HAL Id: tel-00005825
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fortement correles
Serge Florens
To cite this version:
Serge Florens. Coherence et localisation dans les systemes d’electrons fortement correles. Matière
Condensée [cond-mat]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. Français. �tel-00005825�
LABORATOIRE DE PHYSIQUE TH
EORIQUE
DE L'
ECOLE NORMALE SUP
ERIEURE
TH
ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSIT
E PARIS6
Speialite : PHYSIQUE TH
EORIQUE
presentee par
Serge FLORENS
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSIT
E PARIS 6
Sujet :
COH
ERENCE ETLOCALISATIONDANS LES SYST
EMES
D'
ELECTRONS FORTEMENT CORR
EL
ES
Soutenue le 17 juin 2003 devantle jury ompose de :
Mr. Denis FEINBERG (Rapporteur)
Mr. Antoine GEORGES (Direteur)
Mr. Franiso GUINEA (Rapporteur)
Mr. Denis J
EROME
Mme. Claire LHUILLIER (Presidente)
Mr. Gilles MONTAMBAUX
C'est un reel plaisir de debuter ette these par des remeriements, ar ette entreprise
longue et diÆile ne peut se faire tout seul. Traditionnellement, on remerie le direteur de
these poursonenadrement etsesqualites de herheur, les ollegues pourl'ouverture sur des
sujets nouveaux,le personnel du laboratoire pourl'aide logistique, et lafamille et lesamispour
le soutien moral et la vie non-sientique. Je pense avoir eu la hane rare de trouver hez
Antoine Georges un direteur de these qui aete pour moi tout ela a la fois. Pour donner un
exemple,notredernier semestrede reherheaSantaBarbara(organisedeAaZparsessoins)
a ete aussi passionnant sientiquement qu'agreable au quotidien. Ave le reul, je voudrais
surtout remerier Antoine pour m'avoir enourage ave patiene et ompetene pendant es
quatre annees.
Le ontenu dematheseaetefortementinuenepard'autresherheurs. Jeremerieainsi
sinerement Olivier Parollet, mon predeesseur et passeur de temoin, dont les odes C++
m'ont permis de me laner dans de nombreux projets. Le ontat ave des experimentateurs
aete une soure d'enseignements inegalee. Je remerie don Patrie Limelette pour sesbelles
experienes et les nombreuses interations que nous avons eues, ainsi que Maro Grioni et
Lua Perfettipouruneollaborationeletroniqueadouble titre.Jesuisreonnaissant auxdeux
postdosdugroupe pouravoirpartageavemoiplusqueleurinter^etpourlaphysique :unebelle
musiqueaveRahulSiddharthan etunebellemaisonaveSilke Biermann.J'aipartiulierement
appreie lesnombreusesrenontresaveGabrielKotliar,quisembletoujoursavoiruneideedans
sonsa.Auours du\workshop"aSantaBarbara,j'ai purenontrerTheoCosti,PaoGuinea,
Pablo San Jose, Sergei Pankovet PingSun; elaaeteun vraiplaisir de travailler aveeux.Du
ote d'Orsay, je remerie Bernard Amadon, Karol Borejsza, Lua de' Medii, Niolas Dupuis
et Thierry Giamarhipour de nombreuses disussions.
Je voudrais aussi remerier les membres du jury, Denis Jerome, Claire Lhuillier et Gilles
Montambaux, en exprimantunereonnaissane partiuliereenvers DenisFeinberg et Franiso
Guinea, qui ont aepte la lourde t^ahe d'^etre rapporteurs.
Dans le petit lub des franophiles aliforniens, je remerie Chitra, Marelo Rozenberg,
Andre-Marie Tremblay et Kay Wiese. Le groupe de travail ENS/Orsay/Salay (anime entre
autres parBenoit Douot,PierreLe Doussal, Roderih Moessner, EdmondOrigna,Catherine
Pepin) aete l'oasion de s'interesser a d'autres problemes. Je n'oublie pas bien s^ur de saluer
l'equipe tres zende laD13 (Giulio Biroli, Pasal Chauve,Gregory Shehr,Guilhem Semerjian
et Christophe Deroulers), ainsi que les thesards du plateau d'Orsay.
Je remerie nalement la diretion du LPT-ENS et du LPS d'Orsay pour leur aueil dans
les meilleures onditions de travail, en partiulier Mihelle Leliepvre, Marelle Martin, Niole
Ribet et Christiane Seguy pour leur aide preieuse et toujours dans la bonne humeur.
Bien entendu, rien n'aurait ete possible sans les meilleurs remedes de ma famille et belle-
famille (soleil, musique, petits plats), et sans les quelques irredutibles qui ont tente de me
faire penser a autre hose que laphysique (Eugenie en t^ete).
Avant-propos 11
Partie I: Transition de Mott dans les materiaux orreles 15
1 Fermions orreles: materiaux, modeles et tehniques 17
1.1 Materiaux a fortes orrelations . . . 17
1.1.1 Generalites . . . 17
1.1.2 Un phenomene generique aux materiauxorreles: la transition de Mott 18 1.1.3 Signatures desorrelations fortes dans l'etat metallique . . . 22
1.2 Modelisation des materiaux orreles . . . 26
1.2.1 Modeles de basseenergie . . . 26
1.2.2 Ehe desapprohes traditionnelles pour la transition de Mott . . . 27
1.3 Theorie de hamp moyen dynamique . . . 28
1.3.1 Methodologie . . . 28
1.3.2 La transition de Mott en hamp moyen dynamique . . . 30
1.3.3 Quelques questions d'atualite . . . 33
2 Materiaux orreles: omparaison theorie/experiene 37 2.1 Transport dans -BEDT-TTF . . . 37
2.1.1 Presentation experimentale . . . 37
2.1.2 Calul de la resistivite en DMFT . . . 43
2.1.3 Nouveau diagramme de phase . . . 47
2.2 Transition de Mott en surfae de TaSe 2 : photoemission . . . 48
2.2.1 Presentation de l'experiene . . . 48
2.2.2 Lien avela theorie . . . 53
2.3 Conlusion . . . 55
Artile 1 59
Artile 2 65
Partie II: Methode de rotateurs eslaves et appliation a la transition
de Mott 71
3 Les rotateurs: generalites et modeles d'impuretes quantiques 73
3.1 Degeneresene orbitale et orrelations . . . 73
3.1.1 Motivation physique . . . 73
3.1.2 Probleme etudie . . . 74
3.1.3 Approhes numeriques du probleme . . . 74
3.1.4 Theorie de perturbation . . . 75
3.1.5 Bosons eslaves: U= 1 . . . 75
3.1.6 Bosons eslaves a U ni? . . . 77
3.2 Introdution au rotateur eslave . . . 79
3.3 Rotateur ondense a basseenergie: eet Kondo . . . 80
3.4 Rotateur dynamique:equations integrales a haute energie . . . 83
3.4.1 Limite multi-anal et equations integrales . . . 83
3.4.2 Origine de l'eet Kondo . . . 86
3.5 Conlusion . . . 87
4 Transition de Mott: approhe de rotateurs eslaves 91 4.1 Une image simple de la transition de Mott: rotateurs ondenses . . . 91
4.1.1 Equations de hamp moyen . . . 91
4.1.2 La transition de Mott. . . 92
4.1.3 Etude numerique desequations de hamp moyen . . . 95
4.1.4 Conlusion partielle . . . 96
4.2 Rotateurs dynamiques et DMFT . . . 98
4.2.1 Resolution desequations DMFT . . . 98
4.2.2 Etude de ladegeneresene orbitale . . . 101
4.2.3 Conlusion partielle . . . 102
4.3 Resultats exatssur la transition metal-isolanta grande degeneresene orbitale103 4.3.1 Methode projetive multi-orbitale . . . 103
4.3.2 Solution expliite a grand N . . . 105
4.4 Conlusion . . . 108
Artile 3 111 Artile 4 129 5 Eets des utuations spatiales et de l'erantage sur la transition de Mott 145 5.1 Senario pour la transition de Motten dimension nie . . . 145
5.1.1 Motivation . . . 145
5.1.2 Modele de Hubbard a trois dimensions: rotateurs eslaves . . . 146
5.1.3 Disussion . . . 152
5.2 Eet de l'erantage sur la transition metal-isolant . . . 154
5.2.1 Introdution . . . 154
5.2.2 EDMFT: presentation . . . 155
5.2.3 Limite atomique dynamique . . . 156
5.2.4 Traitement en rotateur eslave . . . 157
5.2.5 Erantage et transition de Mott . . . 159
5.2.6 Perspetives . . . 161
Partie III:Correlationseletroniques dans les strutures mesosopiques 165 6 Ciruits a un eletron: realisations et theorie 167 6.1 Lespoints quantiques . . . 167
6.1.1 Realisation experimentale . . . 167
6.1.2 Desription theorique . . . 171
6.2 Les^les metalliques . . . 174
6.2.1 Realisation . . . 174
6.2.2 Etude theorique . . . 175
7 Competition entre bloage de Coulomb et ohereneeletronique 183 7.1 Approhe theorique uniee pour les strutures a un eletron . . . 183
7.1.1 ^ Ile metallique: bloage de Coulomb . . . 184
7.1.2 Point quantique: bloage de Coulomb et eet Kondo . . . 185
7.2 Regimesintermediaires de ondution dans les points quantiques . . . 188
7.2.1 Eets de l'espaement desniveaux . . . 189
7.2.2 Crossover inverse . . . 191
7.3 Conlusion . . . 194
Artile 5 197 Partie IV: Flutuations magnetiques dans les systemes de fermions orreles 213 8 Flutuations magnetiques 215 8.1 Transition de phase quantique dans les fermions lourds . . . 215
8.1.1 Presentation des resultats experimentauxet interpretation theorique . . 215
8.1.2 Corretions logarithmiques dans la theorie d'Hertz-Millis d =z =2 . . 218
8.1.3 Faiblesses de l'approhe EDMFT pour les phenomenes ritiques . . . . 218
8.1.4 Quelques remarques nales . . . 220
8.2 Au dela destheories loales: appliation au magnetisme frustre . . . 221
8.2.1 Systeme de spinssur le reseau Kagome . . . 221
8.2.2 Approhe de luster-EDMFT . . . 224
8.2.3 Disussion ritique . . . 226
Artile 6 229
Artile 7 243
Appendies: 249
A Notations et formules utiles 251
A.1 Representation spetrale . . . 251
A.2 Densites d'etat diverses . . . 253
B Autour de la limite atomique 255
C Resolution numerique des equations integrales 259
C.1 Sur l'axeimaginaire . . . 259
C.2 Methode de alul desfontions spetrales . . . 261
D Quantites a deux partiules ave la methode de rotateur 263
E EDMFT: formulations fontionnelles 267
E.1 Premiere formulation . . . 267
E.2 Seonde formulation . . . 270
Liste de publiations: 273
Le bouillonnementintelletuelqui agitelesujetdesfermionsfortementorreles tientproba-
blementtantalarihesseetalaomplexitedesphenomenesobservesdansesmateriaux,qu'a
larapidite avelaquellede nouveauxomposes interessantssontsynthetises.Lessupraondu-
teurs a haute temperature ritique, deouverts il y a une quinzaine d'annees, attirent enore
une ativite experimentale et theorique importante, mais, gr^ae aux progres reents dans les
methodes de lithographie, un eort roissant va aussi dans l'etude de strutures \artiielles"
de taille mesosopique omme les points quantiques, dans lesquelles les eets d'interations
eletroniques sontaussi importants. Ces exemples \phares" ne doivent bienentendu pas mas-
quer la grande diversite des es materiaux, et l'on pourrait tout aussi bien iter les omposes
a fermionslourds ouamagnetoresistane olossale, les onduteurs organiques, les nanotubes
de arbone, et m^eme les ondensats de Bose (bient^ot de Fermi?) dans des pieges lumineux
periodiques.
Pour le theoriien, es divers systemes experimentaux presentent un de. D'une part, il
s'agit de omprendre quels phenomenes fondamentaux gouvernent le omportement olletif
des eletrons dans es materiaux (qui n'est pas forement tres intuitif, si l'on pense a l'eet
Hallquantique frationnaire), et quelles exitations vontdominerla physique de basseenergie.
Par et aspet des hoses, la oneption de modeles et leur etude par des methodes de phy-
sique theorique(allant de latheorie des hampsaux simulations numeriques)restent un travail
essentiel. D'autre part, fae a la myriade d'eets observes dans es sytemes, a la variete des
phasesen ompetition etaladiversite desehelles d'energie en jeu,ettet^aheest enpratique
extr^emementardue. Onpeut biens^urespereridentier unpointxe simplepouromprendre le
omportementdebassetemperaturedansteloutelompose,maisenrealitelesregimesuniver-
sels sontsouvent repousses dans une region limitee du diagrame de phase,a destemperatures
inferieures a l'energie de Fermi (renormalisee) ouahes sousles phases ordonnees.On aalors
besoin de methodes plus sophistiquees pour derire les \rossovers" qui prennent plae dans
les onditions experimentales.
Ilest aussibonde souligner queedomaineest atuellementdansuneperiode de transition
oul'on voit le rapprohement destehniques atuelles de probleme aN orps (qui onstituent
l'etat de l'art dans le traitement des interations entre eletrons dans les solides) ave des
aluls ab-initio de struture eletronique (qui ont l'ambition, en partant de l'equation de
Shrodinger, de traiter toutes les ehelles d'energie). Mis a part la naissane de nouveaux
aronymesbarbarestels \LDA+DMFT(QMC)",eioreunenouvelle voiede developpement
des aluls realistes pourles materiaux orreles. Ce domainede reherhe entraine par ailleurs
unemotivation supplementaire pourmettre aupointdestehniquesplussimplesande traiter
les orrelations eletroniques.
Cependant,laomplexitedesmodelesdefermionsorreles estengeneral tres grande,etles
methodes exates envisageables pourresoudre es modelesse trouvent^etre eÆaes dans des
ontextestreslimites(solution analytique deertainsmodelesunidimensionnels) ouontdumal
afranhir labarrierethermodynamique (alulsnumeriques).Ilestsouventplusaisede reourir
a desapproximations ontr^olees par un petit parametre, ommel'inverse du nombre de degres
de liberte orbital, de la taille du spin, ou de la dimension (methodes grand N, grand S, grand
d). Des methodes de e type ont ete developpees et etudiees au ours de ette these, ave
l'idee de omprendre mieux les proprietes fondamentales des systemes de fermions orreles,
mais aussi pour developper des tehniques qui pourront ^etre utiles en pratique. Parallelement,
des aluls ont ete menes en relationave des experienes reentes menees sur essystemes.
Cettetheseestonstruite autourde deuxthemesdistints,possedant toutefoisdesaspets
physiques et methodologiques ommuns: les orrelations fortes dans les solides et l'inuene
des interations eletroniques dans les strutures mesosopiques. Chaque theme est aborde
par un hapitre introdutif qui ouvre les generalites a la fois experimentales et theoriques du
sujet (hapitres 1 et 6). Tous les autres hapitres sont dedies a mes travaux de reherhe,
inluant si neessaire une motivation plus detaillee des problemes qui ont ete onsideres. La
plupart du temps, les details tehniques sont reportes a la leture des artiles de reherhe
(ompiles a la n de haque hapitre) et des appendies, sauf en e qui onerne les travaux
non enore publies, qui sontpresentes dans le orps de lathese. L'organisation du manusript
est la suivante :
Le hapitre 1 est une introdution generale aux systemes de fermions orreles, ave
l'emphasesur le phenomenede latransition metal-isolant(deMott) dueauxorrelations
eletroniques. Cei permettra de presenter les phenomenes de base observes dans es
materiaux, et de donner la presentation d'une approhe theorique possible, la theorie de
hamp moyen dynamique 1
.
Le hapitre 2 illustre des aluls entrepris dans le but de omprendre le r^ole des inter-
ations entre eletrons dans les solides, gr^ae a une omparaison direte a deux etudes
experimentalesreentes sur essystemes.Lapremierede es experienes, realiseeparP.
Limelette a Orsay, onstitue une etude detaillee du transport de harge dans des om-
poses organiques bidimensionels. La omparaison ave les preditions de la theorie de
hamp moyen dynamique aete beneque autant pour interpreter es donnees, que pour
erner les limites de la modelisation que nous avons eetuee. La seonde experiene,
menee par L. Perfetti et M. Grioni a Lausanne, propose une etude par photoemission
de la transition de Mott en surfae d'un ehantillon de TaSe
2
et demontre, en aord
avenosalulstheoriques, laforte redistribution de poidsspetraldans ladensited'etat
eletronique qui est assoieeae phenomene.
Le hapitre 3 presente une idee qui est au oeur de la partie theorique de ettethese :
la representation de la hargeeletronique par unevariable olletive de phase (rotateur
eslave), qui permet un traitement non-perturbatif de l'interation oulombienne. Pour
illustrer l'utilite et la simpliite de ette approhe, on s'interessera ii a des problemes
d'impurete quantique, qui interviennent dans la formulation moderne de la theorie de
1
\DynamialMean-FieldTheory",quel'onabregerasouventenDMFT.
plusieurs reprises par la suite.
Lehapitre4estl'appliationdelamethodederotateureslaveal'etudedelatransition
de Mott dans le adre du hamp moyen dynamique. La question de la degeneresene
orbitale sera examinee la plus en detail, ave une omparaison de nos resultats a une
nouvelle limite de N grand ainsi qu'a des aluls numeriques. On s'eorera par ailleurs
de donner une image physique simple de la transition de Mott gr^ae a es nouvelles
variablesde rotateurs.
Le hapitre 5 est l'oasion de mettre en oeuvre l'idee de rotateurs, testee dans les
hapitrespreedents,envuedeleverertaineslimitationsinherentesalatheoriedehamp
moyen dynamique (dans sa formulation la plus simple). On analysera ainsi des eets
physiques dusa laonnetivite nie du reseau, an de mieux omprendre les singularites
assoiees a la limite de grande dimension. La tehnique de rotateur trouvera aussi une
appliation naturelleala solution de modelespossedant une interation Coulombiennea
plus longue portee, dans un shema dit \Extended DMFT". Cette derniere approhe a
onduit a une etude la question de l'erantage pres de la transition de Mott.
Le hapitre 6 onstitue l'introdution au seond theme, et aborde des aspets lies
aux orrelations dans les strutures mesosopiques. Ave la presentation de quelques
realisations experimentales simples, il est detaille les phenomenes physiques de base ex-
hibes par es systemes : le bloage de Coulomb et l'eet Kondo, renontres dans un
ontexte dierent au ours des hapitres preedents.
Le hapitre 7 est onsare a l'utilisation de la methode de rotateurs eslaves appliquee
auxpointsquantiques.Laquestionphysiquequenousavonsexamineeestlarestorationde
laoherene abassetemperaturedans etypedestruture, ainsiquedans desmateriaux
marosopiques granulaires. Nous montrerons que la theorie presentee ii permet une
approhe generale des eets d'interation dans les strutures a un eletron.
Le hapitre 8 est un peu deonnete des travaux preedents et onerne des questions
de magnetisme. Il omprend une introdution au probleme du point ritique quantique
dans les omposes de fermions lourds, pourlequel nous avonsetudie en detail l'approhe
de utuations de spins. La seonde partie de e hapitre presente une tentative pour
appliquer la theorie de hamp moyen dynamique a des systemesde spins frustres, gr^ae
a un shema de \luster-DMFT".
Transition de Mott dans les materiaux orreles
et tehniques
Ce hapitre propose une introdution generale aux systemes de fermions orreles,
presentant ertains resultats experimentaux marquants, ainsi que la theorie de
hamp moyen dynamique. L'aent sera mis ii sur les eets des orrelations
eletroniques dans la phase normale ave l'exemple de la transition de Mott, qui
sera omnipresente tout au long de ette these. Il faut noter que d'autres themes
etudies neseront introduitsqueplustard,ommeles sytemesmesosopiques (ha-
pitre6)oulemagnetismequantique(hapitre8).Lehapitre2seraaussil'oasion
d'examiner un peuplus en detail deux materiauxorreles : le onduteur organique
bidimensionnel -(BEDT-TTF)
2
Cu[N(CN)
2
℄Cl et le dihalogene TaSe
2
(en sur-
fae).
1.1 Materiaux a fortes orrelations
1.1.1 Generalites
Pour ommener, il est bon de denir e que l'on entend par \systemes de fermions for-
tement orreles", en se posant tout d'abord la question au niveau experimental. On peut
par exemple remarquer que deux metaux 1
, l'aluminium et l'oxyde La
1:8 Sr
0:2 CuO
4
, presentent
des proprietes physiques remarquablement dierentes. Le premier montre en eet un etat
metallique et une phase supraondutrie a tres basse temperature qui se omprennent dans
une image d'eletrons quasi-libres (formalisee par le duo des theories BCS et du liquide de
Fermi). Dans le seond, la fore des interations entre eletrons et la bidimensionalite des
plans Cu-O sontresponsables de proprietes anormales dans la phase metallique (e.g. en trans-
port),ave l'emergene d'unordre supraonduteur a destemperatures assezelevees(environ
40K). Ces anomalies nous poussent a lasser e ompose parmi les materiaux orreles. Cet
exemple extr^eme ne doit pas aher le fait qu'une multitude de materiauxafortes orrelations
possedent un etatmetallique aux proprietes tres analogues a elles de metaux simplesomme
Al, en poussant ependant l'image du liquide de Fermi dans ses retranhements. C'est le as
desomposesdefermionslourdsommeUPt
3
,et,ommeonleverraen detailplusbas,deer-
tainsoxydesde metauxde transitions.Onpeut dejaiter lesomposes V
2 O
3 etSr
1 x La
x TiO
3 ,
qui presentent d'importants eets de renormalisation dus aux interations, sans violer drama-
tiquement le liquide de Fermi [1℄.
1
On arateriselametalliited'unmateriauparuneresistiviteroissanteavelatemperature.
1.1.2 Un phenomene generique aux materiaux orreles : la transition de
Mott
On peut tout d'abord s'interroger sur l'origine des fortes interations presentes dans es
materiaux,en soulignant toutefoisl'importanede fateurs purement geometriques, omme la
basse dimensionalite ou la frustration magnetique. Qualitativement, la position dans la table
periodique deselements metalliques qui omposent les materiaux orreles preedemment ites
nousdonne unepremierepiste.Ilsonttousenommunlapresene d'orbitales 3d, 4f ou5f qui
donnent lieu dans le solide a des bandes etroites, partiellement remplies et prohes du niveau
de Fermi. Des lors, la question se pose de faon plus quantitative, puisque les valeurs de la
largeurde bandeet de l'interation Coulombienne dependent fortement de lastruture preise
de haque ompose. Unfateur important est par exemple l'erantage de l'interation dans la
bande de ondution par les bandes de valene voisines. Dans le as des oxydes, les atomes
metalliques de la struture realisent une hybridation ave les oxygenes voisins, qui reduit en
general la largeur de bande, augmentant ainsi l'eet relatif des orrelations. De tels eets
menent a don alterer fortement a la fois la valeur de l'interation de Coulomb 2
et l'energie
inetique des eletrons. Notons W ette derniere, U l'interation erantee sur l'orbitale d,
et l'energie de transfert de harge entre l'orbitale d et l'orbitale p voisine, dans l'exemple
d'un oxyde de metal de transition. On onstate qu'on peut se trouver alors dans dierents
regimes. Lorsque U W, les eletrons se loalisent sur l'orbitale d poureviter de payer
l'energie de Coulomb et on a un etat isolant (de Mott). Une autre possibilite, qui appara^t si
U W, est de bloquer les eletrons sur le site de l'oxygene; 'est alors un isolant a
transfert de harge 3
. La destrution de es deux types d'etats isolants, qui se produit lorsque
W &U ou,onduit, a traversune transition de Mottisolant-metal,a laformationd'unetat
metallique dans lequel les eets des interations restent importants [2℄. L'exemple anonique
illustrant ette transition ontrolee par la fore des interations est donne par l'oxyde V
2 O
3
(gure 1.1),maisononstatequedesdizainesde omposes dierentsexhibent ephenomene,
ommeparexemplele onduteurorganique-(BEDT-TTF)
2
Cu[N(CN)
2
℄Cl(voirgure1.2et
hapitre2).Latransition deMottestdonuniversellementpresente danslessystemesorreles.
Unaspetimportant de ettephysique onerne lapossibilite d'aorder de maniere onti-
nuelalargeurdebandesur unm^emeompose,and'examinerlatransitionde Mottdemaniere
progressive (plut^ot qu'une simple lassiation des materiauxentre metal et isolant de Mott).
En pratique,pourdessystemesisolantsprohes de latransition,l'appliation d'unepression de
quelques kbars peut suÆre a augmenter le reouvrement des orbitales de manierea retrouver
un aratere metallique (ommepresente aux gures suivantes). Une autre faon d'arriver au
m^eme eet est d'utiliser des substitutions himiques deformant la struture ristalline (voir le
paragraphe suivant).
2
Depuis desenergies atomiques (olossales) a desvaleurs erantees qui restent non negligeables devant la
largeurdebande.
3
On parle souvent de faon generique d'isolant de Mott an de dierentier un etat isolant a ause des
interationsaveun isolantdetypeAnderson (induitparledesordre),ouaveles isolantsmagnetiques.
PSfrag replaements
Pression (bar)
Temperature (K)
Antiferro
Supra
Isolant
Metal
Fig. 1.1 { Diagramme de phase de l'oxyde de metalde transition V
2 O
3
, d'apres [3℄.
40
30
20
10
0
600 400
200 0
PSfrag replaements
Pression (bar)
Temperature(K)
Antiferro
Supra Isolant
Metal
Fig. 1.2 { Diagramme de phase du onduteur organique -(BEDT-TTF)
2
Cu[N(CN)
2
℄Cl,
d'apres des mesures de RMN [4℄.
La struture perovskite : une autre faon d'etudier la transition de Mott
La transition de Mott peut aussi ^etre atteinte en modiant le remplissage de la bande d,
puisque l'isolant de Mott est instable vis a vis du dopage. Cei peut se realiser en pratique
par substitution himique progressive d'un atome de la struture ave un atome de valene
dierente,quijoueler^oledereservoirdeharge.OnpeutiterleasduomposeSr
1 x La
x TiO
3 ,
qui fait partie d'une serie bien onnue d'oxydes ternaires de la ouhe 3d, illustree par le
diagramme de Fujimori (Fig. 1.3). Cette grande lasse d'oxydes tridimensionnels de struture
perovskite (voir gure 1.4) demontre par ailleurs tres lairement la generalite du phenomene
en question ii.
Fig.1.3{ Classiationmetal-isolantenfontiondelavalene(axehorizontal)etde lalargeur
de bande(vertialement)pourdesoxydes demetauxde transition delaouhe3d, d'apres [5℄.
Les lignes en traits gras sont elles suivies par un ompose du type A
x A'
1 x BO
3
en fontion
de la omposition himique x.
On remarque de plus que lorsque deux atomes de m^eme valene 4
sont ehanges, on
dispose de la possibilite de varier ontinuement lalargeur de bande a remplissage onstant (si
l'un desdeux atomesest plus gros, il produitune distorsion du reseau suÆsante pour modier
legerement le reouvrement des orbitales voisines des atomes metalliques de type B). C'est
par exemple le as de Ca
1 x Sr
x VO
3
, qui reste malgre tout un metal pour toute valeur de x
(ave deseets des orrelations assezimportants en surfae [6,7℄). Cet eet de modiation
4
Lesatomesentrauxdelastrutureperovskitenepartiipentpasalaondution,etservent uniquementde
reservoirdeharge.
de lalargeur de bande joue aussi dans le as ou l'on hange le remplissage de labande, e qui
omplique l'analysedesdonnees(lediagramme1.3trouve alors tout soninter^et pourvisualiser
qualitativement les hangements produits).
Fig. 1.4 { Struture perovskite du ompose tridimensionnel SrTiO
3
(vue globale du reseau et
ellule elementaire).
Bien s^ur, il ne s'agit pas de negliger le r^ole du magnetisme dans es systemes. D'une part
parequ'on peut transiter diretement de l'etatmetallique vers un isolant magnetique (transi-
tion deMott-Heisenberg), par lapresene de momentsloauxdans lemetalquisonttoutpr^ets
a s'ordonner a basse temperature. Le type d'ordre magnetique ainsi obtenu (le plus souvent
antiferromagnetique) depend fortement de la struture du materiau onsidere. D'autre part
pare que le magnetisme a des eets tres importants, m^eme dans la phase normale (utua-
tions magnetiques pres des phases ordonnees). Finalement, les interations diverses dans le
seteur de spin (super-ehange, interation de Hund), la basse dimensionalite et la frustration
de ertainsomposes sontsoure de ompliations supplementaires. On se ontentera de dire
que la omplexite du probleme de la supraondutivite a haute temperature est intimement
liee a l'ensemble de esquestions, puisque la phase supraondutrie des uprates emerge par
dopage d'un isolant de Mott bidimensionnel antiferromagnetique.
1.1.3 Signatures des orrelations fortes dans l'etat metallique
Nous allons maintenant entrer un peu plus dans le detail de es materiaux partiuliers,
en ommenant par examiner les diverses proprietes anormales qui se manifestent dans leur
phase metallique (paramagnetique). Nous nous onentrerons prinipalement sur le ompose
Sr
1 x La
x TiO
3
,ar denombreuxmesuresexperimentalesontetemeneessurem^emesysteme,
e qui permet une araterisation quasi-exhaustive de la physique qui nous interesse ii (rap-
pelons qu'il s'agit d'un ompose ou la transition de Mott se produit par dopage et non par
modiation de la largeur de bande).
Renormalisation de la masse eetive
Selonlatheorie duliquidede Fermi,les exitationselementairesdans unmetalpeuvent^etre
deritesomme des quasipartiules ave desparametres renormalises et de faibles interations
residuelles (m^eme si le probleme a N orps qui est en jeu reste formidablement omplexe).
Ainsi la loalisation progressive des eletrons au voisinage de la transition de Mott (du ^ote
metallique) se manifeste par un aroissement de la masse eetive, que l'on peut mettre
en evidene experimentalement par l'augmentation du oeÆient de la haleur speique a
basse temperature C
V
=T, omme illustre a la gure 1.5 sur le ompose Sr
1 x La
x TiO
3 5
.
Fig. 1.5 { CoeÆient du terme lineaire de lahaleur speique et suseptibilite magnetique
en fontion du dopage dans Sr
1 x La
x TiO
3 .
A droite, fateur de Wilson ( 2
k 2
B
)=(3 2
B ).
D'apres [8℄.
Cetteguremontreaussil'augmentationanaloguedelasuseptibilitedespin(independante
de latemperature), etpermet de traer le fateurde Wilson =(normalisepar3 2
B
=(
2
k 2
B )).
5
CeteetaetepredittheoriquementdanslestravauxpionniersdeBrinkmanetRie.Nousyreviendronsau
hapitre4.
Celui-i reste stable autour de la valeur 2, malgre la \divergene" simultanee de et pour
x 1.Ceiindiquel'absene de utuationsmagnetiquesalatransition deMott(desmesures
plusreentesatresfaibledopageontependantmisenevideneunephaseantiferromagnetique
qui n'est pas signalee ii [9℄).
Transport modie
A trois dimensions, et en l'absene de utuations ritiques pres d'une phase ordonnee
ou d'un point ritique quantique, un metal possede une resistivite quadratique (T) =
0 +
AT 2
a basse temperature (liquide de Fermi). Le oeÆient A peut aussi presenter de fortes
renormalisations dues aux interations, en partiulier a proximite de la transition de Mott,
ou il reete la redution du temps de vie des quasipartiules. Cei est lairement montre sur
les mesures de transport dans Sr
1 x La
x TiO
3
pour x prohe de 1 (gure 1.6). Ces donnees
onordentavel'entreeorrespondante dansle diagrammede Fujimori, gure1.3,ouLaTiO
3
apparait bien omme un isolant au bord de la transition de Mott.
Fig. 1.6 { Resistivite [8℄dans Sr
1 x La
x TiO
3
en fontion de T 2
et pour dierents dopages.
Faibleehelle de oherene
Dansleregimeorrele,ons'attendaequel'energiedeoherene
F
soitaussirenormalisee
par les interations. Cette ehelle d'energie peut ^etre araterisee par une temperature de
Fermi eetive, T
=
F
=k
B
, en dessous de laquelle la theorie de Landau desliquides de Fermi
s'applique. Cet eet est toutafait visible dans les donnees de transportpar unedeviationa la
loi du T 2
pour des temperatures superieures a T
(P) (gure 1.6). Ce hangement a bien une
nature eletronique, ommel'indique la deroissane rapidede T
al'approhe de la transition
de Mott.
Regime de \mauvais metal"
Quand la temperature depasse la temperature de oherene T
, il persiste en general un
regimede \mauvais metal" danslequel laresistivite ontinueaaugmenteravelatemperature
(leplussouventdefaonlineaire).Iln'estependant paspossiblede parler ladequasipartiules
ave un temps de vie anormal, ar le libre parours moyen ` que l'on extrait d'une formule de
Drude et de la valeur de la resistivite dans e regime est alors inferieure aux distanes inter-
atomiques, k
F
` . 1 (k
F
est le veteur d'onde de Fermi). Ce regime est don assoie a des
resistivites superieures a la limite de Mott:
3D
= 3
2 1
k 2
F
` h
e 2
&
3
2 1
k
F h
e 2
Mott
3D
(1.1)
Transfert de poids spetral
La disparition progressive des quasipartiules a la transition de Mott doit se manifester de
faon dramatique dans les quantites dependantes de la frequene. Cei est observe dans des
mesures de ondutivite optique sur le ompose quenous avonsexamine toutau longde ette
setion, Sr
1 x La
x TiO
3
.Onassisteainsi,lorsquex serapprohe de1,aladisparitionprogressive
du pi de Drudea bassefrequene, qui s'aompagne d'uneredistribution importantede poids
spetral, omme illustre sur la gure 1.7.
Fig. 1.7 { Condutivite optique [10℄ en fontion du dopage dans Sr
Æ La
1 Æ TiO
3
(Æ =1 x).
Cet eet a ete aussi mis en evidene par mesure de la fontion spetrale eletronique en
photoemission (ARPES) sur V
2 O
3
et Ca
1 x Sr
x VO
3
[6,7℄, malgre une longue ontroverse a
e sujet, ainsi que sur la surfae du ompose TaSe
2
, que l'on etudiera a la setion 2.2. Il
n'existe malheureusement pas a l'heure atuelle de mesure direte de la densite d'etats loale
par mirosopie a eet tunnel, qui pourrait merveilleusement illustrer la transition de Mott.
Violation du liquide de Fermi
DesdeviationsimportantesauomportementLiquidedeFermisontobserveesdanslaphase
normale de nombreux materiaux : oxydes omme La
1 x Sr
x VO
3
[11℄, omposes de fermions
lourds pres d'un point ritique quantique (voir le hapitre 8.1),et bien s^ur uprates superon-
duteurs. La proximite de utuations magnetiques importantes (sur lesquelles les eletrons
diusent) est souvent avanee pour expliquer etype d'anomalies.
1.2 Modelisation des materiaux orreles
Cette setion debute la desription theorique des systemes de fermions orreles, en intro-
duisant les modeles pertinents pour etudier le phenomene de latransition de Mott.
1.2.1 Modeles de basse energie
L'idee de base est bien entendu de se ramener a la modelisation la plus simple possible,
tout en gardant les degres de liberte essentiels pour la desription des phenomenes auxquels
on s'interesse. Les ehelles d'energies eletroniques etant en general olossales par rapport
a la temperature (superieures a l'eletron-Volt, don au moins 12000 K), on se permet de
negliger les orbitales loalisees au oeur des atomes, ou formant des bandes dans le solide qui
se trouvent loin du niveau de Fermi. Il ne faut ependant pas oublier que es \details" sont
importants dans lamesureouils onduisenta desrenormalisations desparametresintervenant
dans un modele de plus basse energie (par erantage de l'interation Coulombienne ou par
deformation des bandes de ondution). La struture ristalline est le plus generalement tiree
des experienesde rayonsX, maisl'on peut atuellementpredire aveplus oumoins de sues
la stabilite relativeentre dierentes strutures possibles du reseau.
Onpeut alorserireun modelepourleseletrons dans desorbitales de Wannierprohes des
atomes,qui possedeunepartieliaisonforteetunepartied'interation entreeletrons,ouplant
sites (i), orbitales () et spins (),sous la forme suivante (en seonde quantiation) :
H =
X
ij t
ij d
y
i d
j +
X
ij 0
V
; 0
ij d
y
i d
i d
y
j 0
d
j
0 (1.2)
Ladeterminationdesparametresdebasseenergieintervenantdansuntelmodeleestenfaitune
question extr^emement tehnique. En eet, on ne peut pas se ontenter d'estimer la matrie
d'interation V
; 0
ij
par un alul d'elements de matrie des orbitales de Wannier, puisque
l'erantageparlesbandesquel'onanegligepeutreduireettevaleurdemaniereimportante.La
question del'evaluationdesparametresdebandeetd'interation neessitedondestehniques
ab-initio assez sophistiquees donton ne parlera pas ii [12℄.
Modele de Hubbard
Onpeut simplier davantage l'Hamiltonien (1.2)dans leas ou ilne se trouve qu'une seule
bande prohe du niveaude Fermi (par exemple lorsquela degeneresene orbitale est leveepar
les hamps ristallins ou les deformations du reseau). En negligeant la partie a longue portee
de l'interation Coulombienne, exponentiellement deroissante dans un metal, on arrive alors
au modele de Hubbard, qui ontient les ingredients de base pour derire les proprietes des
systemesd'eletrons orreles :
H =
X
ij t
ij d
y
i d
j +U
X
i d
y
i"
d
i"
d y
i#
d
i#
: (1.3)
Le fait quel'erantagese degradeprogressivement al'approhe delatransition de Mott,mene
a questionner lavalidite du modelede Hubbard pour ladesription de ette transition [13,14℄
(voir setion 5.2). Il faut aussi dire que la degeneresene orbitale joue un r^ole important
dans de nombreuxomposes aun niveauquantitatif (voir setion 4),mais peut onduire aussi
a des eets tout a fait interessants [15℄ (brisure de symetrie orbitale, possibilite de liquide
d'orbitales...).
1.2.2
Ehe des approhes traditionnelles pour la transition de Mott
La omplexite du modele de Hubbard (1.3), a l'allure pourtant extr^emement simple, est
de plusieurs ordres. Tout d'abord a ause de la multitude de phase ordonnees possibles (en
fontion de l'interation, du dopage et de ladimensionalite). Ensuite, pare que le regime qui
nous interesse pluspartiulierement ii (transition de Mott) est diÆilement aessible par les
tehniquesstandards.On peutremarqueraussi quele grandnombre de degres deliberte enjeu
etlanature fermioniqueduproblemeposeen generaldeslimitesimportantespourlesmethodes
numeriques (voir ependant [16℄).
Methodes pertubatives
Les approhes analytiques du modele de Hubbard supposent en general qu'il est legitime
de traiter l'un des deux termes dans (1.3) en theorie de perturbation. Cela ore deux voies
omplementairespour aborderle probleme, qui onteu dessues importantspour omprendre
la nature des regimes se trouvant de part et d'autre de la transition de Mott. On peut par
exemple iter la theorie phenomenologique des liquides de Fermi (valide a ouplage faible),
et la derivation de theories eetives omme le modele de Heisenberg (pour U t). Ces
approhes essent malheureusement d'^etre valides dans le regime de ouplage intermediaire,
et sont don sans utilite pour derire la transition de Mott, qui se produit pour des valeurs de
l'interation omparablesa l'energie inetique deseletrons.
Autres approhes: limites ontrolees
Dans la mesure ou il n'y a pas de petit parametre evident pour traiter e probleme 6
, il a
ete developpe diverses extensions au modelede Hubbard (ou de ses derives, ommele modele
t-J) qui permettent d'obtenir une solution non perturbative. Ce sont les limites de grande
degeneresene et de grande dimension. La premiere approhe etantassez ariaturale (on en
reparlera au ours du hapitre 4), je vais presenter maintenant la limite d =1, ainsi que ses
sues reents onernant latransition de Mott.
6
Les methodesexates(ansatz deBethe)ou detheoriedeshamps (bosonisation)sont engenerallimitees
auas unidimensionel,dontlaphysiqueestdeplustrespartiuliere.
1.3 Theorie de hamp moyen dynamique
1.3.1 Methodologie
Legainessentiel apporte parlalimitedegrandedimension estde s'aranhirdesproblemes
lies alalimitethermodynamique,en mettantl'aentsur unedesription loalede laphysique.
L'ideede base est de deriver unetheorie eetive pour le mouvementdeseletrons sur un site
xedureseau,enesperantqueettedynamiqueresterasuÆsamentsimple.Le faitquelalimite
\grand d" permette ette simpliation peut se omprendre en theorie de perturbation : on
peutvoirquelesontributionsalaself-energiesontpurementloalesdanslalimited !1[17℄.
Pour progresser, il aete ruial de onstruire une theorie eetive qui derit la dynamique
loale des eletrons [18,19℄. Pour ela, on peut partir du modele de Hubbard, et integrer
expliitement tous les sites du reseau sauf un site donne 7
. Considerons ainsi le alul de la
BAIN
Fig. 1.8 { Cavite reee dans le reseau en eliminant un site donne, et transformation vers un
probleme eetif a un site.
fontion de partition ( est le potentiel himique) :
Z =
Z
Dd Dd y
e S
(1.4)
S =
Z
0 d
X
i d
y
i (
)d
i
X
ij t
ij d
y
i d
j +U
X
i d
y
i"
d
i"
d y
i#
d
i#
(1.5)
eterivonsl'ationeetive loalequi derit le omportement deseletrons ausite donne (par
exemple i =0) :
S
lo
=
Z
0 d
X
d
y
(
)d
+Ud
y
"
d
"
d y
# d
# +S
e
(1.6)
S
e
=
X
+1n=1
X
i
1 j
1 :::i
n j
n G
(0)
i
1 j
1 :::i
n j
n (
1
0
1 :::
p
0
p )
Y
np=1
Z
0 d
p
Z
0 d
0
p t
ip0 t
jp0 d
y
(
p )d
(
0
p
) (1.7)
en notant d y
= d y
i=0;
le fermion au site de la avite et G (0)
la fontion de Green onnexe
a 2n-points, alulee dans le reseau ave le site i = 0 en moins. Si l'on prend maintenant la
7
C'estlamethodedelaavitebienonnueenphysiquestatistique,gure1.8.
limite d !1 ave le hoix judiieux t
ij /d
jji jjj=2
, on peut se onvainre que le n ieme
terme
apparaissant dans (1.7) est d'ordre d 1 n
, et que l'ation eetive est purement quadratique
(mis a part le terme d'interation loal originellement present dans (1.6)). Il n'est pas diÆile
d'evaluer ensuite la fontion de Green a deux points en avite G (0)
ij
(
0
), e qui permet
d'arriver au resultat nal :
S
lo
=
Z
0 d
X
d
y
(
)d
+Ud
y
"
d
"
d y
# d
# +
Z
0 d
Z
0 d
0
(
0
)
X
d
y
()d
(
0
) (1.8)
G
d (i!
n )
d
(i!
n )d
y
(i!
n )
j
S
lo
=
X
k
1
G 1
d (i!
n
)+(i!
n
)
k
(1.9)
ou
k
est la transformee de Fourier de t
ij
. La premiere de es equation orrespond don a
l'ation eetive du probleme loal, dontle dernier terme signale quel'eletron peut quitter a
toutinstant()lesite i =0 poursepromenerdanslerestedureseau, etreveniraupointinitial
aun instantulterieur ( 0
).Ceiimposed'introduireunefontion d'hybridation () quijoue le
r^ole d'un hamp de Weiss pour eprobleme et qui est determineede faon autooherente par
l'equation(1.9).Cettederniere s'interprete enremarquantquel'onpeutdeniruneself-energie
d (i!
n
) pour l'ation eetive (1.8)par :
G
d (i!
n )
1
i!
n
(i!
n
)
d (i!
n )
(1.10)
Commeonlenotesurl'equation(1.9)ensubstituantl'expression preedente, etteself-energie
du probleme eetif est aussi la self-energie du probleme omplet sur le reseau (qui est don
bien independante de k); ela permet de reerire l'equation d'autooherene de maniere plus
physique :
G
d (i!
n )=
X
k
1
i!
n
k
d (i!
n )
(1.11)
Nousremarquonsparailleurs quel'ationeetive(1.8)estelled'unmodeled'impurete quan-
tique d'Anderson, introduit initialement pour derire la formation des moments magnetiques
dans les metaux et les anomalies de transport qui y sont observees (eet Kondo).
A propos de la limite d =1
Onpeutd'abords'interrogersurlaformepriseparleparametredesautt
ij /d
jji jjj=2
.Celle-
i permet de trouver une energie inetique par partiule d'ordre 1 quand d tend vers l'inni
(ette preuve est donnee a l'appendie A.2). En utilisant e hoix, l'interation de Coulomb
et l'energie inetique restent omparables et peuvent entrer en ompetition de maniere non
triviale. De plus, le fait de resoudre un modele de maniere exate dans une limite ontrolee
(m^eme si un peu formelle) permet d'obtenir unetheorie oherente thermodynamiquement.
1.3.2 La transition de Mott en hamp moyen dynamique
Argumentsqualitatifs
On peut remarquer que par onstrution lalimite de grande dimension derit orretement
le as sans interation (U =0) et lalimite atomique (t =0)du modelede Hubbard.Elle ore
don l'opportunite d'etudier la physique des problemes de fermions orreles dans le regime de
ouplage intermediaire, ou l'on s'attend a unetransition de phase metal-isolant.
La presene d'une phase metallique a ouplage faible (U D, ou D est la demi-largeur
de bande) est garantie par la forme m^eme de l'ation eetive (1.8) : on sait que le modele
d'Anderson est assoie a la prodution d'une resonane Kondo pres du niveau de Fermi [20℄,
qui orrespond don a la formation de quasipartiules metalliques dans le langage du modele
de Hubbard. L'autooherene (1.9) joue ependant un r^ole important dans le sens ou le bain
d'eletron()reetediretementlastruturedelafontiondeGreen physique.Enpartiulier,
dans le as d'une densite d'etats semiirulaire de demi-largeur D =2t (reseau de Bethe), on
a simplement :
() =t 2
G
d
() (1.12)
L'equation d'autooherene est ultimement responsable de la transition de Mott, puisque le
modele d'Anderson ave un bain xe est regulier pour toute valeur de U : 'est la redution
simultanee de la largeur de bandedes quasipartiules dans G
d
et qui onduit ala disparition
de la phase metallique a U D.
Diagramme de phase
Le diagramme de phase obtenu en resolvant 8
les equations DMFT (1.8-1.9) montre en
eet l'existened'unetransition metal-isolant,duseond ordreatemperaturenulle[21,22℄(on
notera epointritiquepar U
2
'3D).La situationatemperaturenie est plusomplexe,ar
la zone de transition s'etenda basse temperature en une region de oexistene entre metal et
isolant(delimiteeparleslignesenpointillesU
1
(T)etU
2
(T)surlagure1.9 9
),oulatransition
est du premierordre[23,24℄(ligneontinue sur lam^emegure).Cette regionse termine enun
autrepointritiqueduseondordre(U
'2D),pourunetemperatureT
'D=40.Touteette
zone peut se omprendre qualitativement par une analogie ave la transition liquide gaz [25℄
10
, qui est resumee au tableau suivant :
Transition Liquide-Gaz Transition de Mott
Pression hydrostatique Largeur de bande (D)
Temperature Temperature
Densite molaire Double oupation
Liquide Metal
Gaz Isolant
8
Dierentesmethodes,analytiques (theoriede perturbation,bosons eslaves,equations integrales, methode
projetive)etnumeriques(MonteCarloQuantique,diagonalisationexate,groupederenormalisationnumerique)
sont envisageables.Voirlasetion2.1.2etle hapitre4.
9
Pour T <T
, la phase metallique persiste tant que U <U
2
(T), tandis que laphase isolante existe pour
U
1
(T)<U.
10
Cetteremarqueaeteformalisee[26℄enanalysantl'energielibreDMFTauvoisinagedelatransitionaT
.
PSfrag replaements T
T
U U
2 U
2 (T)
U
1 (T) Metal
Metal
(Liquide de Fermi)
Isolant
de Mott Mauvais
Semi-
Conduteur
Fig. 1.9 { Diagramme de phase paramagnetique (shematique) des dierents regimes autour
de la transition de Mott. Les lignes pointillees entourent la region de oexistene. La ligne
de transition du premier ordre est donnee par le trait ontinu qui joint les deux deux points
ritiques disutes dans le texte. Lesrossovers sont designes par les lignes epaisses grisees.
La phase dense orrespond don au metal, qui possede une plus grande densite de double
oupations que l'isolant de Mott. Cette analogie devient par ontre quantitative a proximite
du point ritique terminal, ou le omportement ritique est derit par une transition ontinue
dans lalasse d'universalite du modeled'Ising (en hamp moyen). On peut en eet erire une
equation d'etat, analogue a l'equation de Van der Waals (ou Ising sous hamp magnetique) :
h(D;T)=r(D;T)+ 3
(1.13)
ou est un parametred'ordre, relie a la plupart des quantites physiques : double oupation,
mais aussi ondutivite ou densite d'etat au niveau de Fermi. Les ourbes de ondutivite,
dans laregion autour du pointritique terminal,illustrentde faontres parlante etteanalogie
(gure 1.10).
Un autre aspet important de la transition de Mott a temperature nie onerne le pas-
sage de l'etat metallique (dans le sens d'une resistivite roissante en temperature) vers l'etat
isolant lorsqu'on se trouve au-dessus du point ritique terminal. Ce hangement d'etatse fait
de maniere indirete, par des rossovers intermediaires assoies a des regimes de transport
dierents, indiques a lagure 1.9. On remarquera ainsi a la gure 1.11 un regime de ondu-
tion metallique ave des resistivites plus grandes que la limite de Mott (mauvais metal). Voir
la setion 2.1.2 pour plus de details.
0.995 1 0
1 2 3 4 5
PSfrag replaements
=
D=D
Fig. 1.10 { Condutivite (D;T) en fontion de la largeur de bande D, a proximite du point
ritique (D
;T
) indique par le point noir; dierentes temperatures ont ete prises (T . T
en haut a gauhe, et T & T
en bas a droite). Calul DMFT par la methode IPT (voir
setion 2.1.2).
0 0.05 0.1 0.15 0.2
0.01 1 100 10000
PSfrag replaements
T
(T)=
Mott
Fig.1.11{CalulDMFT(IPT)delaresistivite(T)danslemodeledeHubbardparlamethode
IPT (remarquer l'ehelle logarithmique). Une large gammede valeurs de l'interation U a ete
hoisie, ave la ourbe en gras prise dans le regime U
1
< U <U
2
, pour illustrer le aratere
premier ordre de la transition de Mott.
1.3.3 Quelques questions d'atualite
Proprietes ritiques de la transition de Mott
L'etude experimentale de l'aspet liquide-gaz de la transition de Mott dans les systemes
de fermions orreles neessite une etude tres ne du transport au voisinage du point ritique
terminal. L'utilisation d'une tehnique preise de balayage en pression par P. Limelette dans
le groupe de D. Jerome a Orsay a permis une premiere investigation de ette question sur
les onduteurs organiques bidimensionels (voir Artile-1), puis sur V
2 O
3
. Dans e dernier
ompose, on observe une onrmation remarquable des preditions de la theorie de hamp
moyendynamique:latransition deMottsemble^etreunetransition d'Ising(atroisdimensions),
avedeslois d'ehelle ompatiblesaveettelassed'universalite. Notonsqueettetehnique
a ete aussi utilisee pour faire l'etude en transport des rossovers mentionnes au paragraphe
preedent (voir setion 2.1).
Nousremarquonsnalementquel'etudeexperimentaledelatransitiondeMottatemperature
nulleestunequestion diÆile,aausedelapresene de phasesordonneesabassetemperature.
Nous disuterons des aspets theoriques de ette transition dans le adre de DMFT dans le
hapitre 4 (voir aussi la setion 5.1).
Question du ouplage au reseau
Laquestionduouplagedesfermionsauxvibrationselastiquesdureseauestunautreaspet
important de la transition de Mott. En eet, dans la plupart desomposes (ommeV
2 O
3 ), la
transition metal-isolant s'aompagne d'un hangement abrupt de la maille (en general sans
modiationstruturale).Bienqu'onpuisse argumenterdanslesensoppose, ilsembleprobable
que et eet soit d^u a la proximite d'une singularite des proprietes eletroniques. Toutefois, il
est onevable que l'instabilite du reseau puisse preempter la transition de Mott proprement
dite, selon un argument de H. Krishnamurthy [27℄. Cette idee pourrait en partiulier expliquer
larelativemollesse du regime ritique pourles omposes organiques, qui sonthautement om-
pressibles et dans lesquels la reponse du reseau aux instabilites eletroniques doit ^etre grande.
Questions relatives a la loalite de DMFT
Denombreux eetsphysiquesne sontpas prisen omptedans laformulationlaplussimple
de DMFT (omme les renormalisations de la surfae de Fermi). Il semble ependant que la
loalite de la self-energie soit approximativement veriee dans des omposes tridimensionels
ommeCa
1 x Sr
x VO
3
,ommel'indique laomparaisondesmesuresdephotoemissionadesal-
ulsdestrutureeletronique.Ils'agitd'unebonneindiationpourl'appliabilite delatheoriede
hamp moyen dynamique dans l'etude (qualitative et peut-^etre quantitative) de es systemes.
En deux dimensions, les utuationnon loalessontplusimportantes. On peut ependant
estimer que l'approhe de hamp moyen dynamique est valable pour derire les regimes loin
des phases ordonnees. De plus, le formalisme peut ^etre etendu pour prendre en ompte une
partiedesorrelationsde ourte distane: methodesExtended-DMFT [28{ 30℄(setion 8.1.3)
et Cluster-DMFT [31℄ (setion 8.2).
Vers un aord quantitatif?
Malgre ertaines limitations disutees plus haut, la theorie de hamp moyen dynamique
ore un adre simplie pour aborder l'etude des materiaux orreles. En eet, les prinipales
ehelles d'energiesenjeu(t;U;J;
F
)sontinorporeesnaturellement,etdesgeneralisationssont
possibles pour reintroduire ertains eets manquants, omme les utuations magnetiques.
Deplus,DMFTorel'opportunitedemarierlestehniquesmodernesdeproblemeaNorps
ave des methodes de aluls \realistes", pour etudier plus preisement les sytemes orreles.
En eet, les methodes ab-initio omme la LDA, basees sur une image d'eletrons libres, ne
sont pas satifaisantes pour aborder es materiaux 11
. Dans un futur prohe, on peut esperer
obtenir une omprehension systematique des materiaux a fortes orrelations gr^ae a e type
d'approhes hybrides (qui sonta l'heure atuelle en stade de developpement [32,33℄).
11
Onpeutendeduireunedenitionpratiqued'unmateriauorrele:un systeme pourlequelles preditionsde
laLDAsontgrossierementfausses(parexemple,les isolantsdeMottsontpreditsmetalliquesparlaLDA).
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.theorie/experiene
La theorie de hamp moyen dynamique, presentee au hapitre preedent, est une
voie simple pour etudier les problemes de fermions orreles, qui donne lieu a de
nombreuses preditions onernant latransition de Mott. Nousallons ii omparer
des aluls de transport en DMFT au voisinage de la transition de Mott ave
une etude experimentale menee en parallele par P. Limelette (LPS-Orsay) sur le
onduteurorganique-(BEDT-TTF)
2
Cu[N(CN)
2
℄Cl 1
.Defaoninteressante, es
resultats experimentaux nous ont pousse a ameliorer grandement la maniere de
aluler les resistivites en DMFT. La seonde partie de e hapitre onerne la
mise en evidene plus direte des hangements qui se produisent a la transition
de Mott. Elle se base essentiellement sur des mesures de photoemission (ARPES)
realisees a Lausanne sur le ompose TaSe
2
, dont la surfae est le jeu d'important
eets eletroniques reveles par ette experiene. Une omparaison des donnees
experimentales a lafontion spetrale alulee en DMFT sera eetuee 2
.
2.1 Transport dans -BEDT-TTF
2.1.1 Presentation experimentale
Aussi surprenant que ela puisse para^tre a premiere vue, les materiaux organiques b^atis
autour de la moleule BEDT-TTF (gure 2.1) se trouvent ^etre de bons metaux (suivant les
onditions de pression, omme on va le voir plus bas). En plus de e fait deja remarquable,
les proprietes physiques que revelent es systemes sont tres rihes : le diagramme de phase
(gure 2.2) de ette famille de onduteurs organiques regroupe en eet un ordre antiferro-
magnetique, une phase supraondutrie non onventionnelle, et des phases paramagnetiques
(metal et isolant) au bord de la transition de Mott 3
.
Nousommenonsparexaminerrapidementla struturede esristaux moleulaires avant
de rentrer dans le detail de leurs proprietes physiques. Tout d'abord, la possibilite d'obser-
ver un omportement metallique dans es omposes provient de l'arrangement tres speial
des moleules BEDT-TTF entre elles, qui permet un reouvrement important des orbitales
moleulaires voisines. Le solide est don ompose de plans dans lesquels la ondution des
1
CetravailaeterealiseenollaborationaveT.A.Costi,A.Georges,D.JeromeetP.Limelette(Artile-1).
2
CetravailaeterealiseenollaborationaveA. Georges,M.GrionietL.Perfetti(Artile-2).
3
Pourdesrevuesreentes,voir[1,2℄.
H H H H
S S
S S
S S
S S H H H H
Fig. 2.1 {
A gauhe : moleule Bis(EthyleneDiThio)-TetraThi oFul valen e, (BEDT-TTF). Au
milieu : assemblagetridimensionnel du ompose -(BEDT-TTF)
2
Cu[N(CN)
2
℄Cl, se referant
a lamanieredont les moleules sont empilees (lesplans s'organisent dans les diretions b et
ii).
A droite : vue de la struture selon l'axea perpendiulaire aux plans.
eletrons est faile (integrale de saut typique dans le plan t
k
100meV), et qui sont tres
faiblement ouples dans la troisieme diretion. En eet, la ondution inter-plans est limitee
a la fois par la grande distane entre les moleules (faible integrale de transfert), et par la
presene d'anions qui viennent s'interaler entre deux ouhes suessives. Ces ions, au a-
ratere eletro-negatif tres fort, jouent toutefois un r^ole essentiel ii, ar il donnent lieu a un
transfert de harge 4
qui permet d'une part de stabiliser la struture ristalline, et d'autrepart
d'aboutir aune bande partiellement remplie. En pratique, la temperature est grande devantle
parametre de saut hors-plan (t
?
=k
B
1K) : le systeme est don bidimensionnel en premiere
approximation, e qui elaire la similarite frappante entre le diagramme de phase de es or-
ganiques et elui des uprates (en partiulier la proximite des phases antiferromagnetique et
supraondutrie).
Les dierents membres de ette famille de onduteurs organiques se distinguent a la
fois par la maniere ave laquelle les moleules s'empilent (on a represente l'empilement
sur la gure 2.1), e qui modie de faon essentielle la struture de bande, et aussi par la
nature de l'anion. Celui-i agitomme une pression himique, qui permet d'aorder lalargeur
de bande du systeme. Due a la forte ompressibilite meanique de es materiaux, on peut
arriver a un eet similaire en appliquant une pression gaz de quelques entaines de bars. En
omprimantlesmoleulesdavantageentreelles,lapression onduiteneetaunaroissement
de la ondutivite dans le plan, et don a un aratere plus metallique (ommeindique sur le
diagramme de phase) 5
.
4
Captured'unouplusieurseletronsdehaquemoleuleorganique.
5
Ilfautnoter quelapressionpeutprovoquerun eetopposedansle as d'isolants debandedontle gapest
provoqueparunehybridationentredeuxorbitalesdierentes:pourYb,latransitionmetal-isolantseproduitainsi
40
30
20
10
0
600 400
200 0
PSfrag replaements
Pression (bar)
Temperature(K)
Antiferro
Supra Isolant
Metal Cu[N(CN)
2
℄Cl
Cu[N(CN)
2
℄Br Cu(NCS)
2
Fig. 2.2 { Diagramme de phase du ompose au hlore (extrait des mesures de RMN[3℄). On
indique la position relative par rapport a d'autres omposes de la famille -(BEDT-TTF)
2 X
(l'anion X est indique au sommet du graphe).
Un ompose orrele
Lesinterations fortes entreleseletrons semanisfestent de plusieurs manieres dansles or-
ganiquesbidimensionnels.Toutd'aborddanslanaturedufondamentaldusysteme:l'emergene
d'une phase supraondutrie au voisinage d'un ordre antiferromagnetique est un signe que la
fore d'appariement entre eletrons est mediee par les utuations de spins [5℄. Il semble de
plus bien etablit a l'heure atuelle que la symetrie du gap supra soit non onventionelle [1℄,
et de nombreux eets non BCS ont ete mis en evidene : les mesures de mirosopie a eet
tunnelseparametrisentbienaveungapde symetried
x 2
y 2
,l'eetisotopique est tresfaible,et
l'on retrouve desomportements de typepseudogap dans les experienes de RMN(diminution
du \Knight shift" et renforement du taux de relaxation T 1
1
au-dessus de T
).
La partie paramagnetique du diagramme de phase est aussi le jeu d'eets tres forts des
orrelations,puisquelesystemeestisolantabassepression,metalliqueahautepression,enpas-
santparunetransition de Mottautour de P=300bars (pour-(BEDT-TTF)
2
Cu[N(CN)
2
℄Cl).
Une evidene direte des orrelations eletroniques est donnee par l'eart important entre les
mesures de suseptibilite, haleur speique (oeÆient ) et masse eetive par rapport aux
valeurs obtenues dans desalulsde strutureeletronique [6℄(avedes renormalisation allant
typiquement d'un fateur 2 a 4). Une serie d'experienes tres signiatives (sur un ompose
a pressionroissante(dumetalversl'isolant)[4℄.
plus metallique, ave un anion dierent) a par ailleurs ete menee dans le but de arateriser
l'evolution de la masseeetive m
en fontion de la pression [7℄.Cette quantite, obtenue par
mesures d'osillation de la magneto-resistane (eet Shubnikov - de Haas) est montree a la
gure2.3. Pouronrmer l'origineeletronique de et eet(la pression onduisant aussi aune
distorsion de la struture de bande), une estimation de la masse nue m
opt
a ete extraite de
mesures de ondutivite optique [8℄ gr^ae a la regle de somme (n est la densite de porteurs) :
Z
+11
d! (!)=4 ne
2
m
opt
(2.1)
Cettequantite, montreeaupanneaudroitde lam^emegure,est eetivementmoinssinguliere
que m
.
Fig. 2.3 {
A gauhe : masse eetive (obtenue par osillations de magneto-resistane [7℄).
A
droite:masse nuedetermineegr^aeadesmesuresde ondutivite optique[8℄pourleompose
ave X=Cu(NCS)
2 .
Une autre signature importante des orrelations se manifeste dans l'important transfert
de poids spetral observe dans la ondutivite optique (en fontion de la pression et de la
temperature). Cet eet est illustre pour le ompose au brome [9℄, pour lequel on observe un
pi de Drude a basse temperature dans la phase metallique, qui a ompletement disparu a 50
K (gure 2.4). Cesmesures montrent aussi l'existene d'une faibleenergie de oherene dans
e systeme,au-dessus de laquelle le transport est inoherent.
Fig. 2.4 { Condutivite optique de -(BEDT-TTF)
2
Cu[N(CN)
2
℄Br a pression ambiante pour
25 K et 50K, d'apres [9℄.
Mesures de transport
Depremieresmesuresderesistivite sur-(BEDT-TTF)
2
Cu[N(CN)
2
℄Cl(danslesplans)ont
eteeetueesparH.Itoilyaquelques anneesdeja[10℄,etaboutissentaundiagrammedephase
en aord aveles autres determinations experimentales (le transport permet de loaliser plus
ou moins failement les phases antiferromagnetique, supraondutrie et la transition metal-
isolant). Cetteetude aete reonsideree plus reemmentparP. Limelette auours de sathese
au Laboratoire de Physique des Solides d'Orsay, selon des motivationsa la fois tehniques et
physiques. Tout d'abord, la grande ompressibilite des organiques a ete l'idee motrie pour
reprendre l'etude detaillee du transport en balayant la pression (a temperature xee). Un tel
dispositif experimental, developpe dans le groupe de D. Jerome (au LPS), se demarque des
tehniques usuelles par la grande qualite des donnees ainsi obtenues : les mesures isothermes
autorisent en eet un
