Análise multivariada

(1)

An´

alise multivariada

Patr´ıcia de Siqueira Ramos

UNIFAL-MG, campus Varginha

(2)

Inversa de uma matriz, matrizes singulares, posto e sistemas

Matrizes singulares Posto de uma matriz

Matrizes inversas e solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares

Matriz inversa

Já discutimos adi¸cão, subtra¸cão e multiplica¸cão de matrizes

A divis˜ao, da forma como conhecemos em aritm´etica escalar,

não é definida para álgebra de matrizes Em álgebra, a

b =

1

ba = b

−1_{a (assumindo b 6= 0)}

A opera¸cão análoga é a inversão de matrizes

Uma matriz deve ser quadrada para ter inversa, mas nem todas as matrizes quadradas possuem inversa

(3)

Matriz inversa

Para matrizes quadradas,

A−1A = I = AA−1

(pr´e ou p´os multiplicar a matriz A pela sua inversa A−1 resulta na

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Propriedades da inversa

1. (AB)−1 = B−1A−1

2. |A−1| = |A|−1 = 1

|A|

3. (AT)−1 = (A−1)T

H´a varios m´etodos para obter a inversa de uma matriz,

veremos dois:

a) pela elimina¸c˜ao de Gauss Jordan (pode se tornar dif´ıcil

dependendo da matriz a ser invertida)

b) pela defini¸c˜ao de inversa (mais f´acil de ser aplicado, pois

vale para qualquer dimens˜ao de matriz, mas pode ficar mais

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Propriedades da inversa

1. (AB)−1 = B−1A−1

2. |A−1| = |A|−1 = 1

|A|

3. (AT)−1 = (A−1)T

H´a varios m´etodos para obter a inversa de uma matriz,

veremos dois:

a) pela elimina¸c˜ao de Gauss Jordan (pode se tornar dif´ıcil dependendo da matriz a ser invertida)

b) pela defini¸c˜ao de inversa (mais f´acil de ser aplicado, pois

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M´

etodos para se obter a inversa

a) Elimina¸cão de Gauss Jordan: o objetivo é chegar à matriz identidade I do lado esquerdo (forma escalonada reduzida por linha)

Ex.: Seja a matriz A de dimens˜ao 3 × 3. Obtenha sua inversa

usando o m´etodo da elimina¸c˜ao de Gauss Jordan.

A =   1 0 1 0 2 1 1 1 1  .

(7)

a) Elimina¸c˜

ao de Gauss Jordan

  1 0 1 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1  =   1 0 1 1 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1 0 −1 0 1  = linha3’ = linha3 - linha1 inverter linhas 2 e 3

  1 0 1 1 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 2 1 0 0 1  =   1 0 1 1 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 1 2 1 −2  = linha3’ = linha3 - 2*linha2 linha1’ = linha1 - linha3

  1 0 0 −1 −1 2 0 1 0 −1 0 1 0 0 1 2 1 −2  . I A−1

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a) Elimina¸c˜

ao de Gauss Jordan

A inversa de A pelo método da elimina¸cão de Gauss Jordan é

A−1 =   −1 −1 2 −1 0 1 2 1 −2  .

(9)

(14)

Matrizes singulares

Posto de uma matriz

Matrizes singulares

Quando a inversa de A não é definida, ela é chamada

matriz singular

Isso ocorre quando o |A| = 0, que ´e quando uma ou mais

linhas (ou colunas) da matriz s˜ao redundantes

Assim, nem toda a informa¸cão da matriz é única

Ex.: A =   1 2 4 2 3 2 2 3 2  , a2·= a3·

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Matrizes singulares

Quando a inversa de A não é definida, ela é chamada

matriz singular

Isso ocorre quando o |A| = 0, que ´e quando uma ou mais

linhas (ou colunas) da matriz s˜ao redundantes

Assim, nem toda a informa¸cão da matriz é única

Ex.: A =   1 2 4 2 3 2 2 3 2  , a2·= a3·

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Matrizes singulares

Posto de uma matriz

Matrizes singulares

B =   1 2 4 2 3 2 1 1, 5 1  , b3· = 0, 5b2· C =   1 2 4 2 3 2 3 5 6  , c3·= c1·+ c2·

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Matrizes singulares

B =   1 2 4 2 3 2 1 1, 5 1  , b3· = 0, 5b2· C =   1 2 4 2 3 2 3 5 6  , c3·= c1·+ c2·

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Matrizes singulares

Posto de uma matriz

Matrizes singulares

Ent˜

ao, uma matriz A ´e singular quando uma

ou mais linhas (ou colunas) s˜

ao combina¸c˜

oes

lineares de outras linhas (ou colunas), o que

leva a:

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Posto de uma matriz (rank)

O posto avalia a quantidade de informa¸c˜ao n˜ao redundante de

uma matriz A, ou seja, o n´umero de vetores linearmente

independentes de A

O posto ´e ´unico, seja focando em linhas ou colunas

O posto nunca ´e maior do que o menor valor da dimens˜ao

- matriz m × n, m < n, o posto ´e ≤ m (se o posto for igual a

m, a matriz ´e posto linha completo)

- matriz m × n, m > n, o posto ´e ≤ n (se o posto for igual a

n, a matriz ´e posto coluna completo)

Sempre que posto(A) (n × n) ´e menor do que n, a matriz ´e

(20)

Matrizes inversas e solu¸c˜

ao de sistemas de equa¸c˜

oes

lineares

Um sistema como, por exemplo: (

a11x1+ a12x2 = y1

a21x1+ a22x2 = y2

pode ser escrito em nota¸c˜ao matricial: Ax = y.

(21)

Matrizes inversas e solu¸c˜

ao de sistemas de equa¸c˜

oes

lineares

Se existir A

−1

, pr´

e-multiplicar

A

−1

Ax = A

−1

y

x = A

−1

y,

em que ambos os lados da igualdade ser˜

ao

vetores coluna.

Se A

−1

existir, ela ´

e ´

unica e A

−1

y ´

e o vetor

solu¸c˜

ao.

(22)

Matrizes inversas e solu¸c˜

ao de sistemas de equa¸c˜

oes

lineares

Um sistema homogˆeneo

Ax = 0.

tem solu¸c˜ao n˜ao trivial (6= 0) sse A for singular.

Todo sistema tem, pelo menos, a solu¸c˜ao trivial e ela ser´a a ´

unica sse A tiver inversa.

Supor A n˜ao singular,

Ax = 0

A−1Ax = A−10 (pr´e-multiplicar ambos os lados pela inversa)

Ix = 0 (usar defini¸c˜ao de inversa)

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Matrizes inversas e solu¸c˜

ao de sistemas de equa¸c˜

oes

lineares

Um sistema homogˆeneo

Ax = 0.

tem solu¸c˜ao n˜ao trivial (6= 0) sse A for singular.

Todo sistema tem, pelo menos, a solu¸c˜ao trivial e ela ser´a a ´

unica sse A tiver inversa.

Supor A n˜ao singular,

Ax = 0

A−1Ax = A−10 (pr´e-multiplicar ambos os lados pela inversa)

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Matrizes inversas e solu¸c˜

ao de sistemas de equa¸c˜

oes

lineares

Exemplo: Sejam A =   −1 1 1 2 1 −1 1 3 2  , x =   x1 x2 x3  , y =   0 4 7  