se trata de uma função afim, linear ou constante, apresentando a respetiva forma canónica.
1.1.f(x) = 2(x – 5) + 1.2. f(x) = 2(x2– x) – 10(x + x2) + 8x2
1.3.f(x) = 3 + + 3(x –1) 1.4. f(x) = – – 3 –
Os sócios de um clube de futebol pagam uma quota anual de 40 € para terem, em todos os jogos em casa, um desconto de 70% sobre o preço dos bilhetes.
2.1.Para o próximo jogo em casa, os bilhetes custam 20 €. O André é sócio do
clube. Quanto pagará o André pelo bilhete?
2.2.Seja f a função que ao preço do bilhete, c, faz corresponder o valor a pagar pelos sócios do clube. Qual das seguintes opções corresponde a uma expres-são algébrica da função f?
[A]f(c) = 0,7 ¥ c [B]f(c) = 0,3 ¥ c
[C]f(c) = 1,7 ¥ c [D]f(c) = 1,3 ¥ c
2.3.O Carlos não é sócio do clube, mas pretende assistir ao último jogo da época. Pode optar por, simplesmente, comprar o bilhete, ou por se tornar sócio do clube, beneficiando do desconto para sócios. Qual deverá ser o custo mínimo do bilhete (valor inteiro, em euros) para que compense ao Carlos, financeira-mente, tornar-se sócio do clube?
Uma cafeteira elétrica tem, no seu fundo, uma resistência de aquecimento que transfere energia como calor para a água, aquecendo-a. Um termómetro foi utilizado para medir a temperatura, em graus Celsius, da água, t minutos após o início da experiência. Os dados recolhidos apre-sentam-se na tabela seguinte.
3.1.A correspondência estabelecida entre o tempo e a temperatura é uma função. Porquê?
3.2.Indica o domínio da função.
3.3.Qual é a imagem do objeto 18?
3.4.Qual é o objeto que tem 20 por imagem?
3.5.Identifica a variável dependente e a variável independente.
Seja f uma função afim, definida em R. Sabendo que (2, 4) e (0, 2) pertencem ao gráfico de f, determina uma expressão algébrica que defina a função.
2 3 4 x 3 h i j h i j 2x 3 2(x – 5) 3 x 3 x 3 Tempo (min) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Temperatura (ºC) 18 20 21 23 25 30 32 33 37 43 50
Uma roda gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 12 conforme assi-nalado na figura.
No instante em que a roda gigante começa a girar, as cadeiras estão na posição indicada na figura. Sendo:
• t o tempo que decorre desde o instante em que a roda começa a girar;
• d a distância da cadeira número 1 ao solo.
Qual dos gráficos seguintes poderá representar a relação entre t e d? Explica a razão que te leva a rejeitar cada um dos outros três gráficos.
[A] [B]
[C] [D]
Considera a função g, de domínio {–2, 0, 1, 2, 4}, definida por g(x) = – 1.
6.1.Determina o valor exato de [2 ¥ g(0) – g(1)]3. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
6.2.Mostra que o inverso de não pertence ao contradomínio de g.
Indica qual das seguintes afirmações é verdadeira.
[A]O comprimento da aresta de um prisma e o seu volume são grandezas direta-mente proporcionais.
[B]Se A e B são duas grandezas inversamente proporcionais, então a razão entre os valores correspondentes de A e B é constante.
[C]O lado e o perímetro de um triângulo são grandezas diretamente proporcionais.
[D]Um automóvel que se desloca a uma velocidade média de 60 km/h demora duas horas a percorrer a distância entre as cidades A e B. Se se deslocar a uma velocidade média de 30 km/h, demorará apenas uma hora a realizar o percurso. 5 6 7 t d O t d O t d O t d O 2x 3 1 7 10 9 5 6 2 3 11 1 7 8 12 4
uma.
8.1.Quantas gomas tinha o saco?
8.2.Se fossem cinco crianças, quantas gomas a menos receberia cada uma? Considera uma sequência em que a lei de formação de cada um dos termos a seguir ao primeiro é adicionar quatro ao termo anterior e depois multiplicar por dois. Na tabela seguinte, que está incompleta, estão indicados alguns termos da sequência.
Completa a tabela.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
O Rui saiu de casa às 9 horas da manhã e, caminhando sempre à mesma velocida-de, dirigiu-se ao café, situado no fim da rua onde mora. A rua não tem curvas e o café fica a 600 metros da sua casa. O Rui chegou ao café quando passavam 6 minu-tos das 9 horas. Esteve 10 minuminu-tos no café, a tomar o pequeno-almoço, tendo, em seguida, regressado a casa, caminhando sempre à mesma velocidade, embora mais lentamente do que à ida. Chegou a casa às 9 horas e 28 minutos.
Seja t o tempo, em minutos, contado desde o instante em que o Rui saiu de casa até ao momento em que ele, vindo do café, chegou a casa.
Seja f a função que, a cada valor de t, faz corresponder a distância, em metros, do Rui à sua casa, no instante t.
10.1.Desenha o gráfico de f, numa folha de papel quadriculado, utilizando, para o efeito, as escalas a seguir indicadas.
• No eixo das abcissas: 1 quadrícula → 2 minutos • No eixo das ordenadas: 1 quadrícula → 50 metros
10.2.Utilizando o gráfico que desenhaste na alínea anterior, indica:
a)o valor de f(2) e interpreta este valor, no contexto da situação;
b)os valores de t que são solução da equação f(t) = 400.
Adaptado de Itens de Matemática A, 10.º ano – 2009/2010
A tabela seguinte traduz uma relação de proporcionalidade inversa entre as gran-dezas x e y.
Qual é o valor de a?
Mostra como chegaste à tua resposta.
Seja g uma função afim. Sabe-se que g(6) = 8 e que g(–4) = –12. Calcula g(0) – 5 ¥ g(1).
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
9
10
11
12
1.º termo 2.º termo 3.º termo 4.º termo
18 44
x a 20
A escola da Margarida está a organizar uma visita de estudo ao Centro de Investigação e Interpretação Geológica de Canelas (CIGC), em Arouca, conheci-do internacionalmente pela recolha, inventariação e exposição das maiores trilobites do Mundo. Para o transporte entre a escola e o CIGC, a direção da escola alugou um autocarro.
Inicialmente, apenas 10 alunos queriam participar na visita, pelo que cada um teria de pagar 50 € para as despesas de deslocação.
13.1.Algum tempo depois, o número de interessados na visita duplicou. Nessa altura, o valor que cada aluno teria de pagar pelo transporte...
[A]... aumentou para o dobro.
[B]... aumentou 2 euros.
[C]... diminuiu para metade.
[D]... diminuiu 2 euros.
13.2.Dois dias antes da visita, inscreveram-se os últimos interessados. Feitas as contas, cada participante pagou 10 € pelo transporte. Quantas pessoas foram à visita? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
No referencial está representada uma função que à medida da largura (x) de retângulos com 12 cm2de área faz corresponder a medida do seu compri -mento (y).
Determina as coordenadas dos pontos assinalados na figura.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Na figura estão representadas as funções f, g e h definidas por expressões analíticas do tipo y = a ¥ x2.
15.1.Para cada uma das funções representadas, indica o sinal do coeficiente a.
Explica o teu raciocínio.
15.2.O ponto A, assinalado no referencial, perten-ce ao gráfico da função h. Indica a expressão analítica que define a função h.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
13 14 15 A O h g f 1 2 3 4 5 y x 1 –1 –1 –2 –3 –4 –2 –3 –4 2 3 4 A O D y x 12 16
que segue a lei de formação sugerida. Os termos são formados por triângulos geo-metricamente iguais ao triângulo .
16.1.Quantos pontos são necessários para construir o 8.º termo da sequência?
16.2.Quantos triângulos do tipo compõem o 10.º termo da sequência?
16.3.Existe algum termo desta sequência composto por 37 triângulos do tipo ? Mostra como chegaste à tua resposta.
No referencial da figura estão representados um triân -gulo [ABC] e parte dos gráficos das funções f e g. Sabe-se que:
• f é uma função quadrática do tipo y = ax2; • g é uma função afim, definida por g(x) = –x + 3; • o ponto A pertence ao gráfico de g e ao eixo das
abcissas;
• o ponto B pertence ao gráfico de f; • o ponto C é a origem do referencial;
• o ponto D pertence ao gráfico da função g e ao gráfico da função f;
• as coordenadas do ponto D são (1, 2).
17.1.Mostra que a função f pode ser representada analiticamente por f(x) = 2x2.
17.2.Sabendo que a abcissa do ponto B é –2, determina a área do triângulo [ABC]. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
A expressão a = traduz a relação entre as variáveis a e b. Indica qual das seguintes afirmações é verdadeira.
[A]As variáveis a e b são diretamente proporcionais e a constante de proporciona-lidade é 12.
[B]As variáveis a e b são inversamente proporcionais e a constante de proporcio-nalidade é 12.
[C]As variáveis a e b são diretamente proporcionais e a constante de proporciona-lidade é .
[D]As variáveis a e b são inversamente proporcionais e a constante de proporcio-nalidade é . 17 18 3.º termo 4.º termo 2.º termo 1.º termo 12 b 1 12 1 12 D C A B g f y x
Em 2014, a BBC elaborou um estudo sobre o preço dos bilhetes dos campeonatos ingleses e das ligas europeias. O jornal britânico analisou 207 clubes (176 deles pertencentes ao Reino Unido e 31 grandes clubes europeus) e concluiu que, nesse ano, os três grandes clubes portugueses, F. C. Porto, S. L. Benfica e Sporting C. P., tinham os bilhetes de época mais baratos da Europa:
• 98 € no Estádio do Dragão; • 88 € no Estádio da Luz; • 68 € no Estádio de Alvalade.
Suponhamos que o F. C. Porto aumenta o preço do bilhete de época 2 € por ano, que o S. L. Benfica aumenta 3 € por ano e que o Sporting aumenta 4 € por ano. Seja P a função que ao número de anos decorridos desde 2014, n, faz correspon-der o preço a pagar pelo bilhete de época do F. C. Porto.
19.1.Escreve uma expressão algébrica que defina a função P.
19.2.Calcula P(6) e interpreta o resultado obtido no contexto da situação.
19.3.Em que ano um bilhete de época no Estádio de Alvalade custará o mesmo que um bilhete de época no Estádio do Dragão?
19.4.No ano em que o bilhete de época do F. C. Porto custar 120 €, quanto
cus-tará o bilhete de época do S. L. Benfica?
As medidas de duas grandezas A e B, inversamente proporcionais, são dadas pela tabela.
20.1.Indica o valor da constante de proporcionalidade inversa.
20.2.Determina os valores de m, p e t.
20.3.Exprime a grandeza A em função da grandeza B. Na figura estão representadas, num referencial cartesiano, as retas r, s, t e v, cujas equações são, respetivamente, y = ax + b, y = cx + b, y = dx + b e y = ex + b, com a, b, c, d e e ∈Q. Sabe-se que: • d = b; • 0 < c < b; • d > c; • a < e < 0. 21.1.Indica o valor de b.
21.2.Determina a equação da reta t. Explica o teu raciocínio. 21.3.Determina o declive da reta r. Explica o teu raciocínio.
19 20 21 A 9 3 1 t B 2 m p 10 6 4 3 2 1 O –1 –2 –3 –4 5 4 3 2 1 –1 y x
com um tanque cilíndrico com capacidade para cerca de 6000 litros de água. Admite que o tanque está vazio e que, num certo instante, se começa a introduzir água a uma taxa constante de 50 litros por minuto, até ficar cheio.
22.1.Indica uma expressão analítica da função A, que dá o volume de água, em litros, existente no tanque do veículo, em função do tempo, t, em minutos, que decorreu desde que se começou a introdução da água.
22.2.Determina A(8) e interpreta o seu significado no contexto da situação.
22.3.A corporação de bombeiros começou a encher o tanque do novo veículo às 8 h 30 min da manhã. A que horas terminou?
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
22.4.Seja h(t) a altura do combustível no depósito, t minutos após o instante em que a água começa a ser introduzida. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?
Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, indica as razões que te levaram a rejei-tar os restantes gráficos (indica três razões, uma por cada gráfico rejeitado).
[A] [B]
[C] [D]
Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 2004 – 1.ª fase, 1.ª chamada
A expressão = 6 traduz a relação entre as variáveis a e b. Indica qual das seguintes afirmações é verdadeira.
[A]As variáveis a e b são inversamente proporcionais e a constante de proporcio-nalidade é 6.
[B]Se a = 12, então b = 6.
[C]As variáveis a e b são inversamente proporcionais e a constante de proporcio-nalidade é . [D]Se b = 3, então a = 18. 23 t O h t O h t O h t O h a b 1 6 h(t)
O Tesouro-Museu da Sé de Braga encerra um espólio de inestimável valor, com peças que cobrem um período de mil e quinhentos anos.
A entrada no Tesouro-Museu da Sé de Braga custa 3 €. Crianças e jovens integra-dos em visitas escolares e respetivos acompanhantes usufruem de 50% de descon-to, assim como as crianças de 6 a 10 anos. As crianças com menos de 6 anos têm entrada gratuita.
24.1.O André, que tem 15 anos, foi visitar o Tesouro-Museu da Sé de Braga com os seus pais e com os seus dois irmãos, o Filipe de 7 anos e a Carolina de 3 anos. Quanto custaram os ingressos para toda a família?
24.2.O Mário é administrador de uma empresa de Braga e vai gastar 2100 € na
compra de ingressos para oferecer aos colaboradores da sua empresa. Quantos ingressos vai comprar o Mário?
24.3.Seja f a função que ao número de ingressos para adulto comprados, x, faz corresponder o preço a pagar.
a) Escreve uma expressão algébrica que defina a função f.
b)Calcula f(4) e interpreta o resultado no contexto da situação.
c)Explica por que razão o ponto de coordenadas (2, 8) não pode pertencer ao gráfico da função f.
24.4.Uma comitiva, composta por 24 alunos de uma turma do 12.º ano e por dois professores, vai visitar o Tesouro-Museu da Sé de Braga. No total, quanto terão de pagar pelos ingressos?
Considera as funções f, g, h, i, j e k, definidas por:
f(x) = x2, g(x) = 3x2, h(x) = , i(x) = – , j(x) = –3x2e k(x) = – x2 De seguida, estão representadas graficamente as funções referidas. Faz corresponder a cada função a respetiva representação gráfica.
24 25 1 2 1 2 3 x 3x Gráfico 5 Gráfico 4 Gráfico 6 Gráfico 1 O x y Gráfico 2 O x y O x y O x y O x y Gráfico 3 O x y
para as aulas. Nesse instante, começa a correr, a uma velocidade de 4 metros por segundo, para chegar o mais rapidamente possível à escola.
Seja d a função que ao tempo, t, em segundos, decorrido desde que o André ini-ciou a sua corrida, faz corresponder a distância ao portão da escola.
Seja p a função que ao tempo, t, em segundos, decorrido desde que o André ini-ciou a sua corrida, faz corresponder a distância percorrida pelo André.
26.1.Escreve uma expressão algébrica que defina a função d.
26.2.Calcula d(12) e interpreta o resultado obtido no contexto da situação.
26.3.Escreve uma expressão algébrica que defina a função p.
26.4.Calcula p(10) e interpreta o resultado obtido no contexto da situação.
26.5.Quantos segundos serão necessários para o André chegar ao portão da Escola?
26.6.Desenha os gráficos de d e de p no mesmo referencial.
26.7.Na alínea anterior verificaste que os gráficos de d e de p têm um ponto em comum. O que representa a ordenada desse ponto?
Na figura estão representadas, num referencial cartesiano, as retas r, s e t. Sabe-se que:
• as retas r e s são paralelas; • y = x + 2 é a equação da reta r;
• D é o ponto de interseção da reta t com o eixo das abcissas;
• o ponto A pertence à reta t e à reta r.
27.1.Duas das retas têm a mesma ordenada na origem. Quais?
27.2.Determina a equação da reta t e a equação da reta s.
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Construiu-se uma sequência de figuras usando losangos brancos e pretos. As três primeiras figuras da sequência estão representadas em baixo. Em cada etapa são adicionados losangos, de modo que o primeiro e o último losangos da última fila sejam brancos e todos os outros losangos sejam pretos.
28.1.Desenha a quarta figura da sequência.
28.2.Quantos losangos brancos existem na décima sétima figura da sequência?
[A]0 [B]1 [C]2 [D]16 [E] 17
28.3.Quantos losangos pretos existem na sexta figura da sequência?
[A]19 [B]21 [C]26 [D]28 [E]34
Adaptado de Canguru Matemático Sem Fronteiras, 2014/Categoria Escolar
27 28 1 2 3 t s A O r D(4, 0) 1 y x
3. 3.1. a = 48, b = 2, c = e d = 6 3.2. a = 3, b = 8, c = e d = 24 4. [B] 5. 5.1. 2100 km 5.2. 2,5 ᐉ 6. Dois dias. 7. a = 7,5 e b = 5 8. 8.1. V = 8.2. 324 mmHg 8.3. 100 cm3 9. [B] 10. 10.1. A função f. 10.2. [B] 11. [A] 12. 12.1. 2 12.2. w = –√∫2 12.3. [D] 13. 13.1. A[OCAB]= 4 u.a. 13.2. g(x) = 13.3. 2 13.4. m = 8 14. 20 operários. 15. 15.1. k é positivo. 15.2. k = 15.3. 8 15.5. A[AOC]= 4 u.a. 16. 16.1. g(4) = 2 16.2. [C] 16.3. A[ABC]= u.a. 17. 17.1. Dg= N 17.2. 17.3. k = 360º
Representa a amplitude do setor circular, que corresponde ao círculo. 17.4. [D] 18. [A] 19. [A] 20. 20.1. C(0, 6) 20.2. A[OBQ]= 6 u.a. 21. 21.1. a é positivo. 21.2. B(2, –8) 21.3. a = 4 22. 22.1. A afirmação é verdadeira. 22.2. f(x) = Sequências e sucessões Praticar – páginas 50 a 55 1. 1.1. [B] 1.2. –12 2. 2.1. 22 2.2. 577 2.3. 1601 3. 3.1. 19 3.2. 43 3.3. [B] 4. 4.1. 300 4.2. 20 5. [D] 6. 6.1. 6.2. 122 fósforos. 6.3. Não 7. 7.1. b1= e b2= 7 7.2. 50 termos. 8. 8.1. 37 pontos. 8.2. Não 9. 9.1.
O 4.º termo é constituído por 23 palitos e o 5.º termo é constituído por 28 palitos.
9.2. 53 palitos. 9.3. 5n + 3 9.4. Termo de ordem 30. 10. 781 habitantes.
11. 11.1. u1= –1, u2= 1 e u3= 3 11.2. 197 11.3. 150 não é termo da sucessão.
12. 12.1. 38 12.2. [C]
13. 13.1. Um hexágono preto. 13.2. 6n + 1 13.3. 102 hexágonos verdes.
14. 14.1. 11 quadrados amarelos. 14.2. 39 quadrados brancos.
14.3. 18 quadrados. 14.4. 31 quadrados brancos. 14.5. Termo de ordem 51. 14.6. 2n – 1 15. 15.1. 15.2. Linha 1: 1 = 20 Linha 2: 2 = 21 Linha 3: 4 = 22 Linha 4: 8 = 23 Linha 5: 16 = 24 Linha 6: 32 = 25 15.3. 29= 512
16. 16.1. 28 bolas. 16.2. 52 bolas. 16.3. 101 bolas pretas. 17. 17.1. A1= 144 cm2; A2= 72 cm2; A3= 36 cm2;
A4= 18 cm2; A5= 9 cm2e A6= cm2. 17.2. P4= 4√∫1∫8 cm
18. 18.1. Para construir o 4.º termo são necessários 42 drados e para o 5.º termo são necessários 56 qua-drados. 18.2. Oitavo termo. 18.3. [C] 19. 19.1. 15, 21, 28, 36 19.2. k = 2 19.3. F17= 153 19.4. 19.6. 58 e 59 20. 20.1. 12 clientes. 20.2. 2k + 2 pessoas. 20.3. 21. 21.1. 2870 21.2. 3540 21.3. 13 685 21.4. a) V1= 4; V2= 9; V3= 16 e V4= 25 b) Praticar + – páginas 56 a 64 1. 1.1. f(x) = – 10 " Função afim. 1.2. f(x) = –12x " Função linear. 4.º termo 5.º termo 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Linha 7 Linha 8 9 2 n2+ 3n + 2 2 30 x 4.º termo 5.º termo 9 2 1 2 16 3 s g(s) 1 360º 2 180º 3 120º 5 72º 10 36º 4 x n – 2 2 Figura 1 • Figura 2 • Figura 3 • Figura 4 • • T3 • V3– V2 • V3– V1 • V1– T1 7x 3 226 800 P 40 3 6 5
1.4. f(x) = – " Função constante. 2. 2.1. 6 € 2.2. [B] 2.3. 58 € 3. 3.2. D = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
3.3. 43 3.4. 2
3.5. Variável dependente: temperatura Variável independente: tempo 4. f(x) = x + 2
5. [A] 6. 6.1. – 7. [C]
8. 8.1. 40 gomas. 8.2. Duas gomas. 9.
10. 10.1.
10.2. a) f(2) = 200 m. Às 9 horas e 2 minutos o Rui estava a 2000 metros de casa.
b) t∈{4, 20} 11. a = 10
12. 6
13. 13.1. [C] 13.2. 50 pessoas. 14. A(1, 12) e D 16,
15. 15.1. Função f: a é positivo. Função g: a é positivo. Função h: a é negativo.
15.2. h(x) = –2x2
16. 16.1. 25 pontos. 16.2. 38 triângulos. 16.3. Não 17. 17.2. A[ABC]= 12 u.a.
18. [B]
19. 19.1. P(n) = 98 + 2n 19.2. P(6) = 110
Seis anos após 2014, ou seja, em 2020, o bi lhete de época do F. C. Porto custará 110 €.
19.3. Em 2029 19.4. 121 €
20. 20.1. k = 18 20.2. m = 6, p = 18 e t = 1,8 20.3. A =
21. 21.1. b = 2 21.2.y = 2x + 2 21.3. y = –2x + 2
22. 22.1. A(t) = 50 ¥ t
22.2. A(8) = 400. Oito minutos depois de introduzir a água, o tanque do veículo tinha 400 litros de água.
22.3. Às 10 h 30 min 22.4. [B] 23. [D]
24.4. f(4) = 12. O preço a pagar por quatro ingressos de adulto é 12 €. 24.6. 39 € 25. Gráfico 1: i(x) = – Gráfico 2: j(x) = –3x2 Gráfico 3: g(x) = 3x2 Gráfico 4: f(x) = x2 Gráfico 5: h(x) = Gráfico 6: k(x) = – x2 26. 26.1. d(t) = 500 – 4t 26.2. d(12) = 452
12 segundos depois do início da corrida o André estava a 452 metros do portão da escola.
26.3. p(t) = 4t 26.4. p(10) = 40
10 segundos depois do início da corrida o André tinha percorrido 40 metros.
26.5. 125 segundos. 26.6.
26.7. Representa o instante em que o André atinge metade do percurso, isto é, já percorreu tanto quanto o que falta percorrer.
27. 27.1. As retas s e t. 27.2. t: y = –x + 4 e s: y = x + 4
28. 28.1. 28.2. [C] 28.3. [C]
Tema 3 – Números e operações Números reais
Praticar – páginas 68 a 73 1. –
2. 230 páginas. 3. –4
4. 4.1. 22 cubos. 4.2. 98 cubos. 4.3. VCaixa= 7680 cm3 5. P = 60 cm 6. [C] 7. 20 8. a = 9. 10. 10.1. 32 10.2. 67 10.3. 10.4. – 10.5. 10.6. 2 11. 5–3 12. [D] 13. [B] 500 O d p y x 125 Tempo (segundo) 4 1 12 96 7 –2 –1,75 –0,1
