Formas Canônicas Minimização de Funções Lógicas

(1)

Lógica para Computação

Formas Canônicas

(2)

Forma Canônica

 É a representação de funções lógicas através de SOMA

DE PRODUTOS (SDP) ou através de PRODUTO DE SOMAS (PDS).

 Em cada termo soma (ou em cada termo produto)

(3)

Forma Canônica

 Soma de Produtos:

 A expressão é uma soma (OR) de produtos (AND) de variáveis e

variáveis complementadas.

 Produto de Somas:

 A expressão é um produto (AND) de somas (OR) de variáveis e

(4)

Forma Canônica

 Exemplos:

 Não está na forma canônica

 Está na forma canônica

 Não está na forma canônica

 Está na forma canônica

BC A

F  

B A F  

BC C

B A

F  ₍  ₎

C B A C AB ABC

F   

) )(

)(

(A B C A B C A B C

(5)

Forma Canônica

 Dada uma função booleana qualquer, descrita através

de sua respectiva TABELA VERDADE, é possível derivar uma equação booleana que a descreva.

 Para isto, podemos descrever esta equação através de

(6)

Forma Canônica

 Na soma padrão de produtos, cada termo

correspondente a um PRODUTO é denominado MINTERMO.

 Da mesma forma, no produto padrão de somas, cada

(7)

Mintermos e Maxtermos

 Cada mintermo ou maxtermo se associa a uma

possibilidade de entrada de uma função lógica.

 Por exemplo: Seja

F



AB

A B F Mintermo Maxtermo

1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1

AB

B A

B A

(8)

Mintermos e Maxtermos

 Numerando as entradas da tabela verdade é possível se

identificar os mintermos e maxtermos genericamente:

 Mintermos:

 0 equivale variável complementada

 1 equivale variável

 Maxtermos:

 0 equivale variável

 1 equivale variável complementada

 Assim na entrada 0, que equivale a A=1 e B=1, temos:

 Mintermo:

 Maxtermo:

AB

(9)

Mintermos e Maxtermos

 Exemplo: escrever a função na forma de

mintermos e maxtermos.

 Para fazer isso, monte a tabela verdade da função.  Para os mintermos, escreva o produto das variáveis,

complementando-as sempre que seu valor lógico seja 0 na linha correspondente.

 Para os maxtermos, escreva a soma das variáveis,

complementando-as sempre que seu valor lógico seja 1 na linha correspondente.

BC A

(10)

Mintermos e Maxtermos

A B C F Mintermo Maxtermo

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

ABC m  0 C AB m  1 C B A m  2 C B A m  3 BC A m  4 C B A m  5 C B A m  6 C B A m 

7 M₇  A B C

C B A

M   

0

C B A

M   

1

C B A

M   

2

C B A

M   

3

C B A

M   

4

C B A

M   

5

C B A

M   

(11)

Mintermos e Maxtermos

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

7 M₇  A BC

C B A

M   

0

C B A

M   

1

C B A

M   

2

C B A

M   

3

C B A

M   

4

C B A

M   

5

C B A

M   

6

 Para escrever a função na forma de mintermos, faça a

soma dos termos onde o valor da função é 1:

BC A C B A C B A C AB ABC

(12)

Mintermos e Maxtermos

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

7 M₇  A BC

C B A

M   

0

C B A

M   

1

C B A

M   

2

C B A

M   

3

C B A

M   

4

C B A

M   

5

C B A

M   

6

 Para escrever a função na forma de maxtermos, faça o

produto dos termos onde o valor da função é 0:

) )(

)(

(A B C A B C A B C

(13)

Mintermos e Maxtermos

 Logo, a função pode ser escrita de duas

formas canônicas:

 A forma canônica da soma de produtos é:

 A forma canônica do produto das somas é:

BC A

F  

BC A C

B A C

AB ABC

m C

B A

F₍ _, _, ₎ 



₍₀_,₁_,₂_,₃_,₄₎     

) )(

)( (

) 7 , 6 , 5 ( )

, ,

(A B C M A B C A B C A B C

(14)

Mintermos e Maxtermos

 Exemplo: escrever a função na forma de

mintermos e maxtermos.

) (B C A

(15)

Mintermos e Maxtermos

1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

7 M₇  A B C

C B A

M   

0

C B A

M   

1

C B A

M   

2

C B A

M   

3

C B A

M   

4

C B A

M   

5

C B A

M   

(16)

Mintermos e Maxtermos

1 1 1 1

1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

7 M₇  A BC

C B A

M   

0

C B A

M   

1

C B A

M   

2

C B A

M   

3

C B A

M   

4

C B A

M   

5

C B A

M   

6

 Para escrever a função na forma de mintermos, faça a

soma dos termos onde o valor da função é 1:

C B A C B A ABC

(17)

Mintermos e Maxtermos

1 1 1 1 1 1 0 0

1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

7 M₇  A BC

C B A

M   

0

C B A

M   

1

C B A

M   

2

C B A

M   

3

C B A

M   

4

C B A

M   

5

C B A

M   

6

 Para escrever a função na forma de maxtermos, faça o

produto dos termos onde o valor da função é 0:

) )(

)( )(

)(

(A B C A B C A B C A B C A B C

(18)

Mintermos e Maxtermos

 Logo, a função pode ser escrita de duas

formas canônicas:

 A forma canônica da soma de produtos é:

 A forma canônica do produto das somas é:

 Qualquer representação é válida para a função.

 Geralmente escolhe-se a representação com o menor número de

termos (somas ou produtos) obtido. )

(B C A

F  

C B A C B A ABC m C B A

F₍ _, _, ₎ 



₍₀_,₂_,₃₎   

) )( )( )( )( ( ) 7 , 6 , 45 , 1 ( ) , ,

(A B C M A B C A B C A B C A B C A B C

(19)

Mintermos e Maxtermos

 Exercício: escrever as funções a seguir na forma

canônica:

Z Y X

F

a₎  

Z X

F

b₎  

C ABC

F

c₎  

C A AB

F

d₎  

XYZ Z

X Y

X Z

F

(20)

Minimização de funções lógicas

 Inversamente à representação canônica de uma função,

podemos querer representar uma função onde são

conhecidos seus valores lógicos de uma forma mínima, reduzida.

 Ou seja, queremos SIMPLIFICAR a representação de

uma função lógica.

(21)

Minimização de funções lógicas

 Como funciona ?

 Vamos representar a função lógica cuja tabela verdade é

a seguinte:

A B F

(22)

Minimização de funções lógicas

 Utilizando o Mapa de Karnaugh:

A

(23)

Minimização de funções lógicas

 Vamos selecionar todas as adjacências encontradas no

mapa, verticalmente e horizontalmente:

A

(24)

Minimização de funções lógicas

 A constante  B constante

 Logo, F = A + B

A

(25)

Minimização de funções lógicas

 Outros exemplos:

x

y

0 1

0 0 1

1 0 1

x

y

0 1

0 1 1

1 0 0

• X constante

• Y varia

→ Elimina-se Y

• Y complementado constante

• X varia

→ Elimina-se X

X

(26)

Mapa de Karnaugh

 Toda célula deve ser contada

 Qualquer combinação deveria ser a maior possível.

Assim, uma célula não deveria ser considerada isolada se ela pode fazer parte de um grupo de duas ou mais células adjacentes.

 Todas as células deveriam ser referenciadas em um

menor número de grupos possíveis.

 As filas e colunas de uma Mapa de Karnaugh são

(27)

Minimização de funções lógicas

 Procedimentos:

 Identifique e marque todas as células individuais que não podem

ser combinadas com quaisquer outras células.

 Identifique todas as células que podem ser combinadas com

apenas uma outra célula. Use esses pares para formar grupos duplos.

 Identifique todas as células que podem ser combinadas em

grupos de 4 células, contanto que todas as células não estejam já cobertas por outros grupos (preferencialmente).

 Repita o processo de combinação para grupos de 8 células,

contanto que todas as células do grupo não estejam já cobertas (preferencialmente).

 Investigue qualquer célula ainda não contida em um grupo.

 Arbitrariamente forme o maior grupo possível que pode ser

(28)

AB

C

00 01 11 10

0 1 0 0 1

1 0 0 1 1

Mapa de Karnaugh

 Mapa de Karnaugh para 3 variáveis:

Elimina-se o A

Elimina-se o B

 Células adjacentes nas extremidades da direita e

esquerda da fila

AC

C

B

(29)

Elimina-se o A

Elimina-se o B

AB

C

00 01 11 10

0 0 1 1 0

1 1 1 0 0

Mapa de Karnaugh

C

A

C

B

(30)

 Encontrar o menor número possível de grandes subgrupos de

células adjacentes, que cobrem “1”s

AB

CD

00 01 11 10

00 1 0 0 1

01 0 1 0 0

11 1 1 1 1

10 1 1 1 1

Mapa de Karnaugh

D

B

BD

A

C

(31)

 Encontrar o menor número possível de grandes subgrupos de

células adjacentes, que cobrem “1”s

AB

CD

00 01 11 10

00 1 0 0 1

01 0 1 1 0

11 0 1 1 0

10 1 0 0 1

Mapa de Karnaugh

D

B

BD

(32)

 Exercícios: Encontrar as funções de cada mapa:

AB

CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 a) 01 1 1 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0

Mapa de Karnaugh

AB