Na segunda questão, pretende-se determinar o intervalo de tempo em que a bola se encontrou a mais de 2,3 m do solo. Para tal, os alunos devem recorrer aos processos algébricos estudados anteriormente:
Neste caso não se torna evidente qual o raciocínio que o aluno realizou para apresentar o intervalo de tempo, pois não discute o sinal da função quadrática; acresce
ainda o facto de o aluno apresentar a resposta como sendo t∈
]
0, 2; 1,8[
, dado que con-siderou h t( )
≥2,3, desde o início da sua resolução, em vez de h t( )
>2,3, mas respon-de em conformidarespon-de.Na interpretação dos resultados encontrados, podem, também, surgir respostas como a seguinte:
Neste caso, o aluno parece estabelecer uma relação clara entre os valores encon-trados por processos analíticos e o contexto em que se insere o problema, que é um fac-tor essencial nesta tarefa. Este é, portanto, um dos aspectos que deve ser realçado, na fase de discussão da tarefa no grupo turma.
Neste mesmo sentido, e já na questão três, os alunos devem estabelecer uma re-lação entre o tempo que decorreu após o pontapé até que a bola atingisse o solo e a de-terminação dos zeros da função. Para tal, têm que relacionar a representação algébrica quer com a representação gráfica, quer com o contexto, os objectos e as imagens.
Note-se que o aluno “cortou” a solução em que t toma valor negativo pois, ape-sar de ser solução da equação obtida, a mesma não é solução do problema proposto, já que o tempo (em segundos) não pode tomar valores negativos.
A relação entre as representações algébrica e gráfica, podendo ser abordada nas explorações anteriores, é na questão quatro que é enfatizada pelos alunos. Estes devem observar as duas representações em simultâneo (bem como a representação tabelar) e fazer a transição da representação algébrica para a representação gráfica, relacionando objectos e imagens nas duas representações.
Recorrendo à exploração das capacidades gráficas da calculadora, os alunos ve-rificam que um segundo após o lançamento da bola, esta atinge a sua altura máxima, que é de 5,5 metros. Podem, portanto, indicar o ponto relevante, de coordenadas
(
1; 5,5 . A confirmação analítica deste resultado pode ser realizada pela determinação)
da abcissa do vértice, 1, e da respectiva ordenada, 5, 5, como mostra a seguinteresolu-ção:
Por fim, os alunos devem dar uma resposta à questão colocada, mostrando que relacionam correctamente as representações matemáticas com o contexto em que estão inseridas:
Considerações finais sobre a exploração da tarefa
Esta tarefa pode permitir que os alunos desenvolvam a sua capacidade de identi-ficação de algumas características da função apresentada e da sua interpretação, de acordo com o contexto em que se inserem as questões. O professor deve dar tempo aos alunos para que seja possível a adopção de diferentes estratégias na resolução das ques-tões que envolvem representações de uma função e relações entre as mesmas. Só assim é possível o professor detectar algumas dificuldades que possam existir na interpretação das representações e na resolução da própria tarefa.
O professor deve ainda realçar a importância dos modelos matemáticos nas re-presentações dos problemas do dia-a-dia, focando a relevância da Matemática na vida diária e no facto desta ciência ser essencial em todas as áreas da vida.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Considere as funções:
f
( )
x = +x 3, uma função polinomial de grau um;g, uma função polinomial de grau dois, definida por uma expressão da forma
( )
2(
)
, , e 0
g x = a x + b x + c a b c∈R a ≠ .
h, que resulta do produto dos polinómios que definem as funções f e g.
1. As funções f e g admitem as seguintes representações gráficas, para certos valores
de a b, ec:
1.1. Mostre que g x
( )
= 2x2 + 5x −3. 1.2. Estude o sinal da função h.1.3. Determine:
( )
3 h − 1 2 h h( )
0 h( )
−1 h( )
1 h( )
21.4. Faça um esboço da representação gráfica da função h.
2. Procure novos valores para os parâmetros a b, e c, de modo que:
2.1. a função h tenha apenas um zero real;
2.2. a função h tenha mais do que dois zeros reais e distintos.
Quais as alterações que se podem observar nas representações gráficas da fun-ção h relativamente à funfun-ção dada inicialmente?
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y
Conhecimentos prévios dos alunos
Com o trabalho desenvolvido anteriormente, os alunos devem ser capazes de: Identificar e relacionar objecto e imagem;
Observar e interpretar representações gráficas e algébricas de funções poli-nomiais de graus um e dois;
Relacionar as representações algébrica e gráfica de uma função polinomial de grau um e de uma função polinomial de grau dois;
Determinar o vértice de uma parábola;
Identificar os zeros de uma função a partir da sua representação gráfica e de-terminar os zeros de uma função a partir da sua representação algébrica; Exprimir processos e ideias matemáticas, oralmente e por escrito.
Aprendizagens visadas
Com o seu trabalho na Tarefa Funções Polinomiais, os alunos devem ser capa-zes de:
Observar, interpretar e relacionar representações gráficas e algébricas de funções polinomiais de diferentes graus;
Fazer o estudo de uma função polinomial de grau três a partir das suas repre-sentações algébrica e gráfica;
Identificar e analisar propriedades comuns entre uma função cúbica e as fun-ções de primeiro e segundo graus cujo produto de polinómios dá origem à sua representação algébrica.
Orientações para o professor
1. Indicações gerais
A tarefa foi planificada para noventa minutos (cinquenta minutos para a resolu-ção e quarenta minutos para discussão da tarefa).
Funções Polinomiais
Duração Prevista Exploração Apresentação e Discussão de Resultados
90 min 50 min 40 min
Nos primeiros cinquenta minutos pretende-se que os alunos explorem as repre-sentações gráficas apresentadas, estabeleçam relações entre as reprerepre-sentações gráficas e algébricas da mesma função e transportem essas relações para a representação e análise de novas funções polinomiais de diferentes graus, com o auxílio da calculadora. Devem também analisar propriedades de uma função e relacioná-las com as de outras funções obtidas a partir daquela. Durante os quarenta minutos seguintes serão confrontadas e discutidas as respostas às questões, assim como os processos utilizados pelos alunos.
Nesta tarefa os alunos podem trabalhar individualmente ou em grupos e preten-de-se que apresentem um pequeno relatório com os raciocínios realizados, as justifica-ções e os cálculos de todas as respostas.
Esta tarefa permite relacionar as representações gráficas e algébricas de funções polinomiais de diferentes graus (função afim, função quadrática e função cúbica), par-tindo da análise de algumas propriedades como, por exemplo, as relativas aos zeros e ao sinal.
2. Algumas explorações
Com a exploração desta tarefa pretende-se chegar a uma função cúbica, que é obtida a partir do produto de uma função polinomial de grau um, definida algebricamen-te, por uma função quadrática, dada inicialmente por uma representação gráfica. Além disso, a tarefa permite que os alunos relacionem as representações gráficas e algébricas de funções diferentes.
Na primeira questão os alunos devem relacionar a representação gráfica da fun-ção quadrática com a representafun-ção algébrica dada, mostrando que representam a
mes-ma função, ou seja, devem mostrar que g x
( )
=2x2+5x−3. Para tal, podem começar por fazer uma observação cuidada da representação gráfica, indicando alguns pontosconhecidos:
(
−3, 0)
,(
0, 3−)
e( )
1, 4 . Ao estabelecer a relação entre o objecto e a res-pectiva imagem, e recorrendo à expressão algébrica g x( )
=ax2+ +bx c indicada, osalunos podem determinar os valores correspondentes aos parâmetros a , b, e c , resol-vendo o seguinte sistema:
( )
( )
( )
( )
2 2 2 3 3 0 5 0 0 3 3 2 1 1 4 a b c b a b c c a a b c − + − + = = + × + = − ⇔ = − = + × + = O professor deve, neste sentido, realçar que são necessários três pares ordenados distintos e independentes para definir a representação de uma função quadrática, isto porque, muitas vezes, os alunos consideram que basta mostrar que a função definida
( )
22 5 3
g x = x + x− tem os mesmos zeros que a função representada graficamente, para estabelecer a equivalência entre as duas representações (não dando conta que existe uma infinidade de funções quadráticas cujas representações gráficas são parábolas que têm os mesmos zeros).
Na questão 1.2 os alunos devem estudar o sinal da função cúbica h, desejando-se que o façam a partir da análidesejando-se das repredesejando-sentações gráficas. Neste desejando-sentido, como a função f assume valores negativos entre −∞ e −3 e, neste intervalo a função g assu-me valores positivos, h terá valores negativos; de modo idêntico, como a função g
assume valores negativos entre −3 e 1
2, e neste intervalo a função f assume valores positivos, h terá valores negativos; por fim, a função g assume valores positivos entre
1
2 e + ∞, e neste intervalo a função f continua a assumir valores positivos, h terá valores positivos.
No entanto, a tendência geral dos alunos é verificar que a função h resulta do produto dos polinómios que definem as funções f e g, e, por isso, pode ser definida
algebricamente por
( )
(
2)
(
)
2 5 3 3
h x = x + x− x+ . Assim, podem construir uma tabela de sinais de cada uma das funções factores, recorrendo à representação gráfica e às propri-edades das funções f e g, e concluir quanto ao sinal da função produto:
x −∞ −3 1 2 + ∞
( )
f x – 0 + + +( )
g x + 0 – 0 +( )
h x – 0 – 0 +Como tal:
( )
]
[
1 0 , 3 3, 2 h x < ⇔ ∈ − ∞ − ∪ −x ;( )
1 0 3, 2 h x = ⇔ ∈ −x ;( )
1 0 , 2 h x > ⇔ ∈x + ∞ Na questão 1.3 pretende-se que os alunos determinem as imagens de alguns ob-jectos dados, partindo prioritariamente da análise das representações gráficas e da indi-cação de pontos dos gráficos de cada uma das funções. Numa primeira fase, devem
no-tar que h
( )
− =3 0, dado que −3 é um zero das funções f e g, e 1 0 2 h = , pois 1 2 é
um zero da função g. Para h
( )
2 , uma vez que as imagens correspondentes não estão apresentadas na figura do enunciado, os alunos têm de recorrer ou às representações algébricas de cada uma das funções f e g e efectuar o produto dos resultados obtidos,ou, em alternativa, determinar a expressão algébrica da função h e calcular a imagem
( )
2h . Nos restantes três casos, h
( )
0 , h( )
1 e h( )
−1 , os alunos podem fazer a leitura das imagens de cada um dos objectos, em cada uma das representações gráficas das funções f e g, e fazer os respectivos produtos.O professor deve ter em atenção que os alunos têm tendência a resolver a ques-tão pela via analítica, começando por determinar a expressão algébrica da função h e procedendo ao cálculo das imagens por processos rotineiros, empobrecendo deste modo a exploração desta questão ao não valorizar as representações gráficas das funções.
Na questão 1.4 os alunos devem fazer um esboço da representação gráfica de h, e para obter uma representação mais rigorosa, podem usar, para isso, os pontos corres-pondentes aos pares ordenados determinados na questão anterior. Podem, também, fazer o esboço da representação obtida na calculadora gráfica:
Na segunda questão desta tarefa, os alunos devem escolher vários valores a atri-buir aos parâmetros a b, e c da representação algébrica da função g, de modo que h
tenha o número de zeros pretendidos, observando as alterações nas representações gráfi-cas relativamente à mudança dos parâmetros.
Podem começar por registar que a função f não é alterada. Assim, para que a
função h tenha apenas um zero, a função g pode ser de dois tipos: i) não ter zeros, e
então o zero da função h vai corresponder ao zero da função f ; e ii) ter apenas um
zero coincidente com o zero da função f .
No primeiro caso existe uma infinidade de soluções. Como se pretende que g
não tenha zeros reais, podem escolher-se valores para a b, e c de forma que
2
4 0
b − a c< . Considerando, por exemplo, a=1, b=0 e c=1, tem-se g x
( )
=x2+1 e a função h tem apenas um zero, que coincide com o zero da função f .Para g ter apenas um zero coincidente com o zero da função f , a expressão
al-gébrica que representa g pode ser do tipo g x
( ) (
=k x+3 ,)
2 k≠0, escolhendo, deste modo, as funções quadráticas que têm um zero duplo para x= −3. Desenvolvendo o quadrado do binómio, vem: g x( )
=k x(
2+6x+9)
. Então, os valores para os parâme-tros podem ser, por exemplo, a=1, b=6 e c=9 e os alunos podem verificar o sinal da função: x −∞ −3 +∞( )
f x – 0 +( )
g x + 0 +( )
h x – 0 +Os alunos podem, então, verificar que a representação gráfica da função h apre-senta uma única intersecção com o eixo das abcissas (como seria esperado, já que h deveria ter um único zero real), coincidindo esta intersecção com a intersecção da repre-sentação gráfica da função afim com o mesmo eixo.
Na questão 2.2, pretende-se que os alunos procurem novos valores para a b, ec
mas, desta vez, de modo que h tenha mais do que dois zeros reais e distintos. Para tal, a função g tem que ter dois zeros e estes têm que ser diferentes do zero da função f .
Assim, a expressão algébrica que representa g tem que ser do tipo
( ) (
)(
)
g x =a x d− x e− , com a≠0, sendo d ≠ −3 e e≠ −3.
Seja, por exemplo, g x
( ) (
= −x 0)
(
x− −( )
4)
, ou seja, g x( ) (
=x x+4)
. Desen-volvendo o produto, temos g x( )
=x2+4x e, assim, temos a=1, b=4 e c=0. A fun-ção h é, neste caso, definida por:( )
(
2)
(
)
4 3
h x = x + x x+ ,
Após definirem os parâmetros, pode verificar-se o sinal da função:
x −∞ −4 −3 0 +∞
( )
f x – – – 0 + + +( )
g x + 0 – – – 0 +( )
h x – 0 + 0 – 0 +e observar a representação gráfica de h através da calculadora gráfica:
Deste modo, confirma-se que a representação gráfica da função h apresenta três intersecções com o eixo das abcissas (como seria esperado, já que h deveria ter mais do que dois zeros reais e, portanto, teria que ter obrigatoriamente três), coincidindo uma
com o zero da função f e duas com a intersecção da representação gráfica da função g
com o mesmo eixo.
Explorações de Alunos
Nesta tarefa é pedido aos alunos que observem as representações gráficas de uma função quadrática e de uma função afim de modo a relacioná-las com uma função cúbica. Pretende-se que os alunos estabeleçam relações entre as representações gráficas e algébricas.
Na identificação de características das funções, em especial da função quadráti-ca, os alunos podem associar o grau do polinómio que define a função algebricamente com a sua representação gráfica (e com os seus zeros):
Na pergunta 1 do primeiro conjunto de questões da tarefa, pretende-se que os alunos relacionem duas representações de uma função, a algébrica e a gráfica. A partir da observação da representação gráfica apresentada, devem determinar a correspondente expressão algébrica, confirmando que se trata da apresentada no enunciado.
Com alguma frequência, os alunos tendem a fazer apenas a observação dos zeros na representação gráfica e a confirmá-los recorrendo à representação algébrica. No en-tanto, os alunos podem mobilizar conhecimentos algébricos, explorados em aulas ante-riores, nomeadamente a decomposição de um polinómio em factores, a partir do conhe-cimento dos seus zeros, e usar um novo ponto obtido pela observação da representação gráfica, como se ilustra no exemplo da página seguinte.
Neste caso, o professor pode incentivar os alunos a concluírem a resolução da questão, uma vez que determinaram o valor do parâmetro a , mas não fizeram os cálcu-los necessários para a confirmação dos valores dos parâmetros b e c .
Após relacionarem as representações algébrica e gráfica da função quadrática, os alunos devem estabelecer conexões entre as funções afim e quadrática e a função cúbica que resulta do produto dos polinómios que definem as duas funções iniciais. Na pergun-ta 1.2., pretende-se que os alunos estudem o sinal da função h.
Muitas vezes, os alunos começam por determinar a representação algébrica da função h a partir das representações das funções f e g:
No entanto, através desta estratégia eles não conseguem resolver a questão colo-cada, a não ser que recorram à representação gráfica de h, o que apenas lhes é pedido na questão 1.4..
Por outro lado, quando recorrem quer à análise das representações gráficas for-necidas, quer às propriedades das funções afim e quadrática, os alunos podem escolher duas estratégias diferentes: construir uma tabela de sinais ou observar directamente a figura inicial.
O primeiro caso, usado com mais frequência pelos alunos, passa pela observação do sinal de cada uma das funções f e g e pela construção de tabelas como as
seguin-tes:
Neste processo, na análise do sinal de cada uma das funções dadas podem ser destacadas características das representações gráficas de f e g, como sugerem os
es-boços feitos ao lado da tabela da primeira figura.
Nalguns casos, podem surgir dificuldades na passagem da informação que reti-ram da observação da tabela para a linguagem algébrica. É o que se verifica no segundo
exemplo, quando o aluno escreve
( )
0 3 1 2h x = ⇔ = − ∧x em vez de
( )
10 3
2
h x = ⇔ = − ∨ =x x . Além disso, ao indicar que as imagens de h tomam valores
negativos quando 1, 2
x∈ + ∞
, parece ser apenas um lapso já que em seguida apre-senta a resposta correcta (
( )
0 1,2
h x > ⇔ ∈x +∞
No que se refere à segunda estratégia apontada, observar directamente a figura inicial, embora não muito usual, mas muito rica por valorizar a informação que se pode obter directamente de uma representação gráfica, pode permitir diálogos como o que se segue, depois de as alunas já terem resolvido a questão pelo processo anterior:
Professora: Para estudar o sinal da função, vocês utilizam a tabela. Se eu quisesse, sem tabela, só recorrendo às representações gráficas que aqui estão, como fazia para estudar o sinal da função h?
[pausa…]
Professora: Sabem que a expressão da função h é dada pelo produto da expressão de f pela expressão de g, pelo produto dos dois polinómios. Apenas olhando para as representações gráficas, o que acham que pode-riam dizer?
Rita: Hum… Para este lado tinha que ser negativo…[aponta para o lado
esquerdo] E para este tinha que ser positivo… [aponta para o lado direi-to]
Professora: E os zeros?
Ângela: Os zeros mantêm-se… Professora: Porquê?
Ângela: Se um zero é de uma função e o outro de outra função, então o produto das duas vai ter os mesmos zeros.
Professora: Mas porquê?
Ângela: Porque estou habituada… [risos]
A aluna respondeu deste modo porque, na estratégia da construção de uma tabela para o estudo do sinal de uma função cúbica, os zeros observados das funções factores vão manter-se na função produto. A dúvida da aluna parece centrar-se na justificação deste procedimento, que lhe é familiar:
Professora: Bem, antes de mais, exactamente, porque às vezes estamos habituadas a trabalhar assim! Mas nós estamos a trabalhar com o produ-to, produto de números, não é? E se um número é zero, o produto de ou-tro número por zero tem que dar o quê?
Ângela: Zero! Logo mantém-se…
Rita: Então aqui este é positivo e este é negativo, o produto é negativo [apontando para o lado esquerdo]…
Professora: Se a função quadrática, então, toma valores positivos e a função afim toma valores negativos, então o produto…
Ângela: Vai ser negativo!
Rita: Aqui, tanto uma como a outra são positivas, logo o produto é posi-tivo. [aponta para o lado direito]
Professora: Exactamente! E aqui, já agora, entre um zero e o outro? Rita: Positiva e negativa, mais por menos dá menos, dá negativa.
Na questão 1.3, pretende-se que os alunos determinem as imagens de alguns ob-jectos dados, relativamente à função h. Para tal, podem recorrer a algumas característi-cas da função h que já tinham observado anteriormente, como é o caso dos seus zeros.
Os alunos podem indicar os zeros da função h através dos zeros que observaram das funções g e f , como indica a resolução anterior.
Em geral, os alunos indicam as imagens de h recorrendo à sua representação al-gébrica, mesmo quando elas correspondem aos zeros de h que eles já tinham identifi-cado anteriormente:
A questão 1.4. tinha como objectivo fazer um esboço da representação gráfica de h. Neste caso, o professor pode sugerir a utilização de diversos pontos do gráfico de h, já obtidos anteriormente, para que o esboço da representação gráfica da função fique
mais rigoroso. É importante destacar a relevância de alguns destes pontos para o traçado do esboço, nomeadamente os relativos às intersecções da representação gráfica com os eixos coordenados:
Apesar de se terem enganado no cálculo da imagem de 1, e terem obtido 15 e não 16, o grupo recuperou respostas a questões anteriores para esboçar uma representa-ção gráfica tão aproximada quanto possível da representarepresenta-ção da funrepresenta-ção h. Os alunos têm em consideração não apenas a expressão algébrica da função h como algumas das suas especificidades, como os zeros, a ordenada na origem e outros pontos que valori-zam para a construção do esboço da representação gráfica.
Na questão 2 pretende-se que os alunos relacionem os parâmetros da função g
com o comportamento da função h, em particular os seus zeros. Em 2.1., pretende-se que h tenha apenas um zero real e em 2.2 h tem que ter mais do que dois zeros reais e distintos.
Com base em experiências anteriores, nas quais é importante atender às trans-formações geométricas verificadas em diferentes representações gráficas provocadas pela alteração de parâmetros, é comum os alunos iniciaram a resolução desta questão pela exploração gráfica, efectuando translações às representações gráficas já existentes.
Das explorações realizadas pelos alunos, podem destacar-se duas estratégias di-ferentes: uma abordagem dinâmica; uma abordagem algébrica.
Relativamente à primeira, os alunos fazem a exploração da questão procurando, com recurso à calculadora gráfica, encontrar relações entre os parâmetros a b, ec da
função quadrática e as correspondentes alterações na representação da função h.
Seguindo este raciocínio, apresentam um exemplo dos parâmetros que originam
a função pretendida: tomando como referência a função g x
( )
=2x2+5x−3, dada no enunciado, consideram a=2, b=5 e aumentam o valor de c em 6 unidades:Apesar da exploração se centrar na análise da influência dos parâmetros a b, ec
no comportamento da função h, tendo como suporte as representações gráficas obtidas com recurso à calculadora, a resposta é apresentada em termos da expressão analítica. Porém, neste caso, os alunos não apresentam a representação gráfica desta função e não verificam que o valor sugerido para c (c=3) não é, ainda, ajustado à situação dada, uma vez que a função h, assim definida, apresenta dois zeros reais. Muitas vezes isto acontece também pelo uso de uma janela desadequada na calculadora gráfica, que pode dar uma ilusão errada da representação gráfica em alguns pontos relevantes. Estes as-pectos devem ser discutidos com o grupo turma, na fase de apresentação e validação de resultados.
Relativamente à segunda estratégia, uma abordagem algébrica, os alunos deter-minam os zeros da função h, partindo dos dados iniciais da tarefa, e escrevem a
( )
2(
)
0g x =ax + +bx c a≠ . Deste modo, associam a existência de apenas um zero para a função h com a inexistência de zeros para a função g e encontram valores para
, e
a b c a partir da discussão do sinal do binómio discriminante.
A confirmação gráfica dos resultados obtidos, com o recurso à calculadora gráfi-ca, deve ser uma preocupação dos alunos e, portanto, realçada na discussão em grupo. Na resolução apresentada, a confiança que os alunos têm na sua abordagem algébrica leva-os a não sentir a necessidade de completar a resposta com o esboço da representa-ção gráfica da funrepresenta-ção assim obtida.
De modo análogo, para responder à questão 2.2 os alunos determinam a b, ec
para que a função tenha mais do que dois zeros reais e distintos, partindo da discussão do sinal do binómio discriminante:
É importante que os alunos discutam qual o número máximo de zeros que a fun-ção h pode assumir, tratando-se de uma função cúbica:
Se os alunos não se referem a este aspecto, o professor deve levantar a questão na fase de discussão:
Professora: E quantos zeros pode ter a função h, no máximo? Rita: No máximo três.
Professora: Porquê?
Rita: Porque é uma função tripla… Ângela: Cúbica… [risos]
Rita: De 3.º grau.
Embora, por este diálogo, as alunas não fundamentem totalmente as suas afirma-ções, parece existir uma associação implícita entre a função cúbica e o número de zeros de um polinómio de grau três, atendendo à sua decomposição em factores lineares.
Considerações finais sobre a exploração da tarefa
A análise e interpretação das representações gráficas de funções é um aspecto fundamental para a resolução desta tarefa. Pretende-se, também, que os alunos relacio-nem as representações gráficas e algébricas de funções polinomiais de diferentes graus (função afim, função quadrática e função cúbica), partindo da análise de algumas
pro-priedades como, por exemplo, as relativas aos zeros e ao sinal. Por isso, o enunciado da tarefa foi elaborado para fornecer as informações gráficas necessárias para que tais ob-jectivos fossem alcançados. Na resolução desta tarefa, a calculadora gráfica deve ser encarada como uma ferramenta para explorar uma possível influência da variação de parâmetros ou para a confirmação de respostas apresentadas (obtidas por processos al-gébricos).
O professor deve ter em atenção a diversidade de estratégias que os alunos po-dem apresentar na exploração das diversas questões. Assim, é importante promover e gerir a discussão, no grupo turma, dos diversos caminhos seguidos e das relações entre eles. Pode ainda considerar pertinente, na fase da discussão, focar a diferença entre uma função e as suas representações. É importante que os alunos tenham a noção que uma função pode ter diversas representações, e é a conexão entre as mesmas que lhes permi-te um conhecimento mais profundo da função polinomial considerada.
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES RACIONAIS
Investigue, recorrendo à calculadora gráfica, a influência do parâmetro b no
domínio, contradomínio, variação, paridade, sinal e assímptotas de funções do tipo: , 0 b y b x = ≠ .
Preencha a seguinte tabela e, em seguida, apresente as suas conclusões.
b y
x
= Domínio Contradomínio Variação Paridade Sinal Assimptotas 0
b >
0 b <
Investigue, recorrendo à calculadora gráfica, a influência dos parâmetros a e d no domínio, contradomínio, variação, sinal e assímptotas de funções do
tipo: 1 y a x = + e y 1 x d = +
Preencha a seguinte tabela e, em seguida, apresente as suas conclusões.
Domínio Contradomínio Variação Sinal Assimptotas
1 y a x = + 1 y x d = +
Conhecimentos prévios dos alunos
Com o trabalho desenvolvido no 10.º ano de escolaridade e no 11.º ano, nas aulas anteriores relativas a este tema, os alunos devem ser capazes de:
Identificar o significado de parâmetro, numa expressão algébrica; Recorrer à calculadora e representar graficamente funções; Identificar propriedades das funções e dos seus gráficos;
Reconhecer transformações simples de funções e respectivos deslocamentos em termos gráficos.
Aprendizagens visadas
Com o trabalho a desenvolver na exploração da tarefa, os alunos devem ser ca-pazes de reforçar a sua capacidade de analisar representações gráficas de funções, de identificar os efeitos das mudanças de parâmetros nas representações gráficas de famí-lias de funções racionais e de compreender quais as propriedades que se mantêm invari-antes em cada um dos tipos de famílias estudadas.
Em particular os alunos devem ser capazes de:
Identificar propriedades das funções racionais e dos seus gráficos, nomeadamen-te: o domínio, contradomínio, variação, paridade, sinal e assímptotas.
Analisar o efeito provocado pela mudança do parâmetro b, na família de fun-ções do tipo y b , b 0
x
= ≠ e descrever o resultado com recurso à linguagem das transformações geométricas.
Analisar o efeito provocado pela mudança dos parâmetros a e d, nas famílias de funções do tipo y a 1
x
= + e y 1
x d
=
+ e descrever o resultado com
re-curso à linguagem das transformações geométricas.
A realização desta tarefa pode, também, contribuir para o desenvolvimento da capa-cidade de o aluno comunicar matematicamente, oralmente e por escrito, fundamentar raciocínios, discutir processos e comentá-los com outros.
Orientações para o professor
1. Indicações gerais
A duração prevista para a exploração desta tarefa corresponde a um bloco de au-la de 90 minutos.
Transformações de funções racionais
Duração prevista Exploração Apresentação e validação de resultados
1 bloco (90 min) 60 min 30 min
Numa primeira fase, os alunos deverão explorar as questões propostas (durante cerca de 60 minutos), trabalhando em pares ou em pequenos grupos, e devem elaborar um relatório contendo os registos das representações gráficas visualizadas e as conclu-sões retiradas. Na parte final da aula (durante cerca de 30 minutos), deve ser feita a apresentação de resultados e conclusões e a validação dos mesmos.
Com a resolução das questões desta tarefa pretende-se que os alunos atribuam diferentes valores a cada um dos parâmetros, para os diferentes tipos de famílias de fun-ções dadas, e visualizem as correspondentes representafun-ções gráficas com recurso à cal-culadora gráfica (em alternativa, poderá ser usado um programa de geometria dinâmica, recorrendo ao computador).
A partir da visualização, num mesmo referencial, de vários elementos de cada família, os alunos devem identificar as propriedades que se mantêm invariantes, procu-rando identificar algumas propriedades das funções, nomeadamente o domínio, contra-domínio, variação, paridade, sinal e assímptotas. Tendo como referência os conteúdos curriculares do 10.º ano, no que se refere ao estudo das transformações simples de fun-ções, os alunos deverão ser capazes de analisar os efeitos provocados pela mudança dos parâmetros a , b e d , nas respectivas famílias de funções racionais e descrever o resul-tado com recurso à linguagem das transformações geométricas.
A exploração das questões desta tarefa pode promover nos alunos uma melhor percepção das relações existentes entre as expressões analíticas e as representações grá-ficas das funções racionais e também reforçar a compreensão da noção intuitiva de as-símptota ao gráfico de uma função.
