Matemática Financeira Introdução a Matemática Financeira e Comercial e suas aplicações.

Matemática Financeira

Introdução a Matemática Financeira e Comercial e suas aplicações.

Rikey Paulo Pires Felix,

Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás, Pós Graduado em Gestão Empresarial pela Faculdade Montes Belos Goiás, funcionário concursado em exercício do Banco do Brasil, instrutor do SENAC, Sorriso MT.

Objetivos: Conhecer assuntos introdutórios de Matemática Financeira Comercial, apresentando conceitos teóricos, resolução de exercícios, bem como suas respectivas aplicações na contabilidade, administração, com o auxílio da calculadora científica financeira HP 12C, trazendo uma didática e proposta pedagógica voltada para um curso profissionalizante.

Razão de dois números Razão de duas grandezas Proporção – definição Propriedade fundamental

Cálculo de um termo desconhecido Transformadas

Séries de razões iguais.

Grandezas diretamente proporcionais – definição e gráfico Propriedade característica

Números diretamente proporcionais

Grandezas inversamente proporcionais – definição e gráfico Propriedade características

Números inversamente proporcionais

Grandezas proporcionais a várias outras – definição e propriedade. Divisão em partes proporcionais

Divisão em partes inversamente proporcionais Divisão proporcional composta

Regra da sociedade

Regra de três simples e composta

Percentagem, taxa unitária, fórmula para cálculo percentual Operação sobre Mercadorias

Vendas com lucro (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da venda)

Vendas com prejuízo (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da venda)

Juros simples – Juro, capital e taxa Regimes de capitalização

Cálculos de Juros simples Taxas proporcionais

Taxas equivalentes

Juro comercial e juro exato Montante

Desconto Simples Títulos de crédito

Desconto comercial, valor do desconto comercial, valor atual, taxa de juro efetiva

Equivalência de capitais

Desconto racional, valor do desconto racional, valor atual racional Juros composto,

Cálculo de montante

Determinação do fator de capitalização Calculadoras científicas e logaritmos Cálculo do capital

Taxas proporcionais, taxas equivalentes Taxa nominal

Taxa efetiva

Taxa Real e taxa aparente, Conceito de inflação

O conceito de proporção é sem dúvidas de extrema importância em nossas vidas, assim como em toda a matemática financeira. Sempre estamos fazendo comparações em relação às proporcionalidades das formas, objetos e tamanhos das coisas, carros e etc.

Por se tratar de um princípio de grande viabilidade na administração financeira, começamos por aqui a abordagem do conteúdo.

A razão de dois números ou a razão entre dois números de a e bou

b a

que se lê “razão de a para b” ou “razão entre a e b” ou “ a está para b”. O primeiro número é chamado de antecedente “a” o segundo é

chamado de conseqüente “b” Exemplo:

b a

Elementos de uma razão:

Dados, em certa ordem, quatro números (a, b, c, d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d)

K d c b a

, be c são os meios, a e dsão os extremos, a e c são

antecedentes, b e d são conseqüentes.

Toda proporção possui oito transformadas, ou proporções distintas duas a duas. Quer dizer, podemos escrever uma proporção em uma ordem diferente da original.

Exemplo:

32 20 8 5

, podendo ser escrito com exatidão desta forma:

20 32 5 8

O conceito da propriedade múltipla é de extrema importância no estudo das proporções, também conhecida como propriedade fundamental

Por este motivo, vamos fazer uma análise da fórmula, bem como sua formação. d b c a b a ... K, proporção múltipla, Em seguida a demonstração da Fórmula

Seja a série de razões iguais.

k n m d c b a

Fazendo a razão comum igual a k, obtemos:

k b a , k d c , ... k n m Então: a bk, c dk, m nk,

Somando membro a membro nessas igualdades, temos: nk dk bk m c a ... ...

Trabalhando esta igualdade, chegamos à propriedade múltipla:

k n m d c b a n d b m c a ... ... ...

Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente.

Grandezas proporcionais

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia a dia associa duas grandezas relacionadas de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível consumido por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados e etc.

Exemplo: Uma barra de alumínio de 100 3

cm de volume pesa 270 g, nas mesmas condições, uma barra de 200 3

cm pesará 540 g e uma de 300 3

cm , 810 g. Então podemos dizer que as grandezas citadas são diretamente proporcionais.

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais, se os valores xe ysão expressos por uma função do tipo: y kx, onde ké um número real constante chamado de coeficiente de proporcionalidade diferente de zero. Como a função desse tipo é uma função linear, o gráfico que representa a proporcionalidade direta de duas grandezas é uma reta passando pela origem.

Lembrando que para x 0temos y 0.

2 1 2 1 y y x x

Em se tratando de Administração de Empresas, é mais comumente, a utilização do conjunto do domínio dom R , e como conseqüência tempos uma imagemIm R , por se tratar de objetos e quantidades, custos, consumo e todas essas medidas são quantitativas maiores que zero. É importante lembrar, que a proporcionalidade entre duas grandezas é aplicada dentro de certos limites. Assim, na compra por atacado, por exemplo, o preço por unidade é com certeza menor do que as compras feitas a varejo. Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas grandezas, não é suficiente verificar se o aumento de uma delas acarreta o aumento da outra. É necessário que, ao multiplicarmos uma delas por um número real kdiferente de zero, a grandeza correspondente também fique multiplicada por k. Outro exemplo, o lado de um quadrado e a sua área não são grandezas proporcionais, pois, multiplicando – se o lado por 2, a área fica multiplicada por 4.

kx y

Grandezas inversamente proporcionais

Uma distancia de 1200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100km/h, em 12 horas, a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas, e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Então podemos dizer que as grandezas citadas são inversamente proporcionais.

 Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes xe y são expressos por uma função do tipo:

x k y .1 .

Números inversamente proporcionais também podem ser expressos da seguinte maneira: x.y kou 1 2 2 1 y y x x ou x₁.y₁ x₂.y₂ x₃.y₃ k Sendo a função x k

y .1 uma função recíproca, o gráfico representativo da proporcionalidade inversa de duas grandezas é um ramo de uma hipérbole.

0 = y-1/x

Em se tratando de Administração de Empresas, é mais comumente, a utilização do conjunto do domínio dom R , e como conseqüência tem uma imagemIm R , por se tratar de objetos e quantidades, custos, consumo e todas essas medidas são quantitativas maiores que zero.

Dados, em certa ordem, quatro números proporcionais (a, b, c, d) diferentes de zero, o termo “d” é chamado de quarta proporcional. Dados, em certa ordem de quatro números proporcionais (a, b, b, c) diferentes de zero, o termo “b” é chamado de terceira proporcional. Nesse caso o termo “b” é chamado de média proporcional, ou média geométrica do outros termos, e pode ser escrito da seguinte forma: Ex: b2 a.bou b a.b

Exercícios:

Calcule x, sabendo que:

A) X 18 , 0 . 25 , 0 06 , 0 B) 5 1 . 4 3 3 2 X C) 4 1 3 4 11 . 3 1 2 X

Calcule x, y, z, sabendo que

15 11 9 Z Y X e x + y + z = 420?

Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que os conseqüentes são 2 e 8?

Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é .

3 2

Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a razão é . 9 4

?

Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação . 5 8

Quais são esses números?

Qual é o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 28 está para 20?

A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para . 3 5

Se a soma das idades é52, qual a idade de cada um?

Decomponha o numero . 6 35

em duas partes, tais que a razão entre eles seja 2/3.?

A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números.?

Qual é o número que diminuído de 3 unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6.?

A importância de R$ 588 foi dividia entre 3 pessoas. Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda como 5 está pra 7, e que a parte da segunda está para a terceira como 7 está para 9, determine as três partes.

Regra da sociedade.

Consiste na aplicação da divisão do dividendo de uma empresa, (lucros ou prejuízos) avaliado em certo período determinado, em partes diretamente proporcionais a quantia que cada sócio investiu na formação da empresa.

Ex: Suponhamos que Antonio, José e Pedro tenham se associado para comprar um terreno no valor de R$ 60.000. Antônio entrou com R$ 30.000, José com R$ 20.000 e Pedro com R$ 10.000. Algum tempo depois, venderam esse terreno por R$ 90.000. Qual é a parte que caberá a cada um deles? Vamos à resolução: 1,5 000 . 60 000 . 90

Isso quer dizer que o imóvel teve uma valorização de 50% ou 0,5. Sendo assim, para calcularmos quanto cabe em cada parte após a venda, é só atribuirmos 50% em cada valor inicial.

Antonio: 30.000 x1, 5 = R$ 45.000,00 José: 20.000 x1, 5 = R$ 30.000,00 Pedro: 10.000 x1, 5 = R$ 15.000,00

Podemos também usar a idéia que aprendemos anteriormente de proporção múltipla. k c b a 10 20 30 , sabendo que a b c 90 Então temos: 30 10 20 30 a c b a 90 a , então a 45 e conseqüentemente b 30 e c 15

Exercícios:

Ex: Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5, 11.? Resposta: 20, 50, 110,

Ex: Dividir o número 210 e partes inversamente proporcionais a 3, 5, 6. resposta: 100, 60, 50?

resolução:

As seqüências de números reais e não nulos (a1,a2,...,an) e (b1,b2,...,bn) são

inversamente proporcionais se, e somente se: a₁.b₁ a₂.b₂ a₃.b₃ k ou

então: k b a b a b a 3 3 2 2 1 1 1 1 1

Podemos usar o conceito descrito anteriormente, a.3 b.5 c.6 k, para concluirmos esta resolução, é necessário fazermos algumas substituições

210 c b a 3a 6centão a 2c 210 2c b c 210 3c b 5 6c b 210 5 6 3c c Resolvendo temos: c 50b 60 a 100

Ex: Um pai deixou R$ 2.870,00 para serem divididos entre seus filhos na razão inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos Quanto recebeu cada um?

Divisão proporcional composta.

Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes direta ou inversamente proporcionais a certos números (a,b,c) e simultaneamente, em partes diretamente ou inversamente proporcionais a outros tantos números (a₁,b₁,c₁).

Sejam x ,,y zos valores das partes pedidas. Como x ,,y z são proporcionais a c

b

a ,, e também a a1,b1,c1 são grandezas compostas, portanto, são

proporcionais, respectivamente, aos produtos a.a1,b.b1,c.c1.

Ex 1: Dividir 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e 3, 5, 7. Método de resolução K c c z b b y a a x , , , . . . Resposta: 48, 120, 224

Ex 2: Dividir 175 em partes diretamente proporcionais a 4 5

, 3, 4, e ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a

4 3 ,6, 2. Método de resolução K c c z b b y a a x , , , 1 . 1 . 1 . Resposta: 70, 21, 84

1. Regra da sociedade 2.

A regra da sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da admissão de um novo sócio.

Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que empregaram, levando – se em conta as condições estipuladas no contrato social.

 Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.

Dividimos o lucro ou o prejuízo em partes iguais

 Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo

Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios

 Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais.

Na prática, em uma sociedade, os sócios não podem permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede – se a uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando – se o Ativo e o Passivo.

QUANDO OS SÓCIOS INTEGRALIZAM SUAS QUOTAS DE CAPITAL EM ÉPOCAS DIFERENTES.

Exercícios:

Ex: Antonio e José organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 2.000,00, devendo cada um deles entrar com R$ 1.000,00. No ato da organização, 1º de março, Antônio integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700,00, responsabilizando – se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi procedido o balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 740,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio?

Resposta: 400, 340 Vamos à resolução:

Antonio: 10 meses, então temos: 1000 x10 =10.000,00 Pedro: 700 x 10 +300 x 5 = 7000 +1500 = 85.000,00

O segredo destes tipos de exercícios é conseguir obter uma proporção correta para sócio. Então temos x está para 100 , assim como y está para 85. Sabendo que x + y é igual á 740

Seja a proporção 100,85=20,17. então temos:

k b a 17 20 20 17 20 a b a 20 37 740 a

Ex: Dois sócios fundaram uma sociedade com um capital de R$ 720.000. No momento de liquidar a sociedade, o primeiro recebeu capital mais lucro num total de R$ 207.000. Sabendo que o lucro total de R$ 108.000, qual o capital de cada sócio?

Resposta: 180.000, 540.000

Lucro proporcional ao capital investido.

Ex: Três sócios realizaram um capital de R$ 240.000,00. Sabendo que ao fim de certo período de tempo, tiveram de lucro, respectivamente

00 , 000 . 24 $

R ; R$22.000,00 e R$18.000,00; qual era o capital de cada um?

É importante lembrar que o lucro é proporcional ao valor inicial investido, ao mesmo tempo em que o valor investido é proporcional ao lucro. Mesmo querendo descobrir o valor inicial investido, vamos usar a mesma idéia de proporcionalidade anteriormente comentada.

18 22 24 z y x 24 18 22 24 x z y x 24 64 240 x 90 x , então y 82,50 e y 67,50

Ex: Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ 90.000,00 e R$ 76.000,00 respectivamente. A primeira recebeu na divisão do lucro, R$ 1.722,00 a mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas.

76 90

Vamos usar a idéia de proporção múltipla

90 76 90 x y x 90 166 1722 x x x 154980 180 166x x 11070

x , temos como conseqüência

Uma empresa, organizada por três sócios em 1° de maio, deu um lucro de R$ 688, apurado em 31 de dezembro. O capital social de R$ 3000,00 foi dividido em partes iguais. O segundo sócio, tendo entrado com R$ 600,00, só integralizou o seu capital em 15 de julho. O terceiro, que havia entrado com a metade, completou a sua parte em 1° de agosto. Quanto recebeu cada sócio?

Para execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores. Sabendo que o pagamento total foi de R$ 16200, que cada mulher recebeu 3/4 da quantia de um homem e que cada menor recebeu 4/5 da quantia de cada mulher, quanto recebeu cada um?

2. Regra de Três.

Regra de três:

Regra de três, nada mais é do que usar o princípio da proporcionalidade para descobrir o termo desconhecido. Nos problemas figuram uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandeza. Na regra de três simples, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a uma dos valores da primeira grandeza. Devemos então, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

Matematicamente falando, devemos tomar um certo cuidado com alguns tipos de situações. Antes de desenvolver o problema, devemos antes analisar se as variáveis segue o princípio de proporcionalidade.

Por se tratar de um assunto básico, apenas citaremos alguns exemplos relacionados.

Exercícios:

Ex: Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

Ex 2: Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?

Resposta: 160 min. ou 2 h 40 min

Ex 3: Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu uma determinada distancia em 6 dias, viajando h

2 1

4 por dia. “Afrouxando em

10 1

a sua velocidade e viajando 6h por dia, o motoqueiro levará quantos dias para percorrer a mesma distância?

Resposta: 5 dias

Ex4: Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual?

3. Operações sobre mercadoria.

O que vamos ver neste capítulo são problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços e de venda de mercadorias.

Vendas com Lucro Legenda: L Lucro C Custo P ejuízo Pr V Venda

Taxa Unitária do Lucro = i

Lucro sobre o preço de custo

C i Lucro . L C V C i C V . C i V (1 ).

Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o custo da mercadoria como equivalente a 100%.

preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00 C i V (1 ). 500 ). 08 , 0 1 ( V 500 ). 08 , 1 ( V 540 V

Lucro sobre o preço de Venda

L C V V i L . V i C V . C V i V . Então temos: i C V 1

Ex: Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda?

i C V 1 2 , 0 1 480 V 600 V

Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o valor da venda como equivalente a 100%.

Prejuízo sobre o preço de custo. V=C-P P=i.C V=C-P V=C-Ic V=(1-i)C

Prejuizo sobre o preço de venda

V=C-P P=iV V=C-P V=C-iV V+iV=C V=C/(1+i)

4. Abatimentos e aumentos sucessivos.

 L P(1 a)(1 b)(1 c)

Aumento sucessivo  M P(1 a)(1 b)(1 c)

5. Juro simples e montante  J=c.i.n

 Taxa proporcional, modelo simples.

 Taxa equivalente, quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro

 Em juro simples taxa proporcional = taxa equivalente.

Exercícios

 Cálculo do Montante Capital + juros = M M=C(1+1n)

Ex:

Tomou emprestado a importância de R$ 1200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxas de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago.?

Aplicou – se a importância de R$ 3000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber?

Um capital de R$ 56800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro?

Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre?

A que taxa foi empregado o capital de R$ 12000,00 que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8400,00 de juro?

Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12800 que , à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896?

6. Desconto simples comercial

1) Desconto comercial (considera – se o valor nominal).

O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para períodos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.

D=N.i.n

Um título de R$ 6000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento. Calcule o valor do desconto comercial simples e o valor atual?

Uma duplicata de R$ 6900 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6072, Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de seu desconto comercial foi de 4% ao mês.?

 Taxa de juro efetiva (por dentro), mesmo raciocínio do valor racional. M=C(1+i.n) N=A(1+if.n) Daí temos: n A d if .

2) Desconto racional (considera – se o valor atual)

Geralmente na prática, o desconto comercial é mais usado, por referir exatamente ao valor nominal na base dos cálculos.

Dr=A.iN. n i n i N Dr . 1 . . n i N Ar . 1

7. Equivalência de capitais (simples)

 Usamos o conceito de capital diferidos: títulos de crédito com

vencimentos diferentes.

 a referência é feita baseado no título, ou valor nominal.  Igualamos os valores atuais das respectivas datas.  Sempre voltamos para uma data igual a zero.

Ex 1: Quero substituir um título de R$ 5.000, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5 ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título?

resposta: R$ 6.559,00

Ex 2: Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000 para 90 dias e outro de R$ 12.000 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês.

resposta: R$ 5.613

8. Desconto racional simples

 também conhecido por valor (por dentro)

 idéia, A + X/100A = N, Onde o valor inicial corresponde a 100%  o valor do desconto é menor que o valor do desconto comercial  pode ser calculado através da fórmula

n i n i N dr . 1 . .

 esse desconto não é muito usado no

Ex 1: Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor descontado racional, e o valor atual racional

 Chamado de capitalização composta.

 n

i C

M (1 ) Necessita de comentário e da possível demonstração.

 n i) 1 ( , fator de capitalização.  n i) 1 ( , fator de descapitalização.

 É necessária tábua financeira, logaritmo e calculadora científica.  Taxas proporcionais não são equivalentes.

 Taxas equivalentes: quando aplicadas a capitais iguais, por prazos

iguais, produzem juros também iguais.

 360

) 1

( i_d (1 i_m)12 (1 i_t)4 (1 i_s)2 (1 i_a)

 taxa nominal: quando o período de capitalização não coincide com

aquele a que ela se refere, considera a taxa nominal proporcional na execução dos cálculos.



Ex 1: Qual o montante de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizado trimestralmente?

resposta: R$ 7.969,25

 taxa efetiva = taxa verdadeira, quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é, como vimos, a taxa nominal. A taxa efetiva e a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo if a taxa efetiva, temos.

2 ) 1 ( is (1 ia) ou seja 2 ) 03 . 0 1 ( (1 ia) = 0,06090

Ex 1: Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva.

10. Relação entre taxa real, taxa aparente e taxa da inflação. ) . (iRiI iI iR

iA , onde os termos são:

Ou (1+ia)=(1+iI).(1+iR)

 iA, taxa aparente  iR, taxa real

 iI taxa da inflação.

Desconto Composto

Desconto composto comercial

n

i

N

A

(

1

)

Esse desconto não muito usado em matemática financeira. A base de cálculo é o valor nominal do título.

Desconto racional composto.

N

i

A

.(

1

)

i

N

A

)

1

(

i

N

A

.(

1

)

Equivalência de capitas compostos. '

)

1

(

A

A

i

N

A

Mesmo conceito de equivalência de capitais simples, mas considerando a descapitalização no valor nominal.

CDC - Credito Direto ao Consumidor

É um financiamento destinado a aquisição de bens duráveis e serviços.

Específico para aquisição de bens - veículos, eletrodomésticos, eletroeletrônicos, equipamentos profissionais, materiais de construção, entre outros.

Obtido no estabelecimento vendedor que mantém convênio com uma ou várias instituições financeiras - banco ou financeira. Também há os casos em que o próprio estabelecimento "banca" o financiamento e, posteriormente, negocia estes créditos com uma instituição financeira, gerando o CDC-I; nesta modalidade a loja assume o risco de pagamento pelo comprador - chamada Interveniência. Não é necessário ser cliente ou ter cadastro aprovado previamente, em geral o cadastro é feito na hora, o pagamento poderá ser feito através de boleto bancário ou carnê pagável na loja. O seguro do bem é exigido no caso de veículos. O valor do IOF também é normalmente financiado.

A falta de pagamento permite ao vendedor retomar o bem financiado através da busca e apreensão do veículo.

financeira

- O comprador define o número de parcelas

- É bem menos burocrático revender um bem ainda financiado - A maior vantagem: Desconto na antecipação das parcelas!

CDC - Credito Direto ao Consumidor O que é

CDC é um financiamento destinado a aquisição de bens duráveis e serviços.

Características

Onde obter: Bancos, Financeiras, Lojas que vendem produtos financiáveis no CDC.

Prazo: geralmente de 3 a 48 meses, para automóveis pode chegar a 84 meses. Varia em função do valor e tipo do bem, da capacidade de pagamento do comprador e das condições da economia. Normalmente o pagamento é em prestações mensais

Juros: em geral são pré fixados, nos casos de prazo superior a 12 meses, também são encontradas alternativas com atualização monetária pela TR ou pelo IGP-M

Garantias: no caso de veículos, e outros bens quando possível, é exigida a alienação fiduciária. O bem adquirido é dado em garantia.

Outros custos: IOF, TAC, taxa de cadastro, seguro do bem, outros seguros

Finalidades

Específico para aquisição de bens - veículos, eletrodomésticos, eletroeletrônicos, equipamentos profissionais, materiais de construção, vestuário, outros bens não perecíveis - e serviços - assistência técnica, manutenção, etc.

Como Funciona

negocia estes créditos com uma instituição financeira, gerando o CDC-I; nesta modalidade a loja assume o risco de pagamento pelo comprador - chamada Interveniência.

Não é necessário ser cliente ou ter cadastro aprovado previamente, em geral o cadastro é feito na hora

pagamento poderá ser através de boleto bancário ou carnet pagável no loja

O seguro do bem é exigido no caso de veículos. Há outros seguros, como vida e perda de emprego, que poderão ser exigidos. Normalmente o preço do seguro é incluído no valor do financiamento

O valor do IOF também é normalmente financiado

A falta de pagamento permite ao vendedor retomar o bem financiado

Benefícios

É um produto flexível em prazos De fácil obtenção

Em geral, as taxas de juros são menores que do Crédito Pessoal

Geralmente não tem flexibilidade de taxas em relação a bons cadastros. O crédito é aprovado com base sistema de credit scoring e behavior scoring.

Cuidados

Leia o contrato antes de assinar

Pesquise taxas de juros em estabelecimentos similares

O Código de Defesa do Consumidor exige que os estabelecimentos informem exatamente os juros que estão sendo cobrados do cliente, exija seus direitos

Compare as condições dos diversos prazos possíveis, não apenas o valor da prestação, também o valor dos juros pagos Veja os exemplos abaixo: compare o total de juros pagos, em relação ao prazo e taxas de juros

Exemplo de Financiamento no CDC

valor do bem financiado 1.000,00

valor do seguro e taxas 100,00

taxa de juros nº prestações * valor do financiamento valor das prestações total de juros pago 3% ao mês 6 1.104,97 203,97 118,85 12 1.109,50 111,46 228,02 24 1.113,75 65,76 464,49 36 1.115,12 51,08 723,76 6% ao mês 6 1.105,07 224,73 243,31 12 1.109,97 132,39 478,71 24 1.114,49 88,80 1.016,71 36 1.115,79 76,31 1.631,37

* inclui o valor do IOF

Informe-se das taxas praticadas no mercado, veja, abaixo, o link para os bancos que cobram as menores e as maiores taxas

Produtos alternativos / substitutivos

Se está comprando veículos, compare com o Leasing, em geral tem custo menor, além de não ter IOF

Consórcio

Você também pode utilizar as alternativas de crédito pessoal ou adiantamentos, pagando à vista a loja e negociando melhores condições de preço

o Antecipação do 13º salário ou férias com seu empregador

Importante

Quando estiver pensando em entrar numa dívida, pense também

em como sairá dela.

Só use crédito para pagar coisas que durem mais que o prazo de financiamento

Analise seu orçamento e certifique-se que a dívida cabe nele.

Leasing

O que é o Leasing ?

O Leasing ou locação financeira ou arrendamento mercantil é um contrato através do qual a arrendadora ou locadora (a empresa que se dedica à exploração de leasing) adquire um bem escolhido por seu cliente (o arrendatário, ou locatário) para, em seguida, alugá-lo a este último, por um prazo determinado.

Ao término do contrato o arrendatário pode optar por renová-lo por mais um período, por devolver o bem arrendado à arrendadora, ou dela adquirir o bem, pelo valor de mercado ou por um valor residual previamente definido no contrato.

Irregularidades

O LEASING na sua teoria deveria ser uma ferramenta essencial para aquisição de um bem igual usado pelo financiamento, porém sem o total desembolso, e ainda teria a opção de compra, ou não, do bem no final do prazo do contrato. Mas no Brasil não se respeita a verdadeira função do LEASING, onde podemos citar:

quando o arrendatário optar pela compra do bem ou ainda, que ficasse determinado no início do contrato o desejo da compra. Concluímos que o valor pago a título de VALOR RESIDUAL GARANTIDO deve ser considerado um VALOR PAGO ANTECIPADO, não sofrendo acréscimos de juros remuneratórios, juros moratórios ou multa por atraso.

2. A multa por atraso (contraprestações) não pode exceder 2 % . Conforme Lei 8.078, de 11.9.90 (CDC) art.52 § 1º. "§ 1º As multas de mora decorrentes do inadimplemento das obrigações no seu termo não poderão ser superiores a dois por cento do valor da prestação.

- Não tem cobrança de IOF, embora o ministro Guido Mantega pretenda incluir a taxa nas operações de leasing - Dependendo do contrato, paga-se Imposto Sobre Serviços (ISS) - O bem fica no nome da instituição financeira, arrendado ao comprador

- Prazo mínimo obrigatório é de 24 parcelas

- Para revender o bem é necessário uma autorização bem burocrática da financeira, que custa uns bons reais - Não há desconto na antecipação das parcelas

O que é Alienação Fiduciária?

O que é o contrato de alienação fiduciária em garantia?

Para que se entenda de maneira bem simples o contrato de alienação fiduciária, muito utilizado na compra de veículos ou computadores, temos que, inicialmente, saber como ele funciona.

Como exemplo, vamos partir da situação onde o consumidor deseja adquirir um determinado bem, uma motocicleta ou um carro, mas não possui o dinheiro necessário ou tem somente uma parte dele para pagar a entrada.

Nestas situações, bastante comuns no dia-a-dia, o consumidor se dirige a uma revenda, onde será escolhido o veículo desejado. Depois, esta empresa, sabendo que o consumidor não

os quais possui parceria comercial e encaminhará uma proposta em nome do consumidor.

Assim, após a análise e aprovação do crédito, o consumidor adquire a posse do veículo mas este bem ficará vinculado ao contrato de financiamento, como sendo de propriedade do banco até o final do pagamento das parcelas, servindo de garantia ao valor financiado.

Ocorrendo a quitação do contrato, o banco passará a propriedade do bem ao consumidor sempre lembrando que, no caso de veículos, deverá haver comunicação aos órgãos de trânsito da liberação da restrição no documento de propriedade do veículo.

1. O que é empréstimo bancário?

É um contrato entre o cliente e a instituição financeira pelo qual ele recebe uma quantia que deverá ser devolvida ao banco em prazo determinado, acrescida dos juros acertados. Os recursos obtidos no empréstimo não têm destinação específica.

2. O que é financiamento?

É também um contrato entre o cliente e a instituição financeira, mas com destinação específica, como, por exemplo, a aquisição de veículo ou de bem imóvel.

3. Uma empresa está me oferecendo crédito facilitado e me pediu um depósito antecipado para fazer a liberação dos recursos. Isso é seguro?

Não. Essa situação apresenta indícios de golpe.

O Banco Central recomenda à população que, na contratação de operações de empréstimos ou financiamentos, tenha todos os cuidados abaixo:

procure sempre uma instituição autorizada pelo Banco Central e certifique-se de estar tratando, de fato, com a

não forneça seus dados pessoais nem cópia de documentos para desconhecidos;

nunca faça nenhum depósito inicial para obter empréstimos, principalmente, em contas de pessoas físicas;

evite fazer empréstimos com empresas desconhecidas que veiculam anúncios em jornais, internet ou outros meios de comunicação e que não possuam uma sede física, ou seja, um endereço conhecido;

desconfie de ofertas de crédito muito vantajosas ou facilitadas que dispensem avalista ou que não façam consultas a cadastros restritivos (SPC e Serasa, por exemplo);

nunca assine um documento sem ler.

Vários golpistas do crédito fácil utilizam contas de depósito e, também, o nome de instituições financeiras e administradoras de consórcios regularmente constituídas. Assim, verifique inicialmente com a própria instituição financeira sobre a oferta do crédito. Caso você tenha dúvida sobre os telefones da instituição financeira, consulte a nossa Central de Atendimento ao Público.

A relação das instituições autorizadas está disponível em nossa página em "Sistema Financeiro Nacional > Informações cadastrais e contábeis > Informações cadastrais", consultando a opção "Relação de instituições em funcionamento no país (transferência de arquivos)" ou a opção "Cadastro de instituições (endereço, diretores, redes de agência, dados do conglomerado, carteiras, tarifas, etc)".

Lembramos ainda que o Banco Central não realiza empréstimos à população.

4. Arrendamento mercantil (leasing) e financiamento são sinônimos?

Não. Consulte a seção Arrendamento mercantil (leasing).

5. O banco é obrigado a me conceder empréstimo ou financiamento?

antecipadamente?

Sim, as normas do Conselho Monetário Nacional garantem ao cliente o direito à liquidação antecipada com redução proporcional dos juros. As instituições financeiras devem informar as condições para essa antecipação.

Saiba mais sobre liquidação antecipada de empréstimos e financiamentos.

7. Existe algum limite para as taxas de juros cobradas pelas instituições financeiras?

Não. As taxas de juros são aquelas praticadas no mercado, variando de instituição para instituição.

Saiba mais sobre as taxas de juros praticadas pelas instituições financeiras.

8. O que é Custo Efetivo Total (CET)?

O Custo Efetivo Total (CET) representa o custo total de uma operação de empréstimo ou de financiamento e deve ser informado ao cliente pela instituição financeira. O CET deve ser expresso na forma de taxa percentual anual, incluindo todos os encargos e despesas das operações.

Saiba mais sobre o CET , e conheça também o inteiro teor da

Resolução CMN 3.517, de 2007 , que regulamenta o CET.

Que são os Financiamentos?

Financiamento nada mais é do que uma dívida contraída através de uma operação financeira junto ao um banco ou financeira com

assumi o recurso que foi emprestado e também os valores dos juros e taxas incluídos no contrato de crédito ou financiamento no valor total do empréstimo.

Os empréstimos através de financiamento em geral são oferecidos no intuito de facilitar ao consumidor comum a aquisição de bens e serviços. O processo é simples, o consumidor faz o financiamento de uma quantia em dinheiro, essa quantia será devolvida em forma de parcelas mensais com os devidos acréscimos de juros a instituição financeira.

Nos financiamentos em caso de haver atraso nas parcelas, o valor devido da parcela se tornará maior, isso porque serão cobrados juros de mora, multas, encargos financeiros, taxas administrativas e outros, dependendo do tipo do financiamento, claro.

Confiram quais são os contratos mais comuns de financiamentos: Linha de crédito: São financiamentos flexíveis de curto prazo. São aconselháveis para suprir necessidades emergentes e inesperadas. Factoring: Outro tipo de financiamento de curto prazo, é aconselhável em casos de necessidades de emergência onde o atraso implica numa cobrança que gerará despesas extras para o credor, que passa a assumir a comissão do cobrador.

Leasing: Este tipo é aconselhável quando não se pretende financiar grande quantidade de dinheiro ou materiais que serão necessários em um período curto.

Como em qualquer operação financeira, o consumidor deve sempre ficar atento no que se refere aos encargos e as taxas de juros cobrados em contratos de financiamentos, procure verificar se existem alguns relatos, reclamações nos meios de comunicação se o banco ou financeira que está oferecendo o empréstimo pratica juros ou encargos ilegais e abusivos.

O Financiamento pode até ser uma ótima oportunidade em algum momento da nossa vida, mas é sempre bom fazer o uso deste produto conscientemente, o melhor mesmo se tiver recursos financeiros sobrando é preferir comprar à vista e barganhar

Capitalização e amortização compostas

Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê – lo em prestações, a serem pagas mensalmente.

Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certa quantia em épocas distintas.

No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização.

Rendas: A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou pagar uma dívida é denominada Renda.

As rendas podem ser certas ou aleatórias, periódica ou não periódica, constante ou variável ou diferida (carência de prazo).

Renda Imediata – POSTECIPADA

Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses a quantia de R$ 100. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.

Podemos entender que o depósito é realizado no final do mês, sendo que o último mês não rende juros.

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Soma da Progressão geométrica

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Podemos entender que o valor é depositado no início do período, sendo que a última parcela também rende juros.

Temos

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Amortização composta Renda imediata n n

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Sistema Francês de Amortização

*** O mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com

prestações constantes, periódicas e imediatas. Como essas

prestações são constantes, à medida que vão sendo pagas, a dívida

diminui e os juros tornam – se menores, enquanto que as quotas

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SAC Sistema de Amortização Constante

*** Amortização sempre constante

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