Setembro de 2011
Paulo Miguel Fernandes Ferreira
Mestre em Engenharia Mecânica
Comportamento Térmico Dinâmico dos
Elementos da Envolvente Opaca dos Edifícios
Com Estudo de Incorporação de
Materiais com Mudança de Fase
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
Orientador: Prof. Doutor Daniel Cardoso Vaz, (FCT/UNL)
Co-orientador: Prof. Doutor Celestino Rodrigues Ruivo, (ISE/UALG)
Júri:
Presidente: Prof. Doutor José Fernando Almeida Dias Vogais: Prof. Doutor José Joaquim da Costa
Setembro de 2011
Paulo Miguel Fernandes Ferreira
Mestre em Engenharia Mecânica
Comportamento Térmico Dinâmico dos
Elementos da Envolvente Opaca dos Edifícios
Com Estudo de Incorporação de
Materiais com Mudança de Fase
Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologia da
Universidade Nova de Lisboa para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
A Faculdade de Ciências e Tecnologia e a Universidade Nova de Lisboa têm o direito, perpétuo e sem limites geográficos, de arquivar e publicar esta dissertação através de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado, e de a divulgar através de repositórios científicos e de admitir a sua cópia e distribuição
com
objetivos educacionais ou de investigação, não comerciais, desde que seja dado crédito ao autor e editor.iii Palavras-chave: materiais com mudança de fase, carga térmica, método CLTD
Esta publicação apresenta uma investigação sob o comportamento térmico dinâmico dos elementos da envolvente opaca dos edifícios com estudo de incorporação de materiais com mudança de fase.
Neste trabalho apresenta-se o desenvolvimento de um modelo numérico para determinar a evolução temporal e unidimensional da temperatura para envolventes de múltiplas camadas, com recurso ao método das diferenças finitas. Para combinar os efeitos da temperatura do ar exterior com a radiação solar incidente recorre-se ao conceito de temperatura Sol-ar.
Desenvolveu-se uma interface gráfica que reune informação sob mais de 80 zonas climáticas de Portugal Continental e Arquipélagos, de forma a caracterizar o desempenho térmico de várias soluções de contrução diferentes. Esta ferramenta também permite a previsão do comportamento térmico de materiais com mudança de fase (PCM).
Tanto a carga térmica como a oscilação da temperatura na superfície interior podem ser reduzidas recorrendo à incorporação de PCM, em envolventes opacas. Estes materiais podem armazenar energia, quando esta não é necessária, e libertá-la posteriormente, quando esta pode contribuir para manter uma temperatura interior de conforto.
Num ciclo diário, o PCM incorporado em paredes e coberturas tem a capacidade de acumulação de calor, sob a forma de calor latente, através do processo de mudança de fase. Uma parte significativa da energia que entra na envolvente, através da superfície exterior, é aprisionada no material, pela transformação de fase, que ocorre a temperatura constante. Isto também significa que o conforto térmico interior pode ser assegurado com menor dispêndio de energia.
v Keywords: phase change materials, thermal load, CLTD method
This publication presents an investigation into the thermal-performance assessment of opaque envelopes incorporating phase-change materials.
A numerical model has been developed to obtain the time response of one-dimensional multi-layer walls and roofs, using the finite differences method. It uses fundamentals of the Sol-Air Temperature to handle the combination of ambient temperature and solar irradiation.
Nowadays, buildings must meet minimum requirements of energy performance, adapted to local climatic conditions. A graphical user interface was developed gathering information on more than 80 climate zones in mainland and archipelagos of Portugal, in order to characterize the performance of several solutions. Addicionaly, this tool also allows predicting the thermal behaviour of Phase-Change Materials (PCM).
Both the thermal load and the inner-surface temperature oscillations can be reduced throught to the incorporation of PCM. These materials can store heat, when it is not needed, and release it later, when it can contribute to maintain a pleasant indoors temperature.
In a daily cycle, the PCM embedded in walls and roofs has a great capacity for heat accumulation, related to the latent heat involved in phase change. A significant part of the energy entering the wall, through its outer surface, becomes trapped within the material, with phase change occurring at constant temperature. This means that thermal comfort can then be achieved with less expenditure of energy.
vii O autor gostaria de aproveitar para agradecer publicamente aos seus orientadores. Ao Professor Doutor Daniel Vaz por sempre me ter defendido como aluno, numa dissertação que ultrapassou os limites do Campus da Caparica. Agradeço também por toda a sua orientação científica, ensinamentos e, não menos importante, pela sua amizade.
Agradeço ao Professor Doutor Celestino Ruivo por ter aceitado o desafio de orientar um aluno completamente desconhecido, de uma outra instituição. Além de todo o apoio prestado e da disponibilização de ferramentas, durante a orientação científica, que se revelaram essenciais para a realização deste trabalho.
Gostaria também de agradecer a alguns docentes do Departamento de Engenharia Mecânica e Industrial da FCT/UNL, pela sua disponibilidade e contributos a este trabalho. Agradeço ao Professor Doutor Pedro Coelho, à Professora Doutora Raquel Almeida e à Professora Carla Machado.
ix
Resumo ...iii
Abstract ... v
Agradecimentos ...vii
Índice de Matérias ... ix
Índice de Figuras ... xiii
Índice de Tabelas ... xvii
Nomenclatura ...xix
1 Introdução... 1
1.1 Motivação ... 1
1.2 Métodos para a Determinação da Carga Térmica ... 3
1.3 Condições Exteriores e Interiores ... 6
1.3.1 Temperatura Sol-Ar ... 6
1.3.2 Evolução Temporal da Temperatura do Ar Exterior ... 8
1.3.3 Zonas Climáticas do Território Português ... 9
1.3.4 Condições Interiores de Conforto Térmico ... 13
1.4 Materiais com Mudança de Fase ... 14
1.5 Objetivos da Tese ... 17
1.6 Organização do Trabalho ... 18
2 Modelo Numérico ... 19
2.1 Introdução... 19
2.2 Descrição do Problema ... 19
2.3 Método das Diferenças Finitas ... 21
2.3.1 Pontos Interiores ... 22
2.3.2 Pontos da Superfície Exterior ... 23
2.3.3 Pontos da Superfície Interior ... 24
2.3.4 Pontos em Interfaces de Diferentes Camadas ... 25
2.4 Modelação dos Materiais com Mudança de Fase... 29
x
2.5 Descrição do Modelo Numérico ... 35
2.5.1 Introdução de Dados ... 35
2.5.2 Processamento de Dados ... 36
2.5.3 Obtenção de Dados ... 38
2.6 Análise de Convergência da Malha ... 40
2.6.1 Descrição das Envolventes ... 40
2.6.2 Condições Exteriores e Interiores ... 41
2.6.3 Resultados da Análise de Convergência da Malha ... 42
2.6.4 Discussão dos Resultados da Análise de Convergência da Malha ... 48
3 Interface Gráfica do Utilizador ... 51
3.1 Definições da Envolvente ... 52
3.1.1 Carregar uma Envolvente ... 52
3.1.2 Criar uma Nova Envolvente ... 52
3.2 Definições das Condições Exteriores e Interiores ... 55
3.2.1 Condições Climáticas em Portugal ... 56
3.2.2 Condições Especificadas pelo Utilizador ... 57
3.3 Definições do n.º de Divisões por Camada e da Cor da Superfície Exterior ... 59
3.4 Simulação ... 60
4 Apresentação e Discussão dos Resultados ... 67
4.1 Introdução ... 67
4.2 Casos de Estudo ... 67
4.2.1 Envolventes da Construção Americana ... 68
4.2.2 Envolventes da Construção Portuguesa ... 69
4.2.3 Envolventes com PCM ... 71
4.3 Apresentação de Resultados ... 74
4.3.1 Envolventes da Construção Americana ... 74
4.3.2 Envolventes da Construção Portuguesa ... 76
4.3.3 Envolventes com PCM ... 79
xi
4.4.3 Envolventes com PCM ... 86
5 Conclusão... 89
5.1 Conclusões Finais ... 89
5.2 Sugestões para Trabalho Futuro ... 91
Bibliografia ... 93
Anexo A. Resultados obtidos com o Modelo ... 95
1.ª Série de Casos de Estudo ... 95
2.ª Série de Casos de Estudo ... 96
3.ª Série de Casos de Estudo ... 99
Anexo B. Tabelas para o Método de CLTD ... 101
Anexo C. Zonas Climáticas de Portugal ... 107
xiii
Figura 1.1: Estratégias de construção passiva. ... 2
Figura 1.2: Envolvente com camadas de diferentes materiais. ... 4
Figura 1.3: Trocas de calor na envolvente opaca de edifícios. ... 4
Figura 1.4: Trocas de calor na superfície exterior: a) Situação real. b) Situação fictícia considerada. ... 7
Figura 1.5: As 75 zonas climáticas de Portugal Continental (Mendes et al., 1995). ... 12
Figura 1.6: As 11 zonas climáticas da Madeira e Açores (Mendes et al., 1995). ... 13
Figura 1.7: Conjunto de evoluções da temperatura interior selecionáveis. ... 14
Figura 1.8: Energia armazenada por: a) Um material vulgar; b) Um PCM. ... 15
Figura 1.9: Fluxo de calor nas superfícies exterior e interior para uma envolvente: a) Sem PCM. b) Com PCM. ... 16
Figura 2.1: Esquema de uma envolvente com multicamadas. ... 20
Figura 2.2: Nomenclatura da malha, do problema em estudo. ... 21
Figura 2.3: Malha com pontos interiores. ... 22
Figura 2.4: Exemplos de violações da condição de estabilidade. ... 23
Figura 2.5: Malha com pontos da superfície exterior. ... 23
Figura 2.6: Malha com pontos da superfície interior. ... 25
Figura 2.7: Malha com os pontos da interface de diferentes camadas... 26
Figura 2.8: Esquema de uma camada de PCM. ... 29
Figura 2.9: Comportamento não linear de um PCM: a) Caso vulgar; b) Aplicação do MCCE. ... 30
Figura 2.10: Comportamento de uma camada com incorporação dupla de PCM. ... 34
Figura 2.11: Esquema das módulos do código numérico. ... 35
Figura 2.12: Constituição da malha, de uma camada, com diferentes números de divisões. ... 36
Figura 2.13: Esquema da determinação do passo de tempo. ... 37
Figura 2.14: Esquema: a) da Envolvente a; b) das Envolventes b, c e d. ... 40
Figura 2.15: Evolução diária da temperatura Sol-ar, para as condições exteriores anunciadas. .. 41
Figura 2.16: Atraso φ ao máximo da temperatura Sol-ar. ... 42
Figura 2.17: Amplitude térmica na superfície exterior. ... 43
Figura 2.18: Evolução horária dos valores de CLTD. ... 43
Figura 2.19: Para a envolvente a: a) Gráfico I; b) Gráfico II; c) Gráfico III; d) Gráfico IV; e) Gráfico V; f) Gráfico VI. ... 44
Figura 2.20: Para a envolvente b: a) Gráfico I; b) Gráfico II; c) Gráfico III; d) Gráfico IV; e) Gráfico V; f) Gráfico VI. ... 45
xiv
Figura 2.23: Passos de tempo obtidos para cada número de divisões por camada. ... 48
Figura 2.24: Número de nós determinados, para cada simulação. ... 48
Figura 3.1: Esquema do funcionamento da interface gráfica. ... 51
Figura 3.2: Menu principal da GUI. ... 51
Figura 3.3: Janela da lista de ficheiros com os dados de envolventes já criadas. ... 52
Figura 3.4: Janela de seleção do número de camadas da envolvente. ... 52
Figura 3.5: Janela para a seleção do tipo de camada. ... 53
Figura 3.6: Janela de entrada das propriedades termofísicas, para camadas simples. ... 54
Figura 3.7: Janelas de entrada de dados, para camadas com incorporação singular de PCM. ... 54
Figura 3.8: Janelas de entrada de dados, para camadas com incorporação dupla de PCM. ... 55
Figura 3.9: Janela para a introdução do nome do ficheiro da envolvente ... 55
Figura 3.10: Menu principal da GUI, com o painel das condições exteriores e interiores ativo. ... 56
Figura 3.11: Janela para aplicação das condições climáticas em Portugal. ... 56
Figura 3.12: Janela para aplicação das condições climáticas, especificadas pelo utilizador. ... 57
Figura 3.13: Janela para carregar evolução de SHGF previamente gravada. ... 58
Figura 3.14: Janela para a introdução do valor de SHGF. ... 58
Figura 3.15: Janela com: a) Os valores de SHGF inseridos; b) A questão de confirmação. ... 59
Figura 3.16: Janela para escolher se a envolvente é parede ou cobertura. ... 59
Figura 3.17: Menu principal da GUI, com os painéis todos ativos... 60
Figura 3.18: Janela com o progresso da simulação. ... 60
Figura 3.19: Exemplo de evoluções da temperatura no exterior, interior e nas superfícies da envolvente. ... 61
Figura 3.20: Exemplo de evoluções de temperatura nas superfícies e interface de camadas justapostas, da envolvente... 62
Figura 3.21: Exemplo de evoluções da temperatura ao longo da envolvente das 0 às 6 horas. .. 62
Figura 3.22: Exemplo de evoluções da temperatura ao longo da envolvente das 7 às 12 horas. 63 Figura 3.23: Exemplo de evoluções da temperatura ao longo da envolvente das 13 às 18 horas. ... 63
Figura 3.24: Exemplo de evoluções da temperatura ao longo da envolvente das 19 às 24 horas. ... 64
Figura 3.25: Exemplo de uma evolução horária de CLTD. ... 64
Figura 3.26: Exemplo de um mapa de temperatura de uma envolvente, num período de 24 horas. ... 65
Figura 4.1: Evoluções da temperatura do ar exterior e da temperatura Sol-ar, para Sul e cobertura horizontal. ... 74
Figura 4.2: Resultados obtidos das simulações: a) A.I; b) B.I; c) C.I. ... 75
Figura 4.3: Resultados dos valores de CLTD para D.I e D.II. ... 76
xv
Figura 4.7: Resultados dos valores de CLTD para H.I e H.II. ... 78
Figura 4.8: Resultados dos valores de CLTD para H.I, H.III e H.IV. ... 78
Figura 4.9: Resultados dos valores de CLTD para H.V e H.VI. ... 79
Figura 4.10: Resultados dos valores de CLTD para H.V, H.VII e H.VIII. ... 79
Figura 4.11: Resultados dos valores de CLTD para: a) E.I, I.I, J.I e O.I; b) E.II, I.II, J.II e O.II. .... 80
Figura 4.12: Resultados dos valores de CLTD para: a) E.V, K.I, L.I e O.III; b) E.VI, K.II, L.II e O.IV. ... 81
Figura 4.13: Resultados dos valores de CLTD para: a) H.I, M.I e P.I; b) H.II, M.II e P.II. ... 81
Figura 4.14: Resultados dos valores de CLTD para: a) H.V, N.I e P.III; b) H.VI, N.II e P.IV. ... 82
xvii
Tabela 1.1: Resistências térmicas de superfícies interiores (Santos et al., 2007). ... 3
Tabela 1.2: Valor do fator de correção da superfície exterior. ... 5
Tabela 1.3: Valores da absorvência solar por várias superfícies (ASHRAE, 2009). ... 8
Tabela 1.4: Valores médios da temperatura em Janeiro (1971-2000) (IM, 2008). ... 10
Tabela 1.5: Número de horas de valores adversos de temperatura por Probabilidade Acumulada de Ocorrência (Mendes et al., 1995). ... 11
Tabela 2.1: Resumo da solução numérica explícita, para todo o problema. ... 28
Tabela 2.2: Propriedades físicas da água. ... 32
Tabela 2.3: Propriedades termofísicas das envolventes simuladas. ... 40
Tabela 2.4: Propriedades térmicas do PCM. ... 41
Tabela 2.5: A temperatura de fusão do PCM das envolventes b, c e d. ... 41
Tabela 2.6: Parâmetros que definem a evolução da temperatura do ar exterior. ... 41
Tabela 2.7: Numeração e paginação dos gráficos da ACM. ... 43
Tabela 3.1: Esquematização do processo de criar de novas envolventes. ... 53
Tabela 3.2: Exemplo de um resumo de simulação, gerado automaticamente. ... 66
Tabela 4.1: Paredes com aplicação direta do método CLTD. ... 68
Tabela 4.2: Coberturas com aplicação direta do método CLTD. ... 69
Tabela 4.3: Seleção de paredes simples, sem isolamento térmico. ... 69
Tabela 4.4: Seleção de paredes simples, com isolamento térmico. ... 70
Tabela 4.5: Parede dupla, sem isolamento térmico. ... 70
Tabela 4.6: Seleção de paredes duplas, com isolamento térmico. ... 70
Tabela 4.7: Cobertura horizontal, com isolamento térmico. ... 70
Tabela 4.8: Propriedades térmicas dos diferentes PCMs selecionados. ... 71
Tabela 4.9: Seleção de paredes, com PCM na camada interior, para a estação de Verão. ... 72
Tabela 4.10: Seleção de paredes, com PCM na camada interior, para a estação de Inverno. .... 72
Tabela 4.11: Cobertura com PCM na camada interior, para a estação de Verão. ... 73
Tabela 4.12: Cobertura com PCM na camada interior, para a estação de Inverno. ... 73
Tabela 4.13: Parede com incorporação dupla de PCM. ... 73
Tabela 4.14: Cobertura com incorporação dupla de PCM. ... 74
Tabela 4.15: Paginação dos resultados, das demais envolventes da 2ª série de CdE. ... 78
Tabela 4.16: Erros absolutos das simulações da 1.ª série de Casos de Estudo. ... 83
Tabela A.1: Resultados de todas as simulações da 1ª série de CdE. ... 95
Tabela A.2: Enumeração das simulações para as envolventes da 2ª série de casos de estudo. . 96
Tabela A.3: Valores de CLTD obtidos para as simulações com a Envolvente D. ... 96
Tabela A.4: Valores de CLTD obtidos para as simulações com a Envolvente E. ... 97
xviii
xix Listaram-se aqui as abreviaturas, siglas e símbolos usados nesta dissertação, juntamente com as respetivas descrições e unidades (quando aplicável). Os símbolos estão divididos nas categorias de latim, grego e matemático.
Lista de Abreviaturas e Siglas ABS --- Absoluto
ACM --- Análise de Convergência da Malha Ago --- Agosto
ASHRAE --- American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers AVAC --- Aquecimento, Ventilação e Ar Condicionado
CdE --- Casos de Estudo
CE --- Condições de Estabilidade CL --- Calor Latente
CLTD --- Diferença de Temperatura Equivalente (Cooling Load Temperature Difference) Cond --- Condição
Const --- Constante CS --- Calor Sensível Dez --- Dezembro
E --- Este
ENE --- Lés-Nordeste
EPS --- Poliestireno Expandido Moldado ESE --- Lés-Sueste
EUA --- Estados Unidos da América Fev --- Fevereiro
GUI --- Interface Gráfica do Utilizador (Grafical User Interface) HOR --- Horizontal
HS --- Hora Solar
IM --- Instituto de Meteorologia Interf --- Interface
Jan --- Janeiro Jul --- Julho Jun --- Junho Lat --- Latitude Liq --- Fase Líquida
LNEC --- Laboratório Nacional de Engenharia Civil Mai --- Maio
xx
MdF --- Mudança de Fase
MDF --- Método das Diferenças Finitas
N --- Norte
NE --- Nordeste NNE --- Nor-Nordeste NNW --- Nor-Noroeste Nov --- Novembro NW --- Noroeste Ori --- Orientação Out --- Outubro
PAO --- Probabilidade Acumulada de Ocorrência
PCM --- Material com Mudança de Fase (Phage Change Material)
RCCTE --- Regulamento das Características do Comportamento Térmico dos Edifícios
S --- Sul
SE --- Sudeste Set --- Setembro
SHGF --- Fator de Ganho Solar (Solar Heat Gain Factor) SI --- Sistema Internacional
Sim --- Simulação
SNE --- Solução Numérica Explícita Sol --- Fase Sólida
SSE --- Su-Sudeste SSW --- Su-Sudoeste Sup --- Superfície SW --- Sudoeste Temp --- Temperatura
W --- Oeste
WNW --- Oés-Noroeste WSW --- Oés-Sudoeste
XPS --- Poliestireno Expandido Extrudido
Símbolos
Latinos
𝐴𝐴 [𝑚𝑚2] --- Área
𝑐𝑐 [𝐽𝐽𝑘𝑘𝑘𝑘−1℃−1] --- Calor Específico
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 [℃] --- Diferença de Temperatura Equivalente
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑐𝑐 [℃] --- Diferença de Temperatura Equivalente Corrigida
xxi
𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 [𝐽𝐽] --- Calor Latente 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 [𝐽𝐽] --- Calor Sensível
𝐼𝐼𝑡𝑡 [𝑊𝑊𝑚𝑚−2] --- Radiação Solar Incidente
ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 [𝑊𝑊𝑚𝑚−2℃−1] --- Coeficiente de Troca Superficial Exterior
𝐻𝐻𝑓𝑓 [𝐽𝐽𝑘𝑘𝑘𝑘−1] --- Entalpia de Fusão, ou Calor Latente de Fusão
𝐻𝐻𝑚𝑚 [ℎ] Hora de Ocorrência da Temperatura Mínima do Ar Exterior 𝐻𝐻𝑀𝑀 [ℎ] Hora de Ocorrência da Temperatura Máxima do Ar Exterior
ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 [𝑊𝑊𝑚𝑚−2℃−1] --- Coeficiente de Troca Superficial Interior
𝑘𝑘 [𝑊𝑊𝑚𝑚−1℃−1] --- Condutibilidade Térmica
𝐾𝐾 --- Fator de Correção da Cor da Superfície Exterior
𝑘𝑘𝑒𝑒𝑒𝑒 [𝑊𝑊𝑚𝑚−1℃−1] --- Condutibilidade Térmica Equivalente
𝐶𝐶 [𝑚𝑚] --- Espessura de uma Camada ou de uma Envolvente
𝐶𝐶𝑀𝑀 [℃] --- Fator de Correção da Latitude e do Mês
𝑚𝑚 [𝑘𝑘𝑘𝑘] --- Massa
𝑀𝑀 [𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚−2] --- Massa por Unidade de Área
𝑑𝑑𝑃𝑃𝐶𝐶𝑀𝑀 [%] --- Percentagem de Incorporação de PCM
𝑒𝑒̇ [𝑊𝑊𝑚𝑚−2] --- Fluxo de Calor por Unidade de Área 𝑄𝑄̇ [𝑊𝑊] --- Fluxo de Calor ou Carga Térmica
𝑅𝑅𝐶𝐶 [𝑚𝑚℃𝑊𝑊−1] --- Resistência Térmica 𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆 [𝑊𝑊𝑚𝑚−2] --- Fator de Ganho Solar
𝑡𝑡 [𝑎𝑎] ou [ℎ] --- Tempo
𝐶𝐶 [℃] --- Temperatura
𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 [℃] --- Temperatura do Ar Exterior
𝐶𝐶𝑓𝑓 [℃] --- Temperatura de Fusão
𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 [℃] --- Temperatura Interior
𝐶𝐶𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 [℃] --- Temperatura da Superfície Exterior
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴 [℃] --- Temperatura Sol-Ar
𝑈𝑈 [𝑊𝑊𝑚𝑚−2℃−1] --- Coeficiente Global de Transmissão de Calor 𝑉𝑉 [𝑚𝑚3] --- Volume
𝑒𝑒 [𝑚𝑚] --- Coordenada Transversal à Envolvente ou Espessura
Gregos
𝛼𝛼 [𝑚𝑚2𝑎𝑎−1] --- Difusidade Térmica
𝛿𝛿𝑅𝑅 [𝑊𝑊𝑚𝑚−2] --- Diferença entre a Radiação de Onda Longa e a Emitida por um
Corpo Negro à Temperatura do Ar Exterior
xxii
(𝜆𝜆𝑆𝑆𝐹𝐹)𝑖𝑖 --- Número de Fourier Local, da Camada 𝑖𝑖 (𝜆𝜆𝑆𝑆𝐹𝐹)𝑖𝑖+1 --- Número de Fourier Local, da Camada 𝑖𝑖+ 1
𝜇𝜇 --- Mês do Ano
𝜌𝜌 [𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚−3] --- Massa Volúmica
𝜎𝜎 --- Coeficiente de Absorção
Matemáticos
∆𝑒𝑒 --- Amplitude Pico-a-Pico ou Intervalo ou Passo, da variável 𝑒𝑒 𝑒𝑒ℓ,𝒸𝒸 --- Elemento da Linha ℓ e da Coluna 𝒸𝒸, da Matriz da Variável 𝑒𝑒
[𝑒𝑒]ℓ×𝒸𝒸 --- Matriz com os Valores da Variável 𝑒𝑒, com ℓ Linhas e 𝒸𝒸 Colunas
(𝑒𝑒)𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒 --- Máximo da Variável 𝑒𝑒
(𝑒𝑒)𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖 --- Mínimo da Variável 𝑒𝑒
|𝑒𝑒| --- Módulo da Variável 𝑒𝑒 � 𝑒𝑒 --- Somatório da Variável 𝑒𝑒
1
1 Introdução
1.1 Motivação
Um meio de reduzir os consumos de energia em edifícios, mantendo as condições de conforto interior, é dimensionar de uma forma mais rigorosa os sistemas de Aquecimento, Ventilação e Ar Condicionado (AVAC). Para tal é fundamental conhecer com precisão a quantidade de energia a fornecer ou a retirar ao ambiente interior num determinado intervalo de tempo, isto é, potência térmica.
Atualmente, apesar de uma razoável oferta de ferramentas de cálculo numérico, pensa-se que a maior parte dos projetistas portugueses de AVAC ainda recorrem ao cálculo das cargas térmicas, que atravessam as envolventes opacas dos edifícios, através de métodos expeditos. O cálculo através desses métodos é mais simples, quando comparado com a complexidade do tratamento de dados através de programas de cálculo mais rigorosos, sendo essa a principal razão da sua popularidade.
A determinação das cargas térmicas, e a sua dispersão no tempo, faz-se com recurso a vários métodos expeditos, por exemplo, o método da diferença de temperatura equivalente, ou simplesmente CLTD, do inglês Cooling Load Temperature Difference (vd. subcapítulo 1.1). Este método é inicialmente publicado nos Cooling and heating load calculation manual, em 1979 (ASHRAE, 1979). Os valores tabelados para utilização do método CLTD foram determinados para envolventes e tipologias de construção características dos Estados Unidos da América, e podem não ser rigorosas, se aplicadas a edifícios em Portugal.
A construção civil em Portugal tem sido progressivamente aligeirada, ao longo do século XX. A tradicional casa portuguesa era construída em granito, ou por grossas paredes de alvenaria, consequentemente habitações com boa inércia térmica. As construções tradicionais foram construídas tendo em consideração com as condições climáticas, de forma a manter o espaço com uma temperatura interior confortável.
Com o fenómeno de êxodo rural, as novas construções foram maioritariamente complexos habitacionais aligeirados, com grandes envidraçados, nos grandes centros urbanos. Ao contrário das construções antigas, as construções decorrentes do rápido e descontrolado crescimento urbano têm uma inércia térmica baixa e um mau desempenho térmico. A correção desse comportamento deficiente acabou por envolver a utilização massiva de equipamentos de climatização, dispendiosos em energia.
A implementação da primeira legislação com a intenção de melhorar as condições de conforto e de conservação de energia nos edifícios, em 1990, através do Regulamento das Características do Comportamento Térmico dos Edifícios (RCCTE, 1990). O projeto de edifícios em Portugal sofreu, recentemente, uma nova revolução na imposição de requisitos, com a nova versão deste regulamento (RCCTE, 2006).
2
uminteresse renovado nos aspetos de conforto térmico, em edifícios, sem despesa excessiva de energia. As boas práticas deverão orientar-se para a melhor utilização possível das várias técnicas passivas de melhoria do desempenho energético dos edifícios.
De acordo com Sodha et al., são várias as estratégias de construção passiva. A Figura 1.1 apresenta um resumo dessas técnicas.
Figura 1.1: Estratégias de construção passiva.
Nesta dissertação, através de um modelo numérico, pretende-se estudar a implementação de novos materiais, cujas propriedades térmicas podem ser uma mais-valia, essencialmente nas estratégias de conservação de energia (pontos A.4. e B.5. na Figura 1.1) e no amortecimento das variações de temperatura (ponto C.1.). Trata-se de materiais com mudança de fase, aplicados em envolventes de edifícios.
Os materiais com mudança de fase, ou simplesmente PCM (do inglês phase change materials) têm um bom potencial para reduzir simultaneamente, a carga térmica e as variações de temperatura das superfícies internas (Tyagi et al., 2007). Proporcionando as condições de conforto interior para as situações de aquecimento e arrefecimento, beneficiando da redução da procura de energia dos equipamentos AVAC (vd. subcapítulo 1.3.4).
A motivação desta Dissertação é, então, caracterizar as cargas térmicas, através das envolventes opacas dos edifícios de construção típicos portugueses. Como já referido, procura-se uma alternativa para os métodos expeditos utilizados por projetistas, que procura-servem para o dimensionamento de sistemas AVAC, de novos edifícios. Para tal é necessário recorrer a um modelo (detalhado de simulação) do comportamento térmico de edifícios. O modelo numérico deverá também ser capaz de avaliar o desempenho dos PCM incorporados em edifícios.
3 combinações possíveis de coberturas e paredes exteriores, e das respetivas propriedades térmicas dos materiais constituintes.
1.2 Métodos para a Determinação da Carga Térmica
A carga térmica, 𝑄𝑄̇, associada às envolventes opocas exteriores dos edifícios, corresponde às trocas de calor na sua superfície interior, como representado na seguinte expressão:
𝑄𝑄̇=ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 𝐴𝐴�𝐶𝐶𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑.𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 − 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡� (1.1)
onde: ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 é o coeficiente de troca superficial interior; 𝐴𝐴 a área da superfície; 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑.𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 é a temperatura da superfície interior e 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 é a temperatura do espaço interior.
O valor do coeficiente de troca superficial interior, ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡, depende da resistência térmica superficial interior, 𝑅𝑅𝑡𝑡 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡, que no caso de coberturas planas é diferente consoante a direção do fluxo. Os valores de resistência térmica, para os diferentes casos são apresentados na Tabela 1.1, juntamente com os respetivos valores do coeficiente de troca superficial interior que são dados através da seguinte expressão:
ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 =
1
𝑅𝑅𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 (1.2)
Tabela 1.1: Resistências térmicas de superfícies interiores (Santos et al., 2007).
Direção do Fluxo de Calor Resistência Térmica Superficial 𝑅𝑅
𝑡𝑡 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 [𝑚𝑚2℃𝑊𝑊−1] ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 [𝑊𝑊𝑚𝑚
−2℃−1]
Horizontal 0,13 7,7
Vertical
Sentido: Ascendente 0,10 10,0
Descendente 0,17 5,9
Perante a dificuldade em determinar, a carga térmica e a sua evolução temporal, desenvolveram-se alguns métodos que a permitem estimar. Entre os quais: o método da temperatura Sol-ar (Jones, 1985); o método Mackey e Wright (Piedade, 1982) e (Mimoso, 1987); e o método CLTD (Spitler et al., 1993).
Possivelmente o método mais utilizado para a determinação da carga térmica é o método CLTD, que é muito popular pela sua simplicidade. O método consiste em utilizar a equação (1.3) em que o parâmetro CLTD é designado por diferença de temperatura equivalente (Spitler et al.,
1993).
𝑄𝑄̇=𝑈𝑈𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (1.3)
4
Figura 1.2: Envolvente com camadas de diferentes materiais.
O coeficiente 𝑈𝑈 pode ser determinado através da seguinte equação (1.4) (Holman, 1986).
𝑈𝑈= 1
1
ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 +∑ �𝐶𝐶𝑘𝑘�𝑖𝑖 𝑖𝑖
𝑖𝑖=1 +
1
ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡
(1.4)
onde: ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 é o coeficiente de troca superficial exterior; 𝐶𝐶 é a espessura da camada; 𝑖𝑖 é o número de camadas da envolvente e 𝑘𝑘 é a condutibilidade térmica.
Em alternativa, este pode ser simplesmente consultado em tabelas apropriadas. Em Portugal, existe uma publicação do LNEC que se destina a apoiar estudos de desempenho térmico dos edifícios, que se denomina Coeficientes de Transmissão Térmica de Elementos da Envolvente dos Edifícios (Santos et al., 2007).
O parâmetro 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 é a diferença equivalente de temperatura que combina o efeito dinâmico da radiação solar incidente, da temperatura do ar exterior e da inércia térmica da envolvente (vd. Figura 1.3).
Figura 1.3: Trocas de calor na envolvente opaca de edifícios.
5 A estratégia de um projetista AVAC, na aplicação deste método, começa por se definir todas as variáveis requeridas. De seguida, obtêm-se os valores horários de CLTD por consulta de tabelas. No caso de coberturas planas, encontram-se classificados valores de CLTD para 13 tipos diferentes de coberturas, na Tabela B.2, deste documento. Há ainda que considerar se as coberturas possuem ou não teto falso suspenso. A descrição do tipo de construção, de cada um dos 13 tipos de coberturas, está presente na Tabela B.3.
Para o caso de se pretender os valores de CLTD para paredes, existem as categorias de paredes A, B, C, D, E, F e G, apresentadas na Tabela B.4, que correspondem a diversos tipos de construções diferentes, caracterizadas na Tabela B.5.
Os valores tabelados de CLTD (Tabela B.2, p. 102 e Tabela B.4, p. 104) podem ser utilizados diretamente, caso a construção da envolvente corresponda a um dos vários tipos descritos, desde que:
• A temperatura interior é constante e igual a: 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 = 25,5 ℃;
• A temperatura exterior é variável ao longo do tempo, com uma temperatura máxima de (𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡)𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒 = 35 ℃ e uma amplitude térmica diária, pico-a-pico, de ∆𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 = 11,2 ℃;
• O valor médio da temperatura exterior é igual a: 𝐶𝐶�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 = 29,4 ℃;
• A cor da superfície exterior da envolvente é escura →𝐾𝐾= 1 (vd. equação (1.5) );
• E a latitude do local é de 40º N, no mês de Julho →𝐶𝐶𝑀𝑀= 0 ℃ (vd. equação (1.5) ). Estas condições estão publicadas em The CLTD/SCL/CLF cooling load calculation method (Spitler et al., 1993). Para outros casos, em que pelo menos um dos últimos 5 critérios não seja verificado, é necessário corrigir o valor de CLTD através da equação (1.5), proveniente da mesma publicação.
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑐𝑐 = (𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶+𝐶𝐶𝑀𝑀) ×𝐾𝐾+ (25,5− 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡) + (𝐶𝐶�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡−29,4) (1.5)
onde: 𝐶𝐶𝑀𝑀 é o fator de correção da latitude e do mês e 𝐾𝐾 é o fator de correção da cor da superfície exterior.
O valor do fator de correção da latitude e do mês LM pode ser lido na Tabela B.6. A
Tabela 1.2 dá o valor do fator de correção da cor da superfície exterior. Tabela 1.2: Valor do fator de correção da superfície exterior.
Cor da superfície exterior Fator de correção
Escura ou cor clara em zonas industriais 𝐾𝐾= 1
Intermédia em áreas rurais 𝐾𝐾= 0.83
Clara em áreas rurais 𝐾𝐾= 0.65
De notar que a utilização do método CLTD apenas permite que a temperatura do espaço interior seja constante ao longo das 24 horas do dia. Na realidade, edifícios destinados a atividade laboral ou edifícios residenciais podem variar a sua temperatura interior, conforme os períodos de ocupação e não ocupação.
Perante uma situação concreta em que a constituição da envolvente seja diferente das referidas na Tabela B.3 para coberturas e na Tabela B.5 para paredes e não se conheça o grupo da parede, deve-se calcular a sua massa por unidade de área M, o seu coeficiente global de
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que em muitas situações reais da construção típica do nosso país é difícil obter uma parede termicamente semelhante às dos grupos de envolventes tabelados.
Nesses casos o problema deve ser resolvido com recurso a outros métodos para estimar a carga térmica. Devido a isto, é uma pretensão tornar o modelo numérico, deste trabalho, uma alternativa, perante este tipo de dificuldades de aplicação do método CLTD.
A carga térmica dum edifício varia significativamente ao longo do dia, devido à natureza transiente da radiação solar incidente. Nas trocas de calor entre a superfície externa da envolvente opaca com o exterior, para além de trocas por convecção com o ar exterior, existem ganhos de calor por radiação solar e existem perdas por radiação para o espaço estrelar, isto no caso especifico de coberturas, nas horas noturnas.
A forma encontrada de estimar a influência da radiação solar, para o método CLTD, e também para o modelo deste trabalho, é a aplicação da temperatura Sol-ar. Os fundamentos da temperatura Sol-ar são apresentados no subcapítulo seguinte.
1.3 Condições Exteriores e Interiores
As condições exteriores, a que uma envolvente opaca exterior se encontra sujeita, podem caracterizar-se com ao conceito de temperatura Sol-ar, que é descrito no subcapítulo 1.3.1.
No subcapítulo seguinte, 1.3.2, é apresentada a evolução temporal da temperatura do ar exterior, à qual a aplicação da temperatura Sol-ar está dependente.
Posteriormente em 1.3.3 apresentam-se diferentes zonas climáticas, do território português, e só com uma correta previsão das condições climáticas, dos locais onde se encontram os edifícios, é possível prever o seu desempenho térmico.
Por fim, em 1.3.4 são discutidas as condições interiores dos edifícios capazes de proporcionar conforto térmico.
1.3.1 Temperatura Sol-Ar
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a) b)
Figura 1.4: Trocas de calor na superfície exterior: a) Situação real. b) Situação fictícia considerada.
O fluxo de calor através da superfície exterior 𝑄𝑄̇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 resulta da soma dos fluxos de calor provocados pelas trocas de calor por convecção e radiação:
𝑄𝑄̇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 =𝑄𝑄̇convecção+𝑄𝑄̇radiação (1.6)
Esse ganho de calor numa envolvente exterior, com uma área 𝐴𝐴, pode traduzir-se em (ASHRAE, 2009):
𝑄𝑄̇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 =𝐴𝐴�𝜎𝜎𝐼𝐼𝑡𝑡− 𝜀𝜀𝛿𝛿𝑅𝑅+ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡�𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 − 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡�� (1.7)
onde: 𝜎𝜎 é o coeficiente de absorção, da superfície exterior da envolvente; 𝐼𝐼𝑡𝑡 é a radiação solar incidente; 𝜀𝜀 é a emissividade da superfície exterior e 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 é a temperatura da superfície exterior.
O termo 𝛿𝛿𝑅𝑅 representa a diferença entre a radiação de onda longa (céu e superfícies vizinhas) incidente na superfície e a radiação emitida por um corpo negro à temperatura do ar exterior. O coeficiente de troca superficial exterior ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 caracteriza não só as trocas de calor convectivas com o ar exterior, como também as trocas de calor por radiação de onda longa. Isto significa, que é possível mascarar todas essas trocas de calor, por apenas uma troca convectiva entra a temperatura da superfície exterior 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 com a temperatura Sol-ar 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴, através da
equação (1.8). O coeficiente de troca superficial exterior ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡, ao longo desta dissertação é sempre igual a 17 𝑊𝑊𝑚𝑚−2℃−1 (ASHRAE, 2009).
𝑄𝑄̇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 =𝐴𝐴ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴− 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑.𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡� (1.8)
Da igualdade das duas equações (1.7) e (1.8) obtêm-se a seguinte expressão, que permite obter a evolução horária da temperatura Sol-ar:
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴=𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 +�ℎ𝜎𝜎
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡� 𝐼𝐼𝑡𝑡− ε δR
ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡
(1.9) Para superfícies horizontais, que trocam calor por radiação apenas com o céu, o valor aproximado de 𝛿𝛿𝑅𝑅 é de 63 𝑊𝑊 𝑚𝑚⁄ 2. Se for considerado a emissividade ter o valor unitário, 𝜀𝜀= 1, temos que a fração correção de onda longa, ε(δR⁄ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡), tem o valor aproximado de 4 ℃. Para os casos de superfícies verticais, o valor de 𝛿𝛿𝑅𝑅 é extremamente difícil de ser determinado, por estas superfícies trocarem calor por radiação com o céu, com o solo, e as superfícies vizinhas.
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até certo ponto, as perdas por radiação para o céu. Devido a esta compensação é prática comum considerar o termo 𝛿𝛿𝑅𝑅 como sendo nulo, para superfícies verticais (ASHRAE, 2009).
Temos então a temperatura Sol-ar para coberturas horizontais pode ser determinada através da seguinte equação:
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴 =𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 +�ℎ𝜎𝜎
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡� 𝐼𝐼𝑡𝑡−4
(1.10) Já para paredes verticais, a temperatura Sol-ar fica:
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴 =𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 +�ℎ𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡� 𝐼𝐼𝑡𝑡
(1.11) A radiação solar incidente 𝐼𝐼𝑡𝑡 na envolvente, depende da latitude, orientação, hora, dia do ano, das condições climatéricas e ainda da reflexão do solo e das superfícies vizinhas. A sua determinação pode ser efetuada recorrendo às tabelas do Fator de Ganho de Solar, ou simplesmente SHGF, do inglês Solar Heat Gain Factor, (ASHRAE, 1989).
A radiação solar incidente 𝐼𝐼𝑡𝑡 relaciona-se com os valores de SHGF por:
𝐼𝐼𝑡𝑡 = 1,15 ×𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆 (1.12)
Outro fator necessário no cálculo da temperatura Sol-ar é o coeficiente de absorção 𝜎𝜎 que depende essencialmente da cor da superfície exterior, da envolvente. A Tabela 1.3 apresenta os valores do coeficiente de absorção, para algumas cores de superfícies exteriores.
Tabela 1.3: Valores da absorvência solar por várias superfícies (ASHRAE, 2009).
Superfície Coeficiente de Absorção (𝜎𝜎)
Tijolo (vermelho) 0,63
Pintada de Vermelho 0,63
Pintada de Preto 0,94
Pintada de Bege 0,50
Pintada de Branco 0,26
Cimento (cinzento) 0,72
A temperatura Sol-ar é, por si só, a representação numérica do ambiente exterior de uma envolvente, apenas em forma de temperatura, o que simplifica bastante a construção do modelo.
1.3.2 Evolução Temporal da Temperatura do Ar Exterior
A evolução temporal da temperatura do ar exterior próximo do solo, 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡(𝑡𝑡), é estimada por uma função sinusoidal dividida em três ramos (Mendes et al., 1995):
𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡(𝑡𝑡)≈
⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪
⎧ 𝐶𝐶�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 +∆𝐶𝐶2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 cos�𝜋𝜋 𝑡𝑡
+ 24− 𝐻𝐻𝑀𝑀
𝐻𝐻𝑚𝑚+ 24− 𝐻𝐻𝑀𝑀� 0 <𝑡𝑡 ≤ 𝐻𝐻𝑚𝑚 𝐶𝐶�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 −∆𝐶𝐶2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡cos�𝜋𝜋𝐻𝐻𝑡𝑡 − 𝐻𝐻𝑚𝑚
𝑀𝑀− 𝐻𝐻𝑚𝑚� 𝐻𝐻𝑚𝑚 <𝑡𝑡 ≤ 𝐻𝐻𝑀𝑀 𝐶𝐶�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 +∆𝐶𝐶2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡cos�𝜋𝜋𝐻𝐻 𝑡𝑡 − 𝐻𝐻𝑀𝑀
𝑚𝑚+ 24− 𝐻𝐻𝑀𝑀� 𝐻𝐻𝑀𝑀<𝑡𝑡 ≤24
(1.13)
onde: 𝐶𝐶�𝑚𝑚 é a temperatura média diária do ar exterior; ∆𝐶𝐶 é a amplitude térmica diária da do ar exterior; 𝐻𝐻𝑀𝑀 é a hora de ocorrência da temperatura máxima diária e 𝐻𝐻𝑚𝑚 é a hora de ocorrência da temperatura mínima diária.
9 horas solares. A hora de ocorrência da temperatura mínima pode variar, considerando-se que é a hora anterior ao nascer do sol.
Frequentemente, apenas são conhecidas as condições extremas do clima de uma localidade, ou seja, a evolução diária de um dia de Verão, no mês de Julho, e de um dia de Inverno, no mês de Janeiro. As evoluções diárias da temperatura, para os restantes meses, são obtidas com base nessas condições extremas disponíveis, para tal apenas é necessário recorrer a 4 dados distintos:
• (𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒)𝐽𝐽𝑠𝑠𝐽𝐽 – Temperatura máxima diária do ar exterior, no mês de Julho;
• (∆𝐶𝐶)𝐽𝐽𝑠𝑠𝐽𝐽 – Amplitude térmica diária da temperatura do ar exterior, no mês de Julho;
• (𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖 – Temperatura mínima diária do ar exterior no mês de Janeiro;
• (∆𝐶𝐶)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖 – Amplitude térmica diária da temperatura do ar exterior, no mês de Janeiro.
Inicialmente, com estes dados é possível determinar a temperatura máxima diária no mês de Janeiro, bem como a temperatura mínima do mês de Julho:
(𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖 = (𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖 + (∆𝐶𝐶)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖 (1.14)
(𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐽𝐽𝑠𝑠𝐽𝐽 = (𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒)𝐽𝐽𝑠𝑠𝐽𝐽 −(∆𝐶𝐶)𝐽𝐽𝑠𝑠𝐽𝐽 (1.15)
As temperaturas máxima e mínima diárias, para cada mês, são dadas através das seguintes expressões:
𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒(𝜇𝜇) = (𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖 +�(𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑒𝑒)𝐽𝐽𝑠𝑠𝐽𝐽 −(𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖�sin�𝜋𝜋𝜇𝜇 − 𝜋𝜋12 � (1.16) 𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜇𝜇) = (𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖 +�(𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐽𝐽𝑠𝑠𝐽𝐽 −(𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖�sin�𝜋𝜋𝜇𝜇 − 𝜋𝜋12 � (1.17)
onde:𝜇𝜇 é o mês do ano.
A variável µ assume valores inteiros de 1 a 12, onde o número 1 corresponde a Janeiro, 2
corresponde a Fevereiro, até 12 que corresponde a Dezembro. A evolução diária da temperatura do ar exterior pode ser determinada através da equação (1.13), para qualquer altura do ano, apenas com a introdução dos dois parâmetros necessário (temperatura média e amplitude térmica). Esses parâmetros são rapidamente calculados, através das seguintes expressões:
𝐶𝐶�𝑚𝑚(𝜇𝜇) =𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒
(𝜇𝜇) +𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜇𝜇) 2
(1.18)
∆𝐶𝐶(𝜇𝜇) =𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒(𝜇𝜇)− 𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜇𝜇) (1.19)
1.3.3 Zonas Climáticas do Território Português
Para um número expressivo de localidades do país, cobrindo o continente e os arquipélagos, são conhecidos os valores das temperaturas exteriores de projeto. Estes valores são os resultados de um estudo denominado “Dados climáticos de referência para estudos em edifícios”, desenvolvido pelo Instituto de meteorologia (IM) e pelo Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC) (Mendes et al., 1995).
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respetivamente, (vd. Figura 1.6). Os dados disponibilizados pela publicação Temperaturas Exteriores de Projecto e Números de Graus-Dias de (Mendes et al., 1995) são:
• A temperatura exterior de projeto para estação de Inverno (considera-se como sendo no mês de Janeiro);
• A temperatura exterior de projeto para estação de Verão (considera-se como sendo no mês de Julho);
• O valor da amplitude térmica diária do mês mais quente, Julho.
Para completar a informação necessária para se obter a descrição analítica da temperatura do ar exterior, apenas falta a amplitude térmica diária do mês mais frio, Janeiro. O Instituto de Meteorologia no seu site (IM, 2008) disponibiliza informação climatológica de 21 estações diferentes, para o período 1971-2000. Designadamente os valores médios da temperatura máxima e mínima do ar. A amplitude térmica diária é dada pela diferença dos valores máximos e mínimos.
Estes valores são a base de uma extrapolação dos registos de temperatura das 21 estações climatológicas, para as 86 zonas climáticas que se pretendem constituir. Na 5ª coluna da Tabela 1.4, são indicadas as zonas climáticas da publicação Temperaturas Exteriores de Projecto e Números de Graus-Dias (Mendes et al., 1995) que são próximas das 21 estações climatológicas do site do IM (IM, 2008), e que assumem o seu valor de amplitude térmica diária, para o mês mais frio.
Tabela 1.4: Valores médios da temperatura em Janeiro (1971-2000) (IM, 2008). Local (𝐶𝐶𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖 [℃] (𝐶𝐶𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖[℃] (∆𝐶𝐶)𝐽𝐽𝑎𝑎𝑖𝑖[℃] Zonas Climáticas Próximas
I Aveiro 14,4 5,9 ~ 09 20
II Angra do Heroísmo 16,0 11,5 ~ 05 78; 79, 80; 81; 82
III Beja 13,9 5,3 ~ 09 62; 63; 64; 65; 66; 67
IV Bragança 8,5 0,3 ~ 08 1; 2; 4; 8
V Braga 13,4 4,1 ~ 09 5
VI Castelo Branco 11,8 3,9 ~ 08 31; 32; 33
VII Coimbra 14,6 4,6 ~ 10 23; 24; 28; 29; 30
VIII Évora 12,8 5,8 ~ 07 49; 55; 57; 61
IX Faro 16,1 7,3 ~ 09 68; 69; 70; 71; 72; 73; 74; 75
X Funchal 19,2 13,2 ~ 06 85, 86
XI Flores 16,5 11,3 ~ 05 76; 77
XII Guarda 6,8 1,2 ~ 06 17; 22; 25; 26; 27
XIII Lisboa 14,5 8,1 ~ 06 46, 50; 51; 52; 53
XIV Ponta Delgada 16,5 11,5 ~ 05 83; 84
XV Portalegre 11,4 5,7 ~ 06 37; 38; 41; 45
XVI Porto 13,5 5,0 ~ 09 9; 11; 12; 15
XVII Santarém 14,3 4,9 ~ 09 34; 35; 36; 39; 40; 42; 43; 44; 47; 48
XVIII Setúbal 15,1 4,7 ~ 10 54; 56; 58; 59; 60
XIX Viana do Castelo 14,3 4,7 ~ 10 3
XX Vila Real 9,5 2,1 ~ 07 6; 7; 10; 13; 14; 16
XXI Viseu 11,6 2,2 ~ 09 18; 19; 21
Esta foi a forma encontrada para completar a informação necessária, para obter a evolução diária da temperatura do ar exterior, para todas as zonas climáticas da Figura 1.5 e da Figura 1.6.
11 Acumulada de Ocorrência (PAO). Na estação de Verão, os dados mostram a duração relativa do período, em que as temperaturas excedem o valor de projeto. Na estação de Inverno, sucede o contrário, os dados ilustram a duração do período em que as temperaturas são inferiores ao valor de projeto.
A Tabela 1.5 apresenta os períodos de tempo (em número de horas), em que os valores de temperatura são mais adversos que os tabelados, que correspondem a uma determinada PAO.
Tabela 1.5: Número de horas de valores adversos de temperatura por Probabilidade Acumulada de Ocorrência (Mendes et al., 1995).
PAO
(%) [tempo (Verão h)]
Inverno [tempo (h)]
1.0 30 23
2.5 75 54
5.0 150 108
10.0 300 216
Ao selecionar os dados de uma PAO mais baixa, estamos a contribuir para o dimensionamento de um sistema AVAC mais robusto. Em sentido inverso para uma PAO mais elevada, contribui para o dimensionamento de um sistema AVAC mais económico.
A Tabela C.2, a Tabela C.3 e a Tabela C.4 também apresentam a latitude das diferentes localidades. Os territórios de Portugal Continental e Arquipélagos estão compreendidos entre os paralelos de 32ºN e 42ºN, de latitude. Os valores da radiação SHGF, para os locais diferentes, podem ser obtidos por interpolações, através dos dados conhecidos, para as latitudes de 32, 40 e 48ºN. A radiação solar global para as latitudes de 32, 40 e 48ºN são apresentadas, respetivamente, na Tabela D.1, Tabela D.2 e Tabela D.3. As interpelações referidas são realizadas através da seguinte equação:
𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆𝐶𝐶𝑎𝑎𝑡𝑡 =�
𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆32𝐹𝐹𝑁𝑁− �
32− 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑡𝑡
32−40�×�𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆32𝐹𝐹𝑁𝑁− 𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆40𝐹𝐹𝑁𝑁� 32≤ 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑡𝑡< 40
𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆40𝐹𝐹𝑁𝑁− �
40− 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑡𝑡
40−48�×�𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆40𝐹𝐹𝑁𝑁− 𝐶𝐶𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆48𝐹𝐹𝑁𝑁� 40≤ 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑡𝑡 ≤48
12
13 Figura 1.6: As 11 zonas climáticas da Madeira e Açores (Mendes et al., 1995).
1.3.4 Condições Interiores de Conforto Térmico
Um ambiente interior de conforto trata-se dum ambiente cujas condições interiores proporcionam uma presença agradável aos seus ocupantes. Contudo, é de referir que o conforto é um conceito muito subjetivo e num mesmo espaço podem estar simultaneamente pessoas que se sintam confortáveis e desconfortáveis.
A comodidade dos ocupantes num espaço interior de um edifício depende inúmeros fatores, desde temperatura, humidade e qualidade higiénica do ar interior, entre outros. No contexto deste trabalho, nas trocas de calor entre o ambiente exterior, a envolvente opaca e o espaço interior (vd. Figura 1.3), apenas é importante considerar a temperatura do ar interior.
14
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Figura 1.7: Conjunto de evoluções da temperatura interior selecionáveis.
1.4 Materiais com Mudança de Fase
Fases ou estados da matéria são configurações que os materiais podem apresentar. As três fases essenciais da matéria são: sólida, líquida e gasosa. Outros tipos de fases da matéria, como por exemplo o plasma, são estudados em níveis mais avançados de Física. A mudança de fase ocorre conforme o diagrama de fases do material, mas no contexto deste trabalho, apenas é considerado um material com mudança de fase as substâncias que solidificam ou fundem a condições de pressão e temperatura atmosféricas, ao nível do solo.
15 volumes ou altas pressões necessárias para armazenar as substâncias nas suas fases gasosas (Tyagi et al., 2007).
A forma mais comum de armazenar energia é por calor sensível (vd. Figura 1.8.a) onde T
é temperatura e 𝐸𝐸 é energia), através de materiais com grande capacidade calorífica, ou por, envolventes robustas com uma grande massa. A energia armazenada sob a forma de calor sensível 𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 (J) pode ser determinada através da seguinte expressão:
𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶=� 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑑𝑑𝐶𝐶 𝐶𝐶2
𝐶𝐶1
(1.21) onde: 𝑚𝑚 é a massa do material e 𝑐𝑐 é o calor específico do material.
Em alternativa, com a utilização de PCM, parte da energia armazenada é sob a forma de calor latente, a temperatura constante (vd. Figura 1.8.b) onde 𝐶𝐶𝑓𝑓 é a temperatura de fusão do PCM e 𝐻𝐻𝑓𝑓 é a entalpia, ou calor latente, de fusão. O calor latente define-se pela quantidade de energia por unidade de massa, de uma determinada substância, deve receber ou ceder para mudar completamente de fase.
a) b)
Figura 1.8: Energia armazenada por: a) Um material vulgar; b) Um PCM.
A energia armazenada sob a forma de calor latente ECL (J) pode ser determinada através
da seguinte expressão:
𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶=𝑚𝑚𝐻𝐻𝑓𝑓 (1.22)
Num ciclo diário, PCM embutido em paredes e coberturas tem um grande potencial de acumulação de calor latente, devido às grandes áreas disponíveis. Durante o dia, por a temperatura exterior ser superior à temperatura interior, e ao mesmo tempo incidir radiação solar na superfície exterior da envolvente, é induzido um fluxo de calor do exterior para o interior do edifico. Uma parte significativa dessa energia, que entra na parede, é capturada pelo material, logo que a sua fusão é iniciada.
16
quando a solidificação é iniciada. Este comportamento significa um aproveitamento passivo da radiação solar.
O uso de PCM na construção de novos edifícios tem o objetivo de aumentar a inércia térmica do edifício, que por outras palavras significa, reduzir a amplitude do fluxo de calor na superfície interior (vd. Figura 1.9).
a)
b)
Figura 1.9: Fluxo de calor nas superfícies exterior e interior para uma envolvente: a) Sem PCM. b)
Com PCM.
Para que os PCM sejam utilizados para armazenar energia, inseridos em envolventes opacas de edifícios, é necessário que conservem as seguintes propriedades termofísicas, químicas e cinéticas (Tyagi et al., 2007).
As propriedades requeridas para o material são:
• A temperatura de fusão do material, 𝐶𝐶𝑓𝑓, deve estar dentro do intervalo de temperaturas de 15 ℃ até 30 ℃, de forma a serem possíveis as transformações de fase;
• A entalpia de fusão, 𝐻𝐻𝑓𝑓, deve ser elevada, para que permita armazenar uma quantidade considerável de energia;
• A massa volúmica, 𝜌𝜌, deve ser alta, de maneira a que o ratio da energia armazenada por unidade de massa seja elevado;
• O calor específico, 𝑐𝑐, deve ser alto para que o PCM também possa fornecer um armazenamento adicional de calor sensível;
• A condutibilidade térmica, 𝑘𝑘, deve ser elevada para ambas as fases líquida e sólida de modo a auxiliar o armazenamento (carregamento) e a libertação (descarregamento) de energia;
• Uma mudança de volume baixa na transformação sólido-líquido, e uma baixa pressão de vapor nas temperaturas de operação para facilitar a contenção do PCM;
• Por fim, uma capacidade de armazenamento de energia que se mantenha constante com a realização de vários ciclos de fusão e solidificação.
17 • O material não pode ser corrosivo para os outros materiais de construção;
• E por razões de segurança, não pode ser tóxico, inflamável ou explosivo.
Por fim, do ponto de vista cinético, o PCM deve ter uma elevada velocidade de cristalização evitando assim o sub-arrefecimento da fase líquida.
Os PCM são classificados como orgânicos, inorgânicos ou misturas eutécticas. Os compostos orgânicos são ainda separados em grupos de parafínicos e não parafínicos enquanto os compostos inorgânicos dividem-se em sais hidratados e metálicos. Uma mistura eutéctica é uma composição de dois ou mais componentes que fundem e cristalizam congruentemente formando uma mistura de cristais compostos (Tyagi et al., 2007).
A utilização de PCM em envolventes opacas, para o armazenamento de calor latente, teve início na década de 1980. Embora o interesse por estes tenha aumentado muito na última década, um pouco por todo o mundo, devido à necessidade cada vez mais urgente de reduzir o consumo de energia em edifícios. O PCM pode ser inserido em argamassas, no betão, nas cavidades de tijolos, entre outros exemplos de aplicação (Shilei et al., 2007).
Apesar de alguns PCMs terem sido identificados como adequados para aplicações solares passivas, ainda não existem regras gerais para a forma como devem ser incorporados no projeto de edifícios. Os principais parâmetros de projeto, nomeadamente a temperatura de fusão, a percentagem de incorporação e a posição do PCM na envolvente, devem ser especificados. Isto para que a carga térmica de um dado espaço característico, seja reduzida e ajustada às condições climáticas do local do edifício.
1.5 Objetivos da Tese
O principal objetivo desta dissertação é a criação de um modelo numérico capaz de descrever os fenómenos de transmissão de calor unidimensional, em regime transiente, através de envolventes opacas de edifícios, com multi-camadas.
A exploração do modelo numérico deve permitir obter os valores horários de CLTD, para alguns tipos de paredes e de coberturas adoptados da construção em Portugal. Para tal, o modelo deve ser capaz de simular sob as diversas condições interiores e exteriores descritas no subcapítulo 1.1. Logicamente, também é desejado quantificar a divergência cometida no cálculo das cargas térmicas quando se aplica o modelo, em comparação com o método CLTD.
O modelo pretende-se, também, que seja capaz de simular o comportamento não linear de PCM. Isto com o propósito de conhecer as cargas térmicas, que resultam da acumulação e libertação de calor latente.
A concretização destes objetivos, a que se propõe esta dissertação, pode significar um contributo para algumas melhorias, a nível energético e económico, em edifícios como:
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• Maiores rendimentos – como os aparelhos têm uma potência menor, o seu funcionamento, de um modo geral, estará mais próximo da potência máxima. Nestes regimes, é sabido que o rendimento de operação é maior;
• Menores consumos energéticos – vem como consequência lógica dos dois pontos anteriores. Se a potência instalada é menor, e simultaneamente, o rendimento dos equipamentos é maior, logo é menor o consumo de energia.
Resta referir que é o MATLAB, a ferramenta utilizada no desenvolvimento do todo o
modelo numérico.
1.6 Organização do Trabalho
Este documento está organizado em cinco capítulos, sendo o capítulo n.º 1 a Introdução, o qual é constituído pela Motivação e revisão bibliográfica sob as principais temáticas alvo de estudo.
O capítulo 2 é destinado à descrição do Modelo Numérico criado, que representa a realidade física que se pretende estudar. Neste capítulo, é apresentada a metodologia seguida, as simplificações consideradas, as deduções de equações e o estudo da convergência da malha. O capítulo 3 explica, detalhadamente, o funcionamento de uma interface gráfica criada propositadamente para a execução simples e rápida de simulações. Os modos de criação de envolventes, seleção de condições interiores e exteriores, bem como a estrutura da malha, entre outros processos, são explicados. O capítulo intitula-se de Interface Gráfica do Utilizador.
O capítulo 4 é destino da Apresentação e Discussão dos Resultados, de casos de estudo inicialmente apresentados neste mesmo capítulo.
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2 Modelo Numérico
2.1 Introdução
Um modelo numérico pode ser definido como um conjunto de equações que exprime as características essenciais do comportamento do sistema real, através de relações entre as variáveis que influenciam o sistema. Os modelos matemáticos são utilizados praticamente em todas as áreas científicas, desde a biologia, química, física, economia, engenharia, etc.
Frequentemente, devido à complexidade do sistema, não é possível obter explicitamente uma solução analítica, pelo que as equações têm de ser resolvidas pela via numérica. A resolução das equações que compõem um modelo depende essencialmente da sua complexidade. Enquanto para modelos simples, a resolução analítica (i.e. exata) porventura é fácil de obter. Para outros modelos complexos, com equações diferenciais e integrais, a resolução analítica pode ser complicada ou mesmo inexequível. Por isso, é comum simplificar as equações, de forma a obter soluções por via numérica.
A simulação numérica tem vindo a crescer de importância na análise de produtos e processos de engenharia, são frequentemente mais económicas do que o estudo experimental. Os modelos matemáticos, de fenómenos físicos, resultam da aplicação de leis fundamentais da física, como os princípios da conservação: da massa, do momento linear ou da energia.
Neste caso em particular, procura-se através de um modelo numérico avaliar as técnicas expeditas utilizadas no cálculo de cargas térmicas, em como investigar o desempenho dos PCM incorporados em envolventes de edifícios. Esta análise passa pela quantificação da energia armazenada/libertada, durante ciclos diários, em elementos de multi-camadas da envolvente opaca de edifícios.
Existem diversas variações da equação que rege esse fenómeno, mas a forma mais comum é a que descreve a condução de calor num sólido homogéneo, isotrópico, sem fontes de calor no interior e nas três direções espaciais (Minkowycz et al., 2006):
𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑡𝑡 =𝛼𝛼 �
𝜕𝜕2𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑒𝑒2+
𝜕𝜕2𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑦𝑦2+
𝜕𝜕2𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑧𝑧2� (2.1)
onde: 𝛼𝛼 é a difusividade térmica do material; 𝑒𝑒, 𝑦𝑦 e 𝑧𝑧 são as três direções espaciais; 𝑡𝑡 é a dimensão temporal e 𝐶𝐶 é a temperatura.
2.2 Descrição do Problema
O problema em estudo é a transmissão de calor em envolventes opacas de edifícios com multicamadas, como se encontra representado na Figura 2.1. Para a criação do modelo, considera-se que a temperatura T apenas varia ao longo da espessura da envolvente (direção
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Figura 2.1: Esquema de uma envolvente com multicamadas.
A equação (2.1) para a condição unidimensional fica:
𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑡𝑡 =𝛼𝛼
𝜕𝜕2𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑒𝑒2 (2.2)
A equação (2.2) é a equação parabólica mais simples, que governa a variação da temperatura no tempo (regime transiente) e numa dimensão no espaço 𝑒𝑒, sendo aplicável apenas no interior de todas as camadas da envolvente. (Minkowycz et al., 2006).
Na condução de calor em meios homogéneos é necessário identificar as superfícies de fronteira que definem o domínio e conhecer as suas condições de fronteira. No presente caso temos uma superfície exterior, em que a condição fronteira é convectiva, com as condições exteriores representadas pela temperatura Sol-ar, 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴:
ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐴𝐴�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴(𝑡𝑡)− 𝐶𝐶(𝑡𝑡|0)�=−𝑘𝑘𝐴𝐴 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑒𝑒� 𝑒𝑒=0+
(2.3) A superfície interior é também uma condição fronteira convectiva, e no interior são impostas temperaturas que acautelem o conforto térmico:
−𝑘𝑘𝐴𝐴 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑒𝑒�
𝑒𝑒=𝐶𝐶−=ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 𝐴𝐴�𝐶𝐶(𝑡𝑡|𝐶𝐶)− 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡�
(2.4) Logo que uma envolvente tenha mais do que uma camada, a interface entre estas é também uma condição fronteira, com trocas de calor apenas por condução:
−(𝑘𝑘 )𝑖𝑖𝐴𝐴 𝜕𝜕𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑒𝑒�𝑒𝑒=𝑒𝑒𝑖𝑖−
=−(𝑘𝑘 )𝑖𝑖+1𝐴𝐴 𝜕𝜕𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑒𝑒�𝑒𝑒=𝑒𝑒𝑖𝑖+
(2.5) aqui apresentada para interface das camadas genéricas 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖+ 1.
As equações (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5) são constituídas por derivadas parciais e não tem solução analítica, o que significa que é necessário um método numérico para as resolver. A aproximação numérica é feita por valores discretos da variável de temperatura 𝐶𝐶, e o esquema de aproximação é implementado através de um programa de computador.
