Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV
§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.
Etant donné deux vecteurs~v1,~v2, par exemple
1 0 2
et
2 3 1
, ainsi
que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s~v1+t~v2. Par exemple
2
1 0 2
+(−1)
2 3 1
= (facile...).
Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV
§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.
Etant donné deux vecteurs~v1,~v2, par exemple
1 0 2
et
2 3 1
, ainsi
que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s~v1+t~v2. Par exemple
2
1 0 2
+(−1)
2 3 1
= (facile...).
Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur~b, par exemple
8 9 7
, est-il une combinaison linéaire de~v1 et~v2?
Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV
§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.
Etant donné deux vecteurs~v1,~v2, par exemple
1 0 2
et
2 3 1
, ainsi
que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leur combinaison linéaire s~v1+t~v2. Par exemple
2
1 0 2
+(−1)
2 3 1
= (facile...).
Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur~b, par exemple
8 9 7
, est-il une combinaison linéaire de~v1 et~v2? Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,t pour tenter de retrouver~bavec s~v1+t~v2.
Est-ce la bonne méthode ?
Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur~b, par exemple
8 9 7
, est-il une combinaison linéaire de~v1 et~v2? Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,t pour tenter de retrouver~bavec s~v1+t~v2.
Est-ce la bonne méthode ?
Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur~b, par exemple
8 9 7
, est-il une combinaison linéaire de~v1 et~v2? Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficients s,t pour tenter de retrouver~bavec s~v1+t~v2.
Est-ce la bonne méthode ? NON, il y a trop (une infinité) de coefficients à tester.
La bonne méthode est de : poser des coefficients comme des inconnues, et traduire la question en :
Est-ce que le système x~v1+y~v2=~b admet une solution ? Dans notre exemple concret, la question devient :
Est-ce que le système x
1 0 2
+y
2 3 1
=
8 9 7
admet une solution ?
Est-ce que le système x
1 0 2
+y
2 3 1
=
8 9 7
admet une solution ? On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient
x =2,y =3.
Est-ce que le système x
1 0 2
+y
2 3 1
=
8 9 7
admet une solution ? On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient
x =2,y =3.
Ainsi, la réponse de la question initiale est :
Est-ce que le système x
1 0 2
+y
2 3 1
=
8 9 7
admet une solution ? On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient
x =2,y =3.
Ainsi, la réponse de la question initiale est : oui,
8 9 7
s’exprime bien en combinaison linéaire de
1 0 2
et
2 3 1
,
en effet
8 9 7
=2
1 0 2
+3
2 3 1
.
Question similaire : En dimension 4, le vecteur~e4 est-il une combinaison linéaire de~e1,~e2 et~e3?
Justifier votre réponse.
Est-ce que le système x
1 0 2
+y
2 3 1
=
8 9 7
admet une solution ? On est donc ramené à résoudre ce système. On obtient
x =2,y =3.
Ainsi, la réponse de la question initiale est : oui,
8 9 7
s’exprime bien en combinaison linéaire de
1 0 2
et
2 3 1
,
en effet
8 9 7
=2
1 0 2
+3
2 3 1
.
Question similaire : En dimension 4, le vecteur~e4 est-il une combinaison linéaire de~e1,~e2 et~e3?
Justifier votre réponse.
Non. Car le systèmex~e1+y~e2+z~e3=~e4 n’a pas de solution.
§2. Sous espace vectoriel engendré
L’équation x −y −2z =0 a pour solutionx =y +2z, oùy,z peuvent prendre n’importe quelles valeurs réelles. Sous forme vectorielle, l’ensemble des solutions s’écrit
S =n
y +2z
y z
,y,z ∈R o
=n y
1 1 0
+z
2 0 1
,y,z ∈R o
=n a
1 1 0
+b
2 0 1
,a,b∈Ro
(on a remplacé y,z par a,b)
=n
toutes les combinaisons linéaires de
1 1 0
et
2 0 1
o
nouvelle notation
= h
1 1 0
,
2 0 1
i
=n a
1 1 0
+b
2 0 1
,a,b ∈Ro
(on a remplacé y,z par a,b)
=n
toutes les combinaisons linéaires de
1 1 0
et
2 0 1
o
nouvelle notation
= h
1 1 0
,
2 0 1
i
Définition et Notation. On utiliseh~v1,· · · , ~vmi pour désigner l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des~vi, ou bien, en écriture ensembliste :h~v1,· · · , ~vmi={P
kak~vk,ak ∈R}= {a1~v1+a2~v2+· · ·+am~vm |a1,· · · ,am∈R}.On appelle cet ensemble le sous espace vectoriel engendré(SEV) par les vecteurs~v1,· · ·, ~vm.
=n a
1 1 0
+b
2 0 1
,a,b ∈Ro
(on a remplacé y,z par a,b)
=n
toutes les combinaisons linéaires de
1 1 0
et
2 0 1
o
nouvelle notation
= h
1 1 0
,
2 0 1
i
Définition et Notation. On utiliseh~v1,· · · , ~vmi pour désigner l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des~vi, ou bien, en écriture ensembliste :h~v1,· · · , ~vmi={P
kak~vk,ak ∈R}= {a1~v1+a2~v2+· · ·+am~vm |a1,· · · ,am∈R}.On appelle cet ensemble le sous espace vectoriel engendré(SEV) par les vecteurs~v1,· · ·, ~vm.
Ainsi, demander si~b est une combinaison linéaire des~vi revient à demander si~b est un élément de l’ensemble h~v1,· · ·, ~vmi, revient à demander si un système (lequel ?) admet une solution (ou plus).
§3. Réduction suivant les colonnes
On peut résoudre un système A~x=~b encinq étapes suivantes : 1. On formela matrice compagnon verticale
A Id
. 2. On l’échelonne suivant les colonnespour obtenir
B H
.
Exemple : Résoudre
1 −1 1
1 0 2
1 1 3
x y z
=
1 2 3
.
1 −1 1
1 0 2
1 1 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
C2 C2+C1
−→
C3 C3−C1
1 0 0
1 1
1 2
1 1 −1
0 1 0
0 0 1
C3 C3−C2
−→
1 0 0
1 1 0
1 2 0
1 1 −2
0 1 −1
0 0 1
Alors B =??,H =??,~b=??
3. On résout B~u=~b. 4. Onmultiplie la solution~u parH pour obtenir H~u. C’est la solution ! 5.Vérification finale.
————————————————
Dans notre exemple B =
1 0 0 1 1 0
1 2 0
,H =
1 1 −2 0 1 −1
0 0 1
et
~b=
1 2 3
.
3. On résout B~u=~b. 4. Onmultiplie la solution~u parH pour obtenir H~u. C’est la solution ! 5.Vérification finale.
————————————————
Dans notre exemple B =
1 0 0 1 1 0
1 2 0
,H =
1 1 −2 0 1 −1
0 0 1
et
~b=
1 2 3
.
Soit~u un nouveau vecteur inconnu en dimension 3 qu’on donne un nom à chaque entrée, par exemple
~ u=
u v w
.
3. On résout B~u=~b. 4. Onmultiplie la solution~u parH pour obtenir H~u. C’est la solution ! 5.Vérification finale.
————————————————
Dans notre exemple B =
1 0 0 1 1 0
1 2 0
,H =
1 1 −2 0 1 −1
0 0 1
et
~b=
1 2 3
.
Soit~u un nouveau vecteur inconnu en dimension 3 qu’on donne un nom à chaque entrée, par exemple
~ u=
u v w
.
3. On résout B~u=~bet on trouve~u=
3. On résout B~u=~b. 4. Onmultiplie la solution~u parH pour obtenir H~u. C’est la solution ! 5.Vérification finale.
————————————————
Dans notre exemple B =
1 0 0 1 1 0
1 2 0
,H =
1 1 −2 0 1 −1
0 0 1
et
~b=
1 2 3
.
Soit~u un nouveau vecteur inconnu en dimension 3 qu’on donne un nom à chaque entrée, par exemple
~ u=
u v w
.
3. On résout B~u=~bet on trouve~u=
1 1 w
, avec w pouvant prendre n’importe quelle valeur.
4.Multiplication par H :H~u=
2−2w
1−w w
. Ou bien, sous forme
vectorielle :n
2 1 0
+w
−2
−1 1
,w ∈R
osous forme
SEV=
2 1 0
+h
−2
−1 1
i.
5. Vérification.
Théorème de réduction suivant les colonnes.
Etant donné une matrice A(non nécessairement carrée), lorsqu’on réduit la matrice compagnon verticale
A Id
à une matrice B
H
par des opérations des colonnes, 1. la matriceH est carrée etinversible,
Théorème de réduction suivant les colonnes.
Etant donné une matrice A(non nécessairement carrée), lorsqu’on réduit la matrice compagnon verticale
A Id
à une matrice B
H
par des opérations des colonnes, 1. la matriceH est carrée etinversible, 2. la matriceB n’est rien d’autre que AH,
Théorème de réduction suivant les colonnes.
Etant donné une matrice A(non nécessairement carrée), lorsqu’on réduit la matrice compagnon verticale
A Id
à une matrice B
H
par des opérations des colonnes, 1. la matriceH est carrée etinversible, 2. la matriceB n’est rien d’autre que AH,
3. l’ensemble {~x,A~x=~b}est égale à {H~u,B~u=~b},
Théorème de réduction suivant les colonnes.
Etant donné une matrice A(non nécessairement carrée), lorsqu’on réduit la matrice compagnon verticale
A Id
à une matrice B
H
par des opérations des colonnes, 1. la matriceH est carrée etinversible, 2. la matriceB n’est rien d’autre que AH,
3. l’ensemble {~x,A~x=~b}est égale à {H~u,B~u=~b}, 4. la matriceA est inversible ssi
A Id
se réduit à Id
H
, et dans ce cas H =A−1,
Théorème de réduction suivant les colonnes.
Etant donné une matrice A(non nécessairement carrée), lorsqu’on réduit la matrice compagnon verticale
A Id
à une matrice B
H
par des opérations des colonnes, 1. la matriceH est carrée etinversible, 2. la matriceB n’est rien d’autre que AH,
3. l’ensemble {~x,A~x=~b}est égale à {H~u,B~u=~b}, 4. la matriceA est inversible ssi
A Id
se réduit à Id
H
, et dans ce cas H =A−1,
5. Un vecteur~best dans le SEV engendré par les vecteurs colonnes de Assi A~x=~b admet une solution (ou plus), ssi le nouveau système avec des nouvelles inconnues B~u=~b admet une solution (ou plus). et bien plus d’autres propriétés...
Preuve du théorème
Chaque opération élémentaire suivant les colonnes correspond à multiplier la matrice à droite par une matrice (dite élémentaire) E qui est inversible. Ainsi la suite de réduction se lit
A Id
AE1
E1
AE1E2
E1E2
· · · AE1E2· · ·Em
E1E2· · ·Em
= AH
H
. Ceci montre que si
A Id
se réduit à B
H
, alors B=AH etH est toujours inversible.
De plus, si B =id alors AH =Id, doncH =A−1, et B~u=~b⇒(AH)~u=~b⇒A(H~u) =~b⇒ H~u est solution de A~x=~b.
Réciproquement, si~x est une solution deA~x=~b, alors, par l’invisibilité de H, on peut former~u=H−1~x. Ainsi
B~u=B(H−1~x) =AHH−1~x=A~x=~b.