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Cohomologie syntomique: liens avec les cohomologies étale et rigide
Jean-Yves Etesse
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Jean-Yves Etesse. Cohomologie syntomique: liens avec les cohomologies étale et rigide. 2009. �hal- 00425926�
Cohomologie syntomique :
liens avec les cohomologies ´etale et rigide
Jean-Yves ETESSE 1
Sommaire
Introduction 1. Site syntomique
2. Cohomologie syntomique `a supports compacts
3. Comparaison avec cohomologie ´etale et cohomologie rigide
1(CNRS - Institut de Math´ematique, Universit´e de Rennes 1, Campus de Beaulieu - 35042 RENNES Cedex France)
E-mail : Jean-Yves.Etesse@univ-rennes1.fr
R´esum´e
La cohomologie syntomique ici d´efinie fait le lien entre la cohomologie rigide et la cohomologie ´etale, en interpr´etant cette derni`ere comme points fixes du Frobenius agissant sur la premi`ere.
Soit V un anneau de valuation discr`ete complet, de corps r´esiduel par- fait k = V/m de caract´eristique p > 0 et de corps des fractions K de ca- ract´eristique 0. Apr`es avoir d´efini la cohomologie syntomique `a supports compacts d’un faisceau ab´elien F sur un k-sch´ema X, nous montrons que celle-ci co¨ıncide avec la cohomologie ´etale `a supports compacts lorsqueF est un faisceau lisse. Si de plus leF-isocristal convergent associ´e au faisceau lisse F provient d’un isocristal surconvergentE, alors la cohomologie rigide de E s’exprime elle aussi comme limite de cohomologies syntomiques : la cohomo- logie ´etale `a supports compacts de F est alors les points fixes du Frobenius agissant sur la cohomologie rigide deE.
Abstract
Syntomic cohomology here defined yields a link between rigid cohomo- logy and etale cohomology, viewing the last one as the fixed points under Frobenius of the former one.
Let V be a complete discrete valuation ring, with perfect residue field k = V/m of characteristic p > 0 and fraction field K of characteristic 0.
Having defined syntomic cohomology with compact supports of an abelian sheaf F on a k-scheme X, we show that it coincides with etale cohomology with compact supports when F is a lisse sheaf. If moreover the convergent F-isocrystal associated toF comes from an overconvergent isocrystalE, then the rigid cohomology of E expresses as a limit of syntomic cohomologies : then the etale cohomology with compact supports ofF is the fixed points of Frobenius acting on the rigid cohomology of E.
2000 Mathematics Subject Classification : 14F20, 14F30, 14G22.
Mots cl´es : cohomologie syntomique, F- isocristaux convergents, F- iso- cristaux surconvergents, cohomologie cristalline, cohomologie rigide.
Key words : syntomic cohomology, convergent F- isocrystals, overcon- vergent F- isocrystals, crystalline cohomology, rigid cohomology.
Introduction
La cohomologie syntomique introduite dans cet article fait le lien entre la cohomologie ´etale et la cohomologie rigide, lien qui sera utilis´e ult´erieurement pour r´esoudre une conjecture de Katz sur les z´eros et pˆoles unit´es p-adiques des fonctions L.
Comme pour le topos ´etale [Mi, II, theo 3.10] on obtient au §1 une des- cription du topos syntomique [th´eo (1.3)] calqu´ee sur celle de [SGA 4,T 1, IV, th´eo (9.5.4)], SGA 4 qui travaille en termes de sous-topos ouvert et du sous-topos ferm´e compl´ementaire. On en d´eduit les suites exactes courtes usuelles de localisation [th´eo (1.5)].
Au §2 la cohomologie syntomique `a supports compacts est d´efinie : en particulier il faut s’assurer de l’ind´ependance par rapport `a la compactifi- cation choisie [prop (2.1)]. Les suites exactes courtes de localisation du §1 fournissent alors la suite exacte longue de localisation en cohomologie synto- mique `a supports compacts [th´eo (2.6)].
Au§3 on ´etablit que les cohomologies syntomique et ´etale `a supports com- pacts d’un faisceau lisse F co¨ıncident [th´eo (3.2)]. De mˆeme la cohomologie rigide `a supports compacts d’un F-isocristal surconvergent unit´e E associ´e
`a F co¨ıncide avec une limite de la cohomologie syntomique `a supports com- pacts d’unEm-cris
n associ´e `aF [ th´eo (3.3.13)(1) et (3.3.16)]. Comme il existe une suite exacte courte sur le site syntomique qui relie F et Em-cris
n [th´eo (3.3.12)], on en d´eduit que la cohomologie ´etale `a supports compacts de F s’identifie aux points fixes du Frobenius agissant sur la cohomologie rigide `a supports compacts deE [th´eo(3.3.13) (2) et (3)].
1. Site syntomique
1.1. Si X est un sch´ema quelconque, le gros site syntomique de X est d´efini comme suit [SGA 3, IV, 6.3] : la cat´egorie sous-jacente est celle des sch´emas surX et la topologie est engendr´ee par les familles finies surjectives de morphismes syntomiques (i.e. plats et localement intersection compl`ete).
On rappelle que les morphismes syntomiques sont ouverts, demeurent synto- miques par changement de base, et sont localement relevables le long d’une immersion ferm´ee. Le gros site (resp. petit site) syntomique de X sera not´e SY NT(X) (resp. synt(X)) et le topos correspondant XSY N T (resp. Xsynt) :
lorsqu’on ne voudra pas distinguer entre les deux situations on notera T(X) (resp. XT) l’un ou l’autre de ces deux sites (resp. topos).
Soit j :U ֒→ X une immersion ouverte ; j d´efinit un couple de foncteurs adjoints (j∗, j−1)
UT
j−1
→←−
j∗ XT.
Dans la suite XT sera annel´e par un faisceau d’anneaux A etUT sera annel´e par j−1A, not´e A|U : on note AXT (resp. A|UUT) la cat´egorie des faisceaux des A-modules `a gauche sur XT (resp. des A|U-modules `a gauche sur UT).
Le foncteur
j∗ : AXT −→ A|UUT
admet un adjoint `a gauchej! [Mi, II, Rk 3.18] et [SGA 4, IV, §14] d´efini par (1.1.1)
j!(F)(X′) =F(X′) si X′ −→X se factorise par U et j!(F)(X′) = 0 sinon ;
j! est exact [loc. cit].
Remarquons que j∗ est exact puisqu’il admet un adjoint `a droite et un ad- joint `a gauche.
De mˆeme si i :Z ֒→ X est une immersion ferm´ee, i d´efinit un couple de foncteurs adjoints (i∗, i−1) :
ZT
i−1
←−→
i∗
XT ; ZT sera annel´e par i−1A, not´e A|Z.
Le foncteur
i∗ : AXSYNT −→ A|ZZSYNT
admet un adjoint `a gauche i! [Mi, II, Rk 3.18] et i! est exact [loc. cit.] : en particulier
i∗ : AXSYNT −→ A|ZZSYNT
est exact.
Le foncteur
i∗ : AXsynt −→ A|ZZsynt
est lui aussi exact grˆace `a [Mi, II, 2.6 et 3.0 p 68] et [EGA 0I, 1.4.12] car les morphismes syntomiques demeurent syntomiques par changement de base.
De plus le foncteur
i∗ : A|ZZT −→ AXT
est exact, car tout morphisme syntomique se rel`eve, localement le long d’une immersion ferm´ee, en un morphisme syntomique.
1.2. Soient i : Z ֒→ X une immersion ferm´ee, et j : U ֒→ X l’im- mersion ouverte du compl´ementaire de Z. Pour un X-sch´ema X′ on note U′ = X′ ×X U, Z′ =X′ ×X Z; tout recouvrement syntomique W ։ Z′ se rel`eve localement en ˜W →X′ syntomique : pour all´eger l’´ecriture on suppo- sera le rel`evement global. Par suite, si ˜U ։U′ est surjectif syntomique et ˜W tel que ci-dessus, alors ( ˜U,W˜) est un recouvrement syntomique de X′. Lemme (1.2.1). Avec les notations de (1.2) et pour F ∈ AXT le carr´e suivant, o`u les fl`eches sont les fl`eches canoniques
F //
j∗j∗(F)
i∗i∗(F) //i∗j∗j∗(F)
est cart´esien.
D´emonstration. On notera G le produit fibr´e.
Pour un X-sch´ema X′ on consid`ere un recouvrement ( ˜U ,W˜) de X′ du type pr´ec´edent : comme ˜U →X′ et ˜W →X′ sont deux morphismes syntomiques, on est ramen´e `a ´etablir l’isomorphisme F → G˜ au-dessus d’un X′-sch´ema syntomique ˜W; la d´emonstration se fait donc sur le petit site de X′. On pose W = ˜W ×X′ Z′.
Le faisceau j∗j∗(F) est le faisceau associ´e au pr´efaisceau W˜ 7−→ F(V) , avec V := ˜W ×X′U′, eti∗i∗(F) est le faisceau associ´e au pr´efaisceau
W˜ 7−→lim→
W′
F(W′), la limite ´etant prise sur les diagrammes commutatifs
(1.2.2)
W˜
W′
oo Woo
X′ Z′oo
avec W′ →W˜ syntomique.
De mˆeme i∗i∗j∗j∗(F) est le faisceau associ´e au pr´efaisceau W˜ 7−→lim→
W′
F(W′×W˜ V) = lim→
W′
F(W′×X′ U′),
avec W′ comme en (1.2.2). On remarque alors que (V, W′) est un recouvre- ment syntomique de ˜W : en effet le ˜W-morphisme W → W′ fournit une section du morphisme syntomique W′×W˜ W →W; ce dernier est donc sur- jectif et on conclut comme pour le recouvrement ( ˜U ,W˜) de X′.
Ainsi on a bien un isomorphisme F → G˜ au-dessus de ˜W, d’o`u le lemme.
Notons T(AXT) la cat´egorie des triplets (F1,F2, α) o`uF1 ∈A|Z ZT, F2 ∈
A|UUT et α est un morphisme α : F1 →i∗j∗F2; les morphismes entre deux tels triplets sont d´efinis de la mani`ere naturelle, analogue `a [Mi, II, §3].
Th´eor`eme(1.3). Soient i : Z ֒→ X une immersion ferm´ee de sch´emas et j :U ֒→X l’immersion ouverte du compl´ementaire de Z. Le foncteur
F 7−→(i∗F, j∗F, α)
o`u α est le morphisme canonique α :i∗F →i∗j∗j∗F, induit une ´equivalence de cat´egories entre AXT et T(AXT).
D´emonstration. La d´emonstration est analogue `a celle de Fontaine-Messing [F-M, 4.4]. Le th´eor`eme r´esulte du lemme (1.2.1) par la mˆeme m´ethode que pour le site ´etale [Mi, II, theo 3.10].
En identifiant AXT et T(AXT) via le th´eor`eme (1.3) on d´efinit six fonc- teurs
(1.4)
i∗
oo j!oo
A|ZZT i∗
//AXT
j∗
//AUT
i!
oo j∗oo
dont la description est la suivante :
i∗ :F1 ←(F1,F2, α :F1 →i∗j∗F2), j! : (0,F2,0)← F2
i∗ :F1 7→(F1,0,0) , j∗ : (F1,F2, α:F1 →i∗j∗F2)7→ F2
i!: Kerα ←(F1,F2, α:F1 →i∗j∗F2), j∗ : (i∗j∗F2,F2, id:i∗j∗F2 →i∗j∗F2)← F2.
Th´eor`eme(1.5). Avec les notations pr´ec´edentes on a :
(1) Chaque foncteur est adjoint `a gauche de celui ´ecrit la ligne au-dessous ; en particulier on a un isomorphisme de transitivit´e (j1j2)! =j1!j2!. (2) Les foncteurs i∗, i∗, j∗, j! sont exacts ; les foncteurs j∗, i! sont exacts `a
gauche.
(3) Les compos´es i∗j!, i!j!, i!j∗, j∗i∗ sont nuls.
(4) Les foncteurs i∗, j∗ et j! sont pleinement fid`eles.
(5) Les foncteurs j∗, j∗, i!, i∗ envoient les injectifs sur les injectifs.
(6) Pour tout F ∈A XT (resp. F ∈A|U UT) on a des suites exactes courtes (6.1) 0−→j!j∗F −→ F −→i∗i∗F −→0
(6.2) 0−→i∗i!F −→ F −→j∗j∗F
[resp. (6.3) 0−→j!F −→j∗F −→i∗i∗j∗F −→0].
De plus le couple de foncteurs(i∗, j∗) est conservatif.
D´emonstration.
Le(1) et le(2)ont d´ej`a ´et´e vus, et l’isomorphisme de transitivit´e (j1j2)!= j1!j2! r´esulte de la formule (j1j2)∗ =j2∗j1∗.
Le (3) et le (4) r´esultent des descriptions (1.4).
Le (5) r´esulte de (1) et (2) et du fait qu’un foncteur avec un adjoint `a gauche exact pr´eserve les injectifs [Mi, III, 1.2].
La suite (6.3)) provient de (6.1) en remarquant quej∗j∗F =F. Compte tenu des identifications (1.4) la suite (6.1) s’´ecrit
0−→(0, j∗F,0)−→(i∗F, j∗F, α)−→(i∗F,0,0)−→0.
Pour d´emontrer qu’elle est exacte il nous suffit donc de montrer qu’une suite deAXT
(6.4) 0−→ F′ −→ F −→ F′′ −→0 est exacte si et seulement si les suites
(6.5) 0−→i∗(F′)−→i∗(F)−→i∗(F′′)−→0
(6.6) 0−→j∗(F′)−→j∗(F)−→j∗(F′′)−→0
de A|ZZT et A|UUT respectivement, sont exactes, i.e. que le couple de fonc- teurs (i∗, j∗) est conservatif.
L’exactitude de (6.4)entraˆıne celle de(6.5) et(6.6) puisquei∗ etj∗ sont exacts.
R´eciproquement, l’exactitude de (6.5) et (6.6) entraˆıne celle des suites (6.7) 0−→i∗i∗(F′)−→i∗i∗(F)−→ϕZ i∗i∗(F′′)−→0,
(6.8) 0−→j∗j∗(F′)−→j∗j∗(F)−→ϕU j∗j∗(F′′),
(6.9) 0−→i∗i∗j∗j∗(F′)−→i∗i∗j∗j∗(F)−→i∗i∗j∗j∗(F′′), d’o`u l’exactitude de
(6.10) 0−→ F′ −→ F −→ F′′
grˆace au lemme (1.2.1).
Donc pour tout F ∈A XT on a l’exactitude de la suite 0−→j!j∗F −→ F −→i∗i∗F.
Montrons la surjectivit´e de ρ : F → i∗i∗F. Comme pour le lemme (1.2.1), dont on utilise les notations, on est ramen´e au petit site de X′. Soient ˜W un X′-sch´ema syntomique, V := ˜W ×X′ U′ ets ∈i∗i∗(F)( ˜W) = lim→
W′
F(W′), o`u W′ est comme dans (1.2.2) : il existe un W′ et sW′ ∈ F(W′) d’image s.
On a vu dans la preuve du lemme (1.2.1) que (V, W′) est un recouvrement syntomique de ˜W : notons s′ l’image de s par l’application restriction
i∗i∗F( ˜W)−→i∗i∗F(W′)
s 7→s′ ; alors sW′ ∈ F(W′) a pour image s′ par ρ.
Comme i∗i∗(F)(V) = 0, tout sV ∈ F(V) est un rel`evement de s dans i∗i∗(F)(V) = 0. D’o`u la surjectivit´e de ρ, et l’exactitude de (6.1).
On a alors un diagramme commutatif `a lignes exactes 0 //j!j∗F //
u
F //
v
i∗i∗F //
w
0
0 //j!j∗F′′ //F′′ //i∗i∗F′′ //0.
L’exactitude de(6.5)et(6.6)et celle des foncteurs j! eti∗ prouve que uetw sont surjectifs : d’o`u la surjectivit´e de v; jointe `a l’exactitude de (6.10) ceci prouve que le couple (i∗, j∗) est conservatif.
L’exactitude de (6.2) en r´esulte via la description dei! fournie en (1.4).
2. Cohomologie syntomique ` a supports com- pacts
Soit X un sch´ema s´epar´e de type fini sur un corpsk; on sait par Nagata que X est ouvert dans un k-sch´ema propre X; on note j :X ֒→X l’immer- sion ouverte.
On se place sous les notations de (1.1) : XT est annel´e par un faisceau d’anneaux A etF est un faisceau de A-modules.
Si F est ´element de AXsynt, on notera encore F son image inverse dans
AXSYNTpar le morphisme de toposXSYNT →Xsyntet pour tout entieri>0, on a [E-LS 2, (1.2)]
Hi(Xsynt,F) =Hi(XSYNT,F), et de mˆeme pour la topologie ´etale.
Proposition - D´efinition (2.1). Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, si A est de torsion et F un ´el´ement de A|XXT, le complexe RΓ(XT, j! F) est ind´ependant de la compactification X de X, et sera not´e
RΓsynt,c(X,F) ; ses groupes de cohomologie seront not´es
Hsynt,ci (X,F)
et appel´es groupes de cohomologie syntomique `a supports compacts.
D´emonstration. Si
X j
′
//
""
FF FF FF FF
F X′
{{wwwwwwwww
Spec k
est une autre compactification de X, on note X′′ l’image sch´ematique de X plong´e diagonalement dans X ×kX′, j′′ : X ֒→ X′′ l’immersion ouverte et g :X′′→X, g′ :X′′ →X′ les deux projections (propres).
Il s’agit de montrer que
(2.2) RΓ(XT, j! F) =RΓ(X′′T, j!′′ F).
Ceci va r´esulter de la proposition plus g´en´erale suivante.
Proposition (2.3). Supposons donn´e un carr´e cart´esien de k-sch´emas
X′ j
′
//
f
X′
f
X j //X ,
o`u X est propre sur k, f est propre, j, j′ sont des immersions ouvertes. Si F est un faisceau ab´elien de torsion sur XT′ , alors on a des isomorphismes
RΓ(XT, j! Rf∗ F)≃RΓ(XT, Rf∗ j!′ F)
≃RΓ(X′T, j!′ F).
En effet (2.1) r´esulte de (2.3) via le lemme suivant :
Lemme (2.4). Si
X′′
g
X.
j}′′}}}}}>>
}} p
jBBBBB BB B
X
est un triangle commutatif de sch´emas, avec j, j′′ des immersions ouvertes dominantes, alors X est le produit fibr´e X×X X′′.
D´emonstration de (2.4). Soit U′′ le produit fibr´e
X j′′
$$
id
ϕ
A
AA AA AA A
U′′
f
j //X′′
g
X j //X .
Puisque f ◦ϕ = id, ϕ est une immersion ferm´ee [EGA I, (4.3.6) (iv)] ; or ϕ est ´etale, car ˜j ◦ϕ = j′′ et ˜j, j′′ sont ´etales [EGA IV, (17.3.5)]. Ainsi ϕ est une immersion ouverte [EGA IV, (17.9.1) ; EGA I, 4.2]. De plus ϕ est dominante carj′′ l’est ; doncϕ est surjective, car ϕ est finie. Une immersion ouverte surjective est un isomorphisme.
D´emonstration de (2.3). Faisons la d´emonstration dans le cas des gros topos syntomiques : pour les petits topos cela r´esulte de l’´egalit´e
Hi(XSYNT,G) =Hi(Xsynt,G)
valable pour tout faisceau ab´elien G sur synt(X), et tout entier i>0 [E-LS 2, 1.2] et [Mi, II, prop 3.1]. On d´esigne par un ”ET” en indice les gros topos
´etales [E-LS 2, §1].
On a un cube commutatif de morphismes de gros topos
XSYNT′ j
SYNT′
//
fSYNT
βX′
{{xxxxxxxxx
X′SYNT
fSYNT
βX′
{{wwwwwwww
XET′ j
′ET
//
fET
X′ET
fET
XSYNT
jSYNT
//
βX
{{
XSYNT
βX
{{vvvvvvvvv
ZSYNT βZ
{{wwwwwwwww
iSYNT
oo
XET
jET
//XET ZETiET
oo
o`uZ =X\X, et un isomorphisme
RΓ(XSYNT, j! RfSYNT∗ F)≃RΓ(XET, RβX∗ jSYNT ! RfSYNT∗ F).
Supposons ´etablie la proposition suivante :
Proposition (2.5). Avec les notations pr´ec´edentes, annelonsXSYNT parA etXETparB =βX∗A. Alors pour toutH ∈ A|XXSYNT on a un isomorphisme
jET! RβX∗(H)→∼ RβX∗ jSYNT !(H).
Alors on a des isomorphismes
RΓ(XSYNT, j! RfSYNT∗ F)≃RΓ(XET, jET! RβX∗ RfSYNT∗ F)
≃RΓ(XET, jET! RfET∗ RβX′∗ F)
≃ RΓ(XET, RfET∗ jET!′ RβX′∗ F) [SGA 4, XVII, lemme 5.1.6] car F de torsion.
≃RΓ(XET, RfET∗ RβX′∗ jSYNT!′ F) [Prop (2.5)]
≃RΓ(XET, RβX∗ RfSYNT∗ jSYNT!′ F)
≃RΓ(XSYNT, RfSYNT∗ jSYNT!′ F) ; d’o`u la proposition (2.3).
Etablissons la proposition (2.5).
Puisque jET! et jSYNT! sont exacts, il suffit de montrer l’isomorphisme jET! βX∗
→∼ βX∗jSYNT!.
Par le lemme du serpent appliqu´e au morphisme de suites exactes
(2.5.1)
0 //jET!βX∗H //
_
jET∗βX∗H] //
≃
iET∗i∗ETjET∗βX∗H //
≃
0
iET∗i∗ETβX∗jSYNT∗H
iET∗βZ∗i∗SYNTjSYNT∗H
≃
0 //βX∗jSYNT!H //βX∗jSYNT∗H //βX∗iSYNT∗i∗SYNTjSYNT∗H , il nous suffit de montrer que, pour tout faisceau G, on a un isomorphisme (2.5.2) iET∗ i∗ET βX∗(G)
ϕ
→∼ iET∗ βZ∗ i∗SYNT(G).
OriET∗ i∗ET βX∗(G) est le faisceau associ´e au pr´efaisceau X′ 7→i∗ET βX∗(G)(Z×X X′) = lim→
X′′
βX∗(G)(X′′)
= lim→
X′′
G(X′′)≃ G(Z ×X X′) o`u X′ est un X-sch´ema et la limite inductive est prise sur les diagrammes commutatifs
X′′
Z×X X′
oo
X oo Z
o`uX′′ est un X-sch´ema ; commeiET∗ βZ∗ i∗SYNT(G) a la mˆeme description, il en r´esulte que ϕ est un isomorphisme.
Th´eor`eme (2.6). Soient i1 : Z ֒→ X une immersion ferm´ee entre deux k- sch´emas s´epar´es de type fini,j1 :∪֒→X l’immersion ouverte du compl´ementaire etF ∈AXT, o`uA est un faisceau d’anneaux de torsion. Alors on a une suite
exacte longue de cohomologie syntomique `a supports compacts
→Hsynt,ci (U,F|U)→Hsynt,ci (U,F)→Hsynt,ci (Z,F|Z)→Hsynt,ci+1 (U,F|U)→ D´emonstration. Choisissons une compactification X de X au-dessus de k, j :X ֒→Xl’immersion ouverte dominante et soitZ l’adh´erence sch´ematique deZ dans X. On a alors un diagramme commutatif `a carr´es cart´esiens
(2.6.1)
Z j
′
// _
i1
Z _
i
X
j //X U?
j1
OO
U?
j
OO
o`ui est une immersion ferm´ee et j, j′ des immersions ouvertes.
En appliquant le foncteur exact j! `a la suite exacte
0−→j1! j1∗ F −→ F −→ i1∗ i∗1 F −→0, on obtient la suite exacte
(2.6.2) 0−→j! j1∗ F −→j! F −→j! i1∗ i∗1 F −→0
car j! j1! =j! [Th´eo (1.5) (1)]. Or l’exactitude des foncteurs i1∗ eti∗, jointe
`a la proposition (2.3), donne un isomorphisme
RΓ(XT, j! i1∗ i∗1 F−→∼ RΓ(ZT, j′! i∗1 F) ;
ainsi, par application du foncteur RΓ(XT,−) `a la suite exacte (2.6.2) on obtient, via (2.1), un triangle distingu´e
(2.6.3) RΓsynt,c(U,F|U)−→RΓsynt,c(X,F)−→RΓsynt,c(Z,F|Z), qui fournit `a son tour la suite exacte longue du th´eor`eme.
3. Comparaison avec la cohomologie ´ etale et la cohomologie rigide
3.0. On suppose dans ce § 3 que le corps k contient Fq, q = pa. On d´esigne parC(k) un anneau de Cohen dek de caract´eristique 0 et parK0 le corps des fractions deC(k).
Comme en [Et 3, III (3.3)] ou [Et 5, (3.3)],V est un anneau de valuation discr`ete complet, d’uniformisante π et σ : V → V un rel`evement de la puis- sance q de k tel que σ(π) =π construit via [Et 2, 1.1].
On note e l’indice de ramification de V, K = Frac(V), Vσ = Ker{1−σ : V → V},Vn=V/πn+1V,Vnσ =Vσ/πn+1Vσ etKσ = Frac(Vσ).
Si X est un sch´ema on dit qu’un Vnσ-module F sur ´et(X) est locale- ment trivial (on dit aussi constant-tordu constructible ou encore localement constant constructible) s’il est localement isomorphe `a une somme directe finie de copies de Vnσ : c’est alors la mˆeme chose de dire qu’il est localement trivial sur SYNT(X) [E-LS 2, 5.1].
UnVσ-faisceau lisseF (localement libre de rang fini) surXest un syst`eme projectif F = (Fn)n∈N o`u, pour tout n,Fn est un Vnσ-module localement tri- vial sur ´et(X) et pour n′ > n, Fn =Fn′ ⊗ Vnσ. Les Kσ-faisceaux lisses sont lesVσ-faisceaux lisses `a isog´enie pr`es.
Pour un Vσ-faisceau lisse F (resp. un Kσ-faisceau lisse FQ) sur X on pose, pour tout entier i>0
Hsynt,ci (X,F) := lim←
n
Hsynt,ci (X,Fn)
[resp. Hsynt,ci (X,FQ) = (lim←
n
Hsynt,ci (X,Fn))⊗Vσ Kσ] .
Proposition (3.1).SoientX un sch´ema etF un faisceau ab´elien sur ´et(X); on note encoreF son image inverse par le morphisme de topos Xsynt →X´et. Alors, pour tout entier i>0, on a un isomorphisme
H´et,ci (X,F)−→∼ Hsynt,ci (X,F).
D´emonstration. R´esulte de [E-LS 2, 1.3].
Th´eor`eme (3.2). Supposons k s´eparablement clos. Soient X un k-sch´ema s´epar´e de type fini, FQ un Kσ-faisceau lisse sur X et f : Y → X sur k- morphisme fini ´etale galoisien de groupeG. Alors, pour tout entier i>0, on a des isomorphismes de Kσ-espaces vectoriels de dimension finie
H´et,ci (X,FQ)≃H´et,ci (X, f∗f∗FQ)G ≃H´et,ci (Y, f∗FQ)G
≃Hsynt,ci (X,FQ)≃Hsynt,ci (X, f∗f∗FQ)G≃Hsynt,ci (Y, f∗FQ)G.
D´emonstration. Compte tenu de (3.1) il suffit de montrer l’assertion pour la cohomologie ´etale. Puisquef est fini,f∗ est exact, et on est ramen´e `a montrer l’isomorphisme
(3.2.1) H´et,ci (X,F)⊗Vσ Kσ ≃[H´et,ci (X, f∗f∗F)⊗Vσ Kσ]G pour un Vσ-faisceau lisse F.
Comme F est localement libre on ´etablit le lemme suivant comme [Et 1, III (3.1.2)].
Lemme (3.2.2). Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, on a un isomorphisme F−→(f∼ ∗f∗(F))G.
Soient X une compactification de X au-dessus de k et j : X ֒→ X l’im- mersion ouverte correspondante. Par exactitude du foncteur j! on d´eduit de (3.2.2) des isomorphismes
(3.2.3) j!F−→∼ j!(f∗f∗F)G ≃(j!f∗f∗F)G.
Le corpsk´etant s´eparablement clos, les groupesH´et,ci (X,Fn) etH´et,ci (X, f∗f∗Fn) sont desVnσ-modules de type fini [SGA 4, XVII, 5.3.8] ; par suite les groupes H´et,ci (X,F) et H´et,ci (X, f∗f∗F) sont des Vσ-modules de type fini, engendr´es par tout sous-ensemble qui les engendre mod.π.
On ach`eve la d´emonstration de (3.2) comme [Et 1, III, 3.1.1].
3.3. Soient X un k-sch´ema et H un Vnσ-module localement trivial sur SYNT(X). On consid`ere le morphisme de topos annel´es [E-LS 2, 5.3]
u=u(m)X/V
n−SYNT : ((X/Vn)(m)CRIS-SYNT,OX/V(m)
n)−→(XSYNT,Vnσ)
et on note
T(m)(H) :=u∗(H) =H ⊗Vnσ O(m)X/Vn, et
T(m)(H)cris:=u∗(T(m)(H)) = u∗u∗(H) [E-LS 2,1.11]
(3.3.1) =H ⊗Vnσ u∗(O(m)X/Vn) =H ⊗Vnσ Om−crisn,X , o`u l’on a pos´e On,Xm−cris:=u∗(OX/V(m)n).
Soient i : Z ֒→ X une immersion ferm´ee et j : U ֒→ X l’immersion ouverte du compl´ementaire :jetid´efinissent respectivement des morphismes de topos [cf (1.1)]
j :USYNT −→XSYNT , i:ZSYNT −→XSYNT , et mˆeme des morphismes de topos annel´es
(3.3.2) jV : (USYNT,Vn,Uσ )−→(XSYNT,Vn,Xσ ) (3.3.3) iV : (ZSYNT,Vn,Zσ )−→(XSYNT,Vn,Xσ ) o`uVn,Uσ =j−1(Vn,Xσ ) , Vn,Zσ =i−1(Vn,Xσ ),
Vn,Xσ ´etant le faisceau d’anneauxVnσ sur XSYNT.
On d´eduit alors de (1.4) l’existence de six foncteurs
(3.3.4)
i∗V
oo jV!oo
Vn,Zσ ZSYNT iV∗
// Vσn,XXSYNT
jV∗
// Vσn,UUSYNT
i!V
oo jV∗oo
Lemme (3.3.5). Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes on a des isomorphismes de faisceaux sur les gros sites syntomiques :
(3.3.5.1) j−1Om−crisn,X −→ O∼ n,Um−cris (3.3.5.2) i−1On,Xm−cris−→ O∼ n,Zm−cris.
D´emonstration. Comme j−1On,Xm−cris est le faisceau associ´e au pr´efaisceau qui
`a toutU-sch´ema U′ associe
Om−crisn,X (U′) = Γ((U′/Vn)(m)CRIS-SYNT,O(m)U′/Vn) [E-LS 2,1.10]
=On,Um−cris(U′),
on a bien (3.3.5.1). De mˆeme pour (3.3.5.2).
Grˆace au lemme (3.3.5) les morphismes de toposj etici-dessus induisent des morphismes de topos annel´es
(3.3.6) jO : (USYNT,Om−crisn,U )−→(XSYNT,On,Xm−cris) (3.3.7) iO : (ZSYNT,On,Zm−cris)−→(XSYNT,On,Xm−cris) et six foncteurs
(3.3.8)
i∗O
oo jO!oo
Om−crisn,Z ZSYNT iO∗
// Om−cris
n,X XSYNT jO∗
// Om−cris
n,U USYNT i!O
oo jO∗oo .
En utilisant la description (1.4), ou le th´eor`eme (1.5) (6.1) on en d´eduit la proposition suivante :
Proposition (3.3.9). Sous les hypoth`eses et notations de (3.3) on a : (1) Si G est un Om−crisn,U -module, alors on a un isomorphisme canonique
jV!(G)→∼ jO!(G).
(2) Si G est un Vn,Uσ -module, alors on a des isomorphismes canoniques jV!(G ⊗Vσ
n,U Om−crisn,U )≃jO!(G ⊗Vσ
n,U On,Um−cris)
≃jV!(G)⊗Vn,Xσ jV!(On,Um−cris)≃jV!(G)⊗Vn,Xσ jO!(Om−crisn,U )
≃jV!(G)⊗Vn,Xσ On,Xm−cris.
Les formules du (2) sont `a comparer `a celles de [SGA 4, IV, prop 12.11 (b)].
Supposons `a pr´esent que F est un Vnσ-module localement trivial sur SYNT(U) : F ´etant localement trivial, le morphisme F∗ : F → F(q) = FX−1(F) est un isomorphisme ; on pose F = F∗−1 : F(q)→ F∼ et φU = T(m)(F) : T(m)(F)(q) = T(m)(F(q))→∼ T(m)(F) qui munit T(m)(F) d’une structure de F-m-cristal localement trivial [E-LS 2, 5.3].
On note encore φU :T(m)(F)cris → T(m)(F)cris l’homomorphisme obtenu en composant φcrisU avec F∗ :T(m)(F)cris →T(m)(F)cris(q) [E-LS 2, 5.2]. Alors la suite exacte de [E-LS 2, th´eo 5.5] s’interpr`ete, via (3.3.1), comme une suite exacte sur SYNT(U) :
(3.3.10) 0−→ F −→u∗ u∗(F)−→
1−φU
u∗ u∗(F)−→0 ou encore
(3.3.11) 0−→ F −→ F ⊗Vnσ Om−crisn,U −→
1−φU
F ⊗Vnσ On,Um−cris −→0 . En lui appliquant le foncteur exactjV![th´eo 1.5], on obtient encore une suite exacte, ce qui, compte tenu de (3.3.9), ´etablit le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme (3.3.12). Sous les notations de (3.3), si F est un Vnσ-module localement trivial sur SYNT(U), alors on a des suites exactes de Vnσ-modules sur SYNT(X) :
0 //jV! F //jO!(F ⊗Vnσ On,Um−cris)
1−φ//
≃
jO!(F ⊗Vnσ On,Um−cris) //0
0 //jV! F //jV!(F)⊗Vnσ On,Xm−cris
1−φ //jV!(F)⊗Vnσ On,Xm−cris //0 o`u φ=jV!(φU).
Les suites exactes du th´eor`eme (3.3.12) vont nous permettre en passant
`a la cohomologie dans le th´eor`eme suivant de relier cohomologie ´etale et co-
homologie rigide.
Th´eor`eme (3.3.13). On suppose le corps k parfait. Soient X un k-sch´ema s´epar´e de type fini, FQ un Kσ-faisceau lisse sur X et EK ∈ Fa-Isoc(X/K)◦ le F-isocristal convergent associ´e `a FQ [E-LS 2 ; 5.6] et on suppose que EK
provient deEK† ∈Fa-Isoc†(X/K)◦ par le foncteur d’oubliFa-Isoc†(X/K)◦ → Fa-Isoc(X/K)◦. On note F = (Fn)n∈N un Vσ-faisceau lisse associ´e `a FQ et Enm−cris=T(m)(Fn)cris [cf (3.3.1)].
Alors on a :
(1) Il existe un isomorphisme canonique RΓrig,c(X/K, EK†) =Rlim←
m
[(Rlim←
n
RΓsynt,c(X, Enm−cris))⊗Q].
(2) Si de plus k est alg´ebriquement clos, il existe, pour tout entier i>0, une suite exacte courte
O →H´et,ci (X,FQ)→Hrig,ci (X/K, EK†)−→
1−φHrig,ci (X/K, EK† )→0.
D´emonstration.
Prouvons le (1). Comme la cohomologie rigide `a supports compacts ne d´epend que du sch´ema r´eduit sous-jacent `a X, on peut supposer X r´eduit. On va faire une r´ecurrence sur la dimension de X.
Si dim X = 0, alors X = [
finie
SpecAi o`u Ai est artinien [Eis., cor 9.1] car X est de type fini surk, etAi est un produit fini Π
j Ai,mj d’anneaux artiniens locaux r´eduits (X est r´eduit) : ainsi Ai,mj est un corps [Bour, A VIII, § 6, no4, prop 9] kij extension finie du corps parfait k [Eis, cor 2.15]. En particu- lier X est fini ´etale sur k, et alors l’assertion du th´eor`eme est prouv´ee dans [E-LS 2, prop 3.11].
Si dim X > 1, il existe, puisque k est parfait et X r´eduit, un ou- vert non vide U ֒→ X qui est lisse sur k, de ferm´e compl´ementaire Z tel que dim Z < dim X. Comme les deux foncteurs RΓrig,c(X/K,−) et Rlim←
m
[(Rlim←
n
RΓsynt,c(X,(−)m−crisn ))⊗Q)] donnent lieu `a des triangles dis- tingu´es faisant intervenir X, U et Z on est ramen´e `a prouver le th´eor`eme pour U. Donc on peut supposer X lisse connexe et aussi K′ = K avec e6p−1, avec F un Vσ-faisceau lisse sur X, associ´e `a un F-cristal unit´e E sur X/V, d’isocristal convergent unit´e EK par [B, (2.4.2)] suppos´e provenir
deEK† ∈Fa-Isoc(X/K)◦.
Notons X une compactification de X sur k. D’apr`es le th´eor`eme de monodromie finie “g´en´erique” de Tsuzuki [Tsu 2, theo 3.1] il existe un k- sch´ema projectif et lisse X′, un k-morphisme propre surjectif w : X′ → X g´en´eriquement ´etale, tel qu’en posant X′ = w−1(X), j′ : X′ ֒→ X′ l’im- mersion ouverte, il existe un unique N† ∈ Fa-Isoc†(X′/K)◦ avec w∗(EK†) ≃ (j′)†(N†).
Notons U ֒→ X un ouvert dense tel que la restriction w :U′ =U ×X X′ → U de w soit finie ´etale : quitte `a r´etr´ecir U on peut supposer U affine et int´egralement clos, de mˆeme pourU′. Puisque U etU′ sont connexes il existe un morphisme fini ´etale s :U′′ → U′ tel que le compos´e f :w◦s :U′′ → U soit fini ´etale galoisien de groupe not´eG [Mi, I, Rk 5.4]. D´esignons par X′′
la fermeture int´egrale de X′ dans U′′ : on obtient un diagramme commutatif
`a carr´es cart´esiens
U′′ j
′′
//
f
s
X′′
s
U′ //
w
X′ //
X′
w
U //
jU
66X j //X
o`u s est un morphisme fini et les fl`eches horizontales sont des immersions ouvertes : en particulier X′′ est une compactification de U′′. On note Z l’adh´erence sch´ematique de Z dans X et jZ : Z ֒→ Z l’immersion ouverte dominante.
PuisqueX′ est propre et lisse sur k, il existe, d’apr`es (3.3.13) unF-cristal unit´eM sur X′ tel queN† ≃Man. PosonsM=s∗CRIS(M),M=jCRIS′′∗ (M) ; d’apr`es [B, (2.42)] M est isog`ene `a fCRIS∗ (E|U), i.e. il existe un entier r > 0 et des morphismes
α :M −→fCRIS∗ (E|U), β :fCRIS∗ (E|U)−→ M,
tels queα◦β =pretβ◦α=pr. On noteraMKleF-isocristal (sur)convergent sur X′′ associ´e `a M et M†K = j′′†(MK). D’apr`es [B-M 1, cor du th´eo 6] le
F-cristal unit´e M est le cristal de Dieudonn´e d’un groupe p-divisible ´etale, dont le Vσ-faisceau lisse associ´e sera not´eG = (Gn)n∈N; on pose G=j′′∗(G).
L’isog´enie α (resp β) fournit une isog´enie αG : G → f∗(F|U) (resp βG : f∗(F|U)→ G) telle que αG◦βG =pr et βG◦αG =pr.
L’isog´enieα(respβ) fournit, par la construction de Berthelot [B, (2.4.2)], un isomorphisme sur lesF-isocristaux convergents associ´es
αK :MK−→∼ frig∗ (EK|U) (resp βK :frig∗ (EK|U)−→ M∼ K).
D’apr`es [Et 2, th´eo 5] l’isomorphisme αK (resp. βK) se rel`eve de mani`ere unique en un isomorphisme
α†K :M†K−→∼ frig∗ (EK|U† )
(resp βK† :frig∗ (EK|U† )−→ M∼ †K);
de mˆeme l’action deGsurfrig∗ (EK|U) se rel`eve de mani`ere unique `afrig∗ (EK|U† ).
D’autre part, par le th´eor`eme (3.3.12), on a un morphisme de suites exactes sur SYNT(X′′)
(S1) 0 //j!f∗(Fn|U) //
j!′′(βG)n
j!fCRIS∗ (E|U)m−crisn 1−φ //
j!′′(β)mn
j!fCRIS∗ (E|U)m−crisn //
j′′!(β)mn
0
(S2) 0 //j!′′Gn //j!′′Mm−crisn 1−φ //j!′′Mm−crisn //0 Le groupe G agit de mani`ere ´equivariante sur la suite exacte (S1), donc sur le triangle distingu´eC′′(S1) obtenu en lui appliquant le foncteur
C′′ :=Rlim←
m
{(Rlim←
n
RΓ(X′′SYNT,−))⊗Q}.
CommeC′′(j!′′(β)mn) =: ˜β est un isomorphisme, et de mˆeme en rempla¸cant βparα, ouαG,βG, le triangle distingu´eC′′(S2) obtenu en appliquantC′′`a (S2) est aussi G-´equivariant par transport de structure par ces isomorphismes : compte tenu de [E-LS 2, (3.11)] ce morphisme de triangles s’identifie `a