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Modélisation et analyse mathématique de problèmes d’interaction fluide-structure

Muriel BOULAKIA

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I Modélisation et étude théorique de l’interaction entre une structure élastique et un fluide incompressible.

1) Un premier modèle 2) Le modèle couplé

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I Modélisation et étude théorique de l’interaction entre une structure élastique et un fluide incompressible.

1) Un premier modèle 2) Le modèle couplé

II Modélisation et étude théorique de l’interaction entre une structure élastique et un fluide compressible.

Le contexte général

• structure immergée dans un fluide visqueux newtonien et inhomogène en dimension 3.

• Le déplacement de la structure élastique se compose de grands dé- placements rigides et de petites perturbations élastiques.

t = 0 t

✖ ✖

Ω Ω

Ω (0)_F

Ω ( )t

S S

y x

X (t,0, )_S .

Ω ( )t Ω (0)

I. Fluide incompressible-structure élastique

1. Le modèle

2. Résultat principal

3. Représentation des vitesses

4. Le problème en dimension finie

5. Passage au problème continu

1. Le modèle : les équations du fluide















̺_F (∂_tu_F + (u_F · ∇)u_F) − ν∆u_F + ∇p = 0 ^dans Ω_F(t)

div u_F = 0 ^dans Ω_F(t)

∂t̺F + div (̺FuF) = 0 ^dans ΩF(t)

uF = 0 ^sur ∂Ω

̺F : densité volumique, uF : vitesse eulérienne et p : pression.

ν > 0 : cœfficient de viscosité.

1. Le modèle : notations

Pour tout y ∈ ΩS(0),

X_S(t,0, y) = a(t) + Q(t)(y − g₀)

| {z } + Q(t)ξ(t, y)

| {z }

PARTIE RIGIDE PARTIE ELASTIQUE

avec a le vecteur translation, Q la matrice de rotation et ξ le vecteur de déformation élastique.

1. Le modèle : notations

Pour tout y ∈ ΩS(0),

X_S(t,0, y) = a(t) + Q(t)(y − g₀)

| {z } + Q(t)ξ(t, y)

| {z }

PARTIE RIGIDE PARTIE ELASTIQUE

avec a le vecteur translation, Q la matrice de rotation et ξ le vecteur de déformation élastique.

Relations d’orthogonalit ´e : Z

ΩS(0)

̺⁰_Sξ(t, y)dy = 0, Z

ΩS(0)

̺⁰_Sξ(t, y) ∧ y dy = 0

1. Le modèle : notations

Pour tout y ∈ ΩS(0),

X_S(t,0, y) = a(t) + Q(t)(y − g₀)

| {z } + Q(t)ξ(t, y)

| {z }

PARTIE RIGIDE PARTIE ELASTIQUE

avec a le vecteur translation, Q la matrice de rotation et ξ le vecteur de déformation élastique.

Relations d’orthogonalit ´e : Z

ΩS(0)

̺⁰_Sξ(t, y)dy = 0, Z

ΩS(0)

̺⁰_Sξ(t, y) ∧ y dy = 0

On définit le flot inverse : X_S(0, t, .) = X_S(t,0, .)⁻¹ : Ω_S(t) 7→ Ω_S(0),

1. Le modèle : les équations du solide

Le mouvement du solide doit satisfaire le problème suivant : Z T

0

Z

ΩS(0)

̺⁰_S(y)∂_t²X_S(t,0, y)V (t, y)dy dt + ǫ

Z T 0

∂_t²ξ, V_E

H³(ΩS(0)) dt +

Z T 0

Z

ΩS(0)

Σ²_E(ξ) : ε(VE) =< Ff→s, V >

pour toute fonction test s’écrivant :

V (t, y) = ˙b(t) + r(t) ∧ (Q(t)(y − g₀ + ξ(t, y))) + Q(t)V_E(t, y).

1. Le modèle : les équations du solide

Le mouvement du solide doit satisfaire le problème suivant : Z T

0

Z

ΩS(0)

̺⁰_S(y)∂_t²X_S(t,0, y)V (t, y)dy dt + ǫ

Z T 0

∂_t²ξ, V_E

H³(ΩS(0)) dt +

Z T 0

Z

ΩS(0)

Σ²_E(ξ) : ε(VE) =< Ff→s, V >

pour toute fonction test s’écrivant :

V (t, y) = ˙b(t) + r(t) ∧ (Q(t)(y − g₀ + ξ(t, y))) + Q(t)V_E(t, y).

• Σ²_E(ξ) = λtr(ε(ξ))Id + 2µε(ξ) avec λ + 2µ > 0 et µ > 0,

1. Le modèle : les équations de couplage

(i) Pour V assez régulière,

< F_f→s, V >=

Z T 0

Z

∂ΩS(t)

(σ_Fn) · V (t, X_S(0, t, x))dγ_x dt

1. Le modèle : les équations de couplage

(i) Pour V assez régulière,

< F_f→s, V >=

Z T 0

Z

∂ΩS(t)

(σ_Fn) · V (t, X_S(0, t, x))dγ_x dt (ii) uF = uS sur ∂ΩS(t)

1. Le modèle : les équations de couplage

(i) Pour V assez régulière,

< F_f→s, V >=

Z T 0

Z

∂ΩS(t)

(σ_Fn) · V (t, X_S(0, t, x))dγ_x dt (ii) uF = uS sur ∂ΩS(t)

Remarque :

(ii)+ incompressibilité du fluide =⇒ condition de compatibilité sur ξ : Z

ΩF(t)

div uF = Z

∂ΩF(t)

uF · nx = Z

∂ΩS(t)

uF · nx = Z

∂ΩS(t)

uS · nx

Donc :

Z Z

1. Le modèle : conditions initiales

a(0) = g₀, a^′(0) = a¹, ω(0) = ω⁰, Q(0) = Id, ξ(0) = 0 dans ΩS(0), ∂tξ(0) = ξ¹ dans ΩS(0),

u_F(0) = u⁰_F dans Ω_F(0), ̺_F(0) = ̺⁰_Fχ_ΩF(0) dans Ω

1. Le modèle : conditions initiales

a(0) = g₀, a^′(0) = a¹, ω(0) = ω⁰, Q(0) = Id, ξ(0) = 0 dans ΩS(0), ∂tξ(0) = ξ¹ dans ΩS(0),

u_F(0) = u⁰_F dans Ω_F(0), ̺_F(0) = ̺⁰_Fχ_ΩF(0) dans Ω qui vérifient les conditions suivantes :

ξ¹ ∈ H³(Ω_S(0))³, Z

ΩS(0)

ξ¹(y) · n_y dy = 0

u⁰_F ∈ H¹(ΩF(0))³, u⁰_F = 0 sur ∂Ω, div u⁰_F = 0 dans ΩF(0) u⁰_F(y) = a¹ + ω⁰ ∧ (y − a⁰) + ξ¹(y) sur ∂ΩS(0)

̺⁰_F ∈ L^∞(Ω_F(0)), 0 < M₁ ≤ ̺⁰_F ≤ M₂ dans Ω_F(0)

1. Le modèle : remarques

• l’équation du mouvement solide global est équivalente à trois équa- tions portant sur a, Q et ξ. Ces équations sont non linéaires et couplées entre elles.

• l’espace des fonctions tests dépend de la solution. Pas de résolution directe pour ce type de problèmes _⇒ linéarisation et argument de point fixe.

1. Le modèle : estimation d’énergie a priori

∀t ∈ [0, T], E_c(t) + E_p(t) ≤ E₀

avec Ec l’énergie cinétique, Ep l’énergie potentielle et E₀ l’énergie initiale :

Ec(t) = 1 2

Z

ΩS(0)

̺⁰_S(y)|∂tXS(t,0, y)|² dy+1 2

Z

ΩF(t)

̺F(t, x)|uF(t, x)|² dx

E_p(t) = λ 2

Z

ΩS(0) |tr(ε(ξ(t, y)))|² dy + µ Z

ΩS(0) |ε(ξ(t, y))|² dy

+ 1

2ǫk∂tξ(t, .)k²H³(ΩS(0)) + 2ν Z t

0

Z

ΩF(s) |ε(uF(s, x))|² dxds

2. Résultat principal

Th ´eor `eme d’existence :

Hypothèse : dist(ΩS(0), ∂Ω) > 0.

Il existe un temps T^∗ dépendant des données et de ǫ tel que sur [0, T^∗], notre problème admet une solution. Cette solution est définie jusqu’au temps T :

T = sup

t > 0

d(t) > 0,g(t) > 0 ^et X_S(t,0, .) ^injectif où :

d(t) = dist(Ω_S(t), ∂Ω) ^et g(t) = inf

y∈ΩS(0)|det∇X_S(t,0, y)|. Et cette solution vérifie l’estimation d’énergie donnée précédemment.

2. Résultat principal

Remarque sur la d ´ependance de

T

ǫ

d(t) ≥ d(0) − sup

0≤s≤t, y∈ΩS(0)|∂sXS(s, 0, y)|t ≥ d(0) − Ct ǫ et

k∇X_S(s,0, y) − Idk^L∞((0,t)×ΩS(0)) ≤ tk∂_s∇X_S(s,0, y)kL^∞((0,t)×ΩS(0))

≤ C(Ω_S(0), E₀)t ǫ

=⇒ importance de la régularisation dans l’équation d’élasticité

2. Résultat principal

Bibliographie : Interaction fluide-structure rigide.

• C. Conca, J. San Martin et M. Tucsnak

• B. Desjardins, M. Esteban

2. Résultat principal

Bibliographie : Interaction fluide-structure rigide.

• C. Conca, J. San Martin et M. Tucsnak

• B. Desjardins, M. Esteban

• J. San Martin, V. Starovoitov et M. Tucsnak

• E. Feireisl

2. Résultat principal

Bibliographie : Interaction fluide-structure rigide.

• C. Conca, J. San Martin et M. Tucsnak

• B. Desjardins, M. Esteban

• J. San Martin, V. Starovoitov et M. Tucsnak

• E. Feireisl

Bibliographie : Interaction fluide-structure ´elastique.

• B. Desjardins, M.J. Esteban, C. Grandmont et P. Le Tallec

2. Résultat principal

Bibliographie : Interaction fluide-structure rigide.

• C. Conca, J. San Martin et M. Tucsnak

• B. Desjardins, M. Esteban

• J. San Martin, V. Starovoitov et M. Tucsnak

• E. Feireisl

Bibliographie : Interaction fluide-structure ´elastique.

• B. Desjardins, M.J. Esteban, C. Grandmont et P. Le Tallec

• A. Chambolle, B. Desjardins, M.J. Esteban et C. Grandmont

• H. Beirao da Veiga

• C. Grandmont

2. Résultat principal

Bibliographie : Interaction fluide-structure rigide.

• C. Conca, J. San Martin et M. Tucsnak

• B. Desjardins, M. Esteban

• J. San Martin, V. Starovoitov et M. Tucsnak

• E. Feireisl

Bibliographie : Interaction fluide-structure ´elastique.

• B. Desjardins, M.J. Esteban, C. Grandmont et P. Le Tallec

• A. Chambolle, B. Desjardins, M.J. Esteban et C. Grandmont

• H. Beirao da Veiga

• C. Grandmont

3. Représentation des vitesses

La vitesse eulérienne u globale doit satisfaire :

• u ∈ L^∞(0, T;L²(Ω)) ∩ L²(0, T;H₀¹(Ω)),

• le flot X associé à u est défini sur Ω et s’écrit :

X(t,0, y) = a(t) + Q(t)(y − g₀) + Q(t)ξ(t, y) surΩ_S(0) avec a ∈ W^1,∞(0, T)³, Q ∈ W^1,∞(0, T;SO₃(R)) et

ξ ∈ W^1,∞(0, T;H³(ΩS(0)))³,

• div u = 0 sur ΩF(t),

• vol(Ω_S(t)) = vol(Ω_S(0)), ∀ t ∈ [0, T] où Ω_S(t) = X(t,0,Ω_S(0)).

3. Représentation des vitesses

Soit (a, Q, ξ) suffisamment proche de (g₀, Id,0).

sur Ω_S(0), X_S(t,0, y) = a(t) + Q(t)(y − g₀) + Q(t)ξ(t, y)

3. Représentation des vitesses

Soit (a, Q, ξ) suffisamment proche de (g₀, Id,0).

sur Ω_S(0), X_S(t,0, y) = a(t) + Q(t)(y − g₀) + Q(t)ξ(t, y) + λ(t)Q(t)η(y) η : relèvement de la normale sur Ω_S(0).

3. Représentation des vitesses

Soit (a, Q, ξ) suffisamment proche de (g₀, Id,0).

sur Ω_S(0), X_S(t,0, y) = a(t) + Q(t)(y − g₀) + Q(t)ξ(t, y) + λ(t)Q(t)η(y) η : relèvement de la normale sur Ω_S(0).

λ(t) déterminé par : vol(ΩS(t)) =

Z

ΩS(0)

det∇XS(t,0, y) dy = vol(ΩS(0)).

Ceci est possible (théorème des fonctions implicites) autour de 0.

3. Représentation des vitesses

Soit (a, Q, ξ) suffisamment proche de (g₀, Id,0).

sur Ω_S(0), X_S(t,0, y) = a(t) + Q(t)(y − g₀) + Q(t)ξ(t, y) + λ(t)Q(t)η(y) η : relèvement de la normale sur Ω_S(0).

λ(t) déterminé par : vol(ΩS(t)) =

Z

ΩS(0)

det∇XS(t,0, y) dy = vol(ΩS(0)).

Ceci est possible (théorème des fonctions implicites) autour de 0. On prend (a, Q, ξ) suffisamment proche de (g₀, Id,0) pour que :

kXS(t,0, .) − Idk^{L∞(0,T;W1,∞(Ω}S(0))) ≤ α,

de sorte que X_S(t,0, .) peut se prolonger en une fonction Y_S,p(t, .) inversible

3. Représentation des vitesses

uS vitesse eulérienne associée à XS :

uS(t, x) = ∂tXS(t,0, XS(0, t, x)) ^sur ΩS(t).

3. Représentation des vitesses

uS vitesse eulérienne associée à XS :

uS(t, x) = ∂tXS(t,0, XS(0, t, x)) ^sur ΩS(t).

uS,p, un prolongement de uS solution du problème de Stokes :











−∆u_S,p + ∇q = 0 Ω_F(t) div uS,p = 0 ΩF(t) uS,p = uS ∂ ΩS(t)

uS,p = 0 ∂Ω

avec Ω_F(t) = Ω \ Ω_S(t).

3. Représentation des vitesses

Soit w_F ∈ L^∞(0, T;L²(Ω_F(0))) ∩ L²(0, T;V (Ω_F(0))) avec : V (ΩF(0)) = {w ∈ H₀¹(ΩF(0))/div w = 0 ^sur ΩF(0)}.

wF =

( w_F dans Ω_F(0) 0 dans ΩS(0).

Soit YS,p(0, t, .)^∗wF la transformée de Piola : Y_S,p(0, t, .)^∗w_F

(t, x) = cof∇Y_S,p(0, t, x)^tw_F(t, Y_S,p(0, t, x)).

Alors :

div (Y_S,p(0, t, .)^∗w_F) = 0 ^sur Ω.

3. Représentation des vitesses

Soit w_F ∈ L^∞(0, T;L²(Ω_F(0))) ∩ L²(0, T;V (Ω_F(0))) avec : V (ΩF(0)) = {w ∈ H₀¹(ΩF(0))/div w = 0 ^sur ΩF(0)}.

wF =

( w_F dans Ω_F(0) 0 dans ΩS(0).

Soit YS,p(0, t, .)^∗wF la transformée de Piola : Y_S,p(0, t, .)^∗w_F

(t, x) = cof∇Y_S,p(0, t, x)^tw_F(t, Y_S,p(0, t, x)).

Alors :

div (Y_S,p(0, t, .)^∗w_F) = 0 ^sur Ω.

On note Θ l’application définie pour _k(a, Q, ξ) − (g₀, Id,0)k ≤ κ :

4. Le problème en dimension finie

On considère l’application :

(˜a^N,Qe^N,ξe^N,w˜^N_F ) −→^Θ u˜^N → u^{N “Θ}

−1

−−−−→” (a^N, Q^N, ξ^N, w_F^N) définie pour _k(˜a^N,Qe^N,ξe^N) − (g₀, Id,0)k ≤ κ.

4. Le problème en dimension finie

On considère l’application :

(˜a^N,Qe^N,ξe^N,w˜^N_F ) −→^Θ u˜^N → u^{N “Θ}

−1

−−−−→” (a^N, Q^N, ξ^N, w_F^N) définie pour _k(˜a^N,Qe^N,ξe^N) − (g₀, Id,0)k ≤ κ.

• on se place sur [0, T^∗] de telle sorte que:

k(a^N, Q^N, ξ^N) − (g₀, Id,0)k ≤ κ

• compacité _⇒ point fixe sur [0, T^∗].

5. Passage au problème continu

Résultats de compacité :

• Convergence forte de (̺^N_F ) : résultat de di Perna-Lions

̺^N_F → ̺F dans C(0, T^∗;L^p(Ω)), ∀p < +∞

5. Passage au problème continu

Résultats de compacité :

• Convergence forte de (̺^N_F ) : résultat de di Perna-Lions

̺^N_F → ̺F dans C(0, T^∗;L^p(Ω)), ∀p < +∞

• Convergence forte de (u^N) : on montre que q

̺^N_F u^N → √̺_Fu ^dans L²((0, T^∗) × Ω)³ en prouvant une inégalité du type :

Z T^∗−h 0

Z

Ω

q

̺^N_F (t + h)u^N(t + h) − q

̺^N_F (t)u^N(t)

² dx dt ≤ δ(h) −−−→^h→0 0

5. Passage au problème continu

Résultats de compacité :

• Convergence forte de (̺^N_F ) : résultat de di Perna-Lions

̺^N_F → ̺F dans C(0, T^∗;L^p(Ω)), ∀p < +∞

• Convergence forte de (u^N) : on montre que q

̺^N_F u^N → √̺_Fu ^dans L²((0, T^∗) × Ω)³ en prouvant une inégalité du type :

Z T^∗−h 0

Z

Ω

q

̺^N_F (t + h)u^N(t + h) − q

̺^N_F (t)u^N(t)

² dx dt ≤ δ(h) −−−→^h→0 0

II. Fluide compressible-structure élastique

1. Le modèle

2. Résultat principal

3. Résolution d’un problème régularisé

4. Passage à la limite dans les termes de régularisation

1. Le modèle : les équations du fluide







∂_t(̺_Fu_F) + div(̺_Fu_F ⊗ u_F) − div σ_F = 0 dans Ω_F(t)

∂_t̺_F + div (̺_Fu_F) = 0 dans Ω_F(t)

u_F = 0 sur ∂Ω

̺F : densité volumique, uF : vitesse eulérienne et :

σ_F = µ_F∇u_F + ((λ_F + µ_F)divu_F − p)Id p : pression, λF et µF tels que µF > 0, 3λF + 2µF > 0.

1. Le modèle : les équations du fluide







∂_t(̺_Fu_F) + div(̺_Fu_F ⊗ u_F) − div σ_F = 0 dans Ω_F(t)

∂_t̺_F + div (̺_Fu_F) = 0 dans Ω_F(t)

u_F = 0 sur ∂Ω

̺F : densité volumique, uF : vitesse eulérienne et :

σ_F = µ_F∇u_F + ((λ_F + µ_F)divu_F − p)Id p : pression, λF et µF tels que µF > 0, 3λF + 2µF > 0. Loi d’état isentropique :

p = a̺^γ_F avec γ > 3

2 et a > 0.

1. Le modèle : les équations du solide









∂t(̺SuS) + div(̺SuS ⊗ uS) + θA₃uS − div σS = 0 dans ΩS(t)

∂_t̺_S + div (̺_Su_S) = 0 dans Ω_S(t)

∂tXS(t,0, y) = uS(t, XS(t,0, y)), pour tout y ∈ ΩS(0)

̺S : densité, uS : vitesse eulérienne, XS : flot lagrangien, θ > 0. Pour tout u et v dans _D(ΩS(t)),

(u, v)_H³_(ΩS(t)) = Z

ΩS(t)

A₃u v

1. Le modèle : les équations du solide









∂t(̺SuS) + div(̺SuS ⊗ uS) + θA₃uS − div σS = 0 dans ΩS(t)

∂_t̺_S + div (̺_Su_S) = 0 dans Ω_S(t)

∂tXS(t,0, y) = uS(t, XS(t,0, y)), pour tout y ∈ ΩS(0)

̺S : densité, uS : vitesse eulérienne, XS : flot lagrangien, θ > 0. Pour tout u et v dans _D(ΩS(t)),

(u, v)_H³_(ΩS(t)) = Z

ΩS(t)

A₃u v Loi d’état : Σ₂ le second tenseur de Piola-Kirchhoff Σ₂ = 2µ_S E(X_S) + λ_S tr(E(X_S))Id avec E(X_S) = 1

2(^t∇X_S∇X_S − Id),

1. Le modèle

Les ´equations de couplage :

• u_F = u_S ^sur ∂Ω_S(t)

• pour tout v ∈ C(∂Ω_S(t)), Z

∂ΩS(t)

σ_Fn_x · v = Z

∂ΩS(t)

σ_Sn_x · v − θ < u_S, v >_3,∂ΩS(t) .

1. Le modèle

Les ´equations de couplage :

• u_F = u_S ^sur ∂Ω_S(t)

• pour tout v ∈ C(∂Ω_S(t)), Z

∂ΩS(t)

σ_Fn_x · v = Z

∂ΩS(t)

σ_Sn_x · v − θ < u_S, v >_3,∂ΩS(t) . Conditions initiales :

u(0) = u⁰ ∈ H₀¹(Ω), ̺(0) = ̺⁰ ∈ L^γ(Ω).

où u et ̺ sont respectivement la vitesse et la densité globales.

1. Le modèle

Estimation d’ ´energie : 1

2 Z

Ω

̺(t)|u(t)|² + a γ − 1

Z

ΩF(t)

̺^γ_F(t) + µ_F Z t

0

Z

ΩF(s) |∇u_F(s)|² +(λF + µF)

Z t 0

Z

ΩF(s) |divuF(s)|² + θ Z t

0 kuS(s)k²H³(ΩS(s))

+µS

Z

ΩS(0) |E(XS(t,0, y))|² + λS

2 Z

ΩS(0) |trE(XS(t,0, y))|² ≤ E₀.

1. Le modèle

Estimation d’ ´energie : 1

2 Z

Ω

̺(t)|u(t)|² + a γ − 1

Z

ΩF(t)

̺^γ_F(t) + µ_F Z t

0

Z

ΩF(s) |∇u_F(s)|² +(λF + µF)

Z t 0

Z

ΩF(s) |divuF(s)|² + θ Z t

0 kuS(s)k²H³(ΩS(s))

+µS

Z

ΩS(0) |E(XS(t,0, y))|² + λS

2 Z

ΩS(0) |trE(XS(t,0, y))|² ≤ E₀. Solution renormalis ´ee :

̺ est une solution renormalisée de l’équation de continuité si :

∂tb(̺) + div (b(̺)u) + (b^′(̺)̺ − b(̺))div u = 0 ^dans D^′((0, T) × Ω).

pour toute fonction b ∈ C¹( ) telle que :

2. Résultat principal

Th ´eor `eme d’existence :

Hypothèses : dist(Ω_S(0), ∂Ω) > 0, u⁰ ∈ H₀¹(Ω), ̺⁰ ∈ L^γ(Ω).

Il existe un temps T^∗ dépendant des données et de θ tel que, sur [0, T^∗], notre problème admet une solution (XS, ̺, u). Cette solution est définie jusqu’au temps T donné par :

T = sup{t > 0/ d(t) > 0, g(t) > 0 ^et X_S(t,0, .) ^injectif}

où : d(t) = dist(ΩS(t), ∂Ω) ^et g(t) = inf

y∈ΩS(0)|det∇XS(t,0, y)| et la solution vérifie l’estimation d’énergie donnée précédemment.

2. Résultat principal

Bibliographie : fluide compressible.

• P.L. Lions

• E. Feireisl, A. Novotny, H. Petzeltova

2. Résultat principal

Bibliographie : fluide compressible.

• P.L. Lions

• E. Feireisl, A. Novotny, H. Petzeltova

Bibliographie : interaction fluide-structure.

• B. Desjardins, M. Esteban

• E. Feireisl

• F. Flori et P. Orenga

3. Résolution d’un problème régularisé







∂t(̺FuF) + div(̺FuF ⊗ uF) + ǫ∇uF∇̺F − div σF = 0 ^dans ΩF(t)

∂t̺F + div (̺FuF) = ǫ∆̺F dans ΩF(t)

∇̺_F · n = 0 ^sur ∂Ω_F(t)

σ_F = µ_F∇u_F + ((λ_F + µ_F)div u_F − p(̺_F))Id avec :

p(̺F) = a̺^γ_F + δ̺^β_F ^avec β aussi grand qu’on veut.

3. Résolution d’un problème régularisé







∂t(̺FuF) + div(̺FuF ⊗ uF) + ǫ∇uF∇̺F − div σF = 0 ^dans ΩF(t)

∂t̺F + div (̺FuF) = ǫ∆̺F dans ΩF(t)

∇̺_F · n = 0 ^sur ∂Ω_F(t)

σ_F = µ_F∇u_F + ((λ_F + µ_F)div u_F − p(̺_F))Id avec :

p(̺F) = a̺^γ_F + δ̺^β_F ^avec β aussi grand qu’on veut.

Estimations suppl ´ementaires sur la densit ´e :

3. Résolution d’un problème régularisé

• Problème linéarisé en dimension finie.

• Argument de point fixe en dimension finie N : solution (X_S^N, ̺^N, u^N) définie sur [0, T], T > 0 arbitraire.

3. Résolution d’un problème régularisé

• Problème linéarisé en dimension finie.

• Argument de point fixe en dimension finie N : solution (X_S^N, ̺^N, u^N) définie sur [0, T], T > 0 arbitraire.

• Passage au problème continu.

X_S^N ⇀ XS dans H¹(0, T;H³(ΩS(0))).

Solution sur [0, T^∗] avec T^∗ tel que toute fonction (X_S, ̺, u) satis- faisant l’estimation d’énergie vérifie :

dist(ΩS(t), ∂Ω) ≥ α > 0, k∇XS(t,0, .) − Idk ≤ e₀.