EXERCICIOS RESOLVIDOS - GRAFOS II

(1)

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

RESOLVIDOS DE

DE TEORIA

TEORIA DOS

DOS GRAFOS

GRAFOS -

- LISTA

LISTA II

II

1.) Escreva a matriz de

adjacências dos grafos abaixo:

a)

SOLUÇÃO

a)

SOLUÇÃO

1 1 5 5 2 2 4 4 3 3

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 M M

b)

SOLUÇÃO

1 1 2 2 ₃₃ 4 4 5 5 7 7 6 6

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 M M

c)

SOLUÇÃO

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 M M 1 1 33 2 2 4 4

(2)

2.) Desenhe os

grafos correspondentes as matrizes de adjacência abaixo:

a)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 M M

SOLUÇÃO

Como a matriz M é simétrica, o grafo correspon Como a matriz M é simétrica, o grafo correspon dente não é necessariamente direcionado. dente não é necessariamente direcionado. Apre-sentamos abaixo uma das soluções possíveis sentamos abaixo uma das soluções possíveis

1 1 22 3 3 4 4 5 5 66

b)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 M M

SOLUÇÃO

Como a matriz M não é simétrica, o grafo cor Como a matriz M não é simétrica, o grafo cor respondente é necessariamente direcionado. respondente é necessariamente direcionado. Apresentamos abaixo uma das soluções Apresentamos abaixo uma das soluções pos-síveis. síveis. 1 1 22 3 3 4 4 5 5

3.) Desenhe o grafo não-direcionado cuja matriz de

adjacência na sua forma triangular infe-

adjacência na sua forma triangular

infe-rior é dada por:

rior é dada por:

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 M M

SOLUÇÃO

A m

A matriz atriz M M na suna sua forma forma completa a completa é dadaé dada por: por:

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 M M 1 1 2 2 33 44

(3)

4.) Descreva o grafo cuja matriz

de adjacência é uma matriz identidade de

ordem n?

SOLUÇÃO

L

Leemmbbrraannddo o qquuee: I : I o o grraaffo g o eem m qquueessttãão o é é ffoorrm maa--do por

do por

nn

nós desconexos, com um laço em cada nós desconexos, com um laço em cada nó.nó.

⎩⎩

⎨⎨

⎧⎧

≠

=

j j ii se se 0 0 j j ii se se 1 1 aa :: que que tal tal )) (a (a_ii_j_j _{n x}_{n x}_n_n _ii_j_j n n

5.) Descreva a matriz de adjacência de

K

nn

(grafo

simples

completo

com

n

nós).

SOLUÇÃO

Tomemos

Tomemos por por exemplo exemplo K K 44..

1 1 2 2 3 3 4 4

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 M M

Generalizando, podemos dizer que, a matriz de K

Generalizando, podemos dizer que, a matriz de K nn, é uma matriz quadrada M de ordem, é uma matriz quadrada M de ordem

nn

tal que:tal que:

⎩⎩

⎨⎨

⎧⎧

≠

=

j j ii se se 1 1 j j ii se se 0 0 aa :: que que tal tal )) (a (a M M _ii_j_j _{n x}_{n x} _n_n _ii_j_j

6.) Dada uma matriz de

adjacência A de um grafo

direcionado G, descreva o grafo representa

do

pela

matriz

A

tt

(matriz transposta de A)

SOLUÇÃO

Para ilustrar a resolução, vamos utilizar o seguinte grafo: Para ilustrar a resolução, vamos utilizar o seguinte grafo:

cuja matriz de adjacência é: cuja matriz de adjacência é:

1 1 2 2 33

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 M M

Observando agora que: Observando agora que:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 M Mtt corresponde ao grafo: corresponde ao grafo: 1 1 2 2 33

podemos concluir que o grafo correspondente a matriz de adjacência M

podemos concluir que o grafo correspondente a matriz de adjacência M tt (( matriz de adjacênciamatriz de adjacência transposta de um grafo G) pode ser obtido, invertendo as direções dos arcos de G.

(4)

4.) Construa a lista

de adjacências dos grafos abaixo:

a)

SOLUÇÃO

1 1 2 2 ₃₃ 4 4 5 5 7 7 6 6

))

SOLUÇÃO

2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 3 3 1 1 44 66 77 1 1 55 66 77 2 2 66 3 3 77 2 2 33 44 77 2 2 33 55 66

bb

bserve que foram necessários, apenas, 16 locais de armazenagem para a lista de adjacências. Já a bserve que foram necessários, apenas, 16 locais de armazenagem para a lista de adjacências. Já a O

O

matriz de adjacência iria exigir 36 locais de armazenagem. matriz de adjacência iria exigir 36 locais de armazenagem.

1 1 3 3 6 6 4 4 5 5 2 2 1 1 ₂₂ 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 3 3 4 4 5 5 66

(5)

c)

SOLUÇÃO

5.) Utilize o algorítmo de Welch-Powell para colorir os grafos abaixo e determine o seu

núme-))

ÃO

ro cromático.

aa

SOLUÇ

Algoritmo de Welch-Powell Algoritmo de Welch-Powell s em

s em ordem decrescente de ordem decrescente de grau): grau): 1 – 2 1 – 2 – 3 – 3 – 4 – – 4 – 55 ó 2

ó 2

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

1º PASSO (ordenar os vértice 1º PASSO (ordenar os vértice

2º PASSO (atribuir a cor C1, no caso preta): nó 1 2º PASSO (atribuir a cor C1, no caso preta): nó 1 3º PASSO (atribuir a cor C2, no caso vermelha): n 3º PASSO (atribuir a cor C2, no caso vermelha): n 4º PASSO (atribuir a cor C3, no caso branca): nó 3 4º PASSO (atribuir a cor C3, no caso branca): nó 3 3º PASSO (atribuir a cor C4, no caso amarela): nó 4 3º PASSO (atribuir a cor C4, no caso amarela): nó 4 3º PASSO (atribuir a cor C5, no caso azul): nó 5 3º PASSO (atribuir a cor C5, no caso azul): nó 5

a de Appel-Haken garante que todo a de Appel-Haken garante que todo grafo planar simples e conexo é 4-colorizável. grafo planar simples e conexo é 4-colorizável. Já o grafo em questão (K

Já o grafo em questão (K 55) que como sabemos) que como sabemos

não é planar é 5-colorizável, e não é planar é 5-colorizável, e O teorem O teorem χ χ (K (K 55) = 5) = 5 De forma geral: De forma geral: χ χ (K (K nn) = n) = n 1 1 2 2 33 4 4 3 3 11 2 2 ₂₂ 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 11 2 2 2 2 1 1 11 1 1 2 2 5 5 3 3 44 1 1 2 2 3 3 ₄₄ 5 5

(6)

b)

SOLUÇÃO

ALGORÍTMO

:: 1º PASSO: 5 – 1 – 2 – 3 – 4 1º PASSO: 5 – 1 – 2 – 3 – 4 2º PASSO (cor C1, azul): nó 5 2º PASSO (cor C1, azul): nó 5

3º PASSO (cor C2, amarela): nós 1 e 3 3º PASSO (cor C2, amarela): nós 1 e 3 4º PASSO (cor C3, vermelha): nós 2 e 4 4º PASSO (cor C3, vermelha): nós 2 e 4 Assim

Assim o go grafo é rafo é 3-colorizável 3-colorizável ee χ χ (G) = 3(G) = 3

c)

SOLUÇÃO

ALGORÍTMO

:: 1º PASSO: 6–7–2–3–5–8–10–11–1– 4–9–12 1º PASSO: 6–7–2–3–5–8–10–11–1– 4–9–12 2º PASSO (cor vermelha): nós 6, 3, 8, 11, 1 e 9 2º PASSO (cor vermelha): nós 6, 3, 8, 11, 1 e 9 3º PASSO (cor azul): nós 7, 2, 5, 10, 4 e 12 3º PASSO (cor azul): nós 7, 2, 5, 10, 4 e 12 Assim

Assim o grafo o grafo é 2-colorizável é 2-colorizável ee χ χ

1 1 2 2 33 4 4 5 5 1 1 2 2 33 4 4 5 5 1 1 22 33 ₄₄ 5 5 66 77 ₈₈ 9 9 1100 1111 1212 (G) = 2 (G) = 2 1 1 2 2 33 ₄₄ 5 5 66 77 ₈₈ 9 9 10 10 1111 ₁₂₁₂

(7)

d)

SOLUÇÃO

D – G – C D – G – C

ALGORÍTMO

:: 1º PASSO: A – B – E – F – H – 1º PASSO: A – B – E – F – H –

2º PASSO (cor vermelha): nós A, D, C 2º PASSO (cor vermelha): nós A, D, C 3º PASSO (cor azul): nós B, E, G 3º PASSO (cor azul): nós B, E, G 4º PASSO (cor azul): nós F, H 4º PASSO (cor azul): nós F, H

ssim

ssim o o grafo grafo é é 3-colorizável 3-colorizável ee A A χ χ (G) = 3(G) = 3

ÃO

))

ee

SOLUÇ

:: F – A – C – E – G – D – H F – A – C – E – G – D – H

ALGORÍTMO

1º PASSO: B – 1º PASSO: B –

2º PASSO (cor vermelha): nós B, G 2º PASSO (cor vermelha): nós B, G 3º PASSO (cor amarela): nós F, C 3º PASSO (cor amarela): nós F, C 4º PASSO (cor azul): nós A, D, H 4º PASSO (cor azul): nós A, D, H 5º PASSO (cor branca): nó E 5º PASSO (cor branca): nó E Assim

Assim o o grafo grafo é é 4-colorizável 4-colorizável ee χ χ (G) = 4(G) = 4 A A B B C C D D E E F F G G H H A A E E G G H H B B C C D D F F A A B B C C D D E E F F G G H H B B E E F F D D A A C C G G H H

(8)

Para os exercícios a seguir considere as seguintes definições:

►

U

m

g

r

a

f

o

G

s

e

d

i

z

d

e

E

u

l

e

r

)

q

u

a

n

d

o

a

p

e

n

a

s

d

o

i

s

d

e

s

e

u

s

n

ó

s

meçar em um nó ímpar e terminar no

outro.

► ►

U

m

g

r

a

f

o

G

s

e

d

i

z

d

e

E

u

l

e

r

) s

e

t

o

d

o

s

o

s

e

u

s

n

ó

s

t

e

m

g

r

a

u

p

a

r

.

O circuito de

ou eulerianos. No caso do grafo ser

através-

através-aminho de Euler; No

aminho de Euler; No

caso do grafo ser euleriano identifique um

circui-

circui-SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

atravessável (tem um caminho

tem grau ímpar. Os

caminhos atravessáve

is precisam co

euleriano

(tem u

m c

ircuito

Euler pode começar (e terminar) em qualquer nó.

6.) Verifique se os

grafos abaixo são atravessavéis

sável identifique um c

o de Euler.

t

a)

1 1 22 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8

O grafo em questão é atravessável, pois possui apenas dois nós ímpares: 2 e 3. Assim ele pos O grafo em questão é atravessável, pois possui apenas dois nós ímpares: 2 e 3. Assim ele pos um caminho de Euler, que pode ser:

um caminho de Euler, que pode ser: 1º cam 1º cam 2º caminho: 2º caminho: 3 – 3 – 5 – 4 5 – 4 – 3– 3

Caminho de Euler:

b)

O grafo em

O grafo em questão é euleriano, questão é euleriano, pois não pois não exisexis to de Euler, que pode ser:

to de Euler, que pode ser: 1º circuito: 1º circuito: 1 – 9 – 1 – 9 – 8 – 7 8 – 7 – 6 – 5 – 6 – 5 – 4 – 7 – 4 – 7 – – 2 – 2 – 2º circuito: 2º circuito: 9 – 2 – 9 – 2 – 4 – 3 4 – 3 – 7 – 9– 7 – 9

Circuito de Euler:

1 – 9 – 2 – 4 – 3 – 7 – 9 – 1 – 9 – 2 – 4 – 3 – 7 – 9 – sui sui inho: inho: 2 – 2 – 1 – 1 – 8 – 8 – 7 – 7 – 6 6 – – 5 – 5 – 8 – 8 – 2 – 2 – 33 2 – 1 2 – 1 – 8 – 7 – 8 – 7 – 6 – 6 – – 5 – 8 5 – 8 – 2 – 3 – 2 – 3 – 5 – 4 – 5 – 4 – 3– 3 tem nós

tem nós ímpares. ímpares. Assim ele poAssim ele possui um ssui um circui- circui-1 1 8 – 7 – 6 – 5 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 7 – – 4 – 7 – 2 – 12 – 1 3 3 1 1 3 3 44 6 6 8 8 9 9 2 2 77 5 5

(9)

c)

SOLUÇÃO

O grafo em

O grafo em questão é euleriano, questão é euleriano, pois não pois não existem nós existem nós ímpares. ímpares. Assim ele pAssim ele possui um ossui um circui- circui-to de Euler, que pode ser:

to de Euler, que pode ser: 1º circuito: 1º circuito: A – B A – B – C – D – C – D – E – A– E – A 2º circuito: 2º circuito: C – C – A – A – D – D – B – B – E – E – CC

Circuito de Euler:

A – B – C – A – D – B – E – C – D – E – AA – B – C – A – D – B – E – C – D – E – A

d)

SOLUÇÃO

Como existem mais do que dois nós ímpares (no caso seis, e lembre-se que o número de nós Como existem mais do que dois nós ímpares (no caso seis, e lembre-se que o número de nós p

paarree nnãão o é é aattrraavveessssáávveel l ( ( nãão n o eexxiisstte e uum m ccaammiinnhhoo te um circuito de Euler ).

te um circuito de Euler ).

.) Nos grafos a

seguir aplique o algoritmo de Dij

kstra. Forneça a cada passagem pelos laços

ILE e FOR os valores do conjunto IN bem como d(z) e s(z). Ao f

inal da execução do algo-

inal da execução do

algo-ritmo,

ritmo,

escreva

os

nós

do

caminho

mínimo

istância

total

percorrida.

a) Construa o caminho mínimo do nó

ím

ím s es em um um gm grarafo fo é sé sememprpre pe parar) o ) o grgrafafo eo em qm queueststãoão de Euler ) nem euleriano ( não exis

de Euler ) nem euleriano ( não exis

7

7 WH

WH

bem como a d

2 para o nó 5, no seguinte grafo:

A A B B E E C C D D A A BB C C D D F F E E 1 1 2 2 33 4 4 5 5 7 7 88 3 3 2 2 1 1 5 5 1 1 1 1 2 2 6 6 4 4 1 1 55 1 1 6 6 8 8

(10)

SOLUÇÃO

FASE DE

FASE DE INICIALIZAÇÃ

INICIALIZAÇÃO

O

IN = { 2 } IN = { 2 }

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8 d(z)

d(z)

3 3

∞

22

∞

11

∞

s(z)

22

–

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

1ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p = 7 ( menor d(z) ) p = 7 ( menor d(z) )

IN = { 2 , 7 } IN = { 2 , 7 } d

d (1) (1) = = min min (3 (3 , , 1 1 + + d(7,1) d(7,1) ) ) = = min min (3 (3 , , 1 1 ++

∞

) ) = = 33 )

) ) ) = = min min (2 (2 , , 1 1 ++ d

d (3) (3) = = min min (2 (2 , , 1 1 + + d(7,3d(7,3

∞

) ) = = 22 d

d (4) (4) = = min (min (

∞

, , 1 1 + d(7,4+ d(7,4) ) ) ) = = min min ((

∞

, 1, 1 ++

∞

) ) ==

∞

d

d (5) (5) = = min (min (

∞

, , 1 1 + d(7,5+ d(7,5) ) ) ) = = min min ((

∞

, 1, 1 ++

∞

) ) ==

∞

d

d (6) (6) = = min (min (

∞

, , 1 1 + d(7,6+ d(7,6) ) ) ) = = min min ((

∞

, , 1 1 + + 5) 5) = = 66

(

♣♣

)

min (

∞

, , 1 1 + d(7,8+ d(7,8) ) ) ) = = min min (( d d (8) =(8) =

∞

, , 1 1 + + 1) 1) = = 22

(

♣♣

)

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8 d(z)

d(z)

3 3

∞

22

∞

6 6 1 1 22

s(z)

22

–

2 2 2 2 2 2 7 7 2 2 77

2ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p = 3

p = 3 (escolha arbitrária entre os nós 3 (escolha arbitrária entre os nós 3 e 8 com menoe 8 com menor d(z) )r d(z) ) IN = { 2 , 7 , 3 }

IN = { 2 , 7 , 3 } (1)

(1) = = min min (3 (3 , , 2 2 + + d(3,1) d(3,1) ) ) = = min min (3 (3 , , 2 2 + + 5) 5) = = 33 d

d d

d (4) (4) = = min (min (

∞

, , 2 2 + d(3,4+ d(3,4) ) ) ) = = min min ((

∞

, , 2 2 + + 1) 1) = = 33

(

♣♣

)

(5

(5) ) = = mimin n (( , , 2 2 + + d(d(3,3,5) 5) ) ) = = mimin n (( d

d

∞

, 2 +, 2 +

∞

) ) ==

∞

d

d (6) (6) = = min min (6, (6, 2 2 + + d(3,6) d(3,6) ) ) = = min min (6 (6 , , 2 2 ++

∞

) ) = = 66 d

d (8) (8) = = min min (2, (2, 2 2 + + d(3,8) d(3,8) ) ) = = min min (2 (2 , , 2 2 + + 2) 2) = = 22

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8 dd

3 3

∞

2 2 33

∞

6 6 1 1 22

ss

22

–

2 2 3 3 2 2 7 7 2 2 77

3ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p = 8 ( menor d(z) ) p = 8 ( menor d(z) ) IN = { 2 , 7 , 3 , 8 } IN = { 2 , 7 , 3 , 8 } d

∞

) ) = = 33 d

∞

) ) = = 33 d

d (5(5) ) = = mimin n ((

∞

, , 2 2 + + d(d(8,8,5) 5) ) ) = = mimin n ((

∞

, , 2 2 + + 1) 1) = = 33

(

♣♣

)

d

∞

) ) = = 66

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

(11)

4ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p = 5

p = 5 ( escolha arbitrária entre ( escolha arbitrária entre os nós os nós 1 , 1 , 4 4 e e 5 com m5 com menor d(z); enor d(z); entretanto, como entretanto, como a entrada do a entrada do nó 5nó 5 em IN encerra a execução do algoritmo, ele deve ser o escolhido).

em IN encerra a execução do algoritmo, ele deve ser o escolhido). IN = { 2 , 7 , 3 , 8 , 5 }

IN = { 2 , 7 , 3 , 8 , 5 } d

∞

) ) = = 33 d

d (4) (4) = = min min (3, (3, 3 3 + + d(5,4) d(5,4) ) ) = = min min (3 (3 , , 3 3 + + 4) 4) = = 33 d

d (6) (6) = = min min (6, (6, 3 3 + + d(5,6) d(5,6) ) ) = = min min (6 (6 , , 3 3 + + 6) 6) = = 66

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8 dd

3 3

∞

2 2 3 3 3 3 6 6 1 1 22

ss

22

–

2 2 3 3 8 8 7 7 2 2 77

C

A

AM

MII H

N

HO

O M

M N

ÍÍ

NIIM

M

O

5 5 , , s(5) s(5) = = 8 8 , , s(8) s(8) = = 7 7 , , s(7) s(7) = = 22 2 – 7 – 8 – 5 2 – 7 – 8 – 5 correspondente é: correspondente é: d d = = 1 1 + + 1 1 + + 1 1 = = 33

) Construa o caminho mínimo do nó A para o nó E

) Construa o caminho mínimo do nó A para o nó E no seguinte grafo:

no seguinte grafo:

SOLUÇÃO

Assim o caminho mínimo é: Assim o caminho mínimo é: e a distância

e a distância

bb

A

D

DE

E IIN

NIIC

CIIA

AL

LIIZ

ZA

AÇ

ÇÃ

ÃO

O

F

F SE

SE

IN = { A } IN = { A }

F

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

d(z)

∞

1 1 33

∞

s(z)

–

s(z)

–

A A A A A A A A AA

1ª

1ª PAS

PASSAG

SAGEM

EM PEL

PELOS

OS LAÇ

LAÇOS

OS “W

“W ILE

H

ILE”

” E

E “FO

“FOR”

R”

p = B ( menor d(z) ) p = B ( menor d(z) )

IN = { A , B } IN = { A , B } d

d (C) (C) = = min min (3 (3 , , 1 1 + + d(B,C) d(B,C) ) ) = = min min (3 (3 , , 1 1 +1) +1) = = 22

(

♣♣

)

d

d (D(D) ) = = mimin n ( (

∞

, , 1 1 + + d(d(B,B,D) D) ) ) = = mimin n ((

∞

, 1 +, 1 +

∞

) ) ==

∞

d

d (E(E) ) = = mimin n ((

∞

, 1 , 1 + + d(d(B,B,E) E) ) ) = = mimin (n (

∞

, 1 +, 1 +

∞

) =) =

∞

d d ((FF) ) = = mmiin n ((

∞

, , 1 1 + + dd((BB,,FF) ) ) ) = = m m ((iinn

∞

, , 1 1 + + 1) 1) = = 22

(

♣♣

)

A A BB E E C C DD F F 2 2 1 1 4 4 1 1 ₁₁ 3 3 1 1 11 2 2

(12)

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

d(z)

∞

1 1 2 2

∞

22

s(z)

–

s(z)

–

A A B B A A A A BB

2ª

2ª PASS

PASSAGEM

AGEM PELOS

PELOS LAÇOS “WHILE

LAÇOS “WHILE E

””

E “FO

“FO

R”

p = C ( escolha arbitrária entre os nós C e F com menor d(z) ) p = C ( escolha arbitrária entre os nós C e F com menor d(z) )

IN = { A , B , C } IN = { A , B , C } d

d ((DD) = m) = miin (n (

∞

, , 2 2 + + dd((CC,,DD) ) = m) ) = miin n ((

∞

,2 ,2 + + 2) 2) = = 44

(

♣♣

)

(E

(E) ) = = mmin (in ( , 2 , 2 + + dd(C(C,,EE) ) ) ) = mi= min n (( ,,2 2 + + 44) ) = 6= 6

(

♣♣

)

d

∞

d

d (F) (F) = = min min ( ( 2 2 , , 2 2 + + d(C,F) d(C,F) ) ) = = min min ( ( 2 2 , , 2 2 ++

∞

) ) = = 22

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

d(z)

∞

1 1 2 2 4 4 6 6 22

s(z)

–

s(z)

–

A A B B C C C C BB

3ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p =

p = F F (menor d(z) (menor d(z) )) IN = { A , B , C , F } IN = { A , B , C , F } d

d (D) (D) = = min min (4 (4 , , 2 2 + + d(F,D) d(F,D) ) ) = = min min (4 (4 , , 2 2 + + 2) 2) = = 44 (E)

(E) = = min min (6 (6 , , 2 2 + + d(F,E) d(F,E) ) ) = = min min (6 (6 , , 2 2 + + 1) 1) = = 33

(

♣♣

)

B

C

D

E

F

B

C

D

E

F

d d

A

d(z)

∞

1 1 2 2 4 4 3 3 22

s(z)

–

s(z)

–

A A B B C C F F BB

4ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p = p = E E (menor d(z) (menor d(z) )) d (D) = mi d (D) = mi

F

IN = { A , B , C , F , E } IN = { A , B , C , F , E } n

n (4 , (4 , 3 3 + d(E,+ d(E,D) ) D) ) = = min min (4 , (4 , 3 3 + 1) + 1) = = 44

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

d(z)

∞

1 1 2 2 4 4 3 3 22

s(z)

–

s(z)

–

A A B B CC F F BB

CAMINHO MÍNIMO

E E , , s(E) s(E) = = F F , , s(F) s(F) = = B B , , s(B) s(B) = = AA ssssiim m o o ccaammiinn éé::

d d = = 1 1 + + 1 1 + + 1 1 = = 33 A A hho o mmíínniimmoo A – B – F – E A – B – F – E e a distância correspondente é: e a distância correspondente é:

(13)

cc))

ttrruua

a o

o ccaa iinnhho

o m

m iim

mo

o ddo

o nn 1

1 ppaarra

a o

o n

n 7

7 nno

o sseegguu nntte

e ggrraaffoo

SOLUÇÃO

C

Coonnss

m

íínn

ó

óó

ii

::

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 11 3 3 1 1 1 1

FASE DE

FASE DE INICIALIZAÇÃ

INICIALIZAÇÃO

O

IN = {1} IN = {1}

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7 d(z)

d(z)

∞

22

∞

3 3 22

∞

s(z)

–

s(z)

–

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

1ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p = 2 ( escolha arbritária entre os nós 2 e 6 com menor d(z) ) p = 2 ( escolha arbritária entre os nós 2 e 6 com menor d(z) )

((33) ) = = mmiin n (( iin n (( IN = { 1 , 2 } IN = { 1 , 2 } d d

∞

, , 2 2 + + d(2,3) d(2,3) ) ) = = mm

∞

, , 2 2 +1) +1) = = 33

(

♣♣

)

d d ((44)) == mmiinn ((

∞

, , 2 2 + + d(2d(2,4) ,4) ) ) = = mm n iin ((

∞

, 2 , 2 + +

∞

) ) ==

∞

d

d (5) (5) = = min min (3 (3 , , 2 2 + + d(2,5) d(2,5) ) ) = = min min (3 (3 , , 2 2 + + ) ) = = 33 in in (2 , (2 , 2 + 2 + d(2,6) d(2,6) ) ) = = min min (2 (2 , 2 , 2 ++ d (6) = m d (6) = m

∞

) ) = = 22 (7 (7) ) = = mimin n (( , , 2 2 + + d(d(2,2,7) 7) ) ) = = mimin n (( d d

∞

, 2 +, 2 +

∞

) ) ==

∞

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7 d(z)

d(z)

∞

2 2 33

∞

3 3 22

∞

s(z)

–

s(z)

–

1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 11

2ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p p IN IN = 6 (menor d(z) ) = 6 (menor d(z) ) = = { 1 { 1 , 2 , 2 , 6, 6 d d ((33) = m) = miin ( n ( 2 2 + + dd((6 6 ) = m) = miinn } }

∞

_,, _,,3₃₎₎ ₍₍

∞

_,_{, 2}_{2 +}₊

∞

₎_{) =}₌

∞

d d ((44)) == mmiinn ((

∞

, , 2 2 + + d(6d(6,4) ,4) ) ) = = mm n iin ((

∞

, 2 , 2 + +

∞

) ) ==

∞

d

d (5) (5) = = min min (3 (3 , , 2 2 + + d(6,5) d(6,5) ) ) = = min min (3 (3 , , 2 2 + +

∞

) ) = = 33 (CUIDADO! : observe que há conexão do(CUIDADO! : observe que há conexão do

ó 5 para o nó 6, mas não há conexão do nó 6 para o nó 5)

n

d

d (7) (7) = = min (min (

∞

, , 2 2 + d(6,7+ d(6,7) ) ) ) = = min min ((

∞

, , 2 2 + + 3) 3) = = 55

(

♣♣

)

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7 d(z)

d(z)

∞

₂₂ ₃₃

∞

₃₃ ₂₂ ₅₅

s(z)

–

s(z)

–

1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 66 6 6 22 7 7 2 2 11 2 2 1 1 1 1 3 3

(14)

3ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p

p = 3 (= 3 (esescocolhlha ara arbibitrtráriária ena entre tre os os nónós 3 s 3 e 5 ce 5 com om oo nonor d(r d(z)z) = { 1 , 2 , 6 , 3 } = { 1 , 2 , 6 , 3 } (4 (4) ) = = mimin n ( ( , , 3 3 + + d(d(3,3,4) 4) ) ) = = mimin n (( me me )) IN IN d d

∞

,3 ,3 + + 1) 1) = = 44

(

♣♣

)

,5) ,5) ) ) = = min min (3 (3 , , 3 3 ++ d d (5) (5) = = min min (3 (3 , , 3 3 + + d(3d(3

∞

) ) = = 33 ((77) ) == mmiin n (( , , 3 3 + + dd 33,,77) ) )) d d 55 ( ( = = mmiin n ((5 5 , , 3 3 ++

∞

) ) = = 55

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7 d(z)

d(z)

∞

2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 55

s(z)

–

s(z)

–

1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 66

4ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p = 5 (menor d(z) ) p = 5 (menor d(z) )

IN = { 1 , 2 , 6 , 3 , 5 } IN = { 1 , 2 , 6 , 3 , 5 } d

∞

) ) = = 44 d

d (7) (7) = = min min (5 (5 , , 3 3 + + d(5,7) d(5,7) ) ) = = min min (5 (5 , , 3 3 + + 2) 2) = = 55

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7 d(z)

d(z)

∞

2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 55

s(z)

–

s(z)

–

1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 66

5ª PASSAGEM PELOS LAÇOS “WHILE” E “FOR”

p p = = 4 4 ((mm ((zz) ) )) 1 1 , , 3 3 , , 5 5 , , 44 enor d enor d = = { , { , 2 2 , , 6 6 }}

3

4

5

6

7

3

4

5

6

7

IN IN (7)

(7) = = min min (5 (5 , , 4 4 + + d(4,7) d(4,7) ) ) = = min min (5 (5 , , 4 4 + + 1) 1) = = 55 d d

1

22 d(z)

d(z)

∞

2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 55

s(

s( ))

zz

–

1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 66

ª ª

SAGEM

SAGEM PELOS

PELOS LAÇOS

LAÇOS “WHILE”

“WHILE” E

E “FOR”

“FOR”

66 P

PA

ASS

p = 7 (menor d(z) ) p = 7 (menor d(z) ) IN = { 1 , 2 , 6 , 3 , 5 , 4 , 7 } IN = { 1 , 2 , 6 , 3 , 5 , 4 , 7 }

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7 d(z)

d(z)

∞

2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 55

s(z)

–

1 1 2 2 33 1 1 1 1 66

CAMINHO MÍNIMO

7 7 , , s(7) s(7) = = 6 6 , , s(6) s(6) = = 11 Assim o caminho mínimo

Assim o caminho mínimo

1 – 6 – 7 1 – 6 – 7 aa nncciia a ccoo ssppoonnddeenn éé::

é: é:

e