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Reflexiva: Em cada ponto do diagrama

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Academic year: 2019

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(1)

RELAÇÕES

1. PRODUTO CARTESIANO

Sejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todo os pares ordenados

( , )

x y

com

x

A

e

y

B

.

Notação:

( , ) |

e

A B

x y

x

A

y

B

Exemplo 1:

Sejam A = { 1,2 } e B = { 2,4,6, } e C = { x | 1 ≤ x < 4 }

i) A B = { (1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6) }e sua representação gráfica é dada por:

0 A

B

A

1 2

ii) A C = {(a,c) | a A e c C } e sua representação gráfica é dada por:

A C

0

iii) C C = {(a,b) | a C e b C} = {(a,b) | a [1,4[ e b [1,4[}e sua representação gráfica é dada por:

0

C C

(2)

2. RELAÇÃO BINÁRIA

Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto de

A B

. Se

( , )

x y

indicamos por

x y

e

( , )

x y

indicamos por

x y

.

3. DOMÍNIO E IMAGEM

Seja uma relação binária de A em B.

Denomina-se domínio de o subconjunto de A, dos elementos de

x

A

para os quais existe algum y em B com

x y

.

Denomina-se imagem de o subconjunto de B, dos elementos de y B para os quais existe algum x em A com

x y

.

Im

y

B

|

x

A x y

:

4. PROPRIEDADES DAS RELAÇÕES

Seja

A B

.

i) Reflexiva

Dizemos que é reflexiva se x x( A x x) ou x x( A ( , )x x ) Exemplo 2:

Mostremos que as relações dadas são reflexivas.

a) Seja

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

c c

a c

b a

sobre

A

a b c

, ,

. é reflexiva, pois

a a b b

,

e

c c

.

b) Seja

( , )

x y

2

|

x

y

é reflexiva, pois para

x

,

x

x

c) Seja

( , )

r s

S

2

|

r s

r s

sendo S plano euclidiano. é reflexiva, pois para

r

S r r

,

ii) Simétrica

Dizemos que é simétrica se, e somente se x y, A x y( y x). Exemplo 3:

Mostremos que as relações dadas são simétricas. a) Seja

( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

a b

b a

sobre

A

a b

,

.

(3)

b) Seja a relação de perpendicularidade definida por:

( , )

r s

S

2

|

r s

r

s

sendo S plano euclidiano.

é simétrica, pois

r s

s r

. iii) Transitiva

Dizemos que é transitiva se, e somente se

(

x y z

, , )((

x y e y z

)

x z

)

. Exemplo 4:

Mostremos que a relação

( , ),( , ),( , ),( , )

a a

a b

b c

a c

sobre

A

a b c

, ,

é transitiva. é transitiva pois,

(

a b e b c

)

a c

.

iv) Antissimétrica

Dizemos que é antissimétrica se, e somente se x y, A ((x y e y x) x y) ou equivalente x y, A x( y (x y ou y x)).

Exemplo 5:

Mostremos que a relação

( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

a b

a c

sobre

A

a b c

, ,

é antissimétrica. A sentença

(

a b e b a

)

a

b

é verdadeira, pois

F

F

é verdadeira.

Exemplo 6:

A relação

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

a b

b a

c c

sobre

A

a b c

, ,

não é antissimétrica. Não é antissimétrica, pois,

a

b

(

a b e b a

)

.

Observação:

Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades por meio dos diagramas.

Reflexiva: Em cada ponto do diagrama

deve ter um laço. Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas.

Transitiva: Todo par de flechas consecutivas Antissimétrica: Não há flechas com duas

a

b

c

d

a

b

(4)

deve existir uma flecha cuja origem é a

primeira e extremidade é a segunda. pontas.

5. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

Uma relação sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e somente se, for reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo 7:

A relação

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

c c

c a

a c

sobre

A

a b c

, ,

é de equivalência, pois, valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo 8:

Seja

A

. A relação definida por

x y

x

y

,

x y

,

é de equivalência. i )Reflexiva

A relação é reflexiva, pois,

(

x x

)(

x

x

)

ii)Simétrica

A relação é simétrica, pois,

(

x y

,

)(

x

y

y

x

)

iii) Transitiva

A relação é transitiva, pois,

(

x y z

, ,

)(

x

y e y

z

)

x

z

)

Exemplo 9:

A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim

(

r s

,

S r s

)(

r s

)

i )Reflexiva

A relação é reflexiva, pois,

(

r r

)(

S

r r

)

ii)Simétrica

A relação é simétrica, pois,

(

r s

,

S r s

)(

s r

)

iii) Transitiva

A relação é transitiva, pois,

(

r s t

, ,

S r s e s t

)(

)

r t

)

. Exercícios de Aplicação 15:

a

b

c

d

a

b

(5)

Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir. 1)

( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

c c

c a

sobre

, ,

A

a b c

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Antissimétrica

2)

( , ),( , )

a a

a b

sobre

A

a b

,

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Antissimétrica

3)

( , ),( , ),( , )

a a

b b

b a

sobre

A

a b

,

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Antissimétrica

(6)

Sobre

A

a b c

, ,

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iv) Antissimétrica

5) Seja

( , )

2

|

2 2

1

x y

x

y

,

quais propriedades são válidas para as relação.

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Antissimétrica

6. CLASSE DE EQUIVALÊNCIA

Seja uma relação de equivalência sobre A.

Dado

a

A

,

denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A, formado dos elementos x tal que

x a

.

Simbolicamente

|

a

x

A x a

7. CONJUNTO QUOCIENTE

O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por

A

/

Exemplo 10:

A relação

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

c c

c a

a c

sobre

A

a b c

, ,

é de equivalência. Determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim:

, ,pois,

a e

a

a c

a

a c e c a

b

b

,pois,

b b

c

c a

, ,pois,

c c e a c e c a

, logo podemos ver que a classe

a

c

e temos duas classes, e indicamos por

A

/

a b

,

a c b

, ,

(7)

Seja a relação de equivalência sobre

A

a b c d e f

, , , , ,

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a c c d d d e e d e e e f f e f f f d d f Determinemos suas classes de equivalência.

, ,pois,

a e

a

a b

a

a b e b a

c

c

,pois,

c c

, ,

d

d e f

,pois,

d d e d f e d e

,...

e escrevemos o conjunto quociente

A

/

a b

, ,

c

d e f

, ,

8. PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO

Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A se, e somente se

1)

(

r B

)(

r

)

2) Se

r

s

B

r

B

s

ou B

r

B

s

3)

1

n r r

B

A

Exemplo 12:

Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que

A

a b c d e f

, , , , ,

e

A

/

a b

, ,

c

d e f

, ,

, assim

A

/

forma uma partição de A pois chamando de

1

,

B

a b

B

2

c

B

3

d e f

, ,

, tem-se

3

1 r

r

B

A

e a intersecção de dois a dois é sempre vazia e

(

r B

)(

r

)

Exemplo 13:

Sejam

A

e definida por

( , ) ( , )

a b

c d

a

d

b

c

. a) Verifique se é uma relação de equivalência.

b) Caso afirmativo dar a classe de

(2,3)

. Deixamos a cargo do leitor a demonstração i )Reflexiva

(8)

iii) Transitiva

a)

( , ) ( , )

a b

c d

a

d

b

c

( , ) ( , )

c d

e f

c

f

d

e

, adicionando membro a membro e simplificando tem-se;

(

a

f

b

e

)

( , ) ( , )

a b

e f

, logo é transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

b) Classe de

(2,3)

=

x y

,

| ( , ) (2,3)

x y

=

x y

,

|

x

3

y

2

=

(2,3),(1,2),(3,4),....

Exercícios de aplicação 16:

1)Sejam

A

* e definida por

( , ) ( , )

a b

c d

ad

bc

.

a) Verifique se é uma relação de equivalência i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo, dar a classe de

(2,3)

.

2) Seja a relação de equivalência sobre

definida por n m

,

1

n m

i

i i

a) Verifique se é uma relação de equivalência

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo dar

/

.

(9)

* 2

:

,definida por ( ) 1

f

f x

x

.

a) Mostre que

*

( , )

a b

|

af b

( )

bf a

( )

é de equivalência.

i )Reflexiva

ii)Simétrica

b) Caso afirmativo dar a classe

3

.

4)Sejam

A

e definida por

( , )

a b

3/

a

b

.(lê-se 3 divide a-b) a) Verifique se é uma relação de

equivalência. i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo, dar

/

5) Seja

A

a b c d

, , ,

, complete o quadro

Relação Reflexiva Simétrica transitiva

=

( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

c c

d d

=

( , ),( , ),( , ),( , )

a c

c a

c c

a d

=

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

a a

b b

a b

b a

b d

d b

6) Seja a relação de equivalência sobre

(conjunto dos números complexos)definida por

(

x

yi

) (

z

ti

)

x

y

z

t i

,

1

Descreva geometricamente a classe de

equivalência determinada por

2 3

i

(10)

relação

( , )

*

|

( )

( )

a b

af b

bf a

. a) Mostre que é de equivalência.

i )Reflexiva

ii)Simétrica

b)Sendo

( )

2

f x

x

, dar a classe

2

.

8) Em , definimos a relação de equivalência por

( , ) ( , )

x y

a b

k

|

x

ka e y

kb

Descreva geometricamente

Exercícios de aplicação 17:

1) Seja {( , ) 2| ( 1) ( 1)}

x y x x y y .

a) Determinar a 1 ,tal quea 2.

b) Verifique se é antissimétrica.

(11)

( , )

a b

| ( )

f a

f b

( )

a b

a) Verifique se é uma relação de equivalência i )Reflexiva

ii)Simétrica

b) Sendo ( ) 2 1

f x x , determinar 3.

3) Em , definimos a relação de por

1 1 1 1

( , ) ( , )

x y

x y

y

y

2(

x

x

)

a) Verifique se é de equivalência i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Descreva geometricamente

4) Sejam

A

* e relação de equivalência definida por

( , ) ( , )

a b

c d

a b

2

c

d

2. Determine os valores de k, para que (2, ) (k k 1,3)

(12)

por

( , )

a b

|| ( ) | | ( ) |

f a

f b

a) Verifique se é de equivalência

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Determine 2 , Sendo ( )f x x 1

6) Seja a relação de equivalência sobre definida por:

2 2 2 2

{(

x

yi

),(

z

ti

)

|

x

y

z

t i

,

1}

Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por

/ .

7)Em

[ 1,1] [ 1,1]

, definimos a relação de equivalência por

2 2

(13)

8) Seja

f

:

*

,definida por ( )

f x

x

2

3

x

e relação de equivalência definida por:

* 2 2

( , )

x y

| (

x

1) ( ) (

f y

y

1) ( )

f x

, determine 2 .

9)Seja { *|1 20}.

A n n Em A definimos a relação de equivalência como segue:

( , )x y x e y têm o mesmo número de múltiplos em .A Quantas e quais são essas classes?

10) Em

A

[ 2, 1] [0,3],

definimos a relação “ ” por:

2 2

,para e

x

y

x y

y x

x

y

A

.

(14)

9. RELAÇÃO DE ORDEM

Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relação é de ordem parcial sobre A se, e somente se, for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades:

i) é reflexiva se x x( A x x)

ii) é antissimétrica se, e somente se x y, A ((x y e y x) x y) iii) é transitiva se, e somente se

(

x y z

, , )((

x y e y z

)

x y

)

.

Notação: Se

a b

e é uma relação de ordem parcial escrevemos

a

b

, lê-se “ a precede b”ou “ a antecede b”

Se a relação é de ordem parcial sobre A, então dizemos que

( , )

A

é parcialmente ordenado.

Elementos comparáveis

Se a relação é de ordem parcial sobre A. Os elementosa e bde A, se dizem comparáveis se

ou

a

b

b

a

.

10. ORDEM TOTAL

Se a relação é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é,

ou

a

b

b

a

, então é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente ordenado. Exemplo 14:

Sejam

A

e a relação definida por

x y

x

y

(menor ou igual é uma relação de ordem total, denominada ordem habitual).

Mostremos que é uma relação de ordem total. i) é reflexiva, pois x x( x x)

ii) é antissimétrica, pois x y, ((x y e y x) x y)

iii) é transitiva, pois

(

x y z

, ,

)((

x

y e y

z

)

x

z

)

. Portanto é de ordem parcial sobre .

Verifiquemos se é de ordem total;

, (se , ou )

x y x y x y y x , logo é de ordem total e,

( , )

A

se diz totalmente

ordenado.

11. LIMITES SUPERIORES E INFERIORES

Seja

A

um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja

B

um subconjunto de

A

.

(15)

12. MÁXIMO E MÍNIMO

Sejam

B

A

e uma relação de ordem parcial. Se

L

B

,

então

L

é máximo.

Se

l

B

,

então

l

é mínimo.

13. SUPREMO E ÍNFIMO

Seja

A

um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja

B

um subconjunto de

A

.

Chama-se supremo de

B

o mínimo do conjunto dos limites superiores de

B

(caso exista) Chama-se ínfimo de

B

o máximo do conjunto dos limites inferiores de

B

(caso exista).

11. BOA ORDEM

é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo e,

( , )

A

se diz bem ordenado.

Exemplo 15:

Sejam ,

A

] 1,2]

e a ordem habitual. Determinar a) Limites superiores de A, LS(A)=

L

|

L

2

b) Máximo de A, Max(A)=

2

c) Supremo de A, Sup(A)=

2

d) Limites inferiores de A, LI(A)=

l

|

l

1

e) Mínimo de A, não existe Min(A) f) Ínfimo de A, Inf(A)=

1

Exemplo 16:

Sejam

A

a b c d e

, , , ,

e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os conjuntos indicados. ( no diagrama vê-se que

a

c

)

a) Max(A)=

a

b) Sup(A)=

a

c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe

a

b

c

d

(16)

Exemplo 17:

Seja

A

1,2,3,4,5,6,7,8

e

B

3,6,7,

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i)

a) LS(B)={7} b) Max(B)={7} c) Sup(B)= {7} d) LI(B)={3,4,5,8 } c) Min(B) ={3} d) Inf(B)= {3,4,5,8}

ii) B é parcialmente ordenado (justifique)

a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado.

b) Transitiva: Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda.

c) Antissimétrica: Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto B.

(3 7 7 3)

3 7,

F

F

é verdadeira. Analogamente para 3 e 6 e 6 e 7. iii) B é totalmente ordenado (justifique)

Como B é pré-ordenado, devemos verificar se todos os elementos de B são comparáveis.

3 7

ou

7 3

(V)

3 6

ou

6 3

(V)

6 7

ou

7 6

(V), logo,

( , )

B

é totalmente ordenado.

1

2

3

4

5

6

7

8

(17)

Exercícios de aplicação 18:

1) Seja

A

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

e

B

2,3,5

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar: i)

a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)={ } c) Min(B) = { } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é parcialmente ordenado?

iii)

( , )

B

é totalmente ordenado?

2)Seja

A

1,2,3,4,5,6,7

e

B

4,5,7

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determine i)

a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } e) Min(B) ={ } f) Inf(B)= { }

4

1

6

5

3

2

7

B

7

1

2

3

4

6

8

5

B

(18)

ii) ( , )B é parcialmente ordenado? (justifique)

iii) O que se deve fazer para ser

( , )

B

parcialmente ordenado

iv) ( , )B é bem ordenado se for totalmente ordenado e se todos seus subconjuntos têm mínimo. Verifique se B é bem ordenado.

3)Seja

A

1,2,3,4,5

e

B

1,3,5

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determine i)

a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) ( , )B é parcialmente ordenado? (justifique).

ii) ( , )B é totalmente ordenado? (justifique).

1

5

4

3

2

(19)

1

3

5

6

B

2

4

4)Seja

A

0,1,2,3,4,5,6,7,8

e

B

0,1,2,3

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determine i)

a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é totalmente ordenado? (justifique)

5)Seja

A

1,2,3,4,5,6

e

B

2,3,4

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i)

a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é parcialmente ordenado?

iii)

( , )

B

é totalmente ordenado?

2

4

1

3

5

6

7

0

(20)

6)Seja

A

1,2,3,4,5,6

e

B

2,4,5

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i)

a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é parcialmente ordenado?

iii)

( , )

B

é totalmente ordenado?

7)Seja

A

1,2,3,4,5,6,7,8

e

2,3,5,8

B

. Em A consideremos a

pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i)

a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é parcialmente ordenado?

iii)

( , )

B

é totalmente ordenado

6

4

1

3

2

B

5

7

8

1

2

5

6

3

4

(21)

8)Seja

A

1,2,3,4,5,6

e

B

1,5,6

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i)

a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é parcialmente ordenado?

9) Em

A

{ ,, , , , }

a c d e f

, considere a pré-ordem definida pelo diagrama que segue

Determinar i)

a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é parcialmente ordenado?

iii)

( , )

B

não é boa ordem, eliminando qual seta

( , )

B

passa a ser boa ordem?

B

a

b

c

d

e

f

6

4

1

3

B

5

(22)

10) Seja

A

1,2,3,4,5,6,7,8,9

e

B

1,2,3

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama

Determinar i)

a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é parcialmente ordenado?

5)Seja

A

1,2,3,4,...12,13

e

B

4,5,7,9

. Em

A

consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i)

a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii)

( , )

B

é parcialmente ordenado?

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