Lógica Proposicional

Lógica Proposicional

Equivalências e Formas Normais

Alfio Martini

FACULDADE DE INFORMATICA´ - PUCRS PORTO ALEGRE - BRASIL

www.inf.pucrs.br/∼alfio alfio@inf.pucrs.br

Objetivos

E

NTENDER O CONCEITO DE EQUIVALÊNCIA E

RELACIONÁ

-

LO COM OS CONCEITOS DE TAUTOLOGIA E

DE CONSEQÜÊNCIA LÓGICA

.

C

ONHECER O LEMA DA SUBSTITUIÇÃO

.

M

ANIPULAR FÓRMULAS ALGEBRICAMENTE PARA

VERIFICAR EQUIVALÊNCIAS SEM A UTILIZAÇÃO DA

TABELA VERDADE

.

N

ORMALIZAR AS FÓRMULAS PARA AS FORMAS

NORMAIS CONJUNTIVAS E DISJUNTIVAS

.

A

PLICAR AS TÉCNICAS ACIMA NO PROJETO DE

Equivalências

DEFINIC¸ ˜AO 1 (EQUIVALENCIAˆ ) Sejam

A

e

B

duas f ´ormulas arbitr ´arias.

Entao

A

e

B

s ˜ao ditas equivalentes, denotado como

A ≡ B

se e somente se

mod({A}) = mod({B})

.

EXEMPLO 1

p

q

¬p ¬p ∨ q p ⇒ q

I

1

F F

V

V

V

I

2

F V

V

V

V

I

3

V

F

F

F

F

I

4

V

V

F

V

V

Como

mod({¬p ∨ q}) = {I

1

, I

2

, I

4

} = mod({p ⇒ q})

, temos que

Teoremas Importantes

TEOREMA 1 Sejam

A

e

B

f ´ormulas arbitr ´arias. Ent ˜ao

A ≡ B

se e

somente se

A |= B

e

B |= A

.

TEOREMA 2 Sejam

A

e

B

f ´ormulas arbitr ´arias. Ent ˜ao

A ≡ B

se e

somente se

A ⇔ B

´e uma tautologia.

Tabela de Equivalências

Negação Disjunção Conjunção Implicação 1.¬¬A ≡ A 2.A ∨ ⊤ ≡ ⊤ 6.A ∧ ⊤ ≡ A 10.A ⇒ ⊤ ≡ ⊤

3.A ∨ ⊥ ≡ A 7.A ∧ ⊥ ≡ ⊥ 11.A ⇒ ⊥ ≡ ¬A 4.A ∨ A ≡ A 8.A ∧ A ≡ A 12.⊤ ⇒ A ≡ A 5.A ∨ ¬A ≡ ⊤ 9.A ∧ ¬A ≡ ⊥ 13.⊥ ⇒ A ≡ ⊤ 14.A ⇒ A ≡ ⊤ Algumas Conversões Leis de Absorção

15.A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B 22.A ∧ (A ∨ B) ≡ A 16.¬(A ⇒ B) ≡ A ∧ ¬B 23.A ∨ (A ∧ B) ≡ A 17.A ⇒ B ≡ A ∧ ¬B ⇒ ⊥ 24.A ∧ (¬A ∨ B) ≡ A ∧ B 18.(A1 ∧A2) ∧ A3 ≡ A1 ∧(A2 ∧A3) 25.A ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ∨ B 19.(A1 ∨A2) ∨ A3 ≡ A1 ∨(A2 ∨A3) Equivalência

20.A ∧ B ≡ B ∧ A 21.A ∨ B ≡ B ∨ A 26.A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) Leis Distributivas Leis de Morgan

27.A1 ∧ (A2 ∨ A3) ≡ (A1 ∧A2) ∨ (A1 ∧A3) 29.¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) 28.A1 ∨ (A2 ∧ A3) ≡ (A1 ∨A2) ∧ (A1 ∨A3) 30.¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)

Substituição

DEFINIC¸ ˜AO 2 (SUBSTITUIC¸ ˜AO) Seja

A

uma subf ´ormula de

B

e

A

′ uma

f ´ormula qualquer. Ent ˜ao a substituic¸ ˜aode

A

′ por

A

em B, representada por

B[A/A

′

]

, ´e a f ´ormula obtida pela substituic¸ ˜ao da sub ´arvore

A

de

B

pela ´arvore que representa a f ´ormula

A

′.

EXEMPLO 2 Seja

B = (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

, e

A = p ⇒ q

. Ent ˜ao

B[A/¬p ∨ q) = (¬p ∨ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

.

TEOREMA 3 Se

A

uma subf ´ormula de

B

e seja

A

′ uma f ´ormula tal que

A ≡ A

′_{. Ent ˜ao, temos que}

Equivalências - Demonstrações

EXERC´ICIO 2 Mostre que algebricamente, que as seguintes

equival ˆencias s ˜ao corretas utilizando a tabela de equival ˆencias b ´asicas. N ˜ao se esquec¸a de justificar cada passo, enumerando a lei utilizada

juntamente com as substituic¸ ˜oes necess ´arias. 1.

p

1

⇒ (p

2

⇒ p

3

) ≡ p

2

⇒ (p

1

⇒ p

3

)

. 2.

p ⇒ p ∨ q ≡ ⊤

. 3.

(p ∨ q) ∧ ¬p ⇒ ¬q ≡ q ⇒ p

. 4.

(p ⇒ q) ∧ (p ∨ q) ≡ q

. 5.

(p

1

∧ p

2

) ⇒ p

3

≡ (p

1

⇒ p

3

) ∨ (p

2

⇒ p

3

)

. 6.

(p

1

∧ p

2

) ⇒ p

3

≡ p

1

⇒ (p

2

⇒ p

3

)

.

Exemplo de Demonstração

p

1

⇒ (p

2

⇒ p

3

) ≡ ¬p ∨ (p

2

⇒ p

3

)

(15)

≡ ¬p

1

∨ (¬p

2

∨ p

3

)

(15)

≡ (¬p

1

∨ ¬p

2

) ∨ p

3

(19)

≡ (¬p

2

∨ ¬p

1

) ∨ p

3

(21)

≡ ¬p

2

∨ (¬p

1

∨ p

3

)

(19)

≡ ¬p

2

∨ (p

1

⇒ p

3

)

(15)

≡ p

2

⇒ (p

1

⇒ p

3

)

(15)

Forma Normal Disjuntiva

DEFINIC¸ ˜AO 3 (FND)

Um literal ´e uma vari ´avel proposicional ou sua negac¸ ˜ao (ex:

p, q, ¬p . . .

).

Uma conjunc¸ ˜ao fundamental ´e um literal ou uma conjunc¸ ˜ao de dois ou mais literais.

Uma FND ´e uma conjunc¸ ˜ao fundamental ou uma disjunc¸ ˜ao de duas ou mais conjunc¸ ˜oes fundamentais.

EXEMPLO 3 Os seguintes s ˜ao exemplos de f ´ormulas que est ˜ao em

FND:

p ∨ (¬p ∧ q)

.

(p ∧ q) ∨ (¬q ∧ p)

.

Conversão em FND

DEFINIC¸ ˜AO 4 Toda f ´ormula proposicional pode ser transformada em

FND pela utilizac¸ ˜ao dos seguintes passos: 1o. Passo: Remoc¸ ˜ao das equival ˆencias:

A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).

2o. Passo: Remoc¸ ˜ao das implicac¸ ˜oes:

A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B.

3o. Passo: Internalizac¸ ˜ao das negac¸ ˜oes:

¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B).

4o. Passo: Eliminac¸ ˜ao das negac¸ ˜oes duplas:

¬¬A ≡ A.

5o. Passo: Utilizac¸ ˜ao das leis distributivas para colocar a f ´ormula resultante do passo anterior em FND.

FND - Exercícios

EXEMPLO 4 A f ´ormula

((p ∧ q) ⇒ r) ∧ s

pode ser colocada na f ´ormula

normal disjuntiva da seguinte forma;

((p ∧ q) ⇒ r) ∧ s ≡ (¬(p ∧ q) ∨ r) ∧ s

≡ ((¬p ∨ ¬q) ∨ r) ∧ s

≡ ((¬p ∨ ¬q) ∧ s) ∨ (r ∧ s)

≡ ((¬p ∧ s) ∨ (¬q ∧ s)) ∨ (r ∧ s)

≡ (¬p ∧ s) ∨ (¬q ∧ s) ∨ (r ∧ s)

EXERC´ICIO 3 Colocar todas as justificativas na computac¸ ˜ao acima e

Forma Normal Conjuntiva

DEFINIC¸ ˜AO 5 (FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC))

Uma disjunc¸ ˜ao fundamental ´e um literal ou a disjunc¸ ˜ao de dois ou mais literais.

Uma forma normal conjuntiva ´e uma disjunc¸ ˜ao fundamental ou uma conjunc¸ ˜ao de duas ou mais disjunc¸ ˜oes fundamentais.

EXEMPLO 5 As seguintes f ´ormulas est ˜ao em FNC:

p ∧ (¬p ∨ q)

.

(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)

.

FND - Exercícios

TEOREMA 4 Toda f ´ormula proposicional

A

pode ser colocada em FNC.

EXEMPLO 6

((p ∧ q) ⇒ r) ∧ s ≡ (¬(p ∧ q) ∨ r) ∧ s

≡ ((¬p ∨ ¬q) ∨ r) ∧ s

≡ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ s

EXERC´ICIO 4 Colocar as justificativas nas computac¸ ˜oes efetuadas

Funções Booleanas

DEFINIC¸ ˜AO 6 (FUNC¸ ˜OES BOOLEANAS) Uma func¸ ˜ao booleana ´e uma

func¸ ˜ao que recebe e retorna somente valores do conjunto

B = {V, F }

.

EXEMPLO 7 Tabela verdade para

f : B × B → B

, onde

f

´e uma

func¸ ˜ao de duas vari ´aveis.

p

q

f (p, q)

I

1

F F

F

I

2

F V

V

I

3

V

F

V

Funções Booleanas e FND

DEFINIC¸ ˜AO 7 Toda func¸ ˜ao booleana de

n

vari ´aveis pode ser expressa

por uma f ´ormula proposicional em FND da seguinte forma:

1. Para cada interpretac¸ ˜ao

I

em que a func¸ ˜ao ´e verdadeira, construir uma conjunc¸ ˜ao fundamental

c

_I tal que:

se a vari ´avel

k

for verdadeira em

I

, colocar

k

na conjunc¸ ˜ao. se a vari ´avel

k

for falsa em

I

, colocar

¬k

na conjunc¸ ˜ao.

Funções e FND - Exemplo

EXEMPLO 8 Considere a func¸ ˜ao booleana definida abaixo:

p

q

f (p, q)

I

1

F F

F

I

2

F V

V

I

3

V

F

V

I

4

V

V

F

Computar a FND desta func¸ ˜ao, de acordo com o algoritmo definido anteriormente.

Funções Booleanas e FNC

DEFINIC¸ ˜AO 8 Toda func¸ ˜ao booleana de

n

vari ´aveis pode ser expressa

por uma f ´ormula proposicional em FNC da seguinte forma:

1. Para cada interpretac¸ ˜ao

I

em que a func¸ ˜ao ´e falsa, construir uma disjunc¸ ˜ao fundamental

d

_I tal que:

se a vari ´avel

k

for verdadeira em

I

, colocar

¬k

na disjunc¸ ˜ao. se a vari ´avel

k

for falsa em

I

, colocar

k

na conjunc¸ ˜ao.

Funções e FNC

EXEMPLO 9 Considere a func¸ ˜ao booleana definida abaixo:

p

q

f (p, q)

I

1

F F

F

I

2

F V

V

I

3

V

F

V

I

4

V

V

F

Computar a FNC desta func¸ ˜ao, de acordo com o algoritmo definido anteriormente.

Formas Normais - Aplicações

Tradicionalmente, fórmulas na FND são normalmente

utilizas em lógica de circuitos.

Dispositivos físicos idealizados, chamados de portas

lógicas, implementam as funções booleanas

relacionadas a conjunção, disjunção e negação.

Na lógica de circuitos os a fórmulas

¬A, A ∧ B

e

A ∨ B

são tradicionalmente representadas respectivamente

como

A, A · B

e

A + B

.

Por exemplo,

(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r)

,

seria representada como

Resumo

O

CONCEITO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE FÓRMULAS

PERMITE A ABSTRAÇÃO DE CERTAS DIFERENÇAS

SINTÁTICAS ENTRE AS FÓRMULAS

.

T

ODA FÓRMULA PROPOSICIONAL PODE SER

NORMALIZADA PARA

FND

OU

FNC.

N

A ÁREA DE CIRCUITOS DIGITAIS

,

FÓRMULAS NA

FND

PODEM SER COMPILADAS EM HARDWARE IDEALIZADO

,

NA FORMA DE CIRCUITOS DIGITAIS

.

M

INIMIZAÇÃO DAS EXPRESSÕES BOOLENAS DOS

CIRCUITOS CORRESPONDE A UMA MINIMIZAÇÃO DO

CIRCUITO EM SI

.

Q

UALQUER FUNÇÃO MATEMÁTICA DESCRITA POR UMA