Prof. Luiz Felix. Unidade I

Unidade I

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Matemática financeira

ƒ A Matemática Financeira estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo.

ƒ Do ponto de vista matemático, um determinado valor a qualquer época é chamado de Capital.

Juros

ƒ Juros são a remuneração de um capital

aplicado a uma taxa estipulada

previamente durante um determinado prazo.

ƒ A incidência de juros é resultado de

vários fatores, dentre os quais podemos destacar:

ƒ Inflação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo.

Ri j bid

ƒ Risco: os juros recebidos representam garantia contra

possíveis riscos do investimento.

ƒ A soma do Capital com os Juros é chamada de Montante.

Taxa de juros

ƒ A taxa de juros, simbolizada pela letra i,

pode se apresentar na forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária (exemplo: 0,11).

Taxa Transformação Taxa Taxa Percentual Transformação Taxa Unitária 40% a.m. 40 100 0,40 a.m. 4% a.a. 4 0,04 a.a. 100 24,5% a.d. 24,5 100 0,245 a.d.

Taxas de juros - Exercícios

Passe para a forma unitária os seguintes valores:

ƒ 0,5% a.a. Æ 0,005 a.a. ƒ 2% a.s. Æ 0,02 a.s. ƒ 17 5% a d Æ 0 175 a d ƒ 17,5% a.d. Æ 0,175 a.d.

Passe para a forma percentual os seguintes valores:

ƒ 0,003 a.b. Æ 0,3% a.b. ƒ 0,04 a.m. Æ 4% a.m.0,0 a % a

Taxas de juros - Exercícios

Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 50 dias. Ao assinar o contrato, o devedor se

comprometeu a devolver R$ 5.250,00. a) Qual o juro?

Montante = Capital + Juro ou M = C + J 5250 = 5000 + J Î 5250 – 5000 = J

J = 250

b) Qual a taxa unitária de juro?

i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias P 5000

c) Qual a taxa percentual de juro? i = 0,05 x 100 = 5% em 50 dias

Taxas de juros - Exercícios

Um bolo é vendido por R$ 35,00

a) Se seu preço fosse acrescido de 15%, quanto o bolo passaria a custar?

Preço = 35 + 15 . 35 = 35 + 0,15 . 35 100

100

Preço = 35 + 5,25 = R$ 40,25

b) Se fosse anunciado um desconto de 30% sobre o preço original do bolo, quanto o bolo passaria a custar?

Preço = 35 – 30 . 35 = 35 – 0,3 . 35 100

Juros simples

ƒ Juros de cada período incide sobre o

capital inicial aplicado - Juros não rendem juros

ƒ Crescimento linear ou em Progressão

Aritmética

ƒ Poucas são as operações financeiras e

Juros simples – Taxas

proporcionais

ƒ Importante: O prazo da capitalização e a

taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo ƒ Exemplos: ƒ 36% a.a. = 36/12 = 3% ao mês ƒ 36% a.a. = 36/6 = 6% ao bimestre ƒ 36% a.a. = 36/4 = 9% ao trimestre ƒ 36% a.a. = 36/2 = 18% ao semestre

Juros simples – Exercícios

taxas proporcionais

ƒ Qual a taxa mensal proporcional a 8% ao bimestre?

Resposta: 8/2 = 4% ao mês

ƒ Qual a taxa mensal proporcional a 3% ao trimestre?

Resposta: 3/3 = 1% ao mês

ƒ Qual a taxa mensal proporcional a 24% ao semestre?

Interatividade

Em juros simples, qual a taxa anual proporcional a 2% ao mês? a) 0,16% ao ano b) 0,5% ao ano c) 6% ao ano c) 6% ao ano d) 12% ao ano e) 24% ao ano

Juros simples - fórmulas

Juros simples - exemplo

ƒ Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa

de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação?

C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ? J = C.i.n M = C + J J = 3000 . 2 . 5 M = 3000 + 30000 J = 30000 M = 33000 J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00 Resolução incorreta

Juros simples - exemplo

ƒ Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa

de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação?

C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?

J = C.i.n M = C + J

J = 3000 . 0,02 . 5 M = 3000 + 300

J = 300 M = 3300

Juros simples - exemplo

ƒ Um investidor aplicou R$ 15.000,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples? C = 15000 n = 80 dias i = 30% a.a. J = ? J = C.i.n J = 15000 . 0,3 . 80 J = 360000 J = R$ 360.000,00 Resolução incorreta

Juros simples - exemplo

ƒ Um investidor aplicou R$ 15.000,00 à

taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples?

C = 15000 n = 80 dias

i = 30% a.a. = 2,5% a.m. = 0,0833% a.d. J = ?

J = C.i.n

J = 15000 . 0,0000833 . 80 J = 999,6

Juros simples - exemplo

ƒ Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a juro simples, para obter R$ 6.000,00 de juro em 4 meses. C = ? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses J = C.i.n J C.i.n 6000 = C . 0,06 . 4 6000 = C . 0,24 C = 6000 = 25000 0,24 0, C = R$ 25.000,00

Juro exato e juro comercial

ƒ Juro Exato: Utiliza o calendário do ano

civil com 365 dias.

ƒ Juro Comercial: Admite o mês com 30

dias e o ano com 360 dias.

Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo critério de juros simples, à taxa diária de: a) Juro Exato: 30% = 0,08219% ao dia

365 dias

b) Juro Comercial: 30% = 0,08333% ao dia 360 dias

Fluxo de caixa

ƒ Linha Horizontal é a escala do tempo ƒ O ponto 0 indica o ponto inicial

ƒ Demais pontos representam outros períodos de tempo (datas)

0 1 2 3 4 5 6 7

Entradas de Caixa ( + )

Saídas de Caixa ( - )

Interatividade

Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a uma taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias.

a) R$ 150,00 b) R$ 23.400,00 b) R$ 23.400,00 c) R$ 702,00 d) R$ 70.200,00 e) R$ 234,00

Juros compostos

ƒ Juros de cada período incide sobre o

capital do início do período (saldo) -Juros rendem juros

ƒ Crescimento exponencial ou em

Progressão Geométrica

Juros compostos

ƒ Suponha que R$100,00 são empregados

Juros compostos - Taxas

equivalentes

ƒ Importante: O prazo da capitalização e a

taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo

ƒ Æ i_q = (1 + i)q _{– 1} q

ƒ Å i_q = (1 + i)1/q _{– 1}

q = número de períodos de capitalização Lembrete: q√ 1+ i – 1 = (1 + i)1/q _{– 1}

Juros compostos – exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t. ? ƒ Trimestre Æ Anual i_q = (1 + i)q _{– 1} ƒ 1 trimestre Æ 4 trimestres i = (1 + 0 0745)4 ₁ i_q = (1 + 0,0745)4 _{– 1} i_q = (1,0745)4 _{– 1} i_q = 1,3330 – 1 i_q = 0,3330 i = 33 30% a a i_q = 33,30% a.a.

Juros compostos – exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 1,8% a.m. ? ƒ Mês Æ Anual i_q = (1 + i)q _{– 1} ƒ 1 mês Æ 12 meses i = (1 + 0 018)12 ₁ i_q = (1 + 0,018)12 _{– 1} i_q = (1,018)12 _{– 1} i_q = 1,2387 – 1 i_q = 0,2387 i = 23 87% a a i_q = 23,87% a.a.

Juros compostos – exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 0,14% a.d. ?

ƒ Dia Æ Dias i_q = (1 + i)q _{– 1} ƒ 1 dia Æ 23 dias i = (1 + 0 0014)23 ₁ i_q = (1 + 0,0014)23 _{– 1} i_q = (1,0014)23 _{– 1} i_q = 1,0327 – 1 i_q = 0,0327 i = 3 27% para 23 dias i_q = 3,27% para 23 dias

Juros compostos – exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente a 34% a.a. ? ƒ Semestral Å Anual i_q = (1 + i)1/q _{– 1} ƒ 2 semestres Å 1 ano i = (1 + 0 34)1/2 ₁ i_q = (1 + 0,34)1/2 _{– 1} i_q = (1,34)1/2 _{– 1} i_q = 1,1576 – 1 i_q = 0,1576 i = 15 76% a m i_q = 15,76% a.m.

Juros compostos – exercícios

Taxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 21% a.t. ? ƒ Mensal Å Trimestral i_q = (1 + i)1/q _{– 1} ƒ 3 meses Å 1 trimestre i = (1 + 0 21)1/3 ₁ i_q = (1 + 0,21)1/3 _{– 1} i_q = (1,21)1/3 _{– 1} i_q = 1,0656 – 1 i_q = 0,0656 i = 6 56% a t i_q = 6,56% a.t.

Interatividade

Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s. ? a) 10,39% a.m. b) 5,50% a.m. c) 7% a m c) 7% a.m. d) 4,43% a.m e) 15% a.m.

Juros compostos - Fórmula

Juros compostos - Exemplo

ƒ Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a

juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o

total de juros efetuados?

C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n M = 6000.(1+0,02)3 M = 6000.(1,02)3 _{= 6000.3,06 = 18360} M = R$ 18.360,00 Resolução incorreta

Juros compostos - Exemplo

ƒ Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a

juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o

total de juros efetuados?

C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n M = 6000.(1+0,02)3 M = 6000.(1,02)3 _{= 6000.1,0612 = 6367,20} M = C + J 6367,20 = 6000 + J J = 6367,20 – 6000 = 367,20 ƒ O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20

Juros compostos - Exemplo

ƒ Qual o capital que, aplicado a juros

compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 meses M = C.(1 + i)n 3500 = C.(1+0,025)12 3500 = C.(1,025)12 3500 = C.1,3449 C = 3500 = 2.602,42 1,3449 ƒ O capital foi de R$ 2.602,42

Desconto simples racional ou

“por dentro”

ƒ Assume os conceitos e as relações

básicas de juros simples

ƒ D_r é o valor do desconto

ƒ V_r é o valor descontado racional (ou valor atual)

valor atual)

ƒ N é o valor nominal (ou valor de reagate

ou montante) D_r = N – V_r

Desconto simples racional ou

“por dentro”

ƒ Seja um título de valor de R$ 3.500,00

vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu

vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se

l l d t l d t d

calcular o desconto e o valor descontado D_r(valor do desconto) V_r(valor descontado) i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal =3500

N = V_r.(1 + i.n) D_r = N – V_r 3500 = V (1 + 0 04 2) D = 3500 3240 74 3500 = V_r.(1 + 0,04.2) D_r = 3500 – 3240,74 3500 = V_r.(1 + 0,08) D_r = 259,26 3500 = V_r.(1,08) V_r= 3500 / 1,08 = 3240,74

Desconto bancário ou comercial ou

“por fora”

ƒ A modalidade de “desconto por fora” é

amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e

comercial em curto prazo

ƒ D_F é o valor do desconto

ƒ V_F é o valor descontado “por fora”

ƒ N é o valor nominal

ƒ d é a taxa de desconto “por fora” ƒ n é o prazo definido

D_F = N – V_F

Desconto bancário ou comercial ou

“por fora”

ƒ Qual o valor do desconto bancário de

uma duplicata de R$ 100,00 descontado 60 dias antes do vencimento, a taxa de desconto de 0,2% a.d.? d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 D_F = ? V_F = N.(1 – d.n) D_F = N – V_F V_F = 100.(1 – 0,002 . 60) V_F = 100.(1 – 0,12) V_F = 100 . 0,88 = 88 D_F = 100 – 88 D_F = 12 D_F = R$ 12,00

Interatividade

Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? a) R$ 4.140,00 b) R$ 5.065,90 b) R$ 5.065,90 c) R$ 16.240,00 d) R$ 4.245,45 e) R$ 5.040,65