Apontamentos da disciplina de Complementos de Análise Matemática

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Engenharia de Ambiente

Apontamentos da disciplina de

Complementos de Análise Matemática

Isabel Duarte

1.1. Campos vectoriais

Vamos estudar funções que a cada ponto P do plano ou do espaço associa um vector. Estas funções chamam-se campos vectoriais. As suas principais aplicações envolvem campos de velocidades, tais como correntes marítimas e velocidades do vento, e campos de forças, como por exemplo o campo de forças gravitacional.

De entre os campos vectoriais, uns dos mais importantes são os conservativos, isto é, aqueles em que há conservação de energia (a soma da energia cinética com a energia potencial é constante), como é o caso do campo gravitacional e do campo magnético.

Os campos gravitacionais são definidos através da lei gravitacional de Newton

F x y z Gm m x y z u ( , , )= − + + 1 2 2 2 2 ,

sendo G a constante de gravidade, m1 e m2 as massas das partículas localizadas em (x,y,z)

e (0,0,0) e u o vector unitário que vai desde (0,0,0) a (x,y,z).

Os campos de forças eléctricas são definidos através da lei de Coulomb

F x y z cq q

r u

( , , )= 1 2₂ ,

sendo q1 e q2 as cargas eléctricas das partículas localizadas em (x,y,z) e (0,0,0), u o vector

unitário que vai desde (0,0,0) a (x,y,z) e c uma constante.

Estes dois campos são definidos do mesmo modo, r

r k r r r k u r k z y x F( , , )= ₂ = ₂ = ₃ .

Todos os campos assim definidos chamam-se campos quadrado inverso.

Na figura seguinte está representado um campo vectorial de uma roda a girar em torno de um eixo.

Definição: Sejam M e N funções de x e y definidas numa região R do plano. A função dada por

F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j

chama-se campo vectorial sobre R.

Sejam M, N e P funções de x, y e z definidas numa região Q do espaço. A função dada por

F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k

chama-se campo vectorial sobre Q.

Exemplo 1: Descrição do campo vectorial F sendo F(x,y)=

(

2 2

)

32 10x y yj xi + + .

O gradiente de uma função f, sendo dado por

(

( , , ), ( , , ), ( , , )

)

) , , ( ) , , ( grad f x y z =∇f x y z = f_x x y z f_y x y z f_z x y z ou k z y x f j z y x f i z y x f z y x f( , , )= _x( , , ) + _y( , , ) + _z( , , ) ∇

é um exemplo de um campo vectorial.

Exemplo 3: Descrição do campo vectorial gradiente de f(x,y)=x+y. ∇f(x,y)=1i+ij

Definição: Um campo vectorial F é conservativo numa região se for o campo vectorial de alguma função f naquela região, isto é, se existir uma função diferenciável f tal que F=∇f.

A função f chama-se função potencial de F na região.

Exemplo: Um campo quadrado inverso é conservativo em qualquer região que não contenha a origem. A função

(

_x2 _y2

)

12 c y x f + − = ) ,

( é a função potencial do campo

vectorial

(

x y

)

(

xi yj

)

c y x F + + = 2 3 2 2 ) , ( .

Podemos utilizar uma condição necessária e suficiente para mais facilmente ver se um campo vectorial é conservativo.

Teorema: Se M e N tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa bola aberta R, o campo vectorial dado por F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j é conservativo sse

∂ ∂ ∂ ∂ N x M y = .

Antes de ver uma condição necessária e suficiente para ver se um campo vectorial é conservativo no espaço, vamos ver algumas definições:

Definição: Gradiente, é um operador que, em três dimensões, é dado por

z k y j x i ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∇ .

Nota: Conhecemos já o gradiente, mas ligado a uma função.

Definição: O rotacional de F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, onde M, N e P têm derivadas parciais em alguma região é dado por

rot F = ∇ x F= P N M z y x k j i ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , isto é, k y M x N j x P z M i z N y P rotF _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ .

Teorema: Se M, N e P tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa bola aberta Q, o campo vectorial dado por F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k é conservativo sse rotF=0, isto é sse

∂ ∂ ∂ ∂ P y N z = , ∂ ∂ ∂ ∂ P x M z = , ∂ ∂ ∂ ∂ N x M y = . 1.2. Integrais curvilíneos

O conceito de integral curvilíneo é uma generalização do integral definido. Seja C uma curva dada parametricamente por x g t

y h t a t b = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ ( ) ( ), , com g e h funções definidas em [a,b]. Seja f uma função definida numa região R que contém C. Sejam A e B os pontos de C determinados por t=a e t=b. Consideremos para sentido positivo, ao longo de C, o sentido dos valores crescentes de t.

Consideremos uma partição do intervalo [a,b] da forma a=t0<t1<….<tn=b.

Esta partição conduz à partição de C em n sub-arcos P P_{i−1 i}, onde Pi=(xi,yi) é o ponto

correspondente a ti. Sejam ∆si o comprimento do arco P P_{i−1 i}, ∆xi=xi-xi-1 e ∆yi= yi-yi-1. A

norma da partição de C, ∆ é o maior dos comprimentos ∆si.

Se, para cada um dos arcos, escolhermos um ponto Qi (ui,vi) e multiplicarmos a sua

imagem por f, pelo comprimento do arco, obtemos a soma n _i

i i i s v u f ∆

∑

=1 ) , ( .

Se, como nos integrais definidos, existe limite, L, desta soma, quando n→∞ e ∆ →0, independente da partição de [a,b] e dos pontos considerados em cada um dos arcos, então L é chamado integral curvilíneo de f ao longo de C e escreve-se f x y ds

c

( , )

∫

.

Se a função f for contínua em R então o limite de n _i

i i i s v u f ∆

∑

=1 ) ,

( existe e é o mesmo para todas as representações paramétricas de C com a mesma orientação.

Tudo o que foi visto pode ser generalizado para o caso da curva ser do espaço.

Definição: Seja f uma função definida numa região que contém uma curva C. O integral curvilíneo de f ao longo de C, de A para B é dado por

i n i i i c s v u f ds y x f =

∑

∆

∫

= → ∆lim0 ₁ ( , ) ) , ( no plano e por x1 x2 xi-1 u_i xi x0 x_n Q1 P₁ A=P0 Pi-1 P2 Qi Pi Pn=B vi yi yi-1 C

f x y z ds f u v w s c i i i i i n ( , , ) lim ( , , )

∫

=

∑

→ = ∆ _{0 1} ∆

no espaço, caso exista o limite. Note-se que: Então i i i i i i i si x y x_t y_{t ⎟⎟} ∆t ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ = ∆ + ∆ ≈ ∆ 2 2 2 2 Logo _i i i i i n i i i c t t y t x v u f ds y x f _⎟⎟ ∆ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ =

∑

∫

= → ∆ 2 2 1 0 ( , ) lim ) , (

Isto sugere-nos uma maneira mais fácil de calcular

∫

c

ds y x f( , )

Teorema: Seja f contínua numa região que contém uma curva suave C. Se C for dada

por x g t y h t a t b = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ ( ) ( ), , então

[

] [

]

∫

∫

=b + a c dt t h t g t h t g f ds y x f( , ) ( ( ), ( )) '( ) 2 '( )2

Se C for dada por

x g t y h t z m t a t b = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) , , então

[

] [

] [

]

f x y z ds f g t h t m t g t h t m t dt c a b ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) '( ) '( ) '( )

∫

=

∫

2+ 2+ 2 .

Se uma curva C for a reunião de um número finito de curvas, em que o último ponto de uma, coincide com o primeiro da seguinte, o integral curvilíneo de f ao longo da curva C, é igual à soma dos integrais curvilíneos ao longo de cada uma das curvas individuais.

∆si _P

i

Pi-1

∆xi

Exemplo: Calcule

∫

c

ds

xy2 para C dada por x=cost, y=sent, 0≤ t ≤

2 π . = + − =

_∫

∫

2 0 2 2 2 2 π dt t sent t sen t ds xy c cos ) ( . cos 3 1 3 2 0 3 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = π t sen

As propriedades do integral curvilíneo podem ser demonstradas da mesma forma que para os outros integrais.

Geometricamente, se f(x,y)≥0 em R, f(u_i,v_i)∆s_i dá a área de uma faixa com base P P_{i−1 i} do plano xy e altura f(u_i,v_i). O limite da soma dá a área da parte de um “cilindro” de directriz C e geratrizes paralelas ao eixo dos zz, situada entre a superfície z=f(x,y) e o

plano xy.

Podemos obter dois tipos diferentes de integrais curvilíneos utilizando ∆xi e∆yi em lugar

de ∆si . São chamados integrais curvilíneos de f ao longo de C em relação a x e a y,

respectivamente. Assim i n i i i c x v u f dx y x f =

∑

∆

∫

= → ∆lim0 ₁ ( , ) ) , ( i n i i i c y v u f dy y x f =

_∑

∆

∫

= → ∆lim0 ₁ ( , ) ) , (

Podemos também escrever B

∫

A dx y x f( , ) e

∫

B A dy y x

f( , ) , para evidenciar os extremos de C.

Teorema: Seja f contínua numa região que contém uma curva suave C. Se C for dada

por x g t y h t a t b = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ ( ) ( ), , então

∫

∫

=b ′ a c dt t g t h t g f dx y x f( , ) ( ( ), ( )). ( ) e

∫

∫

=b ′ a c dt t h t h t g f dy y x f( , ) ( ( ), ( )). ( ) Exemplo 1: Calcule

∫

c dx y x f( , ) e

∫

c dy y x

f( , ) , sendo f(x,y)=xy2 e C a parte da parábola y=x2 de A=(0,0) a B=(2,4)

A curva pode ser parametrizada por ₂ 0≤ ≤2 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = t t y t x , . Então 3 32 6 2 1 6 2 0 4 2 _{= = =} =

∫

∫

∫

f x y dx xy dx tt dt c c . . ) , ( 7 2 2 8 2 0 4 2 _{= =} =

∫

∫

∫

f x y dy xy dy tt tdt c c . . ) , ( Exemplo 2: Calcule

_∫

+ + c xydz xzdy

yzdx , onde C é dada por x=t,y=t2_,z=t3_{; 0≤t≤2.}

(

2 3

)

6 64 2 0 5 2 0 2 2 3 3 2 _{+ + = =} = + +

∫

∫

∫

yzdx xzdy xydz t t tt t tt t dt t dt

c

. . . .

Teorema: Sendo C uma curva percorrida no sentido de A para B, designemos por -C a curva percorrida em sentido contrário, isto é de B para A. Temos:

(i) f x y ds f x y ds c c ( , ) ( , )

∫

=

∫

− (ii) f x y dx f x y dx c c ( , ) ( , )

∫

= −

∫

− (iii) f x y dy f x y dy c c ( , ) ( , )

∫

= −

∫

−

Os integrais curvilíneos servem para calcular algumas quantidades, tais como áreas, comprimento de arcos, trabalho.

Exemplo: Determine a área da superfície de geratrizes paralelas ao eixo dos zz e de directriz a circunferência

1

2 2 _{+ y =}

x , situada entre o plano xy e o parabolóide 2

1 x

z= − .

A área pode ser calculada através do integral curvilíneo

ds x

c

∫

(1− 2) , sendo C a circunferência.

Então, atendendo a que uma parametrização da circunferência pode ser

π 2 0 , sin cos ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = t t y t x π π π = = + − − = − =

∫

x ds

∫

t t tdt

∫

tdt A c 2 0 2 2 0 2 2 2

2_{) (1 cos ) ( sin ) cos sin}

1 (

Teorema: Sendo C uma curva suave quer no plano quer no espaço, o comprimento do arco L, é dado por

∫

= cds

L

O calculo do trabalho realizado por uma força quando um objecto se desloca sobre uma curva C é uma das suas aplicações físicas mais importantes.

Começamos por subdividir C como anteriormente em arcos P_i−1P_i e seja Qi(ui,vi,wi)∈

P P_{i−1 i}. Se ∆ é pequena, então o trabalho realizado por F(x,y,z)=

M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k ao longo do arco P P_{i−1 i}, ∆Wi, pode ser aproximado pelo

trabalho realizado pela força constante F(ui,vi,wi), quando o seu ponto de aplicação se

desloca ao longo do vectorP_i−1P_i . O vector P_i−1P_i corresponde ao vector (∆xi,∆yi,,∆zi) de

V3.

Como o trabalho realizado por uma força constante PQ→ , quando o seu ponto de aplicação se desloca ao longo de um vector _PR→ é dado por PQ→ . _PR→ , no nosso caso temos que

∆Wi≈ F(ui,vi,wi). (∆xi,∆yi,,∆zi)= M(ui,vi,wi)∆xi+N(ui,vi,wi)∆yi +P(ui,vi,wi)∆zi

Definição: Se C é uma curva suave num campo de forças F, o trabalho realizado por F ao longo de C é dado por W=

∑

→ ∆ ∆ 0 i W , isto é

∑

→ ∆ ∆ + ∆ + ∆ = 0 i i i i i i i i i i i i z ) ,w ,v P(u y ) ,w ,v N(u x ) ,w ,v M(u W , donde W=

∫

C dz y+P(x,y,z) +N(x,y,z)d M(x,y,z)dx

Nota: O trabalho determina-se de forma análoga para um campo vectorial no plano.

Por outro lado, como o arco é muito pequeno, podemos assumir que a partícula se move aí, na direcção do vector tangente unitário Ti(ui, vi, wi). Sendo assim

∆Wi≈ F(ui,vi,wi). (∆si. Ti(ui, vi, wi))=( F(ui,vi,wi). Ti(ui, vi, wi)) ∆si

Podemos então escrever:

Definição: Sendo C é uma curva suave num campo de forças F e T(x,y,z) o vector tangente unitário a C no ponto P(x,y,z), o trabalho W realizado por F ao longo de C é dado por

∫ c ds z y x T z y x F( , , ). ( , , )

Nota: As duas fórmulas são equivalentes, atendendo a que ds dr T = , sendo k t z j t y i t x t r( )= ( ) + ( ) + ( ) . W=

∫

=

∫

=

∫

=

∫

+ + c c b a c Pdz Ndy Mdx dr F ds ds dt dt dr F Tds F. . . , sendo F = Mi+Nj+Pk. Exemplo:

Determinar o trabalho realizado pelo campo de forças F(x,y,z)=xi−xyj+z2k, para mover uma partícula ao longo da hélice dada por r(t)= costi+sentj+tk, desde o ponto (0,0,0) até (-1,0,3π).

(

)

3 3 0 3 3 0 3 3 0 2 3 0 2 2 9 3 2 3 3 cos 2 cos cos . . cos ) ( cos π π π π π + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = + − − = + − = + + =

_∫

_∫

_∫

t t t dt t t sent t sent t dz z xydy xdx Pdz Ndy Mdx W c c

Nota: O trabalho realizado por um campo de forças pode ser negativo. Isto acontece quando o campo impede o movimento ao longo da curva. Na figura seguinte vemos um caso em que isso acontece.

1.3. Independência do caminho

Se determinarmos o integral curvilíneo,

∫

c

dr .

F , num campo vectorial conservativo, ao longo de três caminhos distintos, vemos que o valor não se altera.

Podemos constatar isso com a resolução do problema seguinte:

Calcular o trabalho realizado pelo campo de forças F(x,y)=4xyi + 2x2j quando uma partícula se move de (0,0) a (1,1) ao longo dos caminhos i) y=x; ii) x=y2_{; iii) y=x}3_.

Isto é-nos garantido pelo teorema:

Teorema fundamental dos integrais curvilíneos: Seja C uma curva suave, contida numa

região aberta R, dada por x g t

y h t a t b = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ ( ) ( ), . Se F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j é conservativo em R e M e N são contínuas em R, então

)) ( ), ( ( )) ( ), ( ( . .dr f dr f g b h b f g a h a F c c − = ∇ =_∫ ∫

em que f é uma função potencial de F.

Nota: Este teorema é aplicável para curvas contidas numa região do espaço.

Temos então que se o campo vectorial é conservativo o integral curvilíneo de F.dr entre dois quaisquer pontos, é igual à diferença da função potencial nesses pontos. Sendo assim num campo conservativo o valor do integral curvilíneo _∫

c

dr

F. é o mesmo para qualquer curva suave C contida em R entre dois pontos fixos. Dizemos então que _∫

c

dr F. é independente do caminho na região R.

Teorema: Se F é contínua numa região aberta e convexa, então o integral curvilíneo ∫

c

dr

F. é independente do caminho se e só se F=∇f para algum f, isto é, se e só se o campo F é conservativo.

Exemplo: Seja F(x,y)=(2x+y3)i+(3xy2+4)j. Mostre que o integral curvilíneo ∫

c

F.dr é

independente do caminho e calcule (2,3)_∫ (0,1)

F.dr.

O integral é independente do caminho sse

y M x N ∂ ∂ ∂ ∂ = . Como, 3y2 y M = ∂ ∂ e 3y2 x N = ∂ ∂ , é independente do caminho. Sendo assim (2,3) (0,1) (2,3) (0,1) f f F.dr = −

∫

C.A.

( )

3 ( ) ) , ( 2 3 2 3 y2x k y y f y k x y x y x f y x x f _{= + ′} ∂ ∂ ⇒ + + = ⇒ + = ∂ ∂ 4 3 2 + = ∂ ∂ xy y f k′(y)=4⇒k(y)=4y+C Logo f(x,y)= x2 + y3x+4y+C

Então (2,3) (0,1) 22 33.2 4.3 4 66 3 2 1 0 = − − + + + = − =

∫

F.dr f f C C ) , ( ) , ( 1.4. Teorema de Green

O teorema de Green diz-nos que o integral duplo sobre uma região simplesmente convexa1

R é igual ao valor do integral curvilíneo sobre a fronteira de R.

Teorema de Green: Seja R uma região simplesmente convexa e C a sua fronteira, considerada com sentido positivo (contrário ao dos ponteiros do relógio). Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais de 1ª ordem também contínuas numa região aberta D que contém R, então

∫

+ =

∫∫

⎜⎜_⎝⎛∂_∂ −∂_∂ ⎟⎟_⎠⎞ C R dA y M x N Ndy Mdx

Demonstração: Para mostrar esta igualdade temos de provar que

∫

∫∫

∂ ∂ − = C R dA y M Mdx e que

∫

∫∫

∂ ∂ = C R dA x N

Ndy . Vamos mostrar apenas a segunda igualdade, pois de modo análogo se prova a outra. Consideremos uma região R

Temos

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− = + = + = d c d c c d d c C C C dy y y g N dy y y g N dy y y g N dy y y g N dy y x N dy y x N dy y x N ) ), ( ( ) ), ( ( ) ), ( ( ) ), ( ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 1 2 2 1

Por outro lado

1 _{Uma curva plana diz-se simples se não se cruza em si mesma. Uma região plana R é simplesmente convexa se é}

limitada por uma única curva fechada simples. x=g1(y) x=g2(y) c d R C

-1 -1 2 2 C1 C2 C3 C4

[

N x y

]

dy dxdy y x x N dA y x x N d c y g y g d c y g y g R

∫ ∫

∫

∫∫

= ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 ) , ( ) , ( ) , (

[

N g y y N g y y

]

dx d c

∫

− = ( ₂( ), ) ( ₁( ), ) Exemplos: 1. Calcule

∫

+ C dy x xydx 3

5 , onde C é a curva dada por y=x2 _{e y=2x de (0,0) a (2,4)}

(

)

(

)

[

]

(

)

15 28 3 10 4 11 5 3 10 11 3 5 3 5 3 5 3 5 2 0 3 4 5 2 0 2 3 4 2 0 2 2 2 0 2 2 2 3 2 2 − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = = − + − = − = − = − = +

∫

∫

∫ ∫

∫∫

∫

x x x dx x x x dx xy y x dydx x x dA x x dy x xydx x x x x R C 2. Calcule dx xdy y x x c 2 3 2 2 ₊ +

∫

, sendo C o quadrado [-1,2]x[-1,2] Como a função ( , ) ₂3 ₂ y x x y x M +

= não é contínua em (0,0), não podemos utilizar o teorema de Green. Sendo assim vamos calcular o integral curvilíneo por definição, calculando o integral ao longo de cada um dos 4 caminhos, C1, C2, C3 e C4.

Comecemos por parametrizar os caminhos:

, 1 2 1 : 1 − ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ − = = t y t x C , ₂ : 2,−1≤ ≤2 ⎩ ⎨ ⎧ = = t t y x C , 2 1 , 2 : 3 − ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = − t y t x C , 2₄ : 1,−1≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = − = − t t y x C Então

= + + − + + = + + − + + − − + + + + + = + +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − − − dt dt t t dt dt t t xdy dx y x x xdy dx y x x xdy dx y x x xdy dx y x x xdy dx y x x C C C C c 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 3 2 1

[ ]

) 18 16 25 ln( 2 3 ) 5 8 ln( 2 3 18 ) 2 5 ln( 2 3 4 ln 2 3 6 1 ln 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 _{= + − = +} ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − − − t t t

O teorema de Green também pode ser utilizado para obter uma fórmula para calcular a área de uma região limitada por uma curva fechada simples parcialmente suave C.

Com efeito, se em

∫

∫∫

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = + C R dA y M x N Ndy Mdx fizermos M=0 e N=x, temos

∫

∫∫

= C R xdy dA

1 e se fizermos M=y e N=0 temos

∫∫

=−

∫

C R ydx dA 1 . Como

∫∫

R dA 1 nos dá a área de R, destas duas igualdades podemos tirar que

A=

∫

− C ydx xdy 2 1 .

Exemplo: Calcule a área da região limitada pela elipse 1

2 2 2 2 = + b y a x

(

)

(

)

[ ]

t ab ab dt ab dt t absen t ab dt asent bsent t b t a ydx xdy A C π π π π π = = = = + = + = − =

∫

∫

∫

∫

2 0 2 0 2 0 2 2 2 0 2 1 2 cos 2 1 . cos . cos 2 1 2 1 1.5. Integrais de Superfície

Vamos agora considerar um integral de uma função sobre uma superfície. Seja S o gráfico de z=f(x,y), em que a sua projecção R num dos planos coordenados, neste caso considera-se xy, é uma região do tipo das que aparecem nos integrais duplos. Suponhamos que f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O integral de uma função g(x,y,z) sobre uma superfície S, sendo g definida numa região que contém S obtém-se de modo análogo ao que tem sido feito até aqui. Considera-se uma partição interior de R em rectângulos Ri .

corresponde o ponto Bi(xi, yi, zi) de S. Considera-se também o plano tangente a S em Bi .

Seja ∆Si a área da superfície de S e ∆Ti a área da região do plano tangente cuja projecção

em R é o rectângulo Ri . Quando a norma da partição tende para zero, a área ∆Ti é uma

boa aproximação para a área ∆Si e sendo assim Σ∆Ti é uma boa aproximação para a área

de S. Podemos considerar a soma n _i

i i i i T z y x g ∆ ∑

=1 ( , , ) . Se existir o limite desta soma quando a norma da partição tender para zero, esse limite dá o integral de superfície de g sobre S e escreve-se

∫∫

S dS ) z , y , x ( g .

Definição: Seja g uma função definida numa região que contém uma superfície S. O integral de superfície de g sobre S é dado por

∫∫

∑

= → = S i n 1 i i i i 0 g(x ,y ,z ) T lim dS ) z , y , x ( g ∆ ∆ desde que o limite exista.

Teorema: Seja S uma superfície de equação z=f(x,y) e R a sua projecção no plano xy. Se f é contínua em R e tem aí derivadas de 1ª ordem contínuas e g é contínua em S, então o integral de superfície de g sobre S é dado por

[

]

[

]

∫∫

=

∫∫

+ + S R y x x y f x y dA f y x f y x g dS z y x g( , , ) ( , , ( , )) ( , ) 2 ( , )2 1

Nota: Se g(x,y,z)=1 então o integral de superfície dá a área da superfície S.

Exemplo: Calcule _∫∫

S

zdS

x2 , onde S é a porção do cone z2=x2+y2 que está entre os planos z=1 e z=4.

(

)

= = + = = + + + + + =

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

π θ ρ θρρ ρ 2 0 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 1 d d dA y x x dA y x y y x x y x x zdS x R R S

∫

∫

_⎟⎟ + = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = π θ ρ θ 2π θ θ 0 5 2 0 4 1 5 2 2 2 cos 1 5 1 5 4 2 5 cos 2 d d 2 2 _y x z = + 2 2 2 2 y x x f_x + = 2 2 2 2 y x y f_y + =

π θ θ π ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 5 1 5 4 2 2 4 1 2 1 5 1 5 4 2 5 2 0 5 sen

Se a equação de S é y=h(x,z), onde h tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e S tem projecção R1 regular sobre o plano xz então

[

] [

]

∫∫

=

∫∫

+ + S R z x x z h x z dA h z z x h x g dS z y x g 1 1 ) , ( ) , ( ) ), , ( , ( ) , , ( 2 2

De modo análogo, se a equação de S é x=m(y,z), onde m tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e S tem projecção R2 regular sobre o plano yz então

[

]

[

]

∫∫

=

∫∫

+ + S R z y y z m y z dA m z y z y m g dS z y x g 2 1 ) , ( ) , ( ) , ), , ( ( ) , , ( 2 2

No cálculo de alguns integrais curvilíneos utilizámos vectores tangentes à curva C. Podemos proceder de modo análogo, considerando agora vectores normais à superfície S. Pode não existir vector normal a uma superfície, mas no caso de existir pode calcular-se através do vector gradiente.

Seja uma superfície S dada por z=f(x,y). Um vector normal a esta superfície é o vector gradiente da função g(x,y,z)=z-f(x,y), isto é

k j ) y , x ( f i ) y , x ( f k ) z , y , x ( g j ) z , y , x ( g i ) z , y , x ( g ) z , y , x ( g = _x + _y + _z =− _x − _y + ∇

Um vector normal unitário à superfície, n, será o versor de ∇g(x,y,z), isto é

(

f (x,y)

)

(

f (x,y)

)

1 k j ) y , x ( f i ) y , x ( f ) z , y , x ( g ) z , y , x ( g n 2 y 2 x y x + + + − − = ∇ ∇ = Nota: O vector ) , , ( ) , , ( z y x g z y x g n ∇ ∇ − =

− é também um vector unitário, normal à superfície. É um vector normal unitário inferior.

Se a superfície for dada por y=h(x,z), um vector normal a esta superfície é o vector gradiente da função g(x,y,z)=y-h(x,z), isto é

k ) z , x ( h j i ) z , x ( h k ) z , y , x ( g j ) z , y , x ( g i ) z , y , x ( g ) z , y , x ( g = _x + _y + _z =− _x + − _z ∇

Nota: Se for possível calcular um vector normal a cada ponto de uma superfície S, então essa superfície é chamada orientada.

Se a superfície S for fechada a orientação positiva é aquela em que os vectores normais são exteriores à superfície e a orientação negativa é aquela em que os vectores são interiores à superfície.

Definição: Se existir um vector normal unitário, n, a qualquer ponto da fronteira de S, dS

n F

S

∫∫

. define vectorialmente um integral de superfície, sendo F um campo vectorial

definido numa região que contém S.

Uma das aplicações dos integrais de superfície é o cálculo do volume de um fluido que atravessa uma superfície S.

Suponhamos uma superfície S, com vector normal unitário n, a qualquer ponto, submersa num fluido que tem um campo de velocidades contínuo v e uma densidade ρ. Seja ∆Si a

área de uma pequena região de S. Sendo essa região muito pequena podemos aí considerar a força constante. Então a quantidade de fluido que atravessa ∆Si na unidade de tempo,

taxa de vazão, pode ser aproximada pelo volume de um cilindro de área de base ∆Si e

altura F.n (F=(ρv)).

(1) é a componente tangencial da velocidade (força) (ao longo da superfície). Esta não influi no fluxo através de S.

(2) Componente normal da velocidade (perpendicular à superfície).

Então ∆Vi=(F.n) ∆Si F.n F.T (1) (2)

Somando todas as quantidades e calculando o limite, obtemos FndS

S

∫∫

. , que fisicamente

nos dá a taxa de vazão através de S.

Definição: Seja F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k, onde M, N e P têm derivadas parciais de 1ª ordem contínuas na superfície S, tendo esta superfície n como vector normal unitário. O fluxo de F através de S por unidade de tempo é dado por

dS n F

S

∫∫

.

Exemplo: Seja S a parte do parabolóide z=4−x2−y2 situada acima do plano xy . Essa superfície tem um vector normal unitário superior. Um fluido de densidade 1 com um campo de velocidades v(x,y,z)=xi+yj+zk, flue através da superfície S. Determine o fluxo de F através de S. = + + + + − − + + = = + + + + = =

∫∫

∫∫

∫∫

dA y x y x y x y x dS y x z y x dS n F F xoy R S S 1 4 4 1 4 4 4 2 2 1 4 4 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 1 2 2 2 2 _{+ +} + + = = ∇ ∇ = y x k yi xi n

(

ρ

)

ρ θ ρ π

(

ρ ρ

)

ρ π π 24 4 2 4 4 2 0 3 2 0 2 0 2 2 2 _{+ + = + = + =} =

∫∫

x y dA

∫ ∫

d d

∫

d xoy R

Nota: Os integrais de fluxo podem escrever-se de uma forma mais simplificada atendendo

a que dS g x y z dA z y x g z y x g ) , , ( ) , , ( ) , , ( _=∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ ∇

Teorema: Se S é uma superfície dada por z=g(x,y) e R é a sua projecção no plano xy, então

∫∫

∫∫

= − − + R y x S dA k j y x g i y x g F dS n F. .( ( , ) ( , ) ) ou

∫∫

∫∫

= + − R y x S dA k j y x g i y x g F dS n F. .( ( , ) ( , ) )

1.6. Teoremas de Gauss e de Stokes

Vamos começar por definir uma função num campo vectorial. Definição: A divergência de F(x,y)=Mi+Nj é

y N x M y x F y x divF ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∇ = . ( , ) ) , ( A divergência de F(x,y,z)=Mi+Nj+Pk é z P y N x M z y x F z y x divF ∂ ∂ + + = ∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ ) , , ( . ) , , (

O teorema de Green diz-nos que, sendo F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j e C uma curva fechada que delimita uma região R, nas condições do teorema

∫

∫∫

∫

= + = ⎜⎜_⎝⎛∂_∂ −∂_∂ ⎟⎟_⎠⎞ C R C dA y M x N Ndy Mdx Tds F.

Se T=x'(t)i+y'(t)j for um vector unitário tangente à curva, um vector normal unitário para fora da região R será n=y'(t)i-x'(t)j.

Para a mesma função F, podemos, utilizando o teorema de Green, calcular

∫

C nds F. . dA divF dA x M y N dx N Mdy nds F R R C C .

∫

∫∫

∫∫

∫

_⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − = .

Podemos generalizar este resultado para superfícies fechadas.

Teorema de Gauss (ou divergência): Seja Q uma região limitada por uma superfície fechada S, com vector unitário normal exterior a Q. Se

F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k é um campo vectorial, em que as funções M, N e P têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em Q, então

∫∫

⋅ =

∫∫∫

S Q dV divF dS n F Demonstração:

A igualdade pode escrever-se da forma

(

)

dV z P y N x M dS n Pk n Nj n Mi Q S

∫∫∫

∫∫

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . . .

(

)

_∫∫∫

∫∫

= Q S dV x M dS n Mi ∂ ∂ .

(

)

_∫∫∫

∫∫

= Q S dV y N dS n N ∂ ∂ .j

(

)

_∫∫∫

∫∫

= Q S dV z P dS n Pk ∂ ∂ .

Vamos mostrar apenas a última igualdade, considerando um caso particular de Q e de S. Consideremos a região Q com superfície superior S2 de equação z=g2(x,y) e superfície

inferior S1 de equação z=g1(x,y), cujas projecções no plano xy formam a região R.

Se Q tem uma superfície lateral, o vector normal é horizontal sendo portanto Pk.n=0. Logo 0 . . . 2 1 + + =

∫∫

∫∫

PkndS

∫∫

PkndS PkndS S S S .

Como o vector normal unitário a S2 é superior e o vector normal unitário a S1 é inferior,

então por um teorema visto atrás,

∫∫

∫∫

_⎟⎟ =−

∫∫

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 1 )) , ( , , ( . )) , ( , , ( . ₁ 1 1 ₁ S R R dA y x g y x P dA k j y g i x g k y x g y x P ndS Pk e

∫∫

∫∫

_⎟⎟ =

∫∫

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − = 2 )) , ( , , ( . )) , ( , , ( . ₂ 2 2 ₂ S R R dA y x g y x P dA k j y g i x g k y x g y x P ndS Pk

Somando estes dois resultados, obtemos

[

P x y g x y P x y g x y

]

dA dS n Pk R S

∫∫

∫∫

. = ( , , ₂( , ))− ( , , ₁( , )) =

∫∫∫

∫∫ ∫

= ∂_∂ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ Q R y x g y x g dV z P dA dz z P ) , ( ) , ( 2 1

Exemplo: Seja Q a região limitada pelo gráfico de x2+y2=4, z=0 e z=3. Seja S a superfície de Q, e n o vector unitário de uma normal exterior a S.

Se F(x,y,z)= x3 i +y3 j +z3 k, use o teorema de Gauss para calcular

∫∫

⋅ S

ndS

(

)

(

)

[

]

(

)

[ ]

(

)

π π ρ ρ ρ θ ρ ρ ρ θ ρ ρ ρ θ ρ ρ ρ θ ρ ρ π π π π 180 4 6 18 2 3 4 3 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 2 0 2 4 2 0 2 0 3 2 0 2 0 3 2 0 2 0 3 0 3 3 2 0 2 0 3 0 2 2 2 2 2 = + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = = + = + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = = + = + + = = ⋅

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

d d d d d z z d dzd z dV z y x dV divF ndS F Q Q S

O teorema de Green pode escrever-se de outro modo:

dA k rotF dA y M x N Ndy Mdx R R C

∫

FTds

∫∫

∫∫

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = + . . 43 42 1 .

Uma generalização deste teorema é o teorema de Stokes que relaciona um integral de superfície sobre uma superfície S e um integral curvilíneo ao longo de uma curva fechada C que é fronteira de S.

Teorema de Stokes: Seja S uma superfície com um vector normal unitário n, limitada por uma curva fechada simples C. Se F é um campo vectorial, onde as funções componentes têm derivadas parciais de 1ª ordem contínuas numa região aberta que contém S e C, então

∫∫

∫

= S C ndS rotF Tds F. .

Nota: A direcção positiva sobre C é considerada relativamente ao vector normal à superfície, n.

Exemplo:

1. Calcule o trabalho realizado por

xk y j xy i x z y x F( , , )= 2 +4 3 + 2 no rectângulo do pano z=y representado na figura.

1

(

)

(

)

90 90 3 4 4 ) 1 1 0 .( ) . ( . 1 0 3 0 1 0 4 3 1 0 3 0 3 2 3 2 = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = = + = + = = + − = = = =

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫

dx dx y y dydx y y dA y y dA k j i rotF dS n rotF Tds F w R R S c

Como o sentido da curva é o positivo, o vector normal que nos interessa será

k j i 1 1 0 − + rot F = ∇ x F= x y xy x z y x k j i 2 3 2 ₄ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =(2xy)i−y2j+(4y3)k