ESTABILIDADE DE CONJUNTOS INVARIANTES POR UMA CLASSE DE PERTURBAÇÕES DESCONTÍNUAS DA IDENTIDADE

ESTABILIDADE DE CONJUNTOS INVARIANTES

POR UMA CLASSE DE PERTURBAÇÕES

DESCONTÍNUAS DA IDENTIDADE

Marcos Luiz CRISPINO1

RESUMO: Deduziremos neste trabalho condições suficientes para a estabi-lidade de conjuntos (positivamente) invariantes por uma classe de perturba-ções descontínuas FA:Im → Im da identidade, onde Im é o cubo n-dimensional fechado [0,1]m _{e A é um parâmetro que pertence a R}mN_.

PALAVRAS CHAVE: Sistemas dinâmicos discretos, equações de diferen-ças finitas.

1 Introdução

Sejam Im _{o cubo m-dimensional fechado [0,1]}m_{, D = {M}

1,....,MN] uma decomposição de Im_{, onde os M}

k são convexos e mensuráveis segundo Jordan. Seja A = (a1,....,aN) ∈ RmN tal que:

ak≠ 0, k = 1,....,N ak + Mk⊆ Im, k = 1,...,N onde, como usual:

ak + Mk = {ak + x; x ∈ Mk}

Para cada A que cumpre as conições acima, seja F(A,D):Im_{→ I}m definida do seguinte modo:

= ∂ ∈ + ∈ = + = _x, a , _xx Int_M (_, M ,) _kk ₁1_....,....,_NN ) D; , A ( F k k k x x

1 Departamento de Energia Nuclear – Universidade Federal de Pernambuco – UFPE – 50740-540 – Recife – PE.

Considerando o caso particular no qual os Mk são blocos m−

dimensionados de uma partição de Im_{, foram deduzidas em Crispino} (1999a) algumas propriedades relevantes das órbitas periódicas das funções F(A,D), como também condições suficientes para a estabi-lidade de conjuntos (positivamente) invariantes por F(A,D).

No presente trabalho, obteremos condições suficientes para a estabilidade de conjuntos positivamente invariantes por F(A,D), onde, agora, os conjuntos Mk da decomposição D são conjuntos convexos quaisquer.

De agora em diante, escreveremos, para simplificar, FA em lugar de F(A,D). Indicaremos por DA o conjunto dos pontos de descon-tinuidade de FA. Por conseguinte, DA é a reunião Nk=1∂Mk das fron-teiras dos conjuntos Mk.

2 Conceitos e notações

X\A é o complementar do conjunto A relativo ao conjunto X. Int(A), A , Der(A) e ∂A são respectivamente o interior, o fecho, o conjunto dos pontos de acumulação e a fronteira do conjuntoA.

B(x;r) e B (x;r) são a bola aberta e a bola fechada de centro x e raio r. B(X;r) é a bola aberta de raio r em torno do conjunto X.

d(X,Y) é a distância de X a Y. d(x,Y) é d({x},Y}.

O+(f;X) e O−(f; X) são respectivamente as órbitas positiva e

negativa da função f pelo conjunto X. O+(f;x) e O−(f;x) são

respectivamente O+(f;{x}) e O−(f;{x}).

Quando F = FA, escreveremos O+(A;X), etc., em lugar de O+(FA;X), etc.

Dois subconjuntos A, B de um espaço topológico X dizem-se separados quando A∩B=∅ e A∩B=∅.

Um conjunto X diz-se positivamente invariante por uma função f quando f(X) ⊆ X. Usaremos, por brevidade, a expressão invariante em

lugar de positivamente invariante.

Seja X um subconjunto de um espaço métrico M, invariante por uma função f:M → M. Diz-se que X é estável quando, para todo ε > 0

dado arbitrariamente, existe δ > 0 tal que O+(f;B(X,δ)) ⊆ B(X; ε). Diz-se que X é instável quando não é estável.

3 Resultados Auxiliares

3.1 Lema:

Seja (M, d) um espaço métrico. Dados X, Y Í M não-vazios, tem-se:

d(X, Y) = inf{d(x, Y); x ∈ X{ = inf{d(y, X); y ∈ Y}

Demonstração:

Seja x ∈ X dado abitrariamente. Para qualquer y ∈ Y, vale:

d(X,Y) ≤ d(x, y)

logo d(X,Y) é uma cota inferior de {d(x, y); y ∈ Y}. Por conseguinte:

d(X,Y) ≤ d(x, y)

Sendo x ∈ X arbitrário, decorre da expressão acima de d(X,Y) é uma cota inferior de d(X,Y); x ∈ X}. Por esta razão:

d(X,Y) ≤ inf{d(x,Y); x ∈ X} (3.1.1)

Dado arbitrariamente ε > 0, sejam xo ∈ X, yo ∈ Y (os quais existem) tais que d(xo, yo) < d(X,Y) + ε. Tem-se:

d(xo, Y) ≤ d(xo, yo) < d(X, Y) + ε da qual resulta:

inf{d(x,Y); x ∈ X} ≤ d(xo, Y) < d(X, Y) + ε Como ε é arbitrário, da expressão acima decorre:

inf{d(x,Y); x ∈ X} ≤ d (X, Y) (3.1.2)

De 3.1.1 e 3.1.2 tira-se: d (X, Y) = inf{d(x,Y); x ∈ X}

procedendo de modo análogo, obtem-se: d (X, Y) = inf{d(y,Y); x ∈ Y}

3.2 Lema:

Sejam X, Y subconjuntos limitados de Rm, com X ⊆ Y. Dado r >

0, vale:

B(X; r) ⊆ Int(Y) ⇔ r ≤ d(X, ∂Y) Demonstração:

Do fato de ser B(X; r) = {B(x; r); x ∈ X}, segue:

B(X; r) ⊆ Int(Y) ⇔ ((∀x ∈ X) (B(X; r) ⊆ Int(Y)) (3.2.1) Como X ⊆ Y, de 3.2.1 e do Lema 3.3 de Crispino (1996, p.283)

decorre:

B(X; r) ⊆ Int(Y) ⇔ ((∀x ∈ X) (d(x; ∂Y) ≥ r)

Pelo Lema 3.1:

d(x; ∂Y) = inf{d(x; ∂Y); x ∈ X}

Daí e de 3.2.2 tira-se:

B(X; r) ⊆ Int(Y) ⇔ inf{d(x; ∂Y); x ∈ X} ≥ r ⇔ d(x; ∂Y); ≥ r

e que prova o lema.

3.3 Observação:

Seja E um espa;o vetorial normado. Dado X ⊆ E ocnvexo,

suponhamos Int(X) não-vazio. Pela Observação 3.2.a de Crispino (1996, p.282) valem as seguintes afirmações:

)) ( ( ) ( X X X X Int Int ∂ = ∂ =

Tem-se também que Int(X) é convexo. Dados X, Y ⊆ E

convexos, admitamos Int(X) e Int(Y) não-vazios e disjuntos. Então: Int(X) ∩ Y= ∩ Int(Y) = ∅ X

Com efeito: se fosse Int(X) ∩ ≠Y ∅, existiria xo∈ Int(X) ∩ Y . Para este xo, ter-se-ia xo Int

( )

3.4 Lema:

Seja E um espaço vetorial normado. Dado K ≥ 2, seja {X1,....,Xk}, uma classe de subconjuntos convexos e fechados de E, cujos interiores são não-vazios e disjuntos dois a dois. Sejam X =

k K 1 k k K 1

k= X eY= = ∂X . Dados A ⊆ E convexo e r > 0, suponhamos:

1) B(A; r) ⊆ Int(X).

2) B(A; r) ∩ Xk = B(A ∩ Xk; r) ∩ Xk, k = 1,....,K.

Nestas condições, para todo y ∈ B(A; r) ∩ Y existe, em

correspondência, x ∈ A ∩ Y tal que y ∈ B (x;r).

Demonstração:

i) Dado y ∈ B(A; r) ∩ Y arbitrário, seja k ∈ {1,....,K} (o qual

existe, pela definição de Y) tal que y ∈ ∂ Xk. Sendo Xk convexo, y ∈

∂Int(Xk)), conforme a Observação 3.3. Seja ρ > 0 (o qual existe, pois B(A; r) é um conjunto aberto) tal que:

B(y; ρ) ⊆ B(A; r)

Valem as seguintes afirmações:

B(y; ρ) ∩ Int(Xk) ≠ ∅ (3.4.1)

B(y; ρ) ∩ (E\Xk) ≠ ∅ (3.4.2)

Da condição (1) do enunciado, vem: B(y; ρ) ⊆ Int(X)

donde:

B(y; ρ) ∩ (E\Xk) ⊆ B(y; ρ) ⊆ Int(X) Portanto:

B(y; ρ) ∩ (E\Xk) = (B(y; ρ) ∩ (E\Xk)) ∩ Int(X) = = B(y; ρ) ∩ (Int(X) ∩ (E\Xk)) = B(y; ρ) ∩ (Int(X)\ Xk)

De 3.4.2 e das igualdades acima decorre a existência de um outro índice l ∈ {1,....,K} para o qual B(y; ρ) ∩ Xl≠ ∅. Para este l, tem-se:

conforme a Observação 3.3. Sendo B(y; ρ) ∩ Xl≠ ∅, de 3.4.1 e 3.4.3 obtem-se B(y; ρ) ∩ Xl≠ ∅ e B(y; ρ) ∩ (E\ Xl) ≠ ∅, donde:

y ∈ ∂Xl

Em conseqüência: Para todo y ∈ B(A;r) ∩ Y existem índices

distintos k, l ∈ {1,....,K} tais que y ∈ ∂Xk∩ ∂Xl.

ii) Dado arbitrariamente y ∈ B(A;r) ∩ Y, sejam k, l ∈ {1,....,K}

(pelo ítem (i), estes índices existem) com k ≠ l, tais que y ∈ ∂Xk∩ ∂Xl. Sendo Xk e Xl fechados, tem-se y ∈ Xl. Logo, valem ambas as afirmações seguintes:

y ∈ B(A;r) ∩ Xk y ∈ B(A;r) ∩ Xl

Destas e da propriedade (2) do enunciado decorre: y ∈ B(A ∩ Xk;r)

y ∈ B(A ∩ Xl;r)

Portanto existem xk∈ A ∩ Xk, xl∈ A ∩ Xl de modo que:

y ∈ B(xk;r) (3.4.4)

y ∈ B(xl;r) (3.4.5)

Se xk ∈ ∂Xk ou xl ∈ ∂Xl, nada mais há para demonstrar. Admitamos então xk ∈ Int(Xk) e xl ∈ Int(Xl). Ora, de 3.4.4 e 3.4.5 resulta:

xk, xl∈ B(y;r)

Daí e da convexidade de B(y;r) decorre: [xk;xl] = {(1-t)xk + txl ; 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ B(y;r)

Como xk,xl ∈ A e A é convexo, tem-se [xk;xl] ⊆ A. Por conse-guinte:

[xk;xl] ⊆ A ∩ B(y;r)

Em virtude de ser Int(Xk) ∩ Int(Xl) = ∅, da conexidade de [xk;xl] e do Teorema da Alfândega segue a existência de x ∈ [xk;xl] ∩

∂(Int(Xk)). Pela convexidade de Xk, x ∈ ∂Xk, portanto x ∈ Y. Visto que x ∈ B(y;r), tem-se:

y ∈ B(y;r)

3.5 Lema:

Sejam E um espaço vetorial normado, r > 0 e X, Y subconjuntos convexos de E, sendo Int(Y) não-vazio. Suponhamos X ∩ Int(Y) não-vazio. Então, para todo y ∈ B(X ∩ Y;r) existe, em correspondência, x ∈ X ∩ Int(Y) tal que y ∈ B(x;r).

Demonstração:

Dado arbitrariamente y ∈ B(X ∩ Y;r), seja x1∈ X ∩ Y (o qual existe) tal que y ∈ B(x1;r). Tem-se então ||x1 - y|| < r. Seja ε > 0 (o qual existe) de modo que:

||x1 - y|| < r - ε (3.5.1)

Seja xo∈ X ∩ Int(Y). Como x1∈ Y, x1∈ Y . Sendo Y convexo e xo ∈ Int(Y), do teorema (T.2,XIX,2;4) de Schwarz (1970, p.260-1) segue:

[xo;x1) = {(1-t)xo + tx1 ; 0 ≤ t < 1} ⊆ Int(Y) (3.5.2) Como xo∈ X, x1∈ X e X é convexo, tem-se:

[xo;x1) = {(1-t)xo + tx1 ; 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ X (3.5.3) De 3.5.2 e 3.5.3 tira-se:

[xo;x1) ⊆ X ∩ Int(Y) (3.5.4)

A função t → (1-t)xo + tx1 de [0;1] em E sendo contínua, existe δ

∈ (0;1) para o qual vale:

1 - δ < t ≤ 1 ||x1 - ((1-t) xo + tx1)|| < ε (3.5.5) Tomando qualquer t ∈ (1- δ,1) e fazendo x = x(t) = (1-t)xo + tx1, vem:

x ∈ [xo;x1) ||x-x1|| < ε

Por 3.5.4, x ∈ X ∩ Int(Y), e de 3.5.1 resulta:

||x-y|| ≤ ||x-x1|| + ||x1-y|| < r - ε + ε = r Portanto:

y ∈ B(x;r)

4 Resultados Principais

1,...., MN} uma decomposição de Im onde os Mk, k = 1,....,N, são convexos mensuráveis segundo Jordan, A

∈ RmN_{, F}

A = F(A, D) e DA como no parágrafo 1. Obteremos agora os resultados que constituem o objetivo principal do texto.

4.1 Teorema:

Dado o conjunto convexo A ⊆ Im_{, seja U(A) = { X}

1,...., XK} a subclasse da decomposição D formada pelos M ∈ D tais que A ∩ Int(M) é não-vazio. Seja K

k Xk

X = ₌₁ . Suponhamos U(A) não-vazia. Suponhamos também:

1) d(A, ∂X) > 0.

2) B(A;r) ∩ Xk = B(A ∩ Xk;r) ∩ Xk, r > 0, k = 1,....,K. Nestas condições, tem-se:

0 < r ≤ d(A, ∂X) FA(B(A;r)) ⊆ B(FA(A);r)

Demonstração:

i) Sendo d(A, ∂X) > 0, A ⊆ X. De fato: Se fosse A ∩ (Im_{\ X)} não-vazio, A ∩ ∂X seria não-vazio, conforme o Teorema da Alfândega.

Pelo Lema 3.2, tem-se:

0 < r ≤ d(A, ∂X) B(A;r) ⊆ Int(X)

Seja então r ∈ (0, d(A, ∂X)]. Dado arbitrariamente y ∈ FA(B(A;r)

∩ DA), seja xo∈ B(A;r) ∩ DA (o qual existe) tal que y = FA(xo). Pela definição de FA e pela Observação 3.2.b de Crispino (1996, p.283) os pontos de DA são pontos fixos de FA Logo, xo = FA(xo) = y, donde:

y ∈ B(A;r) ∩ DA

Seja Y = X ∩ DA. Como B(A;r) ⊆ X, tem-se: B(A;r) ∩ DA = B(A;r) ∩ Y

Também pela Observação 3.2.b de Crispino (1996), p.283, K

k Xk

Y = ₌₁∂ . Os interiores Int(Xk) dos Xk sendo disjuntos dois a dois (pois X1,...., Xk∈ D e D é uma decomposição de Im), do Lema 3.4 e da

condição (2) do enunciado segue a existência de x ∈ A ∩ Y de modo

que:

y ∈ B(x;r)

Ora, x ∈ Y = X ∩ DA, logo FA(x) = x. Como x também pertence a A, vem:

x ∈ FA(A) Por conseguinte: y ∈ B(FA(A);r)

Como y ∈ B(A;r) ∩ DA é arbitrário, tem-se: FA(B(A;r) ∩ DA) ⊆ B(FA(A);r)

ii) Seja agora y ∈ FA(B(A;r) ∩ (X\DA)). Existe x ∈ B(A;r) ∩ (X\DA) para o qual y = FA(x). Uma vez que:

K

k k

A

\D = ₌₁ (X )

X Int

existe, para este x, um único índice k ∈ {1,....,K} tal que x ∈ Int(Xk). Para este k, tem-se:

x ∈ B(A;r) ∩ Int(Xk).

Pela propriedade (2) do enunciado e pelo Lema 3.5, existe xo∈ A

∩ Int(Xk) tal que x ∈ B(xo;r). Para este xo, vale: ||x-xo|| < r

Do fato de ser xo∈ A decorre: yo = FA(xo) ∈ FA(A)

Mas x,xo∈ Int(Xk) e FA|Int(Xk) é, conforme a definição de FA, a restrição a Int(Xk) de uma translação. Por isto:

||y-yo|| = || FA(x)-FA(xo)|| = ||x-xo|| < r

donde y ∈ B(yo;r). Mas yo∈ FA(A), portanto y ∈ B(FA(A);r). Sendo y arbitrário, vem:

FA(B(A;r)\DA) = FA(B(A;r) ∩ (X\DA)) ⊆ B(FA(A);r) Desta expressão e do ítem (i) resulta:

FA(B(A;r)) ⊆ B(FA(A);r) como queríamos.

4.2 Observações:

a) Sejam A, U(A) = {X1,...., X K} e X como no Teorema 4.1. Como A ∩ Int(Xk) é não-vazio, A e Xk são, para todo k ∈ {1,....,K}, não-separados. Pelo Corolário V de Knaster & Kuratowski (1921, p.210), X é conexo.

b) Seja Y ⊆ Im _{invariante por F}

A. Decorre do Teorema 3.2 de Crispino (1999b, p.658) que

Y

4.3 Teorema:

Seja A ⊆ Im _{compacto e invariante por F}

A. Sejam A1,....,AL as componentes conexas de A. Para cada l = 1,....,L, seja U(AL) = {XL1,....,XLK(l)} ⊆ D a classe formada pelos M ∈ D tais que AL∩ Int(M) ≠ ∅. Suponhamos U(AL) não-vazia para cada l = 1,...,L. Seja

) ( 1l K k lk l = = X

X . Suponhamos também que as componentes conexas A1,....,AL de A são convexas e que, para cada l = 1,....,L, valem as seguintes propriedades:

1) d(Al, ∂Xl) > 0.

2) B(Al;r) ∩ Xlk = B(Al∩ Xlk;r) ∩ Xlk, r > 0, k = 1,....,K(l). Nestas condições, A é estável.

Demonstração: Seja:

ρ = Min{d(Al, ∂Xl) ; l = 1,....,L}

Então, ρ é um número real positivo. Do Teorema 4.1 segue:

0 < r ≤ ρ FA(B(Al;r)) ⊆ B(FA(Al);r) (4.3.1) a afirmação acima sendo verdadeira para cada l = 1,....,L. Sendo A invariante por FA, tem-se FA(Al) ⊆ FA(A) ⊆ A, e portanto:

B(FA(Al);r) ⊆ B(FA(A);r) ⊆ B(FA(A;r), r > 0, l = 1,....,L Destas expressões e de 4.3.1 tira-se:

0 < r ≤ ρ FA(B(Al;r)) ⊆ B(A;r), l = 1,....,L (4.3.2) Do Lema 4.2 de Crispino (1999a, p.676) decorre:

L l l r r) ₁ ( ; ) ; (A = ₌ BA B

seja qual for r > 0. Portanto, de 4.3.2 e da igualdade acima obtem-se: 0 < r ≤ ρ FA(B(A;r)) ⊆ B(A;r)

do que resulta:

0 < r ≤ ρ O+ (A;B(A;r)) ⊆ B(A;r) o que prova o teorema.

CRISPINO, M. L. Stability of Invarfiant Sets for a Class of Dis-continuous Pertubations of the Identity Map. Rev. Mat. Estat. (São Paulo), v.19, p.285-296, 2001.

ABSTRACT: In this work, we obtain sufficient conditions for stability of invariant sets for a class of discontinuous perturbations FA:Im → Im of the

identity map. Here, Im _{= [0,1]} m_{, and A is a parameter belonging to R}mN_.

KEYWORDS: Discrete dynamical systems, finite difference equations.

5 Referências bibliográficas

1 BERGE. C. Espaces Topologiques, Paris: Dunod, 1959 (272p.) 2 CRISPINO, M. L. Dinâmica de Uma Classe de Perturbações Des-contínuas da Identidade, In: SEMINÁRIO BRASILEIRO DE ANÁ-LISE, 44, 1996, Ribeirão Preto. p.279-99.

3 CRISPINO, M. L. Propriedades dos Pontos de Periodicidade e Estabilidade de Conjuntos Invariantes por Uma Classe de Funções Descontínuas, In: SEMINÁRIO BRASILEIRO DE ANÁLISE, 49, 1999, Campinas. p.667-82.

4 CRISPINO, M. L. Propriedades de Órbitas Aperiódicas de Uma Classe de Funções Descontínuas, In: SEMINÁRIO BRASILEIRO DE ANÁLISE, 50, 1999, São Paulo. p.657-67.

5 LIMA, E. L. Espaços Métricos, Rio de Janeiro: IMPA, CNPq, 1977. 299p.

6 LIMA, E. L. Curso de Análise, Rio de Janeiro: IMPA, CNPq, 1981. 547p.

7 KNASTER, B., KURATOVSKI, C. Sur les Ensembles Connexes, Varsóvia: Fund. Math. T2, 1921, p.207-55.

8 SCHWARZ, L. Topologie Générale et Analyse Fonctionelle, Paris: Hermann, 1970. 432p.