Governo do Estado do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Rio Grande do Norte Faculdade de Ciências Exatas e Naturais
Departamento de Matemática e Estatística Disciplina Cálculo Diferencial Integral C 1) Calcule os limites. a) lim (x;y)!(0;0) y (cot gx) ln (1 + tgx) e2y 1 b) lim (x;y)!(2;0) px p 2 ln (1 + 2y) (x 2) y c) lim (x;y)!(0;3) esin 2x 1 sin x cos x y 3 y2 7y + 12 d) lim (x;y)!(0;2) x r (1 + x) yy2 24 2x e) lim (x;y)!( 3;1) x2+ 2x 3 y2 1 xy x + 3y 3 f) lim (x;y)!(0;0) 1 cos x xy sin x ln (1 + y) g) lim (x;y)!(0;1) x + y 1 p x p1 y h) lim (x;y)!(2;3) x3y 3y2 4xy + 12x + 4y 12 xy 3x 2y + 6 i) lim (x;y)!(0;0) 2y x + y j) lim (x;y)!(0;0) xy x3+ y2 k) lim (x;y)!(0;0) x3 y3 x2+ y2
2) Veri…que se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados
a) f (x; y) = x2 yx x2 y2; x6= y 1 4(x+y); x= y P(1; 1) b) f (x; y) = x2 y2 x2 +y2 ; x6=0 0; x=0 P(0; 0) c) f (x; y) = y2 +2xy2 2x; x6=0 0 x=0 P (0; 0)
3) Aplique os acréscimos parciais e calcule as derivadas parciais das funções abaixo. a) f (x; y) = 3x3y2 4x2y + 3y + 2 b)f (x; y) = 3x2+ 5xy + 7y3 c)f (x; y) = 5xy3+ 6x2+ 11 d)f (x; y) = 2xy2+ 5x2+ 2 e)f (x; y) = 7x2+ 5x2y + 2
f) W = xz2+ exy cos (yz) g) W = x cos z + y sin x + xez h) f (x; y) = xex y+ yex+y i) Z = cos2(px y) j) Z = xy:yx k) f (x; y) = sinxy+ lnyx l) f (x; y) = arctg (sin xy) m) f (x; y) = x y yx n) f (x; y) = x 2 y2 x2+ y2 o) W = ln (x + 2y + 3z) p) f (x; t) = esinxt q) f (x; y; z; t) = xy2z3t4 r) f (x; y; z) = xy2z3+ 3yz s) f (x; y) =px2+ y2 3) Calcule. @x @r @x @' @y @r @y @'
para x = r cos '; y = r sin '
4) Mostre que x@z@x+ y@z@y = xy + z; para Z = xy + xe y x 5) Determine as diferenciais das funções.
a) Z = 4x2y tg (2x y) b) W = exy 4xz + yz
c) W = exyz
d) Z = eln arctg(xyz)
6) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função Z = y
2
x x2
y 7) Calcule as derivadas parciais de 3a ordem da função Z = e
x
ey + ln (xy)
8) Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo. a) f(x; y) = x4 3x2y3 b) f (x; y) = ln (3x + 5y) c) f (x; y) = x x + y d) Z = ytg2x e) f (u; t) = e ssin t f) Z =px2+ y2 g) f (x; y) = ln (3x + 5y)
9) Veri…que se cada uma das seguintes funções é solução da equção de Laplace
@2u @x2 +@ 2u @y2 = 0: a) u = x2+ y2 b) u = x2 y2 c) u = x3+ 3xy2
d) u = lnpx2+ y2
e) u = e xcos y e ycos x
10) Veri…que se a função u = p 1
x2+ y2+ z2é solução da equação de Laplace
@2u @x2 + @2u @y2 + @2u @z2 = 0:
11) Mostre que cada uma das seguintes funções é solução da equação de onda @ u
@t2 = a 2 @u
@x2
a) u = sin (kx) sin (akt) b) u = t
a2t2 x2
c) u = (x at)6+ (x + at)6 d) u = sin (x at) + ln (x + at)
12) Mostre que a função de produção de Cobb-Douglas P = bL K satisfaz a equação L@P @L + K @P @K = ( + ) P 13) Dada Z =px2+ y2; x = 2t + 1 e y = t3; calcule dz dt 14) Das funções abaixo, calcule dz
dt; dw dt e dw d a) Z = x3y2 3xy + y2; x = 2t e y = 6t2 b) W = ex2y, x = sin t e y = cos t c) W = u sin v + cos (u v), u = x2 e v = x3 d) W =pu2 v2, u = sin e v = cos
15) Das funções abaixo, culcule o que se pede: a) Z = 3x2 4y2; x = uv e y = cos u + sin v; @z @u e @z @v b) W = 4x2+ 5xy 2y3; x = 3r + 5s e y = 7r2s; @w @r e @w @s c) Z = 4x3 3x2y2; x = u cos v e y = v sin u; @z @u e @z @v d) W = u2 uv + 5v2; u = x cos 2y e v = x sin 2y; @w
@x e @w @y e) W = ln u2+ v2 ; u = x2+ y2e v = 2x2+ 3xy; @w @x e @w @y
16) A resistencia R em ohms, de um círcuito é dada por R = EI; onde I é a corrente em amperes e E é a força eletromotriz. Num certo instante quando E = 120vols por segundo e I = 15 amperes, E aumenta numa velocidade de 0,1 volts por segundo e I diminui à velocidade de 0; 05amperes por segundo. Encontre a taxa de variação instântanea davariação de R:
17) Determine a velocidade angular do vetor posição OP; sendo O (0; 0) e P (x; y) com x = 1 2t2 e y = 4 + t2; no instante t = 1s:
18) Dada a equação yx y + 2 = 0; determine dy
dx 19) Determine dy
dx sendo 1 + xy ln(e
xy+ e xy)
20) Dada a equação x2+ y2 4xy 2x y = 0; determine @z @x e
@z @y:
21) Dada a equação x2+ y2= 16; determine dx dy e d2x dy2 22) Determine d 2y dx2; sendo 3x 2 4y2= 12
23) Dada a equação x2+ y2= 25; determine dy
dx
24) Determine o máximo, mínimo e ponto de sela das funções abaixo. a) f (x; y) = x2+ y2 2x + 4y + 2 b) f (x; y) = 12xy 4x2y 3xy2 c) f (xy) = x2+ 4xy 8x 6y d) f (x; y) = x4+ y4+ 4x + 4y e)f (x; y) = x4+ y4+ 32x 4y + 52 f) f (x; y) = xy +27 x + 27 y g) f (x; y) = x4+ y4 3x2+ 6xy 3y2
h) Z = sin x + sin y + cos (x + y) ; com x e y arcos do 10 quadrante.
i) Z = x2+ y3 4x 12y + 6 j) Z = xy 1 x 8 y k) Z = xy + 8 x+ 8 y l) f (x; y) = 12x x3 4y2 m) f (x; y) = 16 x + 6 y + x 2 3y2 n) f (x; y) = 12xy 4x2y 3xy2
25) De uma folha de ‡ande com 12cm de largura deseja-se obter uma calha dobrando-se as bordas das folhas de iguais quantidades de modo que as abas façam o mesmo ângulo com a horizontal. Qual a largura das abas e qual o ângulo que devem fazer a …m de ter uma capacidade máxima?.
26) Encontre as dimensões de uma caixa retângular de maior volume possível que possa a ser inscrita no elipsóide x92+y42+ z = 1; considerando que as arestas da caixa sejam paralelas aos eixos de coordenadas.
27) Estude quanto ao máximo e mínimo a função z = xy havendo entre x e y a restrição x + 4y 8 = 0:
28) Calcule as dimensões do paralelepípedo retângulo de volume máximo que se pode inscrever no elipsóide de equação x
2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1
29) Uma caixa retangular sem tampa é feita de 12m2de papelão. Determine
o volume máximo dessa caixa.
30) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo. a) f (x; y) = x2y3+ 2x4y; P (1; 2), = 3 b) f (x; y) = sin (x + 2y) ; P (4; 2) ; =3 4 c) f (x; y) =p5x 4y; P (4; 1) = 6
d) f (x; y) = xe 2y; P (5; 0) =
2
31) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v: a) f (x; y) = 1 + 2xpy; (3; 4) v = 4i 3j b) f (x; y) = x y; (6; 2) v = i + 3j c) f (s; t) = s2et; (2; 0) v = i + j d) f (x; y; z) =px2+ y2+ z2; (1; 2; 2) v = 6i + 6j 3k e) g (x; y; z) = xarctgyz (1; 2; 2) ; v = i + j k f) g (x; y; z) = z3 x2y; (1; 6; 2) v = 3i + 4j + 12k
32) Calcule a derivada da função W =px2+ y2+ z2no ponto P ( 2; 2; 1)
e na direção do vetor AB; sendo A (1; 2; 1) e B (2; 0; 1) :
33) Dada a função Z = lnpx2+ y2; calcule a derivada no ponto P (2; 1) ;
na direção do vetor v = 5i + 2j:
34) Calcule a derivada direcional máxima da função W = sin (x + y) + cos (y + z) ; no ponto P
3; 0;6
35) Se = x3y2z3 e A = x2zi y2j + 3x2y2k; achar:
a) r ; b) r x A c) rotA d) div ( A) e e) rot ( A) ; todos no ponto P (1; 1; 1) : 36) Calcule as integrais. a) Z 2 1 Z 4 2 xydydx b) Z 1 0 Z x 1 1 xdydx c) Z 1 0 Z 3 1 x2ydydx d) Z 1 2 0 Z 2x 4x2 x 2x2 xydydx
37) Calcule na ordem mais conveniente de integração a integral ZZ
D
(x + y) dxdy; sendo D = f(x; y) 2 R=1 x 2 e x y 2xg
38) Calcule usando integral dupla, a área da super…cie D limitada pelas retas y = 0; y = x; y = 3 e x + y 3 = 0:
39) Calcule ZZ
D
x2dxdy; onde D é a região do plano xOy; limitada por y = x
e y = x2:
40) Calcule, na ordem dada ZZ
D
(x y) dydx; sendo D a região de xOy limitada pelo eixo dos x e pelas retas y = x e x + 2y 6 = 0:
41) Calcule Z (1;3)
(0;2)
x2 y2 dx + y2+ x2 dy ao longo do segmento de
reta de reta de extremos (0; 2) e (1; 3) : 42) Calcule o valor das integrais. a) Z C (3ydx 5xdy) ; C : x = 2 + t; e y = 2 4t; 0 t 1: b) Z (3;9) ( 2;4) xy2dx yx2dy ao longo da parábola y = x2
c) Z C xdx + ydy x2+ y2 ; C : x = cos t; y = sin t; 0 t 2 d) Z C
y2dx + xydy ; C : o caminho triângular de (1; 0) para (1; 1) para(0; 0) para (1; 0) :
43) Achar a área do círculo x = R cos e y = R sin sendo A = 1 2
I
(xdx ydy) : 44) Veri…que o teorema do Green no plano para
Z
C
3x2y x3 dx + x2+ y2 dy ;
sendo C a curva fechada do domínio limitado entre as y = x2 e y = x:
45) Calcule as integrais de linha. a) Z C 2y2dx 4xdy ; :C : x = 2 t, y = 4 + 3t; y = 4 + 3t 1 t 2 b) Z C
[(5y + x) dx + (3y 4) dy] ; C : x = 4 + 2t; y = 10 2t; 0 t 1 c)
Z (2;4) ( 2;4)
x2ydx 3y2dy ; ao longo da parabola y = x2
46) Calcule, usando o teorema de Green. I
C
x2 xy2 dx + y2 2xy dy onde C : é o retângulo de vértices (0; 0) ;
(3; 0),(3; 2) e (0; 2) : 47) Calcule
I
[(2x 3y 2) dx + (3y + 2x 6) dy] ao longo de um círculo de raio 4 e centro em (0; 0) usando o teorema de Green.
48) Ache o trabalho realizado pela força F dada, atuando sobre uma partícula que se move na trajetória C dada por: F = 2i 6j; C : caminho poligonal de (0; 0) a (1; 1) a (1; 3) a (3; 3) :
49) Seja R a região interior do trapezóide cujos vértices são (2; 2), (4; 2), (5; 4) e (1; 4) :Calcule
ZZ
R
8xydxdy:
50) Integre na ordem mais conviniente a integral dupla ZZ
D ydxdy p
x+1 sendo a
