Gentil Lopes da Silva

(1)

N´

umeros

ipercomplexos

₋

( Uma Nova Generaliza¸c˜

ao dos N´

umeros

C

₎

C

R

H₋2D H₋3D

ln

w

=

  

ln

ρ

+

iθ

+

jβ

,

se

0

≤

β

≤

π ;2

ln

ρ

+

iθ

−

jβ

,

se

−

π ≤2

β

≤

0

.

co

s

π

2

,

π

4

,

π

6

=

1

4

i

(

e

−

π

4

−

e

π

4

)

√

3

+

j

(

e

π

4

−

e

−

π

4

)

Y Z

i

R

PlanoC

j

R

Y Z

P

l

a

n

o

H

−

2

D

(

x+ y= 10

x· y= 40

eiy+jz_{= cos}_y_cos_z₊_i_sen_y_cos_z₊_j_sen_z

X

Y Z

x y

5

X

Y Z

5

P

l

a

n

o

H

−

2

D

PlanoC

Gentil Lopes da Silva

(2)

( Uma

Nova

Generaliza¸c˜ao dos N´

umeros

C

_{omplexos )}

Gentil Lopes da Silva

∗

18 de maio de 2007

∗_{www.dmat.ufrr.br/}

(3)

“Nenhuma produ¸cão de ordem superior, nenhuma inven¸cão jamais procedeu do homem, mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveria considerá-la um dom inspirado do Alto e aceitá-la com gratidão e venera¸cão. Nestas circunstâncias, o homem é somente o instrumento de uma Potência Su-perior, semelhante a um vaso julgado digno de receber um conteúdo divino”.

Goethe

“O gˆenio, porque sabe encontrar rela¸c˜oes novas entre as coisas, revela-nos novas harmonias e nos aproximam do pensamento de Deus.” E=m_·c2

Pietro Ubaldi

“Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempre que fora do vosso mundo não há mais nada. Pareceis verdadeiramente com esses selvagens que nunca sa´ıram de sua ilha e crêem que o mundo não vai mais longe”.

O Livro dos M´ediuns

“Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que se aprofundam em seus pensamentos e vˆeem as maravilhosas rela¸c˜oes entre as leis universais reconhecem um poder criador”.

Max Planck

“Um conceito é um estado vibratório individualizado e delicad´ıssimo que, uma vez perdido, não mais se acha nem com a lógica e muito menos com a vontade, não retornando senão quando excitado por uma conexão de idéias, isto é, por uma nova passagem próxima num estado vibratório afim”.

Pietro Ubaldi/As No´ures

“. . . O matemático, como o pintor ou poeta, é um desenhista. Se os seus desenhos são mais duradouros que os deles, é porque são feitos com idéias”.

G.H. Hardy

“A fusão entre fé e ciência, tão auspiciada, já se completou em meu esp´ırito: visão única na substância e de uma a outra eu passo unicamente por uma mudan¸ca de perspectiva visual ou de focaliza¸cão de meus centros ps´ıquicos

”. Pietro Ubaldi/As No´ures

“Não se pode imaginar que tenacidade de resistência, que massa de inércia re-presenta o homem médio, justamente o que impõe as normas da vida social”.

“O fenômeno baseia-se na sintoniza¸cão ps´ıquica e a mente do observador, se não afasta com suas emana¸cões um objeto do microscópio, nem influencia um fenômeno f´ısico ou qu´ımico, pode paralisar, todavia, o funcionamento de um fenômeno psiqu´ıco. O fenômeno tem suas defesas e se retira em face da amea¸ca à sua vitalidade e, então, a ciência não consegue a observa¸cão, e sim, a destrui¸cão”.

“Para poder avan¸car na investiga¸cão cient´ıfica e ver no ´ıntimo das coisas, é indispensável a sutiliza¸cão do instrumento de pesquisa - a consciência”.

(4)

Sum´

ario

1 Os N´umeros H_{ipercomplexos} ₇

1.1 Defini¸c˜ao: N´umerosH_{ipercomplexos . . . .} ₈

1.2 Propriedades das opera¸c˜oes . . . 12

1.3 Divis˜ao . . . 14

1.4 Imers˜ao deC_em H_{. . . .} ₁₆

1.5 Imers˜ao deH₋₂_D _emH₋₃_D _{. . . .} ₁₈

1.6 Forma alg´ebrica . . . 21

1.6.1 Unidade imagin´aria/Unidade hiperimagin´aria . . . 21

1.7 Forma trigonom´etrica . . . 23

1.7.1 Representa¸c˜ao gr´afica . . . 26

1.8 Potencia¸c˜ao . . . 32

1.9 Forma polar . . . 37

1.9.1 Interpreta¸cão geométrica da multiplica¸cão hipercomplexa 43 1.10 Radicia¸cão . . . 53

2 Equa¸cões 81 2.1 Resolu¸cão da equa¸cãoa_·w=b . . . 81

2.1.1 Resolu¸c˜ao da equa¸c˜aob_·w=a . . . 85

2.1.2 Resolu¸c˜ao da equa¸c˜aoa_·w−1₌_b_{. . . .} ₈₈

2.1.3 Resolu¸c˜ao da equa¸c˜aob_·w−1₌_a_{. . . .} ₉₀

2.2 Resolu¸c˜ao da equa¸c˜aoa_·w2₌_b_{. . . .} ₉₂

2.2.1 Algoritimo para extra¸c˜ao de ra´ızes quadradas . . . 111

3 Fun¸cões Hipercomplexas de Argumentos Hipercomplexos 115 3.1 Generaliza¸cão da fórmula de Euler (26.01.07) . . . 115

3.2

Generaliza¸c˜ao de fun¸c˜oes complexas elementares

. . . 117

3.2.1 Logaritmo . . . 117

3.2.2 Fun¸c˜oes trigonom´etricas com argumentos hipercomplexos. . . 122

4 Aplica¸cões 131 4.1 Computa¸cão Gráfica . . . 131

4.2 Rob´otica . . . 133

4.3 Um Desafio Dirigido aos Matem´aticos do Planeta Terra . . . 133

Apˆendice . . . 138

•Da impossibilidade de uma multiplica¸c˜ao noR3 _{. . . 138}

•Programa para multiplicar hipercomplexos . . . 139

•Programa para transformar coordenadas retangulares em polares. . 145

(5)

Aproveito esta oportunidade para resumir minha concep¸c˜ao a respeito da rela¸c˜ao entre Deus e o homem.

Algumas pessoas questionam se existe um limite para o homem (at´e onde o homem pode crescer-evoluir- ou avan¸car) ou qual a natureza do homem.

A rela¸c˜ao entre Deus e o homem pode ser entendida, parcialmente, pelo gr´afico abaixo:

✲ ✻

0 t

h(t)

D

q ✲

✻

0 t

h(t)

D

q

D−ε D+ε

δ

“O homem é uma fun¸cão do tempo e tem em Deus uma ass´ıntota” Assim como o gráfico aproxima-se indefinidamente de sua ass´ıntota, sem nunca tocá-la, da mesma forma o homem terá a eternidade para aproximar-se de Deus, aproximar-sem nunca tocá-lo, digo, jamais será igual a Deus.

Podemos resumir isto na f´ormula:

lim

t→∞h(t) =D

Esta equa¸c˜ao encerra o seguinte significado: Dado, arbitrariamente, um n´umero ε > 0, existe um δ >0 de tal modo que h(t)−D < ε, sempre que

t > δ.

Traduzindo: Fixada uma distância qualquer (ε) de Deus, sempre vai existir um instante no tempo (δ) a partir do qual a distância do homem a Deus será menor que aquela distância fixada.

Observe que o gr´afico n˜ao parte do zero (origem), isto se deve ao fato do homem possuir natureza divina.

Ent˜ao Jesus afirmou:

- Na Lei de voces está escrito que Deus disse: “Voces são deuses”.(João, 10 : 34) Ainda no gráfico observamos que Deus é uma fun¸cão constante do tempo, em outras palavras, éimutável.

Cada homem individualmente encontra-se sobre algum ponto do gr´afico (falando em termos evolutivos).

Agora levando em conta o conjunto dos Esp´ıritos (isto é, não somente o homem, como também outros seres) podemos dizer que Deus é umponto de

acu-mula¸cãopara este conjunto. Isto é: a qualquer distância de Deus, encontramos

(6)

Neste trabalho construimos um sistema num´erico sobre oR3_{: os n´}_umeros

Hipercomplexos−3D(uma nova generaliza¸c˜ao dos n´umerosC_omplexos).

Nota¸c˜ao: H_{, ou ainda,}H₋₃_D_.

Nosso escopo, com este trabalho, é trazer à baila o tema números

tridi-mensionais.

O matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865) ([2]) ao per-ceber que os números complexos poderiam ser representados por pontos no plano, isto é, por pares ordenados (x, y) de números reais, teve a idéia de gene-ralizá-los para pontos no espa¸co a três dimensões. Isto é, para ternos ordenados (x, y, z). Por nada menos que dez anos Hamilton procurou pelos números na terceira dimensão sem lograr sucesso.

O que significa procurar por estes números? Eles, por acaso, estariam perdidos em algum recanto da natureza? Certamente que não; o homem - à semelhan¸ca de Deus - também tem o poder de criar; e foi isto o que Hamilton intentou.

E como se cria um conjunto num´erico?

Respondemos: Definindo uma soma e uma multiplica¸c˜ao∗_{. Por exemplo:}

N´umeros Complexos: (

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) (a, b)_·(c, d) = (ac₋bd, ad+bc)

pronto! estão criados os números complexos. Portanto, o que Hamilton procu-rou foi definir uma soma e uma multiplica¸cão de ternos ordenados.

A soma nunca apresentou problemas, ´e f´acil, veja

N´umeros 3₋D: (

(a, b, c) + (d, e, f) = (a+d, b+e, c+f) (a, b, c)_·(d, e, f) = ( ?,?, ?)

O que Hamilton desejou foi preencher as trˆes interroga¸c˜oes acima.

Posteriormente ficou provada a impossibilidade de uma tal multiplica¸cão. No apêndice (pág. 138) reproduzimos esta prova tal como comparece em [3].

Acontece que, para a prova de uma tal impossibilidade, assume-se a hip´otese de que a multiplica¸c˜ao deve serassociativaedistributiva.

Podemos ignoraruma prova matemática. Isto mesmo, um teorema não encerra uma verdade absoluta no momento em que, não aceitando suahipótese, estamos desobrigados de aceitar suatese.

Em resumo: para nós que não exigimos, da multiplica¸cão, as propriedades citadas anteriormente, os números tridimensionais são uma realidade.

De outro modo: Hamilton tentou preservar propriedades algébricas (da multiplica¸cão) e malogrou. Nós, a priori, preservamos uma única propriedade; não algébrica, mas sim geométrica: a rota¸cão, e tivemos mais sorte.

Ademais justificaremos, com razões geométricas (ou ainda, “razões intr´ınsecas”), porque o “natural” é que em três dimensões (isto é, no R3_{) a}

multiplica¸cão não seja nem associativa e nem distributiva. Por exemplo, o -clássico - problema:

∗_{Existem condi¸c˜}_{oes adicionais sobre estas}_opera¸c˜_oes_{. Condi¸c˜}_oes_{intr´ınsecas}_e_{extr´ınsecas}_,

diriamos. A mais importante, dentre estas ´ultimas, - assim cremos - ´e que resultem deutilidade

(7)

“separar o n´umero 10 em duas partes tais que o produto destas seja 40.”, o qual se traduz na resolu¸c˜ao do sistema,

(

x+y= 10

x_·y= 40

como se sabe, em R_n˜_{ao possui solu¸c˜}_{ao, em} C _{possui uma ´}_{unica solu¸cão; nos} hipercomplexos (H₋₃_D_{), como mostraremos, este problema possui} _infinitas solu¸cões; isto se deve a razões intr´ınsecas ao espa¸co R3 _{(quero dizer: por} dis-pormos de uma dimensão a mais que noR2_{), isto n˜}_{ao poderia acontecer se a} multiplica¸cão fosse associativa e distributiva.

Há de se assinalar, todavia, a existência de problemas insolúveis no corpo complexoC_{e com solu¸c˜}_{ao em}H_{, por exemplo o (simples) sistema a seguir}

x+y= 0 (−1·x−y)·y= 2

Acontece que, como diz o velho adágio popular, “onde passa um boi, passa uma boiada” , quero dizer: se existeumproblema insolúvel emC_{- e com solu¸cão} emH_{- ent˜}_{ao pode existir uma}_infinidade_{de tais problemas.}

Em nosso contexto, generalizamos a equa¸c˜ao de Euler: eiy_{= cos}_y₊_i_sen_y_, para oR3_{, assim:}

eiy+jz = cosycosz+isenycosz+jsenz

onde,i= (0,1,0) ej= (0,0,1). Por exemplo,e(i+j)π₌_e(i−j)π _{= 1.}

Conseguimos também colocar argumentos hipercomplexos nas fun¸cões tri-gonométricas, por exemplo,

sen π₂, π₄, π₆=1₄ (eπ4 +e−π4)√3−j(eπ4 −e−π4)

Quanto à primeira das propriedades em questionamento, como se sabe, existem álgebras não associativas; quanto a álgebras não-distributivas estas po-derão ter interêsse para a ciência, vejamos a seguinte cita¸cão ( [4], pág. 167 ):

“No tocante aos sistemas quânticos, tudo muda de figura. . . Procedendo-se analogamente ao caso clássico, o reticulado a que se chega, conforme Birkhoff e Von Neuman, não é a álgebra de Boole, porém um reticuladonão distributivo;”. Mais á frente (pág. 169):

“Ele observa, seguindo a trilha de Birkhoff e Von Neuman, que o reticu-lado das proposi¸cões da mecânica quânticanão é distributivo. Mas, em vez de considerar as opera¸cões definidas entre as proposi¸cões do reticulado como novas opera¸cões que se superporiam aos conectivos clássicos, trata de mostrar que a posi¸cão mais sensata é a de se aceitar tais opera¸cões como as opera¸cões de uma nova lógica proposicional,não distributiva, a qual, ao ser aplicada a proposi¸cões relativas a fenômenos macroscópicos, recai na lógica clássica.”

Ficaremos gratos a cr´ıticas e/ou sugest˜oes.

Minha gratidão maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar à luz este trabalho. Isto é, assentar este tijolinho em sua magnânima obra.

Gentil Lopes da Silva.

(8)

Cap´ıtulo 1

Os N´

umeros

H

_{ipercomplexos}

“Dizendo isso, gritou bem forte: ‘L´azaro, saia para fora!’ O morto

saiu. Tinha os bra¸cos e as pernas

amarrados. . . Jesus disse aos

pre-sentes: ‘Desamarrem e deixem que

ele ande’.” Jo. (43−44)

Introdu¸c˜ao: Diferen¸ca entre conjunto e estrutura

Em matemática são freqüentes conjuntos munidos de uma ou mais opera¸cões, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais opera¸cões e respec-tivas propriedades constituem aquilo que denominamosestruturas algébricas.

Primeiramente observamos que quando nos referimos - na maioria das ve-zes - aos “conjuntos numéricos”Z_,R_,C_{, por exemplo; estamos nos referindo, a} estes conjuntos com suas respectivas opera¸cões, isto é, às estruturas (Z_, ₊_,_·_), (R_,₊_,_·_{), etc. Em fun¸c˜}_{ao do exposto sugerimos a seguinte nota¸c˜}_ao:

R=conjunto dos n´umeros reais; R_{=sistema dos n´}_{umeros reais} C=conjunto dos n´umeros complexos; C_{=sistema dos n´}_{umeros complexos}

Observe que, de acordo com nossa conven¸c˜ao,C=R2 _e _C₌ _R2_,₊_, ·)

Defini¸cão 1(Número). Um “elemento” de um conjunto continuará a ser

cha-mado de elemento; agora, ao construirmos uma estrutura alg´ebrica sobre este

conjunto, este elemento terá adquirido o status de número. Por exemplo, 1 é

um elementodo conjunto dos naturais N =_{1,2,3, . . ._} enquanto que 1 ´e um

n´umero da estruturaN₌ _N_,₊_,_·_.

Continuaremos a usar o s´ımbolo de pertinˆencia (_∈) tanto de elemento

para conjunto quanto de n´umero para estrutura. Por exemplo,

1_∈N, 1_∈N

No primeiro caso 1 ´e um reles elemento do conjunto dos naturais; enquanto

no segundo caso, 1terá adquirido ostatusdenúmerodo sistema numérico dos

naturais.

(9)

1.1 Defini¸c˜

ao: N´

umeros

H

_{ipercomplexos}

SejaRo conjunto dos n´umeros reais. Consideremos o produto cartesiano

R_×R_×R=R3_:

R3=(x, y, z) :x, y, z∈R

Vamos tomar dois elementos, (a1, b1, c1) e (a2, b2, c2), de R

3_{, para}

dar trˆes defini¸c˜oes:

(i)Igualdade: dois ternos ordenados s˜ao iguais se, e somente se, ocorre o

se-guinte:

(a1, b1, c1) = (a2, b2, c2) ⇔ a1 =a2, b1 =b2, e c1 =c2.

(ii)Adi¸c˜ao: chama-se adi¸c˜ao de dois ternos ordenados a um novo terno

orde-nado, obtido da seguinte forma:

(a1, b1, c1) + (a2, b2, c2) = (a1+a2, b1+b2, c1+c2)

(iii)Multiplica¸c˜ao: chama-se multiplica¸c˜ao de dois ternos ordenados a um novo

terno ordenado, obtido da seguinte forma:

(a1, b1, c1)·(a2, b2, c2) =

(−c1·c2,0,0), se r1 = 0 e r2 = 0 (D1)

(₋c1·c2·a2

r2

,₋c1·c2·b2

r2

, c1·r2), se r1 = 0 e r2 6= 0 (D2)

(−c1·c2·a1

r1

,−c1·c2·b1

r1

, c2·r1), se r₁ 6= 0 e r₂ = 0 (D₃)

(a1·a2−b1·b2)γ,(a1·b2+a2·b1)γ, c1·r2+c2·r1

, se r1 6= 0 e r2 6= 0 (D4) 

              

              

Onde,

r1 = q

a2

1+b

2

1 , r2=

q

a2

2+b

2

2 e γ= 1−

c1·c2

r1·r2 Observe que,

r=pa2₊_b2_{= 0} _⇒ _a2₊_b2_{= 0}

⇒ a2=−b2 ⇒ a=b= 0; porquanto, a, b∈R_.

Nota: J´a neste momento observe que se tomarmosc1=c2= 0 estamos de volta

aos complexosC_.

Nota: Na p´ag. 139 mostramos um programa para multiplicar dois

hipercom-plexos.

Defini¸cão 2(Números hipercomplexos). Chama-sesistemadosnúmeros

hiper-complexos, e representamos porH_{, ao sistema dos ternos ordenados de n´}_umeros

reais para os quais estão definidas a igualdade, a adi¸cão e a multiplica¸cão

(10)

Representaremos cada elemento gen´erico (x, y, z) _∈ H _{com o s´ımbolo} _w_, portanto:

w_∈H _⇔ _w_{= (}_{x, y, z}₎ _∈₍_R3_,₊_,_·₎ Exemplos:

1o_{) Dados}_w

1 = (1,2,3) ew2= (2, 0,0), calcule: w1+w2,w1·w2 ew

2

1.

Solu¸c˜ao: Temos,

(i)w1+w2= (1,2,3) + (2,0,0) = (1 + 2,2 + 0,3 + 0) = (3,2,3). (ii)w1·w2= (1,2,3)·(2,0,0). Ent˜ao,

r1 = p

12_{+ 2}2₌√₅_{, r}

2 =

p

22_{+ 0}2_{= 2}_{, γ}_{= 1}₋_√3·0

5·2 = 1, comor1 6= 0 e r2 6= 0, calculamos o produto em (D4), assim:

w1·w2 = (1·2−2·0)·1,(1·0 + 2·2)·1,3·2 + 0·

√

5= (2,4,6).

(iii)w2

1 =w1·w1 = (1,2,3)·(1,2,3). Ent˜ao,

r1 =r2 = p

12_{+ 2}2₌√₅_{, γ}_{= 1}₋_√3·3

5_·√5 =

−4 5 , comor1 =r2 6= 0, calculamos o produto em (D4), assim:

w₁2= (1_·1₋2_·2)_·(₋4/5),(1_·2+2_·1)_·(₋4/5),3_·√5+3_·√5=12 5 ,

−16 5 , 6

√

5

2o_{) Dados}_w

1 = (−1,0,0) ew2 = (0,0,1), calcule: w1+w2,w1·w2 ew

2

2.

Solu¸c˜ao: Temos,

(i)w1+w2= (−1,0,0) + (0,0, 1) = (−1 + 0,0 + 0,0 + 1) = (−1,0,1). (ii)w1·w2= (−1,0,0)·(0,0,1). Ent˜ao,

r1 = p

(₋1)2_{+ 0}2_{= 1}_{, r}

2 =

p

02_{+ 0}2_{= 0}_,

comor1 6= 0 e r2 = 0, calculamos o produto em (D3), assim: (₋1,0,0)_·(0,0,1) = ₋0·1·0

1 ,− 0_·1_·0

1 ,1·1

= (0,0,1).

(iii)w2

2 =w2·w2 = (0,0,1)·(0,0,1). Ent˜ao,

r1 =r2 = p

02_{+ 0}2_{= 0}_,

comor1 =r2 = 0, calculamos o produto em (D1), assim: (0,0,1)·(0,0,1) = (−1·1,0,0) = (−1,0,0).

3o_{) Dados}_w

1 = (4,3,2) ew2 = (6,7,8), calculewde modo quew1+w=w2.

(11)

w1+w=w2 ⇒ (4, 3,2)+(x, y, z) = (6,7,8) ⇒   

 

4 +x= 6,

3 +y= 7,

2 +z= 8.

⇒

  

 

x= 2, y= 4, z= 6.

Portanto,w= (2,4,6). 4o_{) Dados}_w

1= (1,−1,2) ew2 = (1,0, 3), calculewde modo quew1·w=w2.

Solu¸c˜ao: Tomemosw= (x, y, z), ent˜ao,

w1·w=w2 ⇒ (1,−1,2)·(x, y, z) = (1,0,3), temos,

r1 = p

12_{+ (}₋₁₎2₌√₂_{, r}

2 =

p

x2₊_y2_,

temos dois casos a considerar,

(i)r2 = p

x2₊_y2_{= 0, isto ´e,}_x₌_y_{= 0. Neste caso calculamos o produto}

em (D3), assim:

(1,₋1,2)_·(0,0, z) = ₋2·√z·0

2 ,−

2_·z_·(₋1)

√

2 , z·

√

2

Ent˜ao,

(0, z·√2, z√2) = (1,0,3) ⇒

  

 

0 = 1, z_·√2 = 0, z·√2 = 3.

Isto significa que n˜ao existe um n´umero hipercomplexo w = (x, y, z), com

x = y = 0, satisfazendo a condi¸c˜ao dada; logo este primeiro caso pode ser ignorado.

(ii)r2 = p

x2₊_y2₆_{= 0. Neste caso calculamos o produto em (}_D

4), assim:

(1,₋1,2)_·(x, y, z) =(1_·x₋(₋1)_·y)_·γ,(1_·y₋x_·(₋1))_·γ,2_·r2+z·

√

2

onde,γ= 1₋√2z

2r2 = 1₋

√

2z r2

. Igualando este produto a (1, 0,3), obtemos 

          

          

(x+y)·1− √

2z r2

= 1 (1.1)

(₋x+y)_·1₋

√

2z r2

= 0 (1.2)

2r2+

√

2_·z= 3 (1.3)

De (1.3), temos: 1₋

√

2z r2

= 3 1₋ 1

r₂

(12)

obtemos

(x+y)·31−_r1

2

= 1 (1.4)

(₋x+y)_·31₋ 1

r2

= 0 (1.5)

De (1.4) concluimos que 1−_r1

2

6

= 0, ent˜ao dividindo (1.5) por 3 1−_r1

2

,

obtemos: ₋x+y = 0, ou ainda, x=y. Substituindo este resultado em (1.4), resulta:

(x+x)_·31₋_√ 1

x2₊_x2

= 1 _⇒ x_·1₋_√ 1 2_{· |}x_|

=1

6

Temos dois casos a considerar:

a)x >0 (_|x_|=x). Sendo assim, resulta,

x_·1₋√1

2_·x

=1

6 ⇒ x=

1 + 3√2

6 =y

b)x <0 (|x|=−x). Sendo assim, resulta,

x·1−√ 1

2·(−x)

=1

6 ⇒ x=

1−3√2

6 =y

Da equa¸c˜ao (1.3) tiramos,

z= 3−2r2

√

2 =

3

√

2−2|x| portanto,

z=√3

2−2

1 + 3√2 6

=−

2 + 3√2 6 e

z′=√3

2−2

1₋3√2 6

=

2 + 3√2 6

Sendo assim temos dois n´umeros que satisfazem a equa¸c˜ao w1 ·w=w2, quais sejam:

w=1 + 3

√

2

6 ,

1 + 3√2

6 ,

−2 + 3√2 6

e

w′=1−3

√

2

6 ,

1−3√2

6 ,

2 + 3√2 6

(13)

1.2 Propriedades das opera¸c˜

oes

Proposi¸cão 1. A opera¸cão de adi¸cão define em H_uma_estrutura_de_grupo

co-mutativo, isto ´e, verifica as seguintes propriedades:

A1) Propriedade associativa;

A2) propriedade comutativa;

A3) existˆencia do elemento neutro;

A4) existˆencia do elemento sim´etrico (ou oposto).

Prova: Deixamos como exerc´ıcio.

Apenas observamos que, 0= (0,0, 0) é o elemento neutro para a adi¸cão. Dadow= (x, y, z) temos que₋w= (₋x,₋y,₋z) é o seu oposto aditivo, isto é,

w+ (−w) =0.

Subtra¸c˜ao

Decorre da proposi¸cão anterior que, dados os hipercomplexosw1 = (a1, b1, c1) e w2 = (a2, b2, c2) existe um únicow∈Htal quew1+w=w2. Esse número

w´e chamadodiferen¸caentrew2 ew1 e indicado porw2−w1.

Proposi¸cão 2. A opera¸cão de multiplica¸cão emH_{verifica as seguintes}

propri-edades:

M1)Propriedade comutativa;

M2)n˜ao associativa;

M3)existˆencia do elemento neutro;

M4)existˆencia do elemento inverso;

M5)não distributiva em rela¸cão à adi¸cão.

Prova: M1)Propriedade comutativa.

Dadosw1 = (a1, b1, c1) e w2 = (a2, b2, c2) emH, devemos mostrar que

w1·w2 =w2 ·w1. De acordo com a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao temos quatro casos a considerar:

( 1 )r1 = 0 e r2 = 0 (D1). Nesta situa¸c˜ao, temos:

w1·w2 = (0,0, c1)·(0,0, c2) = (−c1·c2,0,0)

= (₋c2·c1,0,0) = (0,0, c2)·(0,0, c1) =w2·w1. ( 2 )r1 = 0 e r2 6= 0 (D2). Nesta situa¸c˜ao, temos:

w1·w2= (0,0, c1)·(a2, b2, c2) =

−c1·c2·a2

r2

,₋c1·c2·b2

r2

, c1·r2

= ₋c2·c1·a2 q

a2

2+b

2 2

,₋c2·c1·b2 q

a2

2+b

2 2

, c1· q

a2

2+b

2 2

(14)

( 3 )r16= 0 e r2 = 0. An´alogo ao caso ( 2 ).

( 4 )r16= 0 e r2 6= 0 (D4). Nesta situa¸c˜ao, temos:

w1·w2 = (a1·a2−b1·b2)γ,(a1·b2+a2·b1)γ, c1·r2+c2·r1

= (a2·a1−b2·b1)γ,(a2·b1+a1·b2)γ, c2·r1+c1·r2

=w2·w1. M2)N˜ao associativa. Tomando, por exemplo,

w1 = (0,1,0), w2= (0,0,1), w3 = (0,0,−1). Resulta (confira),

(w1·w2)·w3 = (1,0,0)

w1·(w2·w3) = (0,1,0)

M3)Existˆencia do elemento neutro. Existe1= (1,0,0) _∈H_{com a seguinte} propriedade: w_·1=w, _∀w_∈ H_{. De fato, considerando}_w _{= (}_{a, b, c}_{) temos} dois casos a considerar:

(i)r=√a2₊_b2_{= 0} ₍_D

2), ent˜ao,

w_·1= (0,0, c)_·(1,0,0) = ₋c·0·1 1 ,−

c_·0_·0 1 , c·1

= (0,0, c) =w

(ii)r=√a2₊_b2₆_{= 0} ₍_D

4), ent˜ao,

w_·1= (a, b, c)_·(1,0,0) = (a_·1₋b_·0)_·1,(a_·0+1_·b)_·1, c_·1+0_·r1

= (a, b, c) =w.

Da comutatividade da multiplica¸cão decorre aunicidadedo elemento neu-tro, assim: sejam u e ˜u dois elementos neutros para a multiplica¸cão. Sendo assim, ter-se-à, por um lado,w·u=w, para todow∈H_{; em particular ˜}_u_·_u_{= ˜}_u (_∗). Por outro lado também temos w_·u˜=w, para todow_∈H_{; em particular}

u_·u˜=u. Esta ´ultima igualdade pode ser reescrita como ˜u_·u=u. Daqui e de (_∗) concluimos queu= ˜u.

M4)Existˆencia do elemento inverso. Desejamos mostrar que,

∀w_∈H∗_, _∃_w−1_∈H_{/ w}_·_w−1₌₁_.

De fato, tomando w = (a, b, c), procuramos w′ _{= (}_{x, y, z}_{) satisfazendo}

w·w′ _{= (1}_,₀_, _{0). Vamos inicialmente supor,}_r

1 =

√

a2₊_b2₆_{= 0. A possibilidade}

r2 = p

x2₊_y2 _{= 0 (isto é,} _w′ _{= (0}_,₀_{, z}_{)) nos conduz a uma inconsistência.} Consideremos entãor2=

p

x2₊_y2₆_{= 0. Sendo assim, temos,}

w_·w′ = (a, b, c)_·(x, y, z) = (a_·x₋b_·y)γ,(a_·y+x_·b)γ, c_·r2+z·r1

= (1,0,0).

Sendo assim, obtemos           

         

(ax₋by)_·1₋ c·z

r1·r2

= 1 (1.6)

(ay+bx)_·1₋ c·z

r1·r2

= 0 (1.7)

(15)

De (1.8), temos: 1−_rc·z

1·r2

=r

2

1+c

2

r2

1

, substituindo em (1.6) e (1.7), obtemos

(ax₋by)_·r

2

1+c

2

r2

1

= 1 (1.9)

(ay+bx)_·r

2

1+c

2

r2

1

= 0 (1.10)

De (1.9) e (1.10) concluimos queay+bx= 0, (der1 6= 0 ⇒ a6= 0 oub6= 0) supondoa6= 0, resultay=−b·x

a . Substituindo este resultado em (1.9), resulta:

a x−b(−b x_a )= r

2

1

r2

1 +c

2 ⇒ x=

a r2

1

· r

2

1

r2

1+c

2 =

a a2₊_b2₊_c2.

Logo,

y=−_ab ·x=−b_a· _a2₊_ba2₊_c2 =

−b a2₊_b2₊_c2

e,

z=₋c_·r2

r1

= −c

a2₊_b2₊_c2

portanto,

w′ = a

a2₊_b2₊_c2,

−b a2₊_b2₊_c2,

−c a2₊_b2₊_c2

- Vamos agora supor r1 =

√

a2₊_b2_{= 0, ent˜}_ao,

w′= 0 02_{+ 0}2₊_c2,

−0 02_{+ 0}2₊_c2,

−c

02_{+ 0}2₊_c2

= 0,0,₋1 c

Temos,

w_·w′_{= (0}_,₀_{, c}₎_· ₀_,₀_, ₋1

c

= ₋c_·−1 c ,0,0

= (1,0,0) Portanto, qualquer que sejaw= (a, b, c)6= (0, 0,0), temos que:

w_·w′ = (a, b, c)_· a

a2₊_b2₊_c2,

−b a2₊_b2₊_c2,

−c a2₊_b2₊_c2

= (1,0,0).

Nota: Observe que também provamos que o inverso multiplicativo é único. De

fato, o sistemaw_·w′ _{= (1}_,₀_,₀₎ _{possui uma ´}_unica_solu¸c˜_ao.

1.3 Divis˜

ao

Devido a existência do inverso multiplicativo, podemos definir em H _a opera¸cão de divisão, simbolizada por w1

w2

, estabelecendo que w1

w2

=w1 ·w2′ =

w1·w−

1

2 , onde mudamos de nota¸c˜ao: w ′

2 =w

−1

(16)

Exemplo:

(0,1, 0)

(0,0, 1) = (0,1,0)·(0,0,1) −1

= (0,1,0)_· 0 02_{+ 0}2_{+ 1}2,

−0 02_{+ 0}2_{+ 1}2,

−1 02_{+ 0}2_{+ 1}2

= (0,1,0)·(0,0,−1) Em (D3), temos:

(0, 1,0)_·(0,0,₋1) = ₋0·(−1)·0

1 ,−

0·(−1)·1 1 ,−1·1

= (0,0,₋1),

portanto, (0,1,0)

(0,0,1) = (0,0,−1).

Uma observa¸cão importante é que para resolvermos, por exemplo, a equa¸cão

a_·x=bem H_{, n˜}_{ao ´e l´ıcito procedermos assim:}

a_·x=b _⇒ a−1_·(a_·x) =a−1_·b _⇒ (a−1_·a)_·x=a−1_·b _⇒ x=a−1_·b,

uma vez que a multiplica¸cão emH_é _n˜_{ao associativa}_{. Para resolver a equa¸cão} em questão devemos proceder como no exemplo 4o_{), p´}_{ag. 10.}

Uma outra observa¸cão é a de que, como o produto é comutativo, podemos definir a multiplica¸cão emH_{com apenas}_três_{senten¸cas, ao invés de quatro. A} opera¸cão de multiplica¸cão pode ser vista (é) uma aplica¸cão: f:R3_×R3_→R3_, definida por três senten¸cas.

M5)A multiplica¸cão é não distributiva em rela¸cão à adi¸cão.

(17)

1.4 Imers˜

ao de

C

_em

H

Consideremos agora a subestrutura C˜ _de H _{na qual ˜}_C _{´e formado pelos} ternos ordenados cujo terceiro termo ´e zero:

˜

C=(a, b, c)_∈R3:c= 0

Consideremos agora a aplica¸c˜aof, deC_{em ˜}C_{, que leva cada (}_{x, y}₎_∈C_{ao terno} (x, y,0)∈C˜_{, tipo assim:}

C C˜

H

f

(a1, b1) (a1, b1,0) (a2, b2) (a2, b2,0)

(a1+a2, b1+b2) (a1+a2, b1+b2,0)

(a1·a2−b1·b2, a1·b2+a2·b1) (a1·a2−b1·b2, a1·b2+a2·b1,0)

f : C C˜

(x, y) (x, y,0)

Primeiramente notemos que f ´ebijetora, porquanto:

(i) todo terno (x, y,0)∈C˜ _{´e o correspondente, segundo}_f_{, de (}_{x, y}₎_∈C_(isto quer dizer quef ´e sobrejetora);

(ii) Dados (x, y) ∈C_{e (}_x′_{, y}′₎_∈C_{, com (}_{x, y}₎₆_{= (}_x′_{, y}′_{) os seus} correspon-dentes (x, y,0)∈C˜ _{e (}_x′_{, y}′_,₀₎_∈C˜ _s˜_{ao distintos, de acordo com a defini¸c˜ao de} igualdade de ternos ordenados (isto quer dizer quef ´e injetora).

Em segundo lugar, notemos quef preserva as opera¸cões de adi¸cão e mul-tiplica¸cão pois,

f (a1, b1) + (a2, b2)

=f (a1+a2, b1+b2)

= (a1+a2, b1+b2,0) = (a1, b1,0) + (a2, b2,0) =f (a1, b1))

+f (a2, b2)

No que concerne `a multiplica¸c˜ao, temos

f (a1, b1)·(a2, b2)

=f (a1·a2−b1·b2, a1·b2+a2·b1)

= (a1·a2−b1·b2, a1·b2+a2·b1,0)

Observe que (a1, b1)·(a2, b2) está em C e como tal verifica a regra de multiplica¸cão deC_{, isto é:}

(18)

Por outro lado, (a1 ·a2 −b1 ·b2, a1 ·b2 +a2 ·b1, 0) est´a em H, obedecendo, portanto, as regras operacionais deste sistema. Devemos mostrar que,

(a1·a2−b1·b2, a1·b2+a2·b1,0) = (a1, b1,0)·(a2, b2,0) =f (a1, b1)

·f (a2, b2)

Para efetuar o produto (a1, b1,0)·(a2, b2,0) temos que analisar quatro alternativas, em cada uma delas devemos ter:f (a1, b1)·(a2, b2)

=f (a1, b1)

·

f (a2, b2)

. Vamos provar para a alternativa (D4) (r16= 0 e r26= 0), pois para as demais se prova de modo an´alogo. Temos,

(a1, b1,0)·(a2, b2,0) = (a1·a2−b1·b2)·1,(a1·b2+a2·b1)·1,0·r2+ 0·r1

= (a1·a2−b1·b2, a1·b2+a2·b1,0) Sendo assim,

(a1·a2−b1·b2, a1·b2+a2·b1,0) = (a1, b1,0)·(a2, b2,0) =f (a1, b1)

·f (a2, b2)

.

Devido ao fato de existir uma aplica¸cãof:C_→C˜_{que preserva as opera¸cões} de adi¸cão e multiplica¸cão, dizemos queC _{e ˜}C_s˜_ao_isomorfos_.

Devido ao isomorfismo, operar com (x, y,0) leva a resultados an´alogos aos obtidos operando com (x, y); em raz˜ao disto, de agora em diante, faremos a

identifica¸c˜aoque se segue:

(x, y) = (x, y,0), _∀(x, y)_∈C

Em particular, pela teoria dos n´umeros complexos, podemos escrever ainda,

x= (x,0) = (x,0,0), ∀x∈R Aceita estas igualdades, temos em particular que,

0 = (0,0) = (0,0,0), 1 = (1,0) = (1,0,0), a= (a,0) = (a,0,0).

Assim o corpo C _{dos n´}_{umeros complexos passa a ser considerado uma}

subestruturadosistema H_{dos n´}_{umeros hipercomplexos.}

(19)

1.5 Imers˜

ao de

H

₋

₂

D

_em

H

₋

₃

D

Consideremos agora a subestrutura H˜ _de H _{na qual ˜}_H _{´e formado pelos} ternos ordenados cujo segundo termo ´e zero:

˜

H=(a, b, c)∈R3:b= 0

Vamos mostrar que ˜H_é_fechado_{para as opera¸c˜}_{oes de soma e multiplica¸cão.} De fato, sejam (a1,0, c1) e (a2,0, c2) dois pontos em ˜H, então,

(a1,0, c1) + (a2,0, c2) = (a1+a2, 0, c1+c2)∈H˜ Por outro lado (ver p´ag. 8),

a1,0, c1)·(a2,0, c2

=

−c1·c2, 0,0

, se r1 = 0 e r2 = 0

−c1·c2·a2

r2

,0, c1·r2

, se r1 = 0 e r2 6= 0

−c1·c2·a1

r1

,0, c2·r1

, _se _r

1 6= 0 e r2 = 0 (a1·a2)γ,0, c1·r2 +c2·r1

, se r1 6= 0 e r26= 0 

              

              

Onde,

r1 =|a1|, r2 =|a2| e γ= 1−

c1·c2

|a1| · |a2| De outro modo,

(a1,0, c1)·(a2, 0, c2) =

−c1·c2, 0,0

, se a1= 0 e a2= 0

−c1·c2

a2

|a2|

,0, c1· |a2|

, se a1= 0 e a26= 0

−c1·c2

a1

|a1|

,0, c2· |a1|

, _se _a

16= 0 e a2= 0

a1·a2−c1·c2

a1·a2

|a1| · |a2|

,0, c1· |a2|+c2· |a1|

, se a16= 0 e a26= 0 

              

              

Portanto,

(20)

Consideremos agora a aplica¸c˜ao f, de H₋₂_D _{em ˜}H_{, que leva cada} (x, y)_∈H₋₂_D_{ao terno (}_x,₀_{, y}₎_∈H˜_{, tipo assim:}

H₋₂_D H˜

H

f

(a1, b1) (a1,0, b1) (a2, b2) (a2,0, b2)

(a1+a2, b1+b2) (a1+a2,0, b1+b2)

(a1·a2−b1·b2, a1·b2+a2·b1) (a1·a2−b1·b2,0, a1·b2+a2·b1)

f : H₋₂_D H˜

(x, y) (x,0, y)

Podemos mostrar que f é um isomorfismo. Devido ao fato de existir uma aplica¸cãof:H₋₂_D _→ H˜ _{que preserva as opera¸c˜}_{oes de adi¸c˜}_{ao e} multi-plica¸cão, dizemos queH₋₂_D _{e ˜}H_s˜_ao_isomorfos_.

Devido ao isomorfismo, operar com (x,0, y) leva a resultados an´alogos aos obtidos operando com (x, y); em raz˜ao disto, de agora em diante, faremos a

identifica¸c˜aoque se segue:

(x, y) = (x,0, y), _∀(x, y)_∈H₋₂_D

Em particular, pela teoria dos n´umeros hipercomplexos−2D, podemos es-crever ainda,

x= (x,0) = (x,0,0), _∀x_∈R Aceita estas igualdades, temos em particular que,

0 = (0,0) = (0,0,0), 1 = (1,0) = (1,0,0), (0,1) = (0,0,1) =j.

Assim o sistema H₋₂_D_{, dos n´}_{umeros hipercomplexos bidimensionais,} passa a ser considerado uma subestrutura do sistemaH_{dos n´}_umeros hipercom-plexos tridimensionais.

Em resumo, os n´umerosH₋₃_D _{generalizam, a um s´}_{o tempo, os n´}_umeros complexos e os hipercomplexos₋2D.

Podemos ilustrar a imers˜ao de estruturas atrav´es de diagramas de Venn, assim:

C

R

(21)

Proposi¸c˜ao 3. Para todo k_∈R_{, a seguinte identidade}

k_·(a, b, c) = (k a, k b,_|k_|c) = (

(k a, k b, k c), se k_≥0; (k a, k b, −k c), se k <0.

se verifica.

Prova: Temos algumas alternativas a considerar: (i)k= 0, trivial.

(ii)k₆= 0 e r2 =

√

a2₊_b2_{= 0. Temos (}_D

3):

k_·(0,0, c) = (k,0,0)_·(0, 0, c) =₋0·c·k

|k_| ,−

0_·c_·0

|k_| , c· |k|

= (k0, k0,_|k_|c) (iii)k6= 0 e r2 =

√

a2₊_b2₆_{= 0. Temos (}_D

4):

k·(a, b, c) = (k, 0,0)·(a, b, c) = (k·a−0·b)·1,(k·b+ 0·a)·1,0·r2+c· |k|

= (k a, k b,_|k_|c.

Esta proposi¸cão nos proporciona umfenômeno que não ocorre emR_{ou em}C_.

Corol´ario 1. Em H_{a seguinte identidade}

−1_·x=₋x

´e falsa.

Prova: De fato, tomandox= (0,0,1), resulta,

−x=₋(0,0,1) = (0,0,₋1)

−1·x= (−1·0,−1·0,| −1| ·1) = (0,0,1)

Sendo assim é importante estar atento para o fato de que, ao contrário do que ocorre emR_{, ou em}C_{, em}H_{é necess´}_{ario distinguir entre}₋_x_e₋₁_·_x_. Observe que, enquanto no primeiro caso temos o oposto aditivo dex, no segundo caso temos o produto de dois hipercomplexos: −1 = (−1,0,0) e x= (a, b, c). Observe, outrossim, que em H _n˜_{ao vale a propriedade de cancelamento} para a multiplica¸cão; para se convencer disto considere a seguinte igualdade,

1_·(0,0,1) =₋1_·(0,0,1)

Isto se deve ao fato da multiplica¸c˜ao n˜ao ser associativa. Prove a seguinte,

Proposi¸c˜ao 4. Sejama∈R_e_w_∈H_,

j·a=w ⇒

  

 

a= w

j, se a≥0; a=−w_j, se a <0.

(1.11)

(22)

1.6 Forma alg´

ebrica

1.6.1 Unidade imagin´

aria/Unidade hiperimagin´

aria

Chamamosunidade imagin´ariae indicamos porio n´umero hipercomplexo (0,1,0). Notemos que

i2= (0,1,0)_·(0,1,0) = (0_·0₋1_·1)_·1,(0_·1 + 0_·1)_·1,0_·1 + 0_·1 = (₋1,0,0) =₋1,

isto é, a propriedade básica da unidade imaginária é,

i2=₋1

Chamamos unidade hiperimagin´aria e indicamos por j o n´umero hiper-complexo (0,0,1). Notemos que

j2_{= (0}_,₀_,₁₎

·(0, 0,1) = (₋1_·1,0,0) =₋1,

isto é, a propriedade básica da unidade hiperimaginária é,

j2=−1

Digamos que a unidade hiperimagin´aria tem duas propriedades b´asicas, sendo a outra dada por,

−1_·j=j (1.12)

propriedade esta que não é partilhada pela unidade imaginária. A bem da verdade esta é apenas um caso especial da seguinte: Vamos multiplicarj pelo número complexoz= (x, y,0). Temos

(0,0,1)_·(x, y,0) = ₋1·0·x r₂ ,−

1·0·y r₂ , 1·r2

= (0,0, px2₊_y2₎

Portanto,

j_·z= ( 0,0,_|z_|)

Observe que se_|z_|= 1 (c´ırculo unit´ario) ent˜aoz_·j=j.

Forma alg´ebrica

Dado um n´umero hipercomplexo qualquerw= (x, y, z), temos:

w= (x, y, z) = (x,0,0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) Temos,

(i) (x,0,0) =x. (ii) Temos,

y_·(0,1,0) = (y_·0, y_·1,_|y_{| ·}0) = (0, y,0) _⇒ y_·i= (0, y,0) (iii) Sez_≥0, ent˜ao (0,0, z) =z(0,0,1) =z j.

Sez_≤0 (_|z_|=₋z), ent˜ao

(23)

Tendo em conta estes resultados podemos escrever,

w= (x, y, z) = (

x+i y+j z, se z≥0;

x+i y₋j z, se z_≤0. (1.13)

Assim, todo número hipercomplexow = (x, y, z) pode ser escrito sob a forma acima, chamadaforma algébrica. O número realxé chamadoparte real de w, o número real y é chamadoparte imaginária de w e o número realz é chamadoparte hiperimagináriadew.

Neste momento precisamos fazer um esclarecimento assaz importante: A estas alturas o leitor já percebeu que a álgebra hipercomplexa é “ligeiramente” distinta da álgebra real ou complexa. Isto nos obriga a estar (bastante) atento quanto às nota¸cões. Por exemplo, consideremos as quatro expressões seguintes

x+i y−j z x+i y−z j x+i y+j(₋z)

x+i y+z(₋j)

Vejamos o significado da terceira parcela em cada uma delas:

−jz, significa: o opostodej que multiplicaz

−zj, significa: o opostodez que multiplicaj j(₋z), significa: o opostodez que multiplicaj z(₋j), significa: o opostodej que multiplicaz

O leitor pode mostrar, a partir da proposi¸c˜ao 3, que

−jz₆=₋zj=j(₋z)

Podemos dar as seguintes denomina¸c˜oes a alguns hipercomplexos:

w= (0, 0, c), c₆= 0, hiperimagin´ario puro;

w= (0, b,0), b₆= 0, imagin´ario puro;

w= (a,0,0), real puro;

w= (a, b,0), a₆= 0, b₆= 0, complexo puro;

w= (a, b, c), c₆= 0, hipercomplexo puro;

w= (a, b, c), a6= 0 oub6= 0;c6= 0, hipercomplexo n˜ao-singular.

Nota: Um hipercomplexo n˜ao-singular ´e um hipercomplexo puro coma6= 0 ou

(24)

1.7 Forma trigonom´

etrica

Defini¸c˜ao 3 (Conjugado). Chama-seconjugadodo hipercomplexow= (a, b, c)

ao hipercomplexow= (a,₋b,₋c), isto ´e:

w= (a, b, c) _⇔ w= (a,₋b,₋c)

Defini¸c˜ao 4 (Norma). Chama-se norma do hipercomplexo w = (a, b, c) ao

n´umero real

N(w) =a2+b2+c2

Defini¸cão 5(Módulo). Chama-semódulo(ouvalor absoluto)do hipercomplexo

w= (a, b, c)ao n´umero real

|w|=pN(w) =pa2₊_b2₊_c2

Nota: Alternativamente podemos usar a nota¸c˜ao: ρ, para o m´odulo. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor, mostrar quew_·w=_|w_|2_.

Observe que o inverso dew= (a, b, c) pode ser escrito como,

w−1= a

a2₊_b2₊_c2,

−b a2₊_b2₊_c2,

−c a2₊_b2₊_c2

⇔ w−1= a

|w_|2, −b

|w_|2, −c

|w_|2

Ou ainda,

w−1₌ 1

|w|2(a,−b,−c). (1.14)

Defini¸c˜ao 6 (Argumento). Chama-se argumento de um hipercomplexo w =

(x, y, z), n˜ao nulo, ao par de ˆangulos (θ, β)tal que

cosθ_·cosβ= x

ρ, senθ·cosβ= y

ρ, e senβ =

z ρ.

Observe que, existe ao menos um par (θ, β) satisfazendo a defini¸c˜ao, pois

cosθ_·cosβ2+ senθ_·cosβ2+ senβ2=x

ρ

2

+y

ρ

2

+z

ρ

2

= x

2₊_y2₊_z2

ρ2 = 1.

Fixado o hipercomplexo w 6= 0, estão fixados cosθ·cosβ, senθ·cosβ e senβ, mas os ângulos θ eβ podem assumir infinitos valores, congruentes dois a dois (congruência módulo 2π).

Assim o hipercomplexow6= 0 tem argumento, (θ, β) = (θ0+ 2kπ, β0+ 2k

′_π_); _{k, k}′ _∈_Z _(1.15) onde (θ0, β0) ´e chamadoargumento principaldew, ´e tal que

cosθ0·cosβ0 =

x

ρ, senθ0·cosβ0 =

y

ρ, e senβ0 =

(25)

e

0_≤ θ0 <2π, −

π

2 ≤ β0 ≤

π

2 (1.16)

Por vezes trabalharemos com (θ0, β0) chamando-o simplesmente argu-mento dew.

Exemplos:

1o_{) Para}_w₌√_{3 +}_i_{, temos}_ρ₌q₍√₃₎2_{+ 1}2_{+ 0}2_{= 2, ent˜ao}

                  

cosθ0·cosβ0 =

x ρ =

√

3 2

senθ0·cosβ0 =

y ρ =

1 2

senβ0 =

z ρ=

0 2 = 0

Tendo em conta (1.16), resulta

θ0 =

π

6 ⇒ θ=

π

6 + 2kπ

β0 = 0 ⇒ β= 0 + 2k′π

2o_{) Para}_w_{= (0}_,₁_,_{1), temos}_ρ₌√₀2_{+ 1}2_{+ 1}2₌√_{2, ent˜ao}

                  

cosθ0·cosβ0 =

x ρ =

0

√

2 = 0

senθ0·cosβ0 =

y ρ =

1

√

2

senβ0 =

z ρ =

1

√

2

Tendo em conta (1.16), desta ´utima equa¸c˜ao concluimos que β0 = π

4, sendo

assim resulta

cosθ0·cos π

4 = 0 ⇒ cosθ0 = 0

⇒ θ0 =

π

2

senθ0·cos π

4 =

√

2

2 ⇒ senθ0= 1 Sendo assim, temos

θ=π

2 + 2kπ, β=

π

4 + 2k ′_π

3o_{) Para}_w₌₋√_{3 + 3}_i₋₂_j_{, temos}_ρ₌q₍₋√₃₎2_{+ 3}2_{+ (}₋₂₎2_{= 4, ent˜ao}

                  

cosθ0·cosβ0 =

x ρ =

−√3 4

senθ0·cosβ0 =

y ρ=

3 4

senβ0 =

z ρ=

−2 4 =−

(26)

Tendo em conta (1.16), desta ´utima equa¸c˜ao concluimos que β0 =− π

6, sendo

assim resulta

cosθ0·cos(− π

6) =−

√

3

4 ⇒ cosθ0 =−

1 2

⇒ θ0 =

2π

3

senθ0·cos(− π

6) = 3

4 ⇒ senθ0 = √

3 2

Sendo assim, temos

θ= 2π

3 + 2kπ, β=−

π

6 + 2k ′_π

Dado um n´umero hipercomplexow= (x, y, z), n˜ao nulo, podemos escrever

w= (ρcosθ0·cosβ0, ρsenθ0·cosβ0, ρsenβ0). Sendoρ >0, podemos reescrever,

w=ρ(cosθ0·cosβ0,senθ0·cosβ0,senβ0)

chamadaforma trigonométricadew. Na forma algébrica (equa¸cão (1.13), pág. 22):

w=  



ρ cosθ0·cosβ0+isenθ0·cosβ0+jsenβ0

, se senβ0 ≥0;

ρ cosθ0·cosβ0+isenθ0·cosβ0−j senβ0

, se senβ0 <0. (1.17)

(27)

1.7.1 Representa¸c˜

ao gr´

afica

As no¸cões de módulo e argumento tornam-se mais concretas quando repre-sentamos os números hipercomplexosw= (x, y, z) pelos pontos do espa¸coR3_,

com a conven¸cão de marcamos sobre os eixos0X,0Y e0Z, respectivamente, a parte real, a parte imaginária e a parte hiperimaginária dew.

Assim a cada n´umero hipercomplexow= (x, y, z) corresponde um ´unico pontoP do espa¸coX0Y Z, assim:

0 z

X x

Y y Z

P(x, y, z)

r ρ

ρ=√x2₊_y2₊_z2

r=√x2₊_y2

θ0 β0

0≤θ0<2π

−π

2≤β0≤

π

2

Note que a distância entrew= (x, y, z) e0= (0,0,0) é o módulo dew:

|w_|=px2₊_y2₊_z2₌_ρ

Nomenclatura:

X0Y Z = espa¸coR3_; 0X = eixo real;

0Y = eixo imagin´ario; 0Z = eixo hiperimagin´ario;

X0Y = plano complexo C_;

X0Z= plano hipercomplexo₋2D;

P = afixo de w.

Observa¸cão: Gráficamente a condi¸cãor=√a2₊_b2_{= 0 para}_w_{= (}_{a, b, c}₎

significa que este n´umero est´a localizado sobre o eixo0Z.

Desta forma as senten¸cas que definem o produto podem ser interpretadas como:

1a₎ _r

1 =r2 = 0. Neste caso w1 ew2 estão situados sobre o eixo 0Z. Isto é, dois hiperimaginários puro são multiplicados segundoD1.

2a₎ _r

1 = 0 e r2 6= 0. Neste caso w1 está situado sobre o eixo 0Z e w2 está situado fora deste eixo. Observe que as condi¸cões (D2) e (D3), para o produto, podem ser unificadas em uma única, onde fazemosr1 (our2) corresponder ao ponto que situa-se fora do eixo0Z.

3a₎ _r

(28)

Considere, novamente, o diagrama de Venn:

C

R

H₋2D H₋3D

A seguir colocamos em destaque uma vers˜ao geom´etrica,

Y Z

i

R

PlanoC

j

R

Y Z

Pl an

o

H−

2D

Vimos que emH_temos₋_w₆₌₋₁_·_w_{. Sendo,}

w= (x, y, z)

−w= (−x,−y,−z)

−1_·w= (₋x,₋y, z)

Geometricamente ₋w´e uma rota¸c˜aode 180o _{(em torno da origem) em}_w_;

(29)

Y Z

X

w

−w −1·w

Um problema cl´assico no contexto dos hipercomplexos

O fato de os hipercomplexos residirem em dimensão 3, enquanto os com-plexos em dimensão 2 isto, naturalmente, se reflete na (re) solu¸cão de ummesmo problema trabalhado em um ou outro destes espa¸cos. Vejamos um exemplo do que estamos falando. Vamos resolver o clássico,

Problema: Separar o n´umero 10 em duas partesxeytais que o produto destas

seja 40.

Solu¸c˜ao: Devemos resolver o seguinte sistema,

(

x+y= 10 (1.18)

x_·y= 40 (1.19)

1o_{) Resolu¸c˜}_{ao no}_universo_C_.

Tirandoy na primeira equa¸c˜ao e substituindo na segunda, obtemos:

x_· 10 + (₋x)= 40

Aplicando a propriedade distributiva e associativa temos 10x−x2 _{= 40, ou}

ainda,

x2₋₁₀_x_{+ 40 = 0. Sendo assim, temos}

x= −(−10)± p

(₋10)2₋₄_·₁_·₄₀

2 = 5±

√ −15

Sendo assim, emC_{, temos uma}_´_unica_solu¸c˜_{ao para este problema:}

X Y

x=5+i√15

y=5−i√15 5

p

x= 5 +i√15

(30)

2o_{) Resolu¸c˜ao no}_universo_H_.

Aqui vamos fazer uma mudan¸ca de nota¸c˜ao, (

x′+y′= 10 (1.20)

x′·y′= 40 (1.21)

Tirandoy′ _{na primeira equa¸c˜}_{ao e substituindo na segunda, obtemos:}

x′_· 10 + (₋x′)= 40 (1.22) Observe que emH_n˜_{ao podemos aplicar, na equa¸c˜}_{ao acima, a propriedade} distri-butiva da multiplica¸cão em rela¸cão à adi¸cão. Devemos proceder assim: fa¸camos

x′ _{= (}_{x, y, z}_{). Substituindo em (1.22), resulta (}_{x, y, z}₎_· _{10 + (}₋_x,₋_y,₋_z₎₌ 40, de outro modo,

(x, y, z)·(10−x,−y,−z) = 40

Inicialmente observamos que este problema s´o tem solu¸c˜ao se considerar-mosr1 =

p

x2₊_y2₆_{= 0 (por que?). Sendo assim calculemos o produto anterior}

emD4:

x_·(10₋x)₋y_·(₋y)_·γ, x_·(₋y) + (10₋x)_·y_·γ, z_·r2+ (−z)·r1

= 40

onde,r1= p

x2₊_y2_,_r

2 =

p

(10₋x)2₊_y2 _e _γ_{= 1 +}_z2_/₍_r

1·r2). Sendo assim, montamos o seguinte sistema

          

         

(10x−x2+y2)·1 + z

2

r1·r2

= 40 (1.23)

(₋2xy+ 10y)_·1 + z

2

r1·r2

= 0 (1.24)

z·(r2−r1) = 0 (1.25) De (1.23) e (1.24) concluimos que₋2xy+ 10y= 0, ou ainda (₋x+ 5)_·y= 0. Desta equa¸c˜ao tiramosy= 0oux= 5. Ent˜ao:

I) x= 5 _⇒

 



r1 =r2 = p

y2_{+ 25}

γ= 1 +_y2z₊₂₅2

As equa¸c˜oes (1.24) e (1.25) est˜ao satisfeitas, resta satisfazer (1.23):

(10_·5₋52+y2)_·1 + z

2

25 +y2

= 40

Donde,

y2+z2= 15 (cilindro) Logo,

(x= 5 ) | {z } plano

∩(y2+z2= 15 )

| {z }

cilindro

(31)

II) y= 0 ⇒

 



r1 =|x|, r2 =|x−10|

γ= 1 +_|_x_|·|z_x2₋₁₀_|

A equa¸c˜ao (1.24) est´a satisfeita, resta satisfazer (1.23) e (1.25):

(10x₋x2+ 02)_·1 + z

2

|x_{| · |}x₋10_|

= 40

z_{· |}x_{| − |}x₋10_|= 0

Desta última equa¸cão concluimos quez= 0 ou _|x_{| − |}x₋10_|= 0. Sez= 0, na primeira equa¸cão obtemos 10x₋x2_{= 40, a qual n˜}_{ao tem solu¸cão (porquanto}_x

deve ser real). Se_|x_{| − |}x₋10_|= 0, resultax= 5; volta ao primeiro caso. Deste modo existem infinitas solu¸c˜oes para o nosso problema, todas da forma,

x′= (5, y, z), y′= (5,₋y,₋z), onde y2+z2= 15.

Tomando, por exemplo,z= 0, obtemosy= _±√15. Como as solu¸c˜oes s˜ao “conjugadas”, resulta:

x′= ( 5, √15,0 ), y′= ( 5,₋√15,0 ) que ´e a solu¸c˜ao complexa.

Tomando, por exemplo,y= 0, obtemosz= _±√15. Como as solu¸c˜oes s˜ao “conjugadas”, resulta:

x′= ( 5, 0,√15 ), y′= ( 5,0,−√15 ) que ´e a solu¸c˜ao hipercomplexa (2−D) (ver [5]).

A equa¸c˜aoy2₊_z2_{= 15 representa um}_cilindro _em_R3_{, a interse¸c˜ao deste}

cilindro com o plano x = 5 nos d´a um c´ırculo (eq. (1.26)), onde moram as infinitas solu¸c˜oes do nosso problema. Geometricamente temos,

X

Y Z

x′

y′

5

X

Y Z

5

(32)

Multiplica¸c˜ao na forma trigonom´etrica

Veremos a seguir que a multiplica¸cão na forma trigonométrica se apre-senta de forma mais simples (e mais estética) que na forma retangular e, o que é melhor, nos possibilita dar uma interpreta¸cão geométrica ao produto hiper-complexo, o que aumentará, substancialmente, o espectro de aplica¸cões destes números.

Proposi¸cão 5. Dois números na forma trigonométrica,

w1=ρ1(cosθ1·cosβ1,senθ1·cosβ1,senβ1)

onde cosβ1≥0 e cosβ2 ≥0, s˜ao multiplicados da seguinte forma:

w1·w2 =ρ1ρ2 cos(θ1+θ2)·cos(β1+β2), sen(θ1+θ2)·cos(β1+β2), sen(β1+β2)

Prova: Apˆendice, p´ag. 140

Notas:

1a_{) Uma observa¸c˜}_{ao importante a respeito desta proposi¸c˜}_{ao ´e que, para}

qual-quer n´umero do eixo0Z (β = π

2+k π, k∈Z) devemos tomarθ= 0 e β=

π

2

ouθ= 0 eβ=₋π

2, antes de fazer a multiplica¸c˜ao.

Uma vez que pontos do eixo OZ têm θ indeterminado, estamos “levan-tando” esta indetermina¸cão convencionando que θ = 0, não há nenhum mal nisto, desde que estejamos todos de acordo.

2a_{) Para deduzir esta f´}_{ormula para a multiplica¸c˜}_{ao supomos cos}_β

1 ≥ 0 e

cosβ2 ≥ 0; esta não é uma restri¸cão séria tendo em conta que qualquer hi-percomplexowpode ser escrito com cosβ_≥0 (ver (1.15), pág. 23).

3a_{) Observe outrossim que, enquanto a multiplica¸c˜}_{ao em coordenadas}

retangu-lares (defini¸cão) é dada em quatro senten¸cas, na forma trigonométrica é dada em apenas uma. Isto se deve à restri¸cão referida na nota anterior.

Corolário 2. O módulo do produto de dois números hipercomplexos é igual ao

produto dos m´odulos dos fatores. Isto ´e,

|w1·w2|=|w1| · |w2|

Prova: Basta ter em conta que, para quaisquer ˆangulosλeγ, temos:

p

(cosλcosγ)2_{+ ( sen}_λ_cos_γ₎2_{+ ( sen}_γ₎2_{= 1}

Proposi¸cão 6. Dois números na forma trigonométrica,

onde cosβ1≥0 e cosβ2 ≥0, s˜ao divididos da seguinte forma:

w1

w2 =ρ1

ρ2

(33)

Prova: Provamos esta proposi¸c˜ao utilizando a anterior. Pois bem, tendo em conta (1.14) (p´ag. 23) escrevemos

w−₂1= 1

ρ2

cosθ2·cosβ2,−senθ2·cosβ2,−senβ2

= 1

ρ2

cos(₋θ2)·cos(−β2), sen (−θ2)·cos(−β2), sen (−β2)

Realizando o produtow1·w−

1

2 de acordo com a proposi¸c˜ao 5, temos o resultado

desejado.

Corolário 3. O módulo do quociente de dois números hipercomplexos é igual

ao quociente dos m´odulos dos hipercomplexos. Isto ´e,

w1

w2 =|

w1|

|w2|

Prova: Basta ter em conta que, para quaisquer ˆangulosλeγ, temos:

p

(cosλcosγ)2_{+ ( sen}_λ_cos_γ₎2_{+ ( sen}_γ₎2_{= 1}

1.8 Potencia¸c˜

ao

Defini¸cão 7. Sejam w um número hipercomplexo e n um número natural.

Potência de basew e expoentené o número wn _{tal que:}

(

w0_{= 1;}

wn ₌_wn−1

·w, _∀n, n_≥1.

Desta defini¸c˜ao decorre que:

w1=w0_·w= 1_·w w2=w1_·w=w_·w w3=w2·w= (w·w)·w w4=w3_·w=(w_·w)_·w_·w

Proposi¸cão 7. A seguinte identidade é válida

jn= (

−1, se n ´e par;

j, se n ´e ´ımpar.

Prova: Indu¸c˜ao sobren.

1o₎ _n_par.

(34)

validade da mesma para n=k, isto ´e,jk ₌

−1. Mostremos que a proposi¸cão continua válida para o próximo parn=k+ 2:

jk+2= (jk·j)·j= (−1·j)·j =j·j=j2=−1

2o₎ _n_{´ımpar. An´}_alogo.

Lema 1. Se w= (x, y, z)ent˜ao,

w2₌

  

 

(₋z2_,₀_,₀₎_, _se _x₌_y_{= 0;}

(x2₋_y2₎_· ₁₋ z2 x2₊_y2

,2x y· 1− z2 x2₊_y2

,2zpx2₊_y2_, _se _x₆_{= 0} _ou _y₆_{= 0}_.

Prova: Sejaw= (x, y, z). Para calcularw_·w, temos duas alternativas,

1a₎_r₌p_x2₊_y2_{= 0 (}_x₌_y_{= 0). Deste modo calculamos o produto em (}_D

1)

(p´ag. 8),w_·w= (₋z_·z,0,0).

2a)r=px2₊_y2₆_{= 0. Deste modo calcule o produto em (}_D

4).

Como exemplo, calculemos (i+j)2_{. Temos}

i+j= (0,1,0) + (0,0,1) = (0,1,1) ⇒ x= 0, y= 1, z= 1.

Sendo assim, temos

(i+j)2=(x2−y2)· 1− z 2

x2₊_y2

,2x y· 1− z 2

x2₊_y2

,2zpx2₊_y2

=(02₋12)_· 1₋ 1

2

02_{+ 1}2

,2_·0_·1_· 1₋ 1

2

02_{+ 1}2

,2_·1p02_{+ 1}2

= (0,0,2) = 2j

Exerc´ıcio: Sejaw_∈H_{, mostre que}_w_·₍₋_w₎_∈C_.

Dadow= (x, y, z)_∈H_{observamos que a}_cota _de_w2 _{tem o mesmo sinal} dez. Isto significa que ao multiplicarmos um hipercomplexo por ele mesmo o resultado permanece no mesmo semi-espa¸co (z > 0 ou z < 0) de w. Vamos mostrar que isto vale para qualquer potˆencia dew.

Proposi¸c˜ao 8. Sejaw= (x, y, z)_∈H_{. Temos,}

Se wn _{= (}_x′_{, y}′_{, z}′₎_{, ent˜}_{ao sign}₍_z′_{) =} _sign₍_z₎_, _∀_n_≥₂_.

Prova: Indu¸c˜ao sobren. Para n = 2 a proposi¸c˜ao decorre do lema (1).

Suponhamos a proposi¸c˜ao verdadeira paran=k. Isto ´e,

wk = (a, b, c), onde sign (c) = sign (z) (hipótese de indu¸cão) E mostremos que vale paran=k+ 1. Isto é,