Geometria Analítica e Álgebra Linear

(1)

2020/Sem_02

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Vetores no Espaço

(2)

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Índice

3 Vetores no Espaço Tridimensional ... 1

3.1 Definição ... 1

3.2 Operações com vetores ... 1

3.3 Projeção ortogonal de um vetor sobre outro ... 13

3.4 Exercícios propostos sobre vetores ... 13

(3)

3 Vetores no Espaço Tridimensional

3.1 Definição

Um vetor é uma classe de segmentos equipolentes.

Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por B −A, B −´ A´, ou B −´´ A´´, de modo que B −A = B −´ A´ = B −´´ A´´. Costuma-se indicar B −A também por

AB , ou então por uma letra latina minúscula com uma flecha em cima, como u.

Desta forma temos que 𝑢⃗ = 𝐵 − 𝐴 = AB . Observações:

a) O tamanho (intensidade ou comprimento) de um vetor 𝑢⃗ é indicado por ‖𝑢⃗ ‖ e chama-se norma de 𝑢⃗ . Se ‖𝑢⃗ ‖ = 1 dizemos que o vetor é unitário. Alguns autores utilizam para a norma de ‖𝑢⃗ ‖ a notação |𝑢⃗ |.

b) O vetor BA é chamado de vetor oposto do vetor AB . Assim, AB e BA só diferem entre si no sentido (se A B). O vetor oposto do vetor AB é indicado também por −AB; o vetor oposto de 𝑢⃗ é −𝑢⃗ .

c) O vetor nulo pode ser representado por 0⃗ = 𝐴 − 𝐴 = 𝐴𝐴→ . Tem-se ainda que ‖0⃗ ‖ = 0 e −0⃗ = 0⃗ .

d) Se 𝑢⃗ e 𝑣 tem mesma direção, dizemos que eles são vetores paralelos e indicamos por 𝑢⃗ // 𝑣 . e) Dizemos que 𝑢⃗ e 𝑣 são ortogonais, se uma flecha que representa 𝑢⃗ faz ângulo reto com uma flecha que representa 𝑣 . Notação 𝑢⃗ ⊥ 𝑣 .

3.2 Operações com vetores

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Propriedades da adição de vetores

(A1) Propriedade Associativa: (𝑢⃗ + 𝑣 ) + 𝑤⃗⃗ = 𝑢⃗ + (𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) (A2) Propriedade Comutativa: 𝑢⃗ + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢⃗

(A3) Elemento Neutro: 𝑢⃗ + 0⃗ = 0⃗ + 𝑢⃗ = 𝑢⃗ (A4) Elemento Oposto: 𝑢⃗ + (−𝑢⃗ ) = 0⃗

(5)

Observações: Podemos também definir a diferença entre vetores como: 𝒖⃗⃗ − 𝒗⃗⃗ = 𝒖⃗⃗ + (−𝒗⃗⃗ )

Exemplo:

1) Dados os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura um representante para o vetor 𝑢⃗ − 𝑣 :

3.2.2 Multiplicação de número real por vetor

Dado um vetor 𝑣 e um número real , definimos o vetor 𝛼 ⋅ 𝑣 , como: Se =0 ou 𝑣 = 0⃗ , então 𝛼 ⋅ 𝑣 = 0⃗ ;

Se 0 e 𝑣 ≠ 0⃗ , então 𝛼 ⋅ 𝑣 é o vetor tal que: (i) 𝛼 ⋅ 𝑣 é paralelo a 𝑣 ;

(ii) 𝛼 ⋅ 𝑣 e 𝑣 tem mesmos sentidos se 0; (iii) 𝛼 ⋅ 𝑣 e 𝑣 tem sentidos contrários se 0; (iv) A norma de 𝛼 ⋅ 𝑣 é ‖𝛼 ⋅ 𝑣 ‖ = |𝛼| ⋅ ‖𝑣 ‖. Exemplos:

1) Na sequência são apresentados alguns casos de produto de vetor por número real: a) Para =2 0:

(6)

Geometria Analítica e Álgebra Linear c) Para 0 3 1  =  Proposição:

Se 𝑢⃗ e 𝑣 são paralelos e 𝑢⃗ ≠ 0⃗ , existe  tal que 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑢⃗ . Definição:

Dado um vetor 𝑢⃗ ≠ 0⃗ , chama-se versor do vetor 𝑢⃗ , um vetor unitário, paralelo e de mesmo sentido que 𝑢⃗ .

Exemplo:

1) Dado um vetor 𝑢⃗ ≠ 0⃗ , mostre que o versor de 𝑢⃗ é 𝑢⃗⃗

‖𝑢⃗⃗ ‖.

Resolução:

Chamando de 𝑣 ao versor de 𝑢⃗ , temos que 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑢⃗ , com 0. 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑢⃗ ⇒ ‖𝑣 ‖ = ‖𝛼 ⋅ 𝑢⃗ ‖ = |𝛼| ⋅ ‖𝑢⃗ ‖|𝛼| =‖𝑣⃗ ‖_‖𝑢

⃗⃗ ‖= 1

‖𝑢⃗⃗ ‖. Como 0, temos que 𝛼 = 1 ‖𝑢⃗⃗ ‖.

Substituindo este valor de  em 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑢⃗ , obtemos: 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑢⃗ ⇒ 𝑣 = 1 ‖𝑢⃗⃗ ‖⋅ 𝑢⃗ = 𝑢⃗⃗ ‖𝑢⃗⃗ ‖. Logo 𝑣 = 𝑢⃗⃗ ‖𝑢⃗⃗ ‖.

Propriedades da multiplicação de número real por vetor

(M1) 𝛼 ⋅ (𝑢⃗ + 𝑣 ) = 𝛼 ⋅ 𝑢⃗ + 𝛼 ⋅ 𝑣 (M2) (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑣 + 𝛽 ⋅ 𝑣 (M3) 1 ⋅ 𝑣 = 𝑣

(M4) 𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝑣 ) = (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝑣 = 𝛽 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑣 ) Definição:

Sejam 𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3, . . . . . , 𝑣 𝑛 vetores do  , 3

(

n1

)

e 1,2,3,...,n. Chama-se

combinação linear dos vetores 𝑣 ₁, 𝑣 ₂, 𝑣 ₃, . . . . . , 𝑣 _𝑛, com coeficientes ₁,₂,₃,...,_n, ao vetor: 𝑣 = 𝛼₁⋅ 𝑣 ₁+ 𝛼₂⋅ 𝑣 ₂ + 𝛼₃⋅ 𝑣 ₃+ . . . . . +𝛼_𝑛⋅ 𝑣 _𝑛.

Definição:

Uma base do  é uma tripla ordenada de vetores (𝑒 3 ₁, 𝑒 ₂, 𝑒 ₃) do _{ , tais que não existe}3

(7)

Geometria Analítica e Álgebra Linear Proposição:

Dado um vetor qualquer 𝑣 ∈ ℜ3, existe uma única tripla ordenada

(

₁,₂,₃

)

, tal que: 𝑣 = 𝛼₁⋅ 𝑒 ₁+ 𝛼₂⋅ 𝑒 ₂+ 𝛼₃⋅ 𝑒 ₃.

Assim, na figura anterior temos: 𝑂𝑅

→

= 𝛼₁⋅ 𝑒 ₁, 𝑂𝑆→ = 𝛼₂⋅ 𝑒 ₂ e 𝑂𝑇→ = 𝛼₃⋅ 𝑒 ₃

Sendo 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base do  , escreve-se: 3

𝑣 = 𝑂𝑃→ = 𝛼₁⋅ 𝑒 ₁+ 𝛼₂⋅ 𝑒 ₂+ 𝛼₃⋅ 𝑒 ₃=

(

₁,₂,₃

)

_E. Exemplos:

1) Sendo 𝑢⃗ = (1,1,4)_𝐸 e 𝑣 = (−1,3,5)_𝐸, calcule: 2 ⋅ 𝑢⃗ − 3 ⋅ 𝑣 , na base 𝐸 = (𝑒 ₁, 𝑒 ₂, 𝑒 ₃). Resolução: 2 ⋅ 𝑢⃗ − 3 ⋅ 𝑣 = 2 ⋅ (1,1,4)_𝐸− 3 ⋅ (−1,3,5)_𝐸 = (2,2,8)_𝐸+ (3, −9, −15)_𝐸 = (5, −7, −7)_𝐸 Ou seja, 2 ⋅ 𝑢⃗ − 3 ⋅ 𝑣 = 5 ⋅ 𝑒 ₁− 7 ⋅ 𝑒 ₂− 7 ⋅ 𝑒 ₃. 2) Sendo 𝑢⃗ = (−1,4, −1)_𝐸 e 𝑣 = (𝑎, 𝑏,1 2)_𝐸 e 𝑤⃗⃗ = (1, 𝑐, 2𝑎 + 𝑐)𝐸, e sabendo que 2 ⋅ 𝑣 + 𝑤⃗⃗ = 𝑢⃗ , calcule os valores de a, b e c. Resposta: a=−1,b=2ec =0 Definição:

Uma base 𝐸 = (𝑒 ₁, 𝑒 ₂, 𝑒 ₃) é ortonormal se 𝑒 ₁, 𝑒 ₂ e 𝑒 ₃ são unitários (‖𝑒 ₁‖ = ‖𝑒 ₂‖ = ‖𝑒 ₃‖ = 1) e ortogonais dois a dois.

(8)

Geometria Analítica e Álgebra Linear Proposição:

Seja 𝐸 = (𝑒 ₁, 𝑒 ₂, 𝑒 ₃) uma base ortonormal. Se 𝑣 = 𝛼1⋅ 𝑒 1+ 𝛼2⋅ 𝑒 2+ 𝛼3⋅ 𝑒 3, então:

‖𝑣 ‖ = √𝛼₁2_{+ 𝛼}

22+ 𝛼32.

Exemplos:

1) Seja 𝐸 = (𝑒 ₁, 𝑒 ₂, 𝑒 ₃) uma base ortonormal. Sendo 𝑢⃗ = (0,1,2)_𝐸 e 𝑣 = (−2,4, −6)_𝐸, calcule: a) ‖𝑢⃗ ‖ Resposta: 5 b) ‖𝑣 ‖ Resposta: 56 c) ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖ Resposta: 45 d) ‖𝑢⃗ − 2 ⋅ 𝑣 ‖ Resposta: 261 e) ‖−𝑢⃗ +1 2⋅ 𝑣 ‖ Resposta: 27

3.2.3 Produto escalar ou produto interno

Sendo 𝑢⃗ e 𝑣 vetores, definimos o número real 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 , do seguinte modo:

i) Se 𝑢⃗ = 0⃗ ou 𝑣 = 0⃗ , então 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = 0 (zero)

ii) Se 𝑢⃗ ≠ 0⃗ e 𝑣 ≠ 0⃗ , então 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = ‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ, onde  é o ângulo convexo entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 .

(0).

Se 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = 0, pode-se concluir que 𝑢⃗ = 0⃗ ou 𝑣 = 0⃗ ? Não! Pois, 𝑢⃗ ⊥ 𝑣 ⇒ 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = 0.

Proposição:

Se 𝑢⃗ = (𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃)_𝐸 e 𝑣 = (𝛽₁, 𝛽₂, 𝛽₃)_𝐸 e 𝐸 = (𝑒 ₁, 𝑒 ₂, 𝑒 ₃) é uma base ortonormal, então: 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = 𝛼₁⋅ 𝛽₁+ 𝛼₂⋅ 𝛽₂+ 𝛼₃⋅ 𝛽₃.

(9)

Demonstração:

Da Lei dos Cossenos temos que:

‖𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ‖2 = ‖𝑢⃗ ‖2+ ‖𝑢⃗ ‖2− 2‖𝑢⃗ ‖ ∙ ‖𝑣 ‖ ∙ cos 𝜃= = (𝛼₁2+ 𝛼₂2 + 𝛼₃2) + (𝛽₁2_{+ 𝛽}

22+ 𝛽32) − 2 ⋅ 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 (I)

Mas temos também que:

‖𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ‖2 = ‖𝑢⃗ − 𝑣 ‖2 = ‖(𝛼₁− 𝛽₁, 𝛼₂− 𝛽₂, 𝛼₃− 𝛽₃)‖2 _{= (𝛼}

1− 𝛽1)2+ (𝛼2 − 𝛽2)2+ (𝛼3−

𝛽₃)2 _{= (𝛼}

12+ 𝛼22+ 𝛼32) + (𝛽12+ 𝛽22+ 𝛽32) − 2 ⋅ (𝛼1⋅ 𝛽1+ 𝛼2⋅ 𝛽2+ 𝛼3⋅ 𝛽3) (II)

Igualando (I) com (II), obtemos:

(𝛼12+ 𝛼22+ 𝛼32) + (𝛽12+ 𝛽22+ 𝛽32) − 2 ⋅ 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 =

(

) (

2

)

(

₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃

)

3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 + + +  + + −2   +  +  

Logo concluímos que 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = 𝛼₁⋅ 𝛽₁+ 𝛼₂⋅ 𝛽₂+ 𝛼₃ ⋅ 𝛽₃. Observação:

Seja 𝐸 = (𝑒 ₁, 𝑒 ₂, 𝑒 ₃) uma base ortonormal. Se 𝑢⃗ = 𝛼₁⋅ 𝑒 ₁+ 𝛼₂⋅ 𝑒 ₂+ 𝛼₃⋅ 𝑒 ₃, então: ‖𝑢⃗ ‖ = √𝛼₁2_{+ 𝛼}

22+ 𝛼32 = √𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ = ‖𝑢⃗ ‖2

Assim, ‖𝑢⃗ ‖ = √𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ = ‖𝑢⃗ ‖2.

2) Seja 𝐸 = (𝑒 ₁, 𝑒 ₂, 𝑒 ₃) uma base ortonormal. Sendo 𝑢⃗ = (1, −1,5)_𝐸 e 𝑣 = (2,4, −1)_𝐸, calcule: a) 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 4 + 5 ⋅ (−1) = −7 b) ‖𝑢⃗ ‖ ‖𝑢⃗ ‖ = √1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) + 5 ⋅ 5 = √27 c) ‖𝑣 ‖ ‖𝑣 ‖ = √2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + (−1) ⋅ (−1) = √21 d) o ângulo entre 𝑢⃗ e 𝑣 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = ‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ−7= 27 21cos 21 27 7 cos  − =   arc

3) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo 𝑢⃗ = (1,4,1)𝐸 e 𝑣 = (0,1, −8)𝐸,

calcule:

a) (2 ⋅ 𝑢⃗ + 𝑣 ) ⋅ 𝑢⃗ Resposta: 32

b) (𝑢⃗ − 𝑣 ) ⋅ (𝑢⃗ + 𝑣 ) Resposta: −47

4) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo 𝑢⃗ = (√3, 1,0)_𝐸 e 𝑣 = (2,2√3, 0)_𝐸,

calcule o ângulo  convexo entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 . Resposta: 6 

(10)

Propriedades do produto escalar

(PE1) 𝑢⃗ ⋅ (𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 + 𝑢⃗ ⋅ 𝑤⃗⃗ e (𝑢⃗ + 𝑣 ) ⋅ 𝑤⃗⃗ = 𝑢⃗ ⋅ 𝑤⃗⃗ + 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ (PE2) (𝛼 ⋅ 𝑢⃗ ) ⋅ 𝑣 = 𝛼 ⋅ (𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ) = 𝑢⃗ ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑣 ) (PE3) 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢⃗ (PE4) 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ ≥ 0; 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ = 0 ⇔ 𝑢⃗ = 0⃗ 1) Prove: a) ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖2 _{= ‖𝑢}_{⃗ ‖}2_{+ 2 ⋅ 𝑢}_{⃗ ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖}2 Resolução:

Lembrando que ‖𝑢⃗ ‖ = √𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ = ‖𝑢⃗ ‖2, temos que:

||𝑢⃗ + 𝑣 ||2 = (𝑢⃗ + 𝑣 ) ⋅ (𝑢⃗ + 𝑣 ) = 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ + 2 ⋅ 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 + 𝑣 ⋅ 𝑣 = ‖𝑢⃗ ‖2+ 2 ⋅ 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2 b) ‖𝑢⃗ − 𝑣 ‖2 = ‖𝑢⃗ ‖2− 2 ⋅ 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2. Resolução: Analogamente, temos: ‖𝑢⃗ − 𝑣 ‖2 _{= (𝑢}_{⃗ − 𝑣 ) ⋅ (𝑢}_{⃗ − 𝑣 ) = 𝑢}_{⃗ ⋅ 𝑢}_{⃗ − 2 ⋅ 𝑢}_{⃗ ⋅ 𝑣 + 𝑣 ⋅ 𝑣 = ‖𝑢}_{⃗ ‖}2_{− 2 ⋅ 𝑢}_{⃗ ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖}2 c) |𝑢⃗ ⋅ 𝑣 | ≤ ‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ (Desigualdade de Schwarz) Resolução: 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = ‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ|𝑢⃗ ⋅ 𝑣 | = |‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃| = ‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ |𝑐𝑜𝑠 𝜃| ≤ ‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ d) ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖ ≤ ‖𝑢⃗ ‖ + ‖𝑣 ‖ (Desigualdade Triangular) Resolução: ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖2 _{= ‖𝑢}_{⃗ ‖}2_{+ 2 ⋅ 𝑢}_{⃗ ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖}2 _{≤ ‖𝑢}_{⃗ ‖}2_{+ 2 ⋅ |𝑢}_{⃗ ⋅ 𝑣 | + ‖𝑣 ‖}2 ≤ ‖𝑢⃗ ‖2+ 2 ⋅ ‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ + ‖𝑣 ‖2 = (‖𝑢⃗ ‖ + ‖𝑣 ‖)2 ⇒ ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖2 ≤ (‖𝑢⃗ ‖ + ‖𝑣 ‖)2 ⇒ ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖ ≤ ‖𝑢⃗ ‖ + ‖𝑣 ‖

3.2.4 Produto vetorial ou produto externo

Se 𝑢⃗ // 𝑣 , então, por definição o produto vetorial (ou produto externo) de 𝑢⃗ por 𝑣 é o vetor nulo. Notação: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = 0⃗ ou 𝑢⃗ × 𝑣 = 0⃗ .

Se 𝑢⃗ e 𝑣 não são paralelos, então 𝑢⃗⃗⃗ ∧ 𝑣 é um vetor com as seguintes características: a) ‖𝑢⃗ ∧ 𝑣 ‖ = ‖𝑢⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ sen𝜃; onde  é o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 .

b) 𝑢⃗ ∧ 𝑣 é ortogonal a 𝑢⃗ e a 𝑣 ;

c) o sentido de 𝑢⃗ ∧ 𝑣 pode ser dado pela regra da mão direita: Assim, nas figuras que seguem tem-se: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = 𝑤⃗⃗ e 𝑣 ∧ 𝑢⃗ = −𝑤⃗⃗

(11)

A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o polegar indica o sentido do vetor oriundo do produto vetorial:

Observação:

Se 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) é uma base ortonormal, então 𝑒 1∧ 𝑒 2 = 𝑒 3 ou 𝑒 1∧ 𝑒 2 = −𝑒 3.

Temos ainda que ‖𝑒 ₁∧ 𝑒 ₂‖ = ‖𝑒 ₁‖ ⋅ ‖𝑒 ₂‖ ⋅ sen𝜋

2 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1

Definição:

Uma base ortonormal chama-se dextrógira se 𝑒 1∧ 𝑒 2 = 𝑒 3 e levógira se 𝑒 1∧ 𝑒 2 = −𝑒 3.

Observação:

Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) é uma base ortonormal dextrógira, então temos que: 𝑖 ∧ 𝑗 = 𝑘⃗ 𝑘⃗ ∧ 𝑖 = 𝑗

𝑗 ∧ 𝑘⃗ = 𝑖 𝑖 ∧ 𝑘⃗ = −𝑗 𝑘⃗ ∧ 𝑗 = −𝑖 𝑖 ∧ 𝑖 = 0⃗ , etc.

Exemplo:

1) Apresente os vetores 𝑖 , 𝑗 𝑒 𝑘⃗ na base 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ). Resposta: 𝑖 = (1,0,0)𝐸, 𝑗 = (0,1,0)𝐸 e 𝑘⃗ = (0,0,1)𝐸

(12)

Propriedades do produto vetorial

(PV1) 𝑢⃗ ∧ (𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = 𝑢⃗ ∧ 𝑣 + 𝑢⃗ ∧ 𝑤⃗⃗ ou (𝑢⃗ + 𝑣 ) ∧ 𝑤⃗⃗ = 𝑢⃗ ∧ 𝑤⃗⃗ + 𝑣 ∧ 𝑤⃗⃗ (PV2) (𝛼 ⋅ 𝑢⃗ ) ∧ 𝑣 = 𝛼 ⋅ (𝑢⃗ ∧ 𝑣 ) = 𝑢⃗ ∧ (𝛼 ⋅ 𝑣 )

(PV3) 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = −𝑣 ∧ 𝑢⃗ Proposição:

Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) é uma base ortonormal dextrógira, e se 𝑢⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐)_𝐸 e 𝑣 = (𝑚, 𝑛, 𝑝)_𝐸, então: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 𝑛 𝑝 ]. Demonstração: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = (𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ 𝑘⃗ ) ∧ (𝑚 ⋅ 𝑖 + 𝑛 ⋅ 𝑗 + 𝑝 ⋅ 𝑘⃗ ) = 𝑎𝑚 ⋅ 𝑖 ∧ 𝑖 + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑖 ∧ 𝑗 + 𝑎𝑝 ⋅ 𝑖 ∧ 𝑘⃗ + 𝑏𝑚 ⋅ 𝑗 ∧ 𝑖 + 𝑏𝑛 ⋅ 𝑗 ∧ 𝑗 + 𝑏𝑝 ⋅ 𝑗 ∧ 𝑘⃗ + 𝑐𝑚 ⋅ 𝑘⃗ ∧ 𝑖 + 𝑐𝑛 ⋅ 𝑘⃗ ∧ 𝑗 + 𝑐𝑝 ⋅ 𝑘⃗ ∧ 𝑘⃗ = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑘⃗ − 𝑎𝑝 ⋅ 𝑗 − 𝑏𝑚 ⋅ 𝑘⃗ + 𝑏𝑝 ⋅ 𝑖 + 𝑐𝑚 ⋅ 𝑗 − 𝑐𝑛 ⋅ 𝑖 = (𝑏𝑝 − 𝑐𝑛) ⋅ 𝑖 − (𝑎𝑝 − 𝑐𝑚) ⋅ 𝑗 + (𝑎𝑛 − 𝑏𝑚) ⋅ 𝑘⃗ = 𝑑𝑒𝑡 [𝑏 𝑐 𝑛 𝑝] ⋅ 𝑖 − 𝑑𝑒𝑡 [ 𝑎 𝑐 𝑚 𝑝] ⋅ 𝑗 + 𝑑𝑒𝑡 [_𝑚𝑎 𝑏_𝑛] ⋅ 𝑘⃗ = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 𝑛 𝑝 ] Exemplos:

1) Sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) uma base ortonormal dextrógira, 𝑢⃗ = (1,1,3)_𝐸 e 𝑣 = (1, −1, −4)_𝐸, calcule 𝑢⃗ ∧ 𝑣 : Resolução: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 𝑘 ⃗ 1 1 3 1 −1 −4 ] = −𝑖 + 7𝑗 − 2𝑘⃗ . Resposta: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = −𝑖 + 7𝑗 − 2𝑘⃗

2) Sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) uma base ortonormal dextrógira, calcule 𝑢⃗ ∧ 𝑣 nos seguintes casos: a) 𝑢⃗ = (−2,1,0)𝐸 e 𝑣 = (1,3, −2)𝐸 Resposta:

(

−2,−4,−7

)

E

b) 𝑢⃗ = (2,1, −1)𝐸 e 𝑣 = (2,5,4)𝐸 Resposta:

(

9 −, 10,8

)

E

3) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑘⃗ e ‖𝑥 ‖ = √5, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) uma base ortonormal dextrógira. Resolução: 𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ 𝑘⃗ 𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 𝑘 ⃗ 𝑎 𝑏 𝑐 0 1 0 ] = 𝑘⃗ 𝑎 ⋅ 𝑘⃗ − 𝑐 ⋅ 𝑖 = 𝑘⃗  a = 1 e c = 0. Mas ‖𝑥 ‖ = √5  a2 + b2 = 5 12 + b2 = 512+ b2 =5 b=2

(13)

Geometria Analítica e Álgebra Linear Logo 𝑥 = 𝑖 ± 2 ⋅ 𝑗

Resposta: 𝑥 = 𝑖 ± 2 ⋅ 𝑗

4) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⋅ (𝑖 − 𝑗 ) = 0 e 𝑥 ∧ (𝑖 + 2𝑘⃗ ) = 𝑖 −1

2𝑘⃗ , sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) uma base

ortonormal dextrógira. Resolução: 𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ 𝑘⃗ 𝑥 ⋅ (𝑖 − 𝑗 ) = 0𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 ⋅ (0) = 0 ⇒ 𝑎 = 𝑏 𝑥 ∧ (𝑖 + 2𝑘⃗ ) = 𝑖 −1 2𝑘⃗ 𝑑𝑒𝑡 [ 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝑎 𝑎 𝑐 1 0 2 ] = 𝑖 −1 2𝑘⃗  2𝑎 ⋅ 𝑖 + (𝑐 − 2𝑎) ⋅ 𝑗 − 𝑎 ⋅ 𝑘⃗ = 𝑖 −1 2𝑘⃗ 2 1 1 2a= a= 1 0 2 1 2 0 2 =  −  =  = − a c c c Logo 𝑥 =1 2⋅ 𝑖 + 1 2⋅ 𝑗 + 𝑘⃗ Resposta: 𝑥 =1 2⋅ 𝑖 + 1 2⋅ 𝑗 + 𝑘⃗

5) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⊥ 𝑢⃗ , 𝑥 ⊥ 𝑣 e ‖𝑥 ‖ = 10, sabendo que 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = 𝑖 + 4 ⋅ 𝑗 + 2√2 ⋅ 𝑘⃗ , sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) uma base ortonormal dextrógira.

Resolução:

‖𝑢⃗ ∧ 𝑣 ‖ = √12_{+ 4}2_{+ (2√2)}2 _{= 5}

Sabemos que 𝑥 = 𝛼 ⋅ (𝑢⃗ ∧ 𝑣 ) ‖𝑥 ‖ = |𝛼| ⋅ ‖𝑢⃗ ∧ 𝑣 ‖10= 5=2 Logo 𝑥 = ±2 ⋅ (𝑢⃗ ∧ 𝑣 ) = ±2 ⋅ (𝑖 + 4 ⋅ 𝑗 + 2√2 ⋅ 𝑘⃗ )=

(

2,8,4 2

)

_E

Resposta: 𝑥 = ±(2,8,4√2)_𝐸

6) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⊥ (1,1,1)_𝐸, 𝑥 ⊥ (2,1,3)_𝐸 e ‖𝑥 ‖ = √6, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) uma base

ortonormal dextrógira. Resposta: 

(

2,−1,−1

)

_E

Interpretação geométrica do produto vetorial

Assim, a área do paralelogramo que tem 𝑢⃗ e 𝑣 como lados, é a norma do produto vetorial destes vetores, isto é 𝑆 = ‖𝑢⃗ ∧ 𝑣 ‖.

(14)

Geometria Analítica e Álgebra Linear 3.2.5 Produto misto

Dados os vetores 𝑢⃗ , 𝑣 e 𝑤⃗⃗ , o produto misto destes 3 vetores é um número real representado por 𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ ou [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ]. (Efetua-se primeiro o produto vetorial)

Nulidade do produto misto

Dados os vetores 𝑢⃗ , 𝑣 e 𝑤⃗⃗ , o produto misto destes 3 vetores 𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ = 0 se:

i) Pelo menos um destes vetores for nulo; ou ii) 𝑢⃗ // 𝑣 (pois neste caso 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = 0⃗ ), ou

iii) Os três vetores são coplanares.

Proposição:

Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) é uma base ortonormal dextrógira, e se 𝑢⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐)_𝐸 , 𝑣 = (𝑚, 𝑛, 𝑝)_𝐸 e 𝑤⃗⃗ = (𝑟, 𝑠, 𝑡)𝐸, então: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 𝑛 𝑝 𝑟 𝑠 𝑡 ]. Demonstração: Sabemos que 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 𝑛 𝑝 ]=𝑑𝑒𝑡 [𝑏_𝑛 _𝑝𝑐] ⋅ 𝑖 − 𝑑𝑒𝑡 [_𝑚𝑎 𝑐_{𝑝] ⋅ 𝑗 + 𝑑𝑒𝑡 [}𝑎 𝑏 𝑚 𝑛] ⋅ 𝑘⃗ Logo 𝑢⃗ ∧ 𝑣 = E n m b a p m c a p n c b                   −       det , det , det . Então 𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ = _ =      +        −        t n m b a s p m c a r p n c b det det det           t s r p n m c b a det Exemplo:

1) Calcule o produto misto dos vetores 𝑢⃗ = (1,2,1)𝐸 , 𝑣 = (1,0,1)𝐸 e 𝑤⃗⃗ = (1,2,3)𝐸, sendo 𝐸 =

(𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) é uma base ortonormal dextrógira. Resolução: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗           = t s r p n m c b a det 4 3 2 1 1 0 1 1 2 1 det =−           = Resposta: 𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ = −4

Propriedades do produto misto

(PM1) [𝑢⃗ 1 + 𝑢⃗ 2, 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ] = [𝑢⃗ 1, 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ] + [𝑢⃗ 2, 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ]

[𝑢⃗ , 𝑣 ₁+ 𝑣 ₂, 𝑤⃗⃗ ] = [𝑢⃗ , 𝑣 ₁, 𝑤⃗⃗ ] + [𝑢⃗ , 𝑣 ₂, 𝑤⃗⃗ ] [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ₁+ 𝑤⃗⃗ ₂] = [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ₁] + [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ₂]

(PM2) [𝛼 ⋅ 𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ] = [𝑢⃗ , 𝛼 ⋅ 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ] = [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝛼 ⋅ 𝑤⃗⃗ ] = 𝛼 ⋅ [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ]

(PM3) O produto misto [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ] muda de sinal permutando-se dois vetores: [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ] = −[𝑣 , 𝑢⃗ , 𝑤⃗⃗ ] = [𝑣 , 𝑤⃗⃗ , 𝑢⃗ ]

[𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ] = −[𝑤⃗⃗ , 𝑣 , 𝑢⃗ ] = [𝑤⃗⃗ , 𝑢⃗ , 𝑣 ] [𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ] = −[𝑢⃗ , 𝑤⃗⃗ , 𝑣 ] = [𝑤⃗⃗ , 𝑢⃗ , 𝑣 ]

(15)

Geometria Analítica e Álgebra Linear (PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos  e  𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ =𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ∧ 𝑤⃗⃗

Interpretação geométrica do produto misto

Assim, o volume do paralelepípedo da figura anterior é: 𝑉 = ‖𝑢⃗ ∧ 𝑣 ‖ ⋅ ‖𝑤⃗⃗ ‖ ⋅ |cos 𝜃|=|𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ |

Exemplo:

1) Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 𝑢⃗ = (2,1,4)_𝐸 , 𝑣 = (2, −1,3)_𝐸 e 𝑤⃗⃗ = (5,4,1)_𝐸, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) é uma base ortonormal dextrógira.

Resposta: V =39

3.3 Projeção ortogonal de um vetor sobre outro

Expresse vetorialmente a projeção ortogonal de um vetor v sobre um vetor u. Resolução: 𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢⃗⃗ 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑢⃗ 𝑏⃗ = 𝑣 − 𝑎 (𝑣 − 𝑎 ) ⋅ 𝑢⃗ = 0 (𝑣 − 𝛼 ⋅ 𝑎 ) ⋅ 𝑢⃗ = 0 → 𝑣 ⋅ 𝑢⃗ − 𝛼‖𝑢⃗ ‖2= 0 → 𝛼 = 𝑣 ⋅ 𝑢⃗ ‖𝑢⃗ ‖2 Logo, 𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑗_𝑢_⃗⃗𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑢⃗ = (𝑣⃗ ⋅𝑢⃗⃗ ‖𝑢⃗⃗ ‖2) ⋅ 𝑢⃗ Resposta: 𝑝𝑟𝑜𝑗_𝑢⃗⃗ 𝑣 = ( 𝑣 ⃗ ⋅𝑢⃗⃗ ‖𝑢⃗⃗ ‖2) ⋅ 𝑢⃗

3.4 Exercícios propostos sobre vetores

(16)

Geometria Analítica e Álgebra Linear 1) Determine x, sabendo que os vetores são paralelos, nos casos:

a) 𝑢⃗ = (1,3,10)𝐸, 𝑣 = (−2, 𝑥, −20)𝐸 Resposta: x=−6

b) 𝑢⃗ = (0,2, 𝑥)_𝐸, 𝑣 = (0,3,6)_𝐸 Resposta: x=4 c) 𝑢⃗ = 2 ⋅ 𝑖 − 3 ⋅ 𝑗 − 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑥 ⋅ 𝑖 − 9 ⋅ 𝑗 − 3 ⋅ 𝑘⃗ Resposta: x=6 2) Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos:

a) 𝑢⃗ = (1,3,0)𝐸, 𝑣 = (2,1,14)𝐸 e 𝑤⃗⃗ = (3,4, 𝑎)𝐸 Resposta: a = 14 b) 𝑢⃗ = 𝑎 ⋅ 𝑖 − 3 ⋅ 𝑗 , 𝑣 = 𝑎 ⋅ 𝑗 + 𝑘⃗ e 𝑤⃗⃗ = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ Resposta: 2 13 1 = a

3) Dados 𝑢⃗ = 2 ⋅ 𝑖 , 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ e 𝑤⃗⃗ = −2 ⋅ 𝑖 + 6 ⋅ 𝑗 + 6 ⋅ 𝑘⃗ , escrever, se possível, 𝑤⃗⃗ como combinação linear de 𝑢⃗ e 𝑣 . Resposta: 𝑤⃗⃗ = −4 ⋅ 𝑢⃗ + 6 ⋅ 𝑣 4) Dados 𝑢⃗ = (2,0,0)_𝐸, 𝑣 = (1,1,1)_𝐸 e 𝑤⃗⃗ = (−2,6,2)_𝐸, escrever, se possível, 𝑤⃗⃗ como combinação linear de 𝑢⃗ e 𝑣 .

Resposta: É impossível, pois estes três vetores não são coplanares. 5) Sendo ‖𝑢⃗ ‖ = 2, ‖𝑣 ‖ = 3, e o ângulo  entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 é de

2  radianos, ache: a) ‖𝑢⃗ + 𝑣 ‖ Resposta: 13 b) o versor de (𝑢⃗ + 𝑣 ) Resposta: 𝑢⃗⃗ +𝑣⃗ √13 c) (𝑢⃗ + 𝑣 ) ⋅ (𝑢⃗ − 𝑣 ) Resposta: −5

6) Determinar o ângulo  entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 , sabendo-se que:

𝑢⃗ + 𝑣 + 𝑤⃗⃗ = 0⃗ , ‖𝑢⃗ ‖ = 2 , ‖𝑣 ‖ = 3, ‖𝑤⃗⃗ ‖ = 4. Resposta: 4 1 cos arc = 

7) Seja um paralelogramo construído sobre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 . Determinar o ângulo  entre as diagonais deste paralelogramo, sabendo-se que: ‖𝑢⃗ ‖ = √3, ‖𝑣 ‖ = 1 e o ângulo  entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 é de 6  radianos. Resposta: 7 7 2 cos arc = 

8) Sabendo que 𝑣 = (1, −1,1)𝐸, calcular o(s) vetor(es) 𝑢⃗ = (𝛼, 𝛽, 𝛾)𝐸, que satisfaçam

simultaneamente as 3 condições abaixo: a) 𝑢⃗ ⊥ 𝑖

b) 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 = 0

c) ‖𝑢⃗ ∧ 𝑣 ‖ = 3√6 Resposta: 𝑢⃗ = ±(0,3,3)_𝐸

9) Determinar a área do paralelogramo construído sobre 𝑢⃗ e 𝑣 , cujas diagonais são: 𝑢⃗ + 𝑣 = (0,3,5)𝐸 e 𝑢⃗ − 𝑣 = (2,1,1)𝐸. Resposta: 35

10) Determinar vetorialmente o ângulo formado por duas diagonais de um cubo. Resposta: = 70

3 1 cos arc

(17)

11) Calcule ‖2𝑢⃗ + 4𝑣 ‖2, sabendo que ‖𝑢⃗ ‖ = 1 e ‖𝑣 ‖ = 2, e a medida em radianos do ângulo entre 𝑣 e 𝑢⃗ é 2

3 

. Resposta: 52

12) Ache 𝑣 tal que ||𝑣 || = 3 3 , e seja ortogonal a 𝑢⃗ = (2, 3, − 1)_𝐸 e a 𝑤⃗⃗ = (2, −4,6)_𝐸 . Resposta: 𝑣 = ±3( 𝑖 − 𝑗 − 𝑘⃗ )

13) Ache um vetor unitário ortogonal a 𝑢⃗ = (1,−3,1)E e a 𝑣 = (−3,3,3)E.

Resposta: 𝑣 = ± 1

√6( −2𝑖 − 𝑗 − 𝑘⃗ )

14) Dados 𝑢⃗ = 3𝑖 −2𝑗 +6𝑘⃗ ; 𝑣 = − 3𝑖 −5𝑗 + 8𝑘⃗ e 𝑤⃗⃗ = 𝑖 +𝑘⃗ , calcule:

a) a área do paralelogramo construído sobre 𝑢⃗ e 𝑣 ; Resposta: 49 b) o volume do paralelepípedo construído sobre 𝑢⃗ , 𝑣 e 𝑤⃗⃗ ; Resposta: 7

c) a altura do paralelepípedo. Resposta:

7 1

15) Calcular os valores de m para que o vetor 𝑢⃗ +𝑣 seja ortogonal a 𝑤⃗⃗ − 𝑢⃗ onde:

𝑢⃗ = (2, 1, m)E; 𝑣 = (m+2, −5, 2)E e 𝑤⃗⃗ = (2m, 8, m)E. Resposta: m=−6 ou m=3

16) Encontre a área do triângulo cujos vértices são os pontos 𝐴 = (3, 3, 2), 𝐵 = (−2, 1, 2)

e 𝐶 = (2, 2, 1). Resposta: √38

2 𝑢. 𝑎.

17) Dados os pontos 𝐴 = (1, −2,3), 𝐵 = (2, −1, −4), 𝐶 = (0,2,0) e 𝐷 = (−1, 𝑚, 1), determinar todos os valores de m para que seja de 50 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 𝐴𝐵→ , 𝐴𝐶→ e 𝐴𝐷→ . Resposta: 9 ou −1 18) Determinar o ângulo entre os vetores 𝑢→ e 𝑣→, sabendo que ‖𝑢→‖ = 3, ‖𝑣→‖ = 7 e ‖𝑢→+ 𝑣→‖ =

4√5. Resposta: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠11

21

19) Dada a base ortonormal B = (𝑖→, →𝑗, 𝑘→), sejam 𝑢→= 2 𝑖→− 2 𝑗→+ 𝑘→ e 𝑣→= 3 𝑖→− 6 𝑗→. a) Obtenha a projeção ortogonal de 𝑣→ sobre 𝑢→.

Resposta: (4, −4,2)

b) Determine 𝑝→ e 𝑞→, tais que 𝑣→ = 𝑝→ + 𝑞→, sendo 𝑝→ paralelo e 𝑞→ ortogonal a 𝑢→. Resposta: (−1, −2, −2)

20) Em relação a uma base ortonormal, sabe-se que 𝐴𝐵→ = (2, √3, 1) e 𝐴𝐶→ = (−1, √3, 1). a) Verifique se A, B e C são vértices de um triângulo. Resposta: Sim. b) Ache o comprimento da altura do triângulo relativa ao vértice A. Resposta: 2

c) Ache a área do triângulo ABC. Resposta: 3

Referências Bibliográficas

1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 1984.

2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.

(18)

3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997.

4. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 1987.

5. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2.a Edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.

6. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2.a Edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.