O pant´
ografo
Eduardo Colli
O pant´
ografo
Este simples e engenhoso instrumento foi concebido para reduzir ou ampliar desenhos prontos como mapas, por exemplo. A extre-midade da ripa A que n˜ao articula com C ´e fixa, a articula¸c˜ao entre
B e D segue o desenho e a extremidade da ripa C que n˜ao articula
com A tra¸ca a amplia¸c˜ao. Para reduzir um desenho, inverte-se a
posi¸c˜ao do l´apis com o seguidor.
Se for bem escolhido o ponto de articula¸c˜ao entre A e D (os
fixo, o seguidor e a articula¸c˜ao mencionada formam um triˆangulo is´osceles. Os lados iguais desse triˆangulo s˜ao a vezes menores do que a ripa A, onde a, neste aparelho, pode assumir os valores 2.0, 2.25, 2.5, 2.75, 3.0, 3.5, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0 ou 10.0.
Evidente-mente n˜ao nos referimos ao tamanho da ripa A, mas `a distˆancia
entre o ponto fixo e a articula¸c˜ao com a ripa C.
O ponto fixo, o l´apis e a articula¸c˜ao entre A e C tamb´em formam
um triˆangulo is´osceles, pois A e C tˆem o mesmo tamanho. Se a
articula¸c˜ao entre B e C respeitar o mesmo n´umero a escolhido para A e D ent˜ao este triˆangulo is´osceles ser´a semelhante ao mencionado
anteriormente, e a vezes maior. Assim, o desenho ser´a ampliado a
vezes.
Mas o que acontece se desrespeitarmos as regras para fixa¸c˜ao
das articula¸c˜oes A/D e B/C?
Semelhan¸
ca de triˆ
angulos
θ1 2 θ l a l a l a l a l − l a l −
R´
Q
P´
O
βR
P
Na figura (esquem´atica) fica mais claro o que est´a acontecendo.
Seja l = OP = P Q e suponha que as articula¸c˜oes estejam
P0R0 = l − al. Segue que P RP0R0 ´e um paralelogramo e o ˆangulo
β = O ˆP Q tem que ser igual a θ2 = O ˆRP0, de forma que os
triˆangulos ORP0 e OP Q s˜ao semelhantes. Da´ı que OQ
OP0 deve ser igual a
OP
OR ,
de modo que
OQ = aOP0 .
Al´em disso, segue que os pontos O, P0 e Q est˜ao alinhados.
Homotetia
Se o ponto fixo estiver na origem das coordenadas, se as co-ordenadas do ponto seguidor forem (x, y) e se as coco-ordenadas do l´apis forem (x0, y0) ent˜ao (x0, y0) ´e determinado por (x, y) por uma
transforma¸c˜ao, que chamaremos de T , escrevendo
(x0, y0) = T (x, y) .
Nem sempre as coordenadas cartesianas s˜ao as mais adequadas. Se
tomarmos (r, θ) e (r0, θ0), onde r e r0 s˜ao as respectivas distˆancias `
a origem e θ, θ0 marcam os ˆangulos em rela¸c˜ao `a abscissa (com sinal positivo no sentido anti-hor´ario), ent˜ao
r0 = ar
θ0 = θ ,
pois o l´apis, o seguidor e o ponto fixo est˜ao sempre alinhados, mas a distˆancia do l´apis ao ponto fixo ´e a vezes maior do que do seguidor ao ponto fixo.
O pant´
ografo desregulado
Vejamos agora o que acontece quando os encaixes n˜ao s˜ao feitos
da forma prevista para o bom funcionamento do pant´ografo. Na
figura mostramos um caso onde RP0, OR, P R0 e l − P0R0 n˜ao s˜ao iguais entre si.
F´ormulas expl´ıcitas podem ser obtidas para a transforma¸c˜ao T , mas por serem grandes e deselegantes optaremos por ilustrar a transforma¸c˜ao de modo gr´afico. Nos exerc´ıcios encorajamos o leitor a buscar as f´ormulas.
Em primeiro lugar, trocamos as coordenadas do seguidor P0 para
(θ1, θ2), onde θ1´e o ˆangulo de OP para com a abscissa e θ2 o ˆangulo
de RO para RP0.
Para entender melhor essas coordenadas, tra¸camos as linhas de θ1 constante e as linhas de θ2 constante. O leitor, se estiver com a pe¸ca, deve seguir as constru¸c˜oes com o aux´ılio de um compasso e do pr´oprio aparelho. A figura abaixo ilustra os passos que seguir˜ao. Para θ2 constante, a varia¸c˜ao de θ1 faz P0 andar num c´ırculo em torno de O. Evidentemente, o raio desse c´ırculo depende do
valor que for fixado para θ2, mas continuaremos firmes em nossa
resolu¸c˜ao de n˜ao fazer contas.
Seria natural desenhar os c´ırculos para valores regularmente es-pa¸cados de θ2, mas para que a compreens˜ao visual seja facilitada mais adiante optaremos por desenhar os c´ırculos para valores regu-larmente espa¸cados de seus respectivos raios. Al´em disso,
incluire-mos os c´ırculos de raios OR − RP0, OR e OR + RP0.
A segunda etapa consiste em tra¸car as linhas de θ1 constante.
Escolhemos uma faixa de valores para θ1 (de −π2 a +π2, por exem-plo), escolhendo valores regularmente espa¸cados, e para cada valor de θ1 desenhamos OP . Observe que, fixado θ1, a varia¸c˜ao de θ2
ser completo por causa dos impedimentos nas articula¸c˜oes, mas ao menos um arco pode ser tra¸cado.
θ1 2 θ
l
1l
2l
3l
4R´
P
Q
O
P´
βR
Feito isso, podemos pensar no que acontece com o ponto Q. Observamos que se θ2 ´e constante ent˜ao as ripas est˜ao im´oveis uma com respeito `a outra. Portanto a varia¸c˜ao de θ1 faz o ponto Q se mover num c´ırculo de centro em O. Em outras palavras, se P0 percorre c´ırculos com centro na origem ent˜ao Q tamb´em o faz, mas os c´ırculos de Q tˆem (em geral) raio maior.
Para ver como se transformam os c´ırculos que P0 percorre ´e
preciso fazer na pr´atica. Acertar a posi¸c˜ao de P0 sobre um c´ırculo e tra¸car o c´ırculo correspondente para o ponto Q. Fazendo um por
um, fica evidente que o espa¸camento regular dos raios em P0 n˜ao ´
e respeitado em Q.
Finalmente, com θ1 fixo e θ2 variando, P0 “puxa” o bra¸co P Q, de forma que Q percorre um arco de c´ırculo em torno de P . Desta
vez o espa¸camento regular dos valores de θ1 provoca espa¸camento
regular nos c´ırculos.
Os limites para a movimenta¸c˜ao de P0, com OP fixo, dependem
dos valores relativos de l1, l2, l3, l4. Por exemplo, se l3+ l4 < l1+ l2 ent˜ao R0 pode ficar, em teoria, entre P e P0 (na pr´atica, as ripas deixam apenas chegar perto). Se l3 + l4 > l1 + l2 ent˜ao P0 chega perto do segmento OR.
Por outro lado, se l1 + l4 < l2 + l3 ent˜ao R0 pode chegar ao
prolongamento de OP , mas P0 n˜ao pode chegar perto de OP . J´a
se l1 + l4 > l2 + l3 ent˜ao P0 pode se alinhar com RR0.
Esta ´ultima situa¸c˜ao ´e interessante, porque P0 de fato pode cru-zar o segmento RR0 e encostar em OP . At´e a´ı nada de espetacular, mas observe que o tra¸cado circular do ponto Q come¸ca a recuar a partir desse ponto. Isto implica que a transforma¸c˜ao de P0 para
Q n˜ao ´e injetiva! Os arcos tracejados no desenho mostram onde a
injetividade da transforma¸c˜ao falha. Embora P0 possa atravessar o c´ırculo tracejado menor, Q n˜ao pode atravessar o maior.
Exerc´ıcios e experimentos
1. Experimente com o pant´ografo e veja que valores de l1, l2, l3, l4 ele pode assumir.
2. Monte uma situa¸c˜ao em que P0 possa se alinhar com R e R0. Ache o correspondente c´ırculo tracejado. Escreva seu nome em letras de forma geometrizadas de forma a atravessar esse
c´ırculo e transponha com o pant´ografo. A transforma¸c˜ao pode ser linear?
3. Se o pant´ografo for fixo no ponto P0, o seguidor estiver em O e o l´apis em Q, o que acontece? ´E poss´ıvel copiar um desenho, sem alterar seu tamanho? Examine as possibilidades.
4. Tente obter uma express˜ao expl´ıcita para r = OQ em fun¸c˜ao de θ2. Uma sugest˜ao ´e obter r em fun¸c˜ao de β e ent˜ao β em fun¸c˜ao de θ2. Feito isso, tente expressar as coordenadas polares de Q em fun¸c˜ao de θ1 e θ2.
5. Esque¸ca o bra¸co P Q e suponha que RP0 tem o mesmo
tama-nho de RO. Expresse as coordenadas (x, y) de P0 em fun¸c˜ao
de θ1 e θ2.
6. Continuando o exerc´ıcio anterior, imagine que θ1 e θ2 s˜ao con-trolados por vocˆe num sistema cartesiano: a abscissa varia de
0 a 2π e a ordenada de 0 a π. Como achar a curva que vocˆe
deve seguir nesse diagrama para que a trajet´oria de P0 seja
uma reta pr´e-determinada?. Vocˆe faz isso com seus bra¸cos de forma autom´atica, mas um robˆo deveria saber calcular exata-mente.