Vertaamme myös näiden uusien logiikojen ilmaisuvoimaa inkluusio- ja poissulkemislogiikkaan, riippuvuuslogiikkaan, NDEP-logiikkaan ('riippumattomuuden logiikkaan') ja lausetasolla EMSO-logiikkaan ('eksistentiaalinen monadinen toisen asteen logiikka'). Vertailin myös niiden ilmaisuvoimaa sisällyttämis- ja poissulkemislogiikkaan, riippuvuuslogiikkaan ja NDEP-logiikkaan ('Logic Nodependence'), joista viimeisen myös Gallian esitteli alun perin.
Tutkimusaiheen taustaa
Tutkimusaiheina ne ovat jopa riippuvuuden logiikkaa uudempia, ja erityisesti inkluusiologiikassa on tämän ja viime vuoden aikana saavutettu monia mielenkiintoisia tuloksia.
Tutkimustuloksia
Aikaisempien tulosten perusteella tiedetään, että yhden paikan poissulkemislogiikka on ilmaisuvoimaltaan todella yhden ja kahden paikan riippuvuuslogiikkojen välissä. Gallianin ja Väänäsen tulosten perusteella sekä riippuvuuslogiikan että poissulkemislogiikan tiedetään vastaavan lausetasolla eksistentiaalista toisen asteen logiikkaa (ESO).
Tutkielman rakenne
Vastaavasti yksipaikkainen inkluusiologiikka on todella yksi- ja kaksipaikkaisen NDEP-logiikan välissä ilmaisukyvyltään, mikä on mielenkiintoista, koska Gallianin tulosten perusteella inkluusiologiikka ja NDEP-logiikka ovat myös vastaavat yleisessä tapauksessa. Mutta ehkä tärkein tämän opinnäytetyön uusista tuloksista on lausetason INF- ja EXF-logiikkojen välinen suhde EMSO-logiikkaan ('Existential Monadic Second Order Logic').
Vaadittavia esitietoja
Tässä luvussa esittelemme ensin joitakin käyttämiämme merkintätapoja ja määritämme sitten ensimmäisen asteen logiikan syntaksi ja semantiikka. Tarskin totuusmääritelmän sijaan esitämme tiimisemantiikkaa, joka kuitenkin osoittautuu pohjimmiltaan johdonmukaiseksi totuuden määritelmäksi ensimmäisen kertaluvun logiikan tapauksessa.
Syntaksi
Vaikka kaavan ϕ osakaavojen joukkoa merkitään tavallisella joukkomerkinnällä, oletetaan, että joukossa Sf(ϕ) voimme erottaa saman osakaavan eri esiintymät.
Semantiikka
- Tiimisemantiikka
- Huomautuksia ja aputuloksia
- INF-logiikan syntaksi ja semantiikka
- Tallennuskaavat
- Inkluusiokvantifiointi termijoukolle
- INF-logiikan ominaisuuksia
Tässä luvussa lähestymme samaa aihetta eri tavalla lisäämällä inkluusio- ja poissulkemiskvantioijat ensimmäisen asteen logiikkaan. Näin ollen INF-logiikka on todella vahvempi kuin ensimmäisen asteen logiikka ilmaisuvoimaltaan lausetasolla.
EXF-logiikka
- EXF-logiikan syntaksi ja semantiikka
- Ekskluusiokvantifiointi termijoukolle
- EXF-logiikan ominaisuuksia
- Hyödyllisiä operaattoreita EXF-logiikalle
- Esimerkkejä EXF-logiikan ilmaisukyvystä
Huomaa, että inkluusio ja poissulkeminen eivät ole toistensa joukkoteoreettisia negaatioita, ja vastaavasti poissulkemisatomi ei myöskään ole inkluusioatomin negaatio. Galliani on osoittanut [5]4, että vastoin inkluusiologiikkaa, poissulkemislogiikka pitää paikkansa, että se on suljettu alla, mutta se ei ole suljettu sävellysten suhteen. Päinvastainen väite ei kuitenkaan päde yleisesti, samaan vastaesimerkkiin perustuen, jolla perustelimme, että EXF-logiikka ei ole suljettu yhdisteiden suhteen.
6 Tämän määritelmän mukaan graafin tulee olla osioitavissa kahteen erilliseen ei-tyhjään osajoukkoon, joiden välillä ei ole reunoja. Lisäksi kaavan muu osa sanoo, kuten esimerkissä 3.10, että minkään osajoukon sisäisten solmujen välillä ei ole reunoja. Graafin ominaisuudet yllä mainituissa esimerkeissä ovat kaikki sellaisia, että niitä ei ole mahdollista ilmaista ensimmäisen asteen logiikalla.
EXF-logiikka on ilmaisuvoimaltaan todella vahvempi kuin ensimmäisen asteen logiikka sekä kaavojen että lauseiden tasolla. Graafin bifurkaatiota ei voi määritellä ensimmäisen asteen logiikan käskyllä, mutta esimerkin 3.10 perusteella se voidaan tehdä EXF-logiikassa. Näin ollen EXF-logiikka on todella vahvempi kuin ensimmäisen asteen logiikka ilmaisuvoimaltaan lauseiden tasolla.
IEF-logiikka
IEF-logiikan syntaksi ja semantiikka
Tämä ei kuitenkaan koske kaikkia logiikoja, jotka ovat todellakin vahvempia kuin ensimmäisen asteen logiikka. Yhdistämällä nämä lauseet saadaan, että IEF-logiikka on vähintään yhtä ilmeikäs kuin INEX[1]-logiikka, ja voimme käyttää yhden aseman inkluusio- ja poissulkemisatomeja lyhenteinä IEF-logiikassa. Olemme sanoneet aiemmin, että INF-logiikka ei ole laskeva suljettu ja että EXF-logiikka ei ole komposiittisuljettu.
Koska ne molemmat sisältyvät IEF-logiikkaan, IEF-logiikka ei ole alaspäin suljettu tai suljettu yhteyksien suhteen.
Inkluusio-ekskluusiokvantifiointi
Käyttämämme määritelmän etuna on kuitenkin se, että se on helposti yleistettävissä myös termikokoelmiksi, jolloin voimme käyttää niitä varten jo todentamamme lauseiden 3.5 ja 3.9 tuloksia.
Termijoukon arvot säilyttävä disjunktio
Universaalikvantifiointi
Universaali-inkluusio ja -ekskluusio
Totuusehtojen todistaminen vaati EXF-logiikan sulkeutumista alaspäin, joten emme voi käyttää sitä IEFL-kaavoille yleensä. Seuraavaksi olisi hyödyllistä tutkia, voidaanko määritelmää 3.19 yleistää myös universaaliin kvantisointiin termijoukon arvojen ja niiden komplementtien kokoonpanon tai leikkauspisteen suhteen.
Muuttujan arvojen yhtenäistäminen
Jos halutaan korostaa, että on olemassa valintafunktio, joka asettaa muuttujan x arvot johdonmukaisesti, niin totuuden määritelmä voitaisiin esittää toisessa yhtenäisessä muodossa. Huomaa, että koska jokaisen tulkintafunktion s ∈ X kuva on valittava yhtenäisellä tavalla, kuvaus F määräytyy yksiselitteisesti joukonA valinnan perusteella. Samalla tavalla kuin Lauseessa 3.22, voitaisiin myös määritellä yhtenäinen versio suoritetusta sisällyttämisen ja poissulkemisen kvantifioinnista termijoukon ja niiden yhdistelmän suhteen.
Vastaavasti poissulkemisatomia käyttämällä voisimme vaatia, että joukko A valitaan lausekkeen t ∈ TL saatujen arvojen ulkopuolella, ts. että X(t)∩A=∅. Muuttujien arvojen liitosta voidaan vaatia, että jokaiseen tulkintafunktioon täytyy liittää kaikki lausekkeen ti arvot ryhmässä X jokaiselle i ∈ {1,. Erona on se, että koska kaikki termin ti arvot on nyt liitetty jokaiseen tulkintafunktioon, voidaan termien alkuperäiset arvot säilyttää myös disjunktion tapauksessa muuttujien u1, avulla.
Voimme myös yhdistää nämä tallennuskaavat kaavaanδut11..t..unn[γtw11..t..wnn[ϕ]], jolloin voimme tallentaa kullekin ryhmätulkintafunktiolle X tiedot termin arvosta. ti liittyy siihen muuttujan UI arvona, samoin kuin tiedot kaikista ti-arvon ryhmän X ehdoista muuttujan wi arvoissa.
DEP- ja NDEP-logiikoiden ilmaisuvoima
EXC- ja DEP-logiikoiden välinen suhde
Tässä luvussa tarkastellaan INF-, EXF- ja IEF-logiikkojen ilmaisuvoimaa sekä kaava- että lausetasolla. EXC-logiikka on yhtä ilmeikäs kuin DEP-logiikka kaavojen ja lauseiden tasolla. Jos tarkastellaan, mitä voidaan ilmaista näillä logiikoilla, jotka sallivat vain tietyn kokoisia atomeja asemanumeron suhteen, logiikojen ilmaisuvoimat eivät ole enää vastaavia.
Tämän seurauksena CON-logiikka ei sisälly sisällytyslogiikkaan, joka ei tietenkään myöskään sisällä DEP-logiikkaa. Kohdassa 3.1.4 totesimme, että inkluusioatomit⊆t0 eivät ole alaspäin suljettuja, joten niitä ei voida ilmaista DEP-logiikalla. Siten sisällytyslogiikka ei sisälly DEP-logiikkaan, joka ei tietenkään sisälly myöskään CON-logiikkaan.
INC- ja NDEP-logiikoiden välinen suhde
Silloin MX6=(t1, . . . , tn) jos ja vain jos jokainen tulkintafunktio ryhmässä X vastaa tulkintafunktiota s0, joka kuvaa termejä t1,. INC-logiikka on yhtä ilmeikäs kuin NDEP-logiikka sekä kaavojen että lauseiden tasolla. Tässä lähteessä määritelty atomikaava on itse asiassa riippuvuusatomin negaatio, eikä se lisää FO-logiikan ilmaisuvoimaa lausetasolla.
Edes tämä ominaisuus ei ole selkeästi ilmaistu ensimmäisen asteen logiikalla, koska ensimmäisen asteen logiikka on suljettu alaspäin. Lauseen 4.4 perusteella NDEP-logiikka vastaa inkluusiologiikkaa ja inkluusiologiikka on suljettua koostumusten suhteen, joten NDEP-logiikka on suljettu myös koostumusten suhteen. Siksi DEP-logiikka ei sisälly NDEP-logiikkaan, jolloin Lauseen 4.1 perusteella poikkeuslogiikka ei myöskään sisälly NDEP-logiikkaan.
INEX- ja INDEP-logiikoiden välinen suhde
Koska INDEP-logiikka ei siis voi olla alaspäin suuntautuva ja sulkeutunut yhteyksien suhteen, sisällytetään siihen sisällyttäminen ja poissulkeminen itse asiassa kaavojen tasolla.
EXF-logiikan ilmaisuvoima
EXF-logiikan suhde ekskluusiologiikkaan
Vaikka tiedämme Lauseen 4.1 perusteella, että ilman atomien paikkalukujen rajoittamista poissulkemislogiikka ja DEP-logiikka ovat yhtäläisiä kaavatasolla, tämä ei kerro meille, mikä on tarkka suhde EXF- ja DEP-logiikan välillä.
EXF-logiikan suhde riippuvuuslogiikkaan
INF-logiikan ilmaisuvoima
INF-logiikan suhde inkluusiologiikkaan
Vaikka edellinen lause määrittää tarkasti INF-logiikan ilmaisuvoiman suhteessa inkluusiologiikkaan, emme silti tiedä kaikkea INF-logiikan ilmaisuvoimasta. Koska vaikka tiedämme Lauseen 4.4 perusteella, että inkluusiologiikka ja NDEP-logiikka ovat yhtäläisiä kaavatasolla rajoittamatta atomien paikkanumeroita, tämä ei silti kerro meille, mikä on tarkka suhde INF:n ja NDEP-logiikan välillä.
INF-logiikan suhde NDEP-logiikkaan
Käyttämällä Gallianin käännöstä INC-logiikasta NDEP-logiikkaan (tässä tutkielmassa, Lause 4.4), voimme todistaa, että yksipaikkainen inkluusioatomi voidaan ilmaista käyttämällä 4-paikkaista NDEP-atomia.
Ehrenfeucht-Fraïssé -peli INC[1]-logiikalle
Nyt haastaja voi valita, onko pelin seuraava tilanne pi-tilanne (X0, Y0) vai (X00, Y00). b) Korvaus: Haastaja voi valita muuttujan x ja kuvauksen F : Xi−1 → P∗(M). Pelin seuraava tila pi on (Xi−1[M/x], Yi−1[M0/x]). v) Loppupelitilanne pn= (Xn, Yn) on haastajan voittotilanne, jos ja vain jos on olemassa ϕ∈INCL[1] siten, että ϕ on kirjaimellinen tai yhden kohdan inkluusioatomi ja MXnϕ, mutta M02Ynϕ. Seuraava tärkeä lause esittää kaavan asteen ja vastaavanpituisten Ehrenfeucht-Fraïssé-pelien välisen suhteen.
Määritellään strategia siten, että jäljittelijä yrittää ylläpitää seuraavaa tilaa jokaisessa pelin tilanteessa pi = (Xi, Yi),i∈ {0,. Huomaa, että tulkintafunktio s on olemassa jokaiselle ∈Yi−1\Xi−1, ja koska |M|= 2, se on myös yksikäsitteinen. a) Oletetaan, että haastaja valitsee joukkueen X0, X00, joten X0∪X00=Xi−1. Ehto (*) pätee siis kaikissa olosuhteissa tilanteeseesi. b) Oletetaan sitten, että haastaja valitsee muuttujan x ja kuvauksen F :Xi−1 → P∗(M).
Koska MXnϕ,Xn ⊆Ynjaϕ∈FOL, riittää osoittamaan Lemasta 2.3, että Msϕ jokaiselle s∈Yn\Xn. Olemme siis osoittaneet, että jäljittelijä pystyy pitämään ehdon (∗) voimassa jokaisessa pelin tilanteessa ja että tämä johtaa matkijan voittoon. Tämä on mielenkiintoista, koska paikkanumeroista riippumatta INC- ja NDEP-logiikka ovat edelleen samanarvoisia Lauseen 4.4 perusteella.
INF- sekä EXF-logiikat suhteessa toisen kertaluvun logiikkaan 89
EXF L -lauseen ilmaiseminen EMSO L -lauseella
Johdon 4.22 mukaan EXF-logiikka sisältyy kuitenkin lausetason EMSO-logiikkaan, ja Lauseen 4.23 mukaan DEP[2]-logiikka ei sisälly lausetason EMSO-logiikkaan. Tästä johtuen EXF-logiikka ja DEP[2]-logiikka eivät voi olla yhtä suuria ilmaisuvoimaltaan, joten EXF-logiikka sisältyy todella DEP[2]-logiikkaan. Tämä on vahvempi tulos kuin se, jonka saimme INF- ja NDEP[2]-logiikoille 4.20:ssa, jossa osoitimme aidon sisällyttämisen vain kaavatasolla.
INF L -lauseen ilmaiseminen EMSO L -lauseella
Koska tässä tapauksessa induktio-oletuksen perusteella ψ0 ja ψi0 ovat loogisesti ekvivalentteja, niin selvästi ∀x ψ0 ja ∃sx ψ0i∧ ∀x ψ0 ovat myös loogisesti ekvivalentteja. Todistaaksesi toisen ekvivalenssin, huomioi, että koska (∃sx⊆ t)i ei esiinny kaavassa µ, muuttuja u ei esiinny kaavassa µ0i.
IEF-logiikan ilmaisuvoima
IEF L -lauseen ilmaiseminen EMSO L -lauseella
Osoitimme Lauseissa 4.26 ja 4.22, että INF- ja EXF-logiikka sisältyvät molemmat EMSO-logiikkaan lausetasolla.
EMSO L -lauseen ilmaiseminen IEF L -lauseella
Voidaan kysyä, onko määrittelemämme semantiikka ainoa järkevä lähestymistapa näille uusille operaatioille vai voiko olla olemassa vaihtoehtoinen, luonnollinen tapa määritellä sisällyttämistä ja poissulkemista koskevat operaatiot suhteessa kvantifiointiin. Tätä voidaan pitää toivottavana, koska pyrimme INF- ja EXF-logiikalla erilaiseen lähestymistapaan inkluusio- ja poissulkemislogiikkaan samalla tavalla kuin IF-logiikka ja riippuvuuslogiikka ovat eri lähestymistapoja samaan aiheeseen. Tällä tavalla määriteltynä INF- ja EXF-logiikka olivat kuitenkin vain pieniä osia sisällyttämis- ja poissulkemislogiikasta.
Jos edelliset sisällytykset ovat voimassa kaavatasolla, voidaan silti kysyä, ovatko ne voimassa myös lausetasolla. Esimerkiksi tämän opinnäytetyön tuloksista ei ole vielä selvää, voiko NDEP[2]-logiikka ilmaista jotain lauseiden tasolla, jota EMSO-logiikka ei voi ilmaista, vai onko se myös osa EMSO-logiikkaa. Osoitimme myös, että lausetasolla INF- ja EXF-logiikka sisältyvät molemmat EMSO-logiikkaan, ja IEF-logiikka vastaa sitä.
Tämä herättää kysymyksen, onko yleisesti totta, että k-paikan sisällyttäminen-poissulkemislogiikka vastaa k-paikan ESO-logiikkaa1 lausetasolla. On edelleen mielenkiintoinen kysymys, mikä on INF- ja EXF-logiikan välinen suhde lausetasolla. Koska GFP-logiikka todella sisältyy ESO-logiikkaan, voidaan olettaa, että INF-logiikka sisältyy myös EXF-lausetason logiikkaan.