A escolha de estratégias na resolução de adições: memória ou compreensão do sIs-tema decimal?"
ANALÚCIA DIAS SCHLIEMANN** 1. Introdução; 2. Método; 3. Resultados; 4. Conclusões.
o
modelo proposto por Siegler para a escolha de estratégias, baseado na força de associações entre as parcelas, foi testado para adições com parcelas de 1 a 29, entre vendedores de rua, em Recife. O modelo mostrou-se adequado para parce-las iguais ou menores que 10, mas não para parceparce-las maiores. Para estas, as pro-priedades . do sistema decimal, mais que a força de associação, predizem melhor a escolha das estratégias pelos sujeitos.1. Introdução
Estudos sobre a matemática na vida diária (Carraher, Carraher & Schliemann, 1982, 1985, 1987, 1988) têm demonstrado que, ao calcular o resultado de ope-rações aritméticas, crianças· que nem sempre saem-se bem em matemática na esco-la utilizam. na maioria dos casos, procedimentos orais. Uma estratégia oral das mais utilizadas na resolução de adições é a decomposição. Ao usar a decompo-sição para calcular, por exemplo, o resultado da operação 95
+
57, pode-se adi-cionar primeiramente 90 (da primeira parcela) com 50 (da segunda), obtendo-se 140, que é então adicionado a 12 (que é o resultado da adição de 7 com 5, obten-do-se 152. Este tipo de estratégia, como já foi demonstrado por Carraher & Schliemann (1988), revela uma compreensão clara do sistema decimal e das pro-priedades de composição aditiva dos ndmeros.Ainda se desconhece como estas estratégias se desenvolvem e como elas estão relacionadas com a memorização de fatos numéricos. Siegler & Robinson (1982) e Siegler & Schrager (1984) analisaram as estratégias utilizadas por crianças de quatro e cinco anos de idade para resolver adições de duas parcelas com valores
de 1 a 5 ou 1 a 11, com totais iguais ou menores que 12. Com base nos resultados destes estudos, Siegler (1986) propõe que a escolha de uma estratégia dentre
vá-*
Pesquisa realizada com o auxflio financeiro do CNPq, sob forma de bolsa de pesquisa e bolsa de iniciação científica. A autora agradece a Robert Siegler pelas discussões que deram origem ao projeto, a David Carra-her pela leitura e comentários sobre uma primeira versão deste artigo, e a Ana Coelho Vieira, Carlos Eduar-do Monteiro, EnilEduar-do Marinho Guedes, Ivo Vanderley da Silva, Leila de Albuquerque César, Patrícia Uch& Sim&s e Solange Vieira da Costa pela coleta e análise dos dados. Uma verslo anterior deste estudo apareceu nos Proceedings of the 12th AnnuaJ Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Veszprém, Hungria, 1988. Apresentado A Redaçiio em 8.5.89.**
Endereço da autora: Rua Adão Lins Machado, 275 - Piedade - 54000 - Jaboa1iio, PE.rias possíveis seria detenninada pela força de associações entre os m1meros a se-rem adicionados.
Em ambos os estudos, a variável força da associação entre os m1meros era me-dida em um outro experimento, onde um outro grupo de crianças de mesma idade deveria dizer, o mais rapidamente possível e sem contar ou olhar os dedos, qual o resultado da adição entre os ndmeros apresentados em pares. A proporção de res-postas corretas nesta tarefa, para cada par de ndmeros, foi utilizada como indica-dor da força de associações entre os ndmeros. Este modelo de distribuição de as-sociações, testado em diferentes tipos de tarefas, mostrou-se adequado para predi-zer as estratégias que seriam utilizadas para adicionar ndmeros. A s estratégias iam desde aquelas facilmente observáveis, como contagem dos dedos, uso dos dedos sem contagem aparente ou contagem verbal, até respostas buscadas na mem6ria, sem qualquer comportamento externo observável. As variáveis tempo para encon-trar a solução, grau de comportamento externo apresentado e eficiência na reso-lução das adições estavam todas altamente correlacionadas (em tomo de 0,90) com o grau de associação entre os ndmeros que compunham as parcelas das adições.
O que aconteceria, no entanto, na resolução de adições de ndmeros maiores que pennitiriam, entre outras, o uso de estratégias mais sofisticadas, como a de de-composição? Será que nestes casos o modelo de escolha de estratégias continua válido? Siegler (1986) propõe que este modelo aplicar-se-ia à resolução de adições, subtrações e multiplicações. No entanto, Hope & Sherrill (1987), em um estudo sobre as características de calculadores mentais mais e menos hábeis, mos-traram que o desempenho em multiplicação mental de ndmeros grandes tem corre-lação muito baixa com a memorização da tabuada de multiplicar.
As estratégias de decomposição, freqüentemente encontradas na resolução oral de adições, poderiam ser detenninadas tanto pelos fatos numéricos memorizados pelo sujeito, como por uma 'compreensão geral do sistema decimal. Se a primeira alternativa, que é a proposta pelo modelo de Siegler, é a mais adequada, a estraté-gia de decomposição deveria ser utilizada para pares de ndmeros cuja soma o su-jeito não memorizou ou, na tenninologia de Siegler (1986), para os pares onde a força de associação entre os ndmeros é baixa. Além disso, o tipo de decomposição escolhida estaria relacionado com os pares de ndmeros cujas somas estão memori-zadas. Se, diferentemente, a compreensão do sistema decimal é um fator mais im-portante que a menor memorização dos fatos numéricos da adição, mesmo pares cuja soma está memorizada, a estratégia de decomposição seria freqüentemente utilizada e o tipo de decomposição encontrada estaria relacionado, não aos fatos memorizados, mas às propriedades do sistema decimal.
O objetivo deste estudo foi avaliar a importância relativa da memorização de fatos numéricos, por oposição à compreensão do sistema decimal, na escolha de estratégias de decomposição para resolver adições de duas parcelas.
2. Método 2.1 Sujeitos
Participaram do estudo 20 crianças com idades entre nove e 13 anos, que traba-lhavam como vendedoras de rua na cidade do Recife. A freqüência à escola de to-das elas era irregular, sendo que os que tinham maior experiência escolar cursa-vam a 3! série do 12 grau. No trabalho, onde vendiam bombons, pirulitos, sorve-tes, frutas ou sanduíches, todas elas utilizavam o cálculo mental para encontrar o
resultado de adições, subtrações e multiplicações. A repetitividade das vendas fa-zia com que esses sujeitos freqüentemente memorizassem o resultado de adições entre ndmeros relativamente grandes. Quando esses resultados não eram memori-zados, estratégias não-escolares de cálculo oral eram utilizadas.
2.2 Material e procedimento
Ap6s um período de observação do trabalho da criança, e após constatação de que ela utilizava o cálculo mental para resolver problemas aritméticos no trabalho, ca-da sujeito era abordado e convidado a participar do estudo em troca de pagamento em dinheiro que corresponderia, aproximadamente, ao valor que ele ganharia tra-balhando durante o período de tempo em que era examinado. Todos os sujeitos abordados concordaram em participar do estudo. Cada um era entrevistado indivi-dualmente, e, na primeira fase do estudo, era solicitado a resolver, o mais rapida-mente possível, uma série de 216 adições de duas parcelas. Para cada par de nd-meros, o examinador, ap6s dizê-Ios oralmente, esperava durante dois segundos e, se nenhuma resposta era apresentada, passava ao par seguinte. Na segunda fase, também individualmente, cada sujeito foi solicitado a resolver, em uma ordem di-ferente, as mesmas 216 adições. Nesta segunda fase, o examinador os informava de que podiam resolver as continhas da maneira que quisessem, tomando o tempo que fosse necessário para encontrar a resposta certa. Pedia-se também à criança que falasse alto enquanto resolvia as continhas, de forma a que fosse possível para o examinador identificar quais as decomposições que estavam sendo utilizadas. Contra-argumentação e pedidos de explicação sobre como os resultados haviam sido encontrados eram apresentados, caso fossem necessários. Dentre as 216 adições apresentadas, 45 eram formadas por ndmeros de 2 a 10 a serem adiciona-dos a ndmeros também de 2 a 10 e 171 envolviam a adição de um ndmero entre 21 e 29 com outro ndmero do intervalo entre 2 e 20. Em todos os casos, cada par era apresentado com a parcela maior 1)recedendo a menor. Os 216 pares de ndmeros assim obtidos podem ser classifica~os em cinco grupos, conforme mostra a tabela 1.
Tipo de problema Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 GrupoS 3. Resultados Tabela 1
Classificação das 216 adições apresentadas aos suja tos na primeira e segunda fases
Valores das parcelas
Primeira parcela Segunda parcela 1 a 9 10 21 a29 21 a29 21 a29 1 a 9 1 a 10 1 a 9 10 ou 20 11 a 19 Número de problemas 36 9 72 18 81
A tabela 2 mostra, para cada grupo de adições, a percentagem de pares memoriza-dos. Isto é, aqueles para os quais a criança dava uma resposta correta em menos de dois segundos, na primeira fase. O maior percentual de memorização foi encon-trado para as adições do grupo 2 (10 mais um ndmero de 1 a 10), onde 86,1% dos
problemas foram respondidos corretamente, e para as adições do grupo 1 (1 a 9 mais 1 a 9) com 59,6% de acertos. O grupo 4 (21 a 29 nais 10 ou 20) aparece em seguida, com 46,7% de respostas corretas e, f'malmente, os grupos 3 (21 a 29 mais 1 a 9) e 5 (21 a 29 mais 11 a 19) com apenas 31,9% e 9,0% de acertos, respecti-vamente.
Tabela 2
Percentagem de adições corretas na primeira fase e percentagem de adições resolvidas por busca na memória, decomposição,
contagem ou estratégias mistas, na segunda fase Estratégia na segunda fase
Tipo Percentagem (para o total de problemas)
de adições cor-de
retas
problema N na primeira fase Memória. Decompo- Contagem Mistas sição Grupo 1 36 59,6 64,6 20,7 14.2 0,4 Grupo 2 9 86,1 92.7 2,8 4.5 0,0 Grupo 3 72 31,9 23,5 56,8 17,2 2,4 Grupo 4 18 46,7 38,7 52,9 7,5 0.9 Grupo 5 81 9,0 6.9 74,7 10.2 -8,2
O desempenho na segunda fase foi quase perfeito. Apenas 22 erros foram co-metidos no total de 4.320 problemas apresentados aos 20 sujeitos. A estratégia preferida para resolver os problemas dos grupos 1 e 2 foi a busca na mem6ria. Pa-ra os grupos 3, 4 e 5, a decomposição foi a estPa-ratégia mais freqüentemente utiliza-da. Estratégias de contagem apareceram em alguns problemas, isoladamente ou combinada com a decomposição, constituindo, neste dltimo caso, as estratégias mistas incluídas na tabela 2. Esta análise geral parece indicar a adequação do mo-delo de Siegler (1986) para explicar a escolha das estratégias: para os pares com percentual mais alto de acertos na primeira fase do estudo (pares com alta força de associação), o uso da memória aparece como a estratégia preferida na segunda fa-se; para os pares com menor percentagem de acertos na primeira.fase (pares com baixa força de associação), outras estratégias foram escolhidas preferencialmente à decomposição. No entanto, como veremos a seguir, uma análise mais aprofundada dos dados sugere conclusões diferentes.
A tabela 3 mostra, para os pares com respostas corretas na primeira fase (linhas
C), a percentagem daqueles, que, na segurida fase, foram respondidos pela utili-zação de cada uma das estratégias encontradas. Os mesmos dados são também apresentados, separadamente, para as adições com respostas não corretas na pri-meira fase (linhas
M.
O modelo de Siegler (1986) leva a prever que, pQra os pares de ndmeros com um alto grau de associação (aqueles com respostas corretas na primeira fase), a busca na memória deveria ser a estratégia preferida na segunda fase. Para os pares com baixo grau de associação (pares com respostas não corre-tas na primeira fase) outras estratégias, como decomposição, contagem ou estraté-gias mistas, seriam as escolhidas na segunda fase. A análise da tabela 3 revela que esta predição aplica-se apenas às adições do grupo 1, isto é, àquelas envolvendo, em ambas as parcelas, ndmeros de 1 a 9. Para este grupo, como previsto pelomo-delo, o uso da busca na memória na segunda fase foi muito mais freqüente para as adições que haviam sido resolvidas na primeira fase, do que para as que não ha-viam. Para as adições do grupo 2 encontra-se um alto percentual de busca na memória na segunda fase para as adições resolvidas na primeira fase. No entanto, isso também acontece para as que não haviam sido resolvidas. Para os grupos 3, 4 e 5, independentemente dos resultados da primeira fase, havia uma clara preferên-cia pelas estratégias que não eram de memorização, principalmente pela estratégia de decomposição.
Tabela 3
Média e percentagem de adições corretas (C) e de adições não resolvidas (N) na primeira fase e, para cada um desses dois tipos, percentagem de uso de estratégias de busca na memória,
decomposição, contagem e mistas, na segunda fase
Tipo de Primeira fase Estratégia na segunda fase
problema Média (%) Memória Decompo- Contagem Mistas
sição Grupo 1 36 C 21.4 59,6 78.8 14,0 7.2 O N 14,0 38,9 42,8 31.1 25.0 1.1 Grupo 2 9 C 7,7 86,1 95,5 2,0 2.5 O N 1,2 13,3 75,0 8.3 16,7 O Grupo 3 72 C 23,0 31.9 26,2 69.4 4.4 0,6 N 48,7 67,6 22.3 51,3 23,2 3,3 Grupo 4 18 C 8,4 46,7 37,5 62,5 0,0 0,6 N 8,9 .4 43,8 48,3 6,7 1,1 Grupo 5 81 C 7,3 9,0 14,3 85,7 0.0 O N 73,5 90,7 6,3 73,8 10,9 9,0
Obs.: O total das m/dias e das percentagens na primeira fase difere de m1mero total de problemas porque, em alguns casos, deixou-se de apresentar um ou deis problemas ao sujeito testado.
Uma outra predição do modelo é a de que, para cada grupo de adições, o ndme-ro de adições corretas por sujeito na primeira fase estaria positivamente correla-cionado com o ndmero de adições resolvidas por busca na memória na segunda. Da mesma forma, o ndmero de adições não resolvidas, por sujeito, na primeira fa-se estaria positivamente correlacionado com o ndmero de adições resolvidas pelas demais estratégias na segunda fase. A tabela 4 mostra, para cada grupo de adições, os coeficientes de correlação obtidos para os escores dos 20 sujeitos. Pa-ra os grupos 1 e 2, formados pelas adições mais simples, pois envolviam parcelas com valores não maiores que 10, o uso da estratégia de busca na memória na se-gunda fase estava de fato significativamente correlacionado com o ndmero de adições corretas na primeira fase. No entanto, nestes grupos 1 e 2, esta correlação também era alta e significativa para as adições não resolvidas na primeira fase. Pa-ra os grupos 3, 4 e 5, que incluíam adições onde ·pelo menos uma parcela ePa-ra maior que 20, as correlações obtidas são claramente contrárias ao previsto pelo
modelo: o uso da decomposição na segunda fase estava sempre significativamente correlacionado com o mimero de adições corretas na primeira fase, mas não com o mimero de adições não resolvidas. Apenas o mimero de adições resolvidas por contagem na segunda fase, nos grupos 2, 3 e 4, estava significativamente correla-cionado (embora as correlações não fossem muito altas) com o ndmero de adições não resolvidas na primeira fase, como era previsto pelo modelo.
Tabela 4
Coeficientes de Correlação (tau de Kendall) em cada grupo de problemas entre o número de adições corretas (C) ou não resolvidas (N) na primeira fase e, para cada um desses tipos,
número de adições resolvidas através de cada uma das estratégias. na segunda fase
Tipo de Primeira fase Estratégia na segunda fase
problema N Média C e N Memória Decom- Contagem Mistas posição Grupo 1 36 C 21,4 0,60* 0,25 -0,10 N 14,0 0,57* 0,27 0,39 0,10 Grupo 2 9 C 7,7 0,73* -0,03 0,08 N 1,2 0,79* 0,15 0,19*** Grupo 3 72 C 23,0 0,16 0,75* -0,3 0,02 N 48,7 0,44** 0,04 0,27*** 0,01 Grupo 4 18 C 8,4 0,23 0,49** 0,19 0,00 N 8,9 0,23 0,20 0,25*** 0,34 Grupo 5 81 C 7,3 0,29*** 0,74* 0,09 N 73,5 0,08 0,14 0,24 0,18 * p < 0,001. ** P < 0,01. *** P < 0,05.
Nas adições dos grupos 3, 4 e 5, a estratégia de decomposição consistia, na maioria dos casos, em separar as dezenas de cada parcela das suas unidades, adi-cionando-se, em seguida, dezena com dezena e unidade com unidade para encon-trar-se o resultado final, adicionando-se os dois subtotais obtidos. As variações encontradas para este procedimento relacionavam-se à ordem em que as quantida-des a serem adicionadas em cada passo eram mencionadas (quase sempre a quan-tidade maior aparecia em primeiro lugar) e à ordem em que unidades e dezenas eram mencionadas (as dezenas, em geral, apareciam antes das unidades). Quando a soma das unidades era maior que 10 e era encontrada antes de serem adicionadas as dezenas, um segundo passo no procedimento aparecia: o resultado da soma das unidades era decomposto em uma dezena mais as unidades, sendo a dezena adi-cionada às demais dezenas e as unidades às demais unidades.
Para adições dos grupos 1,3 e 5, observou-se um outro tipo de decomposição, utilizado mais ou menos freqüentemente por 19 dos 20 sujeitos, em um total de 746 problemas. Este novo procedimento consistia em adicionar a uma das parce-las, ou às suas unidades, parte das unidades da outra parcela, de forma a obter 10 ou 5, ou mdltiplos de 10 ou 5. Para os grupos 3 e 5, quando 10 ou 5 era encontra-do, seu valor era adicionado às dezenas originais (se existiam) e as unidades res-tantes eram adicionadas no [mal. Em geral, o procedimento de juntar unidades
pa-ra obter 10 ou máltiplos de 10 epa-ra utilizado quando as unidades de uma das parce-las eram iguais a 8 ou 9. Exemplos desses procedimentos são as seguintes respos-tas:
-29
+
3? "12, Eu juntei 1 com 9, ficaram 2; eu juntei 2 com 10."-28
+
19? "28 mais 19, deixe ver (pausa), 28 mais 19 (pausa), 40 (pausa), 47. Nesse eu peguei 10 do 19 e botei no 28. Depois eu peguei 2 do 9 e deu 40. Ficou 7, dá 47."Mais de um terço das adições resolvidas, na segunda fase, por este tipo de pro-cedimento de busca de 10, 5 ou seus múltiplos eram adições do grupo 1 que ha-viam sido resolvidas pelo sujeito na primeira fase. Os coeficientes de correlação entre o námero de adições do grupo 1 resolvidas na primeira fase por cada sujeito e o námero de adições de cada tipo resolvidas por este procedimento tendiam a ser negativos, muito baixos e não-significativos.
4. Conclusões
A escolha de estratégias para resolver problemas de adição, embora influenciada pela memorização, parece ser também fortemente determinada pela compreensão das características do sistema decimal, pela situação na qual o problema é ~solvi
do, e pelo tipo de námeros a serem adicionados. Assim, o modelo de escolha de estratégias de Siegler, embora mostre-se adequado para explicar a escolha de es-tratégias simples para resolver adições de pequenos námeros por crianças mais jo-vens, que utilizam freqüentemente estratégias de contagem, não parece adequar-se a situações de resolução de adições mais complicadas por parte de crianças mais velhas que são altamente eficientes no cálculo mental e que utilizam diferentes ti-pos de estratégias de decomti-posição. Pode-se sempre argumentar que as estratégias de decomposição são determinadas pela forte associação que existe entre 10 ou seus múltiplos com números menores que 10. Mas esta associação s6 ocorre se já existe uma compreensão do sistema decimal gerativo. Para números maiores que 10, quando a criança compreende as relações pr6prias do sistema decimal, o papel da memorização é drasticamente reduzido. A compreensão do sistema decimal pennite à criança encontrar, sempre que necessário, o resultado de adições de nú-meros relativamente grandes, o que toma o treino na memorização da tabuada irre-levante.
Abstract
Siegler's strategy choice model based on the strength of the associations between numbers was tested among Brazilian street vendors for additions of addends from 1 to 29. The model proved to be adequate for addends up to 10 but not for larger ones. For these, properties of the decimal system, more than the strength of the as-sociations, is a better predictor of the strategy used.
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