Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 O ENSINO DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DOS NÚMEROS
DECIMAIS UTILIZANDO A CALCULADORA
Rosineide de Sousa Jucá SEDUC Universidade do Estado do Pará - UEPA
rosejuca@yahoo.com.br Pedro Franco de Sá Universidade do Estado do Pará - UEPA
Universidade da Amazônia - UNAMA pedro.franco.sa@gmail.com Carlos Alberto Miranda Pinheiro
SEDUC Universidade do Estado do Pará - UEPA Prof.carlosmiranda@hotmail.com
Resumo: Este trabalho apresenta resultados de uma experiência que avaliou a viabilidade de uma seqüência didática para o ensino da adição e subtração dos números decimais a partir de atividades envolvendo calculadoras simples realizadas numa 5ª série do ensino Fundamental. Fundamentou-se na Teoria das Situações Didáticas e como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática. Aplicamos um pré-teste e elaboramos e aplicamos as atividades para o ensino das operações supra, envolvendo o uso de calculadoras e no final aplicamos um pós-teste. Na análise a posteriori comparamos os resultados do pré-e pós-testes e verificamos as conclusões apresentadas nas atividades. A validação indicou viabilidade da proposta de ensinar as operações citadas por meio de uma sequência didática utilizando a calculadora.
Palavras-chave: Educação; Educação Matemática; Números Decimais.
INTRODUÇÃO
Parece que a forma como os números decimais vêm sendo tratados na escola não fazem muito sentido para o aluno. E isso se corrobora na quantidade de pesquisas que se tem desenvolvido em relação a esse conteúdo. Revisamos os estudos de Zunino (1995), Pérez (1997), Padovan (2000), Cunha (2002), Vieira (2005) e Brousseau (2004) que apresentaram os erros, os obstáculos e as dificuldades dos alunos na aprendizagem dos
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 Na análise dos estudos citados percebemos conclusões semelhantes em relação às dificuldades e aos erros que os alunos manifestaram em relação aos números decimais, tais como: os alunos não conseguem fazer a representação e leitura dos números decimais, porque não compreendem o sistema posicional decimal. Assim, não entendem o valor posicional do zero e o sentido da vírgula que aparece nestes números. Apresentam dificuldades para realizar as operações com números decimais por causa da memorização das regras que vão reproduzir modelos erráticos e dessa forma não conseguem raciocinar sobre as operações que realizam. Todos os estudos revisados apontam para um erro conceitual dos decimais, pois os alunos pensam os números decimais como dois naturais separados por vírgula.
Para Brousseau (2004) as diversas dificuldades encontradas no processo de ensino-aprendizagem dos números decimais estão relacionadas a uma questão histórica do ensino dos números decimais, pois esses sempre foram ensinados associados a um sistema de medidas e a técnicas de operações dos inteiros naturais. Como conseqüência, os alunos enxergam os decimais não como um número do conjunto dos racionais, mas como números naturais com uma vírgula. Ele afirma que essas concepções se apóiam na mecanização do ensino, e vão perdurar por um longo tempo na vida do aluno.
Diante do exposto é que nos propomos a desenvolver uma sequência didática com atividades com a calculadora para o ensino das operações de adição e subtração com os números decimais. Nossa sequência didática está fundamentada na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (2004), principalmente nas situações adidáticas, que estão relacionadas a uma abordagem construtivista, pois se caracteriza em colocar o aluno numa situação na qual ele possa produzir seu conhecimento.
O objetivo deste trabalho era investigar se uma seqüência didática desenvolvida por um conjunto de atividades com a calculadora apresenta resultados satisfatórios no ensino das operações de adição e subtração com os números decimais, na 5ª série do Ensino Fundamental.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3 METODOLOGIA DE PESQUISA
A metodologia de pesquisa escolhida foi a Engenharia Didática por ser adequadas elaboração e aplicação de uma seqüência didática. Artigue (1996) determina as características da Engenharia Didática como metodologia de pesquisa. Para ela, a Engenharia Didática é um esquema experimental baseado nas “realizações didáticas” em sala de aula, isto é, na concepção, na realização, na observação, e na análise de seqüências de ensino, caracterizando-se pelos registros dos estudos feitos sobre o caso em questão e sua validação. A pesquisa seguiu as etapas da engenharia didática: estudos preliminares, análise a priori, experimentação, análise a posteriori e validação.
Desenvolvemos nossa experiência junto a 35 alunos da 5ª série do ensino fundamental de uma escola de Belém do Pará. Inicialmente submetemos os alunos a um teste com três questões de adição e subtração para verificarmos seus conhecimentos prévios.
Q1) Dona Marta comprou 8,25 metros de tecido e dona Lúcia comprou 12,35 metros. Quantos metros as duas compraram juntas?
Q2) O salário de José é R$ 980,56. Ele terá que pagar R$ 225,68 de aluguel. Quanto sobrará de seu salário?
Q3) Sofia tem R$ 22,00. Foi ao parque e gastou R$ 8,50, na roda gigante e nos cavalinhos, R$ 5,90 com maçã do amor e docinhos. Quanto restou do dinheiro que possuía?
EXPERIMENTAÇÃO
Após a aplicação do pré-teste aplicamos as atividades utilizando à calculadora. para que os alunos (re)descobrirem as regras das operações de adição e subtração sem a prévia apresentação do professor.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 O objetivo da atividade foi levar o aluno a formular a regra da adição dos números decimais, a partir do cálculo de adições utilizando à calculadora.
Os alunos formaram grupos e receberam uma lista contendo 10 problemas envolvendo adição, e foram orientados para que resolvessem os problemas e utilizassem a calculadora para realizar os cálculos. Após este momento, solicitamos aos alunos que observassem os cálculos que haviam realizado e propusessem uma regra para adicionar números decimais, sem o auxilio da calculadora.
Os alunos discutiram suas conclusões nos grupos e nos apresentaram seus resultados. Durante os trabalhos nos grupos, tivemos que mediar às conversas, para que eles pudessem escrever a regra, pois estavam com dificuldade para isso. Sabiam se expressar verbalmente, mas não conseguiam expressar suas idéias no papel. Mas no final da atividade, os alunos conseguiram formular a regra para a adição.
Após a formalização da regra pelos alunos, fizemos à institucionalização da mesma. Apresentamos nas figuras 1, 2 e 3 algumas formulações elaboradas pelos alunos sobre a adição.
Figura 1: respostas dos alunos para a operação de subtração Fonte: protocolo dos alunos
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Figura 2: respostas dos alunos para a operação de subtração Fonte: protocolo dos alunos
Figura 3: respostas dos alunos para a operação de subtração Fonte: protocolo dos alunos
2ª atividade: subtração com números decimais
Essa atividade teve como objetivo levar o aluno a formular uma regra para a subtração de números decimais, a partir do cálculo de subtrações utilizando à calculadora.
Os grupos receberam uma lista com dez problemas envolvendo subtração de números decimais para resolverem. Após terem resolvido as questões, solicitamos que observassem os cálculos que haviam realizado e tentassem descrever uma regra para subtração de números decimais. Lembramos aos alunos a atividade da adição que haviam feito anteriormente, após isso os grupos iniciaram suas discussões com objetivo de elaborar a regra solicitada.
Durante as discussões observamos que os alunos estavam cometendo erros no que se referia aos “empréstimos” de unidades e a subtração com zero, decidimos chamar sua atenção para esses fatos. Após essas orientações, os alunos conseguiram resolver as
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 expressá-la na forma escrita. Após a formalização da regra feita pelos alunos, fizemos à institucionalização da mesma.
As figuras 4, 5 e 6 apresentam algumas das formulações elaboradas pelos alunos
Figura 4: respostas dos alunos para a operação de subtração Fonte: protocolo dos alunos
Figura 5: respostas dos alunos para a operação de subtração Fonte: protocolo dos alunos
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Figura 6: respostas dos alunos para a operação de subtração Fonte: protocolo dos alunos
ANÁLISE E VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS
Após a realização das atividades aplicamos um pós-teste com as mesmas questões do pré-teste para verificarmos o desempenho dos alunos. O quadro 1 apresenta um comparativo dos resultados dos dois testes.
Questão Acerto no pré-teste Acerto no pós-teste Erro no pré-teste Erro no pós-teste Não fez no pré-teste Não fez no pós-teste Q1 57% 94% 43% 6% 31% -- Q2 60% 100% 6% -- 34% -- Q3 6% 43% 28% 40% 60% 3%
Quadro 1: comparação dos resultados do pré-e pós-teste
A análise dos resultados da questão Q1 nos pré-e pós-testes mostra que ocorreu uma melhora expressiva, pois o percentual de acerto cresceu, o percentual de erro diminuiu muito e ninguém deixou de tentar resolver a questão. Nessa questão apenas um aluno cometeu um erro de interpretação, pois resolveu a questão como se fosse uma multiplicação. Mas 34 alunos resolveram corretamente a mesma.
Na questão Q2 os erros detectados no pré-teste indicaram dificuldades com a operação de subtração no conjunto dos números naturais, pois não faziam “empréstimo” de uma casa para outra quando era necessário, efetuavam a subtração de um número menor por outro maior e até subtraiam um número de zero. Erros esses tão comuns aos alunos na subtração com os números naturais, talvez tenham contribuído para que os alunos cometessem erros ao operar com os decimais. Entretanto, o desempenho dessa questão no pós-teste mostrou que os alunos superaram as dificuldades encontradas no teste anterior devido o percentual de 100% de acerto no pós-teste.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8 deixou a questão em branco sofreu uma queda muito significativa. Isto mostra que houve melhora do comportamento dos alunos em relação à questão. Essa questão envolvia as duas operações, mas em nossas análises verificamos que alguns alunos utilizaram apenas a subtração para resolver a questão e isso justifica por que o número de escolha da subtração foi maior do que o da adição.
Os erros cometidos pelos alunos na questão Q3 foram relativos à interpretação da questão ou estão relacionados à falta de atenção, pois alguns alunos optaram por outras operações diferentes da adição e subtração ou utilizaram apenas uma dessas operações para resolver a questão, porém ao utilizar a adição ou a subtração aplicavam corretamente às regras, mostrando assim que possuíam a compreensão das mesmas.
Os erros observados nas questões Q1, Q2 e Q3 já haviam sido expostos nos estudos de Zunino (1995), Pérez (1997), Padovan (2000), Cunha (2002) e Vieira (2005)
quando se referem ao esquecimento dos alunos em relação ao “empréstimo” de unidades na subtração e explicam que isto acontece por que o aluno desconhece o valor posicional decimal dos números. Essa falta de compreensão evidencia-se, também, na interpretação dos resultados das operações, pois efetuam as operações de forma incorreta, não refletindo sobre o resultado obtido.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como nosso objetivo era investigar a viabilidade de uma seqüência didática desenvolvida por um conjunto de atividades com a calculadora para o ensino das operações de adição e subtração com os números decimais, podemos concluir que experiência desenvolvida indica ser viável o ensino das referidas operações com o uso da calculadora para levar os alunos a descobrirem os algoritmos das operações.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9 Nossas hipóteses se constituíram na construção de situações em sala de aula que possibilitassem ao aluno construir as regras de adição e subtração com números decimais, sem a prévia apresentação por parte do professor. Entendemos que este tipo de metodologia permite ao aluno uma aprendizagem significativa, sem a memorização de regras que muitas vezes não fazem sentido para o aluno. Segundo Pérez (1997) os alunos cometem erros ao realizar as operações, porque não possuem a compreensão do que seja um número decimal. Assim, ela propõe que o ensino das regras das operações seja realizado por meio de procedimentos e atividades nos quais os alunos possam percebê-las, antes de enunciá-las explicitamente.
A metodologia de ensino contribuiu de forma positiva para a evolução pessoal e intelectual dos alunos, visto que, no início das atividades, os mesmos sentiram dificuldade na elaboração dos conceitos que estavam sendo trabalhados, porém, no decorrer das atividades, observamos que essa dificuldade foi sendo superada. Brousseau (2004) sugere que o trabalho intelectual do aluno deve se assemelhar a uma atividade de investigação científica, onde o aluno deve ser capaz de formular, provar, construir modelos, linguagens e de trocar essas informações com os outros alunos.
Percebemos durante o desenvolvimento da sequência didática que os alunos tentaram explicar verbalmente as regras, mas sentiram dificuldade em expressar por escrito suas conclusões, apesar de terem conseguido realizar as atividades, e isso nos mostra que há um hiato entre a ação e a formalização da ação. Para Moreira (2004, p. 23) “os alunos, em geral, não são capazes de expressar em linguagem natural seus teoremas-em-ação, ainda que sejam capazes de resolver certas tarefas. Essa construção dos conceitos é progressiva, e será dominada aos poucos pelo aprendiz.”.
Nas formulações das regras, percebemos que os alunos, em algum momento, mostraram uma quebra no pensamento que estavam desenvolvendo, apresentando regras incompletas e sem sentido, e isso segundo Moreira (2004) se explica por que a construção do conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear, facilmente identificável. Ao contrário, é complexo, tortuoso, demorado, com avanços e retrocessos, continuidades e rupturas. Continuidades e rupturas não são, no entanto, excludentes, podendo haver continuidade e ruptura.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 10 realizar as operações em questão. Isso estimula a continuidade do estudo para as demais operações.
REFERÊNCIA
ARTIGUE, M. Engenharia Didática. IN: BRUN, J. Didáctica da Matemática Tradução Maria José Figueiredo. Lisboa, Portugal: Instituto Piaget, 1996. 193-217p.
BROUSSEAU. G. Théorie des situations didactiques. 10 ed. Paris: La Pensée Sauvage, 2004. 395p.
CUNHA, M.R.K. A quebra da unidade e o número decimal. 2002.162p. Dissertação (mestrado em educação matemática) – Pontifica Universidade de São Paulo, São Paulo, 2002
MOREIRA, M.A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino das ciências e a investigação nessa área. Porto Alegre: Instituto de Física da UFRGS, 2004.107p.
PADOVAN, D. M. F. Números decimais: o erro como caminho. 145p. Dissertação (Mestrado em educação matemática) – Universidade de São Paulo, São Paulo, 2000.
PÉREZ, J.C. Números decimales? ¿Por qué? ¿Para que? Madrid: Síntesis, 1997. 210p.
VIEIRA, G. B Números decimais: dificuldades conceituais. . 107p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, 2005.
ZUNINO, D. L. A Matemática na escola: aqui e agora. 2 ed. Porto Alegre: Artes médicas, 1995. 189p.
