MODELO MATEMÁTICO DETERMINÍSTICO PARA A PREVISÃO DA TRANSIÇÃO COLUNAR-EQUIAXIAL NA SOLIDIFICAÇÃO BIDIMENSIONAL 1

(1)

PREVISÃO DA TRANSIÇÃO COLUNAR-EQUIAXIAL NA

SOLIDIFICAÇÃO BIDIMENSIONAL

1

Marcelo Aquino Martorano 2

Resumo

O objetivo do presente trabalho é propor um modelo matemático determinístico para a previsão da transição colunar-equiaxial em problemas de solidificação bidimensional. O modelo desenvolvido combina um modelo determinístico com uma técnica para o acompanhamento da frente colunar. O modelo matemático determinístico é baseado nas equações de conservação em sistemas multifásicos e possibilita a obtenção de diversos campos, entre eles, os de temperatura e de fração volumétrica de grãos. A técnica de acompanhamento da frente colunar baseia-se no método do autômato celular, porém neste trabalho ela não é utilizada para acompanhar cada um dos grãos da estrutura, mas sim apenas a região colunar. O modelo foi utilizado para simular a solidificação de uma liga Al-3%Cu em uma cavidade de forma quadrada, onde a extração de calor é realizada através de duas paredes adjacentes. Os resultados do modelo mostram a movimentação da frente de crescimento colunar e, finalmente, a posição da transição colunar-equiaxial. A maior parte dos resultados apresenta uma boa aderência a alguns dados da literatura e nota-se que a transição colunar-equiaxial pode ser prevista com a utilização de malhas siginificativamente mais grosseiras do que as malhas utilizadas no modelo de autômato celular original.

Palavras-chave: Modelo matemático; Transição colunar-equiaxial; CET –

Solidificação bidimensional; Modelo determinístico.

_________________________________________________

1_{Trabalho apresentado no 12}o_{Congresso de Fundição (CONAF), realizado em 27 a 30 de}

Setembro de 2004, São Paulo, SP.

2_{Professor, Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Materiais da Escola Politécnica da} Universidade de São Paulo, Av. Prof. Mello Moraes, 2463, São Paulo, SP, Brasil, CEP 05508-900.

(2)

1 INTRODUÇÃO

A estrutura bruta de solidificação pode apresentar grãos colunares e grãos equiaxiais e uma região de transição chamada de transição colunar-equiaxial (CET - "columnar-to-equiaxed transition"). O fenômeno da CET vem sendo investigado há várias décadas através de abordagens teóricas e experimentais. Atualmente sabe-se que a transição ocorre quando os grãos equiaxiais bloqueiam o crescimento dos grãos colunares durante a solidificação.(1)

Hunt(2) propôs o primeiro modelo matemático para a previsão da CET durante a solidificação unidirecional sob condições de estado-estacionário. Uma das hipóteses fundamentais utilizadas foi a de que os grãos colunares seriam bloqueados quando a fração volumétrica de grãos equiaxiais crescendo a sua frente atingisse o valor de 0,49. Este critério, que foi posteriormente chamado de "critério de bloqueio mecânico",(3)_{foi utilizado por diversos modelos propostos}

posteriormente. Atualmente, é possível classificar os modelos para a previsão da CET em estocásticos, caso utilizem algum tipo de variável aleatória, ou determinísticos, caso contrário.

Flood and Hunt(4,5) utilizaram o conceito básico do modelo de Hunt(2) para propor um modelo determinístico para a previsão da CET durante a solidificação unidirecional, porém sob condições transientes. Os autores solucionaram numericamente a equação de condução de calor para obtenção do campo de temperaturas. A posição da frente de crescimento colunar foi acompanhada através da integração numérica de sua velocidade no tempo, como indicado pela equação

t v x

x_colt+∆t = _colt + ∆ (1)

onde ∆t é o passo de tempo; x_colt+∆t e x_colt indicam a posição da frente colunar nos intantes de tempo t + ∆t e t, respectivamente, e v é a velocidade da frente, calculada em função de sua temperatura no instante t. A relação entre a velocidade e a temperatura foi obtida através de uma equação empírica. No processo de solução numérica apresentado no modelo, o domínio unidimensional de cálculo era dividido em células. Durante a solidificação, a malha era ajustada constantemente para garantir que a posição da frente colunar coincidia com a face de uma célula, tornando trabalhosa a sua implementação. Novamente, para prever o instante em que a frente colunar seria bloqueada, utilizou-se o critério do bloqueio mecânico.

Wang e Beckermann(6) implementaram um modelo determinístico multifásico em regime transiente para calcular a CET durante a solidificação unidirecional. Neste modelo foi utilizado o conceito de envelope dendrítico e a frente colunar foi acompanhada através de uma equação semelhante à Eq. (1), no entanto a velocidade v foi calculada para a temperatura da frente no instante t + ∆t, o que demandou um processo iterativo. Wang e Beckermann(6)_também

utilizaram o critério do bloqueio mecânico para prever a posição da CET.

Martorano et al.(3) modificaram o modelo de Wang e Beckermann(6) para eliminar o critério de bloqueio mecânico utilizado por todos os modelos determinísticos propostos até então. Estes autores(3)_{consideraram a interação}

dos campos de soluto entre os grãos equiaxiais e colunares, permitindo que a frente colunar fosse bloqueada naturalmente, sem a necessidade de um critério extra, como o do bloqueio mecânico.

(3)

Wang and Beckermann(6) estenderam seu modelo unidimensional para simular o caso da solidificação bidimensional. Após assumir que a velocidade da frente colunar era paralela ao fluxo de calor, os autores acompanharam um único ponto previamente escolhido da frente colunar através da Eq.(1). Após determinação da temperatura neste ponto, assumiu-se que toda a frente estava localizada nesta isoterma. Esta hipótese simplificadora desconsidera que diversas partes da frente colunar possuem diferentes velocidades e podem estar a diferentes temperaturas.

Jacot et al.(7)_{imlementaram um modelo determinístico bidimensional em}

regime transiente para a previsão da CET durante a solidificação de ferros-fundidos brancos e cinzentos. A posição da frente colunar foi acompanhada através de uma técnica conhecida como volume de fluido (VOF-"volume-of-fluid"), inicialmente proposta para o acompanhamento de superfícies livres em problemas da área de fluidodinâmica. O autor apresentou um resultado promissor mostrando a transição colunar-equiaxial durante a solidificação de uma peça com geometria cilíndrica, indicando que o método foi capaz de manter o formato da frente colunar durante o seu crescimento.

Os modelos determinísticos discutidos acima consideram os grãos equiaxiais e colunares de forma média, ou seja, não é possível saber a posição e o formato de cada grão. Os modelos estocásticos, por outro lado, contêm procedimentos para acompanhar a nucleação e o crescimento de cada grão. Esta técnica possibilita o cálculo da imagem da macroestrutura de grãos, através da qual a CET pode ser identificada. No entanto, a grande desvantagem deste tipo de modelo é a necessidade de uma malha numérica suficientemente refinada para resolver cada grão presente na estrutura. Desta forma, normalmente esta técnica demanda um alto poder computacional, principalmente para simular estruturas refinadas.

Gandin e Rappaz(8) propuseram uma primeira versão do modelo estocástico mais freqüentemente utilizado atualmente para prever a macroestrutura de grãos durante a solidificação bidimensional. Este modelo, conhecido como autômato celular, foi posteriormente modificado por Gandin e Rappaz,(9) atingindo a sua forma mais utilizada. A metodologia empregada nos modelos estocásticos consiste em subdividir o domínio do metal por uma malha contendo um número suficiente de nós ou sítios para que cada grão da estrutura possa ser resolvido. Quando um sítio é ativado, um retângulo será associado a ele e este retângulo começará a crescer, imitando o processo de crescimento dos grãos. Cada um destes sítios podem ser ativados em apenas duas situações: (1) quando a sua temperatura tornar-se menor que uma temperatura de nucleação predefinida ou (2) quando um retângulo associado a um sítio vizinho atingir à sua posição durante o crescimento. Algumas regras, que podem ser encontradas no trabalho original,(9) devem ser utilizadas para se definir a orientação e o tamanho do retângulo inicialmente associado a cada sítio. O modelo proposto por Gandin e Rappaz(9) foi também utilizado para simular a formação da estrutura de grãos durante a solidificação tridimensional.

Como discutido anteriormente, a maior desvantagem dos modelos estocáticos é a necessidade da malha refinada para resolver cada grão, resultando em tempos computacionais relativamente grandes. A técnica possibilita a obtenção não somente da CET, mas de toda a macroestrutura de grãos. No entanto, em muitos casos deseja-se prever apenas a posição da CET, que indica a quantidade de grãos colunares e equiaxiais na estrutura. Nestes

(4)

casos, a utilização dos modelos estocásticos acarretará em tempos computacionais desnecessariamente longos, indicando que um modelo determinístico seria preferível. O objetivo do presente trabalho é a proposta de um modelo matemático determinístico para a previsão da transição colunar-equiaxial em problemas de solidificação bidimensional. O modelo desenvolvido combina um modelo determinístico com uma técnica para o acompanhamento da frente colunar baseada no método do autômato celular. Finalmente, o modelo será aplicado à solidificação de uma liga Al-3%Cu em uma cavidade quadrada, fornecendo, entre outros resultados, a posição da transição colunar-equiaxial.

2 METODOLOGIA

O modelo matemático a ser apresentado foi subdividido em duas partes, cada uma baseada em um tipo de técnica: (1) utilização das equações diferenciais de conservação de massa, energia e espécies químicas para modelar os campos de fração de sólido, temperatura e concentração de soluto e (2) utilização de uma técnica baseada no modelo de autômato celular para prever a posição da frente de crescimento colunar.

A primeira parte do modelo será chamada de modelo determinístico e a segunda, de algoritmo para acompanhamento da frente de crescimento colunar. Estas técnicas estão descritas a seguir.

2.1 Modelo Matemático Determinístico

O modelo matemático determinístico é baseado nas equações propostas por Wang e Beckermann(6), em seu modelo multifásico. Desta forma, as equações são descritas apenas brevemente, pois os detalhes podem ser encontrados no trabalho original.

Assumiu-se que o domínio do problema poderia ser dividido em três pseudofases, a saber, sólido (s), líquido interdendrítico (d) e líquido extradendrítico (l). As duas fases líquidas podem ser definidas após posicionar-se um envelope dendrítico imaginário ao redor de cada grão colunar ou equiaxial, formando um contorno que toca a ponta dos braços primários e secundários de dendrita. O líquido interdendrítico é definido como aquele no interior de cada envelope e o extradendrítico é o líquido na região externa ao envelope. As seguintes hipóteses foram utilizadas para a definição das equações diferenciais e algébricas do modelo:(6)

• o domínio é assumido bidimensional (definem-se as direções x e y de um sistema de coordenadas retangulares utilizado como referência); • o transporte de calor e massa ocorrem apenas por difusão;

• o líquido interdendrítico (d) possui concentração de soluto homogênea; • a difusão de soluto no sólido é desprezível;

• a macrossegregação é desprezível;

• existe equilíbrio local na interface sólido-líquido;

• o calor específico e a densidade do sólido e líquido são constantes e iguais para o líquido e sólido;

• todos os grãos equiaxiais nucleiam instantaneamente após um super-resfriamento predefinido para a nucleação (∆TN) ter sido ultrapassado.

A partir dos princípios de conservação de massa, energia e espécies químicas e considerando-se as hipóteses simplificadoras apresentadas, o

(5)

seguinte conjunto de equações foi obtido e utilizado para modelar a solidificação no sistema estudado:(6) t L y T y x T x t T c_P s ∂ ε ∂ ρ +       ∂ ∂ κ ∂ ∂ +       ∂ ∂ κ ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ (2)

[

₁

]

2 1 4 ) ( Iv C ) k ( m D V * l l *l Ω Γ − σ = − (3) ) k ( C C C * l l * l − − = Ω 1 (4) V S t e l ₌₋ ∂ ε ∂ (5)

( )

S D (C C ) t C t C k _l* _l e l e * l d s * l ∂_∂ε = ε ∂_∂ + _δ − − 1 (6)

(

)

D ₍_C _C ₎ S t C t C l * l e l e l * l l l ₋ δ + ∂ ε ∂ = ∂ ε ∂ (7) l f * l T_mT C = − (8) 1 = ε + ε + ε_s _d _l (9)

onde ε é a fração volumétrica de cada fase, indicada pelos subescritos 's', 'd' e 'l'; T é a temperatura; t é o tempo; ρ, cP e L são a densidade, o calor

específico e o calor latente, respectivamente; κ é a condutividade térmica média, definida por κ = εsκs+(εd+εl)κl; C é a concentração do líquido interdendrítico; C*_l l

é a concentração média no líquido extradendrítico; Dl é o coeficiente de difusão

de soluto no líquido; k é o coeficiente de partição de soluto; Se é a concentração

de área superficial de envelope por volume; δe é a distância efetiva de difusão de

soluto ao redor dos envelopes dendríticos; Tf é a temperatura do metal puro; ml é

a inclinação da linha liquidus do diagrama de fases; C0 é a concentração inicial

de soluto; V é a velocidade da ponta das dendritas equiaxiais; Ω é o super-resfriamento adimensional na ponta das dendritas; Γ é o coeficiente de Gibbs-Thomson; σ* ≈ 1/(4π2_{) é a constante de estabilidade marginal e Iv}-1_{é o inverso}

da função de Ivantsov.

As relações extras utilizadas para o cálculo da concentração de área superficial dos envelopes dendríticos (Se) e da distância efetiva de difusão (δe)

em função da densidade do número de grãos equiaxiais (n) ou do espaçamento entre os braços primários dos grãos colunares (λ1) podem ser obtidas no

trabalho de Martorano et al.(3)

O sistema de Eqs. (2) a (9) foi solucionado em um domínio quadrado de lado L, onde o sistema de referências foi fixado no vértice inferior esquerdo e o calor foi extraído através do contorno inferior e do contorno à esquerda. As seguintes condições de contorno e inicial foram empregadas para solução da equação da conservação da energia (Eq. (2))

Condição Inicial v

T

(6)

Condições de Contorno

(

T Ta

)

h x T − = ∂ ∂ κ x=0,0≤y≤L, t>0 (11) 0 = ∂ ∂ x T x=L,0≤y≤L, t>0 (12)

(

T Ta

)

h y T − = ∂ ∂ κ 0≤x≤L,y=0, t >0 (13) 0 = ∂ ∂ y T 0≤x≤L,y=L, t>0 (14) onde h é o coeficiente de transferência de calor; TV é a temperatura inicial de

simulação e Ta é uma temperatura de referência do molde, que pode ser a

temperatura da água de refrigeração no caso e um molde metálico refrigerado. O sistema de Eqs. (2) a (14) foi discretizado através do método dos volumes finitos em sua formulação implícita utilizando uma malha de volumes finitos quadrados.(3) O sistema de equações algébricas resultante do processo de discretização foi solucionado através do método de Gauss-Seidel. Todas as tarefas computacionais foram implementadas através de um código utilizando a linguagem de computador ANSI C com o auxílio de um compilador Borland C++ em um computador pessoal com microprocessador Intel Pentium III.

2.2 Acompanhamento da Frente de Crescimento Colunar

Um algoritmo especial foi implementado para realizar o acompanhamento da posição da frente colunar em crescimento em um domínio bidimensional. Este algoritmo foi inspirado em diversos procedimentos do modelo de autômato celular (CA) proposto por Gandin e Rappaz(8)_{para obtenção da macroestrutura}

completa. No entanto, no presente trabalho o algoritmo implementado tem o objetivo de apenas acompanhar a frente de crescimento colunar, sem acompanhar individualmente cada grão colunar ou equiaxial. Este algoritmo, que será descrito a seguir, utiliza o campo de temperaturas (T) e o campo de fração de grãos (εg) calculados pelo modelo determinístico apresentado no item

anterior.

Analogamente ao modelo de autômato celular original, uma malha de nós ou sítios é uniformemente distribuída sobre todo o domínio bidimensional de cálculo. Estes sítios estão inicialmente desativados, o que significa que estão no estado "líquido", e podem ser ativados, ou seja, tonar-se "sólidos", a partir de um processo de nucleação ou de crescimento. Diferentemente do CA original, no presente algoritmo apenas os sítios adjacentes ao contorno do domínio podem ser ativados através de um processo de nucleação. Este procedimento representa a nucleação de grãos colunares na parede de um molde de fundição. Os sítios internos, por outro lado, somente são ativados através do processo de crescimento de um grão associado ao sítio vizinho. Desta forma, os sítios ativados sempre indicarão apenas os grãos colunares, ou seja, a malha de sítios empregada pela técnica de autômato celular não acompanhará os grãos equiaxiais.

Um retângulo inicial é associado a cada sítio imediatamente ativado. No presente trabalho, cada retângulo pode representar um conjunto de grãos

(7)

colunares e não apenas uma parte de um único grão, como proposto no modelo CA original. Logo, os retângulos presentes apenas delinearão a frente de crescimento colunar. O tamanho deste retângulo inicial é calculado de forma semelhante àquela empregada no CA original, porém a sua orientação é definida para manter um de seus lados perpendicular ao gradiente de temperatura no local. Este retângulo iniciará o crescimento, que é simulado através do aumento da distância entre o seu lado e o sítio ao qual ele está associado. Esta distância é constantemente atualizada a partir de uma velocidade de crescimento. Esta velocidade é assumida ser igual à velocidade de crescimento da ponta de uma dendrita e pode ser calculada através da Eq. (3), onde o super-resfriamento adimensional (Ω) deve ser calculado pela equação abaixo, em lugar da Eq. (4)

) k 1 ( C C C * l 0 * l − − = Ω (15)

Nesta equação, a interação entre os campos de soluto das dendritas colunares e equiaixiais não está sendo considerada. No cálculo de *

l

C , realizado a partir da Eq. (8), deve-se utilizar a temperatura na posição do lado do quadrado para o qual se deseja determinar a velocidade. A temperatura nesta posição é obtida através de algum processo de interpolação do campo de temperaturas fornecido pelo modelo determinístico.

O retângulo associado a um sítio ativado poderá ser bloqueado somente em duas situações: (1) quando os quatro sítios vizinhos mais próximos da malha estiverem ativados ou (2) quando a fração de grãos equiaxiais (εg) na posição da

face do reângulo em crescimento for igual ou maior do que 0,49. O primeiro critério não resulta em um bloqueio dos grãos colunares, porque o processo de seu crescimento já foi transmitido para todos os sítios vizinhos. O segundo critério, entretanto, causará a transição colunar-equiaxial (CET) e representa o chamado bloqueio mecânico. O valor de εg para a aplicação do critério na

posição da face do retângulo deve ser obtido através da interpolação do campo de εg fornecido pelo modelo determinístico.

3 RESULTADOS E DISCUSSÃO

O modelo implementado através das equações e técnicas descritas nos itens anteriores foi utilizado para simular a solidificação de uma liga Al-3%Cu na cavidade bidimensional descrita no item anterior. As propriedades da liga simulada estão apresentadas na Tabela 1 e as condições de simulação, na Tabela 2. Os valores foram escolhidos para permitirem a comparação dos resultados do presente modelo com aqueles fornecidos por Wang e Beckermann.(6)

Os resultados do modelo para três diferentes instantes de tempo estão apresentados na Figura 1. Nesta figura estão mostrados os campos de

temperatura e fração de grãos, bem como os sítios ativados, que indicam a região composta por grãos colunares. No instante de tempo 198 s, observa-se que a fração de grãos equiaxiais à frente dos grãos colunares é aproximadamente 0,2, portanto os grão colunares ainda estão em crescimento. No instante t = 312 s, a situação é semelhante, porém a região de grãos colunares aumentou em relação ao instante anterior. Finalmente, no instante 498 s observa-se que a fração de grãos equiaxiais à frente dos grãos colunares é superior a 0,8, o que significa que a frente de crescimento colunar foi bloqueada

(8)

e a transição colunar-equiaxial (CET) já ocorreu. Segundo o critério mecânico adotado, a frente é bloqueada em uma fração de grãos igual a 0,49.

Tabela 1. Propriedades e parâmetros microestruturais da liga Al-3%Cu adotados nas

simulações. Tf é a temperatura de fusão do metal puro, TL é a temperatura liquidus da liga, Teut é

a temperatura do eutético e ∆TN é o super-resfriamento para a nucleação dos grãos equiaxiais.

Os símbolos restantes foram todos definidos no texto.

Propriedade Al-3%Cu Dl (m2.s-1) 5x10-9 κs (W.m-1.K-1) 153 κl (W.m-1.K-1) 77 L (J.kg-1_{) 400x10}3 cp (J.kg-1.K-1) 1333,3 ρ (kg.m-3₎ ₂₅₅₀ ml (K.%wt-1) -3,37 k 0,17 Γ (m.K) 2,41x10-7 Tf (K) 933,5 TL (K) 923,4 ∆TN (K) 0 Teut (K) 821 n (m-3_{) 10}-5 λ1 (m) 5x10-3

Tabela 2. Condições e parâmetros numéricos utilizados nas simulações. NCA e NVF representam

o número de sítios da malha do autômato celular e o número de volumes finitos da malha utilizada para o modelo determinístico; ∆t representa o passo de tempo do método numérico. Os símbolos restantes foram todos definidos no texto.

Parâmetros Valores h (W.m-2_.K-1_{) 65} L (m) 0,1 TV (K) 943,4 Ta (K) 298 NCA = NVF 40 x 40 ou 60 x 60 ∆t (s) 1

Os resultados apresentados por Wang e Beckermann(6) foram sobrepostos aos resultados do presente modelo, indicando uma excelente aderência para os dois primeiros instantes de tempo discutidos. No entanto, nota-se uma certa discrepância em relação à posição da CET, observada no instante t = 498 s. Estas discrepâncias podem estar relacionadas com o método proposto por estes autores, onde apenas um ponto da frente colunar era acompanhado e posteriormente assumido que toda esta frente possuía a mesma temperatura.

Todos os resultados apresentados na Figura 1 foram obtidos utilizando-se uma

malha de sítios e de volumes finitos igual a 40 x 40, com exceção da Figura 1(d), na qual uma malha de 60x60 elementos foi utiliazada. Não se observa um efeito siginificativo da malha para este caso.

(9)

T 925 920 915 910 905 900 925 K TLiq 920 K 0.20 0.8₀ x (m) y( m ) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 (a) (b) T 925 920 915 910 905 900 922,5 K 910 K 920 K 0.490.20 0.80 x (m) y( m ) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 (c) (d)

Figura 1. Campo de temperaturas e de fração de grãos calculados pelo modelo. Os sítios

ativados representam os grão colunares. O resultado de Wang e Beckermann(6) estão sobrepostos também para diversos tempos de simulação t = (a) 195 s ; (b) 312 s; (c)(d) 498. As malhas utilizadas nos casos (a), (b) e (c) foi de 40x40, e no caso (d) 60x60.

4 CONCLUSÕES

As seguintes conclusões podem ser obtidas do presente trabalho:

1) O modelo matemático proposto é capaz de acompanhar o crescimento colunar e prever a transição colunar-equiaxial em uma situação de solidificação bidimensional da liga Al-3%Cu em uma cavidade quadrada;

2) A forma e posição da frente colunar prevista pelo modelo apresenta boa aderência aos resultados do modelo de Wang e Beckermann(6), no entanto, a posição da CET mostra discrepâncias em relação aos dados destes autores; 3) A mudança de tamanho de malha de 40x40 para 60 x 60 volumes, tanto para

a técnica de autômato celular quanto para a discretização das equações diferenciais de conservação, não causa diferenças significativas nos

T 925 920 915 910 905 900 922,5 K 910 K 920 K 0.80 0.01 0.20 x (m) y( m ) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 T 925 920 915 910 905 900 922,5 K 910 K 920 K 0.490.20 0.80 x (m) y( m ) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 W-B W-B W-B W-B

(10)

resultados, mostrando que malhas muito mais grosseiras do que as utilizadas pelos métodos de autômato celular clássico podem ser empregadas.

Agradecimentos

O autor agradece o suporte financeiro da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, FAPESP (Processo no. 03/08567-7).

REFERÊNCIAS

1 S.C. FLOOD, J.D. HUNT, ASM Handbook, 1988, v. 15, p. 130-136.

2 J.D. HUNT, Mater. Sci. Eng., 1984, v. 65, p. 75-83.

3 M.A. MARTORANO, C. BECKERMANN, Ch-A. GANDIN, Metal. Mater. Trans. A, 2003, v.34A, p.1657-1674.

4 S.C. FLOOD, J.D. HUNT, J. Cryst. Growth, 1987, v. 82, p. 543-551.

5 S.C. FLOOD, J.D. HUNT, J. Cryst. Growth, 1987, v. 82, p. 552-560.

6 C.Y. WANG, C. BECKERMANN, Metal. Mater. Trans. A, 1994, v. 25A, p. 1081-1093.

7 A. JACOT, D. MAIJIER, S. COCKROFT, Metall. Mater. Trans. A, 2000, v. 31A, p. 2059-2068.

8 CH.-A.GANDIN, M. RAPPAZ, Acta Metal., 1993, v. 41, p. 345-60.

(11)

DETERMINISTIC MATHEMATICAL MODEL TO PREDICT

THE COLUMNAR-TO-EQUIAXED TRANSITION IN

TWO-DIMENSIONAL SOLIDIFICATION

1

Marcelo Aquino Martorano2

Abstracts

The objetive of the present work is to propose a deterministic mathematical model do predict the columnar-to-equiaxed transition in two-dimensional solidification problems. The proposed model combines a deterministic model with a method to track the columnar front position. The deterministic model is based on the conservation equations for multiphase systems and is used to calculate several field variables, such as, the temperature and the grain fraction. On the other hand, the method for columnar front tracking is based on the cellular automaton technique, which in the present work is used to follow only the columnar front, rather than resolve each grain in the structure. The complete model was used to simulate the solidification of a Al-3%Cu alloy in a square cavity, from which heat is extracted through two adjacent domain walls. The model results show the columnar front growth and, eventually, the columnar-to-equiaxed transition. Most results are in reasonable agreement with some data published in the literature, indicating that the columnar-to-equiaxed transition might be predicted with much coarser meshes than those employed in the original cellular automaton model.

Key words: Mathematical model; Columnar to equiaxed transition; Two

dimensional solidification; Deterministic model

1_{Paper to be presented at CONAF 2005, in São Paulo, Brasil. September 27 to 30, 2005.} 2_{Professor Ph.D.}