Idemar Vizolli*
Resumo
Este trabalho é parte de nossa pesquisa de Mestrado na qual buscamos compreender o sentido e o significado operatório da porcentagem. Neste trabalho, apresentamos uma análise do desempenho de alunos na solução de problemas de proporção-porcentagem. Inspirados na metodologia da engenharia didática, proposta por Artigue e na teoria dos registros de representação, proposta por Duval, elaboramos um pré-teste, uma seqüência didática e um pós-teste, os quais foram aplicados em uma turma de alunos 6ª série da Educação Básica da rede pública estadual. Nas tarefas das sete atividades que compuseram a seqüência didática, levamos em conta os registros de representação semiótica: numérico (percentual, fracionário, decimal e proporcional); geométrico; em linguagem alfabética; tabela e gráfico cartesiano. Os resultados da pesquisa revelaram que os instrumentos utilizados possibilitaram um aumento significativo no índice de acertos na solução dos problemas, o que nos permite dizer que os alunos ampliaram significativamente sua compreensão conceitual de proporção-porcentagem o que lhes permitiu utilizar e aplicar esses conhecimentos na solução de novas atividades.
Palavras Chave:
Registro de representação semiótica, seqüência didática, proporção-porcentagem.
1 – Introdução
O estudo de proporção-porcentagem encontra eco pela sua aplicabilidade no contexto social imediato, o que é extremamente importante. Para o processo de ensino e aprendizagem, este conceito, também é muito importante, porque congrega uma série de outros conceitos, a exemplo das operações fundamentais, de fração, de números decimais, de razão, de proporção. Conceitos estes, que estão na base do conceito de função e são bastante complexos para os alunos, uma vez que se trata de compreender o significado de números relativos.
Ao se tratar de ensino e aprendizagem Duval (1993), nos diz que a originalidade e a especificidade do funcionamento do pensamento em matemática residem nas representações semióticas e na variedade de representações possíveis de serem utilizadas. Para Duval (1993, p. 38), “as representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação os quais tem suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento.” A importância das representações semióticas ocorre em função da possibilidade de tratamento matemático e pelo fato de que os objetos matemáticos não são diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda de instrumentos.
O autor (1993), destaca que na perspectiva do ensino e da aprendizagem existem dois tipos muito diferentes de transformações de representações semióticas: os tratamentos e as conversões. O tratamento é a transformação de uma representação semiótica em outra representação semiótica, quando se permanece no mesmo sistema de representação e chama a atenção porque corresponde a procedimentos de justificação. Já a conversão, é a transformação de uma representação semiótica em outra representação semiótica, em que se muda de sistema de representação e conserva-se a referência aos mesmos objetos.
A análise do desempenho dos alunos na solução de problemas de proporção-porcentagem, que ora fazemos, significa, olhar de forma mais acurada, a pesquisa feita por ocasião do Mestrado (Vizolli, 2001), e, ao mesmo tempo (re)avaliá-la.
2 – Aspectos do método da pesquisa
O estudo empírico aconteceu em três etapas, não desconexas. Na primeira, elaboramos um pré-teste que foi aplicado aos 34 alunos da 6ª série “01”, 37 alunos de 7ª série “02” do Ensino Fundamental e a 34 alunos do 1º ano “02” do Ensino Médio, da Escola de Educação Básica Professora Júlia Miranda de Souza, localizada no município de Navegantes, SC. Na segunda etapa, elaboramos e aplicamos uma seqüência didática na 6ª série “01”. Na terceira etapa, aplicamos o pós-teste aos alunos que desenvolveram as atividades da seqüência didática.
A elaboração, desenvolvimento e a aplicação do pré-teste, da seqüência didática e do pós-teste, foram inspirados na metodologia da engenharia didática. De acordo com Artigue (1988), o trabalho com a engenharia didática se assemelha ao trabalho do engenheiro, uma vez que se apóia em conhecimentos científicos que já domina, aceitando a submeter-se a um controle científico, ao mesmo tempo em que se vê obrigado a trabalhar com objetos mais complexos para os quais a ciência não quer ou não pode levar em conta. Para Douady (1993), a engenharia didática é uma seqüência de aulas concebidas, organizadas e articuladas no tempo, de forma coerente, para um professor-engenheiro realizar um projeto de aprendizagem para uma população de alunos.
O processo experimental da engenharia didática é composto por quatro fases: análises preliminares; concepção e análise a priori; experimentação; análise a posteriori e validação.
Para a elaboração das atividades do pré-teste, da seqüência didática e do pós-teste, levamos em consideração os registros de representação semiótica: numérico (percentual, fracionário, decimal e proporcional); geométrico; em linguagem alfabética; tabela e gráfico cartesiano.
A seqüência didática é composta por sete atividades. As atividades 01 a 05 têm por objetivos perceber: a existência da equivalência na distribuição da quantidade de quadriculados em cada quadrado de papel vermelho e azul, o mesmo acontecendo com os quadrados e cubos pintados; que há uma razão entre o número de quadriculados (vermelhos e azuis); que ao comparamos o número de quadrados e/ou cubos azuis ou vermelhos, em relação ao total, se tem uma fração; que há uma proporção na subdivisão do quadrado e que essa
proporção avaliada em relação à centena; que é possível se (ob)ter taxas percentuais maiores, menores ou iguais a centena; existem diferentes registros de representação semiótica para representar uma porcentagem. A atividade 06 tem por objetivo verificar se os alunos: compreendem o significado de uma taxa percentual a partir do gráfico cartesiano; utiliza e reconhece diferentes registros de representação semiótica; aplica a porcentagem na resolução de problemas. A atividade 07 tem como objetivos verificar se o aluno: articula o sentido e o significado operatório da porcentagem e aplica a proporção na solução de problemas de porcentagem.
Para o desenvolvimento das atividades da seqüência didática, os alunos foram orientados a se organizarem em grupo de até quatro pessoas, cujas equipes deveriam permanecer inalteradas até conclusão do desenvolvimento das atividades e no final de cada encontro, deveriam entregar um relatório contendo os registros das atividades desenvolvidas (foram formados 10 grupos).
A aplicação da seqüência didática aconteceu em 5 encontros. No primeiro encontro conversamos com os alunos sobre os objetivos da pesquisa; organizamos os grupos. Além das orientações gerais, nesse primeiro encontro, os alunos desenvolveram as tarefas relativas à atividade 01. “Percebendo a proporção”. No segundo encontro, com a utilização do retroprojetor e lâminas, retomamos alguns conceitos explorados nas atividades do primeiro encontro e os alunos resolveram as tarefas relativas a atividade 02 “aplicando proporção” e a atividade 03 “identificando a porcentagem enquanto proporção”.
Com o auxilio do quadro e giz, agora, no terceiro encontro, retomamos a propriedade fundamental da proporção, no intuito de mostrar que é possível se obter dados proporcionais a partir de um ponto de referência. Definimos, de acordo com Damm (1998, p. 198), a porcentagem como a "proporção de uma quantidade, de uma grandeza em relação a uma outra, avaliada sobre a centena." No intuito de fazer com que os alunos visualizassem a porcentagem do quadrado, em vermelho (40%) e azul (60%), sobrepomos, a cada quadrado, uma lâmina quadriculada, para evidenciar que a proporção do número de quadriculados vermelhos e azuis mantinha o percentual, independentemente do número de quadriculados do quadrado.
Nesse encontro os alunos desenvolveram a atividade 04 “reconhecendo e convertendo diferentes registros de representação semiótica” e a atividade 05 “enfocando a porcentagem enquanto proporção”.
No quarto encontro, apresentamos uma lâmina (atividade 04) na qual destacamos alguns erros cometidos pelos alunos ao efetuarem a conversão entre diferentes registros de representação. Chamamos a atenção para a aplicação da propriedade fundamental da proporção e para o fato de que a taxa percentual é um valor relativo avaliado em relação à centena e deve ser expressa pelo símbolo da porcentagem. Neste encontro os alunos resolveram as tarefas relativas a atividade 06 “compreendendo a porcentagem a partir de gráfico” e a atividade 07 “reconhecendo o sentido e o significado operatório na porcentagem”.
Com o intuito de retomar alguns conceitos trabalhados no decorrer dos quatro encontros, retornamos à escola e, num quinto encontro, reforçamos a utilização da aplicação da propriedade fundamental da proporção, na resolução das atividades que envolvem porcentagem.
Resumidamente, podemos dizer que o procedimento para o desenvolvimento das atividades foi o seguinte: discussão em torno das dificuldades apresentadas no desenvolvimento das atividades anteriores, a partir do segundo encontro; apresentação da(s) atividade(s) e seus respectivos objetivos; distribuição do material necessário ao desenvolvimento da(s) atividade(s); leitura das orientações necessárias ao desenvolvimento da(s) atividade(s); anotação das conclusões e/ou respostas de cada tarefa; apresentação de um relatório por equipe, da(s) atividade(s) desenvolvida(s) na aula.
3 – Os resultados e algumas considerações
Embora os problemas aplicados no pré-teste não sejam os mesmos do pós-teste e que outros registros tenham sido apresentados no pós-teste, os objetivos são os mesmos em cada grupo de problemas. A organização dos dados coletados, em tabelas, obedecendo aos objetivos previamente estabelecidos, nos permite uma melhor visualização e análise dos resultados.
TABELA 01 – Utilizando diferentes registros de representação
Pré-teste Pós-teste
Problema 6ª Série Problema 6ª Série
6/8 0% 110/100 74%
5/10 32% Gráfico cartesiano 91%
0,3 15% Tabela 86%
0,25 23% 1,75 88%
62% 71%
TABELA 02 – Estabelecendo sentido e atribuindo significado operatório
Pré-teste Pós-teste
Problema 6ª Série Problema 6ª Série
20% de 30 pessoas 86% 110% de R$ 250,00 71% 13% de 2000 votos 80% 15% de 300 32%
5% o de 13000 pessoas 77%
TABELA 03 – Aplicação da porcentagem na solução de problemas
Pré-Teste Pós-teste
Problema 6ª Série Problema 6ª
Série Sobre o valor de uma
calça de R$ 40,00, tem-se um desconto de 15%. Qual é o desconto? Quanto se pagará pela calça?
0% Numa eleição onde 3500 pessoas votaram, um candidato obteve 60% dos votos. Qual é o número de votos que esse candidato obteve?
74%
17% corresponde a 51 de uma certa Quantia. Qual é essa Quantia?
0% Numa eleição onde um certo número de pessoas votou, um candidato obteve 15% do total de votos, isso corresponde a 4500 votos. Qual é o número total de votos nessa eleição?
31%
200g de café
corresponde a que porcentagem de 1 kg de café?
0% Numa eleição onde 3500 pessoas votaram, um certo candidato obteve 1000 votos. Qual a taxa percentual de votos desse candidato?
9%
Ao observarmos os dados, é possível perceber uma elevação significativa nos índices de acertos dos problemas do pré-teste em relação ao pós-teste, mesmo nos problemas apresentados em linguagem alfabética. Os estudos relativos a solução de problemas, apontam que os enunciados de problemas em
linguagem alfabética sofrem a influência da variável redacional. Duval (1993), por exemplo, aponta para a compreensão de texto e aos aspectos de congruência semântica.
Segundo este autor (1993), dois registros de representação são congruentes quando atendem os critérios de correspondência semântica, univocidade semântica e organização das unidades significantes. Quando um destes critérios não é atendido, não há congruência entre as representações, a conversão não é um processo trivial e ainda, duas representações podem ser congruentes num sentido e não no sentido inverso.
Ao analisarmos os aspectos de congruência semântica, é possível perceber que, quanto maior a congruência entre o registro de representação de partida e o de chagada, maior o índice de acertos. Se analisarmos os resultados de acertos nos problemas cujos enunciados foram apresentados em linguagem alfabética, podemos observar diferenças significativas nos percentuais, o que nos permite dizer que o primeiro é mais congruente que o segundo e o terceiro, e que o segundo e mais congruente que o terceiro e menos congruente que o primeiro.
Mesmo que argumentemos que os alunos de 6ª série, ainda não haviam estudado porcentagem, nos parece inconcebível que a escola não tenha dado atenção à conceitos fundamentais da Matemática, como por exemplo, ao conceito de proporção e nem às questões relacionadas a solução de problemas, como por exemplo, as implicações relativas aos termos utilizados no enunciado do problema, aspectos esses presentes na literatura sobre Educação Matemática.
Os índices de acertos, nos problemas cujos enunciados foram apresentados em linguagem alfabética, demonstram que um trabalho sistemático em que se utiliza diferentes registros de representação para um mesmo objeto matemático, contribuem com a compreensão de textos e resolução de problemas. Esse resultado pode ser considerado satisfatório, tendo em vista que o trabalho de pesquisa pautou-se no entendimento do sentido e na atribuição do significado operatório, utilizando-se para isso, de diferentes registros de representação semiótica e a conversão entre eles, aliados ao entendimento da porcentagem como uma proporção.
É preciso dizer também que a elevação nos índices de acertos dos problemas do pós-teste dos alunos de 6ª série superou os índices de acertos dos alunos do 1º ano do Ensino Médio, quando da realização do pré-teste.
Atribuímos a elevação dos índices de acertos a vários fatores, dentre os quais podemos destacar: à escolha do referencial teórico; à metodologia e ao método utilizado na pesquisa; à qualidade da seqüência didática; e ao empenho dos alunos no desenvolvimento das atividades quando do processo de intervenção didática.
A abordagem da porcentagem como proporção se deu pela via da compreensão de que, quando se observa o aumento ou a diminuição de uma quantidade de uma grandeza, ao se comparar este aumento ou diminuição entre a parte e o todo (fração) da quantidade de uma grandeza, com a parte e o todo (fração) da quantidade de outra grandeza, a segunda também aumenta ou diminui na mesma proporção da primeira. Temos aqui a propriedade fundamental da proporção: a :: b = c :: d, onde, a . d = b . c, ou seja, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
A compreensão de que uma taxa é um valor relativo é extremamente importante. Isso pôde ser observado no problema do pós-teste em que solicitamos que os alunos calculassem 5%o de uma população de 13000 pessoas, cujo
desempenho dos alunos foi 77% de acerto.
A compreensão do sentido permite que se analise os elementos matemáticos e não-matemáticos presentes no enunciado do problema, como por exemplo, a identificação, classificação dos dados e informações (a natureza das grandezas, as quantidades representadas, o universo, a amostragem, o contexto em que o problema foi dado, os tempos verbais, a incógnita dentre outros fatores que podem interferir no processo de solução do problema proposto). A compreensão desses elementos permite que o sujeito avalie o resultado matemático obtido, o que dá o significado operatório. O sentido congrega o significado operatório, ao mesmo tempo em que no significado operatório encontram-se os tratamentos e procedimentos matemáticos adotados na solução do problema. Tanto o sentido, quanto o significado operatório devem ser desenvolvidos a partir da utilização de diferentes registros de representação semiótica, com seus respectivos tratamentos e conversões.
Diante da escolha do objeto de pesquisa, dos objetivos traçados, da hipótese levantada, do referencial teórico, da metodologia utilizada, dos encaminhamentos e procedimentos, avaliamos que os resultados apresentados no Pós-Teste superaram nossas expectativas. Sugerimos que outras pessoas desenvolvam essas atividades, para que possamos analisar com mais clareza os erros e acertos que cometemos. Somente dessa forma poderemos crescer enquanto profissionais, cidadãos e seres humanos. Nossa luta pela melhoria da qualidade de ensino exige que novas pessoas sejam desafiadas e/ou se desafiem a procurar alternativas que contribuam desenvolvimento da humanidade.
Em hipótese alguma queremos dizer que esse trabalho está pronto e serve como modelo, porque cada sujeito reage de forma diferente a um mesmo estímulo, porque a educação é processo e como tal, há que se buscar, constantemente, novas perspectivas. Este trabalho serviu enquanto um instrumento para o desenvolvimento de um processo e não como fim em si mesmo. Nessa perspectiva, nossa pesquisa deve servir de parâmetro para o desenvolvimento de outras atividades, em outras turmas, séries e em outras Unidades Escolares. Outros trabalhos de pesquisa podem se desenvolvidos, a exemplo da compreensão de textos e resolução de problemas e de uma análise dos conceitos matemático que estão na base do conceito de proporção-porcentagem.
Referências bibliográficas
ARTIGUE, M. Ingénierie Didactique. In: Recherches en Didactique des Mathematiques, Paris, Université paris, v.9, n.º3, p.281-308, 1988.
DAMM W. L. Les problemes de pourcentage: une application des problèmes de conversion proportion-quantité. In: Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Strasbourg: IREM, 6(1998) (p.197-212).
DOUADY, R. L’Ingénierie Didactique. Cahier de DIDIREM. Nº 19 jan/93. IREM Université – Paris – VII
DUVAL, R. Registros de Representação Semiótica e funcionamento cognitivo do pensamento. In: Anais de didática e de ciências cognitivas. 5 (1993) (p. 37-65) – IREM de Strasbourg. Tradução preliminar de Cátia Maria Nehring.
VIZOLLI, I. Registros de representação semiótica no estudo de porcentagem. Florianópolis: UFSC, 2001. (Dissertação de Mestrado).
