Cálculo III Poli Teoremas de Stokes e Gauss (ou da Divergência)

C ´alculo III – Poli

Teoremas de Stokes e Gauss (ou da Diverg ˆencia)

Edson de Faria

Departamento de Matem ´atica IME-USP

Introduc¸ ˜ao

Nesta aula apresentaremos os seguintes t ´opicos:

Operadores diferenciais: gradiente, laplaciano, divergente e rotacional

Teorema de Stokes

Teorema de Gauss, tamb ´em conhecido como Teorema da Diverg ˆencia

Operadores diferenciais

Existem quatro operadores diferenciais de grande import ˆancia no c ´alculo a v ´arias vari ´aveis e aplicac¸ ˜oes. Dois deles atuam em func¸ ˜oes escalares, enquanto os outros dois atuam em func¸ ˜oes vetoriais. S ˜ao eles:

Operador gradiente. Este ´e nosso velho conhecido: dada uma func¸ ˜ao escalar diferenci ´avelφ(x1,x2, . . . ,xn), seu gradiente ´e a func¸ ˜ao

vetorial denotada porgrad(φ)ou∇_{φe definida assim:}

grad(φ) = ∇φ = ∂φ ∂x1 , ∂φ ∂x2 , . . . , ∂φ ∂xn ! .

Operador laplaciano. Dada uma func¸ ˜ao escalarφ(x1,x2, . . . ,xn)de

classeC2_{(ou no m´ınimo duas vezes diferenci ´avel), seu laplaciano ´e}

a func¸ ˜ao escalar denotada por∆φou∇2_{φe definida assim:}

∆φ = ∇2φ= ∂ 2_φ ∂x₁2 + ∂2φ ∂x₂2 + · · · + ∂2φ ∂x_n2 .

Operador divergente. SeF = (F1,F2, . . . , Fn) ´e um campo de

vetores, onde cadaFi ´e uma func¸ ˜ao diferenci ´avel em n vari ´aveis, seu

divergente ´e a func¸ ˜ao escalar denotada pordiv(F)ou_{∇ ·}F e

definida assim: div(F_{) = ∇ ·}F = ∂F1 ∂x1 +∂F2 ∂x2 + · · · + ∂Fn ∂xn .

A notac¸ ˜ao_{∇ ·}F ´e mais sugestiva, pois indica que o divergente ´e o

produto escalar (simb ´olico) do operador∇_{= (∂x}

1, . . . , ∂xn)pelo

campoF. (Aqui, usamos a abreviac¸ ˜ao∂xi = ∂/∂xi.)

Operador rotacional. Este ´ultimo s ´o est ´a definido em dimens ˜ao tr ˆes

(n=3). SeF =Pi+Qj+Rk ´e um campo de vetores, onde cada

componenteP,Q,R ´e uma func¸ ˜ao diferenci ´avel a tr ˆes vari ´aveis, seu

rotacional ´e a func¸ ˜ao vetorial denotada porrot(F)ou_{∇ ×}F e

definida assim: rot(F_{) = ∇ ×}F =Ry−Qz  i+ (Pz−Rx)i+  Qx−Py  i.

A notac¸ ˜ao_{∇ ×}F ´e mais sugestiva, pois indica que o rotacional ´e o

produto vetorial (simb ´olico) do operador∇_{= (∂x, ∂y, ∂z)pelo}

De fato, ´e f ´acil verificar que, simbolicamente, ∇ ×F =               i j k ∂x ∂y ∂z P Q R               Observac¸ ˜oes:

Os quatro operadores diferenciais introduzidos acima s ˜ao extremamente ´uteis na formulac¸ ˜ao sint ´etica de algumas das equac¸ ˜oes fundamentais da F´ısica.

Entre os exemplos, citamos as equac¸ ˜oes de Maxwell do eletromagnetismo, a equac¸ ˜ao do calor, a equac¸ ˜ao da onda, as equac¸ ˜oes b ´asicas da mec ˆanica dos flu´ıdos (entre as quais as equac¸ ˜oes de Navier-Stokes).

Exemplo 1: Sejaφ: R3

\ {(0,0,0_{)} → R}a func¸ ˜ao escalar

φ(x,y,z) = _p 1 x2_+y2_+z2 . Ent ˜ao ∇_{φ(x,y,z) =} −x (x2_+y2_+z2₎3/2 , −y (x2_+y2_+z2₎3/2 , −z (x2_+y2_+z2₎3/2 ! .

Al ´em disso, temos

∂2φ ∂x2 = 2x2₋y2₋z2 (x2_+y2_+z2₎5/2 , ∂2φ ∂y2 = −x2+2y2₋z2 (x2_+y2_+z2₎5/2 , ∂2φ ∂z2 = −x2 −y2_+2z2 (x2_+y2_+z2₎5/2 ,

e portanto∇2_{φ=0, ou seja, o laplaciano deφ ´e identicamente nulo. Uma}

func¸ ˜ao com esta propriedade ´e chamada defunc¸ ˜ao harm ˆonica, e a

Considere agora o campo vetorialF = ∇φ(um campo com esta

propriedade ´e chamado decampo gradiente). Um c ´alculo direto mostra

que ∇ ×F(x,y,z) =                i j k ∂x ∂y ∂z −x (x2_+y2_+z2₎3/2 _(x2_+y−y2_+z2₎3/2 _(x2_+y−z2_+z2₎3/2                = (0,0,0) ,

ou seja, o rotacional deF ´e identicamente nulo. Um campo com esta

propriedade ´e denominado umcampo irrotacional.

Observac¸ ˜oes:

O que ocorre com o campoF no exemplo acima ´e geral: todo campo

gradiente de classeC1 ´e irrotacional (exerc´ıcio!).

Outro fato geral que est ´a por tr ´as desse exemplo ´e a identidade

∇2_{φ= ∇ · (∇φ), ou seja, o laplaciano de uma func¸ ˜ao (de classeC}2₎

´e o divergente de seu gradiente. Para mais identidades deste tipo,

Teorema de Stokes

Oteorema de Stokes ´e uma generalizac¸ ˜ao do teorema de Green:

relaciona a integral de superf´ıcie dorotacional de um campo de

vetores ao longo de uma superf´ıcie limitada por uma curva com a integral de linha do campo ao longo desta curva.

Teorema

SejamF _{: Ω → R}3um campo de vetores de classe C1 e S _{⊂ Ω}uma

superf´ıcie param ´etrica orientada cujo bordo∂S _{⊂ Ω} ´e uma curva suave.

Sejan:S _{→ R}3a normal unit ´aria, e suponha que a curva∂S est ´a

orientada com a orientac¸ ˜ao induzida porn. Ent ˜ao temos:

, ∂S F _·dr = " S(∇ × F_{) ·}n dA (1)

Observac¸ ˜ao: O teorema ainda ´e v ´alido se o bordo∂S ´e uni ˜ao de duas ou mais curvas fechadas; neste caso o lado esquerdo de (1) ´e a soma das integrais de linha sobre cada curva, com a orientac¸ ˜ao induzida.

Demonstrac¸ ˜ao: EscrevamosF =Pi+Qj+Rk , como de praxe. Com

essa notac¸ ˜ao, queremos mostrar que:

, ∂S P dx+Q dy+R dz = " S (Ry−Qz)dy∧dz+ (Pz−Rx)dz∧dx + (Qx−Py)dx∧dy . ´

E suficiente provarmos as seguintes tr ˆes igualdades:

, ∂S P dx= " S− Pydx∧dy+Pzdz∧dx , , ∂S Q dy = " S− Qzdy∧dz+Qxdx∧dy , (2) , ∂S R dz= " S− Rxdz∧dx+Rydy∧dz .

Basta demonstrar a primeira das igualdades em (2); as outras duas s ˜ao

totalmente an ´alogas. Sejaσ :W → R3a parametrizac¸ ˜ao da superf´ıcieS,

ondeW _{⊂ R}2 ´e uma regi ˜ao do plano, e escrevamosσem termos de suas

componentes:

σ(u,v) =X(u,v)i+Y(u,v)j+Z(u,v)k .

Assumiremos queX,Y,Z s ˜ao func¸ ˜oes de classe C2. Com essa notac¸ ˜ao,

temos " S− Pydx ∧dy+Pzdz∧dx = " W " −Py ∂(X,Y) ∂(u,v) +Pz ∂(Z,X) ∂(u,v) # dudv. (3) A id ´eia da prova ´e aplicar o teorema de Green a esta ´ultima integral dupla. Mas para tanto, precisamos reescrever o integrando. Observe que as

derivadas parciaisPy ePz s ˜ao calculadas no pontoσ(u,v). Isto nos

motiva a considerar a func¸ ˜ao de duas vari ´aveis

Afirmamos que o integrando na integral dupla acima ´e igual a

∂

∂u(φXv) −

∂

∂v(φXu) .

Utilizando a regra da cadeia (e a regra de Leibniz), temos

∂ ∂u(φXv) = φuXv+ φXuv = h PxXu+PyYu+PzZu i Xv+ φXuv . (4) ∂ ∂v(φXu) = φvXu+ φXvu= h PxXv+PyYv+PzZv i Xu+ φXvu . (5)

Subtraindo (5) de (4) e tendo em conta queXuv =Xvu(poisX ´e de classe

C2), conclu´ımos que ∂ ∂u(φXv) − ∂ ∂v(φXu) = −Py[XuYv−XvYu] +Pz[ZuXv−ZvXu] = −Py ∂(X,Y) ∂(u,v) +Pz ∂(Z,X) ∂(u,v) ,

Portanto, podemos escrever " W " −Py ∂(X,Y) ∂(u,v) +Pz ∂(Z,X) ∂(u,v) # dudv= " W " ∂ ∂u(φXv) − ∂ ∂v (φXu) # dudv. (6) Aplicando o teorema de Green a esta ´ultima integral, obtemos

" W " ∂ ∂u(φXv) − ∂ ∂v (φXu) # dudv= , ∂W (φXu)du+ (φXv)dv . (7)

O que podemos dizer sobre esta ´ultima integral? Sejar(t) = (u(t),v(t)),

a _≤t _≤b, uma parametrizac¸ ˜ao da curva∂W , e escreva

x(t) =X(u(t),v(t)), y(t) =Y(u(t),v(t)), z(t) =Z(u(t),v(t)) .

Observe que, novamente pela regra da cadeia, dx dt =Xu du dt +Xv dx dt .

Al ´em disso, temosφ(u(t),v(t)) =P(x(t),y(t),z(t)). Juntando esses fatos, podemos escrever

, ∂W (φXu)du+ (φXv)dv = Z b a φ(u(t),v(t)) " Xu(u(t),v(t)) du dt +Xv(u(t),v(t)) dx dt # dt = Z b a P(x(t),y(t),z(t))dx dt dt = , ∂S P(x,y,z)dx . (8)

Substituindo (8) em (7) e a express ˜ao resultante em (6), deduzimos que

" W " −Py ∂(X,Y) ∂(u,v) +Pz ∂(Z,X) ∂(u,v) # dudv= , ∂S P dx. (9)

E finalmente, substituindo (9) em (3), obtemos

" S− Pydx ∧dy+Pzdz∧dx = , ∂S P dx.

Isto estabelece a primeira f ´ormula em (2). Como observamos antes, a demonstrac¸ ˜ao das outras duas f ´ormulas ´e inteiramente an ´aloga. E como tamb ´em observamos antes, somando as tr ˆes f ´ormulas em (2), obtemos a f ´ormula (1) do enunciado. Isto conclui a demonstrac¸ ˜ao do teorema de Stokes.

Observac¸ ˜oes:

A integral de linha no lado esquerdo de (1) ´e `as vezes chamada de

circuitac¸ ˜ao do campoF; j ´a a integral de superf´ıcie no lado direito de

(1) ´e ofluxo do campo_{∇ ×}F. Portanto, o teorema de Stokes diz que

a circuitac¸ ˜ao de um campo ao longo de uma curva fechada que ´e

fronteira de uma superf´ıcie orientadaS ´e igual ao fluxo do rotacional

do campo atrav ´es deS. (Aqui, assume-se que a orientac¸ ˜ao da curva

∂S ´e a induzida pela orientac¸ ˜ao de S.)

Em particular, o teorema de Stokes possui como corol ´ario imediato, enunciado no slide a seguir, um crit ´erio bastante ´util no c ´alculo de certas integrais de superf´ıcie.

Corol ´ario

Sejam S1 e S2duas superf´ıcies orientadas por normaisni:Si→ R3,

i =1,2, tendo como fronteira comum uma curva C= ∂S1 = ∂S2. SejaF

um campo C1definido numa regi ˜ao que cont ´em as duas superf´ıcies e a

curva C. Se as orientac¸ ˜oes induzidas porn1 en2em C coincidem, ent ˜ao

" S1 (∇ ×F_{) ·}n1dA1 = " S2 (∇ ×F_{) ·}n2dA2, (10)

onde dAi ´e o elemento de ´area da superf´ıcie Si(i=1,2).

A demonstrac¸ ˜ao do corol ´ario acima ´e ´obvia: pelo teorema de Stokes, ambos os lados da igualdade (10) s ˜ao iguais `a integral de linha

,

C

F_·dr.

Apresentaremos agora um exemplo t´ıpico de aplicac¸ ˜ao do corol ´ario acima.

Exemplo 2: SejaF : R3

→ R3 o campo dado por

F(x,y,z) = (x2z_{, −}xy2, yzsinz) .

SejaS a parte do parabol ´oide z=x2+y2 que fica abaixo do plano

z =y+4 (veja a figure 1 no slide a seguir), orientada pela normal unit ´aria

n cuja componente z ´e positiva. Queremos calcular o fluxo de_{∇ ×}F

atrav ´es deS. O primeiro passo ´e, naturalmente, calcular o rotacional de

F. Temos: ∇ ×F(x,y,z) =                  i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z x2z ₋xy2 yzsinz                  = (zsinz, x2_{, −}y2) .

No entanto, calcular diretamente a integral de superf´ıcie deste rotacional

Ao inv ´es disto, observe que o bordo da superf´ıcieS ´e a curvaγ = ∂S

obtida como a intersec¸ ˜ao do parabol ´oidez=x2_+y2_{com o plano}

z =y+4 (veja a figura (1)). A projec¸ ˜ao ortogonal dessa curva sobre o

planoz=0 ´e o c´ırculo

C : x2+ y₋1

2

!2 = 17

4 .

A curvaγtamb ´em ´e o bordo de outra superf´ıcieS′_{, a saber, a regi ˜ao do}

planoz=y+4 que ´e limitada porγ(cuja projec¸ ˜ao ortogonal sobre o

planoz=0 ´e o disco limitado pelo c´ırculoC). Sejan′_{a normal unit ´aria ao}

planoz=y+4 cuja componente na direc¸ ˜ao do eixoz ´e positiva. Pelo

corol ´ario acima, temos

" S(∇ × F_{) ·}n dA = " S′(∇ × F_{) ·}n′dA′

Portanto basta calcularmos esta ´ultima integral. Para tanto, consideramos a parametrizac¸ ˜ao deS′dada porr(x,y) = (x,y,z+4).

Temos: n′ = ∂r ∂x × ∂r ∂y ∂r ∂x × ∂r ∂y = _√1 2(0, −1, 1) ; dA ′ ₌ ∂r ∂x × ∂r ∂y dxdy = √2dxdy.

A primeira dessas igualdades nos diz em particular que

(∇ ×F_{) ·}n′_{= −√}1 2(x 2_+y2_{) .} Portanto, temos: " S′(∇ × F_{) ·}n′dA′ _{= −} " D (x2+y2)dxdy,

ondeD ´e o disco x2+ (y₋1₂)2

Para calcular esta ´ultima integral dupla, usamos a mudanc¸a de coordenadasr =rcos θ ,y = 1 2 +rsin θ, onde 0≤ θ ≤2πe 0≤r ≤ 1 2 √ 17. Obtemos ent ˜ao:

" D (x2+y2)dxdy = Z √ 17 2 0 Z 2π 0       r 2_cos2_θ+ 1 2+rsin θ !2      dθrdr = Z √ 17 2 0 Z 2π 0 h r3+r2sin θidθdr =2π Z √ 17 2 0 r3dr = 289π 32 .

Portanto, temos finalmente:

" S(∇ × F_{) ·}n dA = " S′(∇ × F_{) ·}n′dA′_{= −}289π 32 .

[Disto tamb ´em segue que+_Cx2z dx₋xy2dy+yzsinz dz_{= −}289π/32,

Teorema de Gauss (ou da Diverg ˆencia)

Suponhamos dados um s ´olidoW _{⊂ R}3 _{limitado por uma superf´ıcie}

fechada suaveS, e um campo de vetoresF definido numa regi ˜ao do

R3_{que cont ´emW e S em seu interior.}

O teorema de Gauss estabelece uma igualdade entre duas integrais,

a saber, a integral de superf´ıcie que fornece o fluxo deF atrav ´es de

S e a integral de volume do divergente deF sobre o s ´olido W . Mais

precisamente:

Teorema

SejaF _{: Ω → R}3_{um campo de vetores C}1 _{numa regi ˜aoΩ ⊂ R}3 _{e seja}

W _{⊂ Ω}um s ´olido cuja fronteira∂W ´e uma superf´ıcie suave (fechada)

inteiramente contida emΩ. Assuma que∂W est ´a orientada pela normal

unit ´arian exterior a W . Ent ˜ao temos:

" ∂W F _·n dA = $ W∇ · F dV . (11)

Demonstrac¸ ˜ao: Faremos a demonstrac¸ ˜ao supondo que o s ´olidoW ´e

especial, no seguinte sentido. Dizemos queW ´e de tipo I se existem duas

func¸ ˜oes suavesϕ(x,y)eψ(x,y), ambas definidas numa mesma regi ˜ao

Ωxy ⊂ R2e satisfazendoϕ ≤ ψ, tais que

W =n(x,y,z) : (x,y_{) ∈ Ω}xy , ϕ(x,y) ≤z≤ ψ(x,y)

o .

(Veja a figura 2 no slide a seguir). Em outras palavras,W ´e a regi ˜ao do

espac¸o limitada pelos gr ´aficos das duas func¸ ˜oesϕ, ψ. De maneira

inteiramente an ´aloga definimos s ´olidos de tipos II e III. (Estas definic¸ ˜oes j ´a foram vistas em aula, quando discutimos integrais triplas.)

Vamos supor queW ´e simultaneamente um s ´olido de tipos I, II e III. ´E

poss´ıvel reduzir o caso geral a este, mas n ˜ao o faremos aqui.

O primeiro passo ´e reescrever ambos os lados da igualdade desejada (11) de maneira mais expl´ıcita.

0 x y z n0 n₋ n+ S0 S₋: z = ϕ(x,y) S₊: z= ψ(x,y) Ωxy W

Em termos das componentes do campo, o lado esquerdo da equac¸ ˜ao (11) pode ser escrito como segue:

" ∂W F _·n dA= " ∂W P dy_∧dz+Q dz_∧dx+R dx_∧dy

J ´a o lado direito se escreve:

$ W∇ · F dV = $ W " ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z # dxdydz .

Assim, para provarmos a igualdade (11), ´e suficiente mostrarmos as seguintes tr ˆes igualdades:

" ∂W P dy_∧dz= $ W ∂P ∂x dxdydz " ∂W Q dz_∧dx = $ W ∂Q ∂y dxdydz (12) " ∂W R dx_∧dy = $ W ∂R ∂z dxdydz.

Vamos demonstrar apenas uma das tr ˆes f ´ormulas em (12), a saber, a terceira; as outras duas provam-se da mesma forma.

ComoW ´e um s ´olido de tipo I (figura 2), podemos escrever, utilizando

Fubini: $ W ∂R ∂z dxdydz = " Ωxy       Z ψ(x,y) ϕ(x,y) ∂R ∂z dz       dxdy = " Ωxy [R(x,y, ψ(x,y_{)) −}R(x,y, ϕ(x,y))] dxdy. (13) Por outro lado, sabemos que

" ∂W R dx_∧dy = " ∂W R(k_·n)dA

Al ´em disso,∂W =S_−∪S0∪S+, ondeS− ´e o gr ´afico de z= ϕ(x,y),S+ ´e

o gr ´afico dez= ψ(x,y), eS0= ∂W\ (S−∪S+), a parte lateral de∂W , ´e

Assim, temos: " ∂W R dx_∧dy = " S₋ R(k_·n₋)dA+ " S0 R(k_·n0)dA+ " S+ R(k_·n+)dA, (14) onden₋,n0,n+s ˜ao as restric¸ ˜oes den `as superf´ıcies S−,S0,S+,

respectivamente. Observe quek_·n0 =0, pois emS0o vetor unit ´ario

normal ´e paralelo ao planoxy. Logo a segunda integral do lado direito da

express ˜ao acima se anula.

ComoS₋ ´e o gr ´afico de z = ϕ(x,y)e a normal unit ´arian₋deve apontar

para baixo do gr ´afico (veja a figura 2), um c ´alculo simples nos diz que

n₋ = _q(ϕx, ϕy, −1) 1+ ϕ2 x+ ϕ2y , de modo que k _·n₋= _q −1 1+ ϕ2 x+ ϕ2y .

Al ´em disso, o elemento de ´area deS₋ ´e dA = q

1+ ϕ2

x+ ϕ2ydxdy.

Juntando esses fatos, deduzimos que

" S₋ R(k_·n₋)dA _{= −} " Ωxy R(x,y, ϕ(x,y))dxdy. (15)

Analogamente, usando queS+ ´e o gr ´afico de z= ψ(x,y)e que a normal

unit ´arian₊deve apontar para cima (veja novamente a figura 2),

conclu´ımos que n+ = (−ψ x, −ψy,1) q 1+ ψ2 x+ ψ2y , de modo que k _·n+= 1 q 1+ ψ2 x+ ψ2y .

Como o elemento de ´area deS+ ´e dA =

q 1+ ψ2 x+ ψ2ydxdy, deduzimos que _" S+ R(k_·n+)dA = " Ωxy R(x,y, ψ(x,y))dxdy. (16)

Substituindo (15) e (16) em (14), obtemos: " ∂W R dx_∧dy = " Ωxy [R(x,y, ψ(x,y_{)) −}R(x,y, ϕ(x,y))] dxdy . (17) Juntando (17) com (13), deduzimos finalmente a terceira das f ´ormulas em (11). Como j ´a dissemos, as outras duas f ´ormulas demonstram-se da mesma forma. Isto conclui a demonstrac¸ ˜ao do teorema de Gauss.

Observac¸ ˜ao: O teorema de Gauss tamb ´em ´e v ´alido quando a fronteira

do s ´olidoW ´e a uni ˜ao de duas ou mais superf´ıcies duas a duas disjuntas.

Basta escrever a integral de superf´ıcie sobre∂W como soma da integrais

sobre as componentes, levando em conta a orientac¸ ˜ao. Por exemplo, seja

B0⊆ R3 uma bola contendo outras bolasB1,B2, . . . ,Bn, duas a duas

disjuntas, e sejaW o s ´olido B0\ (B1∪B2∪ · · · ∪Bn). Ent ˜ao

∂W = ∂B0∪ ∂B1∪ · · · ∪ ∂Bn. Sen ´e a normal exterior a W e ni,

i =0,1, . . . ,n, s ˜ao as normais exteriores `as bolas Bi, ent ˜ao temosn=n0

emB0, en = −niemBi,i =1, . . . ,n, e portanto: " ∂W F_·n dA = " ∂B0 F _·n0dA− n X i=1 " ∂Bi F _·nidA

Exemplo 3: SejaF : R3

→ R3 o campo de vetores dado por

F(x,y,z) = (x2+e−yz2)i+ (y_{− sin}xz)j+ (2z(1₋x) + q

1+y2_{)k .}

Suponhamos que nossa tarefa seja calcular o fluxo deste campo atrav ´es

da superf´ıcieS que ´e a esfera de centro na origem e raio 2, que

assumimos orientada pela normal unit ´aria exterior. Calcular a integral de superf´ıcie diretamente seria extremamente penoso. Mas utilizando o teorema da diverg ˆencia, nossa tarefa torna-se praticamente trivial. De

fato, o divergente deF ´e constante:

∇ ·F = ∂ ∂x h x2+e−yz2i+ ∂ ∂y[y− sinxz] + ∂ ∂z " 2z(1₋x) + q 1+y2 # =3.

Logo, denotando porB a bola de centro na origem e raio 2 e aplicando o

teorema de Gauss: " S F_·n dA = " B∇ · F dV = " B 3dV =3vol(B) =3_· 4π ·2 3 3 =32π .

Exemplo 4: A equac¸ ˜ao do calor.

Uma aplicac¸ ˜ao interessante do teorema da diverg ˆencia ´e a deduc¸ ˜ao da

chamada equac¸ ˜ao do calor. Consideremos um s ´olidoW _{⊂ R}3com

densidadeρ= ρ(x,y,z), feito de um certo material condutor t ´ermico.

Denotemos poru=u(t,x,y,z)a temperatura deste s ´olido no ponto

(x,y,z_{) ∈}W no instante t. O problema f´ısico que se coloca ´e entender

como a temperatura em cada ponto do s ´olido evolui com o tempo.

Para tanto, utilizaremos alei do resfriamento de Fourier, que diz algo

intuitivamente bastante simples, a saber: o calor sempre flui “do mais quente para o mais frio”, ou seja, o fluxo de calor num ponto ´e

diretamente proporcional ao gradiente de temperatura naquele ponto, mas tem o sentido oposto ao mesmo.

Ao mesmo tempo, sabemos que a quantidade de calor presente num

pequeno elemento de volume∆V do s ´olido ´e diretamente proporcional `a

temperatura ali, bem como diretamente proporcional `a massa daquele

elemento. O fator de proporcionalidade, que denotamos porc, ´e chamado

decalor espec´ıfico; para s ´olidos homog ˆeneos, c ´e constante, e ´e o que

Assim, denotando porQ(t)a quantidade de calor total presente numa

parte_{Ω ⊂}W do s ´olido no instante t, temos

Q(t) = $

Ω

cρ(x,y,z)u(t,x,y,z)dxdydz .

A derivadaQ′_{(t)mede a taxa de variac¸ ˜ao do calor no sub-s ´olidoΩno}

instantet. Tal taxa de variac¸ ˜ao deve ser igual `a quantidade de calor que

entra emΩno instantet, ou seja, ao fluxo de calor atrav ´es da fronteira

∂Ω. Pela lei do resfriamento de Fourier, tal fluxo ´e igual a

− "

∂Ω(−κ∇

u_{) ·}n dA ,

onde, como de praxe,n ´e a normal unit ´aria exterior aΩ, eκ ´e o que

chamamos decondutibilidade t ´ermica do corpo, que pode ou n ˜ao ser

constante.

Importante: Aqui e na sequ ˆencia, os operadores aplicados au, tais como

Assim sendo, podemos escrever: ∂ ∂t $ Ω cρ(x,y,z)u(t,x,y,z)dxdydz= " ∂Ω (κ∇u_{) ·}n dA .

Passando a derivada em relac¸ ˜ao at para dentro da integral no primeiro

membro, e aplicando o teorema da diverg ˆencia `a integral de superf´ıcie no segundo membro, obtemos:

$ Ω cρ(x,y,z)∂u ∂t(x,y,z)dxdydz = $ Ω∇ · (κ∇ u) (t,x,y,z)dxdydz Subtraindo o segundo membro do primeiro e omitindo as vari ´aveis de integrac¸ ˜ao, podemos reescrever esta igualdade sob a forma:

$ Ω " cρ∂u ∂t − ∇ · (κ∇u) # dV =0. (18)

Mas como_{Ω ⊂}W ´e um pedac¸o arbitr ´ario do s ´olido, a ´unica forma de (18) ser verdadeira ´e se o integrando for identicamente nulo, ou seja, devemos ter:

cρ∂u

∂t − ∇ · (κ∇u) =0.

Normalmente, lidamos com situac¸ ˜oes em que a densidade e a condutibilidade t ´ermica s ˜ao constantes. Neste caso, escrevendo k = κ/(cρ)e tendo em conta que_{∇ · ∇}u= ∇2_{u, obtemos a equac¸ ˜ao}

∂u

∂t =k∇

2_u.

Esta ´e a forma cl ´assica daequac¸ ˜ao do calor, descoberta por Fourier em

1822. A constantek ´e chamada de coeficiente de difusibilidade t ´ermica

do material, ou simplesmente coeficiente de difus ˜ao. Materiais isolantes

t ´ermicos, tais como amianto, borracha ou madeira, possuem umk baixo,

enquanto materiais condutores t ´ermicos, sobretudo metais como

Exemplo 5: Lei de Gauss

SejaE o campo el ´etrico gerado por uma distribuic¸ ˜ao finita de cargas

q1,q2, . . . ,qN localizadas em pontos do espac¸o cujos vetores-posic¸ ˜ao s ˜ao

r1,r2, . . . ,rNrespectivamente, e sejaS ⊆ R3 uma superf´ıcie fechada que

cont ´em todas essas cargas em seu interior. Alei de Gauss do

eletromagnetismo afirma que o fluxo do campo el ´etricoE atrav ´es de S ´e

igual a uma constante universal multiplicada pela carga total no interior de S. Mais precisamente:

"

S

E_·n dA=4π(q1+q2+ · · · +qN) ,

onde, como de praxe,n ´e a normal unit ´aria exterior a S e dA ´e o elemento

de ´area. Vamos demonstrar essa lei (partindo da lei de Coulomb) com o aux´ılio do teorema da diverg ˆencia e da observac¸ ˜ao que fizemos logo ap ´os

a prova daquele teorema. Para comec¸ar, lembremos queE _{= −∇φ}, onde

φ ´e o potencial eletrost ´atico.1

O potencial eletrost ´atico, ou de Coulomb, ´e dado por φ(r) = N X i=1 qi kr₋rik .

(Aqui, adotamos unidades em que a constante de Coulomb ´e igual a 1.)

Logo, podemos escreverE _{= −∇φ =}E1+E2+ · · · +EN, onde

Ei(r) = −qi∇

1

kr₋rik

!

, i =1,2, . . . ,N.

Escrevamosr = (x,y,z)eri= (xi,yi,zi)(i =1,2, . . . ,N). Com esta

notac¸ ˜ao, temos_kr₋rik = p(x−xi)2+ (y−yi)2+ (z−zi)2. Assim, pelos

mesmos c ´alculos que efetuamos no Exemplo 1, podemos ver facilmente que ∇ 1 kr₋rik ! = − r−ri kr₋rik3 . i =1,2, . . . ,N.

Em particular, temos para todoi =1,2, . . . ,N: ∇ ·Ei(r) = −qi∇2 1 kr₋rik ! =qi∇ · r₋ri kr₋rik3 ! = 0_{, ∀}r,r_{i ,}

novamente pelos c ´alculos do Exemplo 1.

Sejam agoraB1,B2, . . . ,BNbolas centradas nos pontos onde se situam as

cargasq1,q2, . . . ,qN respectivamente, suficientemente pequenas para

que estejam inteiramente situadas no interior da regi ˜ao limitada porS e

sejam duas a duas disjuntas. Para cadai, sejania normal unit ´aria

exterior aBi. SejaW o s ´olido limitado pelas superf´ıcies S e∂Bi,

i =1,2, . . . ,N. Pelo teorema da diverg ˆencia (e mais a observac¸ ˜ao que fizemos logo ap ´os sua demonstrac¸ ˜ao), temos

" S E_·n dA = N X i " ∂Bi E_·nidA + $ W∇ · E dV . (19)

Mas emW , temos_{∇ ·}Ei=0 para todoi, e portanto∇ ·E =0. Logo a

Por outro lado, para cadai fixado temos " ∂Bi E_·nidA = " ∂Bi          N X j=1 Ej          ·nidA = N X j=1 " ∂Bi Ej·nidA . (20)

Para cadaj ,i, sabemos que a carga q_{jest ´a}fora da bola B_{i, e portanto}

∇ ·Ej=0 no interior desta bola. Logo, novamente pelo teorema da

diverg ˆencia, podemos escrever

" ∂Bi Ej·nidA = $ Bi ∇ ·EjdV =0, ∀j ,i.

Paraj =i, como a carga qiest ´a localizada no centro deBi, o campoEi ´e

singular ali. Portanto n ˜ao podemos aplicar diretamente o teorema da diverg ˆencia neste caso. Ao inv ´es disso, calculamos a integral de superf´ıcie explicitamente.

Lembrando que emBitemoskr−rik =Ri, ondeRi ´e o raio de Bi, e que a

normal unit ´aria ´eni= (r−ri)/kr−rik, conclu´ımos que

" ∂Bi Ei·nidA =qi " ∂Bi r₋ri) kr₋rik3 ! ·nidA =qi " ∂Bi 1 R2 i dA = qi R2 i Area(∂Bi) =4πqi. (21)

Levando esses fatos para (20), deduzimos que

"

∂Bi

E_·nidA =4πqi , ∀i =1,2, . . . ,N . (22)

Finalmente, substituindo (22) em (19), obtemos

" S E_·n dA=4π N X i=1 qi.