SUMÁRIO. 1 Lista de Modelos Probabilísticos Modelos Discretos Modelos Contínuos... 3

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SUMÁRIO

1 Lista de Modelos Probabilísticos 1

1.1 Modelos Discretos . . . 1 1.2 Modelos Contínuos . . . 3

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LISTA DE MODELOS PROBABILÍSTICOS

1.1 MODELOS DISCRETOS

Distribuição uniforme discreta − U ni f (N) Função de Probabilidade f(x) = 1 N x= 1, 2, ..., N N = 1, 2, 3, ... Função de Distribuição F(x) = x N Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] =N+ 1 2 V(X ) = (N + 1)(N − 1) 12 Mx(t) = 1 N N

∑

i=1 eit

Distribuição Binomial − Bin(n, p) Função de Probabilidade f(x) =n x px(1 − p)n−xx= 0, 1, 2, ..., n n = 1, 2, ... 0 ≤ p ≤ 1 Função de Distribuição F(x) = x

∑

i=0 n i pi(1 − p)n−i

Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos E[X ] = λ V(X ) = λ Mx(t) = eλ (e

(3)

Lista de Modelos Probabilísticos 2

Distribuição Poisson − Poi(λ ) Função de Probabilidade f(x) = e−λλ x x!, x = 0, 1, 2, 3, ..., λ ≥ 0 Função de Distribuição F(x) = e−λ x

∑

i=0 n i λi i! Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = np V(X ) = np(1 − p) Mx(t) = pet+ (1 − p)

n

Distribuição hipergeométrica − Hipergeometrica(N, M, K) Função de Probabilidade f(x) = M x _N−M K−x N K , x = 0, 1, 2, ..., K N, M, K ≥ 0 Função de Distribuição F(x) = x

∑

i=0 M i N−M K−i N K

Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos E[X ] = KM N V(X ) = KM n (N − M)(N − K) N(N − 1) Mx(t) = não existe

Distribuição Binomial Negativa − BinNeg(r, p) Função de Probabilidade f(x) =r + x − 1 x pr(1 − p)x, x = 0, 1, 2, ..., r > 0 ≤ p ≤ 1 Função de Distribuição F(x) = x

∑

i=0 r + i − 1 x pr(1 − p)i

Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] =r(1 − p) p V(X ) = r(1 − p) p2 Mx(t) = p 1 − (1 − p)et r

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Distribuição geométrica − Geo(p) Função de Probabilidade

f(x) = p(1 − p)x, x = 0, 1, 2, ..., 0 ≤ p ≤ 1

Função de Distribuição

F(x) = 1 − (1 − p)x+1

E[X ] = 1 p V(X ) = 1 − p p2 Mx(t) = pet 1 − (1 − p)et 1.2 MODELOS CONTÍNUOS

Distribuição Beta − Beta(a, b)

Função de Densidade de Probabilidade f(x) = 1

β (a, b)

xa−1(1 − x)b−1, 0 < x < 1, a > 0, b > 0

em que β (a, b) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) Função de Distribuição

F(x) = Ix(a, b) =

βx(a, b)

β (a, b) em que βx(a, b) é a função beta incompleta.

Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos E[X ] = a

a+ b V(X ) =

ab

(a + b + 1)(a + b)2 Mx(t) não existe

Distribuição de Cauchy − Cauchy(θ , σ ) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = 1 π σ 1 1 + x−θ σ 2, −∞ < x < ∞, −∞ < θ < ∞, σ > 0

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Lista de Modelos Probabilísticos 4 Função de Distribuição F(x) = 1 πarctan x − θ σ +1 2 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = ∞ V(X ) = ∞, Mx(t) não existe

Distribuição Erlang − Erl(λ , k) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) =λ k_xk−1_{exp(−λ x)} (k − 1)! , x > 0, λ > 0, k ∈ N Função de Distribuição F(x) = γ (k, λ x) (k − 1)!, x > 0 sendo γ é a função gama incompleta.

E[X ] = k λ V(X ) = k λ2 Mx(t) = λ λ − t k , se t < λ

Distribuição Exponencial − Exp(λ ) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = λ e−λ x, x > 0, λ > 0 Função de Distribuição

F(x) = 1 − e−λ x, x≥ 0 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = 1 λ V(X ) = 1 λ2 Mx(t) = λ λ − t

Distribuição Exponencial Dupla ou Laplace − Laplace(µ, σ ) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = 1 2σe −|x−µ| σ , −∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, σ > 0

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Função de Distribuição F(x) = ( 1 2e( x−µ σ ) se x < µ 1 −1₂e(−x−µσ ) se x ≥ µ

E[X ] = µ V(X ) = 2σ2, M_x(t) = e

µt

1 − (σt)2

Distribuição Gama − Gama(r, λ ) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = λ Γ(r)(λ x) r−1_e−λ x _x_{≥ 0, r > 0, λ > 0} Função de Distribuição F(x) = γ (r, λ x) Γ (r) , x > 0 sendo γ é a função gama incompleta.

E[X ] = r λ V(X ) = r λ2 Mx(t) = λ λ − t r

Distribuição Gumbel − Gumbel(µ, β ) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = 1 βe x−µ β _e−e x−µ β , −∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, β > 0 Função de Distribuição F(x) = 1 − e−e x−µ β , −∞ < x < ∞, Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = µ + γβ V(X ) = π

2

6 β

2 _M

x(t) = Γ(1 − β t)eµt

em que γ é a constante Euler-Mascheroni aproximadamente igual a 0,5772156649015328606. Distribuição Logistica − Logistica(µ, σ2)

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Lista de Modelos Probabilísticos 6 Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = e −(x−µ)_σ σ 1 + e−(x−µ)σ 2, −∞ < x < ∞, , −∞ < µ < ∞, σ > 0 Função de Distribuição: F(X ) = 1 1 + e−(x−µ)σ , −∞ < x < ∞ Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = µ V(X ) = π 2_σ2 3 Mx(t) = e µt Γ(1 − σ t)Γ(1 + σ t), |t| < 1 σ

Distribuição Lognormal − LogN(µ, σ2) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = 1 x √ 2πσ2e −(ln(x)−µ)2 2σ 2 x> 0, −∞ < µ < ∞, σ2> 0 Função de Distribuição: F(X ) = Φ ln(x) − µ σ

em Φ é a função de distribuição da distribuição normal padrão. Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = eµ +σ₂2 _V_{(X ) = (e}σ2_{− 1)e}2µ+σ2 _M

x(t) não existe

Distribuição Normal − N(µ, σ2) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = √ 1 2πσ2e

−(x−µ)2

2σ 2 , −∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, σ2> 0

Função de Distribuição: não possui forma analítica. Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = µ V(X ) = σ2 M_x(t) = eµt+σ2t2₂

(8)

Função de Densidade de Probabilidade f(x) = ba b xb+1, a < x < ∞, a > 0, b > 0 Função de Distribuição F(X ) = 1 −a x b

E[X ] = ab

b− 1, b > 1 V(X ) =

a2b

(b − 1)2_{(b − 2}, b > 2 Mx(t) não existe

Distribuição Qui-quadrado − χ2(ν) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = 1 2ν2_Γ ν 2 x ν 2−1_e− x 2, x > 0, ν = 1, 2, 3, ... Função de Distribuição F(x) = γ ν 2, x 2 Γ ν₂ , x > 0 sendo γ é a função gama incompleta.

Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos E[X ] = ν V(X ) = 2ν, M_x(t) = 1

(1 − 2t)ν2

, t < 1 2

Distribuição Rayleigh − Ray(σ ) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = x σ2exp − x σ2 , x > 0, σ > 0 Função de Distribuição F(x) = 1 − exp − x 2σ2 , x > 0 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = σ r π 2 V(X ) = 4 − π 2 σ 2_, _M x(t) = 1 + σtexp σ2t2 2 r π 2 er f σ t √ 2+ 1 Distribuição t de student − t(ν)

(9)

Lista de Modelos Probabilísticos 8 Função de Densidade de Probabilidade

f(xt) = Γ( ν +1 2 ) √ ν π Γ ν₂ 1 +x 2 ν −(ν +12 ) , −∞ < x < ∞, ν = 1, 2, 3, ..., F(x) = 1 −1 2Iw ν 2, 1 2 , w= ν x2_{+ ν}

Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos E[X ] = 0, ν > 1 V(X ) = ν

ν − 2, ν > 2 Mx(t) não existe

Distribuição Uniforme − U (a, b) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = 1

b− aI[a,b](x) Função de Distribuição

F(x) = x− a

b− aI[a,b](x) + I(b,∞)(x) Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] =a+ b 2 V(X ) = (b − a)2 12 Mx(t) = ebt− eat (b − a)t, t 6= 0

Distribuição Weibull − Weibull(a, b) Função de Densidade de Probabilidade

f(x) = abxb−1e−axb, x > 0, a > 0, b > 0 Função de Distribuição

F(x) = 1 − e−axb, x > 0 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos

E[X ] = Γ b + 1 b a1b V(X ) = Γ b + 2 b − Γ2 b + 2 b a2b Mx(t) = Γ b + t b abt