Tailson Jeferson Paim dos Santos. Universidade Federal da Bahia. uma caracterização do toro de clifford através do índice de Morse

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Texto

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Curso de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

uma caracterizac

¸˜

ao do toro de clifford

atrav´

es do ´ındice de Morse

Tailson Jeferson Paim dos Santos

Salvador-Bahia Janeiro 2006

(2)

Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica Pura.

Banca examinadora

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos (Orientador) - UFBA

Prof. Dr. Isaac Costa L´azaro - UFBA

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Uma Caracteriza¸c˜ao do toro de Clifford atrav´es do ´Indice de Morse/ Tailson Jeferson Paim dos Santos; Orientador: Jos´e Nelson Bastos Barbosa. — Salvador: UFBA, 2006.

55 p.

1. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Departamento de Matem´atica.

Inclui referˆencias bilbiogr´aficas.

1. Matem´atica - Teses. 2. Geometria Riemanniana. I.Paim, Tailson Jeferson. II. Barbosa, Jos´e Nelson Bastos. III. T´ıtulo.

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Tales e Taelen, minha amada es-posa Carla, aos meus pais, meus irm˜aos, amigos e familiares.

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(6)

A Deus Pai bondoso por todas as gra¸cas e ben¸c˜aos. Por escolher, tra¸car e guiar-me por este caminho me carregando em seus bra¸cos nos momentos mais dif´ıceis, sendo sempre fiel a alian¸ca e aos la¸cos de ora¸c˜ao que nos uni.

Agrade¸co aos amigos e colegas que fizeram e fazem parte dessa hist´oria, no dia a dia com uma palavra amiga, com um pequeno gesto de aten¸c˜ao, solidariedade no estudo em grupo, motiva¸c˜ao, ora¸c˜oes, pensamentos positivos, colaborando de forma significativa ao meu crescimento profissional e pessoal durante este Mestrado.

Agrade¸co aos meus pais, Tadeu e Dete, minha esposa, Carla, meus filhos, Taelen e Tales, meus irm˜aos, Taislan e Tielson, testemunhas do empenho e colaboradores diretos para a minha supera¸c˜ao frente as pequenas e grandes dificuldades desta jornada. A todos eles mais que um muito obrigado, um inestim´avel carinho e amor.

Agrade¸co ao meu orientador Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa pela paciˆencia, orienta¸c˜ao e incentivo. A parceria e convivˆencia com esta pessoa al´em de fazer progredir como Matem´atico, me trouxe grandes li¸c˜oes de vida, sobretudo pela sua tranq¨uilidade e bom humor. Agrade¸co mais uma vez a Deus pela hist´oria de vida oferecida a mim neste Mestrado. Pois a minha esperan¸ca vem de Deus, s´o ele ´e minha rocha, minha salva¸c˜ao, minha fortaleza. Jamais vacilarei.

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uma caracterizac

¸˜

ao do toro de clifford

atrav´

es do ´Indice de Morse

Seja Mn uma hipersuperf´ıcie m´ınima compacta, orient´avel, n˜ao totalmente geod´esica,

com o quadrado da norma da segunda forma fundamental constante, imersa na esfera euclidiana unit´aria S(n+1)(1). Mostraremos que o ´ındice de estabilidade de M ´e maior ou igual a n + 3 e

que a igualdade ocorre se, e somente se, M ´e isom´etrica ao Toro de Clifford. Demonstraremos tamb´em o caso em que a dimens˜ao de M, ´e igual a 2. Para esta demonstra¸c˜ao n˜ao faz-se necess´ario que o quadrado da norma da segunda forma fundamental seja constante.

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A characterization of the Clifford Torus

in terms of its index de Morse

Let Mnbe a compact orientable minimal hypersurface nontotally geodesic with constant

scalar of curvature of the (n + 1) - dimensional sphere. We will show that the index of stability of M it is larger or equal n + 3 and in the lower bounded of the index, M it is isometric to the toro of Clifford.

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Resumo vii

Abstract viii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 Variedades Riemannianas . . . 4

1.2 Geometria das Subvariedades . . . 10

2 O Toro de Clifford 23 3 Estabilidade e ´Indice de Morse 31 3.1 Primeira e Segunda Varia¸c˜ao e Estabilidade . . . 31

3.2 ´Indice de Morse de Hipersuperf´ıcies da Esfera . . . 34

3.3 O Espectro de uma Variedade Riemanniana . . . 36

3.4 Transforma¸c˜oes Conformes na Esfera . . . 38

4 Teoremas 44 4.1 Teorema em dimens˜ao 2 . . . 44

4.2 Teorema em dimens˜ao n . . . 49

4.3 Exemplos de ´Indice de Hipersuperf´ıcies onde ||σ||2 ´e constante . . . . 51

Bibliografia 53

(10)

Dentre as subvariedades, aquelas que tˆem r-curvatura m´edia seccional constante de-sempenham um papel especial. Elas incluem, em particular, as subvariedades m´ınimas, que tem rela¸c˜oes com a tens˜ao superficial e com problemas de engenharia estrutural.

As superf´ıcies m´ınimas s˜ao solu¸c˜oes de um problema variacional de minimiza¸c˜ao de ´area no sentido de que estas s˜ao caracterizadas como os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area para certas varia¸c˜oes. Em outras palavras, para qualquer varia¸c˜ao, a primeira derivada da fun¸c˜ao ´area se anula no parˆametro correspondente a superf´ıcie. Uma superf´ıcie m´ınima com bordo ´e dita est´avel se para toda varia¸c˜ao normal que fixa seu bordo, a segunda derivada da fun¸c˜ao ´area no parˆametro que est´a associada a superf´ıcie ´e positiva. Dizemos que uma superf´ıcie m´ınima com bordo ´e inst´avel se, para alguma varia¸c˜ao normal, a segunda derivada ´e negativa.

Em 1887, H. Schwarz deu uma primeira contribui¸c˜ao importante para o estudo da estabilidade com o seguinte resultado:

Teorema (H.Schwarz[Sc]). Sejam S ⊂ R3 uma superf´ıcie m´ınima e D ⊂ S um dom´ınio

limitado. Suponha que a curvatura Gaussiana K de S n˜ao se anula em D, que a aplica¸c˜ao de Gauss N de S ´e biun´ıvoca em D, e que a imagem esf´erica N(D) est´a estritamente contida em um hemisf´erio aberto da esfera unit´aria S2(1) ⊂ R3. Ent˜ao D ´e est´avel.

Nas d´ecadas de 70 e 80 do s´eculo XX, J.L.Barbosa e M.P. do Carmo obtiveram um resultado que representou uma forte generaliza¸c˜ao ao teorema de estabilidade de Schwarz, sem restri¸c˜oes sobre a aplica¸c˜ao de Gauss e substituindo, no Teorema de Schwarz, a hip´otese de

(11)

Teorema (Barbosa - do Carmo,[B-C 1]). Sejam S ⊂ R3 uma superf´ıcie m´ınima e D ⊂ S

um dom´ınio limitado. Se ´area (N(D)) < 2π, ent˜ao D ´e est´avel.

Com o advento das variedades Riemannianas o problema acima descrito ´e generalizado para as imers˜oes isom´etricas de hipersuperf´ıcies m´ınimas em uma forma espacial Qn+1

c com

c = −1, 0, 1, ou seja, espa¸cos com curvatura seccional constante.

Seja φ : Mn → Sn+1(1) uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemaniana M,

compacta, orient´avel e de dimens˜ao n, na esfera euclidiana unit´aria Sn+1(1). Se φ ´e m´ınima e

0 ≤ ||σ||2 ≤ n, J. Simons [S] provou que ||σ||2 ≡ 0 ou ||σ||2 ≡ n. Posteriormente, S.Chen, M.do

Carmo e S.Kobayashi [Ch-DoC-K] mostraram que uma hipersuperf´ıcie m´ınima de Sn+1 com

||σ||2 ≡ n ´e um toro de Clifford m´ınimo Sn−k(r)× Sk(1 − r2), r2 = n − k

n . Estes resultados

so-mados ao comportamento do operador de estabilidade da imers˜ao das hipersuperf´ıcies m´ınimas da esfera nos induz a uma caracteriza¸c˜ao do toro de Clifford atrav´es do ´ındice de Morse.

Nesta disserta¸c˜ao estudaremos o toro de Clifford entre as hipersuperf´ıcies da esfera, m´ınimas, compactas, orient´aveis, com o quadrado da norma da segunda forma fundamental constante, em termos do ´ındice de Morse. Objetivamos estimar o ´ındice de estabilidade para estas hipersuperf´ıcies m´ınimas n˜ao totalmente geod´esicas e caracterizar o toro de Clifford como o limite inferior do ´ındice dessas hipersuperf´ıcies.

Esta disserta¸c˜ao ´e baseada nos artigos de: Francisco Urbano, Minimal surfaces with low index in the three-dimensional Sphere e Guadalupe, Aldir Brasil Junior, J.A Delgado, A Characterization of the Clifford torus.

Enuciaremos agora os resultados principais dessa disserta¸c˜ao. Primeiramente para o caso de dimens˜ao 2, obtido por Francisco Urbano [Urb] e em seguida para dimens˜ao n, obtido por Aldir Brasil J´unior, Guadalupe e J.A.Delgado [ABJ- G - J.A.Del]:

Teorema 4.1 (Francisco Urbano). Seja M uma superf´ıcie m´ınima, compacta,orient´avel, n˜ao totalmente geod´esica em S3(1). Ent˜ao ind(M) ≥ 5, e a igualdade se verifica se e somente

se M ´e o Toro de Clifford.

Teorema 4.2 (Aldir Brasil - Guadalupe - J.A.Delgado). Seja Mn uma hipersuperf´ıcie

(12)

forma fundamental constante em Sn+1(1). Ent˜ao ind(Mn) ≥ n + 3, e a igualdade se verifica se

e somente se Mn ´e o Toro de Clifford S1(1 − r2) × Sn−1(r).

Observa¸c˜ao 4.2. Para dimens˜ao n faz-se necess´ario assumir que ||σ||2 ´e constante para provar

que fv ´e autofun¸c˜ao de −||σ||2.

Esta disserta¸c˜ao ´e dividida em quatro cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, apresentaremos defini¸c˜oes e resultados b´asicos relacionados a geometria das variedades e subvariedades Rie-mannianas, al´em de fixar a nota¸c˜ao que ser´a utilizada no decorrer do trabalho.

Veremos no cap´ıtulo 2, a defini¸c˜ao do toro de Clifford , calcularemos as suas curvaturas principais, curvatura m´edia e segunda forma fundamental bem como expressaremos o quadrado da norma da segunda forma fundamental S em fun¸c˜ao da curvatura m´edia H.

No cap´ıtulo 3 introduziremos a teoria da estabilidade com o estudo do problema varia-cional de minimiza¸c˜ao de ´area para `as hipersuperf´ıcies em uma forma espacial com curvatura constante, em particular, a esfera. Apresentaremos as f´ormulas da primeira e da segunda varia¸c˜ao para imers˜oes entre variedades Riemannianas bem como resultados relacionados com o operador estabilidade, forma quadr´atica associada, ´ındice de Morse e o primeiro autovalor deste operador e transforma¸c˜oes conformes na esfera, os quais ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes dos teoremas 4.1 e 4.2.

(13)

Preliminares

O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e estabelecer `as nota¸c˜oes necess´arias a compreens˜ao dos cap´ıtulos posteriores, bem como, apresentar defini¸c˜oes e resultados b´asicos relacionados a geometria intr´ınseca das variedades Riemannianas e da geometria das subvariedades que ser˜ao utilizados na teoria desenvolvida no decorrer do trabalho.

Seja Mn uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n e de classe C. Denotemos por

h , i sua m´etrica Riemanniana , ∇ a conex˜ao de Levi-Cita ou Riemanniana de M, T M o

fibrado tangente a M, X(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M e por

C∞(M) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C definidas em M.

1.1

Variedades Riemannianas

Uma forma de se estudar a geometria de uma variedade Riemanniana ´e estabelecer rela¸c˜oes da mesma, imersa em outra variedade a qual denominamos variedade ambiente. Neste primeiro momento evidenciaremos defini¸c˜oes que n˜ao dependem da segunda forma fundamental da imers˜ao. Nesse contexto mencionaremos as defini¸c˜oes das curvaturas, gradiente, divergˆencia, laplaciano e hessiano de uma variedade Riemanniana.

(14)

A curvatura R de M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X,Y ∈ X(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X(M) → X(M) dada por

R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z,

∀ Z ∈ X(M).

Podemos intuitivamente interpretar R como uma maneira de medir o quanto M deixa de ser euclidiana.

1.1 Proposic¸˜ao. O tensor Curvatura R satisfaz as seguintes propriedades para todo X,Y,Z,W ∈

X(M) :

a)hR(X, Y )Z, W i + hR(Y, Z)X, W i + hR(X, Y )Z, W i = 0 b)hR(X, Y )Z, W i = −hR(Y, Z)X, W i

c)hR(X, Y )Z, W i = −hR(Y, Z)W, Xi d)hR(X, Y )Z, W i = hR(Z, W )X, Y i

Considere σ ⊂ TpM um subespa¸co bidimensional do espa¸co tangente TpM e {v, w}

uma base de σ. A curvatura seccional de M em p segundo σ ´e definida por:

K(σ) = R(v, w, v, w) k v ∧ w k2

onde k v ∧ w k2=k v k2 · k w k2 −hv, wi2.

Os espa¸cos de curvatura constante, ou seja, variedades Riemannianas com curvatura seccional constante tˆem um papel importante no desenvolvimento da geometria Riemanniana. Estes espa¸cos s˜ao dotados de uma propriedade importante que ´e a de possuir um n´umero significativo de isometrias locais. Dentro deste contexto, destacaremos o seguinte resultado:

Sejam M, p um ponto de M e {e1, ..., en}, uma base de ortonormal de TpM. Ent˜ao

K(p, σ) = Ko, ou seja, o espa¸co possui curvatura seccional constante, se e somente se

(15)

com i, j, k, ` = 1, ..., n e onde δij =    1 se i = j 0 se i 6= j

Escrevendo Rijk` = hR(ei, ej), ek, e`i temos em outras palavras, K(p, σ) = Ko para

todo σ ⊂ TpM se e somente se Rijk` = − Rijk` = Ko para todo i 6= j, e Rijk` = 0 nos outros

casos.

De uma forma geral temos:

hR(X, Y )Z, W i = Ko{hX, ZihY, W i − hX, W ihY, Zi} com X, Y, Z, W ∈ TpM.

A forma bilinear < : T M × T M → C∞(M) que associa a cada par de campos (X, Y ),

o tra¸co da aplica¸c˜ao Z 7→ R(X, Z)Y, ´e denominada Tensor de Ricci e ´e dada por

<(X, Y ) = 1

n − 1tr(Z 7→ R(X, Z)Y ).

A curvatura de Ricci na dire¸c˜ao X ∈ T M, com | X |= 1 ´e definida como

Ric(X) = 1

n − 1<(X, X).

Se X ´e um campo unit´ario e X(p) = v, p ∈ M e v ∈ TpM, ent˜ao a curvatura de Ricc

na dire¸c˜ao X e no ponto p ´e escrita como Ricp(v), ao inv´es de

1

n − 1<(X, X). Como o tra¸co de

uma aplica¸c˜ao bilinear independe da base escolhida, tomemos {e1, ..., en} uma base ortonormal

com v = ei, para algum i. Ent˜ao temos que

Ricp(v) = 1 n − 1<(X, X) = 1 n − 1 tr(Z 7→ R(X, Z)X) = 1 n − 1 n−1 X i=1 hR(v, ei)v, eii = 1 n − 1 n−1 X i=1 K(v, ei).

(16)

Observamos que a curvatura de Ricci ´e uma m´edia obtida das combina¸c˜oes das cur-vaturas seccionais numa dada dire¸c˜ao X(p) = v. Ao considerarmos essa m´edia nas n-dire¸c˜oes estaremos com a express˜ao da curvatura escalar.

A curvatura escalar ´e uma fun¸c˜ao ρ : M → R de M no conjunto dos n´umeros reais R dada por

ρ(p) = 1

n(n − 1) tr((X, Y ) 7→ <(X, Y ))

Se {e1, ...en} ´e uma base ortonormal de TpM, ent˜ao

ρ(p) = 1 n(n − 1) n X i=1 Ric(ei, ei) = 1 n n X i=1 Ric(ei) = 1 n(n − 1) n X i=1 ( n X j=1,j6=i K(ei, ej)) = 1 n(n − 1) n−1 X i,j=1 K(ei, ej); com i 6= j.

Definiremos a seguir gradiente, divergˆencia, laplaciano e hessiano em uma variedade Riemanniana determinando para cada um deles suas express˜oes em rela¸c˜ao a um referencial geod´esico. Destacaremos algumas propriedades e resultados dessas aplica¸c˜oes.

Dada uma fun¸c˜ao f ∈ C∞(M), definimos o gradiente de f como o campo grad f em

M dado por

hgradf , Xi = Xf = df ·X, ∀ X ∈ X(M ).

A divergˆencia de um campo X ∈ X(M) ´e a fun¸c˜ao divX : M → R definida por

(17)

onde tr denota o tra¸co da aplica¸c˜ao linear (Y (p) 7−→ (∇YX)(p)). O laplaciano de M ´e definido

como o operador ∆ : C∞(M) → C(M) dado por

∆f = div(gradf ), ∀f ∈ C∞(M).

Seja {E1, ..., En} um referencial geod´esico em p, ou seja, al´em de termos a

ortonormali-dade entre os campos do espa¸co tangente, temos tamb´em que (∇EiEj)(p) = 0, com i, j = 1, ..., n.

Ent˜ao as express˜oes do gradiente, divergˆencia, e do laplaciano no ponto p , para este referencial podem ser escritas como

grad f (p) =

n

X

i=1

(Eif )Ei(p). (1.2)

E escrevendo o campo X como X(p) =

n X i=1 aiEi(p), temos que divX(p) = n X i=1 (aiEi)(p) e ∆f (p) = n X i=1 Ei(Eif )(p). (1.3)

Ressaltemos agora algumas propriedades ´uteis nos cap´ıtulos subseq¨uentes, como:

grad(f h) = f grad h + h grad f , (1.4)

div(f X) = f divX + hgrad f, Xi (1.5)

∆(f h) = f ∆h + h∆f + 2hgrad f, grad hi, (1.6)

1 2∆(f

(18)

para quaisquer f, h ∈ C∞(M).

Se M ´e compacta e orient´avel, com bordo ∂M , para X ∈ X(M) temos que Z M (divX)dV = Z ∂M hX, νidA, (1.8)

onde dV e dA s˜ao os elementos de volume de M e do bordo ∂M , respectivamente, e ν ´e o campo normal a ∂M apontando para M ao longo de ∂M . Este resultado ´e conhecido como

Teorema da Divergˆencia. Decorrem deste teorema e de (1.5), as chamadas F´ormulas de Green

Z

M

{f ∆h + hgrad f, grad hi} dV =

Z ∂M f hgrad h, νidA (1.9) Z M {f ∆h − h∆f } dV = Z ∂M

{f hgrad h, νi − hhgrad f, νi} dA, (1.10) para f, h ∈ C∞(M).

Sejam f ∈ C∞(M) e p ∈ M. Defina o hessiano de f no ponto p, como a aplica¸c˜ao

bilinear, Hessf : X(M) × X(M) → C∞(M) dada por:

Hessf (X, Y ) = h∇Xgrad f, Y i.

Observando que

Hessf (X, Y ) = Xhgrad f, Y i − hgrad f, ∇XY i

= XY f − hgrad f, [X, Y ] + ∇YXi

= XY f − hgrad f, [X, Y ]i − hgrad f, ∇YXi

= XY f − [X, Y ]f − {Y.hgrad f, Xi − h∇Ygrad f, Xi}

= XY f − [X, Y ]f − Y Xf + h∇Ygrad f, Xi

= [X, Y ]f − [X, Y ]f + h∇Ygrad f, Xi

= Hessf (Y, X)

para X, Y ∈ X(M), conclu´ımos que Hessf ´e uma forma bilinear sim´etrica. Se (x1, ..., xn) ´e um

sistema de coordenadas locais em M e ∂i =

∂xi

ent˜ao:

(19)

Como ∇∂i∂j =

X

k

Γk

ij∂k, a express˜ao acima pode ser escrita da seguinte forma:

Hessf (∂i∂j) = (∂i∂j−

X

k

Γkij∂k)(f )

Denotemos o operador linear auto-adjunto hessf (p) : TpM → TpM dado por:

hhessf X, Y i = Hessf (X, Y )

como o operador associado ao hessiano de f. E dentro deste contexto ainda tem-se que

∆f = tr(hessf ). (1.11)

1.2

Geometria das Subvariedades

Sejam M e M variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel φ : M → M ´e uma imers˜ao se dφp : TpM → TpM ´e injetiva para todo p ∈ M. Se al´em disso, φ ´e um

homeomorfismo sobre φ(M) ⊂ M, onde φ(M) tem topologia induzida por M, diz-se que φ ´e um mergulho. Se M ⊂ M e a inclus˜ao i : M ⊂ M ´e um mergulho, diz-se que M ´e uma

subvariedade de M.

Seja φ : M → M uma imers˜ao de uma variedade M, em uma variedade Riemanniana

M de dimens˜ao igual a k = m + n.

O teorema da forma local das imers˜oes estabelece que se φ ´e uma imers˜ao, ent˜ao dado

p ∈ M existe um aberto U 3 p de M tal que φ|U : U → M ´e um mergulho, ou seja, φ(U) ´e uma

subvariedade de M; por este resultado ´e natural identificar os pontos de U com os pontos de

φ(U) pensando φ como inclus˜ao. Com esta identifica¸c˜ao, o TpM ´e identificado com dφp(TpM),

ou seja, identificamos v ∈ TpM com dφp(v).

Considerando a m´etrica induzida h , i do ambiente M, em M, temos de maneira natural uma m´etrica Riemanniana em M, de forma que se v, w ∈ TpM, define-se

hv, wip = hdφp(v), dφp(w)iφ(p).

Desta forma, φ passa a ser uma imers˜ao isom´etrica de M em M, em que podemos pensar que

(20)

a dimens˜ao da variedade ambiente e a dimens˜ao da variedade imersa, chamada codimens˜ao de φ ´e igual a 1, φ(M) = M ´e denominada hipersuperf´ıcie. Observemos que ao se tratar de imers˜oes, focamos a imagem de φ, de forma que identificamos φ(M) = M.

Para cada p ∈ M, a m´etrica em TpM decomp˜oe TpM na soma direta:

TpM = TpM ⊕ (TpM)⊥.

Indicaremos por T M⊥ o fibrado normal de φ e por X(M) o conjunto das sec¸c˜oes de

(TpM)⊥. Se X, Y s˜ao campos locais de vetores em M e X , Y s˜ao extens˜oes locais a M,

definimos ∇XY = (∇XY )> como a conex˜ao Riemanniana de M em que (∇XY )> ´e tamb´em a

componente tangente da conex˜ao em M. Dado X, Y ∈ X(U) definimos a aplica¸c˜ao bilinear e sim´etrica σ : X(U) × X(U) → X(U)⊥ ´e dada por:

σ(X, Y ) = ∇XY − ∇XY,

onde U ´e uma vizinhan¸ca de M identificada com φ(U). Escolhida uma dire¸c˜ao qualquer η ∈ X(U)⊥⊂ T M a segunda forma fundamental de φ em p, segundo o vetor η ´e definida por

Hη(X, Y ) = hσ(X, Y ), ηi.

Denotaremos por Aη : TpM → TpM a aplica¸c˜ao linear auto-adjunta associada a segunda forma

fundamental de φ na dire¸c˜ao η, isto ´e,

hAηX, Y i = Hη(X, Y ) = hσ(X, Y ), ηi, ∀X, Y ∈ TpM.

Observemos que a segunda forma fundamental, nome tamb´em designado a aplica¸c˜ao σ, depende intr´ınsecamente de η e que a codimens˜ao de φ determina a dimens˜ao de T M⊥. O fato

de Hη ≡ 0 ´e equivalente a σ ≡ 0, onde para uma base ortonormal a representa¸c˜ao matricial Aη

´e a matriz nula.

1.2 Proposic¸˜ao. Seja p ∈ M, x ∈ TpM e η ∈ TpM. Seja N uma extens˜ao local de η normal

a M. Ent˜ao

Aη(x) = −(∇xN)>.

(21)

tangentes a M. Ent˜ao usando o fato de hN, Y i = 0 e hN, N i = 1 temos assim,

hAη(x), yi = hσ(X, Y )(p), N i = h∇XY − ∇XY, N i(p)

= h∇XY, N i(p) = XhY, Ni(p) − hY, ∇XNi(p)

= h−∇xN, yi

para todo y ∈ TpM.

¥ A componente normal de ∇Xη, denominada conex˜ao normal ∇⊥ da imers˜ao ´e definida

da seguinte forma ∇⊥ : X(M) × X(M) −→ X(M) (X, η) 7−→ ∇⊥ Xη := (∇Xη)N. Explicitamente, ∇⊥ xN = (∇xN)N = ∇xN − (∇xN)>= ∇xN + Aη(x).

em que esta conex˜ao normal ∇⊥ possui as propriedades usuais de uma conex˜ao, isto ´e, ´e linear

em X, aditiva em η, e

∇X(f η) = f ∇⊥Xη + X(f )η, f ∈ C∞(M).

Se a codimens˜ao for um podemos dispensar o ´ındice η. Ent˜ao,

A(x) = −∇xN,

em que A ´e chamado operador forma ou operador de Weingarten.

Ainda para o caso em que a codimens˜ao ´e um e M = Rn+1, N pode ser pensado como

uma aplica¸c˜ao de M → Sn(1) e dN

p(x) = ∇xN. Logo,

A(x) = dN,

em que A ´e a aplica¸c˜ao de Gauss e ∇⊥ Xη ≡ 0.

Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T ´e um tensor de ordem (r + 1) dado por

(22)

Para cada Z ∈ X(M), a derivada covariante ∇ZT de T em rela¸c˜ao a Z ´e um tensor de ordem

r dado por

∇ZT (Y1, ..., Yr) = ∇T (Y1, ..., Yr, Z).

1.3 Proposic¸˜ao. As seguintes equa¸c˜oes se verificam: a) Equa¸c˜ao de Gauss

hR(X, Y )Z, T i = hR(X, Y )Z, T i − hσ(Y, T ), σ(X, Z)i + hσ(X, T ), σ(Y, Z)i,

b) Equa¸c˜ao de Codazzi

hR(X, Y )Z, ηi = (∇Yσ)(X, Z, η) − (∇Xσ)(Y, Z, η)

Demonstra¸c˜ao. Para o ´ıtem a) sabemos que ∇XY = ∇XY + σ(X, Y ) e ∇⊥Xη =

∇Xη + Aη(X). Considere a equa¸c˜ao R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z, calculando

cada membro da equa¸c˜ao acima separadamente, obtemos:

∇Y∇XZ = ∇Y(∇XZ + σ(X, Z)) = ∇Y∇XZ + ∇Yσ(X, Z) = ∇Y∇XZ + σ(∇XZ, Y ) + ∇⊥Yσ(X, Z) − Aσ(X,Z)Y ∇X∇YZ = ∇X(∇YZ + σ(Y, Z)) = ∇X∇YZ + ∇Xσ(Y, Z) = ∇X∇YZ + σ(∇YZ, X) + ∇⊥Xσ(Y, Z) − Aσ(Y,Z)X e ∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + σ([X, Y ], Z). Da´ı, obtemos: R(X, Y )Z = R(X, Y )Z + σ(∇XZ, Y ) + ∇⊥Yσ(X, Z)− − Aσ(X,Z)Y − σ(∇XZ, Y ) − ∇⊥Xσ(Y, Z)+ + Aσ(Y,Z)X + σ([X, Y ], Z).

Tomando o produto interno com T , os termos na dire¸c˜ao normal se anulam e temos que

(23)

¥

Da equa¸c˜ao de Gauss ocorre o caso particular

K(x, y) − K(x, y) = hσ(x, x), σ(y, y)i− | σ(x, y) |2 . (1.12)

No caso de hipersuperf´ıcie φ : Mn → Mn+1 a f´ormula de Gauss (1.12) admite uma express˜ao

mais simples. Sejam p ∈ M e η ∈ (TpM)⊥. Seja {e1, . . . , en} uma base ortonormal de TpM

para a qual Aη = A ´e diagonal, isto ´e, A(ei) = λiei, i = 1, . . . , n, em que λ1, . . . , λn s˜ao os

autovalores de A. Ent˜ao H(ei, ei) = λi e H(ei, ej) = 0, se i 6= j. Portanto (1.12) se escreve

K(ei, ej) − K(ei, ej) = λiλj

.

Demonstra¸c˜ao. No ´ıtem b) sabemos que

R(X, Y )Z = R(X, Y )Z + σ(∇XZ, Y ) + ∇⊥Yσ(X, Z)−

− Aσ(X,Z)Y − σ(∇XZ, Y ) − ∇⊥Xσ(Y, Z)+

+ Aσ(Y,Z)X + σ([X, Y ], Z)

fazendo o produto interno com η temos

hR(X, Y )Z, ηi = hσ(Y, ∇XZ), η)i + h∇⊥Yσ(X, Z), ηi − hσ(X, ∇YZ), η)i−

−h∇⊥

Xσ(Y, Z), ηi + hσ(∇XY, Z), ηi − hσ(∇YX, Z), ηi

em que

hσ(Y, ∇XZ), η)i − h∇⊥Xσ(Y, Z), ηi + hσ(∇XY, Z), ηi = −(∇Xσ)(Y, Z, η)

e

−hσ(X, ∇YZ), η)i + h∇⊥Yσ(X, Z), ηi − hσ(∇YX, Z), ηi = (∇Yσ)(X, Z, η)

¥

Se o espa¸co ambiente M tem curvatura seccional constante, por (1.1) , a equa¸c˜ao de Codazzi se reduz a

(24)

Al´em disso, se a codimens˜ao ´e 1 a equa¸c˜ao de Codazzi se escreve

h∇XAηY, Zi − hAη(∇XY ), Zi = h∇XAηX, Zi − hAη(∇YX), Zi

e portanto

(∇XA)(Y ) = (∇YA)(X)

utilizando-se a seguinte nota¸c˜ao

∇A(X, Y ) = (∇YA)(X) = ∇Y(AX) − A(∇YX).

Uma imers˜ao φ : M → M ´e geod´esica em p se para todo η ∈ (TpM )⊥ a segunda

forma fundamental Hη ´e identicamente nula em p. A imers˜ao φ ´e totalmente geod´esica se ela ´e

geod´esica para todo p ∈ M.

Uma condi¸c˜ao mais fraca do que a de totalmente geod´esica ´e a condi¸c˜ao de m´ınima. Uma imers˜ao φ : M → M ´e m´ınima se para todo p ∈ M e todo η ∈ (TpM)⊥ tem-se

que o tra¸co Aη = 0. Neste caso dizemos tamb´em que M ´e m´ınima. Tomando {e1, ..., en} como

referencial ortonormal de vetores de TpM, o vetor curvatura m´edia de φ em p ´e definido por

H = 1 n · (tr σ) em que tr σ = n X i=1

σ(ei, ei). Observe que

H independe da escolha da base {e1, ..., en}. De forma

que escolhendo esta tal que diagonaliza Aη temos:

H = 1 n(σ(e1, e1) + ... + σ(en, en)) = 1 n(λ1N + ... + λnN) = 1+ ... + λn) n · N

(25)

em que N ´e um vetor normal a M. Portanto = h H , ηi = h1 n tr σ, ηi = 1 n n X i=1 hσ(ei, ei), ηi = 1 n n X i=1 hAη(ei), eii = 1 n trAη

Observe que se trAη = 0, ou seja, λ1+ ... + λn= 0, ∀ p, temos que H(p) = 0 ∀p.

O quadrado da norma da segunda forma fundamental de φ ´e dado por:

S = ||σ||2 = ||A||2 = tr(A ◦ At) = n

X

i=i

λi.

Sejam M hipersuperf´ıcie m´ınima orientada compacta imersa na esfera n+1 dimensional

Sn+1 e N o campo normal unit´ario ao longo de M.

Denotemos por ∇, D as conex˜oes Riemannianas em Sn+1 e Rn+2, respectivamente.

Para cada vetor fixo v ∈ Rn+2 definimos a fun¸c˜ao altura e a fun¸c˜ao suporte respectivamente da

seguinte forma:

hv : M → R

p 7→ hv(p) = hv, pi

fv : M → R

p 7→ fv(p) = hv, N (p)i,

onde p presente no produto interno hv, pi corresponde ao vetor posi¸c˜ao normal a esfera. De Mn ,→ Sn+1 ,→ Rn+2 temos,

Rn+2 = T

pM ⊕ [N] ⊕ [p ]

em que [N] corresponde ao espa¸co dos vetores gerados por N ou seja, unit´arios e normais a

M e [p ] o espa¸co dos vetores gerados por p normais a esfera. Portanto v ∈ Rn+2 ´e expressado

como v = vT + λN + λp onde λ = hv, N i = f

v e λ = hv, pi = hv, assim,

v = vT + f

(26)

Relacionaremos agora as conex˜oes de Mn, Sn+1 e Rn+2. Sejam σ a segunda forma

fundamental da imers˜ao Mn,→ Sn+1, σ a segunda forma fundamental da imers˜ao Sn+1 ,→ Rn+2

e eσ = σ + σ a segunda forma fundamental de Mn ,→ Rn+2. Sejam X, Y ∈ X(M) e N ∈ X(M)

unit´ario temos:

DXY = ∇XY + σ(X, Y ) + σ(X, Y )

e do fato de na esfera

A−p : TpM −→ TpM

X 7−→ A−p(X) = X

pois A−p = −dNp = Id, em que Id ´e a fun¸c˜ao identidade da esfera e

σ(X, Y ) = Xhσ(X, Y ), N iN = hANX, Y iN σ(X, Y ) = Xhσ(X, Y ), −pi(−p) = hA−pX, Y i(−p) = −hX, Y ip temos portanto DXY = ∇XY + hA(X), Y iN − hX, Y ip (1.13)

1.4 Lema. Sejam v ∈ Rn+2 um vetor qualquer fixo e h

v como na defini¸c˜ao acima. Ent˜ao

grad hv = vT.

Demonstra¸c˜ao. Seja X ∈ X(M), ent˜ao temos que

h grad hv, Xi = X · hv

Tomemos α : I → M uma curva C∞ tal que α(0) = p e α0(0) = X(p), temos que

(X.hv(p)) =

d

dt((hv ◦ α)(t))|t=0 = hv, α

0(0)i = hv, X(p)i.

Escrevendo v = vT + vN em que vN ∈ [N] ⊕ [p ] segue que

(27)

logo

grad hv = vT = v − fvN − hvp.

¥ 1.5 Lema. Sejam v ∈ Rn+2 um vetor qualquer fixo e f

v como na defini¸c˜ao acima. Ent˜ao

grad fv = −A(vT).

Demonstra¸c˜ao. De maneira an´aloga sabemos que h grad fv, Xi = Xfv. Tomemos

α : I → M uma curva C∞ tal que α(0) = p e α0(0) = X(p) temos que

(X.fv(p)) = X(p).fv = d dt((fv ◦ α)(t))|t=0= d dt{hv, N (α(t)}|t=0 = hv, Nα(0)(α0(0))i = hv, Np(X(p))i = hv, −A.(X(p))i = −hvT, A.(X(p))i = −hvT, A.Xi(p) = −hA(vT), Xi, ∀X ∈ X(M) e portanto grad fv = −A(vT) ¥ 1.6 Lema. Sejam X, Y ∈ TpM, e hv como na defini¸c˜ao acima ent˜ao

i) X(hv) = hX, vi e

ii) Hess hv(X, Y ) = heσ(X, Y ), vi

Demonstra¸c˜ao.

(28)

ii) Hess hv(X, Y ) = h∇X(grad hv), Y i = Xhgrad hv, Y i − hgrad hv, ∇XY (hv)i = X(Y (hv)) − ∇XY (hv) = XhY, vi − ∇XY hp, vi = hDXY, vi + hY, DXvi − ∇XY hp, vi = hDXY, vi − h∇XY, vi = hDXY − ∇XY, vi = heσ(X, Y ), vi.

1.7 Lema. Sejam M , v e hv definidos como anteriormente, ent˜ao ∆hv = −nhv

Demonstra¸c˜ao. Seja {En

i=1} uma base ortonormal local de campos tangentes a M e

da equa¸c˜ao (1.13) para Y = vT temos:

DXvT = ∇XvT + hA(X), vTiN − hX, vTip (1.14)

Escrevendo v = vT + f

vN + hvp, como v por hip´otese ´e fixo temos que:

0 = DXv = DXvT + DX(fvN) + DX(hvp)

= (∇XvT + hA(X), vTiN − hX, vTip) + fvDXN + X(fv)N + hvDXp + X(hv)p

= ∇XvT + hA(X), vTiN − hX, vTip − fvA(X) + X(fv)N + hvX + X(hv)p

usando (1.14) na segunda igualdade e selecionando a parte tangente temos,

∇XvT = −hvX + fvA(X) Logo ∆hv = n X i=1 h∇Ei(∇hv)i = h−hvEi+ fvA(Ei), Eii = −hv n X i=1 hEi, Eii + fv n X i=1 hA(Ei), Eii = −nhv+ fvtr(A) ∆hv = −nhv+ nHfv

(29)

Considerando a imers˜ao m´ınima na express˜ao acima chegamos ao resultado.

¥ 1.8 Lema. Sejam M , v e fv definidos como anteriormente, ent˜ao ∆fv = − k A k2 fv.

Demonstra¸c˜ao. Analogamente, temos

DX(∇fv) = ∇X(∇fv) + hAN(X), ∇fviN + hApX, ∇fvip

DX(∇fv) = ∇X(∇fv) + hAN(X), ∇fviN − hX, ∇fvip

fazendo a express˜ao DX(∇fv) com um campo Y qualquer tangente a M temos ent˜ao

hDX(∇fv), Y i = hX(∇fv), Y i

j´a que os demais termos s˜ao perpendiculares a M. Ainda temos que

DX(∇fv) = −DX(AN(vT)) = −{(DXA)(vT) + A(DXvT)} = −{(DA)(X, vT) + A(∇ XvT + hA(X), vTiN − hX, vTip)} = −{(DA)(X, vT) + A(∇ XvT)} = −{(DA)(X, vT + A(−h v(X) + fvA(X)} = −{(DA)(X, vT) − h vA(X) + fvA2(X)} DX(∇fv) = −(DA)(X, vT) − hvA(X) + fvA2(X)

Na sec¸c˜ao 1.2, em rela¸c˜ao ao fato do espa¸co ambiente ser de curvatura seccional con-stante, tˆem-se que a equa¸c˜ao de Codazzi se reduz a,

(DXA)(Y ) = (DYA)(X) Fazendo X = Ei, obtemos ∆fv = n X i=1 h∇Ei(∇fv), Eii = − n X i=1 h(DA)(vT, Ei), Eii + hv n X i=1 hA(Ei), Eii − fv n X i=1 hA2Ei, Eii = − n X i=1

h(DA)(Ei, vT), Eii + hvtr(A) − fvtrA2

= −tr(DvTA) + hvtr(A) − fvtr(A2)

(30)

Considerando novamente a imers˜ao m´ınima na express˜ao acima chegamos ao resultado desejado.

¥ Finalizando o cap´ıtulo de preliminares mencionaremos o teorema de Gauss-Bonnet e suas conseq¨uˆencias.

Dizemos que uma regi˜ao simples que tem apenas trˆes v´ertices com ˆangulos externos

αi 6= 0, i = 1, 2, 3 ´e um triˆangulo.

Uma triangula¸c˜ao de uma regi˜ao regular R ⊂ S ´e uma fam´ılia finita

τ

de triˆangulos

Ti, i = 1, ..., n, tal que

1.∪n

i=1= R.

2. Se Ti∩ Tj 6= ∅, i 6= j, ent˜ao Ti e Tj ou um v´ertice comum de Ti e Tj.

Dada uma triangula¸c˜ao

τ

de uma regi˜ao regular R ⊂ S de uma superf´ıcie S, deno-taremos por F o n´umero de triˆangulos (faces), por E o n´umero de lados (arestas), e por V o n´umero de v´ertices da triangula¸c˜ao. O n´umero

F − E + V = χ

´e chamado caracter´ıstica de Euler-Poincar´e da triangula¸c˜ao.

1.9 Proposic¸˜ao. Seja S ⊂ R3 uma superf´ıcie compacta e conexa; ent˜ao um dos valores

2, 0, −2, ..., −2n, ... ´e assumido pela caracter´ıstica de Euler-Poincar´e χ(S). Al´em disso, se S0

R3 ´e uma outra superf´ıcie compacta e conexa e χ(S) = χ(S0), ent˜ao S ´e homeomorfa a S0.

Em outras palavras, toda superf´ıcie compacta e conexa S ⊂ R3 ´e homeomorfa a uma

esfera com um n´umero G de al¸cas. O n´umero

G = 2 − χ(S)

2 ´e chamado gˆenero de S.

1.10 Teorema de Gauss-Bonnet Global. Seja R ⊂ S uma regi˜ao regular de uma superf´ıcie orientada e sejam C1, ..., Cn as curvas fechadas, simples e regulares por partes que formam a

(31)

fronteira ∂R de R. Suponha que cada Ci ´e orientada positivamente e sejam θ1, ..., θp o conjunto

de ˆangulos externos curvas C1, ..., Cn. Ent˜ao n X i=1 Z Ci kg(s)ds + Z R Z Kdσ + p X t=1 θt= 2πχ(R),

onde s denota o comprimento de arco de Ci, K a curvatura de Gaussiana da regi˜ao S, kg a

curvatura geod´esica referente aos arcos regulares de Ci, e a integral sobre Ci, significa a soma

das integrais em todos os arcos regulares de Ci

1.11 Corol´ario. Seja S uma superf´ıcie compacta e orient´avel; ent˜ao

Z

S

Z

(32)

O Toro de Clifford

Neste cap´ıtulo veremos algumas propriedades b´asicas da fam´ılia simples de hipersu-perf´ıcies da esfera euclidiana unit´aria Sn+1(1) ⊂ Rn+2. Em particular o toro de Clifford, do

qual calcularemos as suas curvaturas principais, curvatura m´edia e segunda forma fundamental. Iniciaremos com algumas considera¸c˜oes sobre variedade produto e sobre produto de imers˜oes.

Sejam M, N, M e N variedades Riemannianas, f : M → M e g : N → N imers˜oes isom´etricas. Considere em M × N e M × N as m´etricas produto e a imers˜ao isom´etrica

f × g : M × N → M × N. Sejam ∇M,∇N, ∇M e ∇N as conex˜oes Riemannianas de M, N, M

e N, respectivamente e ∇M ×NX Y = ∇MXMYM + ∇NXNYN e ∇M ×NU V = ∇MU MVM + ∇ N UNVN,

onde, X = (XM, XN) e Y = (YM, YN) s˜ao os campos de vetores tangentes a M × N,

U = (UM, UN) e V = (VM, VN) os campos de vetores a M × N, XM, YN ∈ X(M) e XN, YN(N)

∈ X(N) , UM, VM ∈ X(M) e UN e VN ∈ X(N).

Sejam σf, σg as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com os

operadores forma associados Af

η : T M → T M e Agµ : T N → T N para η ∈ X(M)⊥ e µ ∈ X(N)⊥

e u, v tangentes a M e w, v tangentes a N, temos:

(33)

Assim,

σf ×g(X, Y ) = (σf(XM, YM), σg(XN, YN))

´e a segunda forma fundamental da imers˜ao produto f × g.

Seja N = (η, µ) normal a M × N, com η normal a M e µ normal a N tal que

| η |2 + | µ |2= 1. Vamos encontrar o operador A

N associado a f × g. hANX, Y i = hσf ×g(X, Y ), N i = h(σf(XM, YM), σg(XN, YN)), (η, µ)i = hσf(XM, YM), ηi + hσg(XN, YN), µi = | η | hAfη |η|XM, YMi+ | µ | hA f µ |µ|XN, YNi

Portanto, para a imers˜ao produto f × g o operador de forma na dire¸c˜ao normal N ´e

ANX = |η|Afη |η|XM ⊕ |µ|A g µ |µ|XN = (|η|Aη |η| ◦ π f 1 + |µ|A|µ|µ ◦ πg2X)

onde, π1 ´e a proje¸c˜ao sobre M e π2 ´e a proje¸c˜ao sobre N.

Dados dois n´umeros inteiros positivos n1 e n2 com n1+ n2 = n e dois n´umeros reais r1

e r2 tal que r12+ r22 = 1, o produto Sn1(r1) × Sn2(r2) das esferas Sni(ri) = {pi ∈ Rni+1 : |pi| =

ri}, i = 1, 2 ´e uma hipersuperf´ıcie compacta homogˆenea da esfera Sn+1(1) chamada usualmente

de Toro de Clifford. Se p = (p1, p2) ´e um ponto em M = Sn1(r1) × Sn2(r2), o vetor unit´ario

normal a M neste ponto ´e definido por: N(p1, p2) = µ −r2 r1 p1,r1 r2 p2 ¶ . (2.1)

Temos ent˜ao que

|N| = s¯ ¯ ¯ ¯−rr2 1 p1 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 + ¯ ¯ ¯ ¯rr1 2 p2 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 = 1

Mostremos agora que N ´e normal a M. Primeiro ´e necess´ario provarmos que N ∈ (TpM)⊥ ⊂ TpSn+1 e depois provarmos que o produto interno entre N e um vetor tangente

(34)

qualquer de TpM ´e igual a zero. Comecemos com o c´alculo do produto interno entre p e N. hp, N i = ¿ (p1, p2), µ −r2 r1 p21+ r1 r2 p22 ¶À = −r2 r1 |p1|2+ r1 r2 |p2|2 = − r2 r1 r12+r1 r2 r22 = 0

Portanto N ∈ (TpM)⊥. Agora, dado v = (v1, v2) ∈ TpM, seja

α : (−ε, ε) → M

definida por

α(t) = (α1(t), α2(t))

uma parametriza¸c˜ao de uma curva em M, com α(0) = p = (p1, p2) e α0(0) = v = (v1, v2), sendo

α1(t) ∈ S1n(r1) , α2(t) ∈ S2n(r2). Observamos diretamente que

1(t), α1(t)i = |α1(t)|2 = r21

2(t), α2(t)i = |α2(t)|2 = r22,

derivando o primeiro dos produtos internos, temos

hα0

1(t), α(t)i = 0

para todo t ∈ (−ε, ε).Em particular, para t = 0, segue que hα0

1(0), α(t)i = 0, ou seja, hp1, v1i =

0. De modo an´alogo mostra-se que hp2, v2i = 0. Conseq¨uentemente

hN, vi = ¿µ −r2 r1 p1, r1 r2 p2 ¶ , (v1, v2) À = −r2 r1 hp1, v1i + r1 r2 hp2, v2i = 0,

para todo v ∈ TpM. Portanto N ´e normal a M como desejamos mostrar.

Observando que N(α(t)) = µ −r2 r1 α1(t), r1 r2 α2(t), temos Av = −∂N (α(t)) ∂t = µ r2 r1 α10(t), −r1 r2 α02(t). Para v = (α0 1(0), 0), temos Av = r2 r1 (α0(0), 0) = r2 r1 v, portanto r2 r1

´e uma curvatura principal. De modo an´alogo, para v = (0, α0

2(0)), vemos que −

r1

r2

tamb´em ´e uma curvatura principal. Assim, o operador A pode ser representado matricialmente como

(35)

A =                 r2 r1 0 . . . 0 0 0 0 . .. 0 0 0 0 r2 r1 0 ... ... −r1 r2 ... 0 0 . .. 0 0 0 . . . −r1 r2                

Observando a matriz, vemos que trA = n1

r2

r1

− n2

r1

r2

. Logo, M ´e m´ınima se, e somente

se,

n1r22 = n2r21 (2.2)

Sabemos que o quadrado da norma da segunda forma fundamental σ ´e igual ao quadrado da norma da matriz A. Usando este fato e a igualdade (2.2), temos

||σ||2 = n 1 r2 2 r2 1 + n2 r2 1 r2 2 = n2 r2 1 r2 1 + n1 r2 2 r2 2 = n2+ n1 = n. (2.3)

Para fins de adequa¸c˜ao ao contexto utilizado, melhoria da nota¸c˜ao e simplifica¸c˜ao na computa¸c˜ao do operador forma da imers˜ao, curvaturas principais, curvatura m´edia e rela¸c˜oes entre o quadrado da segunda forma fundamental e a curvatura m´edia, redefiniremos o toro de Clifford da forma a seguir.

Considere as imers˜oes canˆonicas

f : Sn−k(r

1) ,→ Rn−k+1

g : Sk(r

2) ,→ Rk+1

i : Sn+1 ,→ Rn+2.

Denotemos φ o produto dessas imers˜oes tal que φ : f × g : Sn−k(r

1) × Sk(r2) ,→ Rn+2.

Sejam os pontos p ∈ Sn−k(r

1) e q ∈ Sk(r2), isto ´e, |p| = r1 e |q| = r2. Para um ponto (p, q) da

variedade produto Sn−k(r

1) × Sk(r2) temos |(p, q)|2 = |p|2+ |q|2 = r21 + r22. Se r12+ r22 = 1 e

fazendo r1 = r e r2 =

1 − r2 teremos um Toro de Clifford ou hipersuperf´ıcie de Clifford,

(36)

Vale ressaltar que dada uma imers˜ao i : Sn(r) ,→ Rn+1 temos que a aplica¸c˜ao Normal

de Gauss na esfera de raio r ´e dada por N(p) = − p

|p |; portanto segue que −dNp(v) =

1

r (v) =

1

rId. Na sec¸c˜ao 1.2, vimos que seja N : M

n→ Rn+1, ent˜ao

−dNp(v) = −(∇vN) = AN(v)

onde A ´e um operador forma e ∇ ´e a conex˜ao de Rn+1. Sendo assim para as imers˜oes

f : Sn−k(r

1) ,→ Rn−k+1 ; g : Sk(r2) ,→ Rk+1 e i : Sn+1,→ Rn+2, teremos os operadores forma

associados: Af η = 1 rId , A g µ = 1 1 − r2Id e A i N = Id com η(p) = − p r e µ(q) = − q 1 − r2 ·

Da defini¸c˜ao (2.1) de vetor normal ao toro de Clifford no ponto (p, q) ∈ Sn−k(r) ×

Sk(1 − r2), citada neste pr´oprio cap´ıtulo, o vetor normal ´e dado por

N(p, q) = (− 1 − r2 r p, r 1 − r2 q)

e o operador forma na sua dire¸c˜ao ser´a

AN = 1 − r2(Af) −pr ◦ π1− r(Ag)−√q 1−r2 ◦ π2· Temos assim: AN(X, 0) = 1 − r2(Af) −prX = 1 − r2 r X e AN(0, Y ) = −r(Ag)−√q 1−r2Y = −r 1 − r2Y.

Tomando uma base ortonormal de vetores de f × g dada por

{(e1, 0), (e2, 0), ..., (en−k, 0), (0, hn−k+1), (0, hn−k+2), ..., (0, hn−k+k)},

onde {ei} diagonaliza Afη e {hi} diagonaliza Agµ, temos as curvaturas principais do Toro de

Clifford dadas por

λ1 =, ..., = λn−k = 1 − r2 r e λn−k+1=, ..., = λn = −r 1 − r2.

Para uma orienta¸c˜ao conveniente, a curvatura m´edia H do toro imerso em Sn+1´e dada

(37)

H = λ1+ λ2+ ... + λn−k+ λn−k+1+ ...λn n nH = (n − k)λ1+ k(λn−k+1) nH = (n − k)( 1 − r2 r ) + k( −r 1 − r2) segue que nH = n − nr 2− k r√1 − r2 (2.4)

De (2.2) e (2.4) podemos observar que a imers˜ao φ ´e m´ınima e por conseq¨uˆencia M ´e m´ınima se, e somente se,

r2 = n − k

n .

O quadrado da norma da segunda forma fundamental de φ denotaremos da mesma forma que no cap´ıtulo de preliminares,

S = k A k2 = n X i=1 λ2i isto ´e, S = Ã (n − k) . µ√ 1 − r2 r ¶2 + k . µ −r 1 − r2 ¶!2 = (n − k) .1 − r 2 r2 + k . · r2 1 − r2 + 1 − 1 ¸ = (n − k) . µ 1 r2 − 1+ k . µ 1 1 − r2 ¶ − k = (n − k) . 1 r2 + k . 1 1 − r2 − n + k − k = (n − k) . 1 r2 + k . 1 1 − r2 − n

(38)

Com isso temos a express˜ao de S em fun¸c˜ao de r dada por

S = (n − k) . 1 r2 + k .

1

1 − r2 − n. (2.5)

Escrevamos a seguir S em fun¸c˜ao de H. De temos que

(1 − r2)H2n2r2 = n2(1 − r2)2− 2nk(1 − r2) + k2,

e pondo 1 − r2 = t, obtemos

H2n2(1 − t)t = n2t2− 2nkt + k2

H2n2(t − t2) = n2t2− 2nkt + k2

(H2n2+ n2)t2− (2nk + H2n2)t + k2 = 0.

A express˜ao do discriminante ∆ para a computa¸c˜ao das ra´ızes ´e dada por ∆ = 4n2k2+ H4n4 + 4n3H2k − 4k2(H2n2+ n2) = n2H2(4nk − 4k2+ n2H2), encontrando t = 1 − r2, temos 1 − r2 = 2nk + n2H2± p n2H2[n2H2+ 4k(n − k)] 2(n2+ n2H2) r2 = n2H2+ 2n2− 2nk ∓ p n2H2[n2H2+ 4k(n − k)] 2(n2+ n2H2) , e com isso 1 r2 = 2n2(1 + H2) n2H2+ 2n2− 2nk ∓pn2H2[n2H2+ 4k(n − k)] 1 1 − r2 = 2n2(1 + H2) 2nk + n2H2±pn2H2[n2H2+ 4k(n − k)]

fazendo as devidas racionaliza¸c˜oes dos denominadores das express˜oes acima encontramos 1 r2 = n2H2+ 2n2− 2nk ±pn2H2[n2H2+ 4k(n − k)] 2(n − k)2 (2.6) 1 1 − r2 = n2H2+ 2nk ∓pn2H2[n2H2+ 4k(n − k)] 2k2 (2.7)

Substituindo (2.6) e (2.7) na express˜ao (2.5) obtemos

S = n + n3 2k(n − k)H 2±n(n − 2k) k H k 2k(n − k) p H2n2+ 4k(n − k) (2.8)

(39)

se r2 = n2H2+ 2n(n − k) + p n2H2[n2H2 + 4k(n − k)] 2n2(H2+ 1) , temos, r2 2n(n − k) + 2n2H2 2n2(H2+ 1) 2n(n − k) + 2n(n − k)H2 2n2(H2+ 1) = n − k n .

Observemos que este ´e o caso em que

S = n + n3 2k(n − k)H 2+n(n − 2k) k H k 2k(n − k) p H2n2+ 4k(n − k) (2.9)

Por outro lado, se

r2 = n2H2+ 2n(n − k) −

p

n2H2[n2H2+ 4k(n − k)]

2n2(H2+ 1) ,

e usando o fato de que n2H2 pn2H2[n2H2+ 4k(n − k)],

r2 = n2H2 + 2n(n − k) − p n2H2[n2H2+ 4k(n − k)] 2n2(H2+ 1) n 2H2 + 2n(n − k) − n2H2 2n2(H2+ 1) = 2n(n − k) 2n2(H2+ 1) 2n(n − k)H2+ 2n(n − k) 2n2(H2+ 1) = 2n(n − k)(H2+ 1) 2n2(H2+ 1) = n − k n ,

onde conclu´ımos acima que

r2 n − k n . Neste caso, S = n + n 3 2k(n − k)H 2 n(n − 2k) k H k 2k(n − k) p H2n2+ 4k(n − k)·

Em particular, para k = 1, temos que o quadrado da norma da segunda forma funda-mental do toro Sn−1(r) × S1(1 − r2), com r2 n − 1

n , ´e dado por

S = n + n 3 2(n − 1)H 2 n(n − 2) k H k 2k(n − 1) p H2n2+ 4(n − 1),

enquanto que para o toro Sn−1(r) × S1(1 − r2), com r2 n − 1

n , tem-se S = n + n 3 2(n − 1)H 2 n(n − 2) k H k 2k(n − 1) p H2n2+ 4(n − 1).

(40)

Estabilidade e ´Indice de Morse

No presente cap´ıtulo faremos uma apresenta¸c˜ao de fatos relacionados a teoria de es-tabilidade, com o estudo de um problema variacional de minimiza¸c˜ao de ´area de variedades Riemanianas em uma forma espacial Qn+1

c com c = −1, 0, 1, ou seja, espa¸cos com curvatura

constante. Em particular, as hipersuperf´ıcies m´ınimas, com bordo, imersas na esfera (n + 1) -dimensional unit´aria Sn+1(1). Introduziremos o conceito de varia¸c˜ao de uma imers˜ao bem como

as f´ormulas da primeira e segunda varia¸c˜ao. A f´ormula da primeira varia¸c˜ao nos permite caracterizar as hipersuperf´ıcies m´ınimas como os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area, enquanto que a da segunda varia¸c˜ao ´e de fundamental importˆancia no sentido de encontrar um m´ınimo local desta fun¸c˜ao ou ´ındice para hipersuperf´ıcie, em cada varia¸c˜ao.

3.1

Primeira e Segunda Varia¸c˜

ao e Estabilidade

Sejam M uma variedade Riemanniana e φ : M → M uma imers˜ao isom´etrica.

Para caracterizarmos as imers˜oes m´ınimas como pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area, pre-cisamos formalizar o conceito de varia¸c˜ao. Trabalharemos aqui com o caso em que M ´e com-pacta, orientada, com bordo ∂M . Nos restringiremos `as varia¸c˜oes que fixam o bordo de M.

Uma varia¸c˜ao da imers˜ao φ ´e uma aplica¸c˜ao X : (−ε, ε) × M → M de classe C∞, que

(41)

(a) cada aplica¸c˜ao φt: M → M definida por φt(p) = X(t, p) ´e uma imers˜ao;

(b) φ0 = φ;

(c) φt|∂M = φ|∂M, para todo t ∈ (−ε, ε)

O campo W definido por

W (p) = dX.∂X

∂t (t, p) |t=0, p ∈ M (3.1)

´e chamado campo variacional de X.

Vejamos que para cada p ∈ M, W (p) ´e o vetor velocidade, em t = 0, da curva α : I → M definida por α(t) = X(t, p).

3.1 Observa¸c˜ao. A varia¸c˜ao X ´e dita normal se o campo W ´e um campo normal. Neste caso W = uN, u ∈ C∞(M), u|

∂M ≡ 0.

Seja dMt o elemento de ´area de M na m´etrica induzida por φt. Definamos a fun¸c˜ao

A : (−ε, ε) → R por

A(t) =

Z

M

dMt,

isto ´e, A(t) ´e a ´area de M com rela¸c˜ao `a m´etrica induzida por φt.

A f´ormula da primeira varia¸c˜ao da hipersuperf´ıcie ´e dada por

A0(0) = −n Z

M

hH, W idM0 (3.2)

onde dM0 ´e o elemento de ´area em M na m´etrica induzida, n a dimens˜ao da hipersuperf´ıcie M

e hH, W i a proje¸c˜ao do campo variacional na dire¸c˜ao normal.

Como conseq¨uˆencia da express˜ao acima (3.2) temos que a imers˜ao φ ´e m´ınima se, e somente se, φ ´e um ponto cr´ıtico para a fun¸c˜ao ´area correspondente a cada varia¸c˜ao. Mais precisamente, do fato de φ ser m´ınima se e somente se, para cada varia¸c˜ao tem-se A0(0) = 0,

temos que o ponto t = 0, o qual est´a associado `a imers˜ao φ, ´e um ponto cr´ıtico para a fun¸c˜ao

A relativa a cada varia¸c˜ao. ´E de fato neste sentido que dizemos que as imers˜oes m´ınimas s˜ao os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area. Se φ ´e uma imers˜ao m´ınima, ´e natural ent˜ao indagar se, para cada varia¸c˜ao φ ´e um ponto de m´ınimo local, ou se φ n˜ao representa um ponto de m´ınimo desta fun¸c˜ao para alguma varia¸c˜ao. Como este ´e um problema de determinar o m´ınimo de

(42)

uma fun¸c˜ao diferenci´avel A : (−ε, ε) → R, ou a instabilidade da hipersuperf´ıcie M ´e necess´ario conhecermos a express˜ao de A00(0), chamada f´ormula da segunda varia¸c˜ao.

Adequando o contexto descrito com o nosso interesse neste trabalho, faremos algumas restri¸c˜oes. Suporemos a partir de agora e em todo o cap´ıtulo que M = Sn+1(1), esfera unit´aria

(n + 1)- dimensional, de forma que φ : M → Sn+1 ´e uma imers˜ao m´ınima e que a varia¸c˜ao X

´e normal, isto ´e, o campo W definido em (3.1) ´e um campo normal. Observemos ainda que a condi¸c˜ao W ≡ 0 equivale a u|∂M ≡ 0.

Considerando a varia¸c˜ao normal dada por u, seja Au : t 7→ Au(φt), a fun¸c˜ao ´area

associada a esta varia¸c˜ao normal, onde φt : M → Sn+1(1) ,→ Rn+2 ´e a imers˜ao definida por

φt= X(t, p), p ∈ M. A f´ormula da segunda varia¸c˜ao ´e dada por

A00 u(0) = − Z M © u∆u − (Ric(N) + ||σ||2)udM

onde ∆ ´e o operador Laplaciano da imers˜ao, Ric(N)´e a curvatura de Ricci de M = Sn+1 na

dire¸c˜ao de N, |σ| ´e a norma da segunda forma fundamental da imers˜ao. Observe que para

M = Sn+1, temos

Ric(X) = n, ∀X ∈ TpSn+1.

Uma hipersuperf´ıcie M ´e dita est´avel se para toda varia¸c˜ao normal que fixa seu bordo

A00

u(0) > 0. M ´e dita inst´avel se para alguma varia¸c˜ao normal que fixa seu bordo A00u(0) < 0. Vale

ressaltar que hipersuperf´ıcie n˜ao est´avel difere-se da inst´avel, pois no caso da hipersuperf´ıcie n˜ao est´avel, pode ocorrer que A00

u(0) = 0, enquanto que na inst´avel existe a desigualdade estrita.

De posse destas defini¸c˜oes podemos ent˜ao responder a indaga¸c˜ao anunciada ante-riormente. Uma imers˜ao m´ınima φ representa um m´ınimo local da fun¸c˜ao ´area se temos

Au(0) ≤ Au(t), para todo t ∈ (−ε, ε) e para toda varia¸c˜ao φ, ou de outra forma, podemos

tamb´em dizer que se A0

u(0) = 0 e A00u(0) > 0 para toda varia¸c˜ao normal que fixa bordo, M

representa um m´ınimo local. Se M al´em de ser um m´ınimo local, sua ´area ´e menor ou igual que a ´area de qualquer outra hipersuperf´ıcie Mt que tenha a mesma fronteira definimos M por

minimizante. Por´em se para algum u ∈ C∞(M), A00

u(0) < 0, ou seja, M ´e inst´avel, vemos que a

´area de M ´e maior que a ´area de Mt para pequenos valores de t 6= 0. Em particular, M, n˜ao ´e

um m´ınimo local da fun¸c˜ao ´area, embora seja um ponto cr´ıtico desta fun¸c˜ao. Veremos a seguir que a instabilidade de uma hipersuperf´ıcie M pode ser caracterizada com o que denominaremos ´ındice.

(43)

3.2

´Indice de Morse de Hipersuperf´ıcies da Esfera

Seja Mn imersa isom´etricamente na esfera unit´aria (n + 1) - dimensional, Sn+1(1). O

operador de estabilidade da imers˜ao, ´e expressado por

L = ∆ + ||σ||2+ n. (3.3)

Para hipersuperf´ıcies da esfera, o operador de estabilidade L induz uma forma quadr´atica dada por Q(u, u) = Z Mn © |∇u|2− (||σ||2+ n)udMn (3.4)

onde ∇u ´e o gradiente da fun¸c˜ao u e dMn ´e a m´etrica sobre Mn. Definimos o ´ındice de Morse

de uma hipersuperf´ıcie Mn, e denotamos por ind(Mn), o ´ındice da forma quadr´atica Q, que

consiste em encontrar a dimens˜ao m´axima do subespa¸co vetorial das fun¸c˜oes onde Q ´e negativa definida. Intuitivamente, o ind(Mn) mede o n´umero de dire¸c˜oes em que Mndeixa de minimizar

´areas. Do fato do Ric(N) = n ,do Teorema da divergˆencia (1.8) e das F´ormulas de Green(1.9) e (1.10) temos que a segunda varia¸c˜ao coincide com a forma quadr´atica na esfera, ou seja, temos que

A00u(0) = Q(u, u) ∀u ∈ C∞(M), u|∂M ≡ 0

Assim est´a claro que, para uma dada fun¸c˜ao u, cuja forma quadr´atica ´e negativa, temos que a segunda varia¸c˜ao segundo esta fun¸c˜ao ´e negativa. De maneira a conclu´ımos que se uma hipersuperf´ıcie ´e inst´avel esta apresenta ´ındice. Observemos ainda que afirmar que uma hipersuperf´ıcie ´e est´avel equivale a dizer que seu ´ındice ´e igual a zero. Em [S], J.Simons provou que M ´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima da esfera, ent˜ao ind(M) ≥ 1, e caracterizou as imers˜oes totalmente geod´esicas como as ´unicas cujo ind(M) = 1.

As imers˜oes m´ınimas na esfera tˆem uma peculiar propriedade de exprimir o ´ındice de uma dada hipersuperf´ıcie em fun¸c˜ao do n´umero de autovalores negativos associados ao operador de estabilidade L contando com multiplicidade, de modo a existir uma equivalˆencia entre o n´umero de autovalores negativos de L e a dimens˜ao m´axima do subespa¸co das fun¸c˜oes no qual a forma quadr´atica Q ´e negativa, obtida da seguinte forma.

(44)

Seja L2(M) o espa¸co das fun¸c˜oes mensur´aveis u em M para as quais

Z

M

||u||2dM < ∞.

Em L2(M) consideramos o produto interno usual, e a norma induzida, dada respectivamente

por: hu, vi = Z M uv dM, ||u||2 L2(M ) = hu, ui = Z M u2dM,

para u, v em M. Temos a seguinte rela¸c˜ao:

Q(u, u) = −hLu, uiL2(M ) = A00uN(0)

desenvolvendo a forma quadr´atica Q, induzida pelo operador estabilidade L, temos pelo teorema da divergˆencia: Q(u, u) = Z Mn © |∇u|2− (||σ||2+ n)udMn = − Z Mn © u(∆u + ||σ||2u + nu)ªdMn = − Z Mn {u.Lu} dMn

Sendo u uma autofun¸c˜ao de L, temos Lu = λu, logo

Q(u, u) = λ Z Mn u2dMn Portanto A00uN(0) = Q(u, u) = λ Z Mn u2dMn < 0, se e somente se λ < 0.

Do mesmo modo, fazendo an´alise com referˆencia aos problemas de autovalores temos que se λi, i = 1, 2... s˜ao autovalores de L, e fi as autofun¸c˜oes correspondentes, ent˜ao

λk = inf

u∈X

R

D|∇u|2 − (||σ||R 2+ n)u2 dM Du2 dM

onde X = [f1, . . . , fk−1] para toda u com u|∂D = 0. Logo

(45)

para qualquer fun¸c˜ao u comRMnu2 dMn= 1 e

R

Mnufi dMn= 0, i = 1, 2, ...(k − 1), onde temos

a igualdade se e somente se u ´e autofun¸c˜ao de L ,ou seja,

Lu + λku = 0

Conclu´ımos com o exposto que encontrar o ´ındice de Morse da hipersuperf´ıcie M ´e encontrar autofun¸c˜oes do operador L associadas a autovalores negativos.

3.3

O Espectro de uma Variedade Riemanniana

Nesta sec¸c˜ao, segue que M ´e uma variedade Riemanniana conexa e compacta munida da m´etrica Riemanniana g = h , i e sobre esta, um operador ∆, que como antes, denotar´a o Laplaciano de M onde o mesmo ´e um operador autoadjunto, el´ıptico diferenci´avel, positivo definido.

Chamamos de espectro de uma variedade Riemanniana (M, g) e denotamos por Spec (M, g), o conjunto dos valores de λ ∈ R tal que f ∈ C∞(M), f 6= 0 onde se verifica

∆f + λf = 0.

Seja f ∈ C∞(M) tal que ∆f + λf = 0 com λ ∈ Spec(M, g). Este n´umero real λ ´e

chamado de autovalor em (M, g) para o operador ∆ e a fun¸c˜ao f ´e chamada de autofun¸c˜ao

associada a λ. Dizemos tamb´em que o conjunto

Pλ(M, g) = {f ∈ C∞(M); ∆f + λf = 0}

´e o autoespa¸co associado a λ.

Para todo λ ∈ Spec (M, g), Pλ(M, g) tem dimens˜ao finita. Esta dimens˜ao ´e chamada

de multiplicidade de λi associada a Pλi(M, g).

Consideremos os seguintes problemas de autovalores:

Problema fechado de autovalor - Seja M como definido nesta sec¸c˜ao. Encontrar

todos os n´umeros reais λ para os quais exista uma solu¸c˜ao n˜ao trivial f ∈ C2(M) para a equa¸c˜ao

(46)

Problema de autovalor de Dirichelet - Para M conexa com fecho compacto e

fronteira suave, achar todos os valores reais λ para os quais exista uma solu¸c˜ao n˜ao trivial f ∈ C2(M) ∩ C0(M) para 3.6 satisfazendo a condi¸c˜ao de fronteira

f |∂M = 0 (3.7)

3.2 Teorema. Para cada um dos problemas de autovalores acima, o conjunto de autovalores consiste de uma seq¨uencia 0 ≤ λ1 < λ2 < λ3 . . . ↑ +∞, e cada autoespa¸co ´e de dimens˜ao

finita. Autoespa¸cos associados a distintos autovalores s˜ao ortogonais em L2(M), e L2(M) ´e

soma direta de todos os autoespa¸cos.

Demonstra¸c˜ao. : Ver [Chav]

3.3 Teorema (Quociente de Rayleigh). Para toda u 6= 0 temos λ1

Q(u, u) ||u||2

L2(M )

, (3.8)

com igualdade se s´o se u ´e uma autofun¸c˜ao de λ1. Se f1, f2, . . . ´e uma base ortonormal

com-pleta de L2(M) tal que f

j ´e uma autofun¸c˜ao de λj para cada j = 1, 2, . . . ent˜ao para u 6= 0

satisfazendo u ∈ [f1, f2, . . . fn−1] temos a desigualdade

λk

Q(u, u) ||u||2

L2(M )

, (3.9)

com igualdade se s´o se u ´e uma autofun¸c˜ao de λk

Demonstra¸c˜ao. : Ver [Chav]

3.4 Observa¸c˜ao. A multiplicidade do autovalor λ = 0 ´e 1. Com efeito as ´unicas autofun¸c˜oes associadas a 0, ou seja, autofun¸c˜oes harmˆonicas s˜ao as constantes, porque

hf, ∆f i = h∇f, ∇f i, assim

∆f = 0 ⇒ ∇f = 0

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Referências

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