RELAÇÕES
1. PRODUTO CARTESIANO
Sejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todo os pares ordenados
( , )
x y
comx
A
e
y
B
.Notação:
( , ) |
e
A B
x y
x
A
y
B
Exemplo 1:
Sejam A = { 1,2 } e B = { 2,4,6, } e C = { x | 1 ≤ x < 4 }
i) A B = { (1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6) }e sua representação gráfica é dada por:
0 A
B
A
1 2
ii) A C = {(a,c) | a A e c C } e sua representação gráfica é dada por:
A C
0
iii) C C = {(a,b) | a C e b C} = {(a,b) | a [1,4[ e b [1,4[}e sua representação gráfica é dada por:
0
C C
2. RELAÇÃO BINÁRIA
Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto de
A B
. Se( , )
x y
indicamos porx y
e( , )
x y
indicamos porx y
.3. DOMÍNIO E IMAGEM
Seja uma relação binária de A em B.
Denomina-se domínio de o subconjunto de A, dos elementos de
x
A
para os quais existe algum y em B comx y
.Denomina-se imagem de o subconjunto de B, dos elementos de y B para os quais existe algum x em A com
x y
.Im
y
B
|
x
A x y
:
4. PROPRIEDADES DAS RELAÇÕES
Seja
A B
.
i) Reflexiva
Dizemos que é reflexiva se x x( A x x) ou x x( A ( , )x x ) Exemplo 2:
Mostremos que as relações dadas são reflexivas.
a) Seja
( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
c c
a c
b a
sobreA
a b c
, ,
. é reflexiva, poisa a b b
,
e
c c
.b) Seja
( , )
x y
2|
x
y
é reflexiva, pois para
x
,
x
x
c) Seja
( , )
r s
S
2|
r s
r s
sendo S plano euclidiano. é reflexiva, pois parar
S r r
,
ii) Simétrica
Dizemos que é simétrica se, e somente se x y, A x y( y x). Exemplo 3:
Mostremos que as relações dadas são simétricas. a) Seja
( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
a b
b a
sobreA
a b
,
.b) Seja a relação de perpendicularidade definida por:
( , )
r s
S
2|
r s
r
s
sendo S plano euclidiano.é simétrica, pois
r s
s r
. iii) TransitivaDizemos que é transitiva se, e somente se
(
x y z
, , )((
x y e y z
)
x z
)
. Exemplo 4:Mostremos que a relação
( , ),( , ),( , ),( , )
a a
a b
b c
a c
sobreA
a b c
, ,
é transitiva. é transitiva pois,(
a b e b c
)
a c
.iv) Antissimétrica
Dizemos que é antissimétrica se, e somente se x y, A ((x y e y x) x y) ou equivalente x y, A x( y (x y ou y x)).
Exemplo 5:
Mostremos que a relação
( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
a b
a c
sobreA
a b c
, ,
é antissimétrica. A sentença(
a b e b a
)
a
b
é verdadeira, poisF
F
é verdadeira.Exemplo 6:
A relação
( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
a b
b a
c c
sobreA
a b c
, ,
não é antissimétrica. Não é antissimétrica, pois,a
b
(
a b e b a
)
.Observação:
Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades por meio dos diagramas.
Reflexiva: Em cada ponto do diagrama
deve ter um laço. Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas.
Transitiva: Todo par de flechas consecutivas Antissimétrica: Não há flechas com duas
a
b
c
d
a
b
deve existir uma flecha cuja origem é a
primeira e extremidade é a segunda. pontas.
5. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Uma relação sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e somente se, for reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo 7:
A relação
( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
c c
c a
a c
sobreA
a b c
, ,
é de equivalência, pois, valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.Exemplo 8:
Seja
A
. A relação definida porx y
x
y
,
x y
,
é de equivalência. i )ReflexivaA relação é reflexiva, pois,
(
x x
)(
x
x
)
ii)Simétrica
A relação é simétrica, pois,
(
x y
,
)(
x
y
y
x
)
iii) Transitiva
A relação é transitiva, pois,
(
x y z
, ,
)(
x
y e y
z
)
x
z
)
Exemplo 9:
A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim
(
r s
,
S r s
)(
r s
)
i )Reflexiva
A relação é reflexiva, pois,
(
r r
)(
S
r r
)
ii)Simétrica
A relação é simétrica, pois,
(
r s
,
S r s
)(
s r
)
iii) Transitiva
A relação é transitiva, pois,
(
r s t
, ,
S r s e s t
)(
)
r t
)
. Exercícios de Aplicação 15:a
b
c
d
a
b
Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir. 1)
( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
c c
c a
sobre, ,
A
a b c
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Antissimétrica
2)
( , ),( , )
a a
a b
sobreA
a b
,
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Antissimétrica
3)
( , ),( , ),( , )
a a
b b
b a
sobreA
a b
,
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Antissimétrica
Sobre
A
a b c
, ,
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iv) Antissimétrica
5) Seja
( , )
2|
2 21
x y
x
y
,quais propriedades são válidas para as relação.
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
iv) Antissimétrica
6. CLASSE DE EQUIVALÊNCIA
Seja uma relação de equivalência sobre A.
Dado
a
A
,
denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A, formado dos elementos x tal quex a
.
Simbolicamente|
a
x
A x a
7. CONJUNTO QUOCIENTE
O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por
A
/
Exemplo 10:
A relação
( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
c c
c a
a c
sobreA
a b c
, ,
é de equivalência. Determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim:, ,pois,
a e
a
a c
a
a c e c a
b
b
,pois,
b b
c
c a
, ,pois,
c c e a c e c a
, logo podemos ver que a classea
c
e temos duas classes, e indicamos porA
/
a b
,
a c b
, ,
Seja a relação de equivalência sobre
A
a b c d e f
, , , , ,
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a c c d d d e e d e e e f f e f f f d d f Determinemos suas classes de equivalência.
, ,pois,
a e
a
a b
a
a b e b a
c
c
,pois,c c
, ,
d
d e f
,pois,d d e d f e d e
,...
e escrevemos o conjunto quocienteA
/
a b
, ,
c
d e f
, ,
8. PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO
Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A se, e somente se
1)
(
r B
)(
r)
2) Se
r
s
B
rB
sou B
rB
s3)
1
n r r
B
A
Exemplo 12:
Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que
A
a b c d e f
, , , , ,
e
A
/
a b
, ,
c
d e f
, ,
, assimA
/
forma uma partição de A pois chamando de1
,
B
a b
B
2c
B
3d e f
, ,
, tem-se3
1 r
r
B
A
e a intersecção de dois a dois é sempre vazia e(
r B
)(
r)
Exemplo 13:
Sejam
A
e definida por( , ) ( , )
a b
c d
a
d
b
c
. a) Verifique se é uma relação de equivalência.b) Caso afirmativo dar a classe de
(2,3)
. Deixamos a cargo do leitor a demonstração i )Reflexivaiii) Transitiva
a)
( , ) ( , )
a b
c d
a
d
b
c
( , ) ( , )
c d
e f
c
f
d
e
, adicionando membro a membro e simplificando tem-se;(
a
f
b
e
)
( , ) ( , )
a b
e f
, logo é transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.b) Classe de
(2,3)
=x y
,
| ( , ) (2,3)
x y
=x y
,
|
x
3
y
2
=(2,3),(1,2),(3,4),....
Exercícios de aplicação 16:
1)Sejam
A
* e definida por( , ) ( , )
a b
c d
ad
bc
.a) Verifique se é uma relação de equivalência i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Caso afirmativo, dar a classe de
(2,3)
.2) Seja a relação de equivalência sobre
definida por n m
,
1
n m
i
i i
a) Verifique se é uma relação de equivalência
i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Caso afirmativo dar
/
.* 2
:
,definida por ( ) 1
f
f x
x
.a) Mostre que
*
( , )
a b
|
af b
( )
bf a
( )
é de equivalência.i )Reflexiva
ii)Simétrica
b) Caso afirmativo dar a classe
3
.4)Sejam
A
e definida por( , )
a b
3/
a
b
.(lê-se 3 divide a-b) a) Verifique se é uma relação deequivalência. i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Caso afirmativo, dar
/
5) Seja
A
a b c d
, , ,
, complete o quadroRelação Reflexiva Simétrica transitiva
=
( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
c c
d d
=
( , ),( , ),( , ),( , )
a c
c a
c c
a d
=
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
a a
b b
a b
b a
b d
d b
6) Seja a relação de equivalência sobre(conjunto dos números complexos)definida por
(
x
yi
) (
z
ti
)
x
y
z
t i
,
1
Descreva geometricamente a classe deequivalência determinada por
2 3
i
relação
( , )
*|
( )
( )
a b
af b
bf a
. a) Mostre que é de equivalência.i )Reflexiva
ii)Simétrica
b)Sendo
( )
2f x
x
, dar a classe2
.8) Em , definimos a relação de equivalência por
( , ) ( , )
x y
a b
k
|
x
ka e y
kb
Descreva geometricamente
Exercícios de aplicação 17:
1) Seja {( , ) 2| ( 1) ( 1)}
x y x x y y .
a) Determinar a 1 ,tal quea 2.
b) Verifique se é antissimétrica.
( , )
a b
| ( )
f a
f b
( )
a b
a) Verifique se é uma relação de equivalência i )Reflexivaii)Simétrica
b) Sendo ( ) 2 1
f x x , determinar 3.
3) Em , definimos a relação de por
1 1 1 1
( , ) ( , )
x y
x y
y
y
2(
x
x
)
a) Verifique se é de equivalência i )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Descreva geometricamente
4) Sejam
A
* e relação de equivalência definida por( , ) ( , )
a b
c d
a b
2c
d
2. Determine os valores de k, para que (2, ) (k k 1,3)por
( , )
a b
|| ( ) | | ( ) |
f a
f b
a) Verifique se é de equivalênciai )Reflexiva
ii)Simétrica
iii) Transitiva
b) Determine 2 , Sendo ( )f x x 1
6) Seja a relação de equivalência sobre definida por:
2 2 2 2
{(
x
yi
),(
z
ti
)
|
x
y
z
t i
,
1}
Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por
/ .
7)Em
[ 1,1] [ 1,1]
, definimos a relação de equivalência por2 2
8) Seja
f
:
*,definida por ( )
f x
x
23
x
e relação de equivalência definida por:* 2 2
( , )
x y
| (
x
1) ( ) (
f y
y
1) ( )
f x
, determine 2 .9)Seja { *|1 20}.
A n n Em A definimos a relação de equivalência como segue:
( , )x y x e y têm o mesmo número de múltiplos em .A Quantas e quais são essas classes?
10) Em
A
[ 2, 1] [0,3],
definimos a relação “ ” por:2 2
,para e
x
y
x y
y x
x
y
A
.9. RELAÇÃO DE ORDEM
Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relação é de ordem parcial sobre A se, e somente se, for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades:
i) é reflexiva se x x( A x x)
ii) é antissimétrica se, e somente se x y, A ((x y e y x) x y) iii) é transitiva se, e somente se
(
x y z
, , )((
x y e y z
)
x y
)
.Notação: Se
a b
e é uma relação de ordem parcial escrevemosa
b
, lê-se “ a precede b”ou “ a antecede b”Se a relação é de ordem parcial sobre A, então dizemos que
( , )
A
é parcialmente ordenado.Elementos comparáveis
Se a relação é de ordem parcial sobre A. Os elementosa e bde A, se dizem comparáveis se
ou
a
b
b
a
.10. ORDEM TOTAL
Se a relação é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é,
ou
a
b
b
a
, então é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente ordenado. Exemplo 14:Sejam
A
e a relação definida porx y
x
y
(menor ou igual é uma relação de ordem total, denominada ordem habitual).Mostremos que é uma relação de ordem total. i) é reflexiva, pois x x( x x)
ii) é antissimétrica, pois x y, ((x y e y x) x y)
iii) é transitiva, pois
(
x y z
, ,
)((
x
y e y
z
)
x
z
)
. Portanto é de ordem parcial sobre .Verifiquemos se é de ordem total;
, (se , ou )
x y x y x y y x , logo é de ordem total e,
( , )
A
se diz totalmenteordenado.
11. LIMITES SUPERIORES E INFERIORES
Seja
A
um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . SejaB
um subconjunto deA
.12. MÁXIMO E MÍNIMO
Sejam
B
A
e uma relação de ordem parcial. SeL
B
,
entãoL
é máximo.Se
l
B
,
entãol
é mínimo.13. SUPREMO E ÍNFIMO
Seja
A
um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . SejaB
um subconjunto deA
.Chama-se supremo de
B
o mínimo do conjunto dos limites superiores deB
(caso exista) Chama-se ínfimo deB
o máximo do conjunto dos limites inferiores deB
(caso exista).11. BOA ORDEM
é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo e,
( , )
A
se diz bem ordenado.Exemplo 15:
Sejam ,
A
] 1,2]
e a ordem habitual. Determinar a) Limites superiores de A, LS(A)=L
|
L
2
b) Máximo de A, Max(A)=
2
c) Supremo de A, Sup(A)=2
d) Limites inferiores de A, LI(A)=
l
|
l
1
e) Mínimo de A, não existe Min(A) f) Ínfimo de A, Inf(A)=
1
Exemplo 16:
Sejam
A
a b c d e
, , , ,
e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os conjuntos indicados. ( no diagrama vê-se quea
c
)a) Max(A)=
a
b) Sup(A)=a
c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe
a
b
c
d
Exemplo 17:
Seja
A
1,2,3,4,5,6,7,8
eB
3,6,7,
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i)
a) LS(B)={7} b) Max(B)={7} c) Sup(B)= {7} d) LI(B)={3,4,5,8 } c) Min(B) ={3} d) Inf(B)= {3,4,5,8}
ii) B é parcialmente ordenado (justifique)
a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado.
b) Transitiva: Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda.
c) Antissimétrica: Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto B.
(3 7 7 3)
3 7,
F
F
é verdadeira. Analogamente para 3 e 6 e 6 e 7. iii) B é totalmente ordenado (justifique)Como B é pré-ordenado, devemos verificar se todos os elementos de B são comparáveis.
3 7
ou
7 3
(V)3 6
ou
6 3
(V)6 7
ou
7 6
(V), logo,( , )
B
é totalmente ordenado.1
2
3
4
5
6
7
8
Exercícios de aplicação 18:
1) Seja
A
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
eB
2,3,5
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.Determinar: i)
a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)={ } c) Min(B) = { } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é parcialmente ordenado?iii)
( , )
B
é totalmente ordenado?2)Seja
A
1,2,3,4,5,6,7
eB
4,5,7
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.Determine i)
a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } e) Min(B) ={ } f) Inf(B)= { }
4
1
6
5
3
2
7
B
7
1
2
3
4
6
8
5
B
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? (justifique)
iii) O que se deve fazer para ser
( , )
B
parcialmente ordenadoiv) ( , )B é bem ordenado se for totalmente ordenado e se todos seus subconjuntos têm mínimo. Verifique se B é bem ordenado.
3)Seja
A
1,2,3,4,5
eB
1,3,5
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.Determine i)
a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? (justifique).
ii) ( , )B é totalmente ordenado? (justifique).
1
5
4
3
2
1
3
5
6
B
2
4
4)Seja
A
0,1,2,3,4,5,6,7,8
eB
0,1,2,3
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determine i)
a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é totalmente ordenado? (justifique)5)Seja
A
1,2,3,4,5,6
eB
2,3,4
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i)
a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é parcialmente ordenado?iii)
( , )
B
é totalmente ordenado?2
4
1
3
5
6
7
0
6)Seja
A
1,2,3,4,5,6
eB
2,4,5
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i)
a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é parcialmente ordenado?iii)
( , )
B
é totalmente ordenado?7)Seja
A
1,2,3,4,5,6,7,8
e2,3,5,8
B
. Em A consideremos apré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i)
a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é parcialmente ordenado?iii)
( , )
B
é totalmente ordenado6
4
1
3
2
B
5
7
8
1
2
5
6
3
4
8)Seja
A
1,2,3,4,5,6
eB
1,5,6
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.
Determinar i)
a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é parcialmente ordenado?9) Em
A
{ ,, , , , }
a c d e f
, considere a pré-ordem definida pelo diagrama que segueDeterminar i)
a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é parcialmente ordenado?iii)
( , )
B
não é boa ordem, eliminando qual seta( , )
B
passa a ser boa ordem?B
a
b
c
d
e
f
6
4
1
3
B
5
10) Seja
A
1,2,3,4,5,6,7,8,9
eB
1,2,3
. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagramaDeterminar i)
a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é parcialmente ordenado?5)Seja
A
1,2,3,4,...12,13
eB
4,5,7,9
. EmA
consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.Determinar i)
a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }
ii)
( , )
B
é parcialmente ordenado?