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1. (Cpcar 2016) Um casal que planejou uma viagem de férias para uma ilha, onde há um hotel com acomodações A e B, pagou antecipadamente x reais pelas diárias na acomodação A, que cobrava R$ 110,00 por dia.
Ao chegar no hotel eles optaram pela acomodação B, que cobrava R$ 100,00 pela diária, pois perceberam que, assim, eles poderiam ficar mais 2 dias hospedados neste hotel.
Sabendo que, além dos x reais já pagos, eles ainda gastaram R$ 150,00 por dia com alimentação e que não houve outras despesas, a quantia que esse casal gastou nesse hotel é um número compreendido entre
a) 5100 e 5400 b) 5400 e 5900 c) 5900 e 6300 d) 6300 e 6800
2. (Cpcar 2016) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parceladamente, dois eletrodomésticos.
Após pagar 2
5 do valor dessa compra, quando ainda devia R$ 600,00, resolveu revendê-los. Com a venda de um dos eletrodomésticos, ele conseguiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% sobre o custo. Com o valor total apurado na revenda, ele pôde liquidar seu débito existente e ainda lhe sobrou a quantia de R$ 525,00.
A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, é equivalente a
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
3. (Unesp 2016) O gráfico da parábola dada pela função f(x) 3 (x2 16x 24) 40
indica, para uma determinada população de insetos, a relação entre a população total atual (x) e a população total no ano seguinte, que seria f(x). Por exemplo, se a população atual de insetos é de 1 milhão (x1), no ano seguinte será de 2,925. milhões, já que f(1)2,925.
Dizemos que uma população de insetos está em tamanho sustentável quando a população total do ano seguinte é maior ou igual a população total atual, o que pode ser identificado graficamente com o auxílio da reta em azul (yx).
Página 2 de 12 Determine a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero (adote 224,7), e determine a população total atual para qual a sustentabilidade é máxima, ou seja, o valor de x para o qual a diferença entre a população do ano seguinte e do ano atual, nessa ordem, é a maior possível.
4. (AFA 2016) Uma fábrica produz casacos de determinado modelo. O preço de venda de um desses casacos é de R$ 200,00, quando são vendidos 200 casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$ 2,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5.
A maior arrecadação possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo
a) [105 , 125[ b) [125 , 145[ c) [145 , 165[ d) [165 , 185[
5. (CFTMG 2016) Os valores de x e y * que satisfazem ao sistema
2 2 8 x y xy , 1 1 1 x y 2xy
são tais que a) x y 2. b) x y 0. c) x y 2. d) x y 4.
6. (UERJ 2016) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a:
A3 B0 C0 D7
Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição: A B C D 20
O mês de nascimento dessa pessoa é: a) agosto
b) setembro c) outubro d) novembro
7. (Unesp 2016) A demanda de um produto químico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p, de acordo com as seguintes funções:
2 3p 21p 5p 10 D(p) e F(p) 4 2p 3
Página 3 de 12 Admitindo-se p1 e sabendo que 756987, determine o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva.
8. (Cpcar 2016) Duas máquinas A e B de modelos diferentes, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante, produzem juntas n peças iguais, gastando simultaneamente 2 horas e 40 minutos.
A máquina A funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, produziria, em 2 horas de funcionamento, n
2 dessas peças.
É correto afirmar que a máquina B, mantendo sua velocidade de produção constante, produziria também n 2 dessas peças em a) 40 minutos. b) 120 minutos. c) 160 minutos. d) 240 minutos.
9. (UFP 2016) A Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Pará, Campus de Castanhal, realizou uma pesquisa sobre a variação da cobertura vegetal ao longo do Eixo da BR-316. A pesquisa analisou imagens de satélite de 1999 a 2008.
Em relação à área estudada, entre os dados levantados, obteve-se:
... em 1999, 61% da área era preenchida por floresta, 20% por plantações, 13% por campos abertos, 5% por áreas urbanizadas e 1% por água. Nove anos depois, esses índices são de 46% de florestas, 25% de plantações, 20% de campos abertos, 8% de áreas urbanizadas e apenas a presença de água se mostrou constante, permanecendo em 1%.
<http://tinyurl.com/q8qkm56> Acesso em: 26.07.2015. Adaptado.
De acordo com o texto, de 1999 a 2008,
a) a variação da área estudada ocupada pela floresta aumentou 15%.
b) a variação da área estudada ocupada pela presença de água diminuiu 10%. c) a variação da área estudada ocupada pelas plantações diminuiu em mais de 25%. d) a área ocupada pelos campos abertos aumentou mais de 50%.
e) a área ocupada pelas áreas urbanizadas aumentou mais de 80%.
10. (UERJ 2016) No ano letivo de 2014, em uma turma de 40 alunos, 60% eram meninas. Nessa turma, ao final do ano, todas as meninas foram aprovadas e alguns meninos foram reprovados. Em 2015,
nenhum aluno novo foi matriculado, e todos os aprovados confirmaram suas matrículas. Com essa nova composição, em 2015, a turma passou a ter 20% de meninos.
O número de meninos aprovados em 2014 foi igual a: a) 4
b) 5 c) 6 d) 8
11. (UFU 2016) Um estudante recorre a uma imobiliária na expectativa de alugar um apartamento. A imobiliária exige de seus locatários o pagamento de um depósito caução, dividido em três parcelas fixas e de iguais valores, a serem pagas junto com as mensalidades do aluguel nos três primeiros meses.
Página 4 de 12 Essas mensalidades são fixas e de iguais valores. O estudante desembolsará, em um ano de contrato, um total de R$ 8.400,00, de maneira que o desembolso total, após o término do pagamento do depósito caução, será 80% superior àquele correspondente ao desembolso referente aos três primeiros meses.
Nas condições apresentadas, o valor do depósito caução é igual a a) R$ 1.400,00.
b) R$ 1.200,00. c) R$ 900,00. d) R$ 1.800,00.
12. (UERJ 2016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento:
- à vista, no valor de R$ 860,00;
- em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois.
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: a) 10%
b) 12% c) 15% d) 18%
13. (Fuvest 2016) O Sistema Cantareira é constituído por represas que fornecem água para a Região Metropolitana de São Paulo. Chama-se de “volume útil” do Sistema os 982 bilhões de litros que ficam acima do nível a partir do qual a água pode ser retirada sem bombeamento. Com o uso de técnicas mais elaboradas, é possível retirar e tratar parte da água armazenada abaixo desse nível. A partir de outubro de 2014, a Sabesp passou a contabilizar uma parcela de 287 bilhões de litros desse volume adicional, denominada “reserva técnica” ou “volume morto”, e chamou de “volume total” a soma do volume útil com a reserva técnica. A parte do volume total ainda disponível para consumo foi chamada de “volume armazenado”.
O primeiro índice usado pela Sabesp para divulgar o nível do Sistema, após o início do uso da reserva técnica, foi o percentual do volume armazenado em relação ao volume útil (e não ao volume total). Chama-se este percentual de Índice 1.
a) Calcule o valor que terá o Índice 1 quando as represas estiverem completamente cheias, supondo que a definição de “volume armazenado” não tenha mudado.
A partir de abril de 2015, a Sabesp passou a divulgar outros dois índices, além do Índice 1 (veja o Quadro). Note que o Índice 3 pode assumir valores negativos e valerá 100% quando as represas do Sistema estiverem completamente cheias.
b) No momento em que o Índice 1 for 50%, que valores terão os Índices 2 e 3? c) Qual é o valor do Índice 2 no momento em que o Índice 3 é negativo e vale 10%?
QUADRO
volume armazenado
Índice 1 100%
volume útil
Índice 2 volume armazenado 100%
volume total
(volume armazenado) (volume da reserva técnica)
Índice 3 100%
volume útil
Página 5 de 12 dos contribuintes, com base em uma tabela de descontos percentuais. Esses descontos incidem, progressivamente, sobre cada parcela do valor total do ganho, denominadas base de cálculo, de acordo com a tabela a seguir.
Base de cálculo aproximada (R$) Desconto (%) até 1.900,00 Isento
de 1.900,01 até 2.800,00 7,5 de 2.800,01 até 3.750,00 15,0 de 3.750,01 até 4.665,00 22,5 acima de 4.665,00 27,5
Segundo a tabela, um ganho mensal de R$ 2.100,00 corresponde a R$ 15,00 de imposto. Admita um contribuinte cujo ganho total, em determinado mês, tenha sido de R$ 3.000,00. Para efeito do cálculo progressivo do imposto, deve-se considerar esse valor formado por três parcelas: R$ 1.900,00, R$ 900,00 e R$ 200,00.
O imposto de renda, em reais, que deve ser pago nesse mês sobre o ganho total é aproximadamente igual a:
a) 55 b) 98 c) 128 d) 180
15. (UERJ 2016) Um índice de inflação de 25% em um determinado período de tempo indica que, em média, os preços aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo YX.
Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de: a) 20%
b) 30% c) 50% d) 80%
16. (Unesp 2016) Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C.
Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma:
- total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos); - R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos); - R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos); - R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos).
Página 6 de 12 bancos.
Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos α , β e γ, indicados no gráfico.
Página 7 de 12 Gabarito:
Resposta da questão 1: [B]
Sendo d o número de dias programados inicialmente pelo casal, pode-se escrever: Acomodação A x 110d Acomodação B x 100(d 2) 110d 100(d 2) 110d 100d 200 10d 200 d 20 dias
Logo, o casal programou inicialmente férias de 20 dias, porém ao chegar no hotel optaram por ficar mais dois dias hospedados. Assim, ficaram um total de 22 dias de férias. Considerando os 100 reais da diária e os 150 reais gastos por dia com alimentação, o valor total gasto no hotel foi de (100 150) 22 5500 reais.
Resposta da questão 2: [C]
Sejam os eletrodomésticos comprados a e b. Se o comerciante já pagou 2 5 da compra, então o restante a ser pago, ou seja, 3 5 do total é igual ao que ainda é devido (600 reais).
3
(a b) 600 a b 1000
5
Ainda pode-se equacionar os valores obtidos com a venda dos eletrodomésticos, ou seja: (1 20%)a (1 10%)b 600 525 1,2a 0,9b 1125
Assim, com estas duas equações tem-se um sistema: a b 1000 1,2a 0,9b 1125 a 750 b 250
A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato será, portanto:
a 750 3 b250
Resposta da questão 3:
Para determinar a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero é preciso fazer f(x) igual a zero. Ou seja:
2 2 2 3 f(x) (x 16x 24) 40 f(x) 0 0 x 16x 24 ( 16) 4 1 ( 24) 352 4 22 18,8 x 17,4 milhões 16 18,8 x x 1,4 (não convém!) 2
Assim a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero é de 17,4 milhões.
Página 8 de 12 2 2 g(x) f(x) x 3 3 1 9 g(x) (x 16x 24) x g(x) x x 40 40 5 5
O gráfico de g(x) também será uma parábola. O valor de x para que essa função seja máxima será no seu vértice, ou seja:
v v 1 b 5 4 x x 3 2a 2 3 40 Resposta da questão 4: [B]Pode-se deduzir duas funções em x :
- Função do preço f (x)1 200 2x, sendo x o número de vezes que o desconto será dado. - Função do quantidade f (x)2 200 5x, sendo x o número de vezes que o desconto será
dado.
A função da arrecadação será dada pela multiplicação do preço pela quantidade de casacos vendidos. Assim:
3 2 3 2 3 f (x) 200 2x 200 5x f (x) 40.000 1.000x 400x 10x f (x) x 60x 4.000 Logo, percebe-se que a função de arrecadação é uma função do 2º grau, representada graficamente por uma parábola com concavidade para baixo. O vértice da parábola representa a arrecadação máxima. A coordenada x do vértice da parábola será igual ao número máximo de vezes que o desconto poderá ser concedido para conseguir a arrecadação máxima.
Da fórmula para encontrar a coordenada x do vértice, tem-se:
vértice vértice b 60 x 2a 2 ( 1) x 30
Para se descobrir por qual valor será vendido cada casaco na arrecadação máxima, basta substituir o valor de x na função do preço:
1
f (x)200 2 30 140, que pertence ao intervalo [145 , 165[. Resposta da questão 5: [D] Fazendo a 1 x e b 1, y vem 2a 2b 8ab 2a 2b 8ab . 1 2a 2b ab a b ab 2
Somando as duas equações, encontramos 4
4a 9ab a (4 9b) 0 a 0 ou b .
9
Página 9 de 12 Como não pode ser a0, temos b 4,
9 implicando em 4 1 4 4 a a a . 9 2 9 7
Portanto, segue que x y 7 9 4.
4 4 Resposta da questão 6: [B] C D 20 (A B)
O maior valor possível para a soma dos algarismos do dia de nascimento é A B 2 9 11
Portanto, C D é maior ou igual a 9, ou seja: Se C D 9, temos A B 11 (possível).
Se C D 1 (outubro), temos A B 19 (impossível). Se C D 2 (novembro), temos A B 18 (possível). Resposta da questão 7: Sendo p1, vem 2 2 3p 21p 5p 10 D(p) F(p) 4 2p 3 19p 103p 40 0 p 5. Ademais, temos 2 3p 21p D(p) 0 0 4 2p p 1 p 1 p(p 7) 0 p 2 p 1 (p 0 ou 2 p 7) e (p 1) 2 p 7. Resposta da questão 8: [D]
A produção P das duas máquinas juntas será (considerando o tempo em minutos): n
P 160
Página 10 de 12 A A n n 1 n 2 P P 120 2 120 240
A produção de n 2 peças da máquina B funcionando sozinha durante o tempo t será:
B B n n 1 n 2 P P t 2 t 2t
Se a velocidade de produção é constante, então pode-se escrever:
A B n P P 160 n n n n n (t 120) 1 t 120 80t 19200 t 240 minutos 160 240 2t 160 240t 160 240t Resposta da questão 9: [D]
[A] Falsa. A área de floresta diminuiu.
[B] Falsa. A estuda pela presença de água se manteve. [C] Falsa. A área ocupada por plantações aumentou. [D] Verdadeira, pois 20 13 0,53 53%.
13
[E] Falsa, pois 8 5 0,6 60%. 5
Resposta da questão 10: [C]
Na turma de 2014 existiam 40 alunos, sendo 60% meninas. Portanto: Meninas 60% 40 24 meninas
Meninos 40 24 16 meninos
Na turma de 2015 havia apenas 20% de meninos e, portanto 80% de meninas. Todas as meninas foram aprovadas do ano de 2014 para 2015, portanto:
2015 2015 80% 24 100% Total Total 30 alunos
Se a turma de 2015 possui no total 30 alunos e 24 são meninas, logo o número de meninos aprovados em 2014 foi igual a 6 (30 24 6 meninos).
Resposta da questão 11: [B]
x : o valor desembolsado nos primeiros três mês. 1,8x : valor desembolsado nos nove meses finais. Desta forma podemos escrever:
x 1,8x 8400 2,8x 8400 x R$3.000,00
Valor de cada parcela: 1,8 3000 R$600,00 9
Página 11 de 12 Resposta da questão 12:
[C]
A primeira parcela de R$ 460,00será paga à vista, portanto não há incidência de juros. A segunda parcela, caso não houvesse incidência de juros, seria de R$ 400,00, pois o preço do fogão à vista é de R$ 860,00 (860460400).No entanto, há um acréscimo de R$ 60,00 na segunda parcela, os quais representam os juros após 30 dias. Logo, os juros são:
60
0,15 15%
400
Resposta da questão 13:
Considere: o volume útil VU982, o volume morto VM287, o volume total VT9822871269 e o volume armazenado VA.
a) Se as represas estiverem completamente cheias, VA será igual a VT. Logo: VA 1269
Índice 1 1,2923 Índice 1 129,23% VU 982
b) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever:
VA VA Índice 1 50% 0,5 0,5 VA 491 VU 982 VA 491 Índice 2 0,3869 Índice 2 38,69% VT 1269 VA VM 491 287 Índice 3 0,2077 Índice 3 20,77% VU 982
c) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever:
VA VM VA 287 Índice 3 0,1 0,1 VA 188,8 VU 982 VA 188,8 Índice 2 0,1488 Índice 2 14,88% VT 1269 Resposta da questão 14: [B]
Considerando-se as três parcelas e seus respectivos percentuais de cálculo, tem-se: R$ 1.900,00 Isento R$ 900,00 7,5% R$ 67,50 R$ 200,00 15% R$ 30,00 Total 67,50 30,00 97,50 R$ 98,00 Resposta da questão 15: [A] X1,25Y Logo, 1,25Y Y 1 20% 1,25Y 5 Resposta da questão 16:
Sabendo-se que foi investido R$ 1.000,00 no banco A seguindo a diversificação do grau de risco apresentada no gráfico, pode-se escrever:
Página 12 de 12 Banco A:
- baixo risco: 80%1000 0,8 R$ 800,00 - médio risco: 15%1000 0,15 R$ 150,00 - alto risco: 5%1000 0,05 R$ 50,00 Sabe-se ainda que foram aplicados:
- R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco, sendo 80% no banco A (correspondente a R$ 800,00), R$ 800,00), 20% no banco B e 50% no banco C;
- R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco, sendo 15% no banco A (correspondente a R$ 150,00), 70% no banco B e 10% no banco C;
- R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco, sendo 5% no banco A (correspondente a R$ 50,00), 10% no banco B e 40% no banco C;
Sendo B e C o montante aplicado em cada um dos bancos, respectivamente, e com as demais informações do enunciado, pode-se escrever o seguinte sistema:
50 0,1B 0,4C 1450 0,1B 0,4C 1400 0,8B 0,5C 3100 150 0,7B 0,1C 1850 0,7B 0,1C 1700 0,2B 0,5C 1900 800 0,2B 0,5C 2700 0,2B 0,5C 1900 0,6B 1200 B 2000 0,8 2000 0,5C 3100 0,5C 1500 C 3000
Assim, os montantes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 no banco A, R$ 2.000,00 no banco B e R$ 3.000,00 no banco C.
Para calcular os ângulos α , β e γ, indicados no gráfico pode-se utilizar a regra de três: Baixo Risco 6000 360 2700 2700 360 162 6000 β β β Médio Risco 6000 360 1850 1850 360 111 6000 γ γ γ Alto Risco 6000 360 1450 1450 360 87 6000 α α α
