Lógica? É lógico
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Valéria Lanna
ÍNDICE
INTRODUÇÃO ... 2
1. TIPOS DE LÓGICA ... 4
2. NOÇÕES DE CONJUNTOS ... 5
3. ESTRUTURAS LÓGICAS...24
4. PARTES DA LÓGICA ... 248
5. CONECTIVOS LÓGICOS ... 32
6. ANÁLISE COMBINATÓRIA ... 75
7. PROBABILIDADE ... 95
ANEXOS ... 108
EXERCÍCIOS ... 111
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO:Esta prova visa a avaliar a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam a analisar as habilidades dos candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.
Lógica? É lógico
INTRODUÇÃO
Raciocínio Lógico Matemático, embora seja estudado pela Lógica como ramo da Filosofia, suas aplicações vão além de qualquer disciplina isoladamente considerada. Os padrões do raciocínio lógico são aplicáveis a qualquer área de estudo em que o argumento seja empregado, em especial nos raciocínios matemáticos, os quais são o enfoque do nosso trabalho.
O Raciocínio Lógico pode ser empregado em qualquer domínio onde as conclusões presumidamente devam apoiar-se em provas. Isto inclui um sério esforço intelectual, assim como nos casos práticos da nossa vida cotidiana.
Por falar em vida cotidiana, esta apostila foi elaborada com o objetivo específico para a provas de concursos. Por se tratar de aplicação prática, na qual a prova versará sobre a habilidade do candidato em entender a estrutura de relações lógicas nas relações arbitrárias entre pessoas, foi explorado o conceito e a dimensão do argumento nestas relações, a fim de atender nosso objetivo.
A lógica vem do grego logos, que significa palavra, pensamento, idéia, argumento, relato, razão lógica.
Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida.
Tradicionalmente, lógica é também a designação para o estudo de sistemas prescritivos de raciocínio, ou seja, sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para não errar, usando a razão, dedutivamente e indutivamente. A forma como as pessoas realmente raciocinam é estudado nas outras áreas, como na psicologia cognitiva.
Dá-se o nome de Lógica aristotélica ao sistema lógico desenvolvido por Aristóteles a quem se deve o primeiro estudo formal do raciocínio. Dois dos princípios centrais da lógica aristotélica são a lei da não-contradição e a lei do terceiro excluído. A lei da não-não-contradição diz que nenhuma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e a lei do terceiro excluído diz que qualquer afirmação da forma “P ou não ~P” é verdadeira. Esse princípio deve ser cuidadosamente distinguido do “princípio de bivalência”, o princípio segundo o qual para toda proposição (p), ela ou a sua negação é verdadeira. A lógica aristotélica, em particular, a teoria do silogismo, é apenas um fragmento da assim chamada lógica tradicional.
A Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência Artificial, e Ciência da computação.
Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o conhecimento humano pudesse ser expresso usando lógica com notação matemática, supunham que seria possível criar uma máquina com a capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se mostrou mais difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano. A programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é comumente utilizada para isto.
Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por humanos podem ser auxiliadas por computador. Usando demonstração automática de teoremas os computadores podem achar e checar demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações muito extensas.
Lógica? É lógico
1. TIPOS DE LÓGICA
Complementares da lógica clássica: além dos três princípios da lógica clássica, essas formas de
lógica têm ainda outros princípios que as regem, estendendo o seu domínio. Alguns exemplos:
Lógica modal: agrega à lógica clássica o princípio das possibilidades. Enquanto na lógica clássica
existem sentenças como: "se amanhã chover, vou viajar", "minha avó é idosa e meu pai é jovem", na lógica modal as sentenças são formuladas como "é possível que eu viaje se não chover", "minha avó necessariamente é idosa e meu pai não pode ser jovem", etc.
Lógica epistêmica: também chamada "lógica do conhecimento", agrega o princípio da certeza, ou
da incerteza. Alguns exemplos de sentença: "pode ser que haja vida em outros planetas, mas não se pode provar", "é impossível a existência de gelo a 100°C", "não se pode saber se duendes existem ou não", etc.
Lógica deôntica: forma de lógica vinculada à moral, agrega os princípios dos direitos, proibições e
obrigações. As sentenças na lógica deôntica são da seguinte forma: "é proibido fumar mas é permitido beber", "se você é obrigado a pagar impostos, você é proibido de sonegar", etc.
Anticlássicas: são formas de lógica que derrogam pelo menos um dos três princípios fundamentais
da lógica clássica. Alguns exemplos incluem:
Lógica paraconsistente: É uma forma de lógica onde não existe o princípio da contradição. Nesse
tipo de lógica, tanto as sentenças afirmativas quanto as negativas podem ser falsas ou verdadeiras, dependendo do contexto. Uma das aplicações desse tipo de lógica é o estudo da semântica, especialmente em se tratando dos paradoxos. Um exemplo: "fulano é cego, mas vê". Pelo princípio da lógica clássica, o indivíduo que vê, um "não-cego", não pode ser cego. Na lógica paraconsistente, ele pode ser cego para ver algumas coisas, e não-cego para ver outras coisas.
Lógica paracompleta: Esta lógica derroga o princípio do terceiro excluído, isto é, uma sentença
pode não ser totalmente verdadeira, nem totalmente falsa. Um exemplo de sentença que pode ser assim classificada é: "fulano conhece a China". Se ele nunca esteve lá, essa sentença não é verdadeira. Mas se mesmo nunca tendo estado lá ele estudou a história da China por livros, fez amigos chineses, viu muitas fotos da China, etc; essa sentença também não é falsa.
Lógica difusa: Mais conhecida como "lógica fuzzy", trabalha com o conceito de graus de
pertinência. Assim como a lógica paracompleta, derroga o princípio do terceiro excluído, mas de maneira comparativa, valendo-se de um elemento chamado conjunto fuzzy. Enquanto na lógica clássica supõe-se verdadeira uma sentença do tipo "se algo é quente, não é frio" e na lógica paracompleta pode ser verdadeira a sentença "algo pode não ser quente nem frio", na lógica difusa poder-se-ia dizer: "algo é 30% quente, 25% morno e 45% frio". Esta lógica tem grande aplicação na informática e na estatística, sendo inclusive a base para indicadores como o coeficiente de Gini e o IDH.
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A B
2. NOÇÕES DE CONJUNTOS
Conjunto é um agrupamento de elementos.
Se um elemento compõe um conjunto, dizemos que ele pertence a este conjunto, indicamos com o símbolo . por exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos de 3, escrevemos:
6 A (6 pertence a A) e 8 A (8 não pertence a A).
Embora os elementos de um conjunto podem ser qualquer coisa (mesmo outros conjuntos), representamos os conjuntos por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas.
Representação:
POR ENUMERAÇÃO:
Conjunto dos ímpares maiores que 10 e menores que 20 A = { 11, 13, 15, 17, 19}
POR PROPRIEDADE
A = { x / x é par 3 < x < 11} que corresponde ao conjunto A = { 4, 6, 8, 10 }
POR DIAGRAMA
A = { 0, 1, 3, 4 }
Conjunto Vazio
Denomina-se CONJUNTO VAZIO o conjunto que não possui elementos. Indica-se por ou por { }, mas não ambos { }
Exemplos:
O conjunto de números que são pares e ímpares aos mesmo tempo. O conjunto de números inteiros entre 1 e 2.
Igualdade de Conjuntos
Sejam conjuntos que possuem os mesmos elementos.
SUBCONJUNTOS OU PARTES DE UM CONJUNTO
Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B estão contidos em A, então dizemos que B A (B está contido em A) ou que A B (A contém B).
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
A
. 0 . 3 .
1 . 4
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Obs.: Número de Subconjuntos é dado por 2n, onde n é número de elementos do conjunto.
Exemplo 01: A = { 1,2,3} o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos, ou seja, P(A)={ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Exemplo 02: Um conjunto possui 512 subconjuntos, ao retirarmos 3 elementos desse conjunto, quantos
subconjuntos terá o novo conjunto? Resolução:
512 = 2n, logo ao fatorarmos 512 = 29, ou seja, teremos n = 9, menos 03 elementos sobram 06 elementos e então o novo conjunto ficará com 26 = 64 subconjuntos.
TRIÂNGULO DE PASCAL
Agora faremos uma pausa para recordarmos de um instrumento muito útil para explicar o porque do número de partes de um conjunto ser 2n , além de ser uma ferramenta muito útil no estudo de Análise Combinatória.
O triângulo de Pascal é de Pascal?
Qualquer pessoa que tenha um pouco de leitura e bom senso deve no mínimo estar suspeitando que o triângulo aritmético não seja uma descoberta ou invenção de Pascal. Por exemplo: a denominação desse triângulo varia muito ao longo do mundo. Com efeito, se bem que os franceses o chamem de triângulo de Pascal, os chineses o chamam de triângulo de Yang Hui, os italianos o chamam de triângulo de Tartaglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório.
Conforme descobriu Tartaglia, cerca de cem anos antes de Pascal, o triângulo aritmético também é bastante útil no cálculo de probabilidades. Com efeito, é fácil vermos que os coeficientes das expansões binomiais tem um significado combinatorial e, então, probabilístico.
Para construir o triângulo, Pingala , na Índia( 2000 anos antes de Pascal) descreve a seguinte regra:
Desenhe um quadradinho; abaixo dele desenhe dois outros, de modo que juntem-se no ponto médio da base dele; abaixo desses dois, desenhe outros três e assim por diante. A seguir, escreva 1 no primeiro quadradinho e nos da segunda linha. Na terceira linha escreva 1 nos quadradinhos dos extremos, e no do meio escreva a soma dos numeros acima dele. Prossiga fazendo o mesmo nas demais linhas.Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante.
Os livros indianos eram escritos em folhas de palmeira o que fêz com que poucos deles chegassem aos nossos dias.
China: 1 700 anos antes de Pascal O uso que os antigos chineses faziam do triângulo aritmético centrava-se no cálculo aproximado de raízes quadradas, cúbicas e etc. Os chineses não tinham uma álgebra literal e todo seu envolvimento com problemas algébricos era baseado em uma notação e procedimentos apropriados para o emprego de varetas de cálculo (instrumento que precedeu o conhecido suan pan, o ábaco chinês). O triângulo aritmético, que denominavam sistema de tabulação para descobrir coeficientes binomiais, encaixava-se perfeitamente bem nesse esquema.
E assim por diante.
O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números combinatórios.
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Triângulo de Pascal
n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8No exemplo 01em que consideramos o conjunto A = { 1,2,3} e que o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos ( soma das linhas) ,ou seja,
P(A)={ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL a) Toda linha começa e termina com o número 1.
b) Relação de Stifel : Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.
c) Simetria : O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura. d) Asoma das linhas é sempre 2n, onde n é o número da linha.
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f) Números Triângulares : a terceira diagonal é formada por números triângulares, que representam a soma dos números naturais :
1; 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6 ; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15; ... Generalizando : 2 ) 1 ( ... 3 2 1 n n n h) Sequência de Fibonacci
"as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci".Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em questão, façamos uma reorganização dos elementos do Triângulo de Pascal:
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OPERAÇÕES
INTERSEÇÃO: Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em comum, estes formam a INTERSEÇÃO destes conjuntos. A B = {x / x A e x B}
Exemplos: Propriedades
UNIÃO: Dados dois conjuntos quaisquer, a UNIÃO destes conjuntos é agrupar em um só
conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A B = { x / x A ou x B}
Exemplos: Propriedades
DIFERENÇA: Dados dois conjuntos quaisquer, a DIFERENÇA entre eles é tirar do primeiro os elementos comuns aos dois. A - B = { x / x A e x B }
Exemplos: Observação
Propriedade: O número de elementos da união de dois conjuntos A e B é igual à soma do número de elementos de A mais o número de elementos de B menos o número de elementos de A B. nA B = n + n - nA B A B 1) B A então (A – B) é o conjunto complementar de B em relação a A. CBA= A - B, com B A 1) A A = A 2) A = 3) A B = B A 1) A A = A 2) A = A 3) A B = B A
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS01- Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em
relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que: 210 pessoas compram o produto A
210 pessoas compram o produto B 250 pessoas compram o produto C 20 pessoas compram os 3 produtos 100 pessoas não compram nenhum dos 3 60 pessoas compram os produtos A e B 70 pessoas compram os produtos A e C 50 pessoas compram os produtos B e C Quantas pessoas foram entrevistadas? a) 670
b) 970 c) 870 d) 610
Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:
Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados ( letra d). E se perguntássemos o seguinte:
Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja: a) Consumidora de apenas um dos produtos?
61 37 610 370 1 P
b) Consumidora de no mínimo 02 produtos?
61 14 610 140 2 P
02- Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos.
Alguns resultados dessa pesquisa foram:
• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; • 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e • 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de
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Solução:
Quando somamos 82% + 78% + 75% = 235%, ou seja passam 135% de um todo( 100%) que é o equivalente às interseções de choc. com pizza e com batata( a flor do centro); porém ao somarmos dois a dois como se os alunos sempre consumissem no mínimo dois tipos de alimento, teremos:
82 + 75 = 157%, passou 57% 82 + 78 = 160%, passou 60% 75 + 78 = 153%, passou 53%
Somando agora o que passou obtemos 170% e deveria ser 135%, como achamos acima, logo 35% “estão repetidos”, ou seja, consomem os três alimentos, no mínimo.
03- Em uma escola tem n alunos, sabe-se que 56 lêem o jornal A, 21 lêem o jornal A e B, 106 lêem apenas
um dos dois jornais, e 66 não lêem o jornal B. O valor de n, é Solução:
O total de alunos é 35 + 21 + 71 + 31 = 158
04 - Num grupo de pessoas, 6 estão usando relógio, 8 estão usando óculos e 3 não estão usando nem
óculos nem relógio. Então, o número de pessoas desse grupo : a) é necessariamente 17;
b) é no mínimo igual a 14;
c) será igual a 12 se, e somente se, houver 5 pessoas que usam óculos e relógio ao mesmo tempo; d) será 12 se, e somente se, houver 2 pessoas que usam apenas óculos;
e) será 12 se, e somente se, houver 2 pessoas que usam apenas relógio. Solução: Podemos ter duas situações extremas:
Todos que usam relógio usam óculos ou Ninguém que use óculos, usa relógio.
Portanto, o número de pessoas é no mínimo 11 e no máximo 17.Assim a as letras a e b estão erradas.
O R O R 6 2 3 6 8 3 Jornal A Jornal B 56 – 21=35 21 106 – 35 = 71 66 – 35=31
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05 - Dos 50 desportistas que estão num clube em certo domingo, 17 jogam peteca, 32 jogam tênis de mesa
e 25 jogam tênis de mesa mas não jogam peteca. Pode-se afirmar que : a) 49 jogam peteca ou tênis de mesa;
b) há 8 desportistas que não jogam peteca nem tênis de mesa; c) há 15 que jogam tênis de mesa mas não jogam peteca; d) há 23 que não jogam peteca;
e) somente 8 desportistas não jogam tênis de mesa.
Solução:
Dos 50 desportistas que estão num clube em certo domingo, 17 jogam peteca, 32 jogam tênis de mesa e 25 jogam tênis de mesa mas não jogam peteca. Pode-se afirmar que :
Solução:
a) 49 jogam peteca ou tênis de mesa;(errado , pois a resp é 42) b) há 8 desportistas que não jogam peteca nem tênis de mesa;(certo)
c) há 15 que jogam tênis de mesa mas não jogam peteca; (errado , pois a resp é 25) d) há 23 que não jogam peteca; (errado , pois a resp é 33)
e) somente 8 desportistas não jogam tênis de mesa;(errado , pois a resp é 18)
06 - Na seqüência de números 1, 2, 3, ..., 100, quantos números não são múltiplos de 3 e nem de 4 ?
a) 50 b) 48 c) 46 d) 44 e) 42
SOLUÇÃO:
Múltiplos de 3 de 1 até 100 , é só dividir por 3 100 ÷ 3 = 33 e resto 1 Múltiplos de 4 de 1 até 100 , é só dividir por 4 100 ÷ 4 = 25
Múltiplos de 12 de 1 até 100 , é só dividir por 12 100 ÷ 12 = 8 e resto 4
O resto não é importante , mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo:
Peteca Tênis de mesa
17 – 7 = 10 32 – 25 25 = 7
50 – 42 = 8
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Logo temos 50 números que não múltiplos nem de 2 e nem de 4,ok!
07 - No último verão, o professor Délio passou com sua família alguns dias na praia. Houve sol pela manhã
em 5 dias e sol à tarde em 8 dias. Em 9 dias houve chuva e se chovia pela manhã, não chovia à tarde. Quantos dias o professor Délio passou na praia?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 SOLUÇÃO:
Sol pela manhã: 05 dias Sol à tarde: 08 dias
Chuva: 09 dias( pois se chove pela manhã não chove à tarde) Podemos deduzir que houve dias em deu sol o dia inteiro,Ok!
Sol apenas pela manhã implica em chuva à tarde = 5 – x Sol apenas pela tarde implica em chuva pela manhã = 8 – x
Total de dias com chuva 5 – x + 8 – x = 9 donde 2x = 13 – 9 logo x = 2 dias Ou seja, durante 02 dias deu sol o dia inteiro!
Portanto o total de dias que o Prof Délio passou na praia foi : 3 + 2 + 6 = 11 dias
Sol /manhã Sol/tarde
5 – x x 8–x
Sol apenas à tarde Sol apenas pela manhã
M(3) M(4)
33 – 8 = 8 25 – 8 =
25 17
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E ainda podemos concluir que: durante 03 dias deu sol de manhã e choveu à tarde e durante 06 dias deu sol à tarde e choveu pela manhã.
TESTES I
01. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.
PROGRAMAS Nº DE TELESPECTADORES E 400 N 1220 H 1080 E e N 220 N e H 800 E e H 180 E, N e H 100
Através destes dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a nenhum dos três programas:
a) 200
b) os dados do problema estão incorretos c) 900
d) 100
02.Num grupo de 30 pessoas, 21 estudam Francês, 14 estudam Inglês, enquanto três não estudam Francês nem Inglês. O número de pessoas que estudam ambas as línguas é:
a)3 b)4 c)6 d)8 e)13
03. O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa, com 75 estudantes universitários, sobre as revistas que eles costumam ler:
Revistas Nº de leitores A 34 B 25 C 33 A e B 15 A e C 14 B e C 8 A , B e C 5
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O número de estudantes que não lê nenhuma das revistas é: a)45 b)10 c)15 d)20 04. Dados os conjuntos: A = { 1, 3, 4, 7, 8 } B = { 2, 4, 6, 7 } e C = { 2, 3, 5, 7 }, Então o conjunto (A C) – B é: a) {1, 3, 5, 8 } b) {2, 3, 4, 6, 8 } c) {3} d) {3,8} e)
05. O número de conjuntos X que satisfazem { 1, 2 } X { 1, 2, 3, 4 } é :
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
06. Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é:
a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183
07. Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias, foi constatada a presença de três tipos de vírus – A, B e C. O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B.
Com base nessa situação, julgue os itens abaixo.
I. O número de pessoas contaminadas pelos três vírus simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas.
II. O número de moradores que apresentaram o vírus C é igual a 230. III. 345 moradores apresentaram somente um dos vírus.
IV. Mais de 140 moradores apresentaram, pelo menos, dois vírus.
V. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa de 16% do total de pessoas examinadas.
08. Numa cidade são consumidos três produtos, A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o resultado disposto na tabela abaixo:
Produtos Nº de consumidores A 150 B 200 C 250 A e B 70 A e C 90
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B e C 80 A, B e C 60 Nenhum dos três 180
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?
B) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B OU O PRODUTO C? C) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B?
D) Quantas pessoas consomem apenas o produto C? E) Quantas pessoas foram consultadas?
09. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
10. Uma população consome 3 marcas de um certo produto P1, P2 e P3. Feita uma pesquisa de mercado,
colheram-se os resultados abaixo:
Marca Nº de consumidores P1 62 P2 77 P3 60 P1 e P2 22 P2 e P3 35 P1 e P3 30 P1, P2 e P3 10 Nenhum dos três 50 Perguntas:
a) Qual o número de pessoas consultadas?
b) Qual o número de pessoas que só consomem a marca P1?
c) Qual o número de pessoas que não consomem as marcas P1 ou P3?
d) Qual o número de pessoas que consomem, ao menos, duas marcas?
11. Na cidade de Lavras é consumido leite dos tipos: A, B e C. Feita uma pesquisa de Mercado sobre o consumo deste produto, foram colhidos os resultados da tabela abaixo:
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Leite Nº de consumidores A 100 B 150 C 200 A e B 20 B e C 40 A e C 30 A , B e C 10 Nenhum dos três 130a) Quantas pessoas foram consultadas?
b) Quantas pessoas consomem só dois tipos de leite? c) Quantas pessoas não consomem o leite B?
12. Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que freqüentam, pelo menos, uma das três livrarias, A , B e C. Foram obtidos os seguintes dados:
das 90 pessoas que freqüentam a Livraria A, 28 não freqüentam as demais; das 84 pessoas que freqüentam a Livraria B, 26 não freqüentam as demais; das 86 pessoas que freqüentam a Livraria C, 24 não freqüentam as demais; oito pessoas freqüentam as três livrarias.
a) Determine o número de pessoas que freqüentam apenas uma das livrarias. b) Determine o número de pessoas que freqüentam, pelo menos, duas livrarias. c) Determine o número total de pessoas ouvidas
13. Uma escola de idiomas ofere apenas três cursos: um curso de alemão, um curso de francês e um curso de inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de alemão, 30% no curso de françês e 40% no de inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o numero de alunos matriculados em mais de um curso e igual a:
A)30 c)15 d)5 B)10 e)20
14. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos, e C com 4 elementos; então, podemos afirmar que:
a) A B tem no máximo 1 elemento. b) A C tem no máximo 5 elementos. c) A B tem no máximo 3 elementos. d) (A B) C tem no máximo 2 elementos. e) (A B) C tem sempre 9 elementos.
15. Num ensolarado domingo o clube ficou repleto. Contando-se somente as mulheres, são 100, 85 das quais estão próximas da piscina, 80 usam bíquini, 75 tomam algum tipo de bebida e 70 são casadas. Qual o número mínimo delas que apresentam , ao mesmo tempo, todas as características citadas?
a) 5 b) 10
Lógica? É lógico
c) 15 d) 20 e) 25
16. Fenelon veste-se apressadamente para um encontro muito importante. Pouco antes de pegar as meias na gaveta, falta luz. vEle calcula que tenha 13 pares de meias brancas, 11 pares de meias cinzas, 17 pares de meias azuis e 7 pares de meias pretas. Como elas estão todas misturadas ele resolve pegar um certo número de meias no escuro e, chegando no carro, escolher duas que tenham cor igual para vestir. Qual é o menor número de meias que Fenelon poderá pegar para ter certeza de que pelo menos duas são da mesma cor? a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 5
17. (ESAF/Tec.M.Faz/2009) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?
a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25%
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
18 . (UnB/Esp./SEGER/2007) Considere que um conjunto de empregados de uma empresa tenha respondido integralmente ao teste apresentado e tenha sido verificado que 15 deles fizeram uso da opção “às vezes”, 9, da opção “raramente” e 13, da opção “sempre”. Além disso, 4 desses empregados usaram as opções “às vezes” e “raramente”, 8 usaram as opções “às vezes” e “sempre”, 4 usaram as opções “raramente” e “sempre”, e 3 usaram “às vezes”, “sempre” e “raramente”. Nessas situação, é correto afirmar que menos de 30 empregados dessa empresa responderam ao teste.
Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15 possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de mestre e doutor e não eram professores universitários.
19. ( ) (UnB/Téc./STF/2008) Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores universitários.
20. ( ) (UnB/Téc./STF/2008) Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários.
Lógica? É lógico
GABARITO 01.A 02. D 03. C 04. C 05.B 06. C 07. C.E.C.C.E 08. a) 50 b) 420 c) 280 d) 140 e) 600 09. a) 36 b) 59 c) 20 10. a) 172 b) 20 c) 80 d) 67 11. a) 500 b) 60 c) 350 12. a) 78 b) 87 c) 165 13. A 14 . D 15. B 16. E 17. C 18. C 19. C 20. C FRASE DO DIA"Fala-se tanto da necessidade de deixar um planeta melhor para os nossos filhos e esquece-se da urgência de deixarmos nossos filhos melhores para o nosso planeta." A verdade é que a gente não faz filhos. Só faz o layout. Eles mesmos fazem a arte-final.
Luís Fernando Veríssimo
Desafios
01) Numa brincadeira na escola de Diofanto, ele deve retirar o menor número possível de frutas ( sem ver)
de uma das três caixas rotuladas da seguinte maneira: maçã, pera e maçã e pera, onde os rótulos estão todos fora de ordem.Quantas frutas ele deve retirar para colocar os rótulos nas caixas corretas e de qual(ais) caixas ele deve fazê-lo?
02) O agente da UCT , Jack Bauer foi entregue ao terrorista Abu Fayed , e o terrorista disse: “ Diga uma
frase para salvar sua vida: Se ela for verdadeira, nos te fuzilamos; porém se for falsa, nos te enforcamos.” Jack Bauer pensou rapidamente, disse a frase e saiu livre e vivo, como sempre...
Me diga então:
- Qual foi a frase dita por Jack ?
03) O DIA DO JULGAMENTO FINAL
Segundo uma antiga lenda, quando morremos nos deparamos com dois guardiões que estão à frente de duas portas : uma nos leva ao céu e a outra ao inferno. Não sabemos qual porta é qual, sabemos apenas que um dos guardiões diz sempre a verdade e outro mente sempre, mas também não sabemos qual é qual?
Qual a pergunta (e uma só pergunta) que devemos fazer para que possamos desfrutar de uma vida eterna no céu?
Lógica? É lógico
04) Valéria quis saber do amigo enigmático Fenelon Portilho quais eram as idades de seus três filhos. Ele
deu a primeira pista :
- O produto de suas idades é 36.
- Ainda não é possível saber, disse Valéria.
- A soma das idades é o número da casa aí em frente. - Ainda não sei.
- Meu filho mais velho é ATLETICANO. - Agora já sei, afirmou Valéria.
Qual era o número da casa em frente?
05) Investigando uma fraude bancária, o Detetive Marcelo Carvalho colheu evidências que o convenceram
da verdade das seguintes afirmações:
1) Se Henrique é culpado, então Rafael é culpado.
2) Se Henrique é inocente, então Rafael ou Pedro são culpados. 3) Se Pedro é inocente, então Rafael é inocente.
4) Se Pedro é culpado, então Henrique é culpado.
As evidências colhidas por Carvalho indicam, portanto, que: a)Henrique, Pedro e Rafael são inocentes.
b) Henrique, Pedro e Rafael são culpados.
c) Henrique e culpado, mas Rafael e Pedro são inocentes. d) Henrique e Rafael são inocentes, mas Pedro e culpado. e) Henrique e Pedro são culpados, mas Rafael e inocente.
06) A banda U2 tem um concerto que começa daqui a 17 minutos e todos precisam cruzar a ponte para
chegar lá. Todos os 4 participantes estão do mesmo lado da ponte. Você deve ajudá-los a passar de um lado para o outro. É noite. Na ponte só pode passar no máximo duas pessoas de cada vez. Só há uma lanterna.
Qualquer pessoa que passe, uma ou duas, deve passar com a lanterna na mão. A lanterna deve ser levada de um lado para o outro, e não pode ser jogada, etc. Cada membro da banda tem um tempo diferente para passar de um lado para o outro. O par deve andar junto no tempo do menos veloz:
Bono:- 1 minuto para passar Edge:- 2 minutos para passar Adam:- 5 minutos para passar Larry:-10 minutos para passar
Por exemplo: se o Bono e o Larry passarem juntos, vai demorar 10 minutos para eles chegarem do outro lado. Se o Larry retornar com a lanterna, 20 minutos terão passados e o show sofrerá um atraso.
Lógica? É lógico
3. ESTRUTURAS LÓGICAS
Definição de Lógica
Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos.
Outra definição interessante é a de Liard, que reconhece a Lógica como “ciência das formas do pensamento”, formas essas que podem ser tomadas em sentido geral ou particular. Em sentido geral, temos a Lógica como ciência, estudando as leis formais do raciocínio, como procede e como pensa o nosso espírito; ao passo que em sentido particular, temos a Lógica estudando o modo de ser dessas leis na atividade do espírito, quando ele se aplica em alguma coisa.
Sócrates foi inovador no método e nos tópicos em que ele abordou. Sua contribuição à filosofia ocidental foi essencialmente de caráter ético. Seus ensinamentos visavam chegar ao entendimento de conceitos com justiça, amor e virtude, procurando definições gerais para tais idéias. Ele acreditava que o vício era o resultado da ignorância e que as pessoas não são más por escolha. A virtude vem do conhecimento; aqueles que tem conhecimento têm virtude e, portanto, agem corretamente e as pessoas que não agem eticamente, o fazem por falta de conhecimento. De acordo com sua teoria, uma pessoa que sabe que algo está errado, não agiria apesar de saber que sua ação não seria correta. Sócrates acreditava que virtude é igual a conhecimento, então virtude pode ser ensinada.
Sócrates se concentrou no problema do homem, buscando respostas para origem da essência humana. Sócrates chegou à conclusão que o homem é a sua alma, ou seja, o seu consciente; o que o distingue como homem. O homem é a sua razão, seu intelecto, seus conceitos éticos, sua personalidade intelectual e moral e sua consciência.
A lógica, como toda pesquisa filosófico-científico, gira em torno da verdade. Aliás, Aristóteles criou a Lógica como instrumento que mais seguramente o conduzisse à verdade.
Aristóteles foi quem criou a lógica o que ele chamava naquela época de analítica. Pois a palavra lógica só será conhecida no período helenístico.
Para Aristóteles a lógica é um instrumento para o exercício do pensamento e da linguagem, oferecendo – lhes meios para realizar o conhecimento e o discurso e não uma ciência teorética, nem pratica nem produtiva, mas um instrumento para as ciências, para o conhecer.
Ele oferece procedimentos que se referem a todas as coisas das quais possamos ter um conhecimento universal e necessário, seu ponto de partida não é opiniões contrárias, mas princípios, regras e leis necessárias e universais do pensamento.
O objeto da lógica para Aristóteles é a proposição, que exprime, por meio da linguagem, os juízos formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.
A lógica estuda os elementos que constituem uma proposição, os tipos de proposições e de Silogismo e os princípios necessários a que toda proposição e todo Silogismo devem obedece para serem verdadeiros.
Lógica? É lógico
Divisão Da Lógica
A verdade pode sofrer uma série de conceituações. Vejamos as conseqüentes:
Correspondência entre o conhecimento e o objeto - É o conceito mais antigo e que pode ser expresso como “o acordo do pensamento com seus objetivos”.
Coerência lógica - Segundo este conhecido em sua essência, em si, afirmando Kant que a verdade consiste na concordância dos pensamentos entre si e com leis do pensamento. Logo, um juízo será verdadeiro quando se ajustar às normas e leis a do pensamento.
Utilidade prática - É o conceito de funcionalidade, de utilidade que vai prevalecer. A verdade como utilidade é defendida pelo pragmatismo (pragma=ação), que diz ser verdadeiro um juízo quando se apresentar conseqüente, isto é, quando se revelar eficaz, não só na vida prática, como na vida espiritual. Uma teoria será verdadeira se por meio dela for possível explicar uma série de fenômenos e agir mais eficientemente sobre o meio.
No item anterior foi mencionado o termo verdade, é necessário fazer distinção sobre diferentes tipos de verdade, segundo o conjunto de fatos a que ela se referir:
Verdade lógico formal - é a que se refere à coerência na estrutura do raciocínio quanto as conclusões
alcançadas, obedecendo a princípios formais do pensamento e segundo enunciados estabelecidos, a partir dos quais se desenvolve o pensamento que expressa uma nova proposição, um novo enunciado ou uma nova verdade. Assim, a verdade lógico-formal é a eu representa acordo com as leis do pensamento, a partir de princípios ou definições anteriormente estabelecidos.
Verdade objetiva - é a que se refere à conformidade do conhecimento com a coisa conhecida ou a
“conformidade do pensar com o ser”. Se digo que o dia está nublado, é preciso que, no instante que faça tal afirmação o céu esteja, realmente, nublado.
Verdade ontológica, metafísica ou do ser - é a que se refere à essência mesma das coisas. Quando digo
que a manteiga é pura, quero dizer que não foi acrescido nenhum elemento estranho, mas que só contém a natureza própria da manteiga. Em outras palavras, exprime o ser das coisas, correspondendo exatamente ao nome que se lhe dá.
Verdade moral - é a que se refere ao agir, à “conformidade da expressão oral com a mente”, podendo
receber o nome também de veracidade. A verdade moral significa a correspondência entre a expressão do pensamento e o pensamento.
O espírito com relação a verdade, pode encontrar-se nos seguintes estados:
Ignorância - ausência de conhecimento.
Dúvida - estado de espírito que não se atreve a afirmar ou negar algo sobre o objeto, a dúvida ainda pode
Lógica? É lógico
Espontânea falta dados.
Refletida dados insuficientes.
Metódica quando existe mais de uma atitude mental e todos os dados são verdadeiros.
Universal é representada por uma posição filosófica, dos céticos.
Opinião - consiste em afirmar ou negar algo com temor de estar equivocado. Trata-se de uma crença
incompleta, baseada em razões que se sabe são insuficientes.
Certeza - A certeza é um estado psicológico que dá segurança absoluta a uma opinião porque não abriga
nenhuma dúvida sobre a sua validade, a certeza ainda pode subdividir-se em:
Certeza Subjetiva - é aquela em que o sujeito não pode torná-la evidente nos outros, porque se baseia
em razões que não podem ser aceitas por todos ou que podem sofrer reservas dos demais.
Certeza Objetiva - é aquela que se estrita em dados impessoais e que se impõe a todos por basear-se em dados decorrentes da observação externa e da experiência. É a certeza científica.
Vejamos agora, quais os critérios que podem relevar ao espírito a verdade:
Critério da autoridade - utilizando-se o crivo das comprovações, é utilizado pela ciência para seqüência as
investigações científicas.
Critério da Evidência - para Descartes é o único meio de alcançar conhecimentos verdadeiros. É clareza
plena pelo qual o verdadeiro se impõe à adesão da inteligência.
Critério do Consenso Universal - “Se todos a aceitam é porque é verdadeira”. “A voz do povo é a voz de
Deus”.
Critério do Sentido Comum - Seria como um instinto que nos revela certas verdades que seriam a própria
base da ciência. Neste critério só é verdadeiro se estiver isento de contradições, é um sentido comum a todos os homens.
Critério da Necessidade Lógica - critério específico para o estudo da Lógica e da Matemática, nem sempre
eficiente no campo das Ciências Físicas Naturais.
Critério das Experiências - a verdade pode ser confirmada pela experiência ou que for impossível
apresentar o seu contrário.
Decorre ainda na investigação da verdade a necessidade de submeter os conhecimentos científicos aos critérios seguintes:
Critério da Coerência - é um critério de verdade importante para as ciências de caráter dedutivo, bem
Lógica? É lógico
Critério da Cópia - é uma correspondência que pode ir desde á reprodução fiel, detalhe por detalhe, até
uma reprodução em linhas gerais, abarcando a totalidade: assim como o retrato de uma pessoa pode ir da fotografia até o quadro futurista ou à caricatura.
Critério do Sentido - “Segundo o qual um sistema de juízos é verdadeiro se todo ele está compreendido
em uma atmosfera única, em uma estrutura que lhe confere unidade e sentido”. A este critério constituem as chamadas ciências do espírito, das quais, a ciência típica é a Filosofia.
Critério do Êxito - é aquele dos conhecimentos técnicos, seu valor êxito ou fracasso.
Desde que nos referimos a verdade, será interessante dizer algo a respeito do seu oposto, que é o erro.
O erro é o oposto da verdade. “Se a verdade lógica é a conformidade da inteligência com as coisas, o erro, que é o seu contrário, deverá ser definido como não-conformidade do juízo com as coisas”. (Jolivet)
Há diferença entre engano e ignorância. Enquanto a ignorância consiste em nada saber, logo, nada afirmar, engano consiste em não saber e afirmar sobre o pressuposto de que sabe. É uma ignorância que se ignora.
O erro, em Lógica, chama-se falsidade. Em Moral, quando a pessoa erra conscientemente, chama-se mentira.
O erro pode ter causa lógica, psicológica ou moral.
Causa Lógica - quando provém da insuficiência de inteligência, que não consegue desenvolver uma
atividade crítica, ou da apreensão equívoca do significado de termos:
Causa Psicológica - quando provém de insuficiência de atenção, de memória, de intuição ou quando
provém de reações motivadas inconscientemente, como no caso de recalques ou conturbações intelectual e emotiva, provocada por paixões;
Causa Moral - quando provém de atitudes de vaidade, interesses egoísticos, preguiça mental, etc.
RESUMO DA ESTRUTURA LÓGICA
Definição:
Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las na investigação e demonstração da verdade.
Lógica é ciência enquanto estuda as leis gerais do pensamento ou a concordância do pensamento consigo mesmo.
Lógica é arte enquanto fornece regras a investigação da verdade dos fatos ou a concordância do pensamento com o objeto.
Bom senso é a lógica natural, aptidão inata da inteligência para descobrir a verdade.
A Lógica como ciência consta de:
Matéria - O que se investiga (leis do pensamento). Forma - Como se investiga ou se aplica (método).
Objeto da Lógica:
Material - Elementos do pensamento (idéia, juízo e raciocínio).
Lógica? É lógico
Divisão da Lógica:Formal - Estuda as leis gerais do pensamento. É a ciência do raciocínio.
Aplicada - Estuda a aplicação das leis gerais do pensamento em cada uma das ciências particulares.
4. PARTES DA LÓGICA
A Lógica Formal trata das leis gerais do pensamento, no que eles tenham de “igual e comum”, o que as torna universais e aplicáveis em todas as operações do intelecto.
Podemos identificar, na Lógica Formal, três partes distintas constituindo um todo indissolúvel, que é o pensar humano. Estas três partes são: idéia, juízo e raciocínio, enquanto pensamento. E termo, proposição e argumento, respectivamente enquanto representação sensível, concreta, por sons orais ou por quaisquer símbolos representativos. Em outras palavras, a idéia se manifesta através do termo, o juízo pela proposição e o raciocínio pela argumentação.
Assim, o estudo da idéia e termo, juízo e preposição, raciocínio e argumento constituem as preocupações da Lógica Formal.
Idéia = Homem, Brasil, Zé, etc
Proposição = O homem é um eterno esperançoso. Raciocínio = Toda esperança é vida;
eu sou esperança ; logo eu sou vida IDÉIA
IDÉIA - é o conceito ou a noção de como a nossa inteligência percebe um objeto, uma situação ou um desejo. É a forma como algo (um objeto) é percebido pela nossa inteligência. Nem todas idéias no entanto são imagens, muitas são puramente intelectuais, fruto de abstração, para os quais não há imagem de objeto algum. Quando pensamos em uma cadeira ou um lápis, realmente fazemos uma representação intelectual desses objetos. Quando, no entanto, pensamos em pátria, existência ou eternidade, não fazemos representação mental alguma. O que dá validade, neste caso, à idéia é o sentido, a significação de que as mesmas são portadores. As idéias podem estar em planos diferentes por exemplo os objetos estão no plano concreto, as desmaterializadas são idéias menos concretas e que permitem o desenvolvimento da Matemática e num terceiro plano as idéia abstratas de pura especulação intelectual.
Compreensão da Idéia
Não é mais do que a sua significação. A compreensão pode ser identificada com a qualidade. As qualidades que uma idéia reúne formam sua compreensão. Se dizemos homem, compreendemos animal, mamífero, bímano (que tem duas mãos), racional, etc., que são as suas notas compreensivas ou qualitativas.
Extensão da Idéia
Não é mais que o conjunto de indivíduos aos quais podemos aplicá-la, por se acharem compreendidos nela. A extensão pode ser identificada com a quantidade. Se dizemos animal, reunimos ou somamos os grupos de vertebrados, invertebrados, mamíferos, racionais, irracionais etc. Dizendo homem, só nos referimos aos animais racionais, ao passo que animal, estão subentendidos todos os animais racionais ou não. Toda idéia tem compreensão e extensão determinadas, variando, porém, em ordem inversa. Daí a lei: A compreensão de uma idéia está na ordem inversa de sua extensão.
OBS.: A idéia não deve encerrar nenhum elemento contraditório. Todas as idéias tendem para certa realidade. Quando não apresentam objetos da realidade, podem apresentar noções abstratas, sem existência objetiva. Devem se excluir da idéia elementos incompatíveis como:
Lógica? É lógico
Esfera plana Sol sem luz
A contradição muitas vezes existe em uma idéia e passa despercebida. O que nos preserva, no entanto, desse engano, é a definição, que será tratada mais adiante.
Divisão das Idéias
As idéias podem ser consideradas segundo a perfeição de representar o objeto, a compreensão e a extensão.
Idéias quanto à perfeição:
Adequada - quando se esgota o que pode ser conhecido da coisa: relâmpago, Zé. A idéia é inadequada
quando não se esgota o sentido do ser conhecido, podendo referir-se a mais de uma coisa: clarão, som, vulto.
Clara - quando os elementos percebidos são suficientes para distinguí-la das outras: homem, peixe. Será
obscura quando não oferecer elementos suficientemente diferenciativos: objeto voador (não sabemos o que é), animal peludo (qual? poderia ser macaco ou um urso, por exemplo).
Distinta - quando a idéia se apresenta com todos os seus dados significativos individualizantes: relógio -
pulseira de ouro, marca Ômega. Será confusa quando não tiver esses elementos diferenciativos: relógio, veículo.
Idéia quanto à compreensão:
Superficial - quando consta de um só elemento significativo: ser, ente.
Completa - quando consta de mais de um elemento significativo: homem, Brasil, foguete. Idéias quanto à extensão:
Superficial - quando designa especificamente um determinado ser: este lápis, o primeiro satélite artificial. Particular - quando designa parte de uma classe ou gênero de seres: muitos soldados, alguns aviões.
Universal - quando designa todos os seres de uma mesma espécie ou gênero, por conter a sua compreensão um elemento ou essência comum, ou ainda, quando exprime uma noção despojada de qualquer elemento sensível, obtida pela abstração. As idéias universais distribuem-se pelo gênero, espécie, diferença, próprio e acidente, conforme se segue respectivamente: animal (gênero), homem (espécie), racional (diferença), palavra (próprio) e pobre (acidente).
Idéias Universais - Na classificação das idéias, as universais merecem atenção especial. Elas se distribuem,
como vimos por gênero, espécie, diferença, próprio e acidente.
TERMO
É a expressão material da idéia e que permite a sua transmissão de um homem par a outro. O termo segue as mesmas linhas mestras da idéia, e não poderia ser diferente, uma vez que é a sua representação concreta. O termo, como a idéia, pode ser dividido quanto à perfeição de representação, extensão e compreensão.
Lógica? É lógico
Termos quanto à Perfeição na Represen-tação da Idéia:Unívoco - quando se aplica a uma só idéia: homem, Deus.
Equívoco - quando se aplica a idéias diversas: manga (parte do vestuário), manga (fruta), gato (animal),
gato (elogio).
Análogo - quando se aplica a diversas idéias que se relacionam por alguma semelhança: grandeza, riqueza
e poderio; doença miséria e pobreza.
Termo quanto à Compreensão:
Incomplexo - quando o termo é expresso por um só elemento vocabular: rádio, televisão.
Complexo - quando o termo é expresso por um só elemento vocabular: homem santo, pedra grande,
navio-escola.
Termos quanto à Extensão:
Singular - quando o termo convém a um só indivíduo: Pelé, Brasil.
Particular - quando convém a certo número de indivíduos: alguns livros, muitos satélites artificiais.
Universal - quando representa uma idéia universal, convindo a todos ou nenhum indivíduo de uma espécie
ou gênero: todo animal, nenhum telefone.
Um termo pode também ser considerado em função ao enunciado de um juízo e no papel que desempenha em um silogismo.
JUÍZO
O juízo representa o ato em que o pensamento afirma ou nega uma coisa de outra. O pensamento apreende no universo lógico de duas idéias e as aproxima. A seguir, procede a uma comparação, da qual resultará um julgamento de conveniência ou incoveniência entre as duas idéias. Este julgamento do pensamento é a essência do juízo. Nele reside todo o valor deste ato intelectual.
O juízo processa-se em três fases: apreensão das idéias, comparação das mesmas e julgamento da conveniência e incoveniência de uma com a outra.
O juízo em si não é verdadeiro nem falso, mas possível ou impossível. Possível quando as idéias comparadas não são contraditórias e impossível, quando o são.
Lógica? É lógico
PREMISSADo latim : praemissa
Cada uma das duas proposições de um silogismo. SILOGISMO
Do latim : syllogismus
Dedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas premissas, delas se tira uma terceira, nelas logicamente implicada, chamada conclusão.
Exemplos de silogismos:
01. Deus ajuda quem cedo madruga... Quem cedo madruga, dorme à tarde... Quem dorme à tarde, não dorme à noite... Quem não dorme à noite, sai na balada!!!!!!! Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!!
02. Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios de buracos.
Quanto mais queijo, mais buracos.
Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. Assim, quanto mais buracos, menos queijo.
Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo.
03. Toda regra tem exceção.
Isto é uma regra.
Logo, deveria ter exceção.
Portanto, nem toda regra tem exceção.
04. Existem biscoitos feitos de água e sal.
O mar é feito de água e sal.
Logo, o mar pode ser um biscoitão.
05. Quando bebemos, ficamos bêbados.
Quando estamos bêbados, dormimos.
Quando dormimos, não cometemos pecados.
Quando não cometemos pecados, vamos para o Céu. Então, vamos beber para ir pro Céu!
06. Hoje em dia, os trabalhadores não têm tempo pra nada.
Já os vagabundos... têm todo o tempo do mundo. Tempo é dinheiro.
Logo, os vagabundos tem mais dinheiro do que os trabalhadores.
Lógica? É lógico
PROPOSIÇÃO“Vem de “propor” que significa submeter à apreciação; requerer em juízo, vem do latim prõpõnere.
Logo proposição é uma frase a ser julgada.”
Chama-se proposição ou sentença toda declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa, ou seja, é todo encadeamento de termos, palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo.
Toda proposição apresenta três características obrigatórias: sendo oração, tem sujeito e predicado;
é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa)
tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira(V) ou é falsa (F).
Exemplos: São proposições:
a) 9 5 ( nove é diferente de cinco) b) 7 3 ( sete é maior que três) c) Hoje é quinta – feira.
d) Botafogo é o melhor time do Brasil. e) Todo animal é um vegetal.
Não são consideradas proposições as frases: f) 3 . 5 + 1 ( onde falta predicado) g) x Q ( que é oração interrogativa)
h) 3x - 1=11 (não pode ser classificada em verdadeira ou falsa). i) Quem vai ganhar hoje?
Questões de Provas
01.(UNB/2007)Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. 1.“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
2.A expressão X + Y é positiva. 3.O valor de 4 + 3 = 7 .
4.Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. 5.O que é isto?
02. (UnB/Téc./SEGER/ES/2006) Considere a seguinte lista de frases: 1 Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.
2 Qual é o horário do filme?
3 O Brasil é pentacampeão de futebol. 4 Que belas flores!
5 Marlene não é atriz e Djanira é pintora.
Lógica? É lógico
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS.• Toda proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma é dita simples, caso contrário ela é dita composta.
• Exemplos:
a) A afirmação : O sol é uma estrela, é uma proposição, cujo valor lógico é verdadeiro. b) Todo ser vivo é mamífero é uma proposição, cujo valor lógico é falso.
c) Todo homem é mortal, é verdadeira. d) 3+5 8; é uma proposição falsa simples.
e) O sol é uma estrela e o gelo é quente, é uma proposição falsa composta.
f) A proposição: Se o gato late, então o cachorro mia”, é uma proposição verdadeira.
5. CONECTIVOS LÓGICOS
São expressões que servem para unir duas proposições ou transformar uma proposição formando uma nova proposição.
Os conectivos lógicos básicos são: não, e, ou, se, ..., então, e se e somente se. AS TABELAS VERDADE
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:
Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma
delas é falsa.
Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.
Ao analisarmos uma proposição ela poderá ser verdadeira ou falsa, assim podemos construir o corpo de uma tabela-verdade. A B V V V F F V F F
Ou ainda se tivermos julgando três proposições o corpo da tabela-verdade ficaria assim:
A B C
V V V
V V F
Lógica? É lógico
V F F F V V F V F F F V F F FE continuando se tivermos 04 proposições teríamos uma tabela de 16 linhas pois seriam 2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16 possibilidades de valorações das proposições.
CONJUNÇÃO
A conjunção A B é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então A B é falsa.
Este critério está resumido na tabela ao abaixo, onde são examinadas todas as possibilidades para A e B.
Este critério está resumido A B A B
Na tabela-verdade ao lado V V F F V F V F V F F F Exemplos:
A: O sol é uma estrela (V) B: A lua é uma estrela (F)
A B: O sol é uma estrela e a lua é uma estrela, é uma proposição falsa (F).
A: 5>3 (V) B: 3>1 (V)
A B: 5 > 3 e 3 > 1, É uma proposição verdadeira.
A : 3 + 4 = 7
B : é “Pedro é magro”
A B: 3 + 4 = 7 e “Pedro é magro” é uma proposição que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F) dependendo do valor lógico de q, a qual pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).
DISJUNÇÃO
A disjunção p q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p q é falsa.
Este critério está resumido A B A B
Na tabela-verdade ao lado V V F F V F V F V V V F
Lógica? É lógico
Exemplos:
p: “O sol é uma estrela” (V) q: “O gelo é quente” (F)
p q: “O sol é uma estrela ou o gelo é quente” é uma proposição verdadeira.
p: 4<3 (F)
q: “todo ser vivo é mamífero” (F)
p q: 4>3 ou “todo ser vivo é mamífero” é uma proposição falsa.
p: A terra é quadrada (F) q: “João Paulo é especial”
p q: “Altera é quadrada ou João Paulo é especial”
pode ser uma proposição verdadeira ou falsa, dependendo do valor lógico de q.
Questões de Prova
03. (Delegado da Polícia Civil/ES) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições.
Considere verdadeiras as duas premissas abaixo:
O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto. O raciocínio de Pedro não está correto.
Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta.
04. (UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Considere que são V as seguintes proposições:
- “Se Joaquim é desembargador ou Joaquim é ministro, então Joaquim é bacharel em direito”; - “Joaquim é ministro”.
Nessa situação, conclui-se que também é V a proposição a) Joaquim não é desembargador.
b) Joaquim não é desembargador, mas é ministro.
c) Se Joaquim é bacharel em direito então Joaquim é desembargador.
d) Se Joaquim não é desembargador nem ministro, então Joaquim não é bacharel em direito. e) Joaquim é bacharel em direito.
CONDICIONAL
Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:
o condicional se ... então.... (símbolo:);
Lógica? É lógico
O condicional se A, então B (AB) é falso somente quandoA é verdadeira e B é falsa; caso contrário pq é verdadeiro.
DICA : “A CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA NO VALÉRIA FALOU TÁ FALADO”
Veja a tabela-verdade A B A B Correspondente à proposição A B: V V F F V F V F V F V V Exemplos
01. A: O sol é uma estrela (V) B: A lua é uma estrela (F)
A B: O sol é uma estrela então a lua é uma estrela é uma proposição falsa.
02. A: A terra é quadrada (F) B: Miguel é especial
A B: A terra é quadrada então Miguel é especial será sempre verdadeira independentemente do valor lógico de B.
03. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento.
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. e) Vera e Vanderléia não viajaram.
Solução: Finalmente, a última conclusão que iremos extrair, com base no nosso quadro-resumo que rege a estrutura em tela, é a seguinte:
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. (F) (F)
Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. (F) (F) Se Vanderléia viajou, o navio afundou.
(F) (F) Ora, o navio não afundou.
(V)
Pronto! Agora, resta-nos elencar as conclusões todas do nosso raciocínio. Foram as seguintes: O navio não afundou. (premissa incondicional, “verdade” do enunciado);
Vanderléia não viajou. (conclusão da terceira proposição); Carla foi ao casamento. (conclusão da segunda proposição); Vera não viajou. (conclusão da primeira proposição).
Lógica? É lógico
Daí, compararemos nossas conclusões acima com as opções de resposta. E chegamos, enfim, à resposta da questão, que é a opção E (Vera e Vanderléia não viajaram).
04.Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo:
a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia
b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz
d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz
Já sabemos que esta última premissa (“Beto não briga com Bia”) é a premissa incondicional, a “verdade” do enunciado e ponto de partida da resolução da questão! Nesta resolução, saltaremos os saltos intermediários, e apresentaremos já todo o raciocínio desenvolvido. Ok? Teremos o seguinte:
Se Beraldo briga com Beatriz (F), então Beatriz briga com Bia. (F)
Se Beatriz briga com Bia (F), então Bia vai ao bar.(F) Se Bia vai ao bar (F) , então Beto briga com Bia.(F) Ora, Beto não briga com Bia. (V)
Daí, as conclusões que extrairemos do nosso raciocínio são as seguintes:
Beto não briga com Bia. (“premissa incondicional”); Bia não vai ao bar. (conclusão da terceira premissa);
Beatriz não briga com Bia. (conclusão da segunda premissa); Beraldo não briga com Beatriz.
Em comparação com as opções de resposta, concluímos que a resposta correta será o item C (“Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz”).
Analise esta agora...
Na música do Engenheiros Do Hawaii ...
“Crimes perfeitos não deixam suspeitos”(Humberto Gessinger): é verdadeira, logo:
- Renato cometeu um crime.
- Renato é suspeito. - Logo o crime não foi perfeito.
QUESTÕES DE PROVA
05. (Delegado da Polícia Civil/Es) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e é considerada correta quando,
partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições.
Lógica? É lógico
(1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso. (2) O criminoso não foi preso.
(3) Portanto, o crime foi perfeito.
Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a seqüência é uma dedução lógica correta.
(Petrobrás/2008) Considere as seguintes frases. I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos. II Os cariocas são alegres.
III Marcelo é empregado da PETROBRAS. IV Nenhum indivíduo alegre é rico.
Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações, julgue os itens que se seguem.
06. ( ) Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem ricos, são alegres. 07. ( ) Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico.
08. ( ) Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca.
09. ( ) Alguns cariocas são ricos, são empregados da PETROBRAS e são alegres.
10.(ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo.
11.(ESAF) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então,
a) se jogo, não é feriado. b) se não jogo, é feriado. c) se é feriado, não leio. d) se não é feriado, leio. e) se é feriado, jogo.
Frase do dia:
'Um cigarro encurta a vida em 2 minutos… Uma garrafa de álcool encurta a vida em 4 minutos… Um dia de trabalho encurta a vida em 8 horas' , logo ...
