INF01056 Aula 07/08 Backtracking. Baseado no livro Programming Challenges

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INF01056

Aula 07/08

Backtracking

Baseado no livro Programming Challenges

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Backtracking

Busca sistemática de todas as possíveis soluções

Garante que a solução será encontrada, ao enumerar todas as possibilidades

Garante eficiência, nunca testando uma solução mais de uma vez

Utiliza força bruta, ao fazer busca exaustiva

Pode ser otimizada, ao descartar enumerações parciais que não conduzem ao resultado desejado (prunning)

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Backtracking – Rotina

Genérica

Solução é modelada como um vetor (a₁, a₂, ...., a_n) Cada elemento a_i representa uma parte na solução

Uma jogada de uma sequência Uma parte de um caminho

Um subconjunto de elementos etc

A cada passo, tem-se uma solução parcial com k elementos (a₁, a₂, ...., a_k)

Testa-se se a solução desejada foi encontrada

Senão, tenta-se extender a solução adicionando mais um elemento no vetor (a₁, a₂, ...., a_k, a_k+1)

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Rotina Genérica

bool finished = FALSE; /* found all solutions yet? */

backtrack(int a[], int k, data input) {

int c[MAXCANDIDATES]; /* candidates for next position */

int ncandidates; /* next position candidate count */

int i; /* counter */ if (is_a_solution(a,k,input)) process_solution(a,k,input); else { k = k+1; construct_candidates(a,k,input,c,&ncandidates); for (i=0; i<ncandidates; i++) {

a[k] = c[i];

backtrack(a,k,input);

! ! ! if (finished) return;!/* terminate early */ }

} }

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Backtracking – Rotina

Genérica

– is_a_solution(a, k, input):

testa se os primeiros

k

elementos do array a

forma uma solução desejada

(input permite passar dados específicos para a rotina) – construct_candidates(a,k,input,c,&ncandidates):

preenche o array c com o conjunto completo de todos os possíveis candidatos para a posição

k

do array a

,

dado o conteúdo das k-1 primeiras posições

– process_solution(a,k,input): esta rotina imprime, conta, ou realiza o processamento desejado uma vez que a solução foi encontrada

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Exemplo 1:

construir todos os

subconjuntos a partir de n elementos

process_solution(int a[], int k) { ! int i;! ! ! ! /* counter */

! printf("{");

! for (i=1; i<=k; i++)

! ! if (a[i] == TRUE) printf(" %d",i); ! printf(" }\n");

}

is_a_solution(int a[], int k, int n) {

! return (k == n);

}

/*! What are possible elements of the next slot in the permutation? */

construct_candidates(int a[], int k, int n, int c[], int *ncandidates) { ! c[0] = TRUE;

! c[1] = FALSE;

! *ncandidates = 2; }

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Exemplo 2:

enumerar todas as

permutações de n elementos

! for (i=1; i<=k; i++) printf(" %d",a[i]); ! printf("\n");

}

is_a_solution(int a[], int k, int n) { return (k == n); }

/*! What are possible elements of the next slot in the permutation? */

construct_candidates(int a[], int k, int n, int c[], int *ncandidates) { ! int i;! ! ! ! /* counter */

! bool in_perm[NMAX];!! /* what is now in the permutation? */

! for (i=1; i<NMAX; i++) in_perm[i] = FALSE; ! for (i=0; i<k; i++) in_perm[ a[i] ] = TRUE; ! *ncandidates = 0;

! for (i=1; i<=n; i++)

! ! if (in_perm[i] == FALSE) { c[ *ncandidates] = i;

! ! ! *ncandidates = *ncandidates + 1; }

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The 8 queens problem

The eight queens problem is a classical

puzzle of positioning eight queens on

an 8x8 chessboard such that no two

queens threaten each other.

Deseja-se contar o número de soluções

possíveis (e não listá-las)

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The 8 queens problem

Como formar o array a?

Booleanos: a[i] é verdadeiro se uma rainha está na casa i

Necessita de 64 posições do array

Um total de 264_{= 1,84 x 10}19_{vetores a serem testados}

Inteiros: a[i] é o índice da casa onde está a rainha i

Um total de 648_{= 2,81 x 10}14_{vetores a serem testados}

Gera cada solução 8! = 40320 vezes

Inteiros: a[i] é o índice da casa onde está a rainha i, sendo os índices gerados em ordem crescente

Um total 4,426 x 109_{vetores a serem testados (combinações}

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The 8 queens problem

Como formar o array a?

Cada linha só pode ter uma e exatamente uma rainha

Limitar a busca para a i-ésima rainha às 8 casas da i-ésima linha

Espaço de busca de 88_{= 1,677 x 10}7

Mas cada coluna só pode ter uma e exatamente uma rainha também

Primeira linha: 8 candidatos; segunda linha: 7; terceira linha: 6, etc

a[i] contém o número da coluna da i-ésima linha ocupada por uma rainha

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The 8 queens problem

solution_count ++; }

is_a_solution(int a[], int k, int n) { return (k == n); }

/*! What are possible elements of the next slot in the 8-queens problem? */

construct_candidates(int a[], int k, int n, int c[], int *ncandidates) { ! int i,j;! ! ! /* counters */

! bool legal_move;! /* might the move be legal? */

! *ncandidates = 0;

! for (i=1; i<=n; i++) { ! ! legal_move = TRUE; ! ! for (j=1; j<k; j++) {

! ! ! if (abs((k)-j) == abs(i-a[j])) /* diagonal threat */

! ! ! ! legal_move = FALSE;

! ! ! if (i == a[j]) /* column threat */

! ! ! ! legal_move = FALSE; } ! ! if (legal_move == TRUE) { c[*ncandidates] = i; ! ! ! *ncandidates = *ncandidates + 1; } } }