UFABC – UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

(1)

! " # $ %$% ! "

& '(()(*

!"#$

% & '( '

#)# *+*, $ (

(2)

12 .

(

3 (

((((

))))

u

====

u x , y , z

((((

))))

v

====

v x , y , z

((((

))))

w

====

w x , y , z

u

d

v

w

 

 

(3)

12

# 4 ( , 4 '4 ( 5 6 ( , ( 1- 7

1 2 . ( . , 8

( 1- , 5 5 . ( , ' 9

((((

s

))))

ds

∗∗∗∗

=

ds 1

+

εεεε

s

A B

AB

ds

AB

ds

(4)

12

st

C AB

2

2 π

π

γ

α

γ

α

γ

α

(5)

12 * :

12 1-

(

.

'

x

u

x

εεεε

====

∂∂∂∂

y

v

y

εεεε

====

∂∂∂∂

z

w

z

εεεε

====

∂∂∂∂

xy

u

v

y

x

γγγγ

=

∂

+

∂

xz

u

w

z

x

γγγγ

=

∂

+

∂

yz

v

w

z

y

γγγγ

=

∂

+

∂

(6)

; <

12

12 [[[[ ]]]]

xyx xyy xzyz

xz yz z

ε

 

 

 

 

 

 

====  

 

 

 

 

_ _

 

 

xy

xy yx

xz xz zx

yz yz zy

2

γγγγ

ε

γγγγ

ε

γγγγ

ε

= =

== ==

= =

== ==

= =

+

.

12 1-

6

(7)

1-x y

z

x y

z

xx

αααα

x y

αααα

xz

αααα

(((( ))))

_yx 2

cos

αααα

====

l

(((( ))))

_{y y} 2

cos

αααα

====

m

(((( ))))

_yz 2

cos

αααα

====

n

(((( ))))

_xx 1

cos

αααα

====

l

(((( ))))

_{x y} 1

cos

αααα

====

m

(((( ))))

_xz 1

cos

αααα

====

n

(((( ))))

_zx 3

cos

αααα

====

l

(((( ))))

_{z y} 3

cos

αααα

====

m

(((( ))))

_zz 3

cos

αααα

====

n

(

(8)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x _l _m _n _x

y l m n y

l m n z

z         ____ ____{  }_{ }_{ }_{ }                          ====               ____ ____                ____ ____{  }                             

i _ij _j

v

====

ββββ

v

1 2 3

x

x l l l

y m m m y

z n n n _z

                                            ____ ____  ====               ____ ____                ____ ____           _{  }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }

<

1-5

<

.

2 2 2

k k k

l ++++ m ++++ n ==== 1

{{{{

k ==== 1, 2 , 3

}}}}

k l k l k l

l l ++++ m m ++++ n n ==== 0

{{{{

k ≠≠≠≠ l

}}}}

12 (

(9)

12

:

1 2 3

x

x l l l

y m m m y

z n n n _z

                                            ____ ____  ====               ____ ____                ____ ____           _{  }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }_{ }

1 1 1

2 2 2

3 3 3

u _l _m _n _u

v l m n v

l m n w

w         ____ ____{  }_{ }_{ }_{ }                       ____ ____  ====               ____ ____                ____ ____{  }                               x

u

x

εεεε

====

∂∂∂∂

x

u

x

εεεε

====

∂∂∂∂

x

1 1 1

u

u x

u

y

u

z

x

y

z

x

u

l

m

n

x

y

z

εεεε

=

∂

=

∂ ∂

+

∂ ∂

+

∂ ∂

=

(10)

12

x

1 1 1

u

u x

u

y

u

z

x

y

z

x

u

l

m

n

x

y

z

εεεε

=

∂

=

∂ ∂

+

∂ ∂

+

∂ ∂

=

∂

=

+

=

+

=

+

∂

1 1 1

u ==== l u++++ m v ++++ n w

((((

1 1 1

))))

1

((((

1 1 1

))))

1

((((

1 1 1

))))

1

x l u m v n w l l u m v n w m l u m v n w n

x y z

εεεε

==== ∂∂∂∂ ++++ ++++ ++++ ∂∂∂∂ ++++ ++++ ++++ ∂∂∂∂ ++++ ++++

∂ ∂ ∂

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x

1 1 1 1 1 1

u v w u v w

l l m l n l l m m m n m

x x x y y y

u v w

l n m n n n

z z z

εεεε

==== ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

+ + +

∂ ∂ ∂

(11)

12

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x

1 1

u v u w u v w v

l l m l n l m m n m

x x y x z y y z

w

n n

z

εεεε

==== ∂∂∂∂ ++++  ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++  ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++  ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ++++

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ____ ∂ ∂ ____  ∂ ∂  ∂ ____ ∂ ∂ ____ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

(((( ))))

1 x 1 1 1 xy 1 1 xz 1 y 1 1 1 xz 1 z 1

x l l m l n l m m n m n n

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

====

ε

++++

γ

++++

γ

++++

ε

++++

γ

++++

ε

{{{{

}}}}

xy xz xy xz xz xz 2 2 x ₁ 2 2

1 1 1 y 1

x

1

2 2 z

l

l m n m

n γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ γ γ γ γ γ γ γ γ

εεεε

ε

εεεε

       _{  }___ ___        _{ }___ ____ ====                                       #. ( . ( .

( . 12

(12)

12

xy xz xy xz

xy yz xy yz

yz xz

T

2 2 _x 2 2

x ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ ₃

2 _y 2 1 2 3 2 y 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

2 2 _z

l l l l l l

m m m m m m

n n n n n n

γγγγ γγγγ _γγγγ _γγγγ

γ γ

γ γ _γ_γ_γ_γ _γ_γ_γ_γ

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

εεεε

_εεεε

ε

(13)

>

12 ( .

12 (((( ))))

3

(((( ))))

2

1 2 3

I I I 0

ε

−−−−

ε

++++

ε

−−−− ====

< ( ? 2 , .

1- = @ 12

A 12 . ( . B 1- 7 6 1- 4

A / , 12

. ( . . ( . 1- B #

12 . (C ( 12

-12 . ( . ( ( ? ,

6 1- ( ( C ( 91 2 3

, ,

(14)

1 2 3

I , I , I

- (0

5 1- ,

.

-

8 (

1- 6

.

(

,

-

. 9

((((

))))

1 x y z

I ====

ε

++++

ε

++++

ε

yz

xy _xz

xz

xy _yz

2

2 y

x _x 2

2

2 z

2 _y ₂ _z

I

γγγγ

γγγγ _γγγγ

γγγγ

γγγγ _γγγγ

εεεε

_εεεε

εεεε

_εεεε

= + +

== ++ ++

= + +

xy xz

xy yz

yz xz

2 2

x

2 2

3 y

2 2 _z

I

γγγγ γγγγ

γ γ

γγ γγ

γ γ

γγγγ γγγγ

εεεε

====

(15)

12 ( . D ! 5 8 ( 0 ( 12 . ( . ,

. ( 12 . ( . 9

1

εεεε

((((

))))

₍₍₍₍

₎₎₎₎

((((

))))

x 1 xy xz

1

yx y 1 yz 1

1

zx zy z 1

2 _l

2 m 0

n 2

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε ε

γ

ε ε

γ

ε ε

 

 ₋₋₋₋  _ _

 

 

 

 _{  }___ ___

 

 ₋₋₋₋ ____ ____ ₌₌₌₌

 

 _{ }___ ____

 

 

 

−−−−

 

 

6 12 - . # , 4

( ?

1-2 2 2

1 1 1

l ++++ m ++++ n ==== 1

(16)

12 E( 4

(

# ?

2 ( 4

(

((((

))))

oct 1 2 3

1 3

ε

ε ε

ε

ε ε

ε

ε ε

ε

====

ε ε

++++ ++++

ε

((((

))))

((((

)))) ((((

))))

oct

1

2 2 2 ₂

1 2 1 3 2 3

2 3

γ

ε ε

ε

γ

ε ε

ε

γ

ε ε

ε

γ

==== ____

ε ε

−−−− ++++

ε ε

−−−− ++++

ε

−−−−

ε

____

(17)

12 F 6

12

5 )

G

H

8

I ( , = J ( 1- 2

12 . ) G H 8 ( = ,

1- . 1- 9

x x

x

x E

E

σσσσ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

==== ⇒⇒⇒⇒

σ

₌₌₌₌

ε

E

K

(

( , ( 5 9

{{{{ }}}}

σ

====

[[[[ ]]]]

D

{{{{ }}}}

ε

{{{{ }}}}

σσσσ

( . 2

{{{{ }}}}

εεεε

( . 12

(18)

12

1- 6 ( ( .

- ( 1- .

( C . (0

6 12 . 6 ( .

, ( ( . - 4

( (

( .

1-{{{{ }}}}

σ

====

[[[[ ]]]]

D

{{{{ }}}}

ε

[[[[ ]]]]

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

D D D D D D

D

D D D D D D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

====  

 

 

 

 

 

 

 

 

_ _

 

 

( , 9

*> ( ( ? (

( .

0 . 0

- .

(L (

(19)

12 [[[[ ]]]]

11 12 13 14 15 16

22 23 24 25 26

33 34 35 36

44 45 46

55 56

66

D D D D D D

D D D D D

D D D D

D

D D D

D D

SIM D

 

 

====  

 

 

< $ A ( . ( ' 0 B . = . 9

12 21

D

====

D

< ( C ( . (

# @ . @ ( = 89

(20)

12 [[[[ ]]]]

11 12 13

12 22 23

13 23 33

44

55

66

D D D 0 0 0

D

0 0 0 D 0 0

0 0 0 0 D 0

0 0 0 0 0 D

 

 

====  

 

 

# 8 ( 6 ( ? (

/ ' . (

1--

1-M ( . ( 6 ( . 2

(21)

(22)

12

# ( 1- . . 8 J

( . . . # , ?

4 12 . ( ( 5 ( 0 , .

' ( 12 = ( ( 9

22 33 11

D ==== D ==== D

13 23 12

D ==== D ==== D

((((

11 12

))))

44 55 66

D D

D D D

2

−−−− = = =

== == == = = =

14 15 16 24 25 26 34 35 36 45 46 56

(23)

12 [[[[ ]]]]

((((

))))

((((

))))

((((

))))

11 12 12

12 11 12

12 12 11

11 12

D D D 0 0 0

D D

0 0 0 0 0

D ₂

D D

0 0 0 0 0

2

D D

0 0 0 0 0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−−−−

 

 

 

 

 

====

 

 

 

−−−−

 

 

 

 

 

 

 

−−−−

 

 

 

 

_ _

 

(24)

N

# +,

$

,

- .

/ +,

!

%/

/ $

# $ 0! "

"

$1/ -% "

$

#2 $ "

- !

-

$ 3

N

"

$

$ #2 $ " ! - /

!

4 /!#

/0-%#

- 5 %

6% "

$

-

- / $

#3

N

"

$

#2 $ " ,

7$ -

!

$

-

/ "8 " - / $

#9

(25)

12

) G H 8 . 0 @ . 9

((((

))))

x

x y z

E E

σσσσ νννν

ε σ σ

εε σσ σσ

ε ==== −−−− σ ++++σ

((((

))))

y

y x z

E E

σσσσ _νννν

ε σ σ

εε σσ σσ

ε ==== −−−− σ ++++σ

((((

))))

z

z x y

E E

σσσσ νννν

ε σ σ

ε ==== −−−− σ ++++σ

xy xy G ττττ γγγγ ==== xz xz G ττττ γγγγ ==== yz yz G ττττ γγγγ ====

=. ( 2 , 9

((((

E

))))

G

2 1 νννν

====

++++

x 1 x

E

I 1 1 2

νννν

σ ε

σσ εε

σ ε ν ν ν ν ν ν ν ν       = + = + = + =  +  + − + − + − +  − 

y 1 y

E

I 1 1 2

νννν σ ε σ ε σ ε σ ε ν ν ν ν ν ν ν ν         = + = + = + = ₊  ₋ +  ++ −− +  − 

z 1 z

E

I 1 1 2

νννν σ ε σ ε σ ε σ ε ν ν ν ν ν ν ν ν         = + = + = + =  +  + − ++ −− +  − 

xy G xy

τ γ

ττ γγ

τ ==== γ

xz G xz

τ γ

ττ γγ

τ ==== γ ττττyz ====Gγγγγ yz

1 x y z

(26)

12

) G H ( ) 49 λλλλ −−−−_G

x I1 2G x

σ λ ε

σ ==== λ ++++ ε

y I1 2G y

σ λ ε

σ ==== λ ++++ ε

z I1 2G z

σ λ ε

σ ==== λ ++++ ε

xy G xy

τ γ

τ ==== γ

xz G xz

τ γ

τ ==== γ ττττyz ====Gγγγγ yz

((((

1

))))((((

E1 2

))))

νννν λλλλ

ν ν

νν νν

ν ν

====

+ − ++ −− + −