Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 TECNOLOGIAS DIGITAIS E PERCEPÇÃO DA REALIDADE:
CONTRIBUIÇÕES PARA A MODELAGEM MATEMÁTICA
Rodrigo Dalla Vecchia Universidade Luterana do Brasil (ULBRA)
rodrigovecchia@gmail.com
Marcus Vinicius Maltempi Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP)
maltempi@rc.unesp.br
Resumo: Assumindo que, de modo geral, a Modelagem Matemática é vista como se referindo a um problema e a essência dessa tendência parece se dar quando o “lugar” desse problema é a realidade, colocamos em evidência dois elementos que se destacam: problema e realidade. Apesar de adotarmos uma concepção de problema, daremos ênfase na discussão da realidade, que historicamente sempre constituiu um ponto intrigante para filosofia. Essa temática ganha relevância principalmente com o advento das tecnologias da informação e comunicação (TIC), nas quais a idéia de realidade adquire pluralidade, sendo comum a presença de adjetivações para representá-la, tais como, realidade do mundo cibernético, hiperrealidade, realidade aumentada etc. Nesse contexto, trataremos de uma concepção de real que comporta adjetivações, focando nossa atenção na realidade do mundo cibernético e nas características que lhe são específicas, tais como percepção de tempo e espaço. A partir disso, iniciaremos uma discussão voltada para as conseqüências desses elementos para a Modelagem Matemática na Educação Matemática. Em particular, apresentaremos um experimento ocorrido em sala de aula, que permitirá focarmos nas questões relacionadas ao tempo.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Realidade do mundo cibernético; Tecnologias digitais.
INTRODUÇÃO E OBJETIVO
Várias são as pesquisas em Educação Matemática que abordam o ensino e aprendizagem da Matemática por meio da Modelagem Matemática. Apesar de o rótulo Modelagem Matemática estar presente em várias publicações, as concepções e entendimentos acerca dessa tendência de pesquisa em Educação Matemática possuem elementos que diferem entre si.
Para iniciar a discussão abordaremos não os elementos que se diferenciam, mas sim os que se assemelham. Nesse sentido, Vecchia e Maltempi (2009), ao fazerem uma análise de diferentes concepções destacam dois pontos importantes que perpassam as diferentes
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 concepções sobre o que os pesquisadores entendem ser a Modelagem Matemática, no campo da Educação Matemática. O primeiro deles consiste no problema e segundo está relacionado ao real e realidade.
A ênfase nesses dois temas se dá ao se defender que, de um modo geral, a Modelagem Matemática se refere a um problema e a essência dessa tendência parece se dar quando o “lugar” desse problema é a realidade. Nossa conjectura é que diferentes perspectivas relacionadas a esses dois elementos podem contribuir para diferentes entendimentos sobre Modelagem Matemática. Nesse sentido, Araújo (2002) apresenta argumentações de como escolas filosóficas como o Platonismo e o Formalismo influenciam as concepções teóricas e práticas da Modelagem Matemática, corroborando, sob certos aspectos, nossa conjectura.
Para a noção de problema, adotaremos as idéias de Dewey (apud ABBAGNANO, 2007) e de Deleuze (1988). Segundo Abbagano (2007, p. 935), Dewey defendia a idéia de que “[...] problema é a situação que constitui o ponto de partida de qualquer indagação, ou seja, a situação indeterminada”. Nessa citação é possível perceber que o autor coloca o problema como anterior à indagação e, conseqüentemente, anterior à proposição que o represente. Deleuze (1988) também defende a idéia de distanciamento entre proposição e problema. Por entender que a proposição que determina o problema já conduz a um conjunto de possibilidades, associa a proposição a um conjunto de “respostas”. Para ele o problema é universal, isto é, “[...] não é a solução que confere sua generalidade ao problema, mas o problema que confere sua universalidade à solução (DELEUZE, 1988, p. 265). A refutação de uma associação biunívoca entre problema e preposição traz como conseqüência que a solução não elimina o problema. A constituição de uma resolução não significa que o problema deixa de existir: “A descoberta de um medicamento que cure uma doença é a solução de um problema, mas nem por isso o problema está eliminado, pois a doença continuará a ocorrer.” (ABBAGNANO, 2007, p. 235).
De forma sucinta, assumimos que o problema constitui o ponto inicial da indagação. Dessa maneira, entendemos que o problema está muito além de sua(s) solução(ões), não sendo eliminado pela(s) mesma(s). Nesse sentido, descartamos totalmente a possibilidade de confundi-lo com a dúvida e com a pergunta, pois para o referencial que adotamos, a dúvida é substituída pela crença ao ser resolvida, enquanto que a pergunta, ao ser respondida, perde seu significado.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3 No que diz respeito ao real, assumiremos a perspectiva dada por Bicudo (1999, p. 31) que entende o real como
“[...] um todo dinâmico, temporal, histórico, percebido no encontro homem-mundo, não separado daquele que o percebe, que dele fala e que o interpreta, construindo uma rede de significados na intersubjetividade, ao partilhar vivências e comunicar interpretações.
Assumindo essa concepção nos colocamos em consonância com a ideia de problema. De fato, ao compreender o dinamismo da realidade, não separando o mundo daquele que o percebe, damos ao problema um caráter intersubjetivo, isto é, está associado à nossa vivência, à nossa percepção, sujeito, portanto, à proposição que o representa. Ao entendermos que existe uma intersubjetividade nessa percepção, entendemos também que a relação entre o problema e a proposição não se dá de forma biunívoca, isto é, o problema não é a proposição, uma vez que existe uma subordinação à vivência do homem-mundo.
Defendidas as concepções de real e de problema que norteiam nosso trabalho e evidenciados os pontos que associam as duas idéias, nos aprofundaremos na discussão acerca do real e da realidade. Conforme Abbagnano (2007), a concepção de real, sob o ponto de vista histórico-filosófico, gerou controvérsias, críticas e construções, dadas pelos problemas que envolveu. Nesse universo, o que se revela é a natureza delicada do real que, principalmente com o advento das tecnologias, se potencializa, gerando adjetivações, como por exemplo: realidade do mundo cibernético1, hiperrealidade, realidade aumentada etc.
Voltando nossa atenção ao contexto da Modelagem Matemática, adotamos uma postura de defender que esta abarca o real com suas adjetivações, sendo factível pensar em uma “multiplicidade” de realidades. Evidentemente, cada adjetivação confere peculiaridades, havendo distinções qualitativas. Nesse sentido, daremos nas próximas seções um enfoque na realidade do mundo cibernético, visando apresentar os elementos que a caracterizam e a diferenciam. Com o intuito de discutir possíveis contribuições para o campo da Modelagem Matemática, apresentaremos também uma situação de Modelagem Matemática ocorrida em sala de aula onde fatores que se mostraram importantes para o encaminhamento da investigação feita pelos alunos são específicos da realidade do mundo cibernético.
1 Optaremos, nesse artigo, por usar a expressão realidade do mundo cibernético para representar a
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 A REALIDADE DO MUNDO CIBERNÉTICO
Conforme explicitamos na seção anterior, tanto a ideia de problema assumida, quanto a ideia de realidade podem trazer conseqüências para a maneira como percebemos a Modelagem Matemática. Nessa seção focaremos apenas na questão da realidade2, em particular da realidade do mundo cibernético, procurando nos orientar pelos questionamentos: é possível considerar esse ambiente como sendo real? E se for real, quais os aspectos distintos que caracterizam e diferenciam essa realidade?
Para iniciar as argumentações, voltemos à ideia de real assumida. Não há um mundo separado do homem, mas sim, a perspectiva de homem-com-o-mundo, isto é, não se separa a realidade da dimensão humana. Segundo Bicudo e Rosa (2010) essa essência não se perde ao falarmos da realidade do ciberespaço. Na busca por uma associação entre a concepção de real com a realidade do mundo cibernético esses autores argumentam que esta última pode ser também compreendida como um modo de viver a vida na dimensão do humano. Para tanto, desenvolvem uma série de argumentos que envolvem as relações ocorridas no ciberespaço, como por exemplo, o relacionamento entre pessoas. Segundo eles, na realidade virtual existem relacionamentos abordando diferentes modalidades, que podem abranger aquelas comuns ao humanamente vivido. Nesse sentido complementam que estas relações “[...] conduzem a uma profunda percepção de si pela percepção do outro, visto como igual, encarnado, estando lá e eu aqui” (BICUDO e ROSA, 2010, p. 6). Com esses argumentos, se põem em consonância com sua visão de real, admitindo a realidade do mundo cibernético, não a separando da dimensão do humano.
Mas se este é o ponto de consonância, o que caracteriza a diferença, justificando a adjetivação? Para responder a esta pergunta, estes autores recorrem a dois argumentos: o tempo e o espaço. Em suma, diferenciam a realidade virtual do mundo físico concebido pela Física Clássica, tido como “[...] uma realidade em si, objetiva, onde estão colocadas as pessoas e as coisas e onde ocorrem os acontecimentos históricos e sociais” (BICUDO e ROSA, 2010, p. 8). Dessa forma, caracterizam o “onde”, diferenciando-o deste espaço:
[...] o onde do mundo cibernético não cabe nesse espaço [...] Não se trata de um espaço físico, que acolhe pontualmente pessoas e inter-relações, pois se expande por conexões que não se encaixam no gráfico cartesiano. São conexões velozes e que se bifurcam, criando outras conexões,
2 Acreditamos que existe uma forte relação entre problema e realidade. As conseqüências dessa
relação, bem como a estruturação detalhada de como podem influenciar na concepção de Modelagem Matemática fazem parte da pesquisa de doutorado que gerou esse artigo.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5 atingindo outros espaços físicos, gerando múltiplas possibilidades de relações, configurando realidades possíveis, projetadas, inventadas. (BICUDO e ROSA, 2010, p. 8)
Além da diferenciação do “onde”, existe a questão do tempo. Na perspectiva do mundo cibernético as interações podem ocorrer em um mesmo tempo, sendo denominadas síncronas, como também em tempos diferentes, chamadas de assíncronas. Nesse ambiente, os acontecimentos do mundo se atualizam em tempos, velocidades e instantes distintos ou não. São comumente citados pela literatura chats, onde pessoas de diversas partes do mundo dialogam em tempo presente, e e-mails, onde a cronologia do tempo é diferente, isto é, não acontece ao mesmo tempo.
Com esses argumentos, os autores concluem: “A concepção que vai aos poucos se formando é que se trata sim de uma realidade na qual o espaço é visto como sendo diferente daquele a que se está acostumado no cotidiano” (BICUDO e ROSA, 2010, p. 8). Sendo assim vemos que, de forma geral, a realidade do ciberespaço pode ser vista como uma realidade também vivida na dimensão do humano e que o que a diferencia da realidade física são as percepções de tempo e de espaço, respondendo assim as inquietações colocadas no início da seção acerca da realidade do mundo cibernético e de suas características. Entretanto, para os objetivos deste artigo resta ainda discutir aspectos relacionados ao contexto da Modelagem Matemática. Para tanto, apresentaremos uma situação investigada por estudantes em sala de aula, no qual alguns aspectos específicos do mundo cibernético se mostram preponderantes no ambiente de Modelagem Matemática.
A MODELAGEM DO MOVIMENTO DA CORDA
A modelagem do movimento da corda é um trabalho realizado semestralmente na disciplina de Laboratório de Matemática Aplicada da Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), com alunos do curso de Engenharia, conforme mencionado por Vecchia (2007). Este consiste na proposta de modelagem do movimento de um ponto específico de uma corda que é balançada por dois alunos, criando um movimento constante de ondulação. Dessa situação, é possível abordar translações e rotações das funções trigonométricas básicas (seno e cosseno), bem como trabalhar com as noções de período. Além disso, a função resultante relata a posição do ponto fixado na corda em relação ao tempo, o que possibilita um aprofundamento nas idéias de velocidade e aceleração propiciadas por uma abordagem do ponto de vista do cálculo integral e diferencial.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 O material necessário para o desenvolvimento do experimento consiste em uma corda de aproximadamente três metros, uma filmadora, uma régua ou fita métrica e um computador que possua algum software que possibilite a leitura da filmagem quadro a quadro. No caso específico desse experimento, utilizamos o software Windows Movie Maker, que possibilitou a visualização de cada quadro com uma diferença de 8 centésimos de segundo (0,08s)3.
A construção do modelo matemático não é baseada em etapas pré-determinadas e específicas. Para iniciar as atividades, apenas é mostrado o movimento que deve ser analisado. Os materiais que podem ser utilizados encontram-se separados em uma mesa cabendo aos alunos relacioná-los com o experimento. Sendo assim, o encaminhamento do processo é variado, dependendo das atitudes e decisões tomadas pela turma. Como forma de exemplificar esse processo, mostraremos um caso específico, ocorrido no primeiro semestre do ano de 2007.
O processo dinâmico encaminhado pelos alunos do referido semestre iniciou com a necessidade de se criar um sistema de medidas para que os dados possam ser coletados. Por opção, o movimento foi feito de tal forma que o ponto mínimo atingiu a base do sistema de medida e o ponto máximo o final do sistema de medida construído, assumindo uma diferença de 100 centímetros, iniciando pelo ponto 0 e terminando com o ponto 100, conforme figura 1.
Após esse início, os dados foram compilados no computador. As oscilações filmadas costumam variar de 50 centésimos de segundo a 1 segundo. Dentre os vários ciclos filmados, escolheu-se um específico, com duração de 80 centésimos de segundo. O critério de escolha se deu pela adaptação do movimento da corda ao sistema de medidas criado. Da análise dos dados obteve-se uma relação do tempo com a altura (posição) explicitada pela Tabela 1.
3 Em versões mais atuais do Windows Movie Maker é possível obter uma precisão de 0,04 s.
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Tabela 1: relação entre tempo e altura. Tempo (s) Altura (cm) 0 100 0,08 85 0,16 60 0,24 25 0,32 5 0,40 0 0,48 10 0,56 32 0,64 63 0,72 90 0,80 100
Com base nesses dados foi possível expressar essa relação por meio de um gráfico (Gráfico 1).
A visualização do experimento no computador possibilitou a compilação dos dados e a construção de um gráfico que representasse a relação entre tempo e posição. Da análise gráfica surgiram conjecturas a respeito do modelo que representasse essa relação. Por meio dos elementos matemáticos que fazem parte
das funções trigonométricas foi possível determinar período, amplitude e deslocamento da função, de forma a construir o modelo s .t
8 , 0 2 cos . 50 50 (posição em cm). Usando o software Excel, foi possível fazer um comparativo entre o modelo e a situação investigada (Gráfico 2).
A importância desse exemplo para o artigo não se dá pelo modelo obtido em si, mas pelas características específicas do processo de obtenção das informações para a construção do mesmo. Enfatizamos que todo movimento modelado ocorre em um intervalo de tempo de 0,8s. Este dado pôde ser percebido com esta precisão ao filmar a corda e visualizar todo o movimento em um computador. Na realidade proporcionada pelo mundo
Gráfico 1: relação entre tempo e altura.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8 cibernético, a atualização do tempo se
mostra de forma diferenciada, contribuindo para a coleta de dados. Nesse caso, ao perceber a corda em uma realidade diferente da realidade física, se fez presente de maneira marcante, a característica tempo, havendo uma permanência dada pela preservação do
instante, ocorrendo um tempo de atualização somente proporcionado pela realidade específica onde o problema foi analisado. Assim, o ocorrido pôde ser vivenciado novamente, atualizado em outra realidade que comporta tempo e espaço distintos, ampliando a idéia de memória e transformando a problemática da entidade.
Ao transpor a situação para o ciberespaço, as formas de visualização da entidade se alteraram proporcionadas por uma leitura quadro a quadro (0,8s de precisão), transformando assim a problemática e possibilitando uma leitura matemática mais precisa. O que enfatizamos é a natureza da transformação da percepção do tempo: centésimos de segundo foram transformados em elementos visualizáveis e analisáveis em outra dimensão de tempo, cabíveis em outro tipo de realidade, a do ciberespaço.
Além do aspecto específico tempo, a dinâmica da atividade abre espaço para que os aspectos teóricos envolvendo o encadeamento problema, realidade, realidade cibernética se evidenciem. Ao falar em Modelagem Matemática assumimos que esta se refere a um problema e a essência dessa tendência parece se dar quando o “lugar” desse problema é a realidade. Então, assumimos uma perspectiva de problema e de realidade. Na perspectiva de problema, enfatizamos a sua relação não biunívoca com a proposição que o representa. Tal fato evidencia o caráter dinâmico que a situação investigada pode assumir. No caso específico da modelagem do movimento da corda, existe um problema que está relacionado a encontrar um modelo que represente a situação. Entretanto, a dinâmica do trabalho produz uma série de outros problemas, criando uma problemática em torno da situação investigada (quem balança a corda? como balançar a corda? qual será a amplitude? qual a função que melhor se adapta? como faremos para “medir” os dados? ...). Cada um dos diversos fatores pode contribuir para que a problemática da situação mude
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9 completamente, alterando as discussões e os modelos matemáticos obtidos, evidenciando assim um caráter dinâmico para a situação investigada.
Para falarmos em transformação da percepção de problema, nos apoiamos na ideia de real não separado daquele que o percebe, que dele fala e que o interpreta. Com isso, abrimos caminho tanto para discutir o problema, quanto para estender a concepção de realidade a outras dimensões, em particular para a realidade cibernética, que têm como característica particular uma mudança na percepção de tempo e espaço. Novamente voltando ao exemplo apontado, percebemos que, dentre outros fatores, a diferença nos tempos de atualização do movimento da corda em cada realidade foi elemento essencial para o andamento das discussões. Sob certos aspectos podemos dizer que a percepção da situação em uma dada realidade contribuiu para que a dinâmica da problemática também se alterasse. Com isso podemos perceber certa conexão entre estes elementos, que, entre outras coisas, admitem e enfatizam o caráter dinâmico da situação.
CONCLUSÃO
Neste artigo destacamos dois elementos que dizem respeito à Modelagem Matemática – o problema e a realidade – enfatizando que na concepção de real assumida é factível pensar em uma multiplicidade de realidades. Procuramos focar nas características específicas da realidade do mundo cibernético. Nesse contexto, nosso referencial permitiu mostrar que o mundo cibernético pode ser pensado como real, uma vez que atinge a dimensão humana e as dimensões de tempo e espaço. Porém, diferentemente da realidade física, as características tempo espaço se mostram distintas.
Por meio da atividade que envolveu a modelagem do movimento da corda foi possível perceber uma interconexão entre os aspectos teóricos abordados, bem como observar como as características da realidade do mundo cibernético contribuíram para o ambiente de Modelagem Matemática, em particular com a diferença de atualização do tempo do movimento da corda. Com isso evidencia-se um aspecto de como as tecnologias podem alterar a percepção da realidade, contribuindo assim para aspectos referentes às atividades de Modelagem Matemática.
Os apontamentos contidos nesse artigo fazem parte de uma série de questionamentos que se entrelaçam, se bifurcam e se encadeiam, formando uma teia problemática que se dá ao pensar no real da Modelagem Matemática incorporando
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 10 diferentes adjetivações, tais como realidade física, realidade mundana, realidade do mundo cibernético, realidade aumentada, hiperrealidade, etc. Apresentamos aqui apenas uma parte de uma investigação maior, que engloba fatores ontológicos, epistemológicos e filosóficos que estão nos mostrando potencialidades para contribuições tanto teóricas quanto prático-pedagógicas no contexto da Modelagem Matemática na Educação Matemática.
REFERÊNCIAS
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VECCHIA, R. D.; MALTEMPI, M. V. Ensaio Sobre a Modelagem Matemática e o Virtual. In: XIII Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática, Anais. Goiânia, 2009. p 1- 15
