Ministério da Educação
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Curitiba
Diretoria de Graduação e Educação Profissional Departamento Acadêmico de Estatística
Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H), turma: - Profª Silvana Heidemann Rocha Estudante: ___________________________________________ Código: ______________
VARIÁVEL ALEATÓRIA
• Variável aleatória (v.a.)
o Unidimensional (denominada, simplesmente, "variável aleatória") o Multidimensional (denominada mais comumente de "vetor aleatório") • Classificação para uma variável aleatória1
a) Discreta b) Contínua c) Mista c) Singular
• Função distribuição (f.d.) ou função distribuição acumulada para uma variável aleatória
(unidimensional)
o Definição o Propriedades
• Variável aleatória discreta
• Distribuição de probabilidade para variável aleatória discreta o Função de probabilidade (f. p.)
o Função distribuição (f. d.)
• Esperança matemática e suas propriedades • Variância e suas propriedades
• Principais modelos probabilísticos para variável aleatória discreta • Variável aleatória contínua
• Distribuição de probabilidade para variável aleatória contínua o Função distribuição (f. d.)
o Função densidade de probabilidade (f. d. p.) • Esperança matemática e suas propriedades • Variância e suas propriedades
• Principais modelos probabilísticos para variável aleatória contínua • Desigualdade de Chebyshev
• Variável aleatória multidimensional (ou vetor aleatório) o Covariância
o Independência de variáveis aleatórias • Vetor aleatório discreto
• Distribuição de probabilidade conjunta de v.a.’s discretas o Função de probabilidade conjunta
o Função de distribuição conjunta • Vetor aleatório contínuo
• Distribuição de probabilidade conjunta de v.a.’s contínuas o Função de distribuição conjunta
o Função densidade de probabilidade conjunta
1) Variável aleatória (unidimensional)
Conceito: Uma variável aleatória é uma função matemática que relaciona um espaço amostral
adequado para um experimento aleatório e um subconjunto dos números reais. Consequentemente, uma variável aleatória:
o é sempre quantitativa
o o domínio da função é o espaço amostral do experimento aleatório o o contradomínio da função é um subconjunto dos números reais
Se o contradomínio for um conjunto finito ou enumerável, a variável aleatória é classificada como "discreta". Se o contradomínio for um intervalo dos números reais, a variável aleatória é classificada como "contínua".
Conjunto enumerável é um conjunto infinito que pode ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais.
Definição: Uma variável aleatória X, em um espaço de probabilidade , é uma função definida no espaço amostral se e somente se é evento aleatório, para todo
.
Em notação matemática, tem-se:
R
X x
X
) (:
=⎯→
⎯
se e somente se onde A é uma sigma-álgebra de .Em diagrama, tem-se:
2) Função distribuição (f. d.) ou função distribuição acumulada para uma variável aleatória Definição: Seja X uma variável aleatória em um espaço de probabilidade . A função distribuição acumulada ou, simplesmente, função distribuição de X, denotada por FX, é definida por
, isto é,
[
0
,
1
]
) ( ) (:
x X P x F x X XR
F
=⎯→
⎯
. X A ] [X x c x X ] [ ) ( X x = R 3) Visualização da variável aleatória X e de sua função distribuição
Em diagrama:
4) Propriedades da função distribuição de uma variável aleatória X
a) , isto é, FX é não-decrescente2.
b) , isto é, FX é contínua à direita.3
c) e
Outras notações possíveis para e são:
• e , em que
• e
• e
Corolário da propriedade c):
2 Uma função f definida num intervalo I R é:
• Estritamente crescente em I se x1,x2I, x1x2 f(x1) f(x2);
• Estritamente decrescente em I se x1,x2I, x1x2 f(x1) f(x2);
• Não-decrescente em I se x1,x2I, x1x2 f(x1) f(x2);
• Não-crescente em I se x1,x2I, x1x2 f(x1) f(x2). 3 Uma função real f de uma variável livre real é contínua num ponto
0 x se e somente se ) ( ) ( lim ) ( lim 0 0 0 x f x f x f x x x x = = − + → → ) ( X x = R X A ] [X x c x X ] [ R 0 1 ) (X x P =P((−,x]) ) ] [ ( X x C P FX
EXERCÍCIOS
1) Considere o seguinte experimento aleatório:
Lançar ao acaso e uma única vez uma moeda não viciada e observar a face superior. Seja a variável X: Número de caras obtido, em . X é uma variável aleatória? Justifique.
2) Considere o seguinte experimento aleatório:
Medir o diâmetro, em centímetros (cm), de determinada peça fabricada por uma máquina. Seja a variável X: Diâmetro, em cm, de uma peça, em . X é uma variável aleatória? Justifique.
5) Principais tipos de variáveis aleatórias 5.1) Variável aleatória discreta
Definição: A variável aleatória X é discreta se ela toma um número finito ou enumerável de valores,
isto é, se existe um conjunto finito tal que , ou se
existe um conjunto enumerável tal que , Resumidamente, tem-se: . ,..., 2 , 1 , } , ,..., , { ] [ se somente e se 2 1 : 1 2 1 ) (
}
,...,
,
{
X x A i n n X i i i X xR
x
x
x
i i i = = ⎯→ ⎯ − =
ouA
x
X
X
i X xR
x
x
i i i
⎯→
⎯
=]
[
se
somente
e
se
2
1
:
{
,
,...}
) ( Em diagrama, para um contradomínio enumerável, tem-se:
A } { ] [X x1 = 1 } , { ] [X x2 = 1 2 } , ,..., , { ] [X xi = 1 2 i−1 i X 1 2 i R ) ( 1 1 X x = ) ( 2 2 X x = ) ( i i X x =
5.1.1) Função de probabilidade (f. p.) para uma variável aleatória discreta
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta em um espaço de probabilidade . A função de probabilidade de X, denotada por P, é definida por:
]
1
,
0
[
}
,...,
,
{
) ( ) ( 2 1 : x X P x p xR
x
x
x
n P = = ⎯→ ⎯
se o espaço amostral for finito ou por
]
1
,
0
[
,...}
,
{
) ( ) ( 2 1 : x X P x p xR
x
x
P = = ⎯→ ⎯
se o espaço amostral for enumerável, tendo ,
em ambos os casos.
Quadro esquemático para captar a função de probabilidade de uma variável aleatória discreta
X Evento equivalente a X = x, no espaço amostral do experimento aleatório p(x) = P(X = x) ... p(x1)=P(X =x1) ... ... ... 1 Notas:
1) Muitas vezes, os valores de p(xi) são calculados mediante eventos equivalentes (MEYER, 1972, p. 58,59,62,63,84-86).
2) dependendo se o conjunto de valores de X é finito ou se
enumerável.
Exemplo de gráfico de uma função de probabilidade P(X = x)
.
ou ) (x1 p 1 x x 2 x3 . . . xi X x p(x) ) (x2 p ) (x3 p ) (xi p 1 x x2 x3 . . . X x p(x) ) (x2 p ) (xi p ) (x1 p ) (x3 p.
.
.
i x.
5.1.2) Função distribuição para uma variável aleatória discreta
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta em um espaço de probabilidade . A função distribuição de X, denotada por FX , é definida por
[
0
,
1
]
) ( ) ( ) (
:
⎯→
⎯
= = x i x i X x P X x p x F x XR
F
, ondeExemplo de sentença matemática para função distribuição, quando o espaço amostral é finito
Seja a função distribuição FX da variável aleatória discreta X, dada por
]
1
,
0
[
) ( ) ( ) ( : ⎯→ ⎯ = = x i x i X x P X x p x F x XR
F , com i = 1, 2, ..., n. Então, tem-se:
Exemplo de gráfico de uma função distribuição FX para uma variável aleatória discreta
1 x x2 x3 xn x ) (x FX . . . 1 ) (x1 p ) ( ) (x1 p x2 p + X
5.1.3) Visualização da variável aleatória discreta X, sua função de probabilidade e sua função distribuição, para um espaço amostral enumerável
Em diagrama, tem-se:
EXERCÍCIOS
1) Considere uma variável aleatória X que assume valores em A={1, 2, 3,...}, com função
, onde . Pede-se: é uma função de probabilidade? Justifique. Se sim:
a) Determine a função distribuição de X, denotada por ;
b) Faça o gráfico de e de ; c) Calcule . R ) ( ) (x1 P X x1 p = = ) ( ) (x2 P X x2 p = = ) ( ) (xi P X xi p = = A } { ] [X x1 = 1 } , { ] [X x2 = 1 2 } , ,..., , { ] [X xi = 1 2 i−1 i R 0 ) ( ) (x1 p x1 FX = FX
= = 2 1 2) ( ) ( i i X x p x F
= i j x x i i X x p x F ( ) ( ) 1 X 1 2 i R ) ( 1 1 X x = ) ( 2 2 X x = ) ( i i X x = P = ] [X x1 2) O gráfico abaixo representa a função distribuição de uma variável aleatória discreta X:
a) Por que esse gráfico representa uma função distribuição? b) Calcule
5.2) Variável aleatória contínua
Definição: A variável aleatória X em um espaço de probabilidade com função distribuição é denominada contínua se existe uma função não negativa , tal que
, onde
a função integrando é denominada função de densidade de probabilidade(f. d. p.) de X ou, simplesmente, densidade de X .
Observação
• onde A é o intervalo de integração do tipo .
• A v.a. X é denominada contínua se sua função distribuição FX é absolutamente contínua, pois
FX, por ser uma função definida por uma integral, é absolutamente contínua.4
• em quase toda parte. Isso significa, neste caso, que FX é contínua e derivável
por partes (FX é derivável em todo ponto, exceto num número finito de pontos).5
4 Ver JAMES, B., 2006, p. 42. Ver, ainda, função dada por integral em GUIDORIZZI, H. L., 2001, p. 12-27. 5 Cf. JAMES, B., 2006, p. 42 e 43. x ) (x FX 1 X -2 0 1 5 1/4 2/3
5.2.1) Propriedades da função densidade de probabilidade
A função densidade de uma variável aleatória contínua X, em , satisfaz: • . (Por definição)
• , já que
5.2.2) Cálculo de probabilidades para uma variável aleatória contínua X
Seja X uma variável aleatória contínua, em um espaço de probabilidade , com função distribuição e função densidade de probabilidade . Então a é dada por:
Como, pelas propriedades do Cálculo Diferencial e Integral,6 é possível alterar a função integrando (aqui a função densidade de probabilidade) em um número enumerável de pontos, sem alterar a integral, tem-se:
sendo .
EXERCÍCIOS
01) (Adaptado de JAMES, B. 2006, p. 43) Uma variável aleatória contínua X tem função distribuição
dada por .
a) Faça o gráfico de FX e justifique porque FX é uma função distribuição;
b) Verifique se FX é derivável em x = 0 e em x = 1.
c) Determine a função densidade de probabilidade fX e faça seu gráfico.
d) Justifique porque FX é uma função distribuição de uma v.a. contínua e não de uma v. a. discreta.
02) (Adaptado de JAMES, B. 2006, p. 43) Uma variável aleatória X tem função distribuição dada por .
a) Verifique se FX é realmente uma função distribuição;
b) Verifique se X é uma variável aleatória discreta ou se é uma v. a. contínua.
c) Se X for discreta, obtenha sua função de probabilidade e seu respectivo gráfico. Se X for contínua, obtenha sua função densidade de probabilidade e seu respectivo gráfico.
03) Considere a seguinte tabela:
Diâmetro, em centímetros, de determinada peça Classe (i) Diâmetro, em cm (X) Frequência relativa (fri) 1 84 86 0,3 2 86 88 0,5 3 88 90 0,2 Total 1,0
Fonte: Dados fictícios.
a) A tabela acima representa uma distribuição de probabilidades? Justifique.
b) Faça o gráfico da função . Essa função representa uma f. d. p? Justifique.
c) Se não, obtenha a partir da tabela dada uma função que seja uma f. d. p., faça seu gráfico e calcule a probabilidade de .
04) Mostre que as funções abaixo são funções densidade de probabilidade. Calcule as probabilidades indicadas. Faça os respectivos gráficos:
a) , .
b) , .
c) , .
05) No exercício 04, anterior, em cada caso, determine a função distribuição e seu gráfico.
06) Verifique se cada função dada é ou não função densidade de probabilidade:
6) Esperança matemática para uma variável aleatória
Definição: Seja X uma variável aleatória, em um espaço de probabilidade , com função de probabilidade P ou com função densidade de probabilidade fX . A esperança matemática de X ou,
simplesmente, esperança de X, denotada por E(X), é definida por:
Se X é discreta: , com .
Se X é contínua: .
Outras denominações para E(X): Valor esperado, expectativa, expectância, média.
Outras notações para E(X): (no contexto da estatística inferencial, a esperança de uma
variável aleatória representa a média populacional)
Observação
• A esperança matemática de uma variável aleatória discreta é uma média ponderada, onde os pesos são as probabilidades p(x).
6.1) Propriedades da esperança para uma variável aleatória7
Sejam X e Y variáveis aleatórias, em um espaço de probabilidades , a , b :
a) E(a) = a
Demonstração para v.a. discreta:
Demonstração para v.a. contínua:
b) E(aX) =aE(X)
Demonstração para X discreta:
Demonstração para X contínua:
7 Essas propriedades de esperança matemática são válidas tanto para v.a discreta como para v.a. contínua. No entanto, o processo de demonstração é diferente em ambos os casos, pois em um deles é usado somatório e no outro, integração.
c) E(X + Y)=E(X) + E(Y) (A demonstração necessita do conceito de distribuição de probabilidade
conjunta, a ser vista mais adiante)
Corolário: , sendo Xi v.a.’s em .
Demonstração para Xi discretas:
Demonstração para Xi contínuas:
d) E(aX + b) = aE(X) + b
Demonstração para X discreta:
Demonstração para X contínua:
e) E(IA(x)) = P(A), onde
Demonstração:
EXERCÍCIOS
01) Um caça níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma pessoa paga R$ 8,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs, ganha R$ 4,00. Se aparecerem 2 bananas, ganha R$ 8,00. Ganha R$ 14,00 se aparecerem 2 peras e ganha R$ 18,00 se aparecerem 2 laranjas. Qual a esperança de ganho numa única jogada? Interprete esse valor.
02) (FARIAS; SOARES; CÉSAR, 2003, p. 74) A probabilidade de um homem de 40 anos morrer antes de completar 41 anos é de 0,00353. Ele contrai um empréstimo de R$ 15.000,00 para pagamento total daqui a um ano e deseja fazer um seguro de vida por esse prazo, de modo que, se morrer no decorrer do ano, a dívida fique remida (ou seja, a seguradora pagará a dívida). Qual o prêmio que ele deve pagar à companhia seguradora? Considere o prêmio mínimo, sem as devidas taxas de
administração, custeio de despesas, etc. Prêmio é o valor pago pelo segurado à seguradora.
03) (MAGALHÃES et LIMA, 2008, p. 67) Um pai leva o filho ao cinema e vai gastar nas duas entradas R$ 15,00. O filho vai pedir para comer pipoca com probabilidade 0,7 e, além disso, pode pedir bala com probabilidade 0,9. Esses pedidos são atendidos pelo pai com probabilidade 0,5, independentemente um do outro. Se a pipoca custa R$ 2,00 e a bala R$ 3,00, qual o gasto esperado com a ida ao cinema?
04) (MONTGOMERY et RUNGER, 2008, p. 77) A corrente, em miliampères, em um fio delgado de cobre é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
Determine o valor esperado de X.
05) (MONTGOMERY et RUNGER, 2008, p. 77) O diâmetro, em milímetros, de um orifício perfurado em uma placa com um componente metálico é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
a) Determine o valor esperado de X.
b) Se uma peça com um diâmetro maior que 12,6 milímetros tiver de ser descartada, qual será a proporção de peças descartadas?
7) Variância para uma variável aleatória
Definição: Seja X uma variável aleatória em um espaço de probabilidade . A variância de X, denotada por V(X), é definida por:
V(X) = E ( X – E(X) )2
Matematicamente é mais conveniente trabalhar com a seguinte igualdade:
V(X) = E ( X – E(X) )2 = , onde
se X é uma variável aleatória discreta e se X é uma variável aleatória contínua.
Dessa forma, tem-se: • Se X é discreta:
V(X) = E ( X – E(X) )2 = , onde p(x)= P(X=x).
• Se X é contínua:
V(X) = E ( X – E(X) )2 = .
Outras notações para variância de uma variável aleatória X
Var(X), (no contexto da estatística inferencial, a variância de uma variável aleatória representa a variância populacional)
EXERCÍCIO
Demonstre que V(X) = E ( X – E(X) )2 = tanto para X discreta como para X
contínua.
7.1) Propriedades da variância de uma variável aleatória8
Sejam X e Y variáveis aleatórias, em um espaço de probabilidades , a , b
a) V(a) = 0
Demonstração para v.a. discreta:
Demonstração para v.a. contínua:
b) V(aX) =a2V(X)
Demonstração para X discreta:
Demonstração para X contínua:
8 Essas propriedades de variância são válidas tanto para v.a. discreta como para v.a. contínua. No entanto, o processo de demonstração é diferente em ambos os casos, pois em um envolve somatório e no outro, integração.
c) V(X + Y) = V(X) + V(Y) +2.Cov(X, Y), onde Cov(X, Y) = E(X.Y) - E(X).E(Y)
Demonstração para X e Y discretas :
Demonstração para X e Y contínuas:
Corolário: , sendo Xi v.a.’s
discretas em . Para i = 3, tem-se:
, sendo X, Y e Z
v.a.’s em .
Demonstração para v.a.’s discretas:
d) V(aX+b)=a2V(X)
Demonstração para X discreta:
Demonstração para X contínua:
EXERCÍCIOS
01)(LEVINE; BERENSON; STEPHAN, 2000, p. 188) Um empregado de uma loja de bebidas e comestíveis instalada em um estádio de futebol deve escolher entre trabalhar atrás de um balcão de cachorro-quente recebendo a quantia fixa de $ 50,00 por noite e andar pelas arquibancadas vendendo cerveja, recebendo por comissão. Se for escolhida a venda de cerveja, o empregado pode ganhar $ 90,00 numa noite quente, $ 75,00 numa noite moderada, $ 45,00 numa noite fria e $ 15,00 numa noite muito fria. Nessa época do ano, as probabilidades de noites quentes, moderadas, frias e muito frias são 0,1; 0,3; 0,4 e 0,2, respectivamente.
a) Determine o valor esperado a ser ganho pelo vendedor de cerveja naquela noite; b) Calcule o desvio padrão;
c) Que produto o empregado deve vender? Por quê?
d) Quais são os resultados dos itens (a), (b) e (c) se as probabilidades forem 0,3; 0,2; 0,3 e 0,2, respectivamente?
02) (MONTGOMERY et RUNGER, 2008, p. 77) O diâmetro, em milímetros, de um orifício perfurado em uma placa com um componente metálico é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
a) Determine o valor esperado de X e a variância de X.
b) Qual a proporção de peças que possuem diâmetro entre a média e dois desvios-padrões?
8) Desigualdade clássica de Chebyshev
Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua). Tem-se:
, onde .
Demonstração: Ver MAGALHÃES, M.N. 2006, p. 246.
EXERCÍCIOS:
01) Usando a desigualdade de Chebyshev, determine a probabilidade de um determinado valor da v.a.
X estar afastado da média de X por mais de:
a) 1 desvio-padrão de X; b) 2 desvios-padrões de X; c) 3 desvios-padrões de X.
02) Mesmo que não se saiba a distribuição de probabilidades da v.a. X, consideram-se usuais os valores de X cujos escores padronizados , onde e , estão entre -2 e 2, conforme a desigualdade de Chebyshev. Dessa forma, para o conjunto de dados abaixo, calcule a média amostral , o desvio padrão amostral (s) e justifique se há algum valor de X que provavelmente seja não usual:
145, 183, 179, 220, 204, 146, 170, 208, 180, 151, 201, 198. Faça um diagrama de pontos para os escores padronizados.
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REFERÊNCIAS
DANTAS, Carlos A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3 ed. São Paulo: EDUSP, 2008;
FARIAS, Alfredo A.; SOARES, José F.; CÉSAR, Cibele C. Introdução à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V 2. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
JAMES, BARRY R. Probabilidade: um curso em nível intermediário, 2 ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2006.
LEVINE, David M.; BERENSON, Mark L.; STEPHAN, David. Estatística: teoria e aplicações usando o Microsoft Excel
em português. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
MAGALHÃES, Marcos Nascimento. Probabilidade e variáveis aleatórias. 2 ed. São Paulo: EDUSP, 2006. MAGALHÃES, M. N.; LIMA, Antonio C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6 ed. São Paulo: Edusp, 2008. MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
