Método das Forças - Exemplo de aplicação em Vigas.pdf

Exemplos de Aplicação em Vigas

Exemplos de Aplicação em Vigas

EXEMPLO1: Analise a viga da figura por meio do Método das Forças considerando EXEMPLO1: Analise a viga da figura por meio do Método das Forças considerando como incógnita redundante o momento fletor no apoio B. Despreze o efeito das como incógnita redundante o momento fletor no apoio B. Despreze o efeito das deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes.

deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes.

Figura 1 – Viga contínua Figura 1 – Viga contínua

Figura 2 – Estrutura

Figura 2 – Estrutura isostática fundamentalisostática fundamental

Propriedades geométricas da seção Propriedades geométricas da seção

4 4 3 3 3 3 10 10 08333 08333 ,, 2 2 12 12 )) 50 50 ,, 0 0 (( 20 20 ,, 0 0

m

m

 I 

 I 

 I 

 I 

 _{BC  BC  BC BC}  −− ⋅⋅ = =

⇒

⇒

⋅⋅ = =

 I 

 I 

 I 

 I 

 I 

 I 

 I 

 I 

 _AB AB ==22,,744744⋅⋅  _BC  BC 

⇒

⇒

_ABAB ==22,,744744⋅⋅

Módulo de elasticidade constante: E = constante Módulo de elasticidade constante: E = constante

Fase L Fase L Figura 3 – Fase L Figura 3 – Fase L 4 4 3 3 3 3 10 10 71667 71667 ,, 5 5 12 12 )) 70 70 ,, 0 0 (( 20 20 ,, 0 0

m

m

 I 

 I 

 I 

 I 

 _{AB AB ABAB} −−

⋅⋅ = =

⇒

⇒

⋅⋅ = =

Figura 4 – Diagrama de momento fletor – Fase L

∫

+

∫

=  AB BC   L  L QL

_EI 

dx

m

 M 

EI 

dx

m

 M 

 D

1 1 1

EI 

EI 

 I 

E 

 D

_QL ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 5 6 ) 2 5 ( 2 3 48 24 ) 5 ( 20 ) 744 , 2 ( 24 ) 8 ( 20 3 3 1

EI 

 D

EI 

EI 

EI 

 D

_QL1=155,49+104,167+67,20

⇒

_QL1=326,857 Fase 1 Figura 5 – Fase 1

Figura 6 – Diagrama de momento fletor – Fase 1

∫

∫

+ =  BC   AB

EI 

dx

m

EI 

dx

m

F 

2 1 2 1 11 ) ( ) (

EI 

F 

EI 

 I 

E 

F 

2,6385 3 5 1 ) 744 , 2 ( 3 8 1 11 11

⇒

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Cálculo da redundante 0 D Q F D_QL1 + _{11 1} = _Q1 =

⇒

= + _Q QL FQ D D

kNm

Q

EI 

Q

EI 

0 123,88 6385 , 2 857 , 326 1 1 − =

⇒

= ⋅ +

Cálculo dos esforços nas barras

kN 

V 

V 

kN 

V 

V 

kN 

V 

V 

kN 

V 

V 

 A C   BD  BD  BE   BE   A  A 02 , 54 0 88 , 123 3 48 2 ) 5 ( 20 5 98 , 93 0 88 , 123 2 48 2 ) 5 ( 20 5 49 , 95 0 88 , 123 2 ) 8 ( 20 8 52 , 64 0 88 , 123 2 ) 8 ( 20 8 2 2 2 2 =

⇒

= + ⋅ − ⋅ − ⋅ =

⇒

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ =

⇒

= − ⋅ − ⋅ =

⇒

= + ⋅ − ⋅

Pontos de cortante nulo Vão AB

m

 X 

 X 

 _AB 0 _AB 3,23 20 52 , 64 − ⋅ =

⇒

= Vão BC

kN 

V 

kN 

V 

 ME   MD 98 , 33 48 2 20 02 , 54 02 , 14 2 20 02 , 54 = + ⋅ + − = − = ⋅ + − =

(Logo tem-se que a força cortante muda de sinal sob o ponto M) Pontos de momento máximo

Vão AB

kNm

 M 

 M 

 _{MÁX   MÁX}  104,05 2 ) 23 , 3 ( 20 52 , 64 23 , 3 2 =

⇒

⋅ − ⋅ =

Vão BC (sob o ponto M)

kNm

 M 

 M 

 _{MÁX   MÁX}  68,05 2 ) 2 ( 20 2 02 , 54 2 =

⇒

⋅ − ⋅ =

V 

_C 

Diagrama de esforços solicitantes

Figura 7 – Diagrama de força cortante

EXEMPLO2: Analise a viga da figura através do Método das Forças considerando como incógnitas redundantes os momentos fletores nos apoios A e B. Despreze o efeito das deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes.

Dado: EI constante em todos os vãos da viga.

Figura 9 – Viga contínua

Figura 10 – Estrutura isostática fundamental

Fase L

Figura 11 – Fase L

∫

∫

+

∫

+ = CD  L  AB BC   L  L QL

EI 

dx

m

 M 

EI 

dx

m

 M 

EI 

dx

m

 M 

 D

1 1 1 1

EI 

 D

EI 

 D

_{QL QL} 108 24 ) 6 ( 12 1 3 1

⇒

= ⋅ ⋅ =

∫

∫

+

∫

+ = CD  L  AB BC   L  L QL

_EI 

dx

m

 M 

EI 

dx

m

 M 

EI 

dx

m

 M 

 D

2 2 2 2

EI 

 D

EI 

EI 

EI 

EI 

 D

EI 

EI 

EI 

EI 

 D

QL QL QL 166 20 60 18 108 6 4 30 16 ) 4 ( 60 4 24 ] ) 2 ( ) 4 3 ( 1 4 [ 2 3 12 24 ) 6 ( 12 2 2 2 2 3 2 =

⇒

+ + + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = Fase 1 Figura 13 – Fase 1

Figura 14 – Diagrama de momento fletor – Fase 1

∫

∫

∫

∫

∫

+

∫

+ = = + + = CD  AB BC  CD  AB BC 

EI 

dx

m

m

EI 

dx

m

m

EI 

dx

m

m

F 

F 

EI 

dx

m

EI 

dx

m

EI 

dx

m

F 

1 2 1 2 1 2 21 12 2 1 2 1 2 1 11 ) ( ) ( ) (

EI 

F 

EI 

F 

2 3 6 11 11

⇒

= ⋅ =

EI 

F 

F 

EI 

F 

F 

1 6 6 21 12 21 12

⇒

= = ⋅ = =

Fase 2

Figura 15 – Fase 2

Figura 16 –Diagrama de momento fletor – Fase 2

EI 

F 

EI 

EI 

F 

EI 

dx

m

EI 

dx

m

EI 

dx

m

F 

CD  AB BC  ⋅ =

⇒

⋅ + = + + =

∫

∫

∫

3 10 3 4 2 ) ( ) ( ) ( 22 22 2 2 2 2 2 2 22

Cálculo das redundantes

QL D F Q=− −1

[

]

m

kN 

EI 

EI 

EI 

EI 

EI 

EI 

EI 

 D

 D

Q Q ⋅













− − =

⇒













⋅ − =













⋅ =













− − ⋅ =

⇒













− − ⋅ ⋅ = ⋅ =

⇒

− =













=













=













= − − 53 , 39 24 , 34 224 194 17 3 166 108 1 2 1 1 3  /  10 17 3 2 1 1 3  /  10 17 ) ( 3 1 ) ( 3 17 1 3  /  20 ) ( 1 3  /  10 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2 2 2 1 Q Q D F F F F F D QL Q

Esforços nas barras

kN 

V 

V 

kN 

V 

V 

kN 

V 

V 

kN 

V 

V 

kN 

V 

V 

CD CD CE  CE   BD  BD  BE   BE   A  A 00 , 20 0 30 50 , 1 62 , 33 0 30 53 , 39 2 60 2 ) 2 ( 12 4 38 , 50 0 30 53 , 39 2 60 3 2 12 4 88 , 36 0 53 , 39 24 , 34 2 ) 6 ( 12 6 12 , 35 0 53 , 39 24 , 34 2 ) 6 ( 12 6 2 2 2 =

⇒

= − ⋅ =

⇒

= − + ⋅ − ⋅ − ⋅ =

⇒

= + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

⇒

= − + ⋅ − ⋅ =

⇒

= + − ⋅ − ⋅

Pontos de cortante nulo Vão AB

m

 X 

 X 

 _AB 0 _AB 2,93 12 12 , 35 − ⋅ =

⇒

= Vão BC

kN 

V 

V 

kN 

V 

V 

ED ED EE  EE  62 , 33 60 2 12 38 , 50 38 , 26 2 12 38 , 50 − =

⇒

− ⋅ − = =

⇒

⋅ − =

Logo o momento máximo no vão BC será no ponto E.

Pontos de momento máximo Vão AB

kNm

 M 

 M 

 _MÁX  34,24  _MÁX  17,15 2 ) 93 , 2 ( 12 12 , 35 93 , 2 2 =

⇒

− ⋅ − ⋅ =

Momento no ponto central do vão

kNm

 M 

 M 

 _M  34,24 _M  17,12 2 ) 3 ( 12 3 12 , 35 2 =

⇒

− ⋅ − ⋅ = Vão BC

kNm

 M 

 M 

 _MÁX  39,53  _MÁX  37,23 2 ) 2 ( 12 2 38 , 50 2 =

⇒

− ⋅ − ⋅ =

Diagrama de esforços solicitantes

Figura 17 – Diagrama de força cortante

EXEMPLO3: Resolver a viga da figura pelo Método das Forças. Considerar apenas as deformações por flexão.

Dado: EI constante.

Figura 19 – Viga Contínua

Figura 20 – Estrutura isostática fundamental

0 0 2 1 = = Q Q  D  D Fase L Figura 21 – Fase L

Fase 1

Figura 23 – Fase 1

Figura 24 – Diagrama de momento fletor – Fase 1

Fase 2

Figura 25 – Fase 2

Cálculo dos deslocamentos

(

∫

∫

= = 2 0 8 0 1 L 1 QL

EI

m

M

D

dx

x

)

₊

∫

(

2 0

dx

x

)

_dx

(

∫

+ 2 0

)

+

∫

(

2 0 dx

)

EI 6666 , 346 = dx x x

(

∫

∫

= = 2 0 8 0 2 L 2 QL

EI

m

M

D

dx x

)

₊

∫

(

2 0 dx x

)

_dx x

)

+

∫

(

2 0 dx x

(

∫

+ 2 0

)

EI 3333 , 1293 = dx Cálculo dos coeficientes de flexibilidade

(

∫

∫

= = 4 0 8 0 1 1 11

EI

m

m

F

dx

)

EI

3333

,

21

2 dx =

(

∫

∫

= = 4 0 8 0 2 1 12 EI m m F dx

)

EI 3333 , 53 dx = x

(

∫

∫

= = 8 0 8 0 2 2 22 EI m m F dx

)

EI 6666 , 170 2 dx = Fase Final

Cálculo das redundantes













= 333 , 1293 666 , 346 EI 1 QL D

_











= 6666 , 170 3333 , 53 3333 , 53 3333 , 21 EI 1 F Q F D D_Q = _QL + _Q =_F−1

{

_{DQ −DQL}

}













− − = − 02678 , 0 06696 , 0 06696 , 0 21428 , 0 EI 1 F













− =













×













− − − = 4285 , 11 3214 , 12 333 , 1293 666 , 346 EI 1 02678 , 0 06696 , 0 06696 , 0 21428 , 0 EI Q

Cálculo das demais reações de apoio

Figura 27 – Reações de apoio

0 10 10 20 4285 , 11 3214 , 12 0

⇒

+ − − − + = =

∑

V  V  A kN  V  _A =19,1071 0 8 4285 , 11 8 10 2 4 3 10 4 3214 , 12 40 2 20 0



+ ⋅ − ⋅ =

 

 



 

 

⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ −

⇒

=

∑

 M  A  M  A kNm  M  _A = 22,1429

Diagrama de esforços solicitantes

Figura 28 – Diagrama de força cortante

EXEMPLO4: Calcule a viga contínua abaixo usando o método das forças e em seguida trace os diagramas finais de força cortante e momento fletor. Despreze as deformações devidas à força cortante no cálculo dos coeficientes.

Figura 30 – Viga contínua

Dados: Seção transversal das barras AB, DE e EF – 20cm x 50cm. Seção transversal das barras BC e CD – 20cm x 40cm. Grau de indeterminação estática – (g.i.e.):

- nº de vinculos externos = 2+1+1+1+1=6 - nº de equações de equilibrio = 3

- g.i.e. = 6-3=3

Figura 31 – Estrutura isostática fundamental Propriedades geométricas das seções transversais

Barras AB, DE e EF 2 2 m 1 , 0 1000cm 50 20⋅ = = =  A 4 3 4 3 m 10 0833 , 2 cm 33 , 208333 12 50 20 − × = = ⋅ =  I   I  Barras BC e CD 2 2 _0,08m 800cm 40 20⋅ = = =  A 4 3 4 3 m 10 0667 , 1 cm 67 , 106666 12 40 20 − × = = ⋅ =  I   I 

Fase L

Figura 32 – Fase L

• Utilizando tabelas de deslocamentos em vigas isostáticas:

- D_QL1 = D_QL1'+D_QL1 ''  AB  AB QL  EI   EI   D 53,3333 24 4 20 ' 3 1 = ⋅ ⋅ =  BC   BC  QL  EI   EI   D 22,5 24 3 20 '' 3 1 = ⋅ ⋅ =  E   EI   EI   D  BC   AB QL 257 , 46691 5 , 22 3333 , 53 1 = + = - D_QL2 = D_QL2'+D_QL2 ''  BC   BC  QL  EI   EI   D 22,5 24 3 20 ' 3 2 = ⋅ ⋅ =

(

)

[

]

CD CD CD CD CD QL  EI   EI   EI   EI   EI   D 30 40 70 16 4 40 2 4 3 1 4 4 24 2 3 20 '' 2 2 2 = + = ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =  E   EI   EI   D CD  BC  QL 659 , 86691 70 5 , 22 2 = + = - D_QL3 = D_QL3'+D_QL3 ''

(

)

[

]

CD CD CD CD CD QL  EI   EI   EI   EI   EI   D 23,3333 40 63,3333 16 4 40 2 4 1 3 4 4 24 2 1 20 ' 2 2 3 = + = ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

(

)

 DE   DE   DE   DE   DE  QL  EI   EI   EI   EI   EI   D 96 16,6667 79,3333 6 5 2 10 5 6 5 3 3 2 60 '' 3 = − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =  E   EI   EI   D  DE  CD QL 540 , 97442 3333 , 79 3333 , 63 3 = + =

Fase 1(Q1= 1 ; Q2= 0 ; Q3= 0) Figura 33 – Fase 1 11 11 11 F ' F '' F  = +  E  F   EI  F   EI  F   BC   AB 310 , 1577 3 3 1 '' 3 4 1 '_{11 11}

⇒

₁₁ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =  E   EI  F   BC  604 , 468 6 3 1 21 = ⋅ ⋅ = 0 31 = F  Fase 2 (Q1= 0 ; Q2= 1 ; Q3= 0) Figura 34 – Fase 2  E   EI  F   BC  604 , 468 6 3 1 21 = ⋅ ⋅ = 22 22 22 F ' F '' F  = +  E  F   EI  F   EI  F  CD  BC  785 , 2186 3 4 1 '' 3 3 1 '_{22 22}

⇒

₂₂ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =  E   EI  F  CD 805 , 624 6 4 1 32 = ⋅ ⋅ =

Fase 3 (Q1= 0 ; Q2= 0 ; Q3 = 1) Figura 35 – Fase 3 0 31 = F   E   EI  F  CD 805 , 624 6 4 1 23 = ⋅ ⋅ = 33 33 33 F ' F '' F  = +  E  F   EI  F   EI  F   DE  CD 738 , 2049 3 5 1 '' 3 4 1 '_{33 33}

⇒

₃₃ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Fase Final

Cálculo das redundantes:

Q F D D_Q = _QL + ⋅





















= 0 0 0 Q D





















× = 540 , 97442 659 , 86691 257 , 46691 1  E  QL D  E  1 738 , 2049 805 , 624 0 805 , 624 785 , 2186 604 , 468 0 604 , 468 310 , 1577 ×





















= F Resolvendo-se o sistema:





















− − − = kNm kNm kNm 880 , 39 395 , 23 651 , 22 Q ESTRUTURA FINAL:

Cálculo das reações de apoio kN  V  V   M   B  B C  75 , 29 '' 0 395 , 23 2 3 20 65 , 22 '' 3 0 2 = = + ⋅ − − =

∑

kN  V  V   M  C  C   B 25 , 30 ' 0 651 , 22 395 , 23 2 3 20 ' 3 0 2 = = − + ⋅ + − =

∑

(

) ( )

kN  V  V   M  C  C   D 88 , 45 '' 0 880 , 39 395 , 23 2 40 3 2 20 '' 4 0 = = + − ⋅ − ⋅ ⋅ − =

∑

(

)

kN  V  V   M   D  D C  12 , 34 ' 0 395 , 23 2 2 20 2 40 880 , 39 ' 4 0 2 = = − ⋅ + ⋅ + + − =

∑

(

)

kN  V  V   M   D  D  E  98 , 39 '' 0 00 , 20 880 , 39 3 60 '' 5 0 = = + − ⋅ − =

∑

( ) ( )

kN  V  V   M   E   E   D 02 , 30 0 880 , 39 5 10 2 60 20 5 0 = = − ⋅ + ⋅ + + − =

∑

Resumindo: kN  V  kN  V  V  V  kN  V  V  V  kN  V  V  V  kN  V   E   D  D  D C  C  C   B  B  B  A 02 , 30 10 , 74 13 , 76 41 , 75 34 , 34 '' ' '' ' '' ' = = + = = + = = + = = kN  V  V   M   B  B  A 66 , 45 ' 0 651 , 22 2 4 20 ' 4 0 2 = = + ⋅ + − =

∑

kN  V  V   M   A  A  B 34 , 34 0 651 , 22 2 4 20 4 0 2 = = + ⋅ − =

∑

DIAGRAMAS FINAIS

Figura 37 - Diagrama de força cortante

Figura 38 - Diagrama de momento fletor

Cálculo dos coeficientes do exemplo 4 usando o princípio dos trabalhos virtuais (P.T.V.):

Diagrama de momento fletor nas diversas fases:

Figura 39 - Diagramas da FASE L

Figura 41 - Diagramas da FASE 2

Figura 42 - Diagramas da FASE 3

Cálculo dos deslocamentos: FASE L : =

∫

dx

 EI  m  M   D_QLi  L i

∫

= 4 0 1 ( 1  AB QL  EI   D )dx +

∫

3 0 ( 1  BC   EI  ) dx  EI   EI   EI   EI   EI   D  BC   AB  BC   AB QL 257 , 46691 5 , 22 33 , 53 3 3 1 5 , 22 1 3 4 1 40 1 1



= + =

 

 



 

 

⋅ ⋅ +



 

 



 

 

⋅ ⋅ = ( 1 3 0 2 =

∫

 BC  QL  EI   D ) dx + 1 ( 2 0

∫

CD  EI  ) dx+ ( 1 2 0

∫

CD  EI  ) dx + ( 1 2 0

∫

CD  EI  ) dx

(

)

(

)

=



 

 



 

 

⋅ ⋅ +



 

 



 

 

+ ⋅ ⋅ +



 

 



 

 

⋅ + ⋅ +



 

 



 

 

⋅ ⋅ = 3 2 5 , 0 60 1 6 2 5 , 0 2 1 60 1 3 2 5 , 0 1 10 1 3 3 1 5 , 22 1 2 CD CD CD  BC  QL  EI   EI   EI   EI   D

(

)

(

 BC  CD

)

 BC   BC  QL  I  I   E   EI   EI   D ₂ = 1 22,5+10+40+20 = 92,5 = 86691,659 = ( 1 2 0 3 =

∫

CD QL  EI   D )dx + 1 ( 2 0

∫

CD  EI  ) dx + ( 1 2 0

∫

CD  EI  ) dx + ( 1 2 0

∫

 DE   EI  ) dx + 1 3

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 E   EI   EI   EI   EI   D  EI   EI   EI   EI   EI   D  DE  CD  DE  CD QL  DE   DE  CD CD CD QL 540 , 97442 33 , 79 33 , 63 4 , 32 93 , 46 1 40 20 33 , 3 1 3 6 20 64 2 6 , 0 1 6 2 6 , 0 2 1 64 1 6 2 1 5 , 0 2 60 1 3 2 5 , 0 60 1 3 2 5 , 0 10 1 3 3 = + = + + + + = =           ⋅ − ⋅ +           ⋅ + ⋅ ⋅ +           ⋅ + ⋅ +           ⋅ ⋅ +           ⋅ ⋅ = Coeficientes de flexibilidade: ( 1 4 0 11 =

∫

 AB  EI  F  )2 dx + 1 ( 3 0

∫

 BC   EI  ) 2 dx

(

)

(

)

 E   E   E   EI   EI  F   BC   AB 31 , 1577 21 , 937 10 , 640 3 3 1 1 3 4 1 1 2 2 11





= + =

 

 





 

 

_⋅ +





 

 





 

 

_⋅ = ( 1 3 0 21 =

∫

 BC   EI  F  ) dx

⇒

=



 

 



 

 

⋅ ⋅ =  E   EI  F   BC  60 , 468 6 3 1 1 1 21  E  F ₁₂ = 468,60

⇒

=0 31 F  F ₁₃ =0 ( 1 3 0 22 =

∫

 BC   EI  F  )2dx + 1 ( 4 0

∫

CD  EI  ) 2 dx

(

)

(

)

 E   E   E   EI   EI  F  CD  BC  81 , 2186 61 , 1249 21 , 937 3 4 1 1 3 3 1 1 2 2 22





= + =

 

 





 

 

_⋅ +





 

 





 

 

_⋅ = ( 1 4 0 23 =

∫

CD  EI  F  ) dx

( )

_⇒

=





 

 





 

 

_⋅ =  E   EI  F  CD 8 , 624 6 4 1 1 2 23  E  F ₃₂ = 624,8 ( 1 4 0 33 =

∫

CD  EI  F  )2dx + 1 ( 5 0

∫

 DE   EI  ) 2 dx

(

)

(

)

 E   E   E   EI   EI  F   DE  CD 74 , 2049 800 61 , 1249 3 5 1 1 3 4 1 1 2 2 33





= + =

 

 





 

 

_⋅ +





 

 





 

 

_⋅ =

EXEMPLO5: Calcule as reações de apoio da viga da figura utilizando o método das forças. Considere as deformações devidas à força cortante e ao momento fletor. A seção transversal usada trata-se de um perfil soldado de aço, padrão VS-800x111 , conforme figura. Dados: E=2,1x104kN/cm2(aço) G=8x103 kN/cm2 (aço) Figura 43 - Viga 4 2 2 155074 29 , 2 62 142 62 5 , 77 8 , 0 142 cm  I   A  A  f  cm  A cm  A  ALMA S   ALMA = = = = = ⋅ = = G.I.E = 3-2=1 Estrutura isostática fundamental:

Figura 44 - Estrutura isostática fundamental

Fase L Figura 45 - Fase L

(

)

cm  D 0,45 1000 2,29 0,45 1000 17,2729 0,4536 17,7265 2 4 − = + − =











 



 

_{⋅ ⋅} +



 



 

_⋅ − =

Fase 1 Fase 1

Figura 46

Figura 46 - - Fase Fase 11

10437 10437 ,, 0 0 10 10 0158 0158 ,, 2 2 10236 10236 ,, 0 0 142 142 10 10 8 8 1000 1000 29 29 ,, 2 2 155074 155074 10 10 1 1 ,, 2 2 3 3 1000 1000 33 3 3 4 4 3 3 11 11



== ++ ×× ==

 

 

 

 



 

 

 

 

⋅⋅ × × ⋅⋅ + +



 

 

 

 



 

 

 

 

⋅⋅ × × ⋅⋅ = = −− F  F  Equação

Equação de de compatibilidade: compatibilidade:  D D_QQ11 ==00 0 0 1 1 11 11 1 1 1 1 == D D ++F F  ⋅⋅QQ ==  D  D_{QQ QLQL} kN  kN  F  F   D  D Q Q QLQL 169169,,8484 10437 10437 ,, 0 0 7265 7265 ,, 17 17 11 11 1 1 1

1 ==−− == == (Reação vertical no apoio B)(Reação vertical no apoio B)

Cálculo das reações de apoio finais:

Cálculo das reações de apoio finais: (usando o método da superposição de efeitos)(usando o método da superposição de efeitos) kN  kN  Q Q V  V  V  V  V 

V  _A A ==  _A A L L ++  _A A11⋅⋅ ₁₁ ==450450−−11⋅⋅169169,,8484==280280,,1616 (para cima)(para cima) kNm kNm Q Q  M   M   M   M   M 

 M  _A A ==  _A A L L ++  _A A11 ⋅⋅ ₁₁ ==22502250−−1010⋅⋅169169,,8484==551551,,6060 (sentido anti-horário)(sentido anti-horário) Caso fossem desprezadas as deformações devidas à

Caso fossem desprezadas as deformações devidas à força cortante:força cortante: cm cm  EI   EI  qL qL  D  D_QLQL 1717,,27292729 8 8 4 4 1 1 ==−− ==−− 1024 1024 ,, 0 0 3 3 3 3 11 11 == ==  EI   EI   L  L F  F  KN  KN  Q Q_{11 =}=168168,,7575

Demais reações de apoio : Demais reações de apoio :

kNm kNm  M   M  kN  kN  V  V   A  A  A  A 5 5 ,, 562 562 25 25 ,, 281 281 = = = =

Erros cometidos devido à não consideração das deformações devidas à força cortante: Erros cometidos devido à não consideração das deformações devidas à força cortante: -- Erro% QErro% Q11 : : 100100 00,,6464%% 84 84 ,, 169 169 84 84 ,, 169 169 75 75 ,, 168 168 = = × × − − -- Erro % VErro % VAA: : 100100 00,,3838%% 16 16 ,, 280 280 16 16 ,, 280 280 25 25 ,, 281 281 = = × × − − -- Erro % MErro % Maa: : 100100 11,,9898%% 60 60 ,, 551 551 60 60 ,, 551 551 50 50 ,, 562 562 = = × × − −

-- Observação : O cálculo de DObservação : O cálculo de DQL1QL1 e de Fe de F1111 se baseou no resultado obtido no exemplo ase baseou no resultado obtido no exemplo a seguir, onde foi calculada a flecha na extremidade livre da viga em balanço, pelo M.C.U., seguir, onde foi calculada a flecha na extremidade livre da viga em balanço, pelo M.C.U.,

EXEMPLO6: Calcule a flecha na extremidade livre da viga em balanço submetida ao EXEMPLO6: Calcule a flecha na extremidade livre da viga em balanço submetida ao carregamento indicado, usando o método da carga unitária. Considere as deformações carregamento indicado, usando o método da carga unitária. Considere as deformações devidas ao momento fletor e à força cortante.

devidas ao momento fletor e à força cortante.

Figura 47 – Viga em balanço Figura 47 – Viga em balanço Dados:

Dados: E, G

E, G - material - material elástico lineaelástico linear isotrópicor isotrópico A,I

A,I - constantes - constantes geométricas dgeométricas da seçãoa seção f 

f ss - fator de forma para cisalhamento- fator de forma para cisalhamento

Fase L Fase L

Estrutura dada submetida ao carregamento real Estrutura dada submetida ao carregamento real

Figura 48 – Fase L Figura 48 – Fase L (Momento fletor) (Momento fletor) (Força cortante) (Força cortante)

Figura 49 – Diagramas de força cortante e momento fletor - Fase L Figura 49 – Diagramas de força cortante e momento fletor - Fase L

Para efeito de integração o

Para efeito de integração o diagrama Mdiagrama MLL pode ser decomposto como :pode ser decomposto como :

Figura 50 – Decomposição do diagrama de momento

Figura 50 – Decomposição do diagrama de momento fletorfletor

Fase U Fase U

Carrega-se a estrutura dada com uma carga unitária

Carrega-se a estrutura dada com uma carga unitária correspondencorrespondente ao deslocamento que sete ao deslocamento que se pretende determinar. No caso, car

pretende determinar. No caso, carga unitária vertical aplicada em B.ga unitária vertical aplicada em B.

Figura 51 – Fase U Figura 51 – Fase U (Força cortante) (Força cortante) (Momento fletor) (Momento fletor)

Figura 52 – Diagramas de força cortante e momento fletor - Fase U Figura 52 – Diagramas de força cortante e momento fletor - Fase U Aplicando-se a equação do M.C.U.

Aplicando-se a equação do M.C.U.

(

( ))(

( )

)



++

_



(

(

++ ++

))

⋅⋅

_













− −



 

 

 

 



 

 

 

 

+ + ⋅⋅ − −



 

 

 

 



 

 

 

 

+ + − − = = ∆ ∆ PP qLqL PP LL GA GA  f   f   L  L  L  L qL qL  L  L  L  L qL qL PL PL  EI   EI  S  S   B  B 2 2 1 1 8 8 3 3 1 1 )) (( 2 2 3 3 1 1 1 1 22 22













+ + + +













+ + = = ∆ ∆ GA GA  L  L  f   f   EI   EI   L  L q q GA GA  L  L  f   f   EI   EI   L  L P P _{S S  S S}   B  B 2 2 8 8 3 3 2 2 4 4 3 3

Observar na resposta acima a influência da carga P, 1ª parcela, na qual está explícita a Observar na resposta acima a influência da carga P, 1ª parcela, na qual está explícita a influência das deformações de flexão (

influência das deformações de flexão (  EI   EI  PL PL 3 3 3 3 ) e a

) e a influência das deformações devidas à forçainfluência das deformações devidas à força cortante ( cortante ( GA GA  L  L  f   f  P P⋅⋅ _S S ⋅⋅ ).).

De forma análoga, na 2ª parcela (influência de q) tem-se De forma análoga, na 2ª parcela (influência de q) tem-se

 EI   EI   L  L q q 8

8 (influência das deformações(influência das deformações de flexão) e de flexão) e GA GA  L  L q q  f   f _S S  2 2 2 2 ⋅⋅

⋅⋅ (influência da força cortante).(influência da força cortante).

∫∫

∫∫

⋅⋅ ++ ⋅⋅ = = ⋅⋅ ∆ ∆ dxdx GA GA vv V  V   f   f  dx dx  EI   EI  m m  M   M   _{L L uu} S  S  u u  L  L  B  B 11

EXEMPLO7: Calcule a flecha no meio do vão da viga abaixo, considerando a contribuição da flexão e do cisalhamento.

Dados: 2 3 2 4  /  10 8  /  10 1 , 2 cm kN  G cm kN   E  × = × =

Figura 53 – Viga bi-apoioada Propriedades geométricas da seção:

2 2 2 4 142 62 80 155074 cm  A  A  A cm  A cm  A cm  I   ALM   MESA  ALMA  MESA = + = = = =

Fator de forma para cisalhamento: 29 , 2 62 142 = = =  ALMA S   A  A  f  Fase L Figura 54 = Fase L Fase U Figura 55 = Fase U

∫

+

∫

= ∆ _dx GA vV   f  dx  EI  mM 

S  O deslocamento é composto de duas parcelas, uma devida

à flexão e outra devida ao cisalhamento.

 M 

∆ ∆c

(infl.do momento) (infl. da força cortante)

Utilizando a tabela de integrais de produto, tem-se: - contribuição do momento fletor (∆M ₎

 EI   M  ₌ 1 ∆

∫

5 0 .

∫

10 5 Substituindo os valores: m  M  018 , 0 = ∆

- contribuição da força cortante (∆C ₎

GA  f _S  C  ₌ ∆

∫

5 0 ( .

∫

10 5 Substituindo os valores: m C  001134 , 0 = ∆

A flecha será então:

m C   M  01913 , 0 001134 , 0 018 , 0 + = = ∆ + ∆ = ∆

A influência da força cortante no deslocamento total é, então:

C  C  ∆  →    = ∆ ∆ 0593 ,

EXEMPLO1: Determinar os esforços nas barras da treliça da figura abaixo utilizando o método das forças.

Dados:

− EA=constante.

Figura 1 – Treliça

Grau de indeterminação estática:

( )

2

( )

3 6 2 4 1 .

. _I  E = _m+_v − ⋅_n = + − ⋅ =

G

Figura 2 - Estrutura isostática fundamental

Equação de compatibilidade (deslocamento axial relativo na seção transversal da barra BD) : ₁ =0 Q  D

( )

( )

08 6 0  , cos  , sen = α = α  BD  N  Q = 1

Fase L

( )

( )

( )

( )







= − − = + − − 0 50 0 50 cos cos α   α   α   α   sen  N  sen  N   N   N  CD  AD CD  AD







= − = + 33 , 83 50 , 62 CD  AD CD  AD  N   N   N   N  2 N  _AD =145 ,83

⇒

 N  _AD =72,92 42 10 50 62 ,  N   N  ,  N _CD = −  _AD

⇒

_CD =− Fase 1 Q1= 1 ( NBD= 1 )

( )

_CD

( )

 _{AD CD}

 AD sen  N  sen  N  N 

 N  V = ∴ α − α =

⇒

=

∑

0 0

( )

( )

1 0 0∴ α + α + = =

∑

 H   N  _AD cos  N _CDcos

( )

1 0625 0625

2 N  _AD cos α =−

⇒

 N  _AD =−  ,

⇒

 N _CD =− ,

Cálculo dos coeficientes

Barra L_i

{ }

N_{L i}

{ }

n_{1 i}

{

N_L ⋅n₁⋅L

}

_i

_{( )}

i 2 1 L n ⋅ AD 2,5 72,92 -0,625 -113,94 0,97656 CD 2,5 -10,42 -0,625 16,28 0,97656 BD 2,0 0 1 0 2,0 Σ = _{-97,66 3,953120}  EA  EA  L n  N   D i i  L QL 66 , 97 3 1 1 1 − =



 

 



 

 

⋅ ⋅ =

∑

=

( )

 EA  EA  L n F  i i 953120 , 3 3 1 2 1 11





=

 

 





 

 

⋅ =

∑

=

Cálculo da redundante  EA  D_QL1 = −97,66  EA F ₁₁ = 3,953120 0 1 11 1 1 = D +F  Q =  D_{Q QL} 70 , 24 953120 , 3 ) 66 , 97 ( 0 11 1 1 1 = − − = − = F   D  D Q Q QL

Esforços axiais finais

( ) ( )

 N  n₁ Q₁  N _i =  _{L i} + _i ⋅

(

)

kN   N  _AD =72,92−0,625⋅ 24,70 =57,48

(

)

kN   N _CD = −10,42−0,625⋅ 24,70 = −25,86 kN  Q  N  _BD = ₁ =24,70

EXEMPLO2: Calcular a treliça da figura abaixo utilizando o método das forças. Dados:

− EA=constante.

Figura 3 – Treliça Grau de indeterminação estática:

( )

2

( )

6 4 2 4 2 . . _I  E = _m+_v − ⋅_n = + − ⋅ = G Incógnitas Redundantes: o Q₁→ reação horizontal em B o Q₂→ força normal na barra 6

Figura 4 - Estrutura isostática fundamental

Equações de compatibilidade: 0 0 1 = = Q  D  D

Fase L, Fase 1 e Fase 2

Fase L Fase 1

Fase 2

Figura 5 – Fase L, Fase 1 e Fase 2 Quadro resumo dos esforços nas diversas fases

Barra

{ }

EA _i L_i

{ }

N_{L i}

{ }

n_{1 i}

{ }

n_{2 i} 1 EA 3 0 0 2 2 − 2 EA 3 5 0 2 2 − 3 EA 3 -10 0 2 2 − 4 EA 3 5 -1 2 2 − 5 EA _{3 2} −_{5 2 2} 1 6 EA _{3 2} 0 0 1

Cálculo dos coeficientes das matrizes e vetores Barra

{

NL ⋅n1⋅L

}

_i

{

NL ⋅n2 ⋅L

}

i

( )

_i 2 1 L n ⋅

{

}

i 2 1 n L n ⋅ ⋅

( )

i 2 2 L n ⋅ 1 0 0 0 0 1,5 2 0 −15 ₂ 0 0 1,5 3 0 2 30 _{0 0 1,5} 4 -15 2 15 − 3 2 3 _1,5 5 −_{30 2} -30 _{6 2} 6 _{3 2} 6 0 0 0 0 _{3 2} Σ = _{-57,4264 -30 11,4853 8,1213 14,4853}  EA  EA  L n  N   D i i  L QL 4264 , 57 6 1 1 1 − =



 

 



 

 

⋅ ⋅ =

∑

=  EA  EA  L n  N   D i i  L QL 0 , 30 6 1 2 2 − =



 

 



 

 

⋅ ⋅ =

∑

=

( )

 EA  EA  L n F  i i 4853 , 11 6 1 2 1 11





=

 

 





 

 

⋅ =

∑

=  EA  EA  L n n F  F  i i 1213 , 8 6 1 2 1 12 21



=

 

 



 

 

⋅ ⋅ = =

∑

=

( )

 EA  EA  L n F  i i 4853 , 14 6 1 2 2 22





=

 

 





 

 

⋅ =

∑

=

Notar que nos somatórios acima o índice i varia de 1 a 6, onde 6 é o número de barras da treliça.

Cálculo das redundantes













− − = 30 4264 , 57 EA 1 QL D

_











= 4853 , 14 1213 , 8 1213 , 8 4853 , 11 EA 1 F 0 Q F D D_Q = _QL + = Q1= 5,858 kN Q2= -1,213 kN

Forças normais finais

( ) ( )

_{L i 1 i 1}

( )

_{2 i 2} i N n Q n Q N = + ⋅ + ⋅ _{(Superposição de efeitos)} N1= 0,858 (barra CD) N2= 5,858 (barra AB) N3= - 9,142 (barra AC) N4= 0 (barra BD) N5= 0 (barra BC) N6= - 1,213 (barra AD)

EXEMPLO3: Considerando a treliça da figura e a relação de áreas das suas barras,

determinar o valor da área mínima necessária para as barras tracionadas, sendo a

tensão admissível do aço igual a 160 Mpa. Utilizar o método da flexibilidade.

(Obs.: não é necessário analisar as barras comprimidas, que dependem do í ndice de esbeltez).

Figura 6 - Treliça Dados: E = 205 GPa A1 = A2 = A3 = 3A A4 = A5 = A6 = A A7 = A8 = A9 = A10 = 2A

Estrutura isostática fundamental

G.I.E = ( b + v ) – 2 n = (10 + 4) – 12 = 2

Figura 7 – Estrutura isostática fundamental

Equações de compatibilidade : 0 0 2 1 = = Q Q  D  D

Fase L:

Figura 8 – Fase L ° =

⇒

= 36,87 0 , 2 5 , 1 tanα  α 









= = 8 , 0 cos 6 , 0 sen α  α  ° =

⇒

= 26,57 0 , 3 5 , 1 tan β  β 









= = 894 , 0 cos 447 , 0 sen  β   β  kN  V  V   M  _A =0

⇒

20⋅7 +4 _C  +10⋅1,5 =0

⇒

_C  = −38,75

∑

kN  V  V  V =0

⇒

38,75− 20+  _A =0

⇒

 _A =−18,75

∑

kN   H   H   H =0

⇒

10+  _A =0

⇒

 _A = −10

∑

Figura 9 – Forças normais nas barras – Fase L Nó A: kN   N   N  V =0

⇒

 _AE .0,6−18,75=0

⇒

 _AE  =31,25

∑

kN   N   N   H =0

⇒

31,25⋅0,8 +  _AB −10= 0

⇒

 _AB = −15

∑

Nó B: 0 0

⇒

= =

∑

V   N EB kN   N   N   N   H =0

⇒

 _AB −  _BC  =0

⇒

 _BC =−15

∑

Nó E: 0 6 , 0 . 6 , 0 . 0

⇒

+ + = =

∑

V   N  AE   N  EB N CE 

kN   N   N _CE  .0,6 0 _CE  31,25 0 6 , 0 25 , 31 ⋅ + + =

⇒

= − 0 8 , 0 . 8 , 0 . 0

⇒

− − = =

∑

 H   N  AE   N  EF  N CE 

(

)

 N  kN   N  _EF  31,25 0,8 0  _EF  50 8 , 0 25 , 31 ⋅ − − − ⋅ =

⇒

= Nó F: 0 894 , 0 . 10 0

⇒

− − = =

∑

 H   N  EF  N FD kN   N   N _FD 0,894 0 _FD 44,74 10 50− − _. =

⇒

= 0 447 , 0 . 0

⇒

+ = =

∑

V   N FC  N FD kN   N   N _FC  + 44,7⋅0,447 =0

⇒

_FC  = −20 Nó C: 0 8 , 0 . 0

⇒

+ − = =

∑

 H   N CE   N  BC  N CD kN   N   N _CD 0 _CD 40 15 8 , 0 25 , 31 ⋅ − − =

⇒

=− − 0 75 , 38 6 , 0 0

⇒

_. + + = =

∑

V   N CE  N FC  kN   N   N _FC  38,75 0 _FC  20 6 , 0 25 , 31 ⋅ + + =

⇒

=− − Nó D: 0 447 , 0 . 20 0

⇒

− + = =

∑

V  N FD

⇒

 N FD = 44,74 kN  0 894 , 0 . 0

⇒

+ = =

∑

 H  N CD N FD

⇒

 N CD =−40kN 

Fase 1:

(Q1= 1 ; Q2= 0) Figura 10 – Fase 1 0 ' 0 ' . 4 0

⇒

=

⇒

= =

∑

 M  A V C  V c 0 ' 0

⇒

= =

∑

V  V A 1 ' 0

⇒

=− =

∑

 H   H A

Figura 11 – Forças normais nas barras – Fase 1 Nó A: 0 0

⇒

= =

∑

V   N AE  1 0

⇒

= =

∑

 H   N AB Nó B: 0 0

⇒

= =

∑

V   N EB 1 0

⇒

= =

∑

 H   N BC  Nó E: 0 6 , 0 . 6 , 0 . 0

⇒

+ + = =

∑

V   N  AE   N  EB N CE 

⇒

 N CE  =0

0 8 , 0 . 8 , 0 . 0

⇒

− + + = =

∑

 H   N  AE   N  EF  N CE 

⇒

 N EF  =0

Nó F: 0 894 , 0 . 0

⇒

− = =

∑

 H   N  EF  N FD

⇒

 N FD =0 0 447 , 0 . 0

⇒

+ = =

∑

V   N FC  N FD

⇒

 N FC  =0 Nó C: 0 1 8 , 0 . 0

⇒

+ − − = =

∑

 H   N CE   N  BC  N CD

⇒

 N CD =0 0 6 , 0 0

⇒

_. + = =

∑

V   N CE  N FC 

⇒

 N FC  =0 Nó D: 0 447 , 0 . 0

⇒

= =

∑

V   N FD

⇒

 N FD =0 0 894 , 0 . 0

⇒

+ = =

∑

 H   N CD N FD

⇒

 N CD =0

Fase 2:

(Q1= 0 ; Q2= 1) Figura 12 – Fase 2 0 " 0

⇒

= =

∑

 M  A V c 0 " 0

⇒

= =

∑

V  V A 0 " 0

⇒

= =

∑

 H   H A

Figura 13 – Forças normais nas barras – Fase 2 Nó A: 0 ; 0 = =  AB  AE  N   N  Nó D: 0 ; 0 = =  DF  CD N   N  Nó B: 8 , 0 ; 6 , 0 = − − =  BC   EB N   N  Nó C: 6 , 0 ; 1 = − = FC  CE  N   N  Nó E: 8 , 0 ; 1 =− =  _EF  CE  N   N  Nó F: 6 , 0 ; 0 =− = FC  FD N   N 

Barra

{ }

A _i L_i

{ }

N_{L i}

{ }

n_{1 i}

{ }

n_{2 i} 1 3A 2,0 -15 1 0 2 3A 2,0 -15 1 -0,8 3 3A 3,0 -40 0 0 4 A 2,5 31,25 0 0 5 A 2,0 50 0 -0,8 6 A 3,35 44,74 0 0 7 2A 1,5 0 0 -0,6 8 2A 1,5 -20 0 -0,6 9 2A 2,5 -31,25 0 1 10 2A 2,5 0 0 1 Barra i  L  A  L n  N 













⋅ ₁⋅ i  L  A  L n  N 













⋅ ₂ ⋅

_{( )}

i  A  L n













2 _⋅ 1 i  A  L n n













₁⋅ ₂ ⋅

_{( )}

i  A  L n













2 _⋅ 2 1  A 10 − 0  A 6667 , 0 0 0 2  A 10 −  A 8  A 6667 , 0  A 5333 , 0 −  A 4267 , 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 0  A 80 − 0 0  A 28 , 1 6 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0  A 27 , 0 8 0  A 9 0 0  A 27 , 0 9 0  A 0625 , 39 − 0 0  A 25 , 1 10 0 0 0 0  A 25 , 1 Σ =  A 20 −  A 0625 , 102 −  A 3333 , 1  A 5333 , 0 −  A 7467 , 4

D

QL1

D

QL2

F

11

F

12

F

22

Equação de compatibilidade

D

Q=

D

QL +

F Q

= 0

D

QL+

F Q

=

D

Q

























− − +













− − =













2 1 7467 , 4 5333 , 0 5333 , 0 3333 , 1 1 0625 , 102 20 1 0 0 Q Q  EA  EA

Q

1

= 24,711 kN

Q

2

= 24,278 kN

Esforços nas barras da estrutura hiperestática

N = N

L

+ n

1

.Q

1

+ n

2

.Q

2 N1 = -15+1 . 24,711 =

9,711 kN

N2 = -15+1 . 24,711 – 0,8 . 24,278 =

-9,711 kN

N3 =

-40,0 kN

N4 =

31,25 kN

N5 = 50 – 0,8 . 24,278 =

30,577 kN

N6 =

44,74 kN

N7 = -0,6 . 24,278 =

-14,567 kN

N8 = -20 – 0,6 . 24,278 =

-34,567 kN

N9 = -31,25 + 1 . 24,278

= -6,972 kN

N10 =

24,278 kN

Área mínima

2  /  16 160 MPa kN  cm adm = = σ  F _max =44,74kN  2 min min max min 2,796 16 74 , 44 cm  A  A F   A  A F  adm =

⇒

=

⇒

=

⇒

= σ  σ 

EXEMPLO4: Calcule as forças normais da treliça da figura utilizando o Método da Flexibilidade (Método das Forças).

Dados:

−

E = 2,1x10

4

kN/cm

2

−

Área da seção transversal das barras:

•

A

1

= A

2

= A

3

= A

8

= A

15

= A

16

= A

17

= 3,0 cm

2 •

A

4

= A

7

= 10,0 cm

2 •

A

5

= A

6

= A

11

= A

12

= 5,0 cm

2 •

A

9

= A

10

= A

13

= A

14

= 20,0 cm

2

Figura 14 - Treliça

Estrutura Isostática Fundamental

- Grau de Inderteminação Estática:

. . ൌሺ ൅ ሻെൈ2 ൌ ሺ17൅3ሻെൈ29ൌ2

- Incógnitas Redundantes:

ଵ

՜

força normal na barra 5

ଶ

՜

força normal na barra 11

Figura 15 – Estrutura Isostática Fundamental

ൌ

൬3,0

_{1,0൰ൌ71,565°}

ൌ

൬1,0

_{0,5൰ൌ63,435°}

ሺ ሻ ൌ0,949

ሺ ሻ ൌ0,316

ሺ ሻ ൌ0,894

ሺ ሻ ൌ0,447

a a

Fase L

Figura 16 – Fase L

Reações de Apoio:

෍

஺

ൌ0 െ3

஽

൅20ൈ3൅15ൈ6൅10ൈ7ൌ0

஽

ൌ 2203

෍ ൌ0 10൅15൅20൅

஺

ൌ 0

஺

െൌ45

෍ ൌ 0

஽

൅

஺

ൌ 0

஺

ൌ െ2203

Nó I:

෍ ൌ 0

ଵ

ൈ0,894൅

ଶ

ൈ0,894ൌ0

ଵ

ൌ െ

ଶ

෍ ൌ 0 10൅

ଶ

ൈ0,44െ7

ଵ

ൈ0,447ൌ0

ଵ

ൌ െ

ଶ

ൌ11,180

Nó G:

෍ ൌ 0

ଷ

൅

ଵ

ൈ0,447ൌ0

ଷ

ൌ െ5

෍ ൌ 0

ଵ

ൈ0,89െ4

ସ

ൌ 0

ସ

ൌ 10

a a

Nó H:

෍ ൌ 0 1െ5

ଷ

െ

ଶ

ൈ0,44െ7

଺

ൈ0,316ൌ0

଺

ൌ79,057

෍ ൌ 0

ଶ

ൈ0,89െ4

଺

ൈ0,94െ9

଻

ൌ 0

଻

െൌ85

Nó D:

෍ ൌ 0

ଵସ

ൈ0,949൅

஽

ൌ 0

ଵସ

െൌ77,300

෍ ൌ 0

ଵ଻

൅

ଵସ

ൈ0,316ൌ0

ଵ଻

ൌ24,444

Nó C:

෍ ൌ 0

ଵଷ

ൌ 0

෍ ൌ 0

ଵ଻

െ

ଵ଺

ൌ 0

ଵ଺

ൌ24,444

Nó F:

෍ ൌ 0

଻

െ

ଵଷ

െ

ଵଶ

ൈ0,94െ9

ଵସ

ൈ0,949ൌ0

ଵଶ

െൌ12,298

෍ ൌ 0 20൅

ଵସ

ൈ0,31െ6

଼

െ

ଵଶ

ൈ0,316ൌ0

଼

െൌ0,556

Nó E:

෍ ൌ 0

଼

൅

଺

ൈ0,31െ6

ଽ

ൈ0,316ൌ0

ଽ

ൌ77,300

Nó B:

෍ ൌ 0

ଵ଴

൅

ଵଶ

ൈ0,949ൌ0

ଵ଴

ൌ11,667

෍ ൌ 0

ଵ଺

൅

ଵଶ

ൈ0,31െ6

ଵହ

ൌ 0

ଵହ

ൌ20,556

Fase 1

Figura 17 – Fase 1

Reações de Apoio:

஺

ൌ

஺

ൌ

஽

ൌ 0

Nó I:

ଵ

ൌ 0

ଶ

ൌ 0

Nó D:

෍ ൌ 0

ଵସ

ൌ 0

෍ ൌ 0

ଵ଻

ൌ 0

Nó C:

෍ ൌ 0

ଵଷ

ൌ 0

෍ ൌ 0

ଵ଺

ൌ 0

Nó A:

෍ ൌ 0

ଽ

ൌ 0

෍ ൌ 0

ଵହ

ൌ 0

a a

Nó B:

෍ ൌ 0

ଵଶ

ൌ 0

෍ ൌ 0

ଵ଴

ൌ 0

Nó F:

෍ ൌ 0

଻

൅1ൈ0,949ൌ0

଻

െൌ0,949

෍ ൌ 0 െ

଼

െൈ10,316ൌ0

଼

െൌ0,316

Nó G:

෍ ൌ 0 െൈ10,94െ9

ସ

ൌ 0

ସ

െൌ0,949

෍ ൌ 0

ଷ

൅1ൈ0,316ൌ0

ଷ

െൌ0,316

Nó H:

෍ ൌ 0 െ

଺

ൈ0,94െ9

଻

ൌ 0

଺

ൌ 1

Fase 2

Figura 18 – Fase 2

a a

Reações de Apoio:

஺

ൌ

஺

ൌ

஽

ൌ 0

Nó I:

ଵ

ൌ 0

ଶ

ൌ 0

Nó D:

෍ ൌ 0

ଵସ

ൌ 0

෍ ൌ 0

ଵ଻

ൌ 0

Nó A:

෍ ൌ 0

ଽ

ൌ 0

෍ ൌ 0

ଵହ

ൌ 0

Nó G:

෍ ൌ 0

ସ

ൌ 0

෍ ൌ 0

ଷ

ൌ 0

Nó H:

෍ ൌ 0

଺

ൌ 0

෍ ൌ 0

଻

ൌ 0

Nó C:

෍ ൌ 0

ଵଷ

൅1ൈ0,949ൌ0

ଵଷ

െൌ0,949

෍ ൌ 0 െ

ଵ଺

െൈ10,316ൌ0

ଵ଺

െൌ0,316

Nó E:

෍ ൌ 0

଼

൅1ൈ0,316ൌ0

଼

െൌ0,316

෍ ൌ 0 െൈ10,94െ9

ଵ଴

ൌ 0

ଵ଴

െൌ0,949

Nó F:

෍ ൌ 0 െ

ଵଶ

ൈ0,94െ9

ଵଷ

ൌ 0

ଵଶ

ൌ 1

Quadro Resumo dos Esforços Axiais:

Barra

ሼ ሽ

_௜

ሼ ሽ

_௜

ሼ

_

ሽ

_௜

ሼ

_ଵ

ሽ

_௜

ሼ

_ଶ

ሽ

_௜

1

3

1,118

11,180

0

0

2

3

1,118

-11,180

0

0

3

3

1

-5

-0,316

0

4

10

3

10

-0,949

0

5

5

3,162

0

1

0

6

5

3,162

79,057

1

0

7

10

3

-85

-0,949

0

8

3

1

-0,556

-0,316

-0,316

9

20

3,162

77,300

0

0

10

20

3

11,667

0

-0,949

11

5

3,162

0

0

1

12

5

3,162

-12,298

0

1

13

20

3

0

0

-0,949

14

20

3,162

-77,300

0

0

15

3

1

20,556

0

0

16

3

1

24,444

0

-0,316

17

3

1

24,444

0

0

Cálculo dos Coeficientes das Matrizes e Vetores:

Barra

൜



.

ଵ

. ൠ

௜

൜



.

ଶ

. ൠ

௜

ቊሺ

ଵ

ሻ

ଶ

_{. ቋ}

௜

൜

ଵ

.

ଶ

. ൠ

௜

ቊሺ

ଶ

ሻ

ଶ

_{. ቋ}

௜

1

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

3

0,52705

0

0,03333

0

0

4

-2,84605

0

0,27

0

0

5

0

0

0,63246

0

0

6

50

0

0,63246

0

0

7

24,19142

0

0,27

0

0

8

0,05856

0,05856

0,03333

0,03333

0,03333

9

0

0

0

0

0

10

0

-1,66020

0

0

0,135

11

0

0

0

0

0,63246

12

0

-7,77778

0

0

0,63246

13

0

0

0

0

0,135

14

0

0

0

0

0

15

0

0

0

0

0

16

0

-2,57667

0

0

0,03333

17

0

0

0

0

0

∑ ൌ

71,93098

-11,95608

1,87158

0,03333

1,60158

ଵ

ൌ 71,93098

ଶ

ൌ െ11,95608

ଵଵ

ൌ 1,87158

ଵଶ

ൌ

ଶଵ

ൌ 0,03333

ଶଶ

ൌ 1,60158

Solução do Sistema de Equações



ൌ 1ቄ 71,93098

_{െ11,95608ቅ}

ൌ 1൤1,87158 0,03333

_{0,03333 1,60158൨}



ൌ



൅

ଵ

െൌ38,581

ଶ

ൌ8,268

Esforços Axiais Finais

ଵ

ൌ11,180

ଶ

െൌ11,180

ଷ

ൌ7,200

ସ

ൌ46,601

ହ

െൌ38,581

଺

ൌ40,476

଻

െൌ48,399

଼

ൌ9,030

ଽ

ൌ70,300

ଵ଴

ൌ3,823

ଵଵ

ൌ8,268

ଵଶ

െൌ4,030

ଵଷ

െൌ7,844

ଵସ

െൌ77,300

ଵହ

ൌ20,556

ଵ଺

ൌ21,830

ଵ଻

ൌ24,444

Análise de Pórticos Planos

Deformações possíveis de ocorrer nos pórticos são devidas a:

• Momento Fletor • Força Normal • Força Cortante

∫

+

∫

+

∫

= ∆ dx GA Vv  f  dx  EA  Nn dx  EI   Mm  x1 _s Deformação preponderante:

• Devida a momento fletor

Cálculo dos coeficientes:

- Considerar sempre o efeito das deformações devidas ao momento fletor

∫

+

∫

+

∫

= dx GA Vv  f  dx  EA  Nn dx  EI   Mm  D_QLj  j  j _s j

∫

+

∫

+

∫

= dx GA v v  f  dx  EA n n dx  EI  m m F _ij i  j i  j _s i j

EXEMPLO1: Analisar o pórtico dado considerando as deformações por flexão e as deformações axiais. Dados: - EI = constante. - EA= constante. - Seção Transversal: 20x50 cm2.

Figura 1 – Pórtico plano Grau de indeterminação estática: 3

Figura 2 - Estrutura isostática fundamental

Fase L Figura 3 – Fase L A A A B B B B B C C C

Diagramas

Força normal: nula nas duas barras

(VL) (ML)

Figura 4 – Diagramas de força cortante e momento fletor – Fase L

Fase 1

Figura 5 – Fase 1

Diagramas

(N1) (V1) (M1)

Figura 6 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 1 A B A B C C B _B A B B C A B A A B C B B C B C

Fase 2

Figura 7 – Fase 2

Diagramas

(N2) (V2) (M2)

Figura 8 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor – Fase 2

Fase 3 Figura 9 – Fase 3 A B B A C B B A C A B B B C C B A B B C

Diagramas

Força normal: nula nas duas barras. Força cortante: nula nas duas barras.

Figura 10 – Diagrama de momento fletor – Fase 3 Propriedades geométricas 4 3 3 10 0833 , 2 12 5 , 0 2 , 0 m  I  − × = ⋅ =  I   A  I   A 48 48

⇒

= = 2 1 , 0 5 , 0 2 , 0 m  A= ⋅ = Cálculo de DQL

∫

∫

∫

∫

+ + + =  BC   j  L  AB  j  L  BC   j  L  AB  j  L QLj dx  EA n  N  dx  EA n  N  dx  EI  m  M  dx  EI  m  M   D 0 0 0 0 1 = + + + QL  D

(

)(

)

 EI   EI   D_QL 240 2 10 5 5 0 0 0 5000 6 1 1 2 − = + + +



 

 



 

 

⋅ + ⋅ − =

(

)

 EI   EI   D_QL 240 1 5 0 0 0 600 2 1 1 3 − = + + +



 

 



 

 

⋅ ⋅ − =

Cálculo dos coeficientes de F

∫

∫

∫

∫

+ + + =  BC   j i  AB  j i  BC   j i  AB  j i ij dx  EA n n dx  EA n n dx  EI  m m dx  EI  m m F 

( )( )

 EI   EI   EI   EA  EI   EA  EI  F  24 517 48 10 3 64 10 3 64 0 10 1 1 4 4 4 3 1 0 11 + = + = + = ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ + = A _B B C

( )

 EI   EI  F  F  1 4 4 0 0 8 2 1 0 13 31 + + =− ⋅ − ⋅ ⋅ + = =

( ) ( )

 EI   EI   EI   EA  EI   EA  EI  F  12 4001 48 4 3 1000 4 3 1000 4 1 1 0 0 10 10 10 3 1 22 = + = + = ⋅ − ⋅ − + + + ⋅ ⋅ ⋅ =  EI   EI  F  F  10 1 10 0 0 0 50 2 1 23 32 + + + = ⋅ ⋅ ⋅ = =  EI   EI   EI  F ₃₃ =1⋅1⋅10+1⋅1⋅4 +0+0 = 14 Fase Final

























− − = 14 50 8 50 4167 , 333 0 8 0 5417 , 21 EI 1 F





















− − = 600 5000 0 EI 1 QL D Q F D D_Q = _QL +





















− − = 4291 , 42 3590 , 21 7571 , 15 Q

• Caso fosse omitido o efeito das deformações axiais:

























− − = 14 50 8 50 3333 , 333 0 8 0 3333 , 21 EI 1 F





















− − = 600 5000 0 EI 1 QL D





















− − = 8571 , 42 4286 , 21 0714 , 16 Q

Esforços finais (considerando as deformações axiais)

Figura 11 – Esforços finais Por equilíbrio: kN  76 , 15 H_{A =} kN  64 , 26 36 , 21 48 V_A = − = kNm  M  _A = 48⋅5−21,36⋅10+42,43=68,84 kN  76 , 15 H_{C =} kN  36 , 21 V_{C =} kNm  M _C  =−42,43+15,76⋅4 =20,60

Diagramas de esforços solicitantes

Figura 12 – Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor

A B B C A B C B A C C (N) (V) (M)

EXEMPLO2: Calcular as reações de apoio do pórtico da figura utilizando o método da flexibilidade, incluindo as deformações devidas ao momento fletor, à força normal e à cortante. Traçar os diagramas finais de esforços solicitantes.

Figura 13 – Pórtico plano

Dados:

E = 205 GPa

ν =

0

,

20

G.I.E = 3 + 2 - 3

⇒

_{G.I.E. = 2}

Figura 14 – Estrutura isostática fundamental

Propriedades geométricas

Área = 15 . 1,25 + 15 . 1,25 + 1,0 . 27,5 =

65 cm2

.

I =

− = 3 3

12

5

,

27

.

14

12

30

.

15

9486,98 cm4

.

EA = 1.332.500 kN EI = 19.448,3 kNm2

Fase L

Figura 15 – Fase L

447

,

0

cos

894

,

0

sen

2

2

4

tan

 β = =  β = β =

0

0

⇒

= =

∑

 H   H _AL kN  V  V   M  _{A CL}

2

50

.

2

0

_CL

103

,

75

2

5

,

5

.

5

,

5

.

20

.

6

0



− =

⇒

=

 

 



 

 

+ −

⇒

=

∑

kN  V  V  V =

0

⇒

 _AL +

103

,

75

−

20

.

5

,

5

−

50

=

0

⇒

 _AL =

56

,

25

∑

Figura 17 – Diagramas da fase L

Barra BC:

kNm  M  m  X   X   X   X   M  m  X   X   X  V 

48

,

113

3125

,

0

4

0

2

20

25

,

6

5

,

112

3125

,

0

20

25

,

6

0

20

25

,

6

2 =

⇒

= ≤ ≤ − + = =

⇒

− =

⇒

− = Fase 1

(Q

1

= 1 ; Q

2

= 0)

Figura 18 – Fase 1

(V

L

)

(N

L

)

(M

L

)

6

1

'

0

'

.

6

1

0

⇒

− =

⇒

= =

∑

 M  _A V _C  V _C 

6

1

'

0

⇒

= − =

∑

V  V _A

0

'

0

⇒

= =

∑

 H   H A

Figura 19 – Decomposição dos esforços – Fase 1

Diagramas

Figura 20 – Diagramas da Fase 1

(M

1

)

(N

1

)

Fase 2

(Q

1

= 0 ; Q

2

= 1)

Figura 21 – Fase 2

kN  V  V   M  _A =

0

⇒

−

1

.

4

+

6

.

_C 

"

=

0

⇒

_C 

"

=

0

,

667

∑

kN  V  V  =

0

⇒

 _A

"

= −

0

,

667

∑

kN   H   H  =

0

⇒

 _A

"

= −

1

∑

Figura 22 – Decomposição dos esforços – Fase 2

Diagramas

Figura 23 – Diagramas da fase 2

(M

2

)

(N

2

)

Cálculo dos deslocamentos

(

)

(

(

)

)

(

)

[

(

50

,

312

)

(

0

,

1491

)

4

,

472

]

1332500

1

4

667

,

0

40

3

1

4

5

,

22

5

,

112

2

667

,

0

6

1

472

,

4

667

,

0

2

1

5

,

112

6

1

31

,

19448

1

1 ⋅ ⋅ − +





⋅ ⋅ ⋅





+ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = QL  D rad   x  D  D_QL1 =

1

,

65

×

10

−2 −

2

,

52

×

10

−5

⇒

_QL1 =

1

,

65

10

−2

(

)

(

(

)

)

(

)

( )

[

50

,

312

1

,

043

4

,

472

]

1332500

1

4

5

,

22

5

,

112

2

667

,

2

6

1

4

667

,

2

40

3

1

472

,

4

667

,

2

5

,

112

3

1

31

,

19448

1

2 ⋅ ⋅ − +









⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = QL  D m  x  D  D_QL2 =

4

,

88

×

10

−2 −

1

,

76

×

10

−4

⇒

_QL2 =

4

,

86

10

−2

Cálculo dos coeficientes de flexibilidade

(

)

(

)

(

)

[

0

,

1491

4

,

472

]

1332500

1

4

667

,

0

3

1

472

,

4

667

,

0

1

1

667

,

0

667

,

0

667

,

0

1

1

2

6

1

31

,

19448

1

2 2 11 ⋅ +









⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = F  4 11 =

1

,

92

x

10

− F 

(

)

[

1

,

043

4

,

472

4

]

1332500

1

4

667

,

2

3

1

472

,

4

667

,

2

3

1

31

,

19448

1

2 2 2 22



+ ⋅ +







⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = F  3 22 =

1

,

04

x

10

− F 

( )

(

)

( )

( )

(

) ( ) (

)

[

]

4 12 21 12 21

10

61

,

3

472

,

4

043

,

1

1491

,

0

1332500

1

4

667

,

2

667

,

0

3

1

472

,

4

667

,

0

2

1

667

,

2

6

1

31

,

19448

1

− × = = ⋅ ⋅ +









⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = F  F  F  F