A afinação pitagórica

A afinação pitagórica

Texto por Igor da Silva Livramento1

Seguindo a linha do texto anterior2_{, exploraremos o mundo das afinações por outros}

vieses. Neste texto nos aproximamos das afinações que utilizam frações para determinar os intervalos entre frequências (notas). A essas afinações podemos chamar por dois nomes, um deles estabelecido historicamente, o outro recente e apropriado, porém longe de se estabelecer. Para compreender do que se fala abordemos a questão historicamente.

#01 – Pitágoras e algumas descobertas

Pitágoras, o sábio da antiguidade grega, considerava a música tão importante quanto as outras disciplinas de sua escola: aritmética, geometria e astronomia, pensava ser a música, então, a ciência dos sons e da harmonia3 _{entre os sons. Avancemos com ele em suas}

descobertas e nos maravilhemos com a sabedoria já presente na antiguidade clássica.

Descobriram os gregos, à época, que uma corda, presa em suas duas pontas, vibrando, gera uma um certo som4_{, ao qual chamariam nota}5_{. Descobriram também que notas produzidas}

por múltiplos inteiros6 da frequência da corda inteira eram eufônicas, isto é, soavam bem – em

nomenclatura musical chamaremos, não eufonia, mas consonância. Pitágoras, então, em sua sabedoria, começou a explorar esses múltiplos inteiros, medidos como tamanhos de corda7_{, ou}

seja, pressionando a corda a certa distância produzia novas notas, relacionadas de maneira consonante à frequência fundamental, isto é, à frequência da corda vibrando sem interferência, apenas presa em suas duas pontas.

Pitágoras então tomou nota que metade da corda (1:2) produzia uma nota extremamente similar à corda sem interferência, porém mais aguda – é claro que estamos falando da famosa

oitava8_{. Em seguida, um dos intervalos mais consonantes percebido por Pitágoras ficava a um}

terço (1:3) da corda – atualmente esse intervalo recebe o nome de quinta justa, base de acordes junto à fundamental, tão importante que recebe o nome de dominante (pela sonoridade bastante proeminente sobre a fundamental). A terceira sonoridade mais consonante percebida por Pitágoras foi 1:4 de corda – modernamente chamada quarta justa ou subdominante.

A partir dessas relações uma dedução foi feita, dedução que será de fundamental importância neste texto:

1 _{Graduando do curso de Letras-Português da Universidade Federal de Santa Catarina.}

2 _{Explicação geral da afinação padrão ocidental atual composta de 12 tons equidistantes, do presente autor,} disponível em: <http://static.recantodasletras.com.br/arquivos/5499991.pdf>, acesso em 26 de janeiro de 2016. 3 _{Para os estudantes de música de cursos contemporâneos o termo harmonia pode ter sentido um pouco diferente} daquele atribuído hoje à palavra, mas as relações que se construirão ao longo do texto devem esclarecer suficientemente quaisquer dúvidas.

4 De maneira resumida, podemos dizer que um som é uma onda (ou um conjunto de ondas) que se propaga no ar com uma certa frequência; a audição humana alcança apenas as ondas com frequências entre aprox. 20 e 20.000 Hz, captando a informação e produzindo sensações neurais, às quais chamamos som.

5 _{Chamaremos por nota uma frequência específica associada a um nome (musical), portanto o famoso A (leia-se:} lá) oscilando a 440 Hz, utilizado como base para a afinação de instrumentos, constitui a nota A 440.

6 _{Mais recentemente chamada série harmônica (cf. nota 2).} 7 _{Doravante os tamanhos de corda serão expressos em frações.}

A frequência do som produzido por uma corda vibrando é inversamente proporcional ao comprimento da corda.

Podemos escrever isso matematicamente da seguinte forma:

𝑓

𝑓

=

𝐿

𝐿

Onde fa é a frequência da corda e La é o comprimento (lenght, em inglês) da corda.

Exemplifiquemos com as notas obtidas pelos intervalos que já temos, para que fique mais claro, antes, porém, diremos que a frequência da fundamental (f1), isto é, da corda vibrando sem

interferências, é 1. Agora, aos exemplos:

a) No primeiro caso temos a oitava da fundamental. Para obtê-la Pitágoras precisava pressionar a corda a 1:2, o que nos diz que só metade da corda vibra quando tocada. Temos, então, f1 = 1, L1 = 1 e L2 = 1/2, só nos resta saber f2, que podemos descobrir calculando:

𝑓

1

=

1

1

2

= 1 ∗

2

1

=

2

1

=

𝑓

1

, 𝑑𝑎í 𝑓

= 2.

De fato, uma oitava é sempre duas vezes a frequência de sua respectiva fundamental9_.

b) Temos a quinta justa em relação à fundamental, onde Pitágoras pressionava a corda de seu instrumento a uma distância de 1:3, fazendo com que 2:3 (dois terços) da corda vibrassem. Temos, então, f1 = 1, L1 = 1 e L2 = 2/3, só nos resta saber f2, que obteremos calculando:

𝑓

1

=

1

2

3

= 1 ∗

3

2

=

3

2

=

𝑓

1

, 𝑑𝑎í 𝑓

=

3

2

1

=

3

2

.

Sabemos, então, que uma quinta justa vibra 3:2 mais rápido que sua respectiva fundamental, em decimais: 1,5, ou seja, vibra uma vez e meia mais rápido.

c) Por fim, temos a quarta justa, que soava quando Pitágoras pressionava sua corda a 1:4, o que nos diz que 3:4 da corda soavam, portanto L2 = 3/4, então:

𝑓

1

=

1

3

4

= 1 ∗

4

3

=

4

3

=

𝑓

1

, 𝑑𝑎í 𝑓

=

4

3

1

=

4

3

.

Sabemos, portanto, que uma quarta justa vibra 4:3 mais rápido que sua respectiva fundamental, o que nos dá 1,333... (infinitos 3s) em decimais. Parece óbvio que o problema se trata sempre de descobrir f2 a partir de L2, porém, como ambos são inversamente proporcionais

e f1 = L1 = 1, então f2 = 1/L2, ou, que é o mesmo, L2 = 1/f2, que é o mesmo que dizer que são

inversos, ou, já que estamos falando de frações e queremos manter algum rigor, chamemo-las frações recíprocas.

#02 – Afinação pitagórica

A partir daqui construiremos a afinação pitagórica, para tanto nos referiremos aos intervalos que formam as notas em relação à fundamental sempre pela fração f2, ou seja, o

recíproco do tamanho da corda em vibração, portanto deve estar claro que para obter a nota definida pelo intervalo é preciso pressionar a corda no complemento10 _{de L2.}

Pitágoras, percebendo que a quinta justa era um intervalo de extrema consonância11_,

decidiu construir uma afinação pela repetida iteração desse intervalo, deduzindo que seria uma afinação simples, elegante e, mais importante, consonante. Sigamos o mestre grego e façamos a afinação. Se começarmos com um F (leia-se: fá) – a uma frequência de 177 Hz, apenas para exemplo – podemos deduzir as notas da seguinte maneira:

Tabela 01

Nota Intervalo e frequência

F (fá)

(

3

2

)

= 1 ∗ 177 = 177,00 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

3

2

∗ 177 = 265,50 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

9

4

∗ 177 = 398,25 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

27

8

∗ 177 = 597,38 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

81

16

∗ 177 = 896,06 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

243

32

∗ 177 = 1344,09 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

729

64

∗ 177 = 2016,14 𝐻𝑧

(

2

1

)

= 2 ∗ 177 = 354,00 𝐻𝑧

Como se pode ver, as notas são as mesmas da escala de dó maior: – F, C, G, D, A, E, B = C, D, E, F, G, A, B.

Todavia, um problema sério surge rapidamente: a segunda potência de 3/2, ou seja, a segunda quinta justa adicionada, supera a oitava (177×2 = 354 Hz < 398,25 Hz). Lembrando, todavia, que as oitavas são percebidas como repetições da mesma nota e são meramente as

10 _{Ex.: para uma quinta justa temos f2 = 3/2, seu recíproco é (3/2)}-1 _{= 2/3, e o complemento de 2/3 é dado por 2/3 +} x/y = 1, o que é o mesmo que dizer 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1, portanto é preciso pressionar a corda a 1:3 para que 2:3 vibrem, criando uma frequência 3/2 da corda solta, atingindo assim uma quinta justa como esperado.

11 _{Excetuando-se a oitava pela razão já óbvia de ser percebida como repetição da fundamental, portanto não} fornecendo variedade musical suficiente para composições, mesmo as mais simples.

potências inteiras de 2, podemos dividir todas as quintas justas que superaram o dobro da

fundamental para que elas fiquem na primeira gama12_{. Portanto, reescrevamos a tabela:} Tabela 02

Nota Intervalo e frequência

F (fá)

(

3

2

)

= 1 ∗ 177 = 177,00 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

3

2

∗ 177 = 265,50 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

9

8

∗ 177 = 199,12 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

27

16

∗ 177 = 298,69 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

81

64

∗ 177 = 224,01 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

243

128

∗ 177 = 336,02 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

729

512

∗ 177 = 252,02 𝐻𝑧

(

2

1

)

= 2 ∗ 177 = 354,00 𝐻𝑧

Colocando os intervalos em ordem crescente de frequências, temos:

Tabela 03

Nota F G A B C D E F’

Frequência 177,00 199,12 224,01 252,02 265,50 298,69 336,02 354,00

Notemos que, agora, ao impormos a limitação das notas à gama, elas não ascendem mais por quintas, mas se ordenam de maneira reconhecível, seguindo o chamado modo lídio, ou simplesmente ir de F a F numa escala de dó maior (modo jônio), que é o mesmo.

O total de notas, como se vê, é sete, daí se derivam os nomes das classes de intervalos – também chamados intervalos genéricos ou intervalos diatônicos – conforme sua posição na escala, portanto, podemos expor os intervalos e nomeá-los, conforme aparecem na escala13_:

12 _{Chamaremos por gama a coleção de intervalos entre f1 e 2×f1, no caso, entre 177 Hz e 354 Hz, ou simplesmente} entre a corda soando sem interferências e a nota atingida ao pressionar-se 1:2 da corda, entre a fundamental e sua respectiva oitava.

13 _{Assumimos aqui f1 como a fundamental – não f0, que seria de maior rigor matemático – para manter a} nomenclatura utilizada na primeira sessão.

Tabela 04

Classe de Intervalo Relação entre frequências

Fundamental

(

3

2

)

= 1 ∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

9

8

∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

81

64

∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

729

512

∗ 𝑓

(

3

2

)

=

3

2

∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

27

16

∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

243

128

∗ 𝑓

(

2

1

)

= 2 ∗ 𝑓

#02a – Sobre a quarta na afinação pitagórica

Um conflito interessante surgiu em relação à quarta: na primeira sessão dissemos que Pitágoras encontrou esse intervalo na relação de frequências 4/3, todavia, pela escala produzida da iteração da quinta justa chegamos a uma quarta de relação de frequências 729/512, o que aconteceu de errado no caminho? De errado nada aconteceu, mas uma diferença bastante sutil surgiu: Pitágoras utilizou a quarta a partir da inversão da quinta (reduzida à gama), ou seja, em vez de 729/512, ele utilizou 4/314_{. A diferença entre as frações pode parecer realmente pequena,}

veja-se:

729

512

−

4

3

≈ 0,0905.

Contudo, é uma diferença bastante perceptível. Se você não está convencido, pegue seu instrumento musical (seja um teclado, sintetizador, piano ou violão, etc.) e toque o dicorde15 _F

₊

14 _{Nada mais que 2/3, recíproco da quinta 3/2, multiplicando por 2 – daí 4/3 – para que fique na gama, isto é, entre} f1 e 2×f1, tal qual fizemos da tabela 01 para a tabela 02.

15 _{Acorde composto por apenas duas notas. Não o chamamos acorde propriamente porque, na tradição ocidental,} esse nome ficou associado fortemente a tricordes, isto é, acordes de três notas com dois intervalos, um de terça, seja maior ou menor, e um de quinta justa (ambos sobre a fundamental).

esse é aproximadamente o intervalo 729/512. Agora toque o dicorde F

+

Se quisermos emular a afinação pitagórica em toda sua historicidade, temos de fazer a

substituição do trítono pitagórico pela quarta justa. Não é uma substituição terrivelmente

complexa de se fazer, mas não seria isso trair a premissa16 _{da afinação pitagórica exposta}

anteriormente? Em verdade, não, não seria uma “traição da premissa”, pois seria, simplesmente, utilizar o inverso da quinta justa. Além de tornar a afinação mais simples e elegante, a inversão é uma prática comum na música. O inverso de um intervalo é a mera descendência do intervalo

ascendente17_{, daí, subir 3/2 é equivalente a descer 4/3. Se aplicarmos ao B obtido anteriormente,}

teremos:

(

3

₂₎

2

=

729

512

∗ 177 = 252,02 𝐻𝑧 ≠

4

3

∗ 177 = 236,00 𝐻𝑧.

De fato, a diferença é consideravelmente próxima à distância entre E e F’, duas notas separadas por uma segunda menor18_:

(𝐹′)354,00 − (𝐸)336,02 = 17,98 𝐻𝑧 > (𝐵1)252,02 − (𝐵2_{)236,00 = 16,02 𝐻𝑧.}

O que parecia ser uma distância mínima entre frações é, na verdade, uma distância bastante audível quando tocadas na prática. Assim, a afinação pitagórica real seria:

Tabela 05

Nota Intervalo e frequência

F

(

3

2

)

= 1 ∗ 177 = 177,00 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

9

8

∗ 177 = 199,12 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

81

64

∗ 177 = 224,01 𝐻𝑧

(

3

2

)

∗ (

2

1

)

=

2

3

∗

2

1

=

4

3

∗ 177 = 236,00 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

3

2

∗ 177 = 265,50 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

27

16

∗ 177 = 298,69 𝐻𝑧

16 _{Uma afinação derivada pelo encadeamento de quintas justas.}

17 _{Em nosso caso, as frações que representam as relações entre frequências estão sempre reduzidas à gama.} 18 _B1 _{= nota B obtida pela afinação proposta nas Tabelas 01 e 02; B}2 _{= nota B obtida pela quarta justa (4/3), ou seja,} pelo inverso da quinta justa (3/2).

E

(

3

2)

2

=

243

128

∗ 177 = 336,02 𝐻𝑧

(

2

1

)

= 2 ∗ 177 = 354,00 𝐻𝑧

Finalmente obtivemos a legítima afinação pitagórica, utilizada pelo sábio grego em seu instrumento19 _{e podemos, enfim, resumir o modo lídio a:}

Tabela 06

Nota F G A B C D E F’

Frequência 177,00 199,12 224,01 236,00 265,50 298,69 336,02 354,00

Podemos, portanto, reconstituir a Tabela 04 corrigindo o intervalo de quarta:

Tabela 07

Intervalo Relação entre frequências

Fundamental

(

3

2

)

= 1 ∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

9

8

∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

81

64

∗ 𝑓

(

3

2

)

∗ (

2

1

)

=

4

3

∗ 𝑓

(

3

2

)

=

3

2

∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

27

16

∗ 𝑓

(

3

2)

2

=

243

128

∗ 𝑓

(

2

1

)

= 2 ∗ 𝑓

Deve ser óbvio aqui que para obtermos os intervalos relativos a uma fundamental que compõem seu modo grego, basta multiplicarmos a fundamental pelas razões fornecidas acima20_.

Portanto, se quisermos obter o modo jônio já referido (escala de dó maior), basta multiplicarmos a frequência de C (aqui utilizaremos 262 Hz por razões de simplicidade, mas o famoso dó central, ou dó da chave do piano é aproximadamente 261,63 Hz) pelos intervalos fornecidos na Tabela 07, o que nos dará:

Tabela 08

Nota Intervalo e frequência

C

(

3

2

)

= 1 ∗ 262 = 262,00 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

9

8

∗ 262 = 294,75 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

81

64

∗ 262 = 331,60 𝐻𝑧

(

3

2

)

∗ (

2

1

)

=

4

3

∗ 262 = 349,34 𝐻𝑧

(

3

2

)

=

3

2

∗ 262 = 393,00 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

27

16

∗ 262 = 442,12 𝐻𝑧

(

3

2)

2

=

243

128

∗ 262 = 497,39 𝐻𝑧

(

2

1

)

= 2 ∗ 262 = 524,00 𝐻𝑧

Como trabalho de casa para o leitor, fica a proposta para desenvolver tabelas com todos os outros modos.

#03 – Intervalos na escala diatônica pitagórica e uma espécie de conclusão

Para observarmos os tamanhos dos intervalos na escala diatônica pitagórica faremos uma

matriz intervalar21_{, a qual mostrará as classes intervalares e seus respectivos tamanhos,}

veja-se:

20 _{Em texto futuro do presente autor construir-se-á a escala cromática de 12 tons a partir de relações pitagóricas,} por ora, contudo, foca-se nas escalas diatônicas, também chamadas modernamente por modos gregos (mas mais precisamente modos da Igreja).

21 _{A matriz intervalar mede todos os intervalos em relação a cada tom da escala, fornecendo os intervalos específicos} (linha) subtendidos por cada classe intervalar (coluna), desse modo caracterizando e descrevendo a escala com precisão. Também cf. nota 22.

Tabela 09

Tom/Classe 1 (fund.) 2 (seg.) 3 (ter.) 4 (qua.) 5 (qui.) 6 (sex.) 7 (sét.) 8 (oit.)

1/1 – C 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1 9/8 – D 1/1 9/8 32/27 4/3 3/2 27/16 16/9 2/1 81/64 – E 1/1 256/243 32/27 4/3 3/2 128/81 16/9 2/1 4/3 – F 1/1 9/8 81/64 729/512 3/2 27/16 243/128 2/1 3/2 – G 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 16/9 2/1 27/16 – A 1/1 9/8 32/27 4/3 3/2 128/81 16/9 2/1 243/128 – B 1/1 256/243 32/27 4/3 1024/729 128/81 16/9 2/1

Pela matriz apresentada percebemos que a escala diatônica pitagórica possui algumas propriedades características de escalas diatônicas22_{, a saber: a) é uma coleção gerada} bem-formada23_{; b) é uniformemente distribuída}24_{; c) é uma estrutura constante}25_{. Em verdade, é dela}

que se derivam as escalas diatônicas contemporâneas, afinadas minimamente diferente26_.

Talvez o mais interessante seja que, apesar da complexidade de algumas frações (27/16, 81/64, 243/128), essa afinação é facilmente atingida de ouvido, sem medições. É claro que se faz necessário um instrumento sem trastes ou outras maneiras de fixar a afinação – isto é, maneiras de fixar os intervalos entre notas, as distâncias entre elas – à parte isso, provavelmente uma das primeiras afinações a que se chegaria seria a pitagórica. É mesmo sabido que quartetos de cordas tocam bastante próximos da afinação pitagórica, numa afinação chamada entonação

justa, mas isso é assunto para outro dia27_.

22 _{Cf. Propriedades das escalas diatônicas, também do presente autor, disponível em:}

<http://static.recantodasletras.com.br/arquivos/5526541.pdf>, acesso em 28 de janeiro de 2016. 23 _{Pela iteração repetida da quinta justa (3/2).}

24 _{Trata-se do modo jônio, já considerado e dissecado (cf. nota 23), obviamente o padrão LLsLLLs separa ao máximo} os intervalos pequenos.

25 _{Nenhuma classe intervalar (coluna da matriz) possui intervalos específicos (frações presentes nas linhas)} presentes em outra classe, não havendo repetições significa que não há ambiguidade, de fato a condição necessária para que uma escala seja particionada, ou, o que é o mesmo, para que tenha estrutura constante.

26 _{Cf. nota 2.} 27 _{Cf. nota 20.}