Simulação Numérica de Escoamentos Incompressíveis pelo Método de Elementos Finitos com Esquema de Separação Baseado na Característica (CBS)

Texto

(1)Campus de Ilha Solteira. PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA. Simulação Numérica de Escoamentos Incompressíveis pelo Método de Elementos Finitos com Esquema de Separação Baseado na Característica (CBS). CRISTIANE VITÓRIO OCTAVIANI. Ilha Solteira – S.P 2013.

(2) Campus de Ilha Solteira. Simulação Numérica de Escoamentos Incompressíveis pelo Método de Elementos Finitos com Esquema de Separação Baseado na Característica (CBS). CRISTIANE VITÓRIO OCTAVIANI ORIENTADOR: PROF. DR. JOÃO BATISTA CAMPOS SILVA.. Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, S.P, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Área de Engenharia Mecânica. conhecimento: Ciências Térmicas.. ILHA SOLTEIRA – SP 2013.

(3) FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.. O21s. Octaviani, Cristiane Vitório. Simulação numérica de escoamentos incompressíveis pelo método de elementos finitos com esquema de Separação Baseado na Característica (CBS) / Cristiane Vitório Octaviani. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2013 82 f. : il. Dissertação (mestrado em Engenharia Mecânica) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de Conhecimento: Ciências Térmicas, 2013 Orientador: João Batista Campos Silva. 1. Método de elementos finitos. 2. CBS. 3. Escoamentos incompressíveis. 4. Banco de tubos..

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(5) AGRADECIMENTOS. Agradeço primeiramente a Deus, pela vida, por me propiciar viver tamanha experiência e realizar um sonho. A minha filha Júlia Vitório Octaviani, por ter compreendido a minha ausência nesses anos de estudo. Ao meu marido Roberto César Octaviani, pelo apoio incondicional, compreensão e incentivo. A minha família, pai e mãe que são meus suportes, minha força e meu encorajamento. Aos amigos Unesp – Ilha Solteira que estiveram sempre ao meu lado. Não cito nomes para não ser injusta com pessoas que me auxiliaram até onde já cheguei. Agradeço imensamente ao meu orientador, Prof. Dr. João Batista Campos Silva, pela paciência, apoio e que de forma crucial me auxiliou em todos os aspectos deste trabalho. Agradeço também a CAPES pelo apoio financeiro concedido em forma de bolsa de estudo. Agradeço a todos, professores e funcionários da Unesp, que contribuíram, de certa forma, para o desenvolvimento deste trabalho. A todos que colaboraram direta ou indiretamente para a concretização deste sonho. Para vocês ofereço esta página. Muito obrigada a todos!.

(6) “TALVEZ NÃO TENHA CONSEGUIDO FAZER O MELHOR, MAS LUTEI PARA QUE O MELHOR FOSSE FEITO. NÃO SOU O QUE DEVERIA SER, MAS GRAÇAS A DEUS, NÃO SOU O QUE ERA ANTES” MARTHIN LUTHER KING.

(7) RESUMO. A simulação computacional de escoamentos de fluidos ou dinâmica de fluidos computacional (CFD) tem se constituído cada vez mais em uma ferramenta muito útil no projeto de equipamentos nos quais este tipo de processo está presente. Diversas técnicas computacionais têm sido desenvolvidas para este fim. Entre estas técnicas, o método de elementos finitos (FEM) tem ganhado espaço na solução de problemas, principalmente em domínios complexos. O método clássico de elementos finitos também denominado de método de elementos finitos de Galerkin (GFEM) é ótimo para solução de problemas difusivos, entretanto, para o caso de problemas com convecção dominante como ocorre em muitos problemas de escoamentos de fluidos, o GFEM produz soluções oscilantes para altos números de Reynolds. Diversas técnicas têm sido associadas à discretização dos termos convectivos nas equações de Navier-Stokes para remediar a deficiência do GFEM. Uma destas técnicas é denominada na literatura de Chracteristic Based Split (CBS) e tem sido aplicada com sucesso para estabilização das soluções de problemas convectivos usando o GFEM. Neste trabalho, o GFEM associado ao esquema CBS será aplicado para simulação de casos de escoamentos bidimensionais.. Palavras-Chave: Método de elementos finitos. CBS. Escoamentos incompressíveis. Banco de tubos..

(8) ABSTRACT. The computer simulation of fluid flow or computational fluid dynamics (CFD) has been constituted in an increasingly useful tool in the design of equipment where this type of process is present. Several computational techniques have been developed for this purpose. Among those techniques, the finite element method (FEM) has gained importance in solving problems, especially in complex domains. The classic method of finite elements also called Galerkin finite element method (GFEM) is optimal for solving diffusion problems, however, in case of problems with dominant convection as in many problems of fluid flow, the GFEM produces oscillating solutions for high Reynolds numbers. Several techniques have been associated with the discretization of the convective terms in the Navier-Stokes equations to remedy the deficiency of GFEM. One of those techniques is known in the literature as Chracteristic Based Split (CBS) and has been applied successfully to stabilize the GFEM when it is used to solve convective problems. In this work, the GFEM associated with CBS scheme is applied to simulation of two-dimensional flows. Keywords: Finite elements method. CBS. Incompressible flow. Tube bank..

(9) LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS. CBS. Characteristic Based Split;. CFD. Computacional Fluid Dynamics. CGM. Método do Gradiente Conjugado. FEM. Método de Elementos Finitos. GFEM. Galerkin Finite Element Method (Métodos de Elementos Finitos de Galerkin). GLS. Galerkin Least Squares (Galerkin Mínimos Quadrados). LES. Large Eddy Simulation (Simulação de Grandes Escalas). LCG. Locally Conservative Galerkin. LSFEM. Least Squares Finite Element Method. Pe. Número de Peclet. Pr. Número de Prandtl. RANS. Reynolds averaged Navier-Stokes. SGS. Subgrid Scale. URANS. Unsteady RANS. WRM. Weight Residual Method (Métodos dos Resíduos Ponderados). SIGLAS. DEM. Departamento de Engenharia Mecânica. FEIS. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. UNESP. Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”.

(10) LISTA DE SÍMBOLOS Latinos. B. matriz da derivada da função de aproximação elementar. c. velocidade do som. FT. matriz relacionada às condições de contorno. g. aceleração da gravidade [m/s2]. G. matriz auxiliar. h. dimensão do elemento. H. matriz auxiliar. k. constante difusiva genérica. Ku. matriz auxiliar. KT. matriz auxiliar. K. matriz dos coeficientes. Mp. matriz auxiliar. Mu. matriz auxiliar. N. matriz da função de aproximação elementar. Nu. número de Nusselt [Nu=h H / k ]. p. pressão adimensional. P. pressão [Pa ]. P. matriz auxiliar. Q. termo fonte genérico. t. tempo adimensional. td. tração correspondente à tensão normal. tp. tração correspondente à pressão. T. temperatura [K ]. Tf. temperatura mínima de referência (fria) [K ]. Tq. temperatura máxima de referência (quente) [K ]. u. velocidade na direção x. u0. velocidade de referência. . ui. média dos valores de ui ao longo da característica. U. velocidade adimensional na direção.

(11) v. velocidade na direção y. V. velocidade adimensional. xˆ. direção característica unidimensional. Gregos. . difusividade térmica. . fator de compressibilidade artificial. . comprimento da linha de corrente durante o instante de tempo. T. diferença de temperatura de referência. . variação da propriedade que o acompanha. . propriedade genérica. . representação da superfície de controle. v. viscosidade cinemática [m/s]. temperatura adimensional. , 1 , 2 fatores, entre 0 e 1, que determinam o esquema de discretização no tempo. massa específica [kg/m3].

(12). representação do domínio. Sobrescritos. n. instante atual. n+1. instante posterior. n . instante intermediário. -. valor médio. +. variável auxiliar. *. variável auxiliar.

(13) Subscritos. conv. convectivo. diff. difusivo. i,j,k. notação tensorial. l. direção do eixo xl. ref. valor referencial. temp. refere-se à tempo. u. associado ao campo de velocidades. p. associado ao campo de pressões.

(14) SUMÁRIO 1 1.1 1.2 1.3. INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 102 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ...................................................................................... 12 OUTROS TRABALHOS SOBRE APLICAÇÃO DO ESQUEMA CBS ...................... 14 OBJETIVOS .................................................................................................................. 15. 2 2.1 2.2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA............................................................................. 16 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ................................................................................ 16 FORMA ADIMENSIONAL DAS EQUAÇÕES .......................................................... 17. 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.7.1 3.8 3.8.1 3.9 3.10. O ESQUEMA DE SEPARAÇÃO BASEADO NA CARACTERÍSTICA - CBS ... 18 O ESQUEMA ................................................................................................................ 18 O PROCEDIMENTO DIRETO DE GALERKIN CARACTERÍSTICO ...................... 19 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL .................................................................................... 30 CÁLCULO DO PASSO DE TEMPO ............................................................................ 40 CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL ................................................................ 42 ESQUEMA CBS-AC LIVRE DE MATRIZ .................................................................. 43 ESQUEMA CBS SEMI-IMPLÍCITO ............................................................................ 44 MÉTODO DO GRADIENTE CONJUGADO PRÉ - CONDICIONADO ....................... 44 A RESTRIÇÃO DA FORMULAÇÃO MISTA ............................................................ 44 A FORMA CBS DE LIU ................................................................................................. 45 CONVERGÊNCIA PARA O REGIME PERMANENTE ............................................ 48 PROCEDIMENTO GERAL DE SOLUÇÃO ................................................................ 48. 4 4.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DE RESULTADOS DO ESQUEMA CBS.... 50 BANCO DE TUBOS ..................................................................................................... 50 RAZÃO DE ASPECTO (RA) 1,25 ................................................................................. 51 RAZÃO 1,5 ..................................................................................................................... 59 RAZÃO 2,0 ..................................................................................................................... 65. 5 5.1. ESCOAMENTO NUM CANAL COM UMA OBSTRUÇÃO ................................. 72 RESULTADOS E DISCUSSÕES. ................................................................................ 73. 6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ..................... 79 REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 80.

(15) 12. 1 INTRODUÇÃO. 1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS. A simulação numérica ou modelagem computacional, em mecânica de fluidos e transferência de calor, teve um grande crescimento nos últimos 30 anos, fruto principalmente dos avanços no desenvolvimento de computadores e das técnicas de solução. Com isso, a simulação numérica constitui-se em uma ferramenta poderosa para a solução de problemas em diversas áreas, inclusive nas engenharias. A versatilidade e a relativa simplicidade de aplicação desses métodos implicaram em uma sensível diminuição dos trabalhos em laboratórios e, consequentemente, dos custos. Por conta disso, essa área está em franca expansão, com aplicação no desenvolvimento de produtos industriais e pesquisas científicas básicas e aplicadas. Entretanto, sua aplicação a um problema depende, na maioria das vezes, da solução de equações diferenciais que o representam. Em problemas bidimensionais, esse procedimento depende da solução de equações diferenciais parciais, onde são comumente utilizados os métodos de elementos finitos entre outros. O método de elementos finitos clássico é conhecido como método de elementos finitos de Galerkin (GFEM). O GFEM apresenta soluções oscilantes quando aplicado para problemas com convecção dominante. O remédio para sanar esta deficiência é a utilização de técnicas de estabilização. O método Petrov-Galerkin que utiliza uma técnica tipo upwind é uma maneira de estabilizar o FEM em problemas com convecção dominante. Existem várias outras técnicas de estabilização na literatura. No contexto do presente trabalho será estudada a técnica de separação baseada na característica (CBS). O algoritmo CBS, baseado a princípio na remoção de todos os termos de pressão das equações de Navier-Stokes, leva a uma solução não singular para qualquer função de interpolação usada para velocidade e pressão. No segundo passo deste algoritmo, a pressão é obtida através de uma equação de Poisson e finalmente, as componentes de velocidade intermediária obtidas no primeiro passo, são corrigidas para se obter as componentes de velocidade finais que satisfazem a equação de continuidade. (LIU, 2005). No caso específico do método dos elementos finitos, é comum o uso tanto do método das características como a solução acoplada por meio do esquema de compressibilidade artificial. Embora essas técnicas sejam conhecidas há algum tempo, o seu uso só teve um aumento significativo, principalmente a partir do trabalho apresentado por Massaroti,.

(16) 13. Nithiarasu e Zienkiewicz (1998). Neste trabalho se mostrou uma série de soluções que apresentavam boa concordância com diversos estudos experimentais e teóricos realizados anteriormente. Dessa forma, os autores já o consideravam um método muito promissor e com boas possibilidades de utilização em problemas mais complexos. Dando sequência ao desenvolvimento do modelo, Zienkiewicz et al. (1999), apresentam inovações que permitiam substituir o método de Taylor-Galerkin (ou LaxWendroff), utilizados para solução de escoamentos compressíveis. Esse novo algoritmo, então denominado CBS, foi aplicado para uma grande variedade de situações, incluindo escoamentos completamente incompressíveis e escoamentos com superfície livre. Utilizando-se da discretização de Galerkin e dos métodos de elementos finitos, os autores mostram os passos da resolução, as formulações utilizadas e avaliações do método, entre outras informações. Essa metodologia, a partir desse seu maior detalhamento, serviu como base de desenvolvimento para diversas pesquisas no mundo inteiro, que contribuíram para divulgar o novo modelo. Nesse mesmo período, destaca-se, ainda, outro trabalho de Nithiarasu e Zienkiewicz (2000) no qual são apresentadas as técnicas de estabilização com os passos de tempo. Neste caso, o principal foco residia nos escoamentos incompressíveis e na aceleração convectiva, utilizando o algoritmo CBS. Os modelos foram novamente testados para o caso da cavidade recirculante e, assim, foi possível uma avaliação dos resultados obtidos com a nova técnica. Simulações numéricas para escoamentos instáveis têm sido realizadas em malhas não estruturadas com elementos triangulares lineares. Com o esquema CBS é possível usar o método de elementos finitos de Galerkin para problemas convectivos dominantes e obter soluções sem oscilações nos resultados. Os resultados de alguns casos testados mostram que a formulação CBS é eficiente e precisa como provado por Liu (2005). Os campos de velocidade e pressão podem ser interpolados por funções de mesma ordem, sem qualquer oscilação no campo de pressão não tendo a restrição (LBB) para as funções de interpolação. A motivação principal para este trabalho é o estudo do esquema CBS, com a finalidade de simular, numericamente através de computadores, casos de escoamentos incompressíveis de fluidos viscosos. Existe um código computacional base disponível para problemas bidimensionais, no trabalho de Taylor, Nithiarasu e Setharamu (2004) que será utilizado para as simulações computacionais..

(17) 14. 1.2 OUTROS TRABALHOS SOBRE APLICAÇÃO DO ESQUEMA CBS. Codina (2001) analisou a estabilidade do método de elementos finitos usando passo fracionado para escoamentos incompressíveis que usam a equação de Poisson para a pressão. Para o método de projeção clássico de primeira ordem, foi mostrado que há um controle da pressão que depende do tamanho do passo de tempo e, além disso, existe um limite bem menor para este em virtude da estabilidade. A situação piora para o método de segunda ordem em que parte do gradiente de pressão é englobado na equação do momento. A estabilidade da pressão, neste caso, é extremamente fraca. Para superar estas deficiências foi considerado um método de elementos finitos que oferece uma solução numérica para problemas de escoamentos em regime não permanente. Este método tem sido implementado para resolver escoamentos turbulentos incompressíveis, pela solução das equações médias de Reynolds (RANS) para o caso de regime permanente e (URANS) para o caso de regime não permanete. O esquema CBS semi-implícito o qual requer um procedimento de solução de matriz para solução da equação implícita de Poisson, foi implementado usando a técnica de passo fracionado e analisou-se sua estabilidade. A fim de dar suporte aos resultados teóricos, vários exemplos numéricos simples foram apresentados. Para a solução de escoamento compressível e incompressível, o esquema CBS foi inicialmente apresentado por Zienkiewicz e Codina (1995). O esquema CBS tem sido expandido para investigar outras aplicações, por exemplo, dinâmica dos sólidos, escoamento em águas rasas e escoamentos térmicos em meios porosos. Contudo, recentemente tem sido combinado com método padrão AC (Compressibilidade Artificial) para se obter um procedimento eficiente do método explícito livre de matriz, segundo Liu (2005). Embora o algoritmo CBS já tivesse sido utilizado com sucesso em problemas de escoamento turbulento e com elevados valores do número de Reynolds, modelos de turbulência ainda não haviam sido testados. Notando-se essa lacuna, Liu (2005) apresentou um algoritmo utilizando compressibilidade artificial e o algoritmo CBS para fluxos contínuos e com instabilidades de turbulência que pode ser aplicado a escoamentos incompressíveis. Testes realizados pelos autor demonstraram o sucesso da aplicação do modelo k , aumentando assim, a gama de uso de variações do algoritmo CBS. A questão conservativa também foi abordada no trabalho de Nithiarasu e Zienkiewicz (2006). Neste estudo, foi realizada uma análise do método explícito para fluidos incompressíveis utilizando o algoritmo CBS, empregando tanto a forma conservativa como a não conservativa. A estabilização, convergência e aspectos de conservação do presente.

(18) 15. método foram discutidas. Um procedimento para a eliminação de erros de primeira ordem no tempo foi proposto. Os resultados foram comparados com resultados de outros métodos tendo apresentado uma boa concordância. Nesta mesma linha, Massarotti et al. (2006) apresentaram em seu trabalho uma comparação dos métodos explícitos e semi-implícitos do algoritmo CBS - AC. O estudo mostrou que os dois métodos apresentaram bons resultados. Todas as soluções para o estado estacionário se mostraram praticamente idênticas, especialmente para problemas de convecção natural. Entretanto, a aplicação do método explícito em problemas desta natureza apresenta alguns problemas de convergência e forças de flutuações extremamente altas. Na solução de problemas transientes notam-se algumas diferenças com relação ao incremento de tempo utilizado em cada situação. Em relação a outros métodos de solução, Thomas e Nithiarasu (2007) comparam dois métodos: o método LCG (locally conservative Galerkin) e o método GG (Global Galerkin). Ao final do trabalho, pode-se concluir que ambos os métodos são praticamente idênticos, exceto pelo fato do LCG ter taxas de convergência maiores. Ampliando o método LCG, Thomas, Nithiarasu e Bevan (2007) resolveram as equações de Navier-Stokes para escoamento incompressível. Além da implementação do método, dois exemplos de referência foram apresentados para demonstrar a validade do método.. 1.3 OBJETIVOS. O presente trabalho tem os seguintes objetivos principais: - continuar estudos e aprendizado do esquema CBS na estabilização do método de elementos finitos de Galerkin, iniciados em trabalhos anteriores; - entender aspectos de implementação computacional do esquema CBS; - aplicar um código computacional baseado no GFEM-CBS para simulação de escoamentos de fluidos com e sem transferência de calor, em domínios bidimensionais, com o intuito de testar seu desempenho; - o estudo tem como foco principal as geometrias de bancos de tubo e canais com restrições..

(19) 16. 2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA As formulações utilizadas neste trabalho tiveram como base os procedimentos descritos por Zienkiewicz e Taylor (2000) e por Lewis, Nithiarasu, Seetharamu, (2004). O modelo semi-implícito, utilizado nas duas formulações, foi baseado no trabalho de Liu e Nithiarasu (2006). Neste capítulo será abordado o modelo matemático para escoamentos incompressíveis.. 2.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA. As equações governantes de escoamentos incompressíveis de fluidos Newtonianos são as equações de Navier-Stokes que podem ser escritas em notação tensorial como a seguir: Equações do escoamento. u i 0 xi . t. ui . (1) . . u j ui . x j. . p . xi x j. ui x j. Sui . (2). Equações de transporte de um escalar. u j . S t x j x j x j . (3). Nas equações (1) a (3), ui representa os componentes de velocidade ao longo dos eixos coordenados xi; p é a pressão; é a massa específica; é a viscosidade dinâmica e é uma propriedade física que depende de qual variável está sendo transportada; S ui e S são termos fonte que podem englobar outros termos, inclusive diferenciais, não escritos explicitamente..

(20) 17. 2.2 FORMA ADIMENSIONAL DAS EQUAÇÕES. A forma adimensional das equações governantes depende da natureza do escoamento e pode ser obtida, no caso de escoamentos incompressíveis, pela utilização das seguintes escalas:. ui* . ui x. ; * ; * ; * ; xi* i ; u L (4). t* . tu * p ;p ; * 2 L u w . onde * indica quantidades adimensionais, o subscrito representa as quantidades na corrente livre, L é um comprimento de referência e w refere-se ao valor na parede. As equações de Navier-Stokes e a equação de uma variável escalar, na forma adimensional, com U i *ui* e eliminando o asterisco nas demais variáveis adimensionais, podem ser escritas como. U i U i p 1 uj. t x j xi Re x j. u i xj. Si . (5). U i 0 xi. (6). uj Q t x j x j x j . (7). No caso em a variável transportada na Eq. (7) seja a temperatura, o coeficiente de difusão será: / RePr .. (8).

(21) 18. 3 O ESQUEMA DE SEPARAÇÃO BASEADO NA CARACTERÍSTICA – CBS Neste capítulo é apresentado o método de separação baseado na característica (CBS) que se constitui num método de estabilização que possibilita a aplicação do método de elementos finitos de Galerkin para resolução das equações de Navier-Stokes sem oscilações nos campos de pressão e de velocidade.. 3.1 O ESQUEMA. Em todas as áreas de dinâmica dos fluidos os métodos baseados na característica são bastante empregados. Dois textos que apresentam este método são: Zienkiewicz e Taylor (2000) e Lewis, Nithiarasu e Seetharamu (2004). Este esquema é uma maneira de se estabilizar o método clássico de Galerkin, visto que esta vertente apresenta soluções oscilantes quando aplicada para solução de problemas com convecção como processo dominante. Um código computacional do esquema CBS foi desenvolvido e constitui o capítulo 9 de Zienkiewicz e Taylor (2000). Uma descrição deste esquema é apresentada a seguir.. Figura 1 – Característica linear. Fonte: Lewis, Nithiarasu e Seetharamu (2004).

(22) 19. 3.2 O PROCEDIMENTO DIRETO DE GALERKIN CARACTERÍSTICO Para demonstrar o método de CG, consideremos a equação de convecção-difusão unidimensional. u1 k Q 0 t x1 x1 x1 . (9). Consideremos uma direção característica do escoamento, como mostrado na figura 3.1 no domínio espaço-tempo. Durante o intervalo t a partícula desloca-se de x1 x1 para x1 ao longo da direção característica. Se um movimento de coordenadas é assumido ao longo do caminho característico, com velocidade de u1 , os termos convectivos da equação 9 desaparecem. Embora esta abordagem elimine o termo convectivo responsável pela oscilação espacial quando discretizado no espaço, a complicação de um sistema de coordenadas em movimento x1' é introduzida na equação 9, a qual torna-se. ' x1 , t ' k ' 0 t x1 x1 . (10). A forma semi-discreta da equação acima, pode ser escrita como. n 1 x n 1. x1 x1. t. ' k ' x1 x1 . n x1 x1. 0. (11). Com referência a figura 3.1, podemos escrever usando uma expansão em série de Taylor da variável na posição x1 x1 como se segue:. n. x1 x1. n. x1. . n x1 2 x12. ... x1 1! x12 2!. (12). O termo difusivo também é expandido como segue. k x1' x1' . n. k x1 x1 x1 x1 . n. n k x ... x1 x1 x1 x1 !. Substituindo as equações 12 e 13 na equação 11, obtemos. (13).

(23) 20. n 1 n t. x n x12 2 n 1. k t x1 2t x12 x1 x1 . n. (14). Neste caso, todos os termos são avaliados na posição x1 . Se a velocidade do escoamento é u1 , podemos escrever x1 u1t . Substituindo na equação 14, obtemos a forma semi-discreta como. n 1 n t. 2 n n 2 t u1 u1. k 2 x1 x1 x1 2 x1. n. (15). Através da realização de uma expansão da série de Taylor (ver figura 3.1), reaparece o termo convectivo na equação, juntamente com um termo de segunda ordem adicional. Os termos de segunda ordem atuam como um operador de suavização que reduz as oscilações decorrentes da discretização espacial dos termos de convecção. A extensão do esquema característico de Galerkin para uma equação de convecçãodifusão multidimensional de escalares é simples. A equação bidimensional de convecçãodifusão sem o termo fonte é escrita, como segue:. u1 u2 k k t x1 x2 x1 x1 x1 x2 . (16). Aplicando o procedimento Galerkin característico na equação acima, obtemos:. n 1 n t. n. n. n n u1 u2. k k x1 x2 x1 x1 x1 x2 n. t t u1 u2 u2 u1 u2 u1 x1 x2 ! x1 x2 ! 2 x1 2 x2. n. (17). Assumindo uma variação linear dentro de um elemento, tal como mostrado na figura 2, podemos interpolar a variável como. N ii N j j N kk " N #$ %. (18).

(24) 21. Figura 2 – Elemento triangular linear para duas dimensões. Fonte: Lewis, Nithiarasu e Seetharamu (2004). As funções de interpolação, associadas ao elemento mostrado na figura 2, são:. 1 ai bi x ci y 2A 1 Nj a j bj x c j y 2A 1 Nk ak bk x ck y 2A Ni . (19). nas quais os coeficientes são definidos como a seguir. ai =x j yk xk y j ;. bi y j yk ;. ci xk x j. a j =xk yi xi yk ;. b j yk - yi ;. c j i xi xk. ak =xi y j x j yi ;. bk yi y j ;. ck x j xi. Empregando o método de resíduos ponderados de Galerkin, nós obtemos. (20).

(25) 22. & "N #. T. n 1 n t.

(26). d

(27) & " N # u1 T.

(28). T n n d

(29) & " N # u2 d

(30)

(31) x1 x2. n. n. T k d

(32) &

(33) " N # k d

(34) x1 x1 x2 x2 . +& " N #. T.

(35). (21). n. T t u1 & " N # u2 u1 d

(36)

(37) 2 x1 x1 x2 !. n. T t u2 & " N # u2 u1 d

(38)

(39) 2 x2 x1 x2 !. A equação (21) é válida globalmente. Em substituição à aproximação espacial global para a variável escalar na equação (21), obtemos. & "N # "N # T.

(40). $ % $ % d

(41) n 1. n. t. +& " N #. T.

(42). "N # & " N # u x $% T.

(43). n. 1. 1. d

(44) & " N # u2 T.

(45). "N # x2. $ %. n. d

(46) . T "N # "N # n n k $ % d

(47) &

(48) " N # k $ % d

(49) x1 x1 x2 x2 "N # "N # t T n n u1 & " N # u1 $ % u2 $ % d

(50) x1 x2 2

(51) x1 ! "N # "N # t T n n u2 & " N # $ % u2 $ % d

(52) u1 2

(53) x1 x2 x2 !. (22). A equação (22) é válida somente se todas as contribuições de elementos em um domínio de elementos finitos são construídas. As matrizes elementares são derivadas, aplicando a fórmula de integração sobre elementos triangulares lineares:. &N. a i. N bj N kc d

(54) .

(55). a !b!c !2 A a b c 2 !. (23). e para a integral de linha:. &N . a i. N bj N kc d . a !b !c !2 a b c 1!. (24).

(56) 23. onde A é a área de um elemento triangular e é o comprimento do contorno. Aplicando as fórmulas anteriores, obtém-se as equações da seguinte forma: A matriz de massa é:. 2 1 1 A " M e # & " N # " N # d

(57) 1 2 1 12

(58) 1 1 2! T. (25). A matriz convectiva é:. bi "N # "N # u1 u2 "Ce # & " N # u1 d

(59) bi x x 6 1 2

(60) bi T. bj bj bj. bk u bk 2 6 bk !. ci ci ci. cj cj cj. ck ck ck !. (26). onde. bi y j yk ;. ci xk x j. b j yk yi ;. c j xi xk. bk yi y j ;. ck x j xi. (27). O termo de difusão pode ser integrado após a aplicação do Teorema de Green. A matriz de difusão para os elementos dentro do domínio é bi2 " N #T " N # " N #T " N # k d

(61) k k b j bi. " K1e # & 4A x1 x1 x2 x2

(62) bk bi. A matriz de estabilização é:. bi b j b 2j bk b j. ci2 bi bk k b j bk c j ci 4A 2 bk ! ck ci. ci c j c 2j ck c j. ci ck c j ck ck2 !. (28).

(63) 24. " K1e # u1. T T "N # "N # "N # "N # t d

(64) & u2 d

(65) & u1 2

(66) x1 x1 x1 x2 !

(67). T T "N # "N # "N # "N # t d

(68) & u2 d

(69) u2 & u1 2

(70) x2 x1 x2 x2 !

(71). u1bi2 u2bi ci u t 1 u1b j bi u2b j ci 4A 2 u1bk bi u2bk ci. u1bi b j u2bi c j u1b 2j u2b j c j u1bk b j u2bk c j. u1bibk u2bi ck u1b j bk u2b j ck u1bk2 u2bk ck !. u1ci bi u2ci2 u t 2 u1c j bi u2c j ci 4A 2 u1ck bi u2ck ci. u1cib j u2ci c j u1c j b j u2c 2j u1ck b j u2ck c j. u1cibk u2ci ck u1c j bk u2c j ck u1ck bk u2ck2 !. (29). Os vetores força ao longo do contorno (assumindo ij no contorno) são:. " f1e # k & " N #. N x1. bii k bii 4A . b j j b j j 0. T. . " f 2e # u1 u2. d n1 k & " N #. $ %. T. n. . bkk cii bkk n1 k cii 4A !. T t N u1 " N # & 2 x1. T t N u1 " N # & 2 x1. $ %. n. $ %. n. u2. u1. N x2. $ %. c j j c j j 0. n. d n2 . ckk ckk n2 !. T t N u2 " N # & 2 x2. T t N u2 " N # & 2 x2. (30). $ %. n. $ %. n. d n1 . d n2 . ui bii b j j bkk u2 cii c j j ckk u t 1 ui bii b j j bkk u2 cii c j j ckk n1 2A 2 2 0 ! n. ui bii b j j bkk u2 cii c j j ckk u t 2 ui bii b j j bkk u2 cii c j j ckk n2 2A 2 2 0 ! n. (31).

(72) 25. A fim de aplicar o procedimento de Galerkin Característico, para escoamentos incompressíveis, considera-se as equações que regem os escoamentos em duas dimensões, que podem ser escritas como seguem. Equação da Continuidade u1 u2. 0 x1 x2. (32). Equação da Quantidade de Movimento em x1. 2u 2u u1 u u 1 p u1 1 u2 1 ' 21 2 12 x1 t x1 x2 x1 u2 . (33). Equação da Quantidade de Movimento em x2. 2u 2u u2 u u 1 p u1 2 u2 2 ' 22 22 x2 t x1 x2 x2 x1. (34). Equação da Energia Térmica. 2T 2T T T T u1 u2 2 2 t x1 x2 x1 x2 . (35). Através das aplicações das etapas seguintes, será possível a obtenção da solução para a equação de transferência de calor por convecção.. Passo 1 Neste passo será realizada a remoção dos termos de pressão das equações (33) e (34). As equações das velocidades intermediárias, na forma semi-discreta, são escritas da seguinte forma: Equação da Quantidade de Movimento Intermediário em x1. 2u 2u u1 u1n u n u n u1 1 u2 1 ' 21 21 t x1 x2 x2 x1. n. (36).

(73) 26. Equação da Quantidade de Movimento Intermediário em x2. 2u 2u u n u n u2 u2n u1 2 u2 2 ' 22 22 t x1 x2 x2 x1. (37). onde, u1 e u2 são variáveis do momentum intermediário. Podemos aplicar agora o sistema Galerkin Característico nas equações (36) e (37), obtendo a forma semi-discreta das mesmas, como segue: Equação da Quantidade de Movimento Intermediário em x1 n. 2u1 2u1 u1 u1n u1n u1n u1 u2 ' 2 2 t x1 x2 x2 x1 (38). u1. u u t u t u u2 u2 u1 u2 u1 2 x1 2 x2 x1 x2 ! x1 x2 ! n 1. n 1. n 1. n 1. Equação da Quantidade de Movimento Intermediário em x2 n. 2u 2 2u 2 u2 u2 n u2 n u2 n u1 u2 ' 2 2 t x1 x2 x2 x1 (39). u1. u2 n u2 n t u2 n t u2 n u u u u. 2 2 1 2 2 x1 2 x1 x1 x2 ! x2. Passo 2 Cálculo da Pressão O campo de pressão é calculado a partir de uma equação Poisson. A equação é derivada porque as velocidades intermediárias do primeiro passo precisam ser corrigidas. Se as correções de pressão não forem removidas na equação da quantidade de movimento, as velocidades corretas são obtidas, porém, com a perda de algumas vantagens. A forma semidiscreta das equações da quantidade de movimento, sem a remoção dos termos de pressão são:.

(74) 27. Forma Semi-Discreta da Equação da Quantidade de Movimento Intermediário e x1 n. 2u1 2u1 1 p n u1n 1 u1n u1n u1n u1 u2 ' 2 2 . t x1 x2 x2 x1 x1 (40). u1. u1n 1 p n u1n 1 p n t u1n t u1n u u u u u. 2 2 1 2 1 2 x1 2 x2 x1 x2 x1 ! x1 x2 x1 !. Forma Semi-Discreta da Equação da Quantidade de Movimento Intermediário e x2 n. 2u 2u 1 p n u2n 1 u2 n u n u n u1n 2 u2n 2 ' 22 22 . t x1 x2 x2 x2 x1 n n 1 p n n t n u2 n 1 p n t n u2 n n u2 n u2 u u u u u u1n. 1 2 1 2 2 2 x1 2 x2 x1 x2 x2 ! x1 x2 x2 !. (41). O campo de velocidade real pode ser obtido se utilizarmos as equações acima. Subtraindo as equações (38) da (40) e (39) de (41) resultará nas equações abaixo: n. u1n 1 u1 t 1 p t 1 p 1 p pn u1 u2 t x1 2 x1 x1 2 x2 x1 . n. (42) n. u2 n 1 u2 t 1 p t 1 p pn 1 p u1 u2 t x2 2 x1 x1 2 x2 x2 . n. Observe que, se as condições de pressão podem ser calculadas a partir de outra fonte, as velocidades intermediárias do Passo 1 podem ser corrigidas utilizando a equação (42), contudo, uma equação de pressão independente é necessária, a fim de substituir os valores da equação acima. Isto será realizado através da equação de continuidade se diferenciar a primeira equação em relação à x1 e a segunda equação em relação à x2 (desprezando os termos de 3ª ordem) e somando as equações resultantes, temos:. u1n 1 u2n 1 u1 u2 t t 2 p 2 p . 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 . n. (43).

(75) 28. Equação de continuidade, u1n 1 u2n 1. 0 x1 x2. (44). Substituindo a equação (44) na equação (43), obtemos a equação da pressão, como vemos a seguir: n. 1 2 p 2 p 1 u1 u2 . 2 2 x1 x2 t x1 x2 . (45). Note que, não existe condições transientes ou convecção na equação acima. Aqui um método de solução de sistemas lineares de equações será necessário, a fim de obter uma solução para esta equação.. Passo 3 Correção da Velocidade A correção da velocidade já foi obtida na equação (42) no passo anterior. Isto implica que a pressão e o campo de velocidade intermediário são escritos como: n. u1n 1 u1 p n 1 p 1 p 1 p u1 u2 t x1 x1 x2 x1 x1. n. (46) n. u2n 1 u2 1 p p n 1 p 1 p u1 u2 t x1 x1 x2 x2 x2. n. Os termos de ordem superior podem ser excluídos, visto que, esses termos pouco influenciam sobre a correção da velocidade, Chum-Bin-Liu (2005).. Passo 4 Cálculo da Temperatura Aplicando o procedimento de Galerkin Característico para a equação da temperatura, temos:.

(76) 29. n. 2T 2T T n 1 T n T n T n u1 u2 2 2 t x1 x2 x1 x2 (47). u1. t T n T n t T n T n u u u u u. 2 2 1 2 1 2 x1 2 x2 x1 x2 ! x1 x2 !. Todas as quatro etapas anteriores são resumidas a seguir.. Passo 1 Equação da Quantidade de Movimento Intermediário em x1 n. 2u 2u u n u n u1 u1n u1 1 u2 1 ' 21 21 t x1 x2 x2 x1. (48). n. u u t u1 t u1 u1 u2 1 u2 u2 1 u1 u1 x1 x2 ! x1 x2 ! 2 x1 2 x2. n. Equação da Quantidade de Movimento Intermediário em x2 n. 2u 2u u n u n u2 u2n u1 2 u2 2 ' 22 22 t x1 x2 x2 x1 (49) n. u u t u2 t u2 u1 u2 2 u2 u2 2 u1 u1 x1 x2 ! x1 x2 ! 2 x1 2 x2. n. Passo 2 Cálculo da Equação da Pressão n. 1 2 p 2 p 1 u1 u2 . 2 2 x1 x2 t x1 x2 . (50).

(77) 30. Passo 3 Correção da Velocidade n. u1n 1 u1 t 1 p t 1 p 1 p pn u1 u2 t x1 2 x1 x1 2 x2 x1 . n. (51) n. u2n 1 u2 p n t 1 p t 1 p 1 p u1 u2 t x2 2 x1 x1 2 x2 x2 . n. Passo 4 Cálculo da Temperatura n. 2T 2T T n T n T n 1 T n u1 u2 2 2 t x1 x2 x1 x2 (52) n. t T T t T T u1 u2 u2 u1 u2 u1 x1 x2 ! x1 x2 ! 2 x1 2 x2. n. Concluímos a discretização temporal do esquema CBS.. 3.3 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL. Assumem-se funções de interpolação lineares para todas variáveis. Considerando o elemento triangular, como mostra a figura, as interpolações das variáveis podem ser escritas:. u1 Ni u1i N j u1 j N k u1k " N #$u1% u2 Ni u2i N j u2 j N k u2 k " N #$u2 % (53). p Ni pi N j p j N k pk " N #$ p% T NiTi N jT j N kTk " N #$T %.

(78) 31. Aplicando o método de Galerkin, às equações (48) a (50) e (52), obtém-se o seguinte conjunto de equações:. &.

(79). "N #. T. n 1 T T u1n u1n u n u n d

(80) & " N # u1 1 d

(81) & " N # u2 1 d

(82)

(83)

(84) t x1 x2 n. +& " N #. T.

(85). n. T u u1 1 ' d

(86) &

(87) " N # ' d

(88) x1 x1 x2 x2 . (54). n. T u u t u1 & " N # u1 1 u2 1 d

(89)

(90) 2 x1 x1 x2 !. T u1 u t u2 & " N # u2 1 d

(91) u1

(92) 2 x2 x1 x2 !. n. &

(93) " N #. T. n 1 T T u2n u2n u n u n d

(94) & " N # u1 2 d

(95) & " N # u2 2 d

(96)

(97)

(98) t x1 x2 n. n. T u u2 2 ' d

(99) &

(100) " N # ' d

(101) x1 x1 x2 x2 . +& " N #. T.

(102). (55). n. T u2 u t u1 & " N # u2 2 d

(103) u1

(104) 2 x1 x1 x2 ! n. T u u t u1 2 u2 2 d

(105) u2 & " N #

(106) 2 x2 x1 x2 !. &"N #. T.

(107). &

(108) " N #. T. p n p n u 1 T u1 2 d

(109) d

(110) & " N # t

(111) x1 x2 ! x1 x1 x2 x2 !. (56). T T T n 1 T n T n T n d

(112) & " N # u1 d

(113) & " N # u2 d

(114)

(115)

(116) t x1 x2 n. +& " N #. T.

(117). n. T T T d

(118) &

(119) " N # d

(120) x1 x1 x2 x2 n. T t T T u1 & " N # u1 u2 d

(121)

(122) 2 x1 x1 x2 ! n. T t T T u2 & " N # u2 u1 d

(123)

(124) 2 x2 x1 x2 !. Substituindo as funções de interpolação da equação (53), resulta nas equações a seguir.. (57).

(125) 32. &

(126) " N # " N # T. $u1%. n 1. $u1%. n. t. d

(127) u1 & " N #. T.

(128). & "N #. T.

(129). T. $u2 %. n 1. t T u1 " N # 2

(130) &. $u2 %. n. t. T. &"N #.

(131). d

(132) u2 & " N #. T. "N # x2.

(133). $u1%. n. d

(134) . (58). "N # x1. "N # "N # n n $u1% u2 $u1% d

(135) u1 x1 x2 x2 !. $u2 %. n. d

(136) u2 & " N #. T.

(137). "N # x2. $u2 %. n. d

(138) . T "N # "N # n n ' $u2 % d

(139) &

(140) " N # ' $u2 % d

(141) x1 x1 x2 x2 . (59). "N # "N # t T n n u1 & " N # u1 $u2 % u2 $u2 % d

(142) x1 x2 2

(143) x1 !. T. t T u2 " N # 2

(144) &. T.

(145).

(146). n. "N # "N # n n $u1% u2 $u1% d

(147) u1 x1 x2 x1 !. d

(148) u1 & " N #. & "N #. x1. $u1%. T "N # "N # n n ' $u1% d

(149) &

(150) " N # ' $u1% d

(151) x1 x1 x2 x2 . &

(152) " N # " N #. "N #. t T u2 " N # 2

(153) &. "N # "N # n n $u2 % u2 $u2 % d

(154) u1 x1 x2 x2 !. " N # n " N # ( ) "N # 1 * n T "N # n n * $u1% $ p% + & " N # $u2 % d

(155) , t * x1 x2 ! x1 x1 x2 x2 ! * -

(156) .. (60).

(157) 33. &

(158) " N # " N # T. $T % $T % d

(159) n 1. n. t. T.

(160). n. 1. 1. d

(161) & " N # u2 T.

(162). "N # x2. $T %. n. d

(163) . T "N # "N # n n $T % d

(164) &

(165) " N # $T % d

(166) x1 x1 x2 x2 . & "N #. T.

(167). "N # & " N # u x $T %. t T u1 " N # 2

(168) &. (61). "N # "N # n n $T % u2 $T % d

(169) u1 x x x 1 1 2 !. "N # "N # t T n n u2 & " N # $T % u2 $T % d

(170) u1 2

(171) x1 x2 x2 !. Integrando por partes os termos de segunda ordem nas Equações (58) a (61), se obtém a forma fracas das equações, temos. & "N # "N # T.

(172). $u1%. n 1. $u1%. t. n. T "N # "N # n d

(173) & " N # u1 u2 $u1% d

(174)

(175) x x 1 2 . n " N #T " N # " N #T " N # u n T u $u1% d

(176) & ' " N # 1 n1 1 n2 d & ' .

(177) x1 x1 x2 x2 x2 x1 . . " N #T t u1 & 2

(178) x1. "N # "N # n n $u1% u2 $u1% d

(179) u1 x1 x2 !. . " N #T t u2 & 2

(180) x2. "N # "N # n n $u1% u2 $u1% d

(181) u1 x1 x2 !. u u t u u T " N # u1 u1 1 u2 1 n1 u2 u1 1 u2 1 n2 d & x2 ! x2 ! 2 x1 x1. (62).

(182) 34. & "N # "N # T.

(183). $u2 %. n 1. $u2 %. t. n. T "N # "N # n d

(184) & " N # u1 u2 $u2 % d

(185)

(186) x x 1 2 . n " N #T " N # " N #T " N # u2 n T u2 $u2 % d

(187) & ' " N # n1 n2 d & ' .

(188) x1 x1 x2 x2 x2 x1 . . " N #T t u1 & 2

(189) x1. "N # "N # n n $u2 % u2 $u2 % d

(190) u1 x1 x2 !. . " N #T " N # "N # t n n u2 & $u2 % u2 $u2 % d

(191) u1 x1 x2 2

(192) x2 !. u u t u u T " N # u1 u1 2 u2 2 n1 u2 u1 2 u2 2 n2 d & x2 ! x2 ! 2 x1 x1. " N #T " N # " N #T " N # T n &

(193) x1 x1 x2 x2 $ p% d

(194) & " N # !. (63). p p n1 n2 d x1 x2 !. (64) . ) T "N # "N # 1 *( n n $u1% $u2 % d

(195) *, + &

(196) " N # t -* x1 x2 ! .*.

(197) 35. &

(198) " N # " N # T. T "N # "N # T n 1 T n n u2 d

(199) & " N # u1 T% d

(200) $

(201) t x1 x2 . T "N # "N # "N # "N # T T n & . T% d

(202) & " N # n1 n2 d $

(203) x x x x x x 1 1 2 2 1 2 . " N #T " N # " N # t n u1 & u2 u1 $T % d

(204) x1 x2 2

(205) x1 ! " N #T t u2 & 2

(206) x2. "N # " N # n u2 u1 $T % d

(207) x1 x2 !. n T T t T + u1 & " N # u1 u2 n1d 2

(208) x2 x1 !. (65) n T T t T + u2 & " N # u1 u2 n2 d 2

(209) x2 x1 !. Numa forma matricial, num dado elemento, as equações (62) a (65) ficam na forma:. 1 1 n 1 n n n n n n " M e #$u1% " M e #$u1% "Ce #$u1% " K1e #$u1% " K2e #$u1% $ f11e % $ f12e % t t. (66). 1 1 n 1 n n n n n n " M e #$u2 % " M e #$u2 % "Ce #$u2 % " K1e #$u2 % " K2e #$u2 % $ f 21e % $ f 22e % t t. (67). K pe ! $ p% $ f pe %. (68). 1 1 n 1 n n n n n n " M e #$T % " M e #$T % "Ce #$T % " K1e #$T % " K2e #$T % $ fTe % $ fTe % t t. (69). n. n. As matrizes de convecção, difusão e outras matrizes são muito semelhantes às do caso para a equação de convecção-difusão, no entanto, a diferença aqui é que as velocidades de convecção não são constantes. Além disso, a não-linearidade é introduzida nos ternos.

(210) 36. convectivos da equação do momentum. As matrizes de elementos seguintes surgem do esquema CBS após a discretização espacial:. 2 1 1 A " M e # 1 2 1 12 1 1 2 !. (70). Matriz de Convecção Elementar usu u1i bi 1 "Ce # usu u1 j bi 24 usu u1k bi. . usu u1i b j usu u1i bk . vsu u2i ci 1 usu u1 j bk vsu u2 j ci 24 usu u1k bk ! vsu u2k ci. usu u b 1j. j. usu u1k b j. . . vsu u2i c j vsu u2i ck . vsu u c vsu u c 2j. j. vsu u2k c j. 2j. k. vsu u2k ck !. (71). Na Equação (71) tem-se. usu u1i u1 j u1k vsu u2i u2 j u2 k. (72). Duas matrizes de difusão são necessárias para problemas de transferência de calor por convecção, uma para a equação da quantidade de movimento e outra para a equação de temperatura, como seguem abaixo. " N #T " N # " N #T " N # . v v " K1e # & x1 x1 x2 x2

(211) 2 2 bi ci bi b j bi bk ci c j ci ck v v b j bi b 2j b j bk c j ci c 2j c j ck 4A 4A bk bi bk b j bk2 ck ci ck c j ck2 ! !. (73).

(212) 37. " N #T " N # " N #T. " K1e # & x1 x1 x2

(213) bi2 bi b j bi bk ci2 b j bi b 2j b j bk c j ci 4A 4A 2 bk bi bk b j bk ck ci !. "N # x2 ci c j c 2j ck c j. ci ck c j ck ck2 !. (74). A matriz de estabilização é dada por T T "N # "N # "N # "N # t u1 & u1 d

(214) & u2 d

(215) x1 x1 x1 x2 2

(216) !

(217). (75) T T "N # "N # "N # "N # t u2 & u1 d

(218) & u2 d

(219) x2 x1 x2 x2 2

(220) !

(221). K. T T u t u " N # " N # d

(222) u " N # " N # d

(223) 1 1 2 & & 2e ! 2

(224) x1 x1 x1 x2 !

(225). u2. T T "N # "N # "N # "N # t & u1 d

(226) & u2 d

(227) 2

(228) x2 x1 x2 x2 !

(229). bi2 u1av usu b j bi 12 A bk bi. bi b j b 2j bk b j. bi ci bi bk u1av b j bk vsu b j ci 12A bk ci bk2 !. bi c j bjc j bk c j. bi ck b j ck bk ck !. ci bi u2 av + usu c j bi 12 A ck bi. ci b j c jbj ck b j. ci2 ci bk u c j bk 2 av vsu c j ci 12A ck ci ck bk !. ci c j c 2j ck c j. ci ck c j ck ck2 !. (76). onde u1av e u2av são valores médios de u1 e u2 sobre um elemento. A discretização dos passos CBS requerem mais três matrizes e quatro vetores de termos independentes para concluir o processo. A matriz dos termos discretizados de segunda ordem para o passo 2 é:.

(230) 38. " N #T " N # " N #T " N # K pe ! & d

(231). p p x1 x1 x2 x2

(232) . bi2 1 K pe ! b j bi 4 A bk bi. bi b j b 2j bk b j. ci2 bi bk 1 b j bk c j ci 4 A 2 ck ci bk !. ci c j c 2j ck c j. (77). ci ck c j ck c ck2 !. (78). A matriz de gradiente na direção x1 é:. bi 1 "G1 # bi 6 bi. bj bj bj. bk bk bk !. (79). A matriz de gradiente na direção x2 é:. ci 1 "G2 # ci 6 ci. cj cj cj. ck ck ck !. (80). Os vetores de termos independentes são os resultados da aplicação do teorema de Green para as derivadas de segunda ordem da equação diferencial. O vetor força na direção x1 da equação da quantidade de movimento é: Ni Ni " Ni # N j ! " N k # " Ni # N j ! " N k # n n $u1% d n 1 ' & N j $u1% d n2 $ f1% ' & N j 2 x1 x1 x1 x2 x2 x2 ! ! 0 ! 0 ! n. bi u1i b j u1 j bk u1k ' bi u1i b j u1 j bk u1k n1 ' 4A 4A 0 !. n. ciu1i c j u1 j ck u1k ciu1i c j u1 j ck u1k n2 0 !. note que ij é assumido como o lado ij de um elemento.. (81).

(233) 39. O vetor força da direção x2 da equação da quantidade de movimento é: Ni Ni " Ni # N j ! " N k # " Ni # N j ! " N k # n n $u2 % d n2 ' & N j $u2 % d n2 $ f2 % ' & N j x1 x1 x1 x2 x2 x2 ! ! 0 ! 0 ! n. n. ci u2i c j u2 j ck u2 k bi u2i b j u2 j bk u2 k ' bi u2i b j u2 j bk u2 k n1 ' ci u2i c j u2 j ck u2 k n2 4A 4A 0 0 ! !. (82). O vetor força, a partir da discretização dos termos de segunda ordem da pressão no passo 2 é:. $f % pe. . ) T "N # "N # 1 ( n n * $u1% $u2 % d

(234) *, + &

(235) " N # t * x1 x2 * ! .. (83). n. n. bi pi b j p j bk pk ci pi c j p j ck pk $ f pe % 4 A bi pi bj p j bk pk n1 4 A ci pi c j p j ck pk n2 ! ! 0 0. (84). Finalmente, o termo força, devido à discretização dos termos de segunda ordem, na equação da energia é: n. n. bT ciTi c jT j ck Tk i i b jT j bk Tk ciTi c jT j ckTk n2 $ f 4 % bT i i b jT j bk Tk n1 4A 4A ! ! 0 0. (85). Os quatro passos do esquema CBS serão reescritos, agora, na forma matricial. Passo 1 Cálculo da velocidade intermediária na direção x1. "M #. $u1% t. "C #$u1% " K m #$u1% " K s #$u1% $ f1% n. n. n. (86). Cálculo da velocidade intermediária na direção x2. "M #. $u2 % t. "C #$u2 % " K m #$u2 % " K s #$u2 % $ f 2 % n. n. n. (87).

(236) 40. Passo 2 Cálculo da pressão. " K #$ p%. n. . 1 "G1 #$u1% "G2 #$u2 %! $ f3 % t. (88). Passo 3 Correção da Velocidade. " M #$u1%. " M #$u1% t "G1 #$ p%. n 1. n. (89). " M #$u2 %. n 1. " M #$u2 % t "G2 #$ p%. n. Passo 4 Cálculo da Temperatura. "M #. $T % t. "C #$T % " Kt #$T % " K s #$T % $ f 4 % n. n. n. (90). Os quatro passos acima são a base do esquema CBS para a solução das equações de convecção de calor. Pode se usar a matriz de massa [M] concentrada para simplificar a solução.. 4 0 0 1 0 0 A A " M Le # 0 4 0 0 1 0 12 3 0 0 4! 0 0 1 !. (91). 3.4 CÁLCULO DO PASSO DE TEMPO. O passo de tempo local em cada nó é calculado como se segue: t min tc , td . (92).

(237) 41. O passo de tempo de convecção tc é escrito como:. t c . h u (93). t d . 2. h 2k. onde tc e td são os passos de tempo baseados nos processos de convecção e difusão. Os passos de tempo de difusão contêm duas partes. Uma função da viscosidade cinemática e outro para a difusividade térmica do fluido. O passo de tempo de difusão pode ser expresso como:. h2 h2 td min , 2v 2 . (94). onde v é a viscosidade cinemática e a difusividade térmica. Figura 3 – Elemento Triangular Linear. Fonte: Lewis, Nithiarasu e Seetharamu (2004). Um procedimento simples para calcular o tamanho de elemento em duas dimensões é:. 2 Areai h min li. , i 1, número de elementos ligados ao nó . (95).

(238) 42. onde, Areai é a área dos elementos ligados ao nó e li é o comprimento dos lados opostos como mostrado na Figura 3.. 3.5 CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL. As principais condições de contorno que prevalecem em problemas de convecção de calor são: pressão, temperatura e velocidade (condições de Dirichlet) e condição de contorno do fluxo (condição de Neumann). Outras possibilidades podem ser derivadas de tais condições. Valores prescritos: Se um valor de cada componente da velocidade, da temperatura ou da pressão é dado em um nó na fronteira, o valor será "forçado" nestes nós. Condições de fluxos: Em um cálculo da transferência de calor, é possível ter as condições de calor prescritas, que são normalmente fornecidos como. k. T q n. (96). onde n é a direção perpendicular à superfície na qual o limite do escoamento estabelecido é imposto. A condição do escoamento de calor é aplicada, reorganizando. $ f 4 % da equação 85. como a seguir. 1 $ f 4 % q 1 2 0 !. (97). Em muitas aplicações de transferência de calor industrial, condição de contorno e transferência de calor por convecção, são comuns. Se a fronteira, como mostrado na Figura 4, está convectada para a atmosfera, então, a condição de contorno sobre esta parede pode ser expressa por:. k. T hc T Ta n. (98).

(239) 43. Em que, a temperatura T na parede é desconhecida. A implementação é feita, substituindo q da Equação (96) no lado direito da equação (98). No entanto, T deve ser considerado desconhecido e deve ser avaliado em cada passo de tempo. Figura 4 – Exemplo de Condição de Contorno por Convecção. Fonte: Lewis, Nithiarasu e Seetharamu (2004). As condições iniciais, que descrevem o estado inicial do fluido (temperatura, pressão, velocidade e outras propriedades), são empregadas no início dos cálculos e são dependentes de cada problema.. 3.6 ESQUEMA CBS-AC LIVRE DE MATRIZ. Liu (2005) mostra que a discretização da pressão pode ser escrita numa forma genérica como: n. 1 1 2 p 2 c c . n. p. n 1. pn (99). U nj 2 pn U *j 2 p t 1 t 1 2 x j x j x j x j x j x j. !. onde c é a velocidade do som. Na equação (99) assume-se que mudanças de densidade são relacionadas com mudanças de pressão para compressibilidade pequena ou deformação elástica e que c se aproxima do infinito para escoamentos incompressíveis..

(240) 44. 3.7 ESQUEMA CBS SEMI-IMPLÍCITO. A única diferença entre o esquema CBS-AC livre de matriz e o CBS esquema semi-implícito é a solução da equação de pressão de Poisson efetuada no segundo caso. Este esquema é obtido pela substituição 1 1 e 2 1 com a velocidade da onda acústica c aproximando-se do infinito. Assim a equação (99) pode ser reescrita como: * 2 p n 1 1 U j x j x j t x j. (100). é aplicado neste método.. onde o passo de tempo crítico t h u j. 3.7.1 MÉTODO DO GRADIENTE CONJUGADO PRÉ - CONDICIONADO. O requisito de grande capacidade de armazenamento é a maior desvantagem do esquema CBS semi-implícito, especialmente em escoamentos tridimensionais, com um sistema esparso de equações lineares. Entretanto, um método iterativo, tipo gradiente conjugado pré-condicionado, pode reduzir as dificuldades associadas com a esparsidade da matriz. Este método constrói o residual dos vetores, que são conjugados e o gradiente de um minimizador funcional quadrático. A matriz pré-condicionada torna a convergência mais rápida dependendo do número de condição da matriz, definido como:. 0. onde. /max /min. (101). /max e /min são os autovalores máximo e mínimo da matriz.. 3.8 A RESTRIÇÃO DA FORMULAÇÃO MISTA. Em muitos problemas de interesse, a densidade permanece aproximadamente constante. Este comportamento é chamado incompressibilidade. O comportamento de escoamento incompressível é geralmente definido usando ambos os parâmetros, velocidade u.

(241) 45. e pressão p . Aqui formulações mistas são frequentemente empregadas na literatura de elementos finitos. A maioria das formas mistas do método de Galerkin resultam em equações discretas, que podem usualmente ser escritas como segue, na forma de matriz global.. K G T u~ f1 f2 ! G M ! ~p !. (102). onde u~ é a variável primária discreta e ~p é a variável de restrição discreta (equivalente ao multiplicador lagrangeano). A matriz G é o operador gradiente discreto, K e M são matrizes quadradas simétricas n 1 n . K é positiva definida e M é definida negativa ou zero, que depende do tipo de discretização empregada. f1 e f 2 são termos fontes. Nesta seção seguinte, é apresentada a forma de evitar a restrição de estabilidade LBB que faz com que no caso de matriz de massa nula (M = 0) vários elementos úteis não possam ser empregados, pois resultam em oscilações do campo de pressão e consequente não convergência do campo de velocidade.. 3.8.1 A FORMA CBS DE LIU. Na discretização de Liu (2005), usando o esquema CBS, as equações resultantes, já discretizadas notempo e espaço, tem a forma: Passo1 Quantidade de Movimento Intermediário. . . . U * M 1t C U K u f t K U u u u u ! 2. n. (103). Passo 2 Pressão. M. p. . . . . t 2 1 2 H p t GU U K2 u f u t K uU !. Passo 3 Correção da Quantidade de Movimento. n. (104).

(242) 46. " . ~ ~ U U * M u1 t G T ~ p n 2 ~ p. #. (105). Passo 4 Correção da Temperatura. T MT1t CT T KtT KsT fT !. n. (106). onde:. M u & N uT N u d

(243) ; K2 & BT e I o mmT Bd