Solução de Blasius para a equação da camada limite laminar para placa plana com dp e /dx=0. Solução de Blasius para a equação da camada

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2004 Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST

Equações de camada limite laminar 2D delgada (δ<<x) para placa plana:

2 2 y u y u v x u u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ _ν 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u

Condições de fronteira: y=0 u=v=0

y= u=U

Hipótese de Blasius: f( )η com Uu =

A introdução de corresponde a reconhecer que o perfil de velocidades adimensional está estabilizado.

n

x Ay

=

η

A e n são parâmetros a determinar.

Solução de Blasius para a equação da camada limite laminar para placa plana com dp_e/dx=0

Nota: e y x A y n η η ₌ ₌ ∂ ∂ η _η x n y x nA x =− n =− ∂ ∂ +1

(2)

e

Procedimento:

oUtilizar a função corrente:

y u ∂ Ψ ∂ = x v ∂ Ψ ∂ − = oNota: y y d d ∂ ∂ ∂ Ψ ∂ = Ψ η η u x_A Uf( )x_A n n η = = ( )η F ( )η dη f A x U n = Ψ

o Substituir u/U=f( ) e na equação da CL, escolher n de modo a que a equação resultante não dependa de x e A de modo a simplificar a equação.

x v=−∂Ψ ∂

Obtém-se: 0 2 1 2 = ′′ + ′′′ − FF A Unx F n ν 2 2 y u y u v x u u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ _ν ( )x,0 =0 u ( )x,0 =0 v ( ) Condições fronteira:

o Tomando n=1/2 e simplifica a equação para:A= U ν

( ) ( ) ( ) 0 2F ′′′η +F η F′′η = x U y ν η= com ( )0 =0 ′ F U F′( )0 =0 ( ) ( )

[

F η −ηF′η

]

_η₌₀ =0 F( )0 =0 ( ) ( )

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2004 Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST Solução: 0 0 0,3321 1 0,3298 0,323 2 0,6298 0,2668 3 0,8461 0,1614 4 0,9555 0,0642 5 0,9916 0,0059 6 0,999 0,0024 7 0,999 0,0002 8 1 0,0001 x U y ν η= F( )η U u ₌ _′ _{( )} η F ′′ 0 0,4 0,8 1,2 0 2 4 6 8 10 x U y ν η=

( )

η F U u ₌ _′

( )

η F ′′ Solução:

0 0 0,3321 1 0,3298 0,323 2 0,6298 0,2668 3 0,8461 0,1614 4 0,9555 0,0642 5 0,9916 0,0059 6 0,999 0,0024 7 0,999 0,0002 8 1 0,0001 x U y ν η= F( )η U u ₌ _′ _{( )} η F ′′

( )

0 F x U U ′′ = ν µ ( ) Re 664 , 0 0 2 _′′ ₌ = F Ux ν 0 0 = ∂ ∂ = y y u µ τ

oTensão de corte na parede

2 0 2 1 U f

c

ρ τ

=

o Coeficiente de atrito

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2004 Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST Solução: e 0 0 0,3321 1 0,3298 0,323 2 0,6298 0,2668 3 0,8461 0,1614 4 0,9555 0,0642 5 0,9916 0,0059 6 0,999 0,0024 7 0,999 0,0002 8 1 0,0001 x U y ν η= F( )η U u ₌ _′ _{( )} η F ′′ dx D L o = τ₀ oForça de resistência L D L U D C Re 328 , 1 2 1 2 = = ρ o Coeficiente de resistência ν UL L = Re

( )

0 2 1 _F L U U ′′ = ν µ Solução:

(

y

)

U u =δ =0,99 oEspessura da CL 0 0 0,3321 1 0,3298 0,323 2 0,6298 0,2668 3 0,8461 0,1614 4 0,9555 0,0642 5 0,9916 0,0059 6 0,999 0,0024 7 0,999 0,0002 8 1 0,0001 x U y ν η= F

( )

η U u ₌ _′ _{( )}_η F ′′ L Ux x Re 5 5 ₌ = ν δ =5

( )

0 1,8% 5 = ′′ ′′ = F F τ τδ oTensão de corte em y=

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2004 Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST Espessura de deslocamento: ₌ ₍ ₋ ₎ 0 1 dy u U U d δ ( − ) ≅ δ δ 0 1 _U _u _dy U d = − δ δ δ 0 udy U U d U ( ) ∞ − 0 dy u U Caudal para

fluido invíscido Caudal real Déficit de caudal devido à

redução de velocidade na CL.

Espessura de deslocamento: = ∞( − ) 0 1 _U _u _dy U d δ ( − ) ≅ δ δ 0 1 _U _u _dy U d = − δ δ δ 0 1 _udy U d Afastamento inicial da LC d q/U _LC

(6)

e Valor da solução de Blasius para a espessura de

deslocamento: x d x Re 72 , 1 = δ d q/U _LC ν Ux x = Re com 334 , 0 = δ δd ou

Espessura de quantidade de movimento:

( ) ∞ − = 0 2 1 _U _u _udy U m δ ( − ) ≅ δ δ 0 2 1 _U _u _udy U m ( ) U δ −δ = ( ) U dy u δ δ δ δ − − = 2 2 m U udy U dy u δ δ δ 2 0 0 2 ₌ ₋ − = δ δ δ 0 2 0 2 _U _udy _u _dy U _m

(7)

Caudal de quantidade de movimento através duma

secção da CL: m d qm u dy U U U q _x ρ ρ δ ρ δ ρ δ δ 2 2 2 0 2 ₌ ₋ ₋ = Caudal de q.m. com perfil uniforme (ρUδ) U Redução devido ao déficit de caudal ( U d) U ρ δ Redução devido ao déficit de q.m. na C.L. ( U m) U ρ δ

Valor da solução de Blasius para a espessura de

quantidade de movimento: x m x Re 664 , 0 = δ ν Ux x = Re com 133 . 0 = δ δm ou

(8)

Conceitos:

– Solução de Blasius para CL laminar com gradiente de pressão nulo;

– Número de Reynolds local; – Número de Reynolds global; – Espessura de deslocamento;

– Espessura de quantidade de movimento.

e

Bibliografia:

– Sabersky – Fluid Flow: 8.3, 8.4

– White – Fluid Mechanics: 7.4 (sem método de Thwaites)