Insidenssifunktioihin liittyvien matriisien ominaisarvoista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma

Mika Mattila

Insidenssifunktioihin liittyvien matriisien ominaisarvoista

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka

Lokakuu 2010

Tampereen yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos

MATTILA, MIKA: Insidenssifunktioihin liittyvien matriisien ominaisarvois- ta

Pro gradu -tutkielma, 62 s.

Matematiikka Lokakuu 2010

Tiivistelmä

Olkoon (P,,∧) paikallisesti äärellinen meet-puolihila. Olkoon S ={x₁, x₂, . . . , x_n} ⊆P

äärellinen osajoukko, missäxi xj ⇒i≤j. Olkoonf lisäksi funktioP →C. Tällöin n×n-matriisia (S)_f, missä

(S)_f =f(x_i∧x_j),

sanotaan joukonSmeet-matriisiksi funktionfsuhteen. JoukonSjoin-matriisi funktion f suhteen join-puolihilassa(P,,∨) määritellään duaalisesti.

Tässä tutkielmassa esitetään alaraja tietynlaisen, positiivisesti definiitin meet-matriisin pienimmälle ominaisarvolle. Lisäksi määritetään kompleksita- sosta sellainen alue, johon meet-suljetun joukonS meet-matriisin kaikki omi- naisarvot kuuluvat. Sama tehdään vielä meet-suljetun joukon join-matriisille semimultiplikatiivisen funktion f suhteen. Näistä kaikista osoitetaan myös duaaliset tulokset. Tämän jälkeen tarkastellaan näihin lauseisiin liittyviä va- kioita c_n ja C_n, joita tarvitaan niiden käytännön soveltamisessa. Lopuksi esitetään yleisemmät versiot neljästä edellä mainitusta päätuloksesta kos- kien yleistettyjen meet- ja join-matriisien ominaisarvoja. Viimeksi mainitut tulokset ovat uusia. Uutta tietoa löydetään myös ns. resiprookkimatriisien ominaisarvoista sekä vakion cn alarajoista.

Sisältö

1 Johdanto 7

2 Esitietoja 9

2.1 Vektori- ja matriisinormeista . . . 9 2.2 Osittaisista järjestyksistä ja hiloista . . . 17 2.3 Insidenssifunktioita sekä niitä koskevia aputuloksia . . . 23 3 Alaraja tietynlaisen positiivisesti definiitin meet-matriisin pie-

nimmälle ominaisarvolle 32

4 Meet-suljetun joukon meet-matriisin ominaisarvoista 36 5 Alaraja tietynlaisen positiivisesti definiitin join-matriisin pie-

nimmälle ominaisarvolle 40

6 Join-suljetun joukon join-matriisin ominaisarvoista 43

7 Vakioiden c_n ja C_n estimointia 45

7.1 Vakion C_n yläraja . . . 46 7.2 Vakion c_n alaraja . . . 47 8 Yleistettyjen meet- ja join-matriisien ominaisarvoista 50

Viitteet 62

1 Johdanto

Tässä tutkielmassa tarkastellaan meet- ja join-matriiseja, jotka ovat tietyn- laisia symmetrisiä kompleksisia neliömatriiseja. Kuten alaluvussa 2.3 näh- dään, näillä matriiseilla on tietty yhteys insidenssifunktioihin eli yleistettyi- hin aritmeettisiin funktioihin, mihin myöskin tämän tutkielman nimi viittaa.

Tavoitteena on selvittää, mitä näiden matriisien ominaisarvoista voidaan sa- noa erilaisten oletusten ollessa voimassa. Vastaus riippuu paljolti siitä, mitä milloinkin oletetaan. Joissakin tapauksissa ominaisarvot ovat reaalisia, jol- loin niille voidaan määrittää ala- tai yläraja. Ylä- tai alarajoista ei kuiten- kaan ole mielekästä puhua siinä tapauksessa, että ominaisarvot ovat aidosti kompleksisia. Näissä tapauksissa voidaan kuitenkin, tietyin oletuksin, mää- rätä kompleksitasosta ne alueet, jotka sisältävät kaikki ominaisarvot.

Vaikka meet- ja join-matriiseista alettiin puhua vasta viime vuosikym- menellä, on niihin rinnastettavia matriiseja tutkittu kirjallisuudessa lukuisia kertoja kuluneen 140 vuoden aikana. Ensimmäistä kertaa näin teki irlantilai- nen H.J.S. Smith 1870-luvulla artikkelissaan [14]. Siinä Smith mm. määrittää sellaisen n×n-matriisin determinantin, jossa i. rivin ja j. sarakkeen alkio- na on syt(i, j). Reilut 90 vuotta myöhemmin Balatoni [1] löysi rajat tämän matriisin pienimmälle ja suurimmalle ominaisarvolle. Smithin määrittelemä matriisi on ns. SYT-matriisin erikoistapaus, jotka kaikki puolestaan kuuluvat meet-matriisien luokkaan. Beslin ja Ligh [2] puolestaan osoittivat, että kaikki SYT-matriisit ovat positiivisesti definiittejä, jolloin niiden kaikki ominaisar- vot ovat reaalisia ja positiivisia. Mainitsemisen arvoinen on myös Wintnerin artikkeli [15] 1940-luvulta, jossa hän tarkastelee sellaisen matriisin suurinta ominaisarvoa, jossa i. rivin jaj. sarakkeen alkiona on

syt(i, j) pyj(i, j)

α

ja α ∈ R. Kyseinen matriisi ei ole meet- tai join-matriisi, mutta, kuten lu- vussa 8 nähdään, varsin läheisesti yhteydessä näihin. Vuonna 1998 artikkelis- sa [11] Lindqvist ja Seip puolestaan tutkivat saman matriisin suurimman ja pienimmän ominaisarvon asymptoottista käyttäytymistä luvun n kasvaessa.

Tuorein meet- ja join-matriisien ominaisarvoihin liittyvä julkaisu on Ilmo- sen, Haukkasen ja Merikosken artikkeli [7], joka on myös tämän tutkielman päälähde. Kyseinen paperi on edelleen kattavin tästä aiheesta julkaistu tut- kimus.

Tässä tutkielmassa käydään läpi artikkelin [7] lauseet, todistukset ja esi- merkit. Tätä ennen on kuitenkin tarpeen perehtyä vektori- ja matriisinor- meihin, määritellä alaan liittyvät käsitteet sekä esittää tarvittavat aputulok- set. Tämä tehdään luvussa 2. Luvussa 3 määrätään alaraja tietyt oletuk- set täyttävän, reaalisen ja positiivisesti definiitin meet-matriisin pienimmälle ominaisarvolle. Luvussa 5 tehdään sama join-matriisille. Luvussa 4 tarkas- tellaan meet-suljetun joukon meet-matriisia ja määrätään kompleksitasosta

ne alueet, joihin tämän matriisin ominaisarvot kaikki kuuluvat. Lisäksi seu- rauslauseena saadaan meet-suljetun joukon join-matriisia koskeva tulos funk- tion f ollessa semimultiplikatiivinen. Luvussa 6 todistetaan luvun 4 lauseita vastaavat tulokset join-suljetun joukon join-matriisille sekä meet-matriisille semimultiplikatiivisen funktion f suhteen. Luvussa 7 määritetään rajoja re- aalisille vakioille C_n ja c_n, joita tarvitaan lukujen 2-6 tulosten soveltami- seen käytännössä. Lopuksi luvussa 8 tarkastellaan yleistettyjen meet- ja join- matriisien ominaisarvoja ja osoitetaan niille lukujen 3, 4, 5 ja 6 päätuloksia vastaavat lauseet. Esimerkkeinä tarkastellaan mm. resiprookkimatriiseja, joi- den ominaisarvoja ei aikaisemmin ole tutkittu.

Lukijan edellytetään hallitsevan hyvin lineaarialgebran, hilateorian, lu- kuteorian sekä jossain määrin myös algebran perustiedot ja käsitteet. Kaikki jatkossa tarvittavat määritelmät ja lauseet on kuitenkin esitetty luvussa 2.

Poikkeuksena ovat kuitenkin yleistettyihin meet- ja join-matriiseihin liitty- vät määritelmät ja lauseet, jotka on sisällytetty lukuun 8. Aputulosten to- distukset joudutaan kuitenkin lähes kaikki sivuuttamaan. Luvun 2.1 materi- aali perustuu kirjaan [6], loppuosa luvusta artikkeliin [7]. Samoin luvut 3-6 vastaavat varsin pitkälle artikkelin [7] lukuja 3-6 sekä alaluku 7.1 lukua 7.

Luvuissa 7.2 ja 8 esitetty materiaali sen sijaan on pääosin uutta.

2 Esitietoja

Tämän luvun tarkoituksena on käydä läpi myöhemmin tarvittavien käsit- teiden määritelmät sekä lauseiden todistuksissa tarvittavat aputulokset. En- simmäiseksi perehdytään vektori- ja matriisinormeihin niiltä osin, kuin se on jatkon kannalta tarpeen.

2.1 Vektori- ja matriisinormeista

Useissa myöhemmissä luvuissa esitettävissä todistuksissa tullaan käyttämään spektraalinormiksi kutsutun matriisinormin ominaisuuksia. Toisellekin mat- riisinormille, ns. Frobeniuksen normille tulee myös olemaan käyttöä. Ennen näihin pääsemistä on kuitenkin syytä tutustua vektori- ja matriisinormeihin myös yleisesti.

Määritelmä 2.1. Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan C. Funktio k•k : V →R onvektorinormi, mikäli kaikillax,y∈V pätee

1. kxk ≥0, (ei-negatiivisuus)

2. kxk= 0, jos ja vain jos x=0, (positiivisuus)

3. kcxk=|c|kxk kaikilla skalaareilla c∈C, (homogeenisuus) 4. kx+yk ≤ kxk+kyk. (kolmioepäyhtälö)

Huomautus 2.1. Vaikka vektorinormin määritelmässä normifunktion mää- rittelyjoukkona onkin yleinen vektoriavaruus V, voidaan tässä tutkielmassa hyvin rajoittua tapaukseen V =Cⁿ.

Esimerkki 2.1. Jos V =Cⁿ ja x= (x₁, x₂, . . . , x_n)^T ∈ Cⁿ, voidaan määri- tellä

kxk=√

x^∗x=p

|x₁|²+|x₂|²+· · ·+|x_n|².

Voidaan osoittaa, että ko. funktio todella on vektorinormi, ns. vektoriava- ruuden Cⁿ euklidinen normi. Nimitys juontuu siitä, että vektoriavaruuksien R² ja R³ tapauksessa kx− yk kertoo pisteiden x ja y välisen euklidisen etäisyyden (kun tason/avaruuden piste samaistetaan oman suuntavektorinsa kanssa). Tällä tavalla käsite saadaan kuitenkin yleistettyä useampiulottei- sille sekä kompleksisille vektoriavaruuksille. Euklidinen vektorinormi on itse asiassa ainoa tässä tutkielmassa tarvittava vektorinormi, joten jos muuta ei ole mainittu, tarkoittaa kxk jatkossa aina vektorin xeuklidista normia.

Hyvin tärkeä vektorinormeihinkin liittyvä kaava on Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö. Seuraavaksi esitetään yksi sen muotoiluista (ilman todistusta).

Lause 2.1 (Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö). Olkoot x,y∈Cⁿ. Tällöin

|y^∗x| ≤√ x^∗x√

y^∗y=kxkkyk.

Lisäksi kaavassa on voimassa yhtälö täsmälleen silloin, kun vektorien x ja y välillä on lineaarinen riippuvuus.

Seuraavaksi voidaankin määritellä matriisinormi, joka on oikeastaan vain vektorinormin käsitteen yleistys neliömatriiseille. Itse asiassa osa (mutta ei kaikki) vektorinormeista määrittelee myös matriisinormin, kun matriisi tul- kitaan sopivasti vektoriksi. Mutta vaikka neliömatriisia A ∈ C^n×n voidaan- kin helposti ajatella vektoriavaruudenCⁿ² vektorina, antaa (neliö)matriisien välinen kertolasku aiheen menetellä hieman toisin. Seuraavan määritelmän viimeinen ehto koskeekin juuri matriisikertolaskua.

Määritelmä 2.2. Funktio|||•|||:C^n×n →Ronmatriisinormi, mikäli kaikilla A,B∈C^n×n pätee

1. |||A||| ≥0, (ei-negatiivisuus)

2. |||A|||= 0, jos ja vain jos A=0, (positiivisuus) 3. |||cA|||=|c| |||A||| kaikillac∈C, (homogeenisuus) 4. |||A+B||| ≤ |||A|||+|||B|||, (kolmioepäyhtälö) 5. |||AB||| ≤ |||A||| |||B|||. (alimultiplikatiivisuus)

Esimerkki 2.2. Euklidinen vektorinormi voidaan yleistää varsin luonnolli- sesti koskemaan neliömatriiseja, kun määritellään

|||A|||= v u u t

n

X

i=1 n

X

j=1

|a_ij|² =p

tr(A^∗A)

jokaisellaA∈C^n×n. MatriisinAnormi on siis sama kuin täsmälleen samois- ta alkioista muodostetun vektoriavaruuden Cⁿ

2 vektorin euklidinen normi.

Ensimmäiset neljä matriisinormin ominaisuutta seuraavat suoraan vastaavis- ta vektorinormin ominaisuuksista, ja alimultiplikatiivisuus voidaan osoittaa Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön avulla. Tätä matriisinormia kutsutaan usein Frobeniuksen normiksi. MatriisinAFrobeniuksen normia merkitään jatkossa notaatiolla |||A|||_F.

Vektorinormin määritelmän yleistäminen sopivasti neliömatriiseille ei ole ainoa tapa määritellä uusi matriisinormi. Kuten sanottu, tällainen yleistämi- nen ei ole kaikkien vektorinormien tapauksessa edes mahdollista. Seuraavas- sa määritelmässä esitelläänkin analyyttinen menetelmä, jolla minkä tahansa vektorinormin avulla voidaan määritellä matriisinormi. Tätä matriisinormia kutsutaan tällöin kyseisen vektorinormin indusoimaksi matriisinormiksi.

Määritelmä 2.3. Olkoonk•kvektoriavaruuden Cⁿ vektorinormi. Määritel- lään nyt funktio |||•|||:C^n×n→R, missä

|||A|||= max

kxk=1kAxk.

Voidaan osoittaa, että kyseinen funktio todella saa suurimman arvon- sa niiden vektorien joukossa, joiden normi on 1. Tämä seuraa siitä, että kuvaus Cⁿ → Cⁿ, missä x 7→ Ax, on lineaarikuvauksena jatkuva (kun Cⁿ tulkitaan metriseksi avaruudeksi, jossa metriikka määritellään euklidi- sen vektorinormin avulla). Tällöin kompakti (eli suljettu ja rajoitettu) jouk- ko{x∈Cⁿ| kxk= 1}kuvautuu niin ikään kompaktiksi joukoksi{Ax |x∈ Cⁿ ja kxk = 1}. Lopuksi viimeksi mainitun joukon alkiot kuvataan vielä funktiolla k•k, joka sekin on jatkuva vektorinormin ominaisuuksien nojalla.

Määritelmässä mainitun suurimman (kuten myös pienimmän) arvon olemas- saolo seuraa nyt jatkuvan funktion ääriarvolauseesta.

Yhtäpitävästi voitaisiin määritellä myös, että

(2.1) |||A|||= max

x6=0

kAxk kxk .

Näin voidaan tehdä, sillä vektorinormin homogeenisuuden nojalla maxx6=0

kAxk

kxk = max

x6=0kA( 1

kxkx)k= max

kyk=1kAyk=|||A|||.

Vielä pitää osoittaa, että tällä funktiolla on määritelmän 2.2 mukaiset ominaisuudet. Tämä tehdään seuraavassa lauseessa.

Lause 2.2. Määritelmän 2.3 funktio |||•|||:C^n×n →R on matriisinormi.

Todistus (vrt. [6, s. 293]). Olkoot A,B ∈C^n×n.

1. Luvun|||A||| ei-negatiivisuus seuraa suoraan siitä, että funktio k•ksaa vain ei-negatiivisia arvoja. Joukon {kAxk | x∈ Cⁿ, kxk = 1} kaikki alkiot ovat siis ei-negatiivisia, ja|||A||| on niistä suurin.

2. Selvästi |||0||| = 0. Toisaalta, jos |||A||| = 0, niin joukon {kAxk | x ∈ Cⁿ kxk = 1} kaikkien alkioiden on oltava nollia. Tämä on kuitenkin mahdollista vain, jos A=0.

3. Olkoonc ∈ C. Matriisinormin homogeenisuus seuraa suoraan vektori- normin homogeenisuudesta, sillä

|||cA|||= max

kxk=1kcAxk=|c|max

kxk=1kAxk=|c| |||A|||.

4. Myös kolmioepäyhtälö seuraa suoraan vektorinormin vastaavasta omi- naisuudesta, sillä

|||A+B|||= max

kxk=1k(A+B)xk= max

kxk=1kAx+Bxk

≤ max

kxk=1(kAxk+kBxk)≤ max

kxk=1kAxk+ max

kxk=1kBxk

=|||A|||+|||B|||.

5. Mikäli Bx=0 jollakin x∈Cⁿ, saadaan kABxk=kA0k=k0k= 0.

Jos matriisin Bnolla-avaruus on koko Cⁿ, niin jokaisellax∈Cⁿ pätee Bx=ABx=0, jolloin

|||AB|||= 0 =|||B|||=|||A|||

| {z }

∈R

|||B|||

| {z }

=0

.

Muussa tapauksessa maksimiarvo löydetään niiden vektorien x ∈ Cⁿ joukosta, jotka eivät kuulu kyseiseen nolla-avaruuteen. Kaavan (2.1) nojalla voidaan tällöin kirjoittaa

|||AB|||= max

x6=0

kABxk

kxk = max

x6=0(kABxk kBxk

kBxk kxk )

≤(max

y6=0

kAyk kyk )(max

x6=0

kBxk

kxk ) =|||A||| |||B|||.

Erityisesti euklidinen vektorinormi indusoi siis lauseen 2.2 nojalla oman matriisinorminsa. Tätä normia kutsutaanspektraalinormiksi, ja matriisin A spektraalinormista käytetään merkintää|||A|||_S. Spektraalinormin tarkempaa käsittelyä varten tarvitaan kuitenkin vielä muutama uusi käsite ja lause.

Määritelmä 2.4. Matriisi A∈C^n×nonHermiten matriisi, mikäli A^∗ =A.

Huomautus 2.2. Hermiten matriisin käsite on tarpeellinen ainoastaan komplek- sisia matriiseja tarkasteltaessa. Jos nimittäinA∈R^n×n, niinAon Hermiten matriisi, jos ja vain jos A=A^T eli Aon symmetrinen.

Esimerkki 2.3. Olkoon A∈C^n×n. Tällöin matriisi A^∗Aon Hermiten mat- riisi, sillä

(A^∗A)^∗ =A^∗(A^∗)^∗ =A^∗A.

Määritelmä 2.5. Matriisi A∈ C^n×n onunitaarisesti diagonalisoituva, mi- käli on olemassa sellaiset matriisit U,D ∈ C^n×n, että D on diagonaalimat- riisi, U^∗U =I ja D=U^∗AU.

Määritelmän matriisille U pätee siis U⁻¹ =U^∗, ja sitä sanotaanunitaa- riseksi.

Lause 2.3 ([6], s. 104). Hermiten matriisi on unitaarisesti diagonalisoituva, ja sen kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.

Huomautus 2.3. Voidaan osoittaa, että josAon unitaarisesti diagonalisoi- tuva kompleksinen neliömatriisi, niin määritelmän 2.5 matriisinDdiagonaa- lialkiot ovat matriisinAominaisarvot jossakin järjestyksessä. Matriisit Aja Dovat nimittäin similaariset, jolloin niillä on täsmälleen samat ominaisarvot (algebrallista kertalukua myöten). Toisaalta diagonaalimatriisin D ominai- sarvot ovat triviaalisti sen diagonaalilla olevat alkiot, mistä tämä voidaan todeta.

Määritelmä 2.6. Hermiten matriisiAonpositiivisesti semidefiniitti, mikäli x^∗Ax≥0

jokaisella x ∈ Cⁿ. Jos edellä olevassa epäyhtälössä on aina voimassa aito suuremmuus, sanotaan matriisiaA positiivisesti definiitiksi.

Seuraavassa lauseessa esitetään eräs varsin käyttökelpoinen tapa luonneh- tia positiivisesti definiittejä ja semidefiniittejä matriiseja.

Lause 2.4 ([6], s. 402). Hermiten matriisi A∈C^n×n on positiivisesti semi- definiitti, jos ja vain jos kaikki sen ominaisarvot ovat ei-negatiivisia. Matrii- si A on positiivisesti definiitti, jos ja vain jos kaikki sen ominaisarvot ovat positiivisia.

Tulevissa tarkasteluissa ollaan kiinnostuneita lähes yksinomaan vain mat- riisien ominaisarvoista, joten puhuttaessa positiivisesti semidefiniitistä mat- riisista halutaan ensisijaisesti korostaa sen ominaisarvojen olevan ei-negatiivisia.

Esimerkki 2.4. Esimerkin 2.3 Hermiten matriisinA^∗Akaikki ominaisarvot ovat siis lauseen 2.3 nojalla reaalisia. Itse asiassa ne kaikki ovat vieläpä ei- negatiivisia, sillä jos x ∈ C^n×n on matriisin A^∗A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori (jolloin siis x6=0), niin(A^∗A)x=λx ja

λkxk²

| {z }

>0

=λx^∗x=x^∗(λx) =x^∗(A^∗Ax) = (Ax)^∗(Ax) =kAxk² ≥0.

On siis oltavaλ ≥0. Lauseen 2.4 nojalla edelleen seuraa, että matriisi A^∗A on positiivisesti semidefiniitti.

Huomautus 2.4. Matriisit A^∗Aja AA^∗ ovat positiivisesti semidefiniittejä myös siinä tapauksessa, että matriisiAei ole neliömatriisi. MikäliA∈C^m×n, niin jokaisella x∈Cⁿ

x^∗A^∗Ax = (Ax)^∗(Ax) =kAxk² ≥0.

Matriisin AA^∗ kanssa voidaan toimia vastaavasti.

Määritelmä 2.7. Vektorinormik•konunitaarisesti invariantti, mikälikU xk= kxk jokaisella x∈Cⁿ ja jokaisella unitaarisella matriisilla U ∈C^n×n.

Esimerkki 2.5. Euklidinen vektorinormi k•k on unitaarisesti invariantti, sillä jos x∈Cⁿ ja U ∈C^n×n on unitaarinen, niin

kU xk² = (U x)^∗(U x) = x^∗U^∗U x=x^∗Ix=x^∗x=kxk². Tällöin ei-negatiivisuuden perusteella myös kU xk=kxk.

Annetun matriisin normin laskeminen suoraan määritelmästä 2.3 edellyt- tää siis optimointiongelman ratkaisemista. Seuraavassa lauseessa osoitetaan, että spektraalinormin tapauksessa tämä optimointiongelma voidaan kuiten- kin muuttaa ominaisarvoprobleemaksi. Todistus on kirjoittajan oma.

Lause 2.5. Olkoon A∈C^n×n. Tällöin

|||A|||_S = max{√

λ | λ on matriisin A^∗A ominaisarvo}.

Todistus. Esimerkin 2.4 nojalla joukon

{λ∈C | λ on matriisin A^∗A ominaisarvo}

alkiot ovat siis kaikki reaalisia ja ei-negatiivisia, joten väite on tältä osin mielekäs (juurtaminen ei aiheuta ongelmaa ja äärellisessä reaalilukujoukossa on varmasti suurin alkio). Lisäksi lauseen 2.3 nojalla A^∗A on unitaarises- ti diagonalisoituva, jolloin on olemassa matriisi D = diag(λ₁, λ₂, . . . , λ_n) ja sellainen unitaarinen matriisi U ∈C^n×n, että D =U^∗A^∗AU. Huomautuk- sen 2.3 nojalla diagonaalialkiot λ1, λ2, . . . , λn ∈R⁺∪ {0} ovat vieläpä mat- riisin A^∗A ominaisarvot. Merkitään nyt λ = max{λ₁, λ₂, . . . , λ_n}. Tällöin A^∗A=U DU^∗, ja jokaisella x∈Cⁿ, jolla kxk= 1, pätee

kAxk² = (Ax)^∗(Ax) = x^∗A^∗Ax =x^∗U DU^∗x= (U^∗x)^∗D(U^∗x)

=

n

X

i=1

λ_i(U^∗x)_i(U^∗x)_i ≤

n

X

i=1

λ(U^∗x)_i(U^∗x)_i

=λ

n

X

i=1

(U^∗x)i(U^∗x)i =λ(U^∗x)^∗(U^∗x) =λkU^∗xk²

| {z }

=1

=λ.

Viimeinen yhtäsuuruus seuraa euklidisen vektorinormin unitaarisesta inva- rianttiudesta. On siis osoitettu, että jokaisella x ∈Cⁿ, jolla kxk= 1, pätee kAxk ≤√

λ. Siispä |||A|||_S ≤√ λ.

Vielä pitää kuitenkin osoittaa, että mainittu yläraja myös saavutetaan.

Tätä varten oletetaan, että x on ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori, jonka euklidinen normi on 1 (tällainen x löydetään, kun mikä tahansa omi- naisarvoa λ vastaava ominaisvektori jaetaan omalla normillaan). Nyt

kAxk² = (Ax)^∗(Ax) =x^∗((A^∗A)x) =x^∗(λx) =λ(x^∗x) = λkxk²

| {z }

=1

=λ, jotenkAxk=√

λ. Väite seuraa nyt tästä.

Määrittelytapansa vuoksi spektraalinormilla on lisäksi tiettyjä erityisomi- naisuuksia, joita käsitellään seuraavissa huomautuksissa.

Huomautus 2.5. MatriisinA∈C^n×nspektraalinormi voidaan vaihtoehtoi- sesti laskea kaavasta

|||A|||_S = max

kxk=kyk=1|y^∗Ax|.

Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön nojalla nimittäin max

kxk=kyk=1|y^∗(Ax)| ≤ max

kxk=kyk=1(kAxkkyk) = max

kxk=1kAxk=|||A|||_S. Lisäksi mainittu yläraja saavutetaan, kun asetetaan y = _kAxk¹ Ax. Tässä on siis rajoituttava tarkastelemaan sellaisten vektoreiden x joukkoa, joilla Ax 6= 0. Näin voidaan tehdä, sillä muissa kuin triviaaleissa tapauksissa maksimi saavutetaan kyseisessä joukossa.

Huomautus 2.6. Jokaiselle matriisille A ∈ C^n×n pätee |||A|||_S = |||A^∗|||_S. Nimittäin huomautuksen 2.5 nojalla

|||A|||_S = max

kxk=kyk=1|y^∗Ax|= max

kxk=kyk=1|y^∗(Ax)|

= max

kxk=kyk=1|(Ax)^∗y|= max

kxk=kyk=1|x^∗A^∗y|=|||A^∗|||_S. Huomautus 2.7. JokaisellaA∈C^n×n on voimassa

|||A^∗A|||_S =|||AA^∗|||_S =|||A|||²_S.

Jälkimmäinen yhtälö on seurausta siitä, että ensinnäkin alimultiplikatiivi- suuden sekä huomautuksen 2.6 nojalla

|||AA^∗|||_S ≤ |||A|||_S|||A^∗|||_S =|||A|||²_S.

Toisaalta, kun x on matriisin AA^∗ suurinta ominaisarvoa λ vastaava omi- naisvektori, jolle lisäksi pätee kxk = 1, lauseen 2.5 ja huomautuksen 2.6 nojalla saadaan

kAA^∗xk=kλxk=| λ

|{z}≥0

| kxk

|{z}

=1

=λ=|||A^∗|||²_S =|||A|||²_S.

Täten

|||AA^∗|||_S = max

kxk=1kAA^∗xk ≥ |||A|||²_S,

mistä väite seuraa. Toinen yhtälö voidaan osoittaa samalla tavalla.

Huomautus 2.8. Positiivisesti semidefiniitille Hermiten matriisille A∈C^n×n pätee

|||A|||_S = max{λ | λ on matriisin Aominaisarvo}.

Jos nimittäin λ on matriisin A suurin ominaisarvo, niin λ² on matriisin A² =A^∗Asuurin ominaisarvo. Tällöin lauseen 2.5 nojalla

|||A|||_S =

√

λ² =λ.

Matriisiosion lopuksi pitää vielä määritellä (neliö)matriisinspektraalisäde, joka spektraalinormin tavoin liittyy ominaisarvoihin.

Määritelmä 2.8. Olkoon A∈C^n×n. Tällöin

ρ(A) = max{|λ| | λ on matriisin Aominaisarvo},

missä lukua ρ(A)∈R+∪ {0} sanotaan matriisinAspektraalisäteeksi.

Huomautus 2.9. Mikäli matriisiAon positiivisesti semidefiniitti Hermiten matriisi, niin

ρ(A) = max{λ | λ on matriisin Aominaisarvo}=|||A|||_S.

Matriisin spektraalisäde kertoo siis pienimmän sellaisen origokeskisen komp- leksitason ympyrän säteen, jonka sisällä ja kehällä sen kaikki ominaisarvot si- jaitsevat. Mitä pienempi spektraalisäde matriisilla on, sitä lähempänä origoa (ja samalla toisiaan) sen ominaisarvot ovat. Seuraavassa lauseessa nähdään, että spektraalisäteellä on varsin tärkeä yhteys matriisinormeihin. Todistus itsessään on myös varsin elegantti.

Lause 2.6. Olkoon A∈C^n×n ja |||•||| mielivaltainen matriisinormi. Tällöin ρ(A)≤ |||A|||.

Todistus (vrt. [6, s. 297]). Jokaisella matriisinAominaisarvollaλon triviaa- listi |λ| ≤ ρ(A). Lisäksi jollakin ominaisarvolla λ pätee |λ| =ρ(A). Olkoon x∈Cⁿ tätä (itseisarvoltaan maksimaalista) ominaisarvoa vastaava ominais- vektori (jolloin x6=0) ja

X = [x x · · · x

| {z }

n kpl

]∈C^n×n. Nyt AX =λX, ja edelleen

ρ(A)|||X|||=|λ| |||X|||=|||λX|||=|||AX||| ≤ |||A||| |||X|||.

Väite seuraa, kun tämä epäyhtälö jaetaan termillä |||X|||>0 (X 6=0, joten

|||X||| 6= 0).

Mikäli matriisin Aspektraalisäde tunnetaan, määrää se siis alarajan mil- le tahansa matriisin A normille. Toisaalta, jos vaikkapa |||A|||_S on saatu las- kettua, on samalla löydetty myös yläraja spektraalisäteelle ρ(A). Juuri tätä menetelmää tullaan käyttämään luvussa 7.

MatriisinAitseisarvoltaan pienimmällä ominaisarvolla ei ole matriisiteo- rian kannalta lainkaan samanlaista merkitystä kuin itseisarvoltaan suurim- malla. Merkinnällisistä syistä otetaan kuitenkin käyttöön analoginen merkin- tä

κ(A) = min{|λ| | λ on matriisinA ominaisarvo}.

Huomautus 2.10. Positiivisesti semidefiniitille Hermiten matriisille Apä- tee siis

κ(A) = min{λ | λ on matriisinA ominaisarvo}.

Lisäksi, mikäli Aon vielä kääntyvä, on κ(A⁻¹) = _ρ(A)¹ ja ρ(A⁻¹) = _κ(A)¹ . Reaaliluku κ(A) kertoo siis suurimman sellaisen origokeskisen ympyrän säteen, jonka sisäpisteiden joukkoon ei kuulu yksikään matriisin A ominai- sarvoista.

2.2 Osittaisista järjestyksistä ja hiloista

Seuraavissa luvuissa jatkuvana perusoletuksena on, ettäP on epätyhjä jouk- ko, joka on lisäksi osittain järjestetty. Aloitetaan siis määrittelemällä, mitä tällä käsitteellä tarkoitetaan.

Määritelmä 2.9. Olkoon P epätyhjä joukko. Relaatio ⊆P ×P onosit- tainen järjestys joukossa P, mikäli seuraavat kolme ehtoa ovat voimassa:

1. xx jokaisella x∈P, (refleksiivisyys)

2. (xy ja yx)⇒x=y jokaisella x, y ∈P, (antisymmetrisyys) 3. (xy ja yz)⇒xz jokaisella x, y, z ∈P. (transitiivisuus)

Osittainen järjestysrelaatio toteuttaa siis ne ominaisuudet, jotka järjes- tysrelaatioksi kutsuttavan relaation useimmiten halutaan vähintään toteutta- van. Erikoisuutena kuitenkin on, että joukossa P saa olla ns. ei-vertailullisia alkiopareja, joista kumpikaan ei edellä toista. Itse asiassa pelkistetyin mah- dollinen osittainen järjestysrelaatio saadaan, kun määritellään={(x, x)|x∈ P}. Tällöin antisymmetrisyys- ja transitiivisuusehdot toteutuvat triviaalisti.

Historiallisesti hyvin tärkeä ja siten myös tämän työn kannalta hyvin keskeinen osittainen järjestys on struktuuri (Z⁺,|), missä | on luonnollisesti määritelty jaollisuusrelaatio positiivisten kokonaislukujen joukossa. Rajoittu- minen positiivisiin kokonaislukuihin on tarpeen antisymmetrisyysehdon saa- miseksi voimaan. Omaperäisempi, tätä yleistävä esimerkki osittaisesta jär- jestyksestä saadaan struktuurista (Z[X]₊,|), missä

Z[X]₊ ={a_nXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₁X+a₀ ∈Z[X] |a_n>0}.

Relaatio | on siis tavanomaisesti määritelty polynomien jaollisuusrelaatio ja Z[X]₊ kaikkien sellaisten kokonaislukukertoimisten polynomien joukko, jois- sa johtava kerroin on positiivinen. Tämäkin rajoitus on tarpeellinen juuri antisymmetrisyyden vuoksi. Jos nimittäin g = −f, niin f|g ja g|f, mutta f 6=g.

Myös matriisien joukkoon saadaan määriteltyä erilaisia osittaisia järjes- tyksiä. Esimerkiksi, jos A,B ∈R^n×n, voidaan määritellä A6B, jos ja vain jos a_ij ≤ b_ij jokaisella i, j ∈ {1,2, . . . , n}. Seuraavaksi esitettävä lause liit- tyy juuri tähän relaatioon ja sitä tullaan tarvitsemaan useasti myöhemmissä luvuissa.

Lause 2.7 ([6], s. 501). Olkoon A= [a_ij]∈C^n×n ja merkitään |A|= [|a_ij|].

Olkoon sitten B = [b_ij] ∈ R^n×n sellainen matriisi, jolle pätee 0 6 B ja

|A|6B. Tällöin jokainen matriisin A ominaisarvo kuuluu joukkoon

n

[

k=1

n z ∈C

|z−akk| ≤ρ(B)−bkk

o .

Esitetään vielä toinen, edellistä hieman haastavampi, mutta yhtä lailla tärkeä esimerkki osittain järjestetystä matriisijoukosta.

Esimerkki 2.6 (vrt. [6, s. 469]). Samaa kokoan×n olevien Hermiten mat- riisien joukossa voidaan niin ikään määritellä osittainen järjestysrelaatio , jota tullaan myös tarvitsemaan myöhemmissä luvuissa. Tämä järjestys mää- ritellään siten, että A B, jos ja vain jos matriisi B−A on positiivisesti semidefiniitti. Osoitetaan vielä, että näin määritelty relaatio todella on osit- tainen järjestys.

1. Relaation refleksiivisyys seuraa suoraan siitä, että nollamatriisi on po- sitiivisesti semidefiniitti.

2. Antisymmetrisyyttä varten oletetaan, että AB ja B Ajoillakin Hermiten matriiseilla Aja B. Tällöin matriisit A−B ja B−A ovat molemmat positiivisesti semidefiniittejä, joten on oltava

x^∗(A−B)x=x^∗Ax−x^∗Bx ≥0 sekä

x^∗(B−A)x=x^∗Bx−x^∗Ax=−(x^∗(A−B)x)≥0

jokaisellax∈Cⁿ. Tästä seuraa, ettäx^∗(A−B)x= 0jokaisellax∈Cⁿ. Merkitään nytC =A−B. Kun vektorinxrooliin valitaan vuorotellen kaikki n yksikkövektoria e_i (vektori, joissa i. alkio on 1 ja muut nol- lia), saadaan matriisin C diagonaalialkiot osoitettua nolliksi. Alkion c_ij osoittamiseksi nollaksi asetetaan ensin x= e_i+e_j, mistä saadaan

yhtälö c_ij +c_ji = 0. Asettamalla sitten x = ie_i +e_j saadaan yhtä- lö −ic_ij +ic_ji = 0. Kertomalla tämä skalaarilla i päästään yhtälöön c_ij −c_ji = 0. Tämän jälkeen voidaan yhtälöt laskea yhteen, mistä lo- pulta nähdään, että c_ij = 0. SiispäC =A−B =0, joten A=B.

3. Transitiivisuuden todistamiseksi oletetaan, että A B ja B C joillakin Hermiten matriiseilla A,B ja C. Matriisit A−B ja B−C ovat siis molemmat positiivisesti semidefiniittejä. Tällöin myösAC, sillä jokaisellax∈Cⁿ pätee

x^∗(A−C)x=x^∗((A−B) + (B−C))x

=x^∗(A−B)x

| {z }

≥0

+x^∗(B−C)x

| {z }

≥0

≥0.

Tapauksessa n = 1 tilanne pelkistyy ei-negatiivisten reaalilukujen luonnol- liseksi järjestykseksi, joten tietyssä mielessä suuremmilla luvun n arvoilla saadaan struktuurin (R⁺∪ {0},≤) yleistyksiä. Yleistämisen hintana kuiten- kin on, että järjestysrelaation vertailullisuus menetetään. Tämän tutkielman kannalta kyseinen, sinänsä mielenkiintoinen näkökulma on kuitenkin varsin merkityksetön.

Edellisen esimerkin relaatiolla on lisäksi seuraava tärkeä ominaisuus, jota sitäkin tullaan tarvitsemaan jatkossa.

Lause 2.8([6], s. 471). Oletetaan, ettäAja Bovat positiivisesti definiittejä matriiseja, joille lisäksi pätee A B. Olkoot λ₁, λ₂, . . . , λ_n ∈ R+ matriisin A sekä µ₁, µ₂, . . . , µ_n matriisin B ominaisarvot, missä λ₁ ≤ λ₂ ≤ · · · ≤ λ_n ja µ₁ ≤µ₂ ≤ · · · ≤µ_n. Tällöin λ_i ≥µ_i jokaisella i∈ {1,2, . . . , n}.

Jos alkiotx, y ∈P on annettu, voidaan lähteä tutkimaan niiden yhteisten ylärajojen joukkoa

{z ∈P | xz ja yz}.

Mikäli tämä joukko on epätyhjä ja siinä on olemassa pienin alkio a, on se alkioiden x ja y pienin yläraja. Alkiota a kutsutaan tällöin alkioiden x ja y joiniksi ja merkitään a =x∨y. Vastaavasti voidaan tarkastella alkioiden x ja y yhteisten alarajojen joukon

{z ∈P | z xja z y}

suurimman alkion olemassaoloa. Mikäli tässä joukossa on suurin alkio b, sa- notaan sitä alkioidenx ja ymeetiksi ja merkitään b=x∧y. Tämä antaakin aiheen seuraavaan määritelmään.

Määritelmä 2.10. Osittain järjestetty joukko (P,) on join-puolihila, mi- käli x∨y∈P on olemassa kaikillax, y ∈P. Jos taas x∧y∈P on olemassa kaikilla x, y ∈ P, on (P,) meet-puolihila. Struktuuria (P,) sanotaan hi- laksi, mikäli se on sekä meet-puolihila että join-puolihila.

Samaan tapaan voitaisiin määritellä mielivaltaisen joukon P osajoukonS pienin yläraja ja suurin alaraja. Mikäli W

S ja V

S ovat olemassa jokaisella S ⊆P, sanotaan hilan(P,)olevan täydellinen hila. Siinä missä tavallisessa hilassa operaattoreita ∨ ja ∧ voidaan ajatella laskutoimituksina joukossa P (eli funktioina P ×P →P), täydellisessä hilassa ne ovat funktioita P(P)→ P. Jatkossa tarkastelun kohteena ovat kuitenkin lähes yksinomaan puolihilat ja hilat.

Osoittautuu, että (Z+,|)ja (Z[X]₊,|)ovat molemmat hiloja, joissa kum- massakin kahden alkion meet ja join voidaan löytää samalla tavalla niiden alkutekijähajotelmien avulla. Itse asiassa hila(Z[X]₊,|)sisältää hilan(Z+,|) alihilanaan, mikäli kokonaisluku samaistetaan sitä vastaavan vakiopolynomin kanssa. Kummassakin hilassa kahden alkion join on niiden pienin yhteinen monikerta ja meet niiden suurin yhteinen tekijä, sillä jo aiemmin mainittu- jen positiivisuusrajoitusten ansiosta kumpikin näistä on aina yksikäsitteise- nä olemassa ko. joukossa. Esimerkiksi polynomien X²−1 ja 2X−2 suurin yhteinen tekijä on X−1∈Z[X]₊, sillä −X+ 1 ∈/Z[X]₊.

Laskutoimituksen ∨tai ∧ (tai mahdollisesti molempien) olemassaolon li- säksi struktuurilta (P,) oletetaan jatkossa vielä yksi ominaisuus, paikalli- nen äärellisyys. Ennen tähän käsitteeseen pääsemistä pitää kuitenkin määri- tellä myös, mitä tarkoitetaan suljetulla välillä osittain järjestetyssä joukossa.

Määritelmä 2.11. Josx, y ∈P ja xy, niin suljettu väli [x, y] ={z ∈P | xz y}.

Mikäli xy, määritellään [x, y] =∅.

Määritelmä 2.12. Osittain järjestetty joukko P onpaikallisesti äärellinen, mikäli kaikilla x, y ∈P suljettu väli [x, y] on äärellinen joukko.

Paikallisesta äärellisyydestä ei missään nimessä seuraa, että joukkoP olisi äärellinen (esimerkiksi (Z,≤), missä ≤ tarkoittaa kokonaislukujen luonnol- lista järjestystä, on paikallisesti äärellinen). Sen sijaan paikallinen äärellisyys on tietyssä mielessä mm. rationaali- ja reaalilukuihin liittyvän tiheysominai- suuden vastakohta.

Esimerkki 2.7. Osoitetaan, että hila (Z[X]₊,|) on paikallisesti äärellinen.

Oletetaan tunnetuksi, että polynomirengas Z[X] on faktoriaalinen (engl.

UFD, unique factorization domain) eli jokaisellaf ∈Z[X]on olemassa luvut n₁, . . . , n_k ∈N sekä sellaiset jaottomat polynomitf₁, . . . , f_k ∈Z[X], että

f =f₁ⁿ¹· · ·f_k^nk.

Koska jokaisella i ∈ {1, . . . , k} pätee joko f_i ∈ Z[X]₊ tai −f_i ∈ Z[X]₊, voidaan kirjoittaa

f = (−1)^m(f₁⁰)ⁿ¹· · ·(f_k⁰)^nk,

missä m ∈N ja f₁⁰, . . . , f_k⁰ ∈Z[X]₊ ovat edelleen jaottomia. Tarkastelemalla nyt polynominf johtavan kertoimen muodostumista huomataan, että luvun m pitää olla parillinen. Mielivaltaiselle polynomille f on siis löydetty esitys joukon Z[X]₊ jaottomien polynomien tulona. Jos nyt g ∈Z[X]₊ ja g|f, niin voidaan kirjoittaa

g =f₁^m1· · ·f_k^mk,

missä m₁, . . . , m_k ∈ N ja m_i ≤ n_i jokaisella i ∈ {1, . . . , k}. Tästä on helppo nähdä, että välillä [g, f] on alkioita täsmälleen

k

Y

i=1

(1 + (n_i−m_i))

kappaletta ja väli [g, f] on siis äärellinen joukko. Siispä(Z[X]₊,|)on paikal- lisesti äärellinen.

Esimerkki 2.8. Hilaan (Z[X]+,|) voidaan halutessa lisätä myös vakiopoly- nomi 0. Tällöin se on vieläpä syntyneen (täydellisen) hilan suurin alkio, sillä f|0jokaisella f ∈Z[X]₊∪ {0}. Täydellisyydestä huolimatta uusi hila ei kui- tenkaan enää ole paikallisesti äärellinen, sillä esimerkiksi väli [1,0] sisältää kaikki joukon Z[X]₊∪ {0} alkiot.

Joukossa Z[X]₊ voidaan määritellä myös ns.unitaarinen jaollisuusrelaa- tio. Ko. relaatio on yleensä tapana määritellä vain joukossa Z+, mutta se voidaan yleistää joukkoon Z[X]₊ varsin luonnollisella tavalla.

Määritelmä 2.13. Polynomi g jakaa polynomin f unitaarisesti, mikäli g|f ja syt(g,^f_g) = 1. Tällöin merkitään gkf.

Alkutekijähajotelmien kannalta tämä tarkoittaa, että ensinnäkin poly- nomin g jokainen jaoton alkutekijä on myös polynomin f alkutekijä. Lisäksi jokaisella molemmille yhteisellä alkutekijällä on vieläpä täsmälleen sama eks- ponentti kummankin polynomin hajotelmassa. Tätä kautta on varsin helppo nähdä, että myös relaatio k määrää osittaisen järjestyksen joukkoon Z[X]₊. Seuraavassa esimerkissä kuitenkin nähdään, että muilta ominaisuuksiltaan unitaarinen jaollisuusrelaatio eroaa ominaisuuksiltaan melko paljon tavano- maisesta.

Esimerkki 2.9. Olkoot f, g ∈ Z[X]₊. Tavanomaisen suurimman yhteisen tekijän lisäksi myös näiden polynomien suurin yhteinen unitaaritekijä voi- daan löytää varsin helposti niiden alkutekijähajotelmien avulla. Esityksistä tarvitsee vain poimia ne alkutekijöiden potenssit, jotka ovat yhteiset kum- mallekin hajotelmalle (siis sekä tekijän että eksponentin on oltava molem- missa sama). Suurin yhteinen unitaaritekijä on kaikkien tällaisten termien tulo. Mikäli tällaisia termejä ei ole, on f ∧g = 1. Struktuuri (Z[X]₊,k) on siis meet-puolihila.

Pienimmän yhteisen unitaarimonikerran löytäminen ei sen sijaan ole ai- na mahdollista. Mikäli on olemassa yksikin sellainen jaoton r ∈Z[X]₊ sekä sellaiset eri luvut i, j ∈ Z+, että rⁱ esiintyy polynomin f ja r^j polynomin g alkutekijähajotelmassa, niin ko. polynomeilla ei ole lainkaan yhteisiä unitaa- rimonikertoja (eikä tietenkään siis myöskään pienintä yhteistä unitaarimoni- kertaa). Jos nimittäini < j jagkh, niin f ∦h(tällöinr^j−i|^h_f jar^j−i|f, jolloin syt(f,^h_f)6= 1 ja edelleen f ∦h). Tapaus j < i käsitellään vastaavasti.

Meet-puolihila (Z[X]₊,k) on hilan(Z[X]₊,|) tapaan paikallisesti äärelli- nen. Itse asiassa hilan(Z[X]₊,k)paikallinen äärellisyys seuraa hilan(Z[X]₊,|) paikallisesta äärellisyydestä, sillä jokainen puolihilan (Z[X]₊,k)väli[g, f]on hilan(Z[X]₊,|) vastaavan välin osajoukko (joka esimerkin 2.7 perusteella on äärellinen joukko). Tuloperiaatteen avulla on kuitenkin helppo todeta, et- tä jos gkf, polynomilla g on m eri alkutekijää ja polynomilla f niitä on n kappaletta, niin hilan (Z[X]₊,k) välillä [g, f] on 2^n−m alkiota.

Myöhemmissä luvuissa on jatkuvana oletuksena myös, että f on funktio P →C (ts. f saa kompleksisia arvoja) ja

S ={x₁, x₂, . . . , x_n}

on epätyhjä ja äärellinen joukonP osajoukko, missäi6=j ⇒x_i 6=x_j. Lisäksi joukonS alkioille oletetaan pätevänx_i x_j ⇒i≤j, alkiot on siis mahdolli- suuksien mukaan listattu ”suuruusjärjestyksessä”. Kyseinen ehto silti harvoin määrittelee joukon S alkioiden luettelointijärjestyksen yksikäsitteisesti, esi- merkiksi struktuurissa (Z+,|) joukon Z+ osajoukko S = {1,2,3,5,15} voi- taisiin yhtä hyvin ilmoittaa seitsemällä muullakin tavalla, esimerkiksi

S ={1,2,5,3,15}tai S ={1,5,3,15,2}.

Seuraavaksi päästään lopultakin määrittelemään meet- ja join- matriisien käsitteet, joiden ominaisarvoja tulevissa luvuissa on tarkoitus tutkia.

Määritelmä 2.14. Olkoonf :P →Cfunktio ja joukkoS ⊆P kuten edellä.

Mikäli (P,,∧) on meet-puolihila, niinn×n-matriisia (S)f, missä ((S)f)ij =f(xi∧xj),

kutsutaanjoukonS meet-matriisiksi funktion f suhteen.Jos taas tarkastelun kohteena on join-puolihila (P,,∨), sanotaan n×n-matriisia [S]_f, missä

([S]_f)_ij =f(x_i ∨x_j), joukon S join-matriisiksi funktion f suhteen.

Mikäli funktio f on kiinnitetty eikä sekaannuksen vaaraa ole, voidaan pu- hua lyhyesti joukon S meet- tai join-matriisista. Varsin tärkeä erikoistapaus näistä saadaan, kun P =Z+ ja =|. Tällöin

((S)_f)_ij =f(syt(x_i, x_j))

ja

([S]_f)_ij =f(pyj(x_i, x_j)).

Näistä ensimmäistä sanotaan joukon S SYT-matriisiksi (engl. GCD mat- rix) ja jälkimmäistä joukon S PYJ-matriisiksi (engl. LCM matrix) funktion f suhteen. Jos lisäksi f = id, missä id : Z+ → Z+ on positiivisten koko- naislukujen joukon identtinen kuvaus, on (S)f = (S)joukon S SYT-matriisi ja [S]_f = [S] sen PYJ-matriisi. Mainitsemisen arvoisia näistä tekee se, et- tä meet- ja join-matriiseihin liittyvä tutkimus keskittyi hyvin pitkään juuri tavallisiin SYT-matriiseihin. Mikäli f = id ja valitaanS = {1,2, . . . , n}, on (S) juuri se sama matriisi, jonka determinanttia Smith tarkastelee artikke- lissa [14].

Toinen keskeinen erikoistapaus saadaan, kun joukon P =Z⁺ osittaiseksi järjestysrelaatioksi valitaan unitaarinen jaollisuusrelaatio k. Tällöin

((S)f)ij =f(syut(xi, xj)),

missä syut(x_i, x_j) tarkoittaa lukujen x_i ja x_j suurinta yhteistä unitaarite- kijää. Matriisia (S)f sanotaan johdonmukaisesti joukon S SYUT-matriisiksi funktionfsuhteen. PYUJ-matriisin[S]_f tutkiminen sen sijaan ei ole tässä ta- pauksessa aina mielekästä, sillä kuten esimerkissä 2.9 nähtiin, ei pienintä yh- teistä unitaarimonikertaa ole kaikissa tapauksissa lainkaan olemassa. Ongel- man välttämiseksi jouduttaisiin joukonS alkiot valitsemaan aivan erityisellä tavalla tai vaihtoehtoisesti alkion pyuj(x_i, x_j) määritelmää pitäisi muuttaa niin, että se olisi aina olemassa. Tällaiset ongelmat on kuitenkin tässä yh- teydessä parempi sivuuttaa, ja siksi jatkossa join-matriisia muodostettaessa aina oletetaankin, että (P,) on join-puolihila.

Meet- ja join-matriisien ominaisarvoja on yleisellä tasolla tutkittu var- sin vähän. Itse asiassa vasta tämän tutkielman päälähteessä [7] ominaisarvo- jen tutkimus ulotettiin ensimmäistä kertaa yleisesti meet-ja join-matriiseihin.

Kaikki aikaisemmat tulokset koskivat joko SYT- tai PYJ-matriisien tai mui- den samansukuisten reaalisten matriisien (jotka eivät kuitenkaan ole meet- tai join-matriiseja) ominaisarvoja. Kaikki aiemmin tarkastellut matriisit oli- vat lisäksi positiivisesti semidefiniittejä, joten aidosti kompleksisten meet- ja join-matriisien ominaisarvojen tutkiminen edellyttää kokonaan uudenlaisia menetelmiä. Yleisemmästä tarkastelusta huolimatta artikkelissa [7] löydettiin uutta tietoa myös eniten tutkituista SYT-matriiseista. Yhtä hyvin tuloksia voidaan kuitenkin soveltaa vaikkapa SYUT-matriiseihin, joita ei juurikaan ole käsitelty kirjallisuudessa.

2.3 Insidenssifunktioita sekä niitä koskevia aputuloksia

Insidenssifunktioista käytetään toisinaan myös varsin kuvaavaa nimitystä yleistetyt aritmeettiset funktiot. ”Yleistämisessä” on kyse vain siitä, että tar- kasteltavien funktioiden määrittelyjoukoksi otetaan joukonZ⁺ sijaan joukko

P×P, missäP on mikä tahansa osittain järjestetty joukko. Esimerkiksi kon- voluutio määritellään tällöin joukon Z+ jaollisuusrelaation asemasta joukon P relaation avulla.

Määritelmä 2.15. Olkoon P osittain järjestetty joukko. Funktio f :P ×P →C

on joukonP insidenssifunktio, mikäli f(x, y) = 0 aina, kunxy.

Lisäksi määritellään

F(P) = {f | f on joukon P insidenssifunktio}.

Kahden insidenssifunktion laskeminen yhteen tai kertominen keskenään käy varsin luonnollisesti, kun määritellään

(f +g)(x, y) = f(x, y) +g(x, y) ja

(f g)(x, y) = f(x, y)g(x, y)

jokaisella x, y ∈ P. Näitä laskutoimituksia mielenkiintoisempi on kuitenkin konvoluutio ∗, joka on yleistys tavallisten aritmeettisten funktioiden Dirich- let’n konvoluutiosta. Jokaisella(x, y)∈P×P funktioidenf jagkonvoluution f ∗g arvoksi määritellään

(f ∗g)(x, y) = X

xzy

f(x, z)g(z, y),

missä summa yli tyhjän joukon tulkitaan nollaksi. On helppo nähdä, että jokainen näillä laskutoimituksilla saatava funktio on myös insidenssifunktio määritelmän 2.15 mielessä.

Seuraavaksi on aika mainita muutama erityisen merkityksen omaava in- sidenssifunktio. Aritmeettisilla funktioilla δ ja ζ on olemassa vastineensa in- sidenssifunktioiden joukossa, kun määritellään

δ(x, y) =

1, jos x=y, 0 muulloin sekä

ζ(x, y) =

1, jos xy, 0 muulloin.

Kuten todettu, lukuteoriassa symboleilleδ jaζ on vakiintunut merkitys arit- meettisina funktioina. Tarkoitettaessa jompaakumpaa äsken määritellyistä insidenssifunktioista δ tai ζ onkin siksi syytä puhua joukon P funktiosta δ tai ζ.

Struktuuri (F(P),+) muodostaa Abelin ryhmän, jossa neutraalialkiona on nollafunktio f₀ (jolla siis pätee f₀(x, y) = 0 jokaisella (x, y) ∈ P ×P).

Mikäli laskutoimitukseksi otetaan kertolasku, on neutraalialkio selvästi ζ.

Struktuuri (F(P),·)jää kuitenkin Abelin monoidiksi, sillä esimerkiksi nolla- funktiolla ei ole olemassa käänteisalkiota joukossaF(P). Laskutoimituksella

∗ syntyy myöskin monoidi, joka useimmiten ei ole vaihdannainen.

Kahden laskutoimituksen struktuureista tulevat kyseeseen (F(P),+,·) sekä(F(P),+,∗), joista kumpikin on rengas. Nolla-alkiona on kummassakin funktio f₀, ykkösalkiona ensimmäisessä ζ ja jälkimmäisessä δ. Kumpikaan näistä renkaista ei kuitenkaan muodosta kokonaisaluetta tai kuntaa. Rengas (F(P),+,∗) kuitenkin on, ainakin tämän työn kannalta, ominaisuuksiltaan huomattavasti kiinnostavampi, joten jatkossa toisena laskutoimituksena tulee olemaan aina konvoluutio.

Voidaan osoittaa (ks. [12, s. 295]), että joukon P insidenssifunktiolla f on olemassa käänteisalkio konvoluution suhteen, jos ja vain jos f(x, x) 6= 0 jokaisella x ∈ P. Funktio ζ selvästi täyttää tämän ehdon, joten sillä on siis olemassa mainittu käänteisalkio. Tätä funktiota kutsutaan joukonP Möbiuk- sen funktioksi µ. Olemassaolon lisäksi funktiosta µ ei yleisessä tapauksessa voida kuitenkaan sanoa juuri mitään.

Seuraavaksi esitellään (ilman todistuksia) tässä tutkielmassa tarvittavat, meet-matriiseihin liittyvät aputulokset. Niitä varten pitää kuitenkin vielä tehdä muutamia lisäoletuksia sekä selventää joitakin merkintöjä.

Olkoon (P,,∧,ˆ0)paikallisesti äärellinen meet-puolihila, jossa on lisäksi pienin alkio ˆ0. Kyseiselle alkiolle pätee siis ˆ0 x jokaisella x ∈ P. Lisäksi joukon S = {x₁, x₂, . . . , x_n} oletetaan edelleen olevan joukon P äärellinen osajoukko, jossa siis x_i x_j ⇒ i ≤ j. Joukon S sanotaan olevan alhaalta suljettu, mikäli jokainen sellainen alkio y ∈ P, joka edeltää jotain joukon S alkiota, kuuluu aina myöskin joukkoon S. Formaalimmin ilmaistuna joukko S on alhaalta suljettu, mikäli

∀y∈P : ((∃x∈S :yx)⇒y∈S).

Mikäli S ei ole alhaalta suljettu, voidaan se helposti laajentaa sellaiseksi.

Suppeinta sellaista alhaalta suljettua joukkoa, joka sisältää osajoukkonaan joukon S, kutsutaan joukon S virittämäksi järjestysideaaliksi, ja sille käyte- tään merkintää ↓S. Toisin sanoen

↓S ={z ∈P | ∃x∈S, zx}.

Mikäli joukko S on jo valmiiksi alhaalta suljettu, on triviaalisti ↓S =S.

JoukkoSon puolestaan meet-suljettu, mikälix∧y∈Sjokaisellax, y ∈S.

Meet-suljettu joukko on itse asiassa meet-puolihilan (P,∧) meet-alihila. On helppo huomata, että alhaalta suljettu joukko on aina myös meet-suljettu, mutta käänteinen väite ei pidä paikkaansa.

Paikallisesti äärellisessä hilassa mikä tahansa äärellinen joukko voidaan täydentää meet-suljetuksi siten, että myös laajennettu joukko on edelleen äärellinen. Tämä seuraa siitä, että V

S ∈ P ja jokainen tällaisen joukon S meet-sulkeuman alkio kuuluu äärelliseen joukkoon

n

[

i=1

[^ S, x_i].

Pienimmän alkion olemassaolosta joukossaP puolestaan seuraa, että jokaisen äärellisen joukon virittämä järjestysideaali on myös äärellinen joukko. Näin on, sillä selvästi

↓S =

n

[

i=1

[ˆ0, x_i].

Joukko ↓ S on siis äärellisen monen äärellisen joukon unionina äärellinen.

Täten voidaan siis kirjoittaa↓S ={w₁, w₂, . . . , w_m}, missäw_i w_j ⇒i≤j.

Viimeksi mainitusta ehdosta itse asiassa seuraa, että on oltava w1 = ˆ0.

Jokaista funktiota f : P → C kohti on olemassa ainakin yksi joukon P insidenssifunktio g, jolle pätee

g(ˆ0, z) = f(z)

jokaisella z ∈ P (vähänkin epätriviaalimmissa osittaisissa järjestyksissä täl- laisia funktioita on jopa ääretön määrä). Kun kaikkien joukon P insidens- sifunktioiden määrittelyjoukoiksi rajataan joukko {ˆ0} × P ⊂ P ×P, niin saadussa rajoittumafunktioiden joukossa on täsmälleen yksi funktio, joka to- teuttaa em. ehdon. Jokaista funktiota f : P → C saadaan siis vastaamaan yksikäsitteinen rajoittumafunktio, josta käytetään merkintääfd. Täten funk- tio f voidaan samaistaa rajoittuman f_d kanssa, vaikka tarkasti ottaen kyse on isomorfismista kahden funktiojoukon välillä.

Lause 2.9 ([8], Lemma 3.2). Olkoon A= (a_ij) n×m-matriisi, jossa aij =

( q

(f_d∗µ)(ˆ0, w_j), jos w_j x_i,

0 muulloin.

Tällöin (S)f =AA^T.

Huomautus 2.11. Mikäli(f_d∗µ)(ˆ0, w_j)∈Rja(f_d∗µ)(ˆ0, w_j)≥0jokaisella w_j ∈↓ S, on lauseessa 2.9 A ∈ R^n×n ja edelleen huomautuksen 2.4 mat- riisi (S)_f = AA^T on positiivisesti semidefiniitti. Näin voidaan esimerkiksi osoittaa, että tavallinen SYT-matriisi on aina positiivisesti semidefiniitti.

Lause 2.10 ([3], Theorem 12). Olkoon S meet-suljettu joukko sekä olkoot E ja D= diag(d₁, d₂, . . . , d_n) sellaiset n×n-matriisit, joissa

e_ij =

1, jos x_j x_i, 0 muulloin

ja

d_i = X

zx_i zxj,kun j<i

(f_d∗µ)(ˆ0, z).

Tällöin (S)_f =EDE^T.

Edellisessä lauseessa määriteltyä matriisiaEkutsutaan tässä joukonSin- sidenssimatriisiksi. Se sisältää siis kaiken osittaisen järjestyksen(P,)jouk- koa S koskevan informaation. Joukon S alkioiden luettelointijärjestyksellä (joka siis ei yleensä ole yksikäsitteinen) on luonnollisesti suuri merkitys in- sidenssimatriisia muodostettaessa, sillä alkioiden järjestyksen muuttaminen (mikäli näin voidaan tehdä rikkomatta ehtoax_i x_j ⇒i≤j) tuottaa useim- miten eri insidenssimatriisin. Ehdostaxi xj ⇒i≤j kuitenkin seuraa, että jokainen joukolleS mahdollinen insidenssimatriisi on aina alakolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat kaikki ykkösiä.

Matriisista E käytetään siis jatkossa nimitystä insidenssimatriisi siitäkin huolimatta, että graafiteoriassa kyseisellä termillä on varsin erilainen merki- tys. MatriisillaEon kuitenkin tietty yhteys graafiteoriaan. Jos nimittäin jou- kon S alkioista piirretään suunnattu pseudograafi G = (V, E), missä V =S ja x_iEx_j ⇔ x_i x_j, niin matriisi E on graafin G vierusmatriisi (engl. ad- jacency matrix).

Lause 2.11 ([4], Example 1). Olkoon S alhaalta suljettu joukko. Tällöin jokaisella x_i ∈S pätee

f(x_i) = X

zx_i zxj, kun j<i

f(z).

Seuraavaksi käydään läpi duaaliset merkinnät ja tulokset join-matriiseille.

Olkoon (P,,∨,ˆ1) paikallisesti äärellinen join-puolihila, jossa on lisäk- si suurin alkio ˆ1. Tälle alkiolle pätee siis x ˆ1 jokaisella x ∈ P. Joukon S ={x₁, x₂, . . . , x_n} sanotaan olevan ylhäältä suljettu, mikäli jokainen sellai- nen alkio y ∈P, jota edeltää jokin joukonS alkioista, kuuluu aina myöskin joukkoonS. Kvanttoreiden avulla sanottuna joukko S on siis ylhäältä suljet- tu, mikäli

∀y∈P : ((∃x∈S :xy)⇒y∈S).

Joukon S virittämä järjestysfiltteri ↑S määritellään kaavalla

↑S ={z ∈P | ∃x∈S, xz}.

Kyseinen joukko on siis suppein joukon S sisältävä joukon P osajoukko, joka on lisäksi ylhäältä suljettu. JoukkoS on puolestaan join-suljettu, mikäli x∨y ∈ S jokaisella x, y ∈ S. Joukko ↑ S, missä S ⊆ P, on yksi esimerkki join-suljetusta joukosta. Joukon S täydentäminen join-suljetuksi siten, että

se pysyy äärellisenä, on mahdollista samalla periaatteella kuin edellä esitetty meet-suljetuksi täydentäminen.

Aivan kuten järjestysideaalienkin tapauksessa, myös jokainen äärellisen joukon virittämä järjestysfiltteri on aina äärellinen joukko (tämä on seu- rausta suurimman alkion ˆ1 olemassaolosta). Voidaan siis kirjoittaa ↑ S = {w₁, w₂, . . . , w_m}, missä w_i w_j ⇒ i ≤ j (tässä on siis oltava w_m = ˆ1).

Tässä tapauksessa funktio f samaistetaan sruktuurin (P,,∨,ˆ1) sellaisen insidenssifunktion rajoittuman f_u kanssa, jolle on voimassa

f_u(z,ˆ1) = f(z)

jokaisella z ∈P. Funktiota f_u voidaan siis pitää jonkin joukon P insidenssi- funktion rajoittumana joukkoon P × {ˆ1}.

Lause 2.12 ([9], Lemma 4.2). Olkoon A= (a_ij) n×m-matriisi, jossa aij =

( q

(µ∗f_u)(w_j,ˆ1), jos x_i w_j,

0 muulloin.

Tällöin [S]_f =AA^T.

Huomautus 2.12. Samoin kuin lauseen 2.9 tapauksessa myös lauseesta 2.12 seuraa, että kun siinä määritelty matriisi A on reaalinen, niin matriisi [S]_f = AA^T on positiivisesti definiitti. Tätä tietoa ei kuitenkaan sellaise- naan voi soveltaa PYJ-matriiseihin, sillä joukossa Z+ ei ole suurinta alkiota jaollisuusrelaation mielessä.

Seuraava lause 2.13 esitetään poikkeuksellisesti todistuksineen. Tässä muo- dossa tulos mainitaan ensimmäistä kertaa artikkelissa [7], jossa sen todis- tus sivuutetaan. Lauseen voimassaolo voidaan toki perustella samalla taval- la kuin lauseen 2.10 artikkelissa [3]. Yksinkertaisempaa on kuitenkin vedota lauseeseen 2.12, mistä väite seuraa varsin suoraan.

Lause 2.13 ([7], Proposition 2.5). Olkoon S join-suljettu joukko sekä olkoot E ja D = diag(d₁, d₂, . . . , d_n) sellaiset n×n-matriisit, joissa

e_ij =

1, jos x_j x_i, 0 muulloin ja

d_i = X

xiz xjz, kun i<j

(µ∗f_u)(z,ˆ1).

Tällöin [S]_f =E^TDE.

Todistus. Olkoon matriisi A kuten lauseessa 2.12. Tällöin saman lauseen perusteella[S]_f =AA^T, jolloin

([S]_f)_ij = (AA^T)_ij = X

xiz xjz

(µ∗f_u)(z,ˆ1).

Toisaalta

(E^TDE)_ij = X

xix_k xjx_k

d_k.

Pitää siis osoittaa, että kummassakin summalausekkeessa on täsmälleen sa- mat termit. Olkoon nyt z ∈ P sellainen alkio, että x_i z ja x_j z. Pie- nimmän ylärajan määritelmän nojalla nyt x_i ∨x_j z. Koska joukko S on join-suljettu, on oltavaxi∨xj ∈S. Merkitään siisxi∨xj =xp, missäi≤pja j ≤p. Tästä seuraa, että ensimmäisen summan termi (µ∗f_u)(z,ˆ1)on muka- na jälkimmäisessä summassa joko termissä d_p tai jossakin vielä suuremman indeksin omaavassa termissä dq. Jokainen ensimmäisen summan termi on siis mukana myös jälkimmäisessä summassa. Lisäksi alkion d_i määritelmässä esiintyvä ehto ”x_j z, kuni < j” pitää huolen siitä, että termi (µ∗f_u)(z,ˆ1) esiintyy täsmälleen yhdessä termissädk(termi löydetään etsimällä suurin sel- lainen indeksi k, jolle pätee x_i x_k, x_j x_k ja x_k z). Summalausekkeet ovat siis samat, ja väite seuraa.

Lause 2.14 ([9], Lemma 4.5). Olkoon S ylhäältä suljettu joukko. Tällöin jokaisella x_i ∈S on voimassa

f(x_i) = X

xiz xjz, kun i<j

f(z).

Seuraavaksi esitetään kaksi aputulosta, joiden avulla meet- ja join-matriisit voidaan esittää toistensa avulla. Tämä edellyttää kuitenkin tiettyjen lisäole- tusten tekemistä.

Määritelmä 2.16. Olkoon(P,,∧,∨)paikallisesti äärellinen hila ja joukko S ⊆P kuten edellä. Funktion f :P →C sanotaan olevan semimultiplikatii- vinen, mikäli

f(x)f(y) = f(x∨y)f(x∧y) jokaisella x, y ∈P.

Termi ”semimultiplikatiivinen” viittaa lukuteorian semimultiplikatiivisiin ja multiplikatiivisiin funktioihin. Seuraava esimerkki osoittaa, mistä syystä.

Esimerkki 2.10. Olkoonf :Z+→Cmultiplikatiivinen aritmeettinen funk- tio, toisin sanoen f(mn) = f(m)f(n) aina, kun syt(m, n) = 1. Osoitetaan,

että funktiof on myös semimultiplikatiivinen. Olkoot m, n∈Z+ ja kirjoite- taan

m =Y

p∈P

p^ap sekä n =Y

p∈P

p^bp,

missä ap, bp ∈N jokaisella p∈P. Tällöin f(m)f(n) =f Y

p∈P

p^ap

!

f Y

p∈P

p^bp

!

=Y

p∈P

f(p^ap)Y

p∈P

f(p^bp)

=Y

p∈P

f(p^min{ap,bp})Y

p∈P

f(p^max{ap,bp})

=f Y

p∈P

p^min{ap,bp}

!

f Y

p∈P

p^max{ap,bp}

!

=f(syt(m, n))f(pyj(m, n)).

Esimerkki 2.11. Olkoon z ∈C. Tällöin kuvaus (ns. sijoitushomomorfismi) f : Z[X]+ → C, missä f(g) =g(z) jokaisella g ∈Z[X]+, on semimultiplika- tiivinen funktio, sillä tunnetusti

f(g)f(h) =g(z)h(z) = (gh)(z) = [(pyj(g, h))(syt(g, h))](z)

= [(pyj(g, h))(z)][(syt(g, h))(z)] =f(g∨h)f(g∧h).

Lause 2.15 ([9], Lemma 5.2). Olkoon f joukon P sellainen semimultipli- katiivinen funktio, että f(x) 6= 0 jokaisella x ∈ P. Olkoon lisäksi F = diag(f(x₁), . . . , f(x_n)). Tällöin

(S)_f =F[S]¹

fF.

Lause 2.16 ([9], Lemma 5.1). Olkoon f joukon P sellainen semimultipli- katiivinen funktio, että f(x) 6= 0 jokaisella x ∈ P. Olkoon lisäksi F = diag(f(x₁), . . . , f(x_n)). Tällöin

[S]_f =F(S)¹

fF.

Määritellään vielä matriisijoukko K(n) ⊂ {0,1}^n×n ⊂ R^n×n, johon kuu- luvat kaikki sellaiset alakolmiomatriisit, joissa jokainen diagonaalialkio on 1. Toisin sanoen joukkoon K(n) kuuluvat kaikki n alkion kokoisille joukoil- le mahdolliset insidenssimatriisit. Jokainen X ∈ K(n) on myös kääntyvä, sillä detX = 1 6= 0. Samoin detXX^T = 1 6= 0, joten matriisin XX^T ominaisarvot ovat kaikki nollasta eroavia. Lisäksi, koska X on reaalinen, on X^∗ = X^T ja voidaan kirjoittaa XX^T = (X^∗)^∗X^∗. Esimerkin 2.4 nojalla matriisin XX^T kaikki ominaisarvot ovat siis ei-negatiivisia, jolloin lauseen 2.4 nojalla se on positiivisesti semidefiniitti. Ja koska mikään ominaisarvoista