[PENDING] Construction et analyse de conditions aux limites artificielles pour des équations de Schrödinger avec potentiels et non linéarités

L'objectif de cette thèse est de résoudre numériquement l'équation de Schrödinger, en présence d'un potentiel V linéaire ou non linéaire, grâce à l'utilisation de conditions aux limites artificielles (ALC). Un approfondissement de la méthode se justifie, notamment dans le cas de l'équation de Schrödinger, chez Szeftel.

CE QUI EST CONNU 19

Ce qui est connu

Cas sans potentiel
Cas d’un potentiel constant en dehors du domaine calcul
Cas d’un potentiel ne d´ ependant que du temps
Cas de potentiels particuliers d´ ependant de la variable d’espace x

Nous développons ici l'approche qui constituera la base de la proposition CLA dans le cas où le potentiel dépend également de l'espace. On se permet ici d'avoir un potentiel dépendant du temps et de l'espace dans le domaine de calcul Ω×R+.

LES CLASSES DE POTENTIELS ADMISSIBLES 25

Les classes de potentiels admissibles

Ces potentiels ont pour effet de placer la solution dans un domaine, par exemple Ω. Ces potentiels ont pour effet d’accélérer ou de ralentir l’onde se dirigeant vers l’infini.

Introduction au calcul pseudodiff´ erentiel

Op´ erateurs pseudodiff´ erentiels au sens de Fourier

Nous considérons ici le calcul pseudo-différentiel basé sur la transformée de Fourier. Un opérateur pseudo-différentiel temporel P(x, t, ∂t) est défini par son symbole total p(x, t, τ) dans l'espace de Fourier.

Exemples

Considérons maintenant d'autres exemples d'opérateurs pseudo-différentiels, qui sont cette fois des opérateurs intégro-différentiels fractionnaires. Le tableau 1.1 présente les symboles de quelques opérateurs différentiels et pseudodifférentiels utiles.

Calcul symbolique

Dans les exemples précédents, nous avons vu des opérateurs qui étaient des opérateurs différentiels ou intégraux d’ordre entier. Il faudra donc trouver des algorithmes intelligents et efficaces pour simuler ou localiser ces opérateurs.

INTRODUCTION AU CALCUL PSEUDODIFF ´ ERENTIEL 31

Notons enfin qu'une régularité minimale du potentiel est requise pour appliquer la théorie des opérateurs pseuddiﬀérentiels. Cependant, ceci est crucial dans le domaine complémentaire de Ω, mais on peut s’attendre à une hypothèse de régularité beaucoup plus faible pour le problème interne posé dans Ω, permettant une plus grande classe de potentiels.

Construction des CLA sur le plan symbolique

Deux strat´ egies

Afin d’écrire la condition approchée associée au problème (1.62), nous devons identifier l’opérateur pseudodifférentiel Λ+. L’identification, à un opérateur près de OPS−∞S, et sous la condition haute fréquence dans τ, des opérateurs impliqués dans (1.66) et dans (1.67) conduit au système `em d’opérateurs.

D´ etermination du symbole principal en fonction de la strat´ egie

Cependant, la stratégie (a) ci-dessus correspond en réalité à un sous-cas de la stratégie (b). Maintenant, si nous effectuons un développement de Taylor sur |τ| grand du symbole principal de la stratégie (b), on retrouve les symboles de la stratégie (a), mais dans des ordres inférieurs.

CONSTRUCTION DES CLA SUR LE PLAN SYMBOLIQUE 37

Calcul de l’asymptotique en fonction du symbole principal

La sélection dans (1.70) de termes d'un ordre fixe demandera plus de soin, l'ordre de chaque terme devra être étudié en fonction de son expression. Considérant les expressions données par (1.86), aucun terme i∂xλ+j/2 n’est d’ordre 1/2, donc aucun de ces termes n’est pris en compte pour le calcul de λ+0.

L’exemple du potentiel lin´ eaire : comparaison des symboles

Le nouveau symbole σ est directement lié au symbole total de Λ+, tandis que σ1 et σ4 sont liés aux approximations de λ+ d'ordre 1 et 4 respectivement. Nous analyserons la qualité de l'approximation de σ par σ1 et σ4 en fonction de τ, que l'on compare à une fréquence.

CONSTRUCTION DES CLA SUR LE PLAN SYMBOLIQUE 43

En revanche, à haute fréquence, tous les symboles comparés sont vrais, et les symboles approximatifs σ1 et σ4 représentent une bonne approximation de σ. Cette hypothèse haute fréquence explique également pourquoi l'approximation est mauvaise lorsque τ est proche du point critique xr.

ETUDE DU CHOIX ABC M 1 45

Etude du choix ABC M 1

Interpr´ etation des symboles et choix de la condition

Chacun de ces symboles est en réalité le symbole principal d'un opérateur qui reste à définir. Le symbole iτ1 est lié à aIt, on peut donc voir λ+−1 comme le symbole principal de l’opérateur A−1.

Retour aux conditions artificielles

Nous effectuons le changement de variable inverse, où uvM est alors une solution approchée du problème (1.61). Conformément à l'interprétation des symboles que nous venons de voir pour le changement de jauge, nous avons la proposition suivante.

Un r´ esultat de stabilit´ e pour ABC M 1

Montrons ce résultat pour l'état du quatrième ordre, sous l'hypothèse que sg(∂nV) ne dépend pas du temps sur ΣT. Pour déterminer le signe du membre droit de (1.114), nous expliquons la condition aux limites d’ordre quatre.

Conditions de type ABC M 2 , lien entre les CLA, exemple

L’autre choix : ABC M 2

L'étude de la stabilité du problème lié à la condition aux limites ABCM2 est plus délicate que celle de ABCM1. Cependant, lorsque V(x, t) = V(x), le résultat de stabilité est instantané, puisque les stratégies 1 et 2 coïncident, et ABCM2 est strictement équivalent à ABCM1, comme on le voit ci-dessous.

L’exemple du potentiel lin´ eaire : comparaison des op´ erateurs

Sch´ emas semi-discrets et propri´ et´ es

Discr´ etisation de l’´ equation int´ erieure et formulation variationnelle

Lorsque V = V(x) est un potentiel indépendant du temps, la discrétisation de Crank-Nicolson pour l'équation de Schr¨odinger est donnée par. Nous proposons ici deux solutions pour la discrétisation des CLA construits.

Discr´ etisation des op´ erateurs de convolution

Enfin, on obtient les coefficients de convolution qui lui sont associés en exploitant le fait que It est le composé de l'opérateur It1/2 avec lui-même. En convertissant en Z, les coefficients de convolution sont donc les produits des coefficients de It [15].

Discr´ etisation des CLA bas´ ee sur les convolutions discr` etes

1.159) Nous allons maintenant utiliser l'expression de la condition aux limites discrétisée pour déterminer le signe des termes Aγ. Ce théorème est démontré dans l'Annexe B.2 de [44] et assure l'équivalence de la définition du concept de positivité pour les filtres numériques par entrée-condition-sortie (P.

Discr´ etisation des CLA bas´ ee sur les fonctions auxiliaires

Cependant, cela n’est pas suffisant si l’on veut écrire la condition d’ordre quatre, qui contient le symbole λ+−1 d’ordre −1. Nous avons écrit ici les approximations avec lesquelles nous pouvons écrire les conditions aux limites jusqu'à l'ordre quatre.

Finalement, la discrétisation de la condition aux limites ABC 22,m conduit à un système de un. Voyons maintenant ce qui se passe avec la condition d'ordre quatre donnée par (1.180).

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 75

R´ esultats num´ eriques

Formulation variationnelle

Lorsque V ne dépend pas du temps, la matrice de masse généralisée associée MW est constante. Par contre, pour un potentiel V(x, t), la matrice MWn+1 n'est plus constante et doit être remontée à chaque itération.

Solutions de r´ ef´ erence

Nous comparons la solution exacte (figure 1.9(a)) avec la solution calculée sur ΩT en utilisant la condition aux limites ABC21 (condition d'ordre deux discrétisée par convolutions discrètes). Le domaine élargi pour le calcul de la solution de référence est Ω = [e −5 ; 95] dont la longueur est exactement cinq fois celle de Ω.

Influence de diff´ erents param` etres

Nous représentons alors à nouveau la solution exacte (figure 1.10(b)) et la solution numérique approchée (figure 1.10(c)), mais cette fois sur une échelle logarithmique, et en présentant les courbes de niveaux de 10−1 à 10−6 définies . Le calcul de la solution numérique, qui semblait jusqu'ici sans faille, révèle alors une réflexion provenant de la frontière droite.

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 79

La comparaison des conditions à deux et quatre tâches avec la condition sans potentiel montre une amélioration très nette lorsque l’on considère le potentiel de la condition. En fait, la condition du quatrième ordre réduit pratiquement de moitié l’erreur obtenue avec la condition du deuxième ordre.

On peut remarquer que la réflexion est légèrement plus faible pour les conditions aux limites basées sur les approximations de Pade. Nous considérons maintenant les conditions aux limites ABCM2,m discrétisées par les approximations de Pade avec des termes dans l'approximation de Pade.

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 83

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 87

Tableau 1.3 – Evolution du temps de calcul (temps CPU en secondes) pour les conditions du quatrième ordre ABC4p en fonction du pas spatial, pour V(x) =x2 et ∆t= 10−3. Nous comparons maintenant les performances des conditions aux limites artificielles avec une autre méthode permettant de résoudre l'équation de Schrödinger à potentiel variable V(x, t) : PML (Perfectly Matched Layer).

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 89

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 91

On considère ici un potentiel non répulsif, c’est à dire tel que la solution n’est pas excitante. La frontière est placée symétriquement en xℓ,r=±10, alors que la solution est limitée au domaine [−20 ; 20].

Etude de potentiels au cas par cas

Les autres représentations de la figure 1.24 correspondent à tous les résultats obtenus pour les conditions ABCMp, M ∈ {2,4} et p ∈ {1,2}, ainsi que pour la condition sans potentiel ABC0. Après les exemples de deux potentiels dépendant uniquement de l'espace, on passe à l'étude d'exemples où les potentiels sont de la forme V(x, t).

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 95

A titre de comparaison, nous pouvons étudier ce qui arrive aux termes d’ordre quatre lorsque nous traitons moins de temps, en choisissant par exemple ∆t= 10−3 (figure 1.31). Encore une fois, les conditions ABCM1 discrétisées par des convolutions discrètes nécessitent un pas de temps plus petit pour atteindre la saturation.

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 99

R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 101

Figure 1.33 – Réflexion maximale sur la frontière gauche pour les différents CLA, en fonction du pas de temps ∆t et du pas d'espace, pour le potentiel V(x, t) =x(2 + cos 2t) .

CONCLUSION 103

Conclusion

Cette solution vérifie les lois de conservation (2.3) et (2.4) et dépend continûment de l'état initial u0∈H1(Rd). Cette solution vérifie la loi de conservation (2.3) et dépend en permanence des données initiales en L2.

ADAPTATION DES CLA POUR UNE NON LIN ´ EARIT ´ E 107

Adaptation des CLA pour une non lin´ earit´ e

Dans le cas non linéaire considéré actuellement, l'hypothèse de non-changement de signe sur la frontière devient beaucoup moins réaliste. Pour la première stratégie, la condition du quatrième ordre utilisée dans le cas non linéaire est donc la condition non symétrique NLABC41. 2.15).

Etude du probl` eme aux limites dans le cas NLABC 2 1

Pour la deuxième stratégie, la formulation non symétrique de la condition d’ordre quatre peut également s’écrire, dans le cas d’un potentiel. Dans le cas non linéaire nous avons vu que, pour des raisons liées à la régularité, la condition d'ordre quatre est retenue celle qui n'est pas symétrique par rapport à son deuxième terme.

Semi-discr´ etisation des conditions aux limites

Discr´ etisation des conditions NLABC M 1 bas´ ee sur les convolutions discr` etes

La fonction f étant non linéaire, f(u) est discrétisée en temps tn+1/2 après la discrétisation de D`uran-Sanz-Serna. Notez que si nous avions utilisé une discrétisation de Crank-Nicolson pour gérer le terme non linéaire. nous aurions obtenu un terme de la forme.

SEMI-DISCR ´ ETISATION DES CONDITIONS AUX LIMITES 113

Etude de la stabilit´ e du syst` eme discr´ etis´ e

Considérons maintenant le bord droit du domaine, le bord gauche est traité de la même manière.

Discr´ etisation des conditions ^

IMPL ´ EMENTATION DES CLA DANS UN ENVIRONNEMENT ´ EL ´ EMENTS FINIS 115 dont la semi-discr´etisation en temps est donn´ee par

Impl´ ementation des CLA dans un environnement ´ el´ e- ments finisments finis

MISE EN ŒUVRE DE CLA DANS UN ENVIRONNEMENT D'ÉLÉMENTS FINIS 115dont la semi-discrétisation en temps est donnée par. Encore une fois, la prise en compte de la condition du second ordre nécessite uniquement un changement dans la forme du deuxième terme du système linéaire.

Simulations num´ eriques

Le potentiel cubique

Avec ces données solitoniques initiales, la solution exacte du problème est donnée par uex : uex(x, t). On peut aussi construire numériquement une solution de référence sur Ω en résolvant l'équation sur un domaine suffisamment grand pour ne pas nécessiter de condition aux limites (on prendra alors le résultat obtenu (figure 2.3).

SIMULATIONS NUM ´ ERIQUES 121

Le nombre d'itérations est compris entre 5 itérations, et 2 itérations seulement une fois que la vague a franchi la frontière. Même une fois que la vague a quitté le domaine, le nombre d'itérations reste relativement élevé, de l'ordre d'une vingtaine d'itérations.

SIMULATIONS NUM ´ ERIQUES 123

SIMULATIONS NUM ´ ERIQUES 125

En fait, les temps de calcul pour une itération du point fixe sont approximativement égaux pour les deux méthodes. TMIT = Temps moyen par itération dans le temps NMIPF = Nombre moyen d'itérations du point fixe TMIPF = Temps moyen par itération du point fixe.

SIMULATIONS NUM ´ ERIQUES 127

D’autres potentiels non lin´ eaires

Les conditions aux limites offrent dans ce cas une très bonne précision, puisqu'à l'ordre quatre la réflexion parasite est réduite à 10−5. L’utilisation de conditions d’ordre deux ou quatre réduit la réflectance observée d’un facteur 10 si nous utilisons la condition d’absence de potentiel, ce qui constitue une amélioration significative.

SIMULATIONS NUM ´ ERIQUES 131

SIMULATIONS NUM ´ ERIQUES 133

La figure 2.15 montre les simulations associées aux conditions NLABCM1 pour le pas de temps ∆t= 10−4. Si l'on considère les convolutions discrètes, on sait qu'elles sont efficaces au niveau du point fixe, mais, en contrepartie, il faudra faire plus d'itérations dans le temps puisqu'un pas de temps de l'ordre de ∆t= 10−4 est nécessaire pour obtenir la meilleure précision.

SIMULATIONS NUM ´ ERIQUES 135

Dans [35] il est montré que lorsque l'on combine un potentiel répulsif de type harmonique V =β2x2 et une non-linéarité ef(u) =q|u|2σ, l'effet de la non-linéarité dans le temps devient négligeable comparé à l'effet de la non-linéarité. potentiel répulsif, au moins forq≤0. Cette fois, nous combinons un potentiel linéaire et un potentiel non linéaire, qui ont tous deux un effet attractif.

SIMULATIONS NUM ´ ERIQUES 137

Conclusion

Introduction

Ainsi, l'énergie du système est la valeur propre E et l'état propre associé est ϕ (fonction propre). En particulier, nous cherchons à calculer l'état fondamental (ground state) associé à la plus petite valeur propre, ou les états associés aux ordres supérieurs.

Conditions aux Limites Artificielles : du temporel au sta- tionnaire

Ce problème des valeurs propres est également appelé calcul des états propres (états limites).

Application au probl` eme de scattering lin´ eaire

Formulation du probl` eme et approximation par ´ el´ ements finis

Pour la solution numérique du problème nous utilisons, comme précédemment, une technique d’éléments finis linéaire. On note S la matrice de rigidité et par MV - E la matrice de masse généralisée associée au potentiel V - E.

R´ esultats num´ eriques

APPLICATION AU PROBL ` EME DE SCATTERING LIN ´ EAIRE 143

Figure 3.3 – Affichage de la partie réelle des solutions numériques. a) Erreur dans le travail réel. Nous étudions ensuite l'évolution des courbes d'erreur en fonction du nombre d'onde k de l'onde incidente.

APPLICATION AU PROBL ` EME DE SCATTERING LIN ´ EAIRE 145

Figure 3.7 – Evolution de l'erreur induite dans la solution en fonction du nombre d'ondecets pour deux pas spatiaux. Figure 3.8 – Evolution de l'erreur de solution en fonction du nombre d'onde k, pour un potentiel gaussien d'amplitude A=−5 et deux pas spatiaux différents.

Compte tenu de cela, le réglage de A nécessite de prendre xr suffisamment grand, le réglage de xr nécessite de se limiter à une valeur de A qui n'est pas trop grande. Ainsi, quel que soit xr, la relation (3.20) est toujours vérifiée, on peut donc placer x librement, à la fois plus petit et plus grand que xc.

Choisir xr

APPLICATION AU PROBL ` EME DE SCATTERING LIN ´ EAIRE 151

Les chiffres du bas représentent l'erreur, en partie réelle et en partie imaginaire, pour chacune des deux conditions.

APPLICATION AU PROBL ` EME DE SCATTERING LIN ´ EAIRE 153

Application au calcul d’´ etats stationnaires : le cas lin´ eaire

CLA : conditions de type racine carr´ ee

Le problème discret s’écrit alors classiquement comme le problème des valeurs propres généralisé : trouver la solution du couple (E,φE). Plus précisément, l'équation aux valeurs propres non linéaire à résoudre est donnée par .

APPLICATION AU CALCUL D’ ´ ETATS STATIONNAIRES : LE CAS LIN ´ EAIRE 157 et

Exemples num´ eriques

Un premier type de tests numériques consiste à observer la variation de l'erreur commise sur l'énergie et sur les fonctions propres lorsqu'on fait varier la taille du domaine. Pour un état solide, plus xr est choisi grand, plus les fonctions propres à la limite du domaine seront proches de zéro.

APPLICATION AU CALCUL D’ ´ ETATS STATIONNAIRES : LE CAS LIN ´ EAIRE 159

A partir d'une certaine valeur dexr, toutes les conditions aux limites conduisent à la même précision, qui dépend uniquement du pas de discrétisation dans l'espace. Il est très clair que la précision diminue à mesure qu’elle augmente pour toutes les conditions aux limites pour la raison suivante.

APPLICATION AU CALCUL D’ ´ ETATS STATIONNAIRES : LE CAS LIN ´ EAIRE 161

La figure 3.22 montre le nombre d'itérations effectuées lors de l'utilisation des conditions SABC2 et SABC4 en fonction de xr dans deux situations : n = 0 et n = 4. En général, les temps de calcul utilisant les conditions non linéaires sont donc environ cinq fois les temps de calcul requis si nous utilisons des conditions linéarisées.

Il faudra donc choisir xr ≥2 pour le domaine de calcul afin d'obtenir une précision satisfaisante. Quant au potentiel harmonique, on observe la diminution de l'erreur lorsque la taille du domaine ]−xr;xr[ augmente.

APPLICATION AU CALCUL D’ ´ ETATS STATIONNAIRES : LE CAS LIN ´ EAIRE 165

Pour obtenir cette précision avec la condition de Dirichlet, il faut choisir xr= 10, ce qui conduit à. Pour n = 0, les conditions SABC2,4lin sont presque aussi précises que les conditions SABC2,4, mais à mesure que n augmente, elles semblent se rapprocher de la condition de Dirichlet.

APPLICATION AU CALCUL D’ ´ ETATS STATIONNAIRES : LE CAS LIN ´ EAIRE 167

APPLICATION AU CALCUL D’ ´ ETATS STATIONNAIRES : LE CAS LIN ´ EAIRE 169

En revanche, pour n = 14, les conditions linéarisées ne sont que légèrement meilleures que la condition de Dirichlet et bien pires que les conditions non linéaires. Les CLA linéarisés apportent une nette amélioration par rapport à la précision obtenue avec le Dirichlet pour un coût équivalent.

Pour ce potentiel, les différences sont moins prononcées que dans les autres exemples, l'approche est l'approche « boucle » pour CLA SABC2,4. Cependant, la CLA reste toujours plus précise que la condition de Dirichlet, d'un facteur 10 voire 100 dans les zones où elles sont bien distinguées.

APPLICATION AU CALCUL D’ ´ ETATS STATIONNAIRES : LE CAS NON LIN ´ EAIRE 173

Application au calcul d’´ etats stationnaires : le cas non lin´ eaire

Probl` eme et sch´ ema num´ erique

Cette fois, indépendamment de la condition aux limites, l’algorithme est itératif puisque le schéma interne est non linéaire. Le schéma itératif s'écrit par itération du point fixe sur la nième valeur propreEMn et le vecteur propreφMn.

APPLICATION AU CALCUL D’ ´ ETATS STATIONNAIRES : LE CAS NON LIN ´ EAIRE 175 et

R´ esultats num´ eriques

On remarque également que, pour des valeurs négatives de β, les conditions linéarisées n'apportent rien par rapport aux conditions non linéaires (non rapportées). Ils convergent avec le même nombre d’itérations et les conditions linéarisées d’ordre M conduisent.

CONCLUSION 179

Conclusion

Cas d’un potentiel ne d´ ependant que du temps

En dimension une, lorsque le potentiel ne dépend que du temps V(x, t) = V(t) en dehors de Ω, le changement de jauge permet de revenir à l'équation de Schrödinger sans potentiel.

Les sp´ ecificit´ es de la dimension deux

Choix de la fronti` ere et param´ etrisation locale

Pour pallier ce problème, nous considérons une limite régulière (sans singularité). Dans le repère local associé à aM, un point M' proche de la frontière est identifié à ses coordonnées souhaitées.

Discussion sur l’´ equivalence des strat´ egies

Puis on identifie l'opérateur associé au symbole (ρ, ξ) et qui s'applique à la fonction (r, s, t)7→.

Op´ erateurs pseudodiff´ erentiels utiles pour la dimension deux et calcul symbolique associ´e

En utilisant les propriétés de conduction de la transformée de Fourier, nous simplifions cette expression Op(a(τ−V(r), ξ))u=eitV(r). Pour les opérateurs qui dépendent uniquement de la dérivée temporelle, leur symbole en termes de ce calcul symbolique est le même que celui que nous avons déjà obtenu dans les classes correspondantes en dimension un.

Les deux strat´ egies

Strat´ egie une ou m´ ethode par changement de jauge
Strat´ egie deux ou m´ ethode directe
Unification des strat´ egies
Obtention du syst` eme symbolique
Ajout de termes dans le symbole principal

Dans la stratégie de la méthode directe, et contrairement au cas du changement de jauge, on inclut dans le symbole principal des termes d'ordre 0 issus du potentiel. Cela consiste à ne pas changer le compteur ni à inclure le potentiel dans le symbole principal.

La strat´ egie une : changement de jauge

Choix du symbole principal

Il existe donc au début de nombreuses possibilités pour choisir le symbole principal, selon que l'on inclut les termes ih−1(∂sh−1)ξ et/ou −2(∂sV)ξ et/ou g. Ce faisant, nous ne l’incluons pas dans le symbole principal, mais cela interférera avec l’expression λ+0 lorsque nous identifierons des termes d’ordre 1 dans l’équation.

Calcul des symboles

Néanmoins, l'approche inhomogène permet d'inclure tout ou partie des termes d'ordre inférieur dans la lecture des termes du second ordre et donc dans le symbole principal λ+1, comme cela a été fait dans le cas de la méthode directe en dimension une. en choisissant le symbole principal λ+1/ 2=−√. Cette expression a donc a priori une amplitude relativement faible, car dans la plupart des cas étudiés les variations de potentiel sont plus importantes dans le sens normal que dans le sens tangentiel.

Interpr´ etation des CLA et approche par d´ eveloppement de Taylor

Pour ce faire, nous effectuons un développement asymptotique des symboles pour |τ| à partir de ≫ξ2. α) désigne la troncature du développement de Taylor de ˜λ1−j en se restreignant aux termes d’ordres supérieurs ou égaux à α. En fait, la somme est une somme finie, puisque les termes d'ordre 1−M/2 ne se trouvent que dans leseλj, avec 1≤j ≤2−M.

LA STRAT ´ EGIE UNE : CHANGEMENT DE JAUGE 199 on en d´eduit les symboles tronqu´es