ajustement et incertitude A Méthode des moindres carrés

Mention Physique - L2 - Ann´ ee 2011-2012 Licence de Sciences et Technologies LP223 : Analyse de Donn´ ees et Simulation

Travaux Dirig´ es ( N

3) - Cours - th` eme : ajustement et incertitude

A M´ ethode des moindres carr´ es

A1 La moyenne arithm´ etique revisit´ ee

On a une s´erie de n mesures exp´erimentale (y_i^exp, i = 1, N). L’erreur sur ces mesures est identique et vautσ. On veut d´eterminer la valeur y0 la plus proche de toutes ces mesures exp´erimentales par la m´ethode des moindres carr´es.

1. Donner l’expression duχ²; [Solution :

χ²(y0) =

N

X

i=1

yi−y0

σ 2

= 1 σ²

N

X

i=1

(yi−y0)² (1)

]

2. Donner l’´equation qui d´eterminey0, puis la r´esoudre;

[Solution :

∂χ²

∂y0

(y0= y0^s) = 0⇔ 1 σ²

N

X

i=1

2(yi−y0^s)(−1) = 0 (2)

⇔y^s₀= 1 N

N

X

i=1

yi (3)

]

1

3. Donner l’´equations qui d´etermine l’erreur absolue sury0, puis la r´esoudre;

[Solution : L’erreurσy^s0sur y^s₀est donn´ee par la relation suivante :

χ²(y₀^s+σy0^s) =χ²(y^s₀) + 1 (4) Au voisinage de la solution, on peut g´en´eralement faire une approximation (quadratique) parabolique pour la fonctionχ²(y0), soit :

χ²(y0) =χ²(y^s₀) + (y0−y^s₀)∂χ²

∂y0

(y0= y^s₀) +1

2(y0−y^s₀)²∂²χ²

∂y²₀ (y0= y^s₀) (5)

=χ²(y^s₀) +1

2(y0−y^s₀)²∂²χ²

∂y²₀ (y0= y^s₀) (6)

Donc, pour obtenirσy^s0, il faut r´esoudre l’´equation ci-dessous : χ²(y^s₀) + 1 =χ²(y^s₀+σy^s0) =χ²(y^s₀) +1

2(y^s₀+σy0^s−y^s₀)²∂²χ²

∂y²₀ (y0= y^s₀) (7) d’o`u :

σy^s0=

s 2

∂²χ²

∂y²0(y0= y^s₀) (8)

On a

∂²χ²

∂y²0

(y0) =−2 σ²

N

X

i=1

(−1) =2N

σ² (9)

d’o`u

σy^s0= σ

√N (10)

En conclusion :

y^s0= 1 N

N

X

i=1

yi± σ

√N (11)

On retrouve ici un r´esultat bien connu. L’ajustement d’une fonction constante par la m´ethode des moindres carr´ees sur une s´erie de mesures de mˆeme incertitude (ce qui re- vient `a d´eterminer la constante la plus proche, au sens des moindres carr´ees, sur cette s´erie de mesures) est ´equivalent `a faire la moyenne arithm´etique de cette s´erie de mesures.

L’erreur sur cette quantit´e ´etant ´egale `a l’erreur de mesure divis´ee par la racine du nombre de mesure. ]

A2 Ajustement d’une fonction lin´ eaire passant par l’origine

On a une s´erie de n mesures exp´erimentale ((y^exp_i , x^exp_i ), i= 1, n). L’erreur sur les (y_i^exp) est identique et vautσy=σ, l’erreur sur les (x^expi ) est identique et vautσx≃0 . On veut mod´eliser ces mesures avec la relationy=ax, pour cela on utilise m´ethode des moindres carr´es.

2

1. Donner l’expression duχ²; [Solution :

χ²(a) =

N

X

i=1

yi−axi

σ 2

(12) ]

2. Donner l’´equation qui d´eterminea, puis la r´esoudre;

[Solution :

∂χ²

∂a(a = as) = 0⇔ 1 σ²

N

X

i=1

2(yi−asxi)(−xi) = 0 (13)

⇔as= PN

i=1xiyi

PN

i=1x²_i (14)

]

3. Donner l’´equations qui d´etermine l’erreur absolue sura, puis la r´esoudre;

[Solution : σas=

s 2

∂²χ²

∂a²(a = as) avec ∂²χ²

∂a² (a) =2 σ

N

X

i=1

x²_i (∀a) soit σas= σ q

PN i=1x²_i

(15) En conclusion :

as= PN

i=1xiyi

PN

i=1x²_i ± σ q

PN i=1x²_i

(16)

]

B Calcul d’incertitude

[Solution : la solution de ce probl`eme dans cette partie B est dans le cours ]

1. On mesure deux grandeurs ind´ependantesx0±σx0ety0±σy0. On veut estimer l’erreur ab- solueσz0sur la grandeur nominalez0avecz0=f(x0, y0) dans les cas suivantf(x, y) =ax, f(x, y) =ax+byetf(x, y) =x^ay^b,a6= 0 etb6= 0.

Dans les deux premier cas vous estimerez l’erreur de utilisant la m´ethode classique et la m´ethode statistique puis vous g´en´eraliserez les r´esultats obtenus par la m´ethode statis- tique `a une fonction non lin´eaire (formule statistique de propagation des erreurs).

3

Par la suite vous utiliserez uniquement la m´ethode statistique pour estimer les erreurs;

[Solution :

(a) On consid`ere une grandeuryqui est la somme de 2 grandeursy1ety2:

y=y1+y2 (17)

(b) Le r´esultat des mesures des grandeursyi(i= 1,2) sont des variables al´eatoires dont les densit´es de probabilit´e sont not´eesgi(u), on a :

Proba(Yi∈[ai,bi]) = Zbi

ai

gi(u)du (18)

(c) Si on fait l’hypoth`ese que les densit´es de probabilit´egi(u) sont des gaussiennes de valeur moyenne ¯yiet d’´ecart typeσi, on a dans ce cas :

Proba(Yi∈[ai,bi]) = Zbi

ai

1 σi

√2πexp

(u−y¯i)² 2σi

du (19)

(d) La probabilit´eP(y1, y2, dy1, dy2) pour que la variableY1 appartienne `a l’intervalle

∈[y1, y1+dy1] et que la variableY2appartienne `a l’intervalle∈[y2, y2+dy2] est P(y1, y2, dy1, dy2) =g1(y1)dy1×g2(y2)dy2 (20)

= 1

σ1

√2πexp

(y1−y¯1)² 2σ1

dy1× 1 σ2

√2πexp

(y2−y¯2)² 2σ2

dy2

(21) (e) Le fait que le r´esultat de la mesure de la grandeur yi soit une variable al´eatoire implique que la grandeur y que l’on vaut estimer est une variable al´eatoire. Donc connaitre la grandeur y c’est connaitre la densit´e de probabilit´e de cette variable.

(f) La probabilit´e P(y1, y = y1+y2, dy1, dy) pour que la variableY1 appartienne `a l’intervalle∈[y1, y1+dy1] et que la variableY appartienne `a l’intervalle∈[y, y+dy]

est

P(y1, y, dy1, dy) =g1(y1)dy1×g2(y−y1)dy (22)

= 1

σ1

√2πexp

(y1−¯y1)² 2σ1

dy1× 1 σ2

√2πexp

(y−y1−y¯2)² 2σ2

dy (23) (g) La probabilit´eP(y=y1+y2, dy) pour que la variableY1appartienne `a l’intervalle

∈[y1, y1+dy1] et que la variableY appartienne `a l’intervalle ∈[y, y+dy] est ce quelque soit la valeur prise par la variableY1.

P(y, dy) =dy Z^∞

∞

g1(y1)×g2(y−y1)dy1 (24)

=dy Z^∞

∞

1 σ1

√2πexp

(y1−y¯1)² 2σ1

× 1 σ2

√2πexp

(y−y1−y¯2)² 2σ2

dy1

(25)

= 1

pσ²₁+σ₂²√

2πexp (y−(¯y1+ ¯y2))² 2(σ²₁+σ₂²)

!

dy (26)

4

(h) La densit´e de probabilit´e de la variable al´eatoirey f(y) (P(y, dy) =f(y)dy) est donc une gaussienne dont la valeur moyenne (¯y) est la somme des valeurs moyennes (¯y= ¯y1+ ¯y2) et dont l’´ecart type(σ) qui est l’erreur sur la grandeur y est la racine de la somme quadratique des ´ecarts types (des erreurs de mesures) :

f(y) = 1 σ√

2πexp

(y−y)¯² 2σ

(27)

¯

y= ¯y1+ ¯y2 (28)

σ= q

σ1²+σ2² (29)

(i) On peut g´en´eraliser le r´esultat pr´ecedent `a toute combinaison lin´eaire de grandeurs physiqueyidont l’incertitude de mesure estσi, si :

y=

N

X

i=1

ciyi, (ci: coefficients r´e`els) (30) le carr´e de l’erreur suryest :

σ²=

N

X

i=1

c²_iσ_i² (31)

(j) Si la fonctionf(y1, y2, ...., y) est quelconque, on lin´earise la fonction au voisinage des valeurs exp´erimentales et :

i.

y=f(y1, y2, ...., yN)

≃f(y^ex1 , y2^ex, ...., yN^ex) + (y1−y1^ex)∂f

∂y1

(y^ex1 , .., yN^ex) +....+ (yN−y^ex_N)∂f

∂yn

(y^ex₁ , .., y_N^ex)

(32)

≃f(y^ex1 , y2^ex, ...., yN^ex)−

N

X

i=1

yi^ex

∂f

∂yi

(y^ex1 , .., yN^ex) +

N

X

i=1

yi

∂f

∂yi

(y^ex1 , .., yN^ex) (33) ii. L’incertitude sur la grandeur y est estim´ee dans l’approximation lin´eaire, on a

dans ce cas : σy²=

∂f

∂y1

(y^ex1 , .., y^exN) 2

σ1²+ ∂f

∂y2

(y1^ex, .., y^exN) 2

σ²2

+....+ ∂f

∂yn

(y^ex1 , .., y^exN) 2

σN²

(34)

=

N

X

i=1

∂f

∂yi

(y^ex1 , .., y^exN) 2

σi² (35)

(a) Dans le cas de la propagation classique des erreurs on a i.

σz=

∂z

∂x

|∆x|=|a|σx (36)

5

ii.

σz=

∂z

∂x |∆x|+

∂z

∂y

|∆y|=|a|σx+|b|σy (37) (b) Dans le cas de la propagation statistique des erreurs on a

i.

σz=|a|σx (38)

ii.

σz=q

a²σ²x+b²σ²y (39) iii.

σz=|z0| s

a²σx

x 2

+b² σy

y 2

(40)

]

2. Donner l’incertitude absolue σI sur l’intensit´eI = A/r² en fonction des incertitudes absoluesσAetσr;

[Solution :

σI=I r

σA

A 2

+ 4σr

r 2

(41) ]

3. 0n fait deux mesures ind´ependante de la longueurld’une tigea±σaetb±σb. Quelle est la longueur nominale ainsi que l’incertitude sur celle-ci si on utilise la moyenne arithm´etique ? Mˆeme question si on utilise la moyenne pond´er´ee par les erreurs ? [Solution :

larit.=a+b

2 ±

pσ²_a+σ²_b

2 (42)

lpond.=σ_b²a+σa²b

σ_a²+σ²_b ± σaσb

pσ²a+σ²_b (43) ]

4. La valeur moyenne du nombre de photons d´etect´es pendant le tempsT vautN. Quelle est la valeur moyenne du nombrende photons d´etect´es par unit´e de temps ainsi que son erreur ?. Donner aussi l’erreur relative.

6

[Solution : n=N

T (44)

σ²_n= ∂n

∂N 2

σ_N² + ∂n

∂T 2

σ²_T, avec σN=√

N et σT= 0 (45) σn=

√N T ,

σn

n = 1

√N

(46) n=N

T ±

√N

T (47)

]

note : on aR∞

−∞exp −¹2(Au²+Bv²+ 2Cuv) dv=q

2π Bexp

−2σ^u22u

avec σ²u = _AB^B−C² (A > 0, B > 0 et AB > C²) (pour le d´emontrer vous completez le carr´e :Bv²+ 2Cuv=B v+^Cu_B2

−^CB²u²) Rep: σz=|a|σx,σz=p

a²σx²+b²σ²yσz=|z0| r

a^{2 σ}_x^x2

+b²_σ

y y

2

7

.

8