4. Escoamento de um Fluido Real

4. Escoamento de um Fluido Real

O escoamento de um fluido real é mais complexo que o de um fluido ideal. A viscosidade dos fluidos reais é responsável pelas forças de atrito entre as partículas fluidas, bem como entre estas e os contornos sólidos. Para que o escoamento ocorra, um trabalho deve ser realizado contra as forças de atrito e, durante este processo, parte da energia mecânica se transforma em calor.

4.1 A experiência de Reynolds

Devido ao efeito da viscosidade, o escoamento de fluidos reais pode ocorrer de dois modos distintos. As características destes dois regimes foram inicialmente observadas por Reynolds (1883) em um dispositivo semelhante ao esquematizado abaixo:

Filamento estreito e paralelo ao eixo do tubo ( Regime laminar) Filamento torna-se ondulado ( Regime crítico) Ondulação aumenta rompendo-se o filamento que se difunde na água (Regime turbulento) Abrindo o regi st ro (aument o da v elocidade)

Tanque de água com paredes de vidro Tinta Tubo de vidro Registro FLU X O

Reynolds generalizou os resultados do seu experimento com a introdução do termo adimensional R_e.

Exemplo

4.1.1

:

Calcular o número de Reynolds no interior de uma

tubulação de 50mm de diâmetro interno que conduz água a uma temperatura de 200_{C (}ν _{= 1,003x 10}-6 _m2_{/s) com velocidade média de 0,9m/s.}

4 , 865 44 /s m 003 001 000 . 0 m 1000 50 s / m 9 , 0 D V R_e = ⋅ ₂ = ν ⋅ =

υ

⋅

=

V

LT

R

_e

Onde:

=

ρ

µ

=

Viscosidade

Cinemática

(m

2

_/s)

=

υ

Dinâmica (kg /m s)

Viscosidade

Massa

Específica (kg/m

3

₎

Velocidade

Média de Fluxo

(m/s)

=

V

=

=

A

Q

Vazão (m

3

/s)

Área de fluxo (m

2

₎

)

(

Reynolds

de

Número

R

_e

=

LT

=

Dimensão Linear Típica

(m) equivalente a quatro vezes

o raio hidráulico do conduto (

4R

_h

),

para o caso dos condutos circulares :

LT = 4R

_h

= D , onde D = diâmetro interno (m)

O tipo de fluxo não se prende exclusivamente ao valor da velocidade, mas ao valor do Número de Reynolds. Para encanamentos comerciais se o escoamento se verificar com R_e superior a 4000, o regime é Turbulento. O escoamento em regime Laminar ocorre, e é estável, para valores do número de Reynolds inferiores a 2000. Entre este valor e 4000, encontra-se uma zona crítica, na qual não se pode determinar com segurança as condições de escoamento.

Tabela 4.1- PROPRIEDADES FÍSICAS DA ÁGUA DOCE, À PRESSÃO ATMOSFÉRICA (g = 9,80665 m/s2₎

NOS CÁLCULOS HABITUAIS DE HIDRÁULICA, NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, QUANDO A TEMPERATURA NÃO É ESPECIFICADA, UTILIZA-SE :

ρ= 1000 kg/m3 γ= 9806 N/m3 ν= 1,003 x 10-6_m2_/s PRESSÃO DE VAPOR TEMPE- RATURA PESO ESPECÍFICO γ MASSA ESPECÍFICA ρ VISCOSIDADE DINÂMICA µ VISCOSIDADE CINEMÁTICA ν TENSÃO SUPERFICIAL σ PV PV/γ MÓDULO DE ELASTICIDADE CÚBICA ε O_{C kN/m}3 _kg/m3 _{N.s /m}2 _m2_{/s N/m kN/m}2 _{mca kN/m}2 0 5 9,805 9,807 999,8 1000,0 1,781x10-3 1,518x10-3 1,785x10 -6 1,519x10-6 0,0756 _0,0749 0,61 _0,87 0,06 _0,09 2,02x10 6 2,06x10 6 10 15 9,804 9,798 999,7 999,1 1,307x10 -3 1,139x10-3 1,306x10 -6 1,139x10-6 0,0742 _0,0735 1,23 _1,70 0,12 _0,17 2,10x10 6 2,15x10 6 20 25 9,789 9,777 998,2 997,0 1,002x10 -3 0,890x10-3 1,003x10 -6 0,893x10-6 0,0728 _0,0720 2,34 _3,17 0,25 _0,33 2,18x10 6 2,22x10 6 30 40 9,764 9,730 995,7 992,2 0,798x10-3 0,653x10-3 0,800x10 -6 0,658x10-6 0,0712 _0,0696 4,24 _7,38 0,44 _0,76 2,25x10 6 2,28x10 6 50 60 9,689 9,642 988,0 983,2 0,547x10-3 0,466x10-3 0,553x10 -6 0,474 x10-6 0,0679 _0,0662 12,33 _19,92 1,26 _2,03 2,29x10 6 2,28x10 6 70 80 9,589 9,530 977,8 971,8 0,404x10 -3 0,354x10-3 0,413x10 -6 0,364x10-6 0,0644 _0,0626 31,16 _47,34 3,20 _4,96 2,25x10 6 2,20x10 6 90 100 9,466 9,399 965,3 958,4 0,315x10 -3 0,282x10-3 0,326x10 -6 0,294x10-6 0,0608 _{0,0589 101,33} 70,10 7,18 _10,3 3 2,14x10 6 2,07x10 6

Exemplo 4.1.2:

Utilize os valores da tabela 4.1 para calcular o valor do número de Reynolds no interior de uma tubulação, de 100mm de diâmetro interno, que conduz água a com velocidade média de 1,5m/s, quando a temperatura passa, sucessivamente, de 10o_{C para 20}o_{C e para 40}o_C.

Respostas: 1,1x105 _{; 1,5x10}5 _{; 2,3x10}5

Exemplo 4.1.3:

Calcular a maior vazão (em m3_{/h) de água, a uma}

temperatura de 200_{C, na qual} ν _{= 1,003x 10}-6 _m2_{/s, no interior de uma tubulação}

de 175mm de diâmetro interno, para que se obtenha fluxo laminar, isto é, para que um número de Reynolds no interior da tubulação seja igual a 2000.

4.2 Equações fundamentais do escoamento de fluidos

incompressíveis em tubos

Conforme visto anteriormente, a equação de Bernoulli para o escoamento de fluidos reais incompressíveis é representada por:

As primeiras experiências (por volta de 1850) sobre o escoamento da água em tubos longos retos e cilíndricos, indicam que a perda de carga varia (aproximadamente) diretamente com a carga cinética (V2_{/2g ) e com o comprimento do tubo (L), e inversamente com}

o diâmetro do tubo (D). Usando um coeficiente de proporcionalidade (f), denominado de fator de atrito, Darcy, Weisback e outros propuseram a seguinte equação para cálculo da perda de carga h_f :

Observações experimentais indicavam que o fator de atrito depende não só do (i) material do tubo mas, também do (ii) diâmetro do tubo, da (iii) velocidade do fluxo e (iv) da viscosidade cinemática do fluido.

Onde, hf_1-2representa a perda de carga ( E1 – E2 = dissipação da energia mecânica da água) entre os pontos 1 e 2.

g

2

V

D

L

f

hf

2

⋅

⋅

=

g V ⋅ 2 2 2 γ1 P Linha de energia

Plano de carga efetivo

Direção do Fluxo:

Maior energia Menor Energia

γ 2 P g 2 V2 1 ⋅ 1 Z Linha piezométrica 2 Z 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 _{2 g} hf V P Z g 2 V P Z + ₋ ⋅ + γ + = ⋅ + γ + 2 1 hf ₋

4.3.1 As experiências de Nikuradse

Para avaliar o efeito da rugosidade relativa (k/D) das

paredes dos tubos sobre o fator de atrito (f), Nikuradse, em 1933, decidiu colar grãos de areia de tamanho uniforme na parede de tubos lisos de

vidro. Desta forma, Nikuradse pode determinar o fator de atrito, sob

condições controladas e bem determinadas de k/D. Os resultados obtidos nesta experiência são ilustrados abaixo:

4.3 Experiências de atrito em tubos.

A análise dimensional do problema do atrito em tubos indica que o fator da atrito (f) depende de dois fatores adimensionais (i) do Número de Reynolds (que engloba o diâmetro do tubo, D, a velocidade, V, e a viscosidade cinemática, ν, do fluido) e (ii) da denominada rugosidade relativa do tubo (k/D), que representa a razão entre os tamanhos das protuberâncias das rugosidades nas paredes dos tubos e o seu diâmetro interno.

0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 103 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 1014 1 Dk = 504 1 Dk = 252 1 Dk = 120 1 Dk = 2 , 61 1 Dk = 30 1 Dk =

Número de Reynolds - R

_e

Coeficiente de atrito

-f

)

D

K

;

D

V

R

(

Função

f

atrito

de

Fator

_e

ν

⋅

=

=

ƒ A diferença física entre o regime de escoamento laminar e o regime de escoamento turbulento é evidenciada pelo contraste na variação de f com Re nas regiões com Re <2000 e Re>4000.

ƒ No regime Laminar (Re < 2000),independentemente da rugosidade relativa (k/D), os valores de f se agrupam em torno de uma única linha, que é caracterizada pela seguinte equação:

ƒ Na região de regime Turbulento (Re>4000) uma curva de f versus Re pode ser feita para cada valor de rugosidade relativa (k/D). No regime turblulento duas regiões podem se identificadas: (i) a região de

turblência de transição, onde o fator f varia com Re e k/D, e (ii) a região de Turbulência completa onde o aspecto horizontal das curvas indica que o fator de atrito é independente de Re.

ƒ Na parte esquerda da zona de transição rugosa , os valores de f, independentemente do valor da rugosidade relativa, se agrupam em torno de uma linha, a chamada linha dos tubos lisos, que é caracterizada pela seguinte equação (fórmula de Von Kárman-Prandtl ):

No diagrama dos resultados experimentais de Nikuradse, os seguintes fatos devem ser observados:

106 Coeficie nte d e atrito f Regime Laminar 103 ₁₀4 ₁₀5 Número de Reynolds Linha dos Tubos Lisos

Turbulê ncia de transiç ão Turbulê ncia co mpleta 2000 4000 Re 64 f =

(

R f

)

-0.8 log 2 f 1 ou f R 512 , 2 log 2 f 1 e e ⋅ ⋅ =       ⋅ ⋅ − =

106 Coeficie nte d e atrito f Regime Lâminar 103 ₁₀4 ₁₀5 Número de Reynolds Linha dos Tubos Lisos

Turbulê ncia de transiç ão Turbulê ncia co mpleta 2000 4000

ƒ A série de curvas de diferentes rugosidades relativas diverge da cuva dos tubos lisos à medida em que Re aumenta . Isto se explica pela

espessura de uma subcamada viscosa, que se forma junto às paredes dos tubos, que decresce a medida em que Re aumenta. Na porção referente a linha dos tubos lisos, a rugosidades paredes fica submersa na subcamada viscosa, de tal forma que a rugosidade não tem efeito significativo sobre o módulo do fator de atrito. A medida que o Número de Reynolds aumenta, causando um decréscimo na espessura da camada viscosa, ocorre uma exposição maior das rugosidades das paredes fazendo que o tubo se comporte como um tubo rugoso.

ƒNa zona de turbulência completa, na qual as curvas correspondentes as diferentes rugosidades relativas são praticamente horizontais, o fator f é calculado pela chamada fórmula de Nikuradse:

ƒ Infelizmente, os resultados excelentes de Nikuradse não podem ser diretamente aplicados aos problemas de Engenharia por as configurações das rugosidades dos tubos comerciais são inteiramente diferentes, mais variáveis e muito menos identificáveis do que as rugosidades artificiais usadas por Nikuradse.

D k log 2 14 , 1 f 1 ou 715 , 3 D / K log 2 f 1       ⋅ − =       ⋅ − =

4.3.2 As experiências de Colebrook e White

ƒ Colebrook e White (1939) apresentaram os resultados de testes efetuados para verificar se os valores de f obtidos por Nikuradse, com grãos de areia, podiam ser aplicados aos tubos comerciais.

ƒ As diferentes curvas de f versus Re apresentadas por Nikuradse foram agrupadas ao redor de uma única curva, quando plotadas em um gráfico de 2 log(k/r)-1/f 1/2 _{versus Re f}1/2_{/(r/k), sendo r o raio interno}

do tubo: -2 10 100 1000 10000 0 -1 -3

ƒOs testes de Colebrook e White com tubos comerciais indicaram que a seguinte equação semi-empíricapode ser utilizada no regime turbulento:

10 100 1000 1 -1 -2 -3 0 `1 Tubos comerciais

Rugosidade artificial: areia uniforme (Nikuradse) Rugosidade artificial: areia não uniforme (Nikuradse)

Valores observados por Nikuradse

(areia)

Turbulência completa

Linha dos tubos Lisos

f R 512 , 2 715 , 3 D K log 2 f 1 e      ⋅ + ⋅ ⋅ − = f R 512 , 2 715 , 3 D K log 2 f 1 e      ⋅ + ⋅ ⋅ − = f R 512 , 2 log 2 f 1 e      ⋅ ⋅ − = 715 , 3 D k log 2 f 1 _      ⋅ ⋅ − =

4.4 Cálculo do Fator de Atrito (f) com o Uso do

Diagrama de Moody.

ƒ Moody (1944), baseado nos estudos de Colebrook e White (1939), mostrou que, apesar dos tubos comerciais não apresentarem uma rugosidade uniforme e facilmente identificável como aquela dos tubos de vidro com grãos de areia, os resultados de Nikuradse podem ser utilizados como indicadores quantitativos da rugosidade equivalente dos tubos comerciais (k).

ƒPara contornar a dificuldade de se trabalhar com a formula de Colebrook e White, Moody apresentou os valores de f em um diagrama de f versus Re, para diferentes valores de rugosidade relativa dos tubos (k/D).

Fator de atrito (f)

Número de Reynolds

Laminar

0.01 0.1

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08

0.05 0.04 0.03 0.02 0.015 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.001 0.0008 0.0004 0.0002 0.0001 0.00005 Tubo liso 0.02 0.03 0.04 0.05 0.07 Crítico Turbulento k/D Rugosidade relati va (k/D)

Transição Turbulência Completa

Zona Crítica

Diagrama de Moody

Tubo Rugoso

Laminar Tubo Liso













⋅

+

⋅

⋅

−

=

f

R

512

,

2

715

,

3

D

k

log

2

f

1

e f R 512 , 2 715 , 3 D k log 2 f 1 e     ⋅ + ⋅ ⋅ − = D 3,715 k log 2 f 1       ⋅ ⋅ − = e R / 64 f = f R 512 , 2 log 2 f 1 e      ⋅ ⋅ − = 200 f R D k e⋅ ⋅≡ ⋅

Deve ficar claro que os valores de rugosidade equivalente (k) dos diversos materiais utilizados para fabricação de tubos comerciais

apresentados em textos de Hidráulica (tabela acima) representam o diâmetro dos grãos de areia que, quando colados uniformemente em um tubo de vidro, com o mesmo diâmetro interno do tubo comercial

considerado, resultaria no mesmo fator de atrito f observado no tubo comercial (f = (hf 2g D) /(L V2_)).

Tabela 4.2: Valores de rugosidade equivalente (k) dos diversos materiais utilizados na fabricação de tubos comerciais (Azevedo Neto):

Menor que 1,0 x10-5 Menor que 1,0 x10-5 Plástico Menor que 1,0 x10-5 Menor que 1,0 x10-5 Vidro 3,0 x10-3 6,0x10-4 Manilhas cerâmicas 2,0x10-4 _{até 1,0x10}-3 Madeiras em aduelas 2,1 x10--3 1,2x10-4

Fero Fundido com revestimento asfáltico 3,0x10-3 _{até 5x10}-3 2,5 x10-4 _{até 5,0x 10}-4 Ferro Fundido 2,4 x 10-3 4,0 x 10-4 _{até 6,0 x 10}-4 Ferro Forjado 1,0x10--3 _{até 2,0x10}-3 Concreto ordinário 3,0x10-4 _{até 1,0x10}-3

Concreto bem acabado

Menor que 1,0 x10-5 Menor que 1,0 x10-5 Cobre ou Latão 2,5x10-5 Cimento Amianto Menor que 1,0 x10-5 Menor que 1,0 x10-5 Chumbo 2,4 x10-3 4,0 x10-5 _{até 6,0x10}-5 Aço soldado 5,0x10-4 _{até 1,2x10}-3 4,0x10-4 Aço revestido 6,0 x10-3 1,0x10-3 _{até 3,0x10}-3 Aço Rebitado 4,6 x10-3 1,5x10-4 _{até 2,0x10}-4 Aço Galvanizado Tubos velhos ** Tubos novos Material

Exemplo4.4.1: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de aço rebitado, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-3 _{m, diâmetro interno}

(D) de 0,30m e 300m de comprimento (L), que conduz 130L/s de água com viscosidade cinemática (ν) de 1,127x 10-6 _m2_/s.

Número de Reynolds 0.01

0.1

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08

Fator de atrito (f) 0.05 0.04 0.03 0.02 0.015 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.001 0.0008 0.0004 0.0002 0.0001 0.00005 Tubo liso 0.02 0.03 0.04 0.05 0.07 Crítico Turbulento k/D Zona Crítica

Diagrama de Moody

Laminar 4.89 x 105 Rugosidade relati va (k/D) 0.038 m 55 , 6 s / m 81 , 9 2 ) s / m 839 , 1 ( m 30 , 0 m 300 038 , 0 g 2 V D L f hf ₂ 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

(

)

0,01 k/D e 10 4,9 Re com MOODY de Diagrama no f 01 , 0 m 30 , 0 m 003 , 0 D k 10 896 , 4 s / m 10 127 , 1 m 30 , 0 s / m 839 , 1 D V Re s / m 839 , 1 m 30 , 0 s / m 130 , 0 4 D Q 4 A Q V 5 5 2 6 2 3 = × = = = × = × ⋅ = ν ⋅ = = ⋅ π ⋅ = ⋅ π ⋅ = = −

Exemplo 4.4.2: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de PVC, com rugosidade absoluta (k) de 2,4x10-6_{m, diâmetro interno (D) de}

0,10m e 100m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade cinemática (ν) de 0,43 x 10-6 _m2_{/s e velocidade (V) de 2,26m/s}

Número de Reynolds 0.01

0.1

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08

Fator de atrito (f) 0.05 0.04 0.03 0.02 0.015 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.001 0.0008 0.0004 0.0002 0.0001 0.00005 Tubo liso 0.02 0.03 0.04 0.05 0.07 Crítico Turbulento k/D Zona Crítica

Diagrama de Moody

Laminar 5,3 x 105 Rugosidade relati va (k/D) 0,013 Tubo liso 0,000024 k/D e 10 5,3 Re com MOODY de Diagrama no f 000024 , 0 m 10 , 0 m 10 x 4 , 2 D k 10 256 , 5 s / m 10 43 , 0 m 10 , 0 s / m 26 , 2 D V Re s / m 26 , 2 V 5 6 5 2 6 = × = = = × = × ⋅ = ν ⋅ = = − − m 38 , 3 s / m 81 , 9 2 ) s / m 26 , 2 ( m 10 , 0 m 100 013 , 0 g 2 V D L f hf ₂ 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Número de Reynolds 0.01

0.1

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08

Fator de atrito (f) 0.05 0.04 0.03 0.02 0.015 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.001 0.0008 0.0004 0.0002 0.0001 0.00005 Tubo liso 0.02 0.03 0.04 0.05 0.07 Crítico Turbulento k/D Zona Crítica

Diagrama de Moody

Laminar 5, x 104 Rugosidade relati va (k/D) 0,041

Exemplo 4.4.3: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de ferro fundido, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-4_{m, diâmetro interno}

(D) de 0,025m e 200m de comprimento (L), que conduz 1L/s de água com viscosidade cinemática (ν) de 1,0x 10-6 _m2_/s.

0.012

(

)

0,012 k/D e 10 5,1 Re com MOODY de Diagrama no f 012 , 0 m 025 , 0 m 0003 , 0 D k 10 093 , 5 s / m 10 0 , 1 m 025 , 0 s / m 037 , 2 D V Re s / m 037 , 2 m 025 , 0 s / m 001 , 0 4 D Q 4 A Q V 4 4 2 6 2 3 = × = = = × = × ⋅ = ν ⋅ = = ⋅ π ⋅ = ⋅ π ⋅ = = − m 37 , 69 s / m 81 , 9 2 ) s / m 037 , 2 ( m 025 , 0 m 200 041 , 0 g 2 V D L f hf ₂ 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

(4.4.6) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando uma redução de apenas 25% no diâmetro interno (D = 0,75m).

Respostas: Re = 1,3x106_{; k/D= 0.0004; f = 0,016; hf = 5,2m}

(4.4.5) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação de 1,5 km de comprimento (L), com 1,0m de diâmetro interno (D), de concreto, com rugosidade k= 3x10-4_{m, que conduz uma vazão (Q) de 790 L/s de um líquido}

com uma viscosidade cinemática (ν) de 1,01 x10-6_m2_/s.

Respostas: Re = 1x106_{; k/D= 0,0003; f = 0,016; hf = 1,2m.}

(4.4.8) Calcule a taxa de perda de carga (J = em m/100m) ao longo de uma tubulação com 100mm de diâmetro interno (D), em material com rugosidade k= 0,15mm, que conduz uma vazão (Q) de 57 m3_{/h de um líquido que}

apresenta uma viscosidade cinemática (ν) de 1,0 x10-6_m2_/s.

Respostas: Re = 2,0x105_{; k/D= 0.0015; f = 0,023; J =4,8 m/100m.}

(4.4.9) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 500 mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 2 x10-4_{m, com 1}

km de comprimento (L), que conduz uma vazão (Q) de 190L/s de água na temperatura de 30o_C.

Respostas=Re=6,0x105_{; k/D=0.0004; f= 0.017; hf=0,8m}

(4.4.10) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 7 mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 1 x10-6_{m, com 5}

m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade cinemática (ν) de 1 x10-6_m2_{/s a uma velocidade de (V) de 0,18m/s.}

Respostas= Re = 1,26 x 103; f=0.051, hf = 0.06m

(4.4.7) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando o dobro da vazão dada (Q =.1580L/s) Respostas: Re = 2x106_{; k/D= 0.0003; f = 0,015; hf = 4,6m}

Mais alguns exemplos :

(4.4.4) Calcule o fator de atrito (f), para as seguintes situações: (a)Re=3 x105_e

k/D= 0,00001; (b) Re=3 x105_{e k/D= 0,0001; (c) Re=3 x10}5_{e k/D= 0,001; (d)}

Re=3 x105_{e k/D= 0.01}

4.5 Fórmulas explicitas para o cálculo do

fator de atrito (f).

Com a introdução das calculadoras programáveis e dos computadores pessoais, algumas formulas explícitas para o cálculo do fator f

poassaram a ser uteis:

Fórmula de Churchill (1974), que pode ser utilizada em qualquer regime de fluxo (Laminar e Turbulento):

Fórmula de Swamee (1993) que pode ser utilizada em qualquer regime de fluxo (Laminar e Turbulento) no limite 0< Re <108

Nota: Ln é o logaritmo Neperiano

(

)

16 e 16 9 , 0 e 12 1 2 3 12 e

R

37530

B

D

k

27

,

0

R

7

1

Ln

457

,

2

A

B

A

1

R

8

8

f













=

























































⋅

+













⋅

=

















+

+













⋅

=

125 , 0 16 6 e 9 , 0 e 8 e R 2500 R 74 , 5 D 7 , 3 K Ln 5 , 9 R 64 f                               −       + ⋅ +       =

4.6 Outros métodos para cálculo da perda de

carga em tubos: As Fórmulas Práticas.

Apesar da

fórmula de Darcy-Weisbach ser o

método recomendado

para cálculo de perda de carga em

tubulações, é muito comum encontrar na literatura especializada referências às chamadas FÓRMULAS PRÁTICAS.

Dentre as centenas, ou milhares, de fórmulas práticas encontradas na literatura, estudaremos apenas três delas: (i) a fórmula de Hazen-Williams, (ii) a fórmula de Flamant, e (iii) a Fórmula de Blasius.

4.6.1 A fórmula de Hazen-Williams (1913)

É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em qualquer tipo de conduto e material. Resultou de um estudo estatístico cuidadoso no qual foram considerados dados dos experimentais de diversas fontes e observações feitas pelos próprios autores. Os seus limites de aplicação são os mais largos : diâmetros de 50 a 300mm e velocidades de até 3m/s. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema Internacional de Unidades a fórmula de Hazen-Williams tem a seguinte apresentação:

Onde: hf = perda de carga, em metros de coluna de água, entre dois pontos da tubulação

Q = Vazão em m3_/s;

C = Coeficiente admensional que depende da natureza (material e estado) das paredes dos tubos (ver Tabela 4.3);

L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em que se deseja calcular a perda de carga hf;

D = diâmetro interno da tubulação (m); 10,643 s1.85_/m 0,68_{= constante empirica.} 87 , 4 85 , 1 68 , 0 85 , 1

D

L

C

Q

m

s

643

,

10

hf



⋅











⋅

=

Tabela 4.3- Valores do Coeficiente C sugeridos para a fórmula de Hazen -Williams

MATERIAL do TUBO NOVOS

USADOS Cerca de 10 Anos USADOS Cerca de 20 Anos

Aço corrugado (chapa ondulada) 60 -

-Aço galvanizado roscado 125 100

-Aço rebitado novos 110 90 80

Aço soldado, comum ( revestido c/ betume)

125 110 90

Aço soldado com revestimento epoxi 140 130 115

Chumbo 130 120 120

Cimento amianto 140 130 120

Cobre 130 135 130

Concreto, bom acabamento 130 -

-Concreto acabamento comum 130 120 110

Ferro fundido , revestido com epoxi 140 130 120

Ferro fundido revestido com cimento 130 120 105

Grés ceramico,vidrado (manilhas) 110 110 110

Latão 130 130 130

Madeira em aduelas 120 120 110

Tijolos, conduto bem executado 100 95 90

Vidro 140 -

4.6.2 A fórmula de Flamant (1892)

É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em tubos de pequeno diâmetro. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema Internacional de Unidades, a Fórmula de Flamant tem a seguinte

apresentação:

Onde: J= hf/L = taxa de perda de carga entre dois pontos da tubulação (em metros/metros);

b = coeficiente que depende da natureza ( material e estado) das paredes dos tubos ( ver tabela abaixo);

V = velocidade média da água em m/s;

L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em que se deseja medir a perda de carga;

D = diâmetro interno da tubulação (m), sendo recomendado observar o limite entre 0,01m e 1,0m.

Os seguintes valores do coeficiente b são utlizados na fórmula de Flamant: b = 0,000 23 s1,75_/m0,5 _{para tubos de ferro ou aço;}

b = 0,000 185 s1,75_/m0,5 _{para tubos novos;}

b = 0,000 185 s1,75_/m0,5 _{para canos de cobre;}

b = 0,000 140 s1,75_/m0,5 _{para canos de chumbo;}

b= 0,000 135 s1,75_/m0,5 _{para canos de PVC (catálogo da tigre)}

4 5 7 4 7

D

V

L

b

4

hf

ou

D

V

b

4

J

D

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

Note que, quando a raiz quarta é eliminada da fórmula de Flamant, a seguinte expressão é obtida :

25 , 1 75 , 1

D

V

L

b

4

hf

=

⋅

⋅

⋅

4.6.3 A fórmula de Blasius (1913)

Em tubos de polietileno de pequeno diâmetro, onde se espera a ocorrência de um regime de fluxo do tipo turbulento liso, pode-se utilizar a fórmula de Blasius, para o fator f da fórmula universal, e um valor fixo da viscosidade cinemática da água (ν= 1,0 x10-6 _m2_{/s), para desenvolver}

uma fórmula simplificada que tem a seguinte representação:

Onde: hf = perda de carga, em metros, entre dois pontos da tubulação k_v= 0,000 5101 s1,75_{/ m}0,5 _{ou 5,101 x 1 0}-4 _s1,75_{/ m}0,5_;

k_Q= 0,000 7785 s1,75_{/ m}0,5 _{ou 7,785 x 1 0}-4 _s1,75_{/ m}0,5_;

Q = vazão da água em m3_/s;

V= Velocidade média da água em m/s;

L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em que se deseja medir a perda de carga;

D = diâmetro interno da tubulação (m)

75 , 4 75 , 1 Q 25 , 1 75 , 1 v

D

Q

K

hf

ou

L

D

V

k

hf

=

⋅

⋅

=

⋅

O valor da constante k_v= 5,101x10-4_s1,75_{/ m}0,5 _{pode ser deduzido através da}

combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e iii) e assumindo, para a

viscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade, os seguintes valores:

ν= 1,0 x10-6 _m2_{/s e g = 9,80665m}2_/s.

(

)

(

)

5 , 0 75 , 1 4 2 25 . 0 25 , 0 x 2 4 2 25 . 0 2 6 25 , 0 25 , 1 75 , 1 25 , 0 2 25 , 0 0,25 e e 2

m

s

10

x

101

,

5

m

s

s

m

10

x

101

,

5

Kv

s

/

m

80665

,

9

2

s

/

m

10

x

1

3164

,

0

g

2

3164

,

0

Kv

L

D

V

g

2

3164

,

0

hf

g

2

V

D

L

D

V

3164

,

0

hf

(iii)

R

0,3164

f

)

ii

(

D

V

R

)

i

(

g

2

V

D

L

f

hf

− − −

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

ν

⋅

=

⋅

⋅

⋅

ν

⋅

=

⋅

⋅

⋅













ν

⋅

=

=

ν

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

4.6.3 A fórmula de Blasius (cont.)

Note que a Fórmula de Blasius tem validade apenas para tubos lisos na faixa de número de Reynolds maior que 4000 e menor que 80 000 (4000 <Re < 80 000)

25 . 0

Re

3164

,

0

f

=

De forma semelhante, o valor da constante K_Q= 7,785x10-4_s1,75_{/ m}0,5_{pode ser}

facilmente determinada através da combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e iii) e assumindo, para a cviscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade, os seguintes valores: ν= 1,0x10-6_m2_{/s e g= 9,80665m}2_/s:

(

)

(

)

5 , 0 75 , 1 4 2 25 , 0 25 , 0 x 2 4 Q 75 , 1 2 25 . 0 2 6 75 , 1 25 , 0 75 , 4 75 , 1 75 , 1 25 , 0 25 , 1 75 , 1 2 25 , 0 25 , 1 75 , 1 25 , 0 2 25 , 0 0,25 e e 2

m

s

10

x

785

,

7

m

s

s

m

10

x

785

,

7

K

4

s

/

m

80665

,

9

2

s

/

m

10

x

1

3164

,

0

4

g

2

3164

,

0

Kv

L

D

Q

4

g

2

3164

,

0

hf

L

D

D

Q

4

g

2

3164

,

0

hf

L

D

V

g

2

3164

,

0

hf

g

2

V

D

L

D

V

3164

,

0

hf

(iii)

R

0,3164

f

)

ii

(

D

V

R

)

i

(

g

2

V

D

L

f

hf

− − −

=

⋅

⋅

=













π

⋅

⋅

⋅

⋅

=













π

⋅

⋅

ν

⋅

=

⋅

⋅













π

⋅

⋅

ν

⋅

=

⋅













⋅

π

⋅

⋅

⋅

ν

⋅

=

⋅

⋅

⋅

ν

⋅

=

⋅

⋅

⋅













ν

⋅

=

=

ν

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

Exemplo 4.6.2. Calcule a perda de carga na tubulação do exercício anterior (tubo de 24 mm de diâmetro de PVC, com k= 0,06mm e 15m de comprimento), considerando uma vazão de

0,37L/s de água com, temperatura de 20o_{C ( v= 1,0 x10}-6_m2_{/s). Compare o valor obtido com o}

abaco de Moody com valores obtidos com as fórmulas de (i) Hazen-Williams (com C=140), (ii) Flamant (com b=0,000 135 s1,75_/m0,5_{) e (iii) Blasius.}

Respostas:Moody ( Re = 2 x104_{; k/D= 0.0025; f = 0,0307; hf =0,66m); Hazen-Williams ( hf= 0,59m); Flamant}

(hf= 0,60m); Blasius (hf = 0,57m).

Exemplo 4.6.1. Calcule a perda de carga em um tubo de 24 mm de diâmetro de PVC (com k= 0,06mm), com 15m de comprimento, no qual escoa um vazão de 0,76 L/s de água com, temperatura de 20o_{C ( v= 1,0 x10}-6_m2_{/s). Compare o valor da perda de carga obtida com o}

diagrama de Moody com valores de perda de carga obtidos com as fórmulas de Churchill (1974), Swamee (1993), de Hazen-Williams com C=140, de Flamant ( com b=0,000 135 s1,75_/m0,5_{), e de}

Blasius.

Respostas: Moody (Re = 4,0 x104_{; k/D= 0.0025, f = 0,0281, hf = 2,53m); Churchill (f = 0,0285; hf = 2,56m);}

Swamee( f = 0,0284, hf= 2,56m); Hazen-Williams ( hf = 2,24m); Flamant ( hf = 2,13m); Blasius (hf (com k_v) = 2,0m, hf (com k_Q) = 2,0m).

Para resolver os exercícios 4.6.3 até 4.6.6 considere os valores de diâmetro interno mostrados pela tabela 4.4 que se refere a tubos PVC rígido para linhas fixas enterradas de sistemas de irrigação localizada (PN40) e sistemas de aspersão semi-portateis (PN-80) .

Tabela 4.4 - Tubos de PVC IRRIGA_LF PN40- PN-80 com Ponta Lisa (PL)

PN40 PN80 Diâmetro Nominal (DN) Diâmetro Externo (DE) Espessura da parede (e) Diâmetro Interno (D) Diâmetro Nominal (DN) Diâmetro Externo (DE) Espessura da parede (e) Diâmetro Interno (D) Mm Mm mm mm mm mm mm mm 35 38,1 1,2 35,7 50 50,6 1,2 48,2 50 50,6 1,9 46,8 75 75,4 1,5 72,4 75 75,4 2,5 70,4 100 101,6 2,0 97,6 100 101,6 3,6 94,4 125 125 2,5 120 150 150 3,0 144

Exemplo 4.6.3. Com base na fórmula de Hazen-Williams, com C =140, e nas dimensões dos tubos IRRIGA LF PN40 dados na tabela 4.4, i) calcule o menor diâmetro comercial de uma adutora, de um único diâmetro, que é capaz de conduzir uma vazão de 25m3_{/h ao longo de uma}

distância de 200m, com uma perda de carga menor do que 6m. ii) calcule também o comprimento e o diâmetro de cada trecho de uma adutora, com dois diâmetros comerciais distintos e sucessivos, que é capaz de conduzir a vazão de 25m3_{/h, ao longo de uma distância de}

200m, com uma perda de carga mais próxima de 8m.

Resposta : i) o diâmetro teórico é 77,3mm e o diâmetro interno comercial imediatamente superior é 97,6mm, que corresponde ao tubo PN40-DN100mm ; ii) Comprimentos teóricos: 128,2m de tubo PN40-DN100 e 71,8m de tubo PN40-DN75mm.