Universidade Estadual de Maringá Departamento de Matemática XXIV Semana da Matemática De 05 a 09 de agosto de Texto Complementar

Universidade Estadual de Maringá

Departamento de Matemática

XXIV Semana da Matemática

De 05 a 09 de agosto de 2013

Texto Complementar

P01

Laurent Schwartz e a teoria das

distribuições

Profª. Dra. Dra. Valéria Neves Domingos Cavalcanti

http://petmatematicauem.blogspot.com.br/

Laurent Schwartz e a Teoria das Distribuições

XXIV Semana da Matemática Universidade Estadual de Maringá

Breve Biografia

Laurent Schwartz: nasceu em Paris em 5 de março de 1915 no seio de uma família de tradição judaica

Breve Biografia

Laurent Schwartz: nasceu em Paris em 5 de março de 1915 no seio de uma família de tradição judaica

Laurent Schwartz: faleceu em Paris no dia 4 de julho de 2002, aos 87 anos de idade.

Breve Biografia

Laurent Schwartz: nasceu em Paris em 5 de março de 1915 no seio de uma família de tradição judaica

Laurent Schwartz: faleceu em Paris no dia 4 de julho de 2002, aos 87 anos de idade.

Obteve seu grau de PhD na Université Louis Pasteur em Strasbourg I na França em 1943.

Breve Biografia

Laurent Schwartz: nasceu em Paris em 5 de março de 1915 no seio de uma família de tradição judaica

Laurent Schwartz: faleceu em Paris no dia 4 de julho de 2002, aos 87 anos de idade.

Obteve seu grau de PhD na Université Louis Pasteur em Strasbourg I na França em 1943.

Recebeu a Medalha Fields, pela elaboração da Teoria das Distribuições em 1950.

Sua atividade matemática não se limitou à Teoria das

Distribuições, que por si só já o colocaria numa posição

privilegiada entre os matemáticos do século XX, também produziu importantes contribuições em Áreas como Análise Funcional, Teoria da medida, Equações Diferenciais Parciais e Probabilidade.

Schwartz foi um expositor brilhante e excelente educador, e se

preocupou durante toda a sua vida com os problemas da educação e do ensino. Em que pese sua imensa obra de criação matemática, Schwartz em nada se parece com o estereótipo do sábio distraído, alheio aos problemas do mundo.

Nos anos 1980, principalmente após a sua aposentadoria como Professor da Faculdade de Ciências de Paris e da Escola Politécnica em 1983, participou muito mais ativamente da reforma do ensino universitário.

Como Presidente do Comitê Nacional para a avaliação das Universidades (período de 1985 a 1989), elaborou uma série de relatórios para o governo nos quais insistia na necessidade de uma seleção mais rigorosa no ingresso dos estudantes e na conveniência dos professores universitários fazerem pesquisa.

Defensor apaixonado dos direitos humanos, anticolonialista e internacionalista, defendeu publicamente suas ideias, da guerra da Argélia à do Vietnã, passando pela invasão russa ao Afeganistão, o que lhe acarretou não poucos dissabores e dificuldades, a ponto de correr risco a sua participação no

Congresso de Harvard em 1950, para receber sua Medalha Fields.

Somente após seis meses de intensas negociações

internacionais, o Departamento de Estado dos Estados Unidos aceitou, como um favor especial, conceder um visto provisório de entrada para Schwartz, com proibição expressa de viajar pelo resto do país.

Os primeiros alunos orientados por Schwartz

Os primeiros alunos orientados por Schwartz

André Martineau Leopoldo Nachbin

Os primeiros alunos orientados por Schwartz

André Martineau Leopoldo Nachbin J. François Treves

Os primeiros alunos orientados por Schwartz

André Martineau Leopoldo Nachbin J. François Treves Andre Unterberger

Os primeiros alunos orientados por Schwartz André Martineau Leopoldo Nachbin J. François Treves Andre Unterberger Alexander Grothendieck

Os primeiros alunos orientados por Schwartz André Martineau Leopoldo Nachbin J. François Treves Andre Unterberger Alexander Grothendieck Jacques-Louis Lions

Os primeiros alunos orientados por Schwartz André Martineau Leopoldo Nachbin J. François Treves Andre Unterberger Alexander Grothendieck Jacques-Louis Lions Bernard Malgrange

Assim começa Schwartz sua autobiografia

Eu sou um matemático, a Matemática preenche a minha vida ...

Em outro ponto, diz:

...sempre quis mudar o mundo. Consagrei uma grande parte de minha vida à política, adotando a "carreira" de intelectual engajado. Mas a Matemática seguiu sendo primordial... Muitas vezes faço política por sentido de dever, mas a política não me interessa: minhas três paixões são a pesquisa, o ensino e a entomologia.

entomologia=ciência que estuda os insetos, no caso de Schwartz sua paixão eram as borboletas.

Introdução

Os modelos fundamentais da Física-Matemática são regidos por equações diferenciais e, são aplicáveis (ao menos a priori) a fenômenos nos quais as variáveis físicas envolvidas sejam funções suficientemente regulares do espaço e do tempo.

Nos fenômenos dinâmicos, isto é, aqueles em que a variável temporal está presente, os elementos físicos envolvidos exibem, frequentemente, descontinuidades essenciais na prática. Assim, por exemplo, uma corda de violino, deslocada em seu ponto médio, vibra inicialmente de acordo com uma lei da forma:

u(x,t) =2−1

2(|x−t−1| + |x+t−1|),

para uma escolha adequada das unidades e do referencial.

A derivada do deslocamento é, portanto, descontínua em

x =1±t.

Como a equação da onda, que rege o movimento da corda é dada essencialmente por

∂2u

= ∂ 2_u

Assim surge a ideia de se obter uma noção generalizada de

diferenciação, que estenda a habitual, e permita derivar

funções que não são deriváveis no sentido clássico, ou seja, no sentido de Fréchet.

Isso junto com a noção de solução generalizada de uma equação diferencial é a origem da Teoria das Distribuições.

Historicamente, a primeira noção de solução generalizada de uma equação diferencial parcial é a de se considerar que tal função seja limite de uma sequência de soluções clássicas da equação. O método foi antecipado por Euler em 1765, durante sua grande polêmica com D’Alembert sobre a solução da corda vibrante (isto é, a equação de ondas unidimensional).

Outra maneira de estender a noção de solução de uma

Equação Diferencial é generalizar a noção de derivada e definir como solução uma função cujas derivadas generalizadas satisfaçam a Equação Diferencial.

Entre os primeiros trabalhos nessa direção podemos citar a noção de derivada simétrica de B. Riemann em 1854.

f_s′(x₀) =lim_h→0f(x0+h) −f(x0−h)

2h .

São quatro as derivadas de Dini no ponto x0 f_s′+(x0),f ′₊ i (x0),f ′₋ s (x0),f ′₋ i (x0), dadas por: f_s′+(x0) =limsuph→0+ f(x0+h) −f(x0) h ; f_i′+(x0) =liminfh→0+ f(x0+h) −f(x0) h ; f_s′−(x0) =limsuph→0− f(x0+h) −f(x0) h ; f_i′−(x0) =liminfh→0− f(x0+h) −f(x0) h .

A criação da Integral de Lebesgue, originou, por outro lado, a noção de derivada em quase todo o ponto.

Porém, o método mais utilizado para estender a noção de solução de uma equação Diferencial de ordem n, consiste em encontrar uma outra Equação ou condição que, para funções de classe Cnseja equivalente à original, mas que, no entanto, tenha sentido para funções mais gerais.

Os objetos que satisfazem a Equação ou condição equivalente se denominam soluções generalizadas da Equação original.

Outro método muito relacionado com o anterior é o chamado

método das funções testes, que é o método básico da Teoria

das Distribuições de Schwartz.

Esse método consiste em multiplicar a Equação Diferencial a estudar, por exemplo P(D)u =0, por uma função teste suficientemente regular com suporte compacto, em um certo domínio, e o resultado se integra por partes:

<P(D)u, ϕ >:= Z

P(D)u·ϕ =0= Z

Observemos que o operador diferencial se transfere à função teste e a equação integro-diferencial resultante, a qual tem que ser satisfeita para todas as funções testes,não supõe nenhuma regularidade da solução.

Definition

SejamΩum conjunto aberto doRn_{e u: Ω → Ruma função}

contínua. Definimos o suporte de u e, escrevemos suppu, ao fecho emΩdo conjunto{x ∈ Ω;u(x) 6=0}.

O método descrito acima e denominado método das funções

testes foi:

O método descrito acima e denominado método das funções

testes foi:

Antecipado por Lagrange em 1761.

O método descrito acima e denominado método das funções

testes foi:

Antecipado por Lagrange em 1761.

Formulado explicitamente por N. Wiener em 1926 Formulado depois por J. leray, S. Sobolev e R. Courant. De fato, a primeira aparição de uma solução generalizada de uma Equação Diferencial em um livro texto tem lugar na edição de 1937 do clássico Methoden der

Um outro importante antecedente das distribuições que está relacionado com o método das funções testes, está no fato de que desde o século XIX, engenheiros, físicos e técnicos vinham usando diferentes cálculos operacionais para resolver facilmente diversos tipos de equações funcionais.

Esses cálculos, que sofriam da falta de rigor matemático, conduziam, em muitos casos, a resultados satisfatórios. A

Teoria das Distribuições trata de estudar e resolver a maior

parte desses problemas, pois constituem um conjunto que se assemelha muito ao universo matemático ideal dos físicos e engenheiros, no qual "tudo vale": as funções são sempre

A Schwartz deve-se a lúcida análise que conduziu à criação de uma teoria sistemática, coerente, muito potente, aplicável à solução de problemas muito diversos.

Espaço das funções testes

Dadosα= (α1, α2,· · · , αn) ∈ Nn e x= (x1,x2,· · · ,xn) ∈ Rn,

representaremos por Dα

o operador derivação de ordemα

definido por Dα = ∂ |α| ∂x1α1∂x2α2· · · ∂xnαn , em que|α| =Pn_i=1αi. Seα= (0,0,· · · ,0), define-se Dαu=u. SejaΩum aberto doRn_. Definition

Definition

Denotaremos por C₀∞(Ω)o conjunto das funçõesϕ: Ω → K

(ondeK_{= Rou}K_{= C) que são infinitamente diferenciáveis}

emΩe que tem suporte compacto, onde o suporte deϕé o fecho do conjunto{x ∈ Ω; ϕ(x) 6=0}emΩ, ou seja,

supp(ϕ) = {x ∈ Ω; ϕ(x) 6=0}Ω.

Example

SejaΩ = Re considere a seguinte função

w(x) = ( e− 1 1−x 2, |x| <1, 0, |x| ≥1.

w é uma função C∞com suporte igual à[−1,1],ou seja, compacto. Desta forma, w ∈C₀∞(Ω).

Dizemos que uma sequência{ϕν} ⊂C₀∞(Ω)converge para

zero, denotandoϕν →0, se, e somente se, existe um

subconjunto compacto K deΩ, tal que:

i) supp(ϕν) ⊂K,∀ ν ∈ N;

ii) Dα

ϕν →0 uniformemente sobre K ,∀α ∈ Nn.

Dizemos que uma sequência{ϕν} ⊂C₀∞(Ω)converge para

ϕ∈C₀∞(Ω)quando a sequência{ϕν − ϕ}converge para zero

no sentido acima definido.

Distribuição sobre um abertoΩ ⊂ Rn

Definition

Definimos como distribuição sobreΩa toda forma linear e contínua emD(Ω). O conjunto de todas as distribuições sobre

Ωé um espaço vetorial, o qual representa-se porD′(Ω), denominado espaço das distribuições sobreΩ.

MunimosD′(Ω)da seguinte noção de convergência: Seja(Tν)

uma sucessão emD′(Ω)e T ∈ D′(Ω). Diremos que Tν →T emD

′

(Ω)se a sequência numérica

Conceito de Derivada Fraca - Sobolev -1936

Antes do Conceito de Derivada no sentido das

Distribuições, introduzido por Schwartz, em meados de 1936

S. Sobolev introduziu o conceito de Derivada Fraca com o objetivo de sanar a falta de regularidade das funções envolvidas numa Equação Diferencial.

Inicialmente, considere u,v definidas num aberto limitadoΩdo

Rn_{, cuja fronteiraΓé regular. Suponhamos que u e v possuam}

derivadas parciais contínuas emΩ = Ω ∪ Γ. Obtemos do Teorema de Gauss:

Se u ou v se anula sobreΓ, da expressão(1)decorre que Z Ω u ∂v ∂xk dx = − Z Ω v ∂u ∂xk dx.

A expressão anterior motivou a definição de derivada fraca dada por Sobolev.

Definition

Denotaremos por L1_loc(Ω)o espaço das (classes de) funções u: Ω → K, ondeK_{= R}ouK_{= C}, tais que|u|é integrável no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K deΩ.

Definition

Uma função u∈L1_loc(Ω)é derivável no sentido fraco emΩ, quando existe uma função v ∈L1_loc(Ω)tal que

Z Ω u(x)∂ϕ(x) ∂xk dx = − Z Ω v(x)ϕ(x)dx, para todaϕ∈ D(Ω). Example

SejaΩ =] −1,1[e u(x) = |x|. De modo a calcularmos a derivada fraca de u(x), devemos calcular a integral

Example Z 1 −1 |x|ϕ′(x)dx = − Z 0 −1 xϕ′(x)dx + Z 1 0 xϕ′(x)dx = −xϕ(x) |0₋₁ + Z 0 −1 ϕ(x)dx+xϕ(x) |1₀− Z 1 0 ϕ(x)dx = − Z 0 −1 signxϕ(x)dx− Z 1 0 signxϕ(x)dx = − Z 1 −1 signxϕ(x)dx, em que signx = |x_x|,x 6=0.

Concluímos então que v(x) =signx ∈L1_loc(] −1,1[)é a derivada fraca de u(x) = |x|.

Embora, o conceito de derivada tenha sido um marco na evolução do conceito de solução de uma equação diferencial, ele apresenta uma grave imperfeição no fato que nem toda função de L1

loc(Ω)possui derivada neste sentido.

Example

SejaΩ =] −1,1[e considere a função u(x) =signx . De modo a calcularmos a derivada fraca de u(x), devemos calcular a integral abaixo para todaϕ∈C₀∞(] −1,1[)

Z 1 −1 signxϕ′(x)dx = − Z 0 −1 ϕ′(x)dx+ Z 1 0 ϕ′(x)dx

Lembrando queϕse anula em−1,1 temos que

Z 1

−1

signxϕ′(x)dx = −2ϕ(0), ∀ϕ ∈C₀∞(] −1,1[).

Resulta que se existisse a derivada fraca de u(x) =signx , seria uma função v ∈L1_loc(] −1,1[)tal que

Example

Z 1

−1

v(x)ϕ(x)dx =2ϕ(0), ∀ϕ ∈C₀∞(] −1,1[).

Demonstra-se, a seguir, a não existência de uma função v nestas condições. De fato, suponha que exista uma

v ∈L1_loc(] −1,1[)verificando a expressão acima para toda

ϕ∈C₀∞(] −1,1[). Resulta que xϕ∈C₀∞(] −1,1[), logo,

Z 1

−1

v(x)xϕ(x)dx =2xϕ|x=0=0,∀ϕ ∈C0∞(] −1,1[).

Example

Resulta, então que

xv(x) =0, quase sempre em] −1,1[.

Logo, v(x) =0 quase sempre em] −1,1[. Como

Z 1 −1 v(x)ϕ(x)dx =2ϕ(0), ∀ϕ ∈C₀∞(] −1,1[), segue que ϕ(0) =0,∀ϕ ∈C₀∞(] −1,1[); o que é um absurdo.

Desta forma concluímos que u(x) =signx não possui derivada fraca em L1_loc(] −1,1[).

Derivada no sentido das Distribuições

No intuito de sanar este tipo de problema, Laurent Schwartz, em meados de 1945, introduziu a noção de derivada no sentido das distribuições, a qual generaliza a noção de derivada formulada por Sobolev, como segue:

Definition

Seja T uma distribuição sobreΩeα∈ Nn_{. A derivada de}

ordemα de T , no sentido das distribuições, é definida por:

Verifica-se que Dα

T é ainda uma distribuição e que o operador Dα

: D′(Ω) → D′(Ω), tal que a cada T associa-se Dα

T , é linear

e contínuo.

Remark

A conclusão é que toda distribuição sobreΩpossui derivada de todas as ordens, derivadas estas que são, também, distribuições sobreΩ. Portanto, a operação de derivação Dα

vive sem problemas no espaçoD′(Ω)das distribuições sobre

Remark

Notemos, ainda, que se u∈L1_loc(Ω)então u∈ D′(Ω)e, desta forma, u possui derivada no sentido das distribuições de todas as ordens.

De fato, seja u∈L1_loc(Ω). Para todaϕ∈ D(Ω)existe a integral

Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx.

Definamos a seguinte forma linear:

<Tu, ϕ(x) >= Z

Ω

Remark

Com efeito, sejaϕν uma sequência deD(Ω)convergente para

ϕemD(Ω). Então: <Tu, ϕν >− <Tu, ϕ >= Z Ω u(x)(ϕnu(x) − ϕ(x))dx ≤ Z K |u(x)||ϕν(x)−ϕ(x)|dx ≤maxx∈K|ϕν(x)−ϕ(x)| Z K |u(x)|dx.

Como a convergência deϕν paraϕem K é uniforme, resulta a

Remark

A seguir mostraremos que Tué univocamente definida por u.

Quando u e v são localmente integráveis emΩe u=v quase sempre emΩ, da definição de Tu decorre que Tu=Tv.

<Tu, ϕ(x) >= Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx,∀ϕ ∈ D(Ω).

Voltemos ao Lema de Du Bois Raymond (Du Bois Raymond:) Seja f ∈L1_loc(Ω)tal queR

Ωf(x)ϕ(x)dx =0,∀ϕ ∈C0∞(Ω), então

f =0 quase sempre emΩ.

Concluímos que se Tu =Tv então u=v .

Uma pergunta natural que surge é a seguinte: Toda

distribuição sobreΩé proveniente de uma função de

L1_loc(Ω)?

A resposta é: Não.

Um exemplo é dado a seguir:

Example

SejaΩum aberto doRne x0∈ Ω. Representemos porδx0 a

forma linear definida emD(Ω)por

< δx0, ϕ >= ϕ(x0), ∀ϕ ∈ D(Ω).

Temos queδx0 é uma distribuição sobreΩ, denominada

Example

Demonstraremos queδx₀ não é definida por uma função

u∈L1_loc(Ω). De fato, suponhamos que exista tal função, então:

Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x0), ∀ϕ ∈ D(Ω).

Tomando|x−x0|2ϕ, esta função pertence àD(Ω), onde |x−x0|representa a distância Euclidiana de x à x0. Portanto,

Z

Ω

u(x)|x−x0|2ϕ(x)dx = |x−x0|2ϕ(x) |x=x0=0,∀ϕ ∈ D(Ω).