paralelo( !á que W ) tem a me(ma direção de ).

e!a que @"0,&$% = "0,$% e 2"0,&$% = "0, &2%3 "0, $% e "0, &2% não (ão paralelo(. 9oo não

temo( auto)etor "0, &$% com auto)alor 2.

c% @"2,0% = "2,0% e $ "2,0 % = "2,0%. omo @"2, 0% = $ "2,0%, )etore( paralelo(, temo( "2,0% com auto)alor $.

d% @em auto)alor de multiplicidade 2V

e!a que @"x.y% = O "x,y% = "x, &y%. Auto)alor $ para auto)etore( "x, 0%. Apena( $ como auto)alor. Dão Fá auto)alor de multiplicidade 2.

e% Uma tran(formação linear é in)er()el (e for bi!etora. e!a que4

@" x, y % = "x, & y% de J2 em J2 é in!etora poi( para "a, b% ≠_{"c, d% temo( @ "a, b%} ≠_{@ "c, d%.}

@" x, y % = "x, & y% de J2 em J 2 é (obre!etora poi( para "x, y% no contradomnio J 2  teremo( (empre "x, & y% no domnio J2. 9oo a tran(formação é bi!etora. 9oo tem in)er(a.

CRTICA W QUESTÃO

: 6D- coloca como re(po(ta que a tran(formação não é in)er()el. 1e(cordamo( da re(po(ta. RESOSTA Tem a&to"etor X270 %om a&to"a#or asso%$a!o $/&a# a 3(

Q&est=o 26

RESOLUÇÃO x + y + 8 = $ 2x + 2y + 28 = ' *x + *y + '8 = 

-(te (i(tema é impo(()el. e!a por e(calonamento4

Xultiplicando a primeira equação por &2 temo( &2x # 2y # 28 = &2. &2x # 2y # 28 = &2

2x + 2y + 28 = ' *x + *y + '8 = 

Ao (omarmo( a primeira equação 7 (eunda temo(4 &2x # 2y # 28 = &2

0x + 0y + 08 = 2 *x + *y + '8 = 

e!a que temo( uma impo((ibilidade para )alore( de x, y, 8 na (eunda equação4 0 = 2.

: determinante da matri8 de coeficiente( é 8ero. Y )erdadeiro. 1ua( coluna( iuai( era determinante 8ero. Xa( i((o não !u(tifica a impo((ibilidade de (olução poi( poderamo( ne(te ca(o ter um (i(tema indeterminado.

1a termo( a( dua( a((erç5e( (ão propo(iç5e( )erdadeira(, ma( a (eunda não é uma  !u(tificati)a correta para a primeira.

RESOSTA As !&as asser<:es s=o propos$<:es "er!a!e$ras7 mas a se/&!a =o  &ma  +&st$-$%at$"a %orreta !a pr$me$ra(

RESOLUÇÃO 6_$ = I r_$ & 3 2 1 , r_$ + 3 2 1 Q 62 = I r$ & ₄ 2 1 , r$ + ₄ 2 1 Q

9$, 92, 9*, ... definem comprimento( de cada inter)alo 6$, 62, 6*.. .

9$ = r_$ + 3 2 1 & r_$ + 3 2 1 = 3 2 2 . 92 = r$ + ₄ 2 1 & r$ + ₄ 2 1 = 4 2 2 e a((im (uce((i)amente. -ntão teremo( 2 1 8 4 2 1 8 2 2 1 1 2 2 ... 2 1 2 2 2 2 3 5 4 3 1 = = = − + + =

∑

Q&est=o 2

RESOLUÇÃO

e!amo( a( propo(iç5e( apre(entada(4 6 & : )olume da pir?mide é Z.

: olume do tetraedro é dado por  = 12

2

3

a

omo o tetraedro tem )olume $, calculamo( a* em $ = 12 2 3 a  (endo a* = R 2 . A pir?mide LXD é um tetraedro. 1a  = 12 2 3 a = 8 1 96 12 96 2 . 2 6 12 8 2 12 2 ) 2 ( 3 3 = = = = a a . : )olume da pir?mide LXD é $P/.

II - A interseção do plano com o tetraedro é um paralelogramo.

Dão, é um tri?nulo.

666 & As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas.

Jeta( re)er(a( (ão aquela( não coplanare(, i(to é, em plano( di(tinto(.

A reta que contém X e(tá no plano formado pela face JL@ e a reta que contém JU e(tá no plano LJU ou JU@. Lão reta( não coplanare( ou re)er(a(.

RESOSTA III7 AENAS( Q&est=o 2

RESOLUÇÃO

f(x, y) = x3 – x 2 + 2xy – y2.

A condição necessária que (x0, y0) , interior do D f  , seja máximo global é que (x0, y0  ) seja

ponto crítico de f e, além disso, ( , ) 0 ₂ ( ₀, ₀) 0.

2 0 0 2 2 ≤ ≤  _{x y}  Dy  D e  y  x  Dx  D Veja: ). 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( 2 2 3 ) , ( = 2 − + =  Dx  D e  y  x  x  y  x  Dx  D ). 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( 2 2 ) , ( = − =  Dy  D e  y  x  y  x  Dy  D

Logo (0,0) é ponto crítico. Mas é necessário também:

. 0 ) 0 , 0 ( 0 ) 0 , 0 ( ₂ 2 2 2 ≤ ≤  Dy  D e  Dx  D . 0 2 ) 0 , 0 ( 2 6 ) , ( 2 2 2 2 ≤ − = − =  Dx  D e  x  y  x  Dx  D . 0 2 ) 0 , 0 ( 2 ) , ( 2 2 2 2 ≤ − = − =  Dy  D e  y  x  Dy  D

As duas proposições são verdadeiras mas afirmar que a função tem um ponto máximo global, pois (0,0) é ponto crítico, não é verdade pois teremos, também, que verificar se

. 0 ) 0 , 0 ( 0 ) 0 , 0 ( ₂ 2 2 2 ≤ ≤  Dy  D e  Dx  D

RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

Q&est=o 2

RESOLUÇÃO

Bual o re(to da di)i(ão de 2 **' por 2*V 2$$ ≡ _{$ " mod 2*%} " 2$$ % *0 ≡ _$ *0 _{" mod 2*%} 2 **0 ≡ _{$ " mod 2*%} 2 **0 . 2' ≡ _{$ . 2} ' _{" mod 2*%} 2 **' ≡ 2 ' " mod 2*% 2 **' ≡ $R " mod 2*%

9oo o re(to da di)i(ão de 2 **' por 2* é $R. RESOSTA 3

COMONENTE ESEC.ICO  NYCLEO COMUM  QUESTÕES DISCURSIVAS Q&est=o 28(

RESOLUÇÃO AD: 6 66 666 2000 $*,R 2'00 *2R'0 200$ $' 2[00 *[/00 2002 $R,' 200 '$000 200* $/, 2/00 $/00 200' 2$, 2*00 ';'0 200 2* 2200 0R00 200R 22 200 000 200[ 2$ 2/00 //00

@tulo4 A produção de (o!a no >ra(il (ubiu de 2000 para 200[ em torno de /0 \. ]ráfico de linFa(

Do eixo Fori8ontal temo( a( indicaç5e( do( ano(.

Do eixo )ertical temo( a( repre(entaç5e( da( quantidade( de quilorama( de (o!a produ8ido( no >ra(il.

@e(e4 an < a para todo n ≥1ea ≥ 2.

b% a"a&$%  0 para a ≥ 2.

Le a ≥ 2_{, então a  0 e a & $  0. 9oo a"a # $%  0.}

c% _a < _{a paratodo a} ≥ 2. Buadrando temo( a < a2 e a < a.a. 9oo a < a. d% Lupondo que a_n < a, pro)e que a _n+$ < 2a .

or indução4

erificar para n = $4

a% ara n = $ temo( a$ < a e (endo a$

 =

b% Lupor )erdade para n = O e pro)ar para n = O +$. aO < a, por Fipóte(e. erificar para a O + $..

erificar (e a _{O + $} < 2a .

k 

k  a a

a = +

. 2 , , 2 2 a a a a a temos hipóptese  pela a a Como a a a a a a n k  k  k  < + < + < < + < + e% Xo(tre que a _n+$ < a. ^á pro)amo( que a_{n + $} < 2a .

e!a que 2a < a poi( 2a < a 2 e a + a < a .a, para a  2. -ntão a _n+$ < a "para a  2%.

f% ro)a da 6ndução4

a% Lupor a propo(ição )erdadeira para n = $.

a$ < a. Y )erdade poi( temo( a$ = a e a < a " !á pro)ado%.9oo a$ < a.

b% Lupor )erdadeira para n = O.

k 

k  a a

a ₊ = +

1

erificar para n = O+$.

1 1 1+ + + = + k  k  a a a

COMONENTE ESEC.ICO ARA LICENCIATURA( QUESTÃO 60

RESOLUÇÃO

e!a em 6 quando di8 que todo nTmero primo da forma 'n + $ pode (er e(crito como a (oma de doi( quadrado( perfeito(, temo( ' . $ + $ = 3 ' . * + $ = $*3 ' . ' + $ = $[3 ' . [ + $ = 2; podendo (er e(crito (im como uma (oma de doi( quadrado( perfeito(.

e!a em 66 quando di8 que todo nTmero primo da forma 'n + * pode (er e(crito como a (oma de doi( quadrado( perfeito(, temo( ' . $ + * = [ e não pode (er e(crito como uma (oma de doi( quadrado( perfeito(.

e!a em 666 quando di8 que todo nTmero primo da forma 2n +$ pode (er e(crito como a (oma de doi( quadrado( perfeito(, temo( 2.$ + $ = * e não pode (er e(crito como uma (oma de doi( quadrado( perfeito(.

9oo apena( a afirmação 6 e(tá correta. RESOSTA I7 apeas(

RESOLUÇÃO

ara que )alore( não nulo( de m e O a função f"x% = m e Ox é uma função cre(centeV e!a que _e`  $.

ara que a função (e!a cre(cente de)emo( ter o( doi( (inai( iuai( da( con(tante(. m po(iti)o e O po(iti)o.

m neati)o e O neati)o.

ara que a função (e!a decre(cente de)emo( ter o( doi( (inai( contrário( da( con(tante(. 9oo a melFor e(tratéia é e(boçar o( ráfico( de y = ex e y = e # x e )ariar o( )alore( de m e O com con(tante( po(iti)a( e neati)a(.

RESOSTA Es)o%em os /r'-$%os !a -&<:es B G e , e B G e , e aa#$sem o 4&e a%ote%e %om esses /r'-$%os 4&a!o a "ar$'"e# e a -&<=o -orem m&#t$p#$%a!as por %ostates pos$t$"as o& e/at$"as(

RESOLUÇÃO

e!a que na afirmação _ao plane!ar o e(tudo de funç5e( no en(ino médio, o profe((or de)e ob(er)ar que ...`

: e(tudo de exponenciai( é )erificar lei( que cre(cem eometricamente3

A( funç5e( loartmica( podem (er u(ada( para tran(formar produto em (oma.

A( funç5e( trionométrica( não nece((ariamente preci(am (er apre(entada( apó( a( funç5e( exponenciai(.

A função quadrática não repre(enta cre(cimento populacional. -(te cre(cimento é exponencial.

: e(tudo de funç5e( polinomiai( de)e contemplar propriedade( de polinSmio( e equaç5e( alébrica(. omo exemplo, determinar o( 8ero( de uma função polinomial exie a re(olução de equação. -(ta propo(ição e(tá correta.

RESOSTA O est&!o !e -&<:es po#$om$a$s !e"e %otemp#ar propr$e!a!es !e po#$Zm$os e e4&a<:es a#/)r$%as(

RESOLUÇÃO

e!a que edro ao cFear em 2 # x = x2 não )erificou que x = & 2 (ati(fa8 a equação. 1e)eria re(ol)er a equação x2 + x # 2 = 0. Ao acFar a( ra8e( x = $ e x= & 2, (ub(titu & la( na equação e )erificar que (ati(fa8em.

e!a que ^oão ao cFear em "x # $% " x + $% = "2x +*% " x # $% não )erificou que x = $ (ati(fa8 a equação, (implificando o( fatore( x # $. Ao (implificar de(con(iderou a rai8 $. 1e)eria de(en)ol)er a expre((ão "x # $% " x + $% = "2x +*% " x # $% e re(ol)er a equação x2 + x # 2 = 0. Ao acFar a( ra8e( x = $ e x= & 2, (ub(titu & la( na equação e )erificar que (ati(fa8em.

A melFor metodoloia é fa8er com que o( aluno( di(cutam entre (i, )erifiquem o( erro( cometido(, tentem compreender a cau(a do( erro( e como corriir e(te( erro(.

RESOSTA e!$r a e!ro e [o=o 4&e apresetem ? %#asse s&as so#&<:es para !$s%&ss=o e est$m&#ar os a#&os a tetarem %ompree!er o!e est' a -a#*a as so#&<:es apreseta!as e %omo !e"em -a5er para %orr$/$#as(

Q&est=o 6H

RESOSTA

Lem nenFuma preocupação no enunciado de)emo( (aber que o u(o do (oftare de eometria din?mica pode contribuir para a elaboração de con!ectura( pelo( aluno(.

RESOLUÇÃO

A( multiplicaç5e( eram feita( de(ta forma no -ito, ante( de ri(to, conforme de(criç5e( no apiro de JFind.

Ao fa8er ** . '[, na primeira coluna coloca)am nTmero( "(empre potncia( de 2%4 2 0, 2 $, 2 2, 2*, . . ., e na (eunda coluna o fator '[ (eu( mTltiplo(.

e!a no exemplo o que ocorre4

Da primeira coluna )erificamo( o( nTmero( que (omado( dá o fator **, que (ão $ e *2, e )erificamo( o( nTmero( corre(pondente( na (eunda coluna, que (ão '[ e $0$. A (oma '[ + $0' é o re(ultado do produto ** x '[.

Buando fa8iam $ + *2 relacionando com '[ + $0' e(ta)am u(ando a( propriedade( multiplicati)a e aditi)a4

"$ + *2%.'[ = $ . '[ + *2 . '[ = '[ + $0' = $$. Le fi8e((em na primeira coluna potncia( de *, como4

$ '[

* $'$

; '2*

2[ $2R;

omo encontrar o produto / . '[V

Dão teremo( na primeira coluna como encontrar a (oma /.

ara potncia( de doi( na primeira coluna i((o (empre é po(()el poi( todo nTmero pode (er e(crito como uma (oma de potncia( de 24 Le o nTmero for par potncia de 23 (e for par não potncia de 2 "(erá (oma de potncia( de 2%3 (e for impar "(erá (oma de potncia( de 2 e $ que é 20%.

9oo utili8ando o método epcio, é po(()el multiplicar quai(quer doi( nTmero( inteiro( po(iti)o(, porque todo nTmero inteiro po(iti)o pode (er e(crito como uma (oma de potncia( de 2.

RESOSTA as !&as asser<:es s=o propos$<:es "er!a!e$ras7 e a se/&!a  &ma +&st$-$%at$"a %orreta !a pr$me$ra(

e!a que o( (emento( definido( no eoplano determinam Fipotenu(a( de tri?nulo( ret?nulo(, que, no( exemplo(, (ão nTmero( irracionai(.

@emo( o( tri?nulo( de cateto( $ e $ e Fipotenu(a 2 . @emo( o( tri?nulo( de cateto( $ e 2 e Fipotenu(a 5.

@emo( o( tri?nulo( de cateto( 2 e ' e Fipotenu(a 20 =2 5 @emo( o( tri?nulo( de cateto( * e * e Fipotenu(a 18=3 2 @emo( o( tri?nulo( de cateto( 2 e * e Fipotenu(a 13.

Ao fa8ermo( e((a( repre(entaç5e( e(taremo( determinando (emento( que (ão nTmero( irracionai(. omparando&o( podemo( )erificar propriedade( (obre irracionai(.

A propo(ição _ o eoplano auxilia na obtenção da relação entre o comprimento da circunferncia e (eu di?metro` e(tá incorreta poi( como o nTmero 6 " relação entre o comprimento de uma circunferncia e (eu di?metro% não pode (er determinado pelo tri?nulo ret?nulo, então não pode (er obtido pelo eoplano.

RESOSTA  O /eop#ao a&,$#$a a o)te<=o !a re#a<=o etre o %ompr$meto !e &ma %$r%&-er@%$a e se& !$\metro(

QUESTÃO 6

RESOLUÇÃO

Ao propor (ituaç5e( problema( de)emo( fa8er com que o( aluno( exponFam a( (ua( re(oluç5e(, di(cutam, )erifiquem erro(, ca(o tenFam, façam con!ectura( e crtica(.

De(ta que(tão a( dua( propo(iç5e( (ão )erdadeira( e a (eunda é uma !u(tificati)a correta da primeira.

RESOSTA As !&as asser<:es s=o propos$<:es "er!a!e$ras7 e a se/&!a  &ma +&st$-$%at$"a %orreta !a pr$me$ra(

QUESTÃO 68

RESOLUÇÃO

ara que uma letra po((a (er )i(ta da me(ma forma de qualquer um do( lado( de uma porta de )idro, ao rotacioná&la de)erá ter a me(ma forma, da (er (imétrica em relação a um eixo )ertical.

RESOLUÇÃO

Da que(tão 6 colocaram 0, ab (endo b a . olocaram 0, 2 (endo 5 2 . Da que(tão 66 colocaram d  c

(endo c a parte inteira e d a decimal. olocaram & 5 2

como &2,. A con(ideração que aPb = bPa na que(tão 6 não (ão con(iderada( equi)alente( poi( repre(entam 0,ab = 0,ba e na que(tão 66 con(ideram a,b = b,a

Da que(tão 6 con(ideram 0,2 como 5 2

 e 4 1

 como 0,$'. on(ideram nTmero( diferente(.

Da que(tão 66 con(ideram # 5 2

como &2, e &0,' como & 4 0

. on(ideram nTmero( diferente(. A propo(ição _Da( que(t5e( 6 e 66, a maioria do( re(pondente( con(idera que a( fraç5e( aPb e bPa (ão equi)alente(` não !u(tifica o erro cometido poi( não temo( a( me(ma( repre(entaç5e( para 2P e P2 , por exemplo, quando indicam na reta conforme (ua( concepç5e(.

RESOSTA Nas 4&est:es I e II7 a ma$or$a !os respo!etes %os$!era 4&e as -ra<:es a) e )a s=o e4&$"a#etes(

RESOLUÇÃO

A% Jet?nulo A>1. nulo A, >, , 1 reto(.

ro)ar que o quadrilátero 6^9 tem lado( opo(to( conruente(. 9ado A9 = ; # x 3 9ado ^ = ; # x3 A9 e ^ conruente(.

9ado >6 = [ # x3 9ado 1 = [ # x3 >6 e 1 (ão conruente(.

:( tri?nulo( ret?nulo( 6A9 e ^ (ão conruente( "ca(o 9A9%. 9oo 96 e ^ (ão conruente(.

:( tri?nulo( ret?nulo( 6>^ e 91 (ão conruente( "ca(o 9A9%. 9oo 9 e 6^ (ão conruente(.

: quadrilátero 6^9 é um paraleloramo. >% área do paraleloramo em função de x4

A função que fornece a área do paraleloramo 6^9 é dada por4

L"x% = .2] 2 16 63. 2 ). 7 ( 2 . 2 ). 9 ( [ 63− − x  x + − x  x =  _x2 − _x+

A função quadrática L"x% = 2x2  # $R x + R* "determina a área do paraleloramo 6^9 em função da medida x% admite área mnima "conca)idade para cima%.

31 8 248 8 63 . 8 16 4 4 16 2 = = − − = = = v v  y  x onto de mnimo4 x = 'cm e L"x%= *$ cm2